（应用数学专业论文）分数阶微积分及其在分数阶量子力学中的应用.pdf

分数阶微积分及其在分数阶量子力学中的应用 董建平 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 指导老师s 徐明瑜教授 摘要 本文主要研究分数阶微积分及其在分数阶量子力学中的应用，共由四章组成；第 一章简要介绍分数阶微分及其应用，以及文中将用到的一些基本知识；第二章和第三 章研究由空间分数阶薛定谔方程所描述的空间分数阶量子体系；在最后一章中，我们 给出由时空分数阶薛定谔方程所描述的时空分数阶量子体系的一些特性 第一章首先介绍分数阶微积分的历史及其发展情况，然后给出几种常用的以及本 文中会用到的分数阶算子，例如；r i e m a n n l i o u v i l l e ( 简称r l ) ，c a p u t o 和r i e s z 分数 阶算子。此外，对两类特殊函数和它们的基本性质也进行了叙述，这些特殊函数常常 是很多分数阶微分方程的基本解这两类特殊函数分别是m i t t a g - l e f f l e r 型函数( 包括 m i r a g l e f f l e r 函数、包含两参数、三参数以及四参数的广义m i r a g l e f f l e r 函数) ，还有 f o xh 一函数应用数学以及统计学中的几乎所有特殊函数，例如：m i r a g l e f f l e r 型函 数、广义超几何函数、广义贝塞尔函数、m e o e r 的g 函数等等，都是f o xh 一函数的参 数取特殊值时的表达式。在本章的最后一节中，我们较详细的介绍了分数阶微积分在 当前非线性科学中复杂系统的各个领域中的应用 第二章主要研究线性势场、6 势阱以及c o u l o m b 势场中粒子所满足的一维空间分 数阶薛定谔方程借助于傅立叶变换，我们给出动量表象下的空间分数阶薛定谔方程 再利用m e l l i n 变换及其逆变换，得出粒子在线性势场中的波函数及其能级。粒子波函 数由h 函数表示，利用h 函数的零点，可以计算粒子的能级。6 势阱中粒子的波函数 同样由h 函数表示我们发现同整数阶量子力学情形类似，6 势阱中只对偶字称态的 粒子起作用且粒子只有一个能级，奇宇称态的粒子不受该势阱作用，仍然像自由粒子 一样运动。研究粒子在c o u l o m b 势场的运动时，给出了粒子波函数的积分形式，并且 证明了l a s k i n 的文献 p h y s r e v e6 6 ，0 5 6 1 0 8 ( 2 0 0 2 ) 】中给出的粒子能级满足一个关 于h 函数的无穷极限的等式本章的所有结果都包含标准量子力学中的情形作为特殊 情况 更进一步，利用量纲分析法，我们给出分数阶量子力学的一个未定参数d q 的一 种具体数学表达式随后，画出两幅图像来展示a ( 1 q 2 ) 的变化对线性势以及6 山东大学博士学位论文 势阱中的粒子波函数的影响这里q 是空间分数阶薛定谔方程的阶数，也代表l 6 v y 类 量子力学路径的分形维数通过观察这些图像，我们发现q 越小，线性势下粒子的波 函数振荡越快，其振幅越大周期越短，而6 势阱中粒子的波函数衰减越快 在第三章中，通过研究空间分数阶薛定谔方程，可得出一个结论；在求解分数阶 量子力学中的分数阶薛定谔方程时，应该考虑波函数的一种分数阶导数的连续性或者 间断性条件，这如同在标准量子力学中考虑波函数的1 阶导数的连续性或者间断性条 件来求解标准薛定谔方程这种分数阶导数的定义为k = ( 一h 2 a ) 口2 _ 1 v 如果势函 数在任何固定区域内取有限值，则k ( z ) ( ( z ) 表示波函数) 处处连续；如果势函数 在某些点为无穷，则只要波函数在这些点的一个小邻域内非零珑( z ) 就在这些点处 间断由此结论出发，我们研究了有限方形势场，周期性势场以及6 势中粒子满足的 分数阶薛定谔方程 在标准量子力学中，研究有限方形势场时，仅能分别得到一种奇字称态和偶宇称 态波函数但在分数阶量子力学中，我们分别得到两种类型的奇偶宇称态这些波函 数的叠加又可以构造更多的具有奇偶宇称的波函数与这些波函数相应的能量方程也 被导出，并利用图解法进行求解 我们验证了分数阶量子力学中有关周期势场的b l o c h 定理的正确性，其与整数阶 量子力学中的b l o c h 定理具有相同的形式，并证明出分数阶量子力学中周期势场中粒 子能级也具有“能带结构”在研究“能带结构”时发现，当周期势场下的分数阶薛定 谔方程具有不止一个相互线性无关的实根时，波函数的一阶导数是不连续的 我们给出6 势中粒子波函数的分数阶导数需满足的跳跃( 间断性) 条件借助于 此条件，研究了几种6 势场。对6 势阱的研究得到粒子波函数的另外一种以初等函数 表述的表达式，这个表达式比第二章给出的h 函数形式的表达式更实用更有效我们 还研究了粒子贯穿6 势垒以及分数阶概率流密度的问题并得出结论：尽管k 咖( z ) 在原 点处间断，概率流密度函数仍然处处连续在本章最后，我们研究了d i r a c 梳，并在图 3 3 中展示了粒子能量的能带结构，观察图形可知参数q 对能带结构的影响：q 愈大， 各个能带愈窄 第四章基于l a s k i n 的空间分数阶薛定谔方程建立了一种包含时间c a p u t o 导数和 空间r i e s z 量子分数阶导数的时空分数阶薛定谔方程。这个新的时空分数阶方程为 ( 危) d p tg ) ( x ，t ) = 残砂( z ，) ， 这里 齐p， 线= 南( d n ( - n 2 x ) q 2 + y ( z ，亡) ) j ； 本章我们用这个新方程研究了与时间无关的势场下时空分数阶量子体系中的时间演化 规律，分别就时间分数阶导数在0 到l 之间以及l 到2 之间两种情况进行了讨论对 山东大学博士学位论文 这个时空分数阶薛定谔方程进行变量分离得到一个空间方程和一个时间方程，再分别 求解这两个方程可得原方程的通解，该个通解由一些振荡项和一些衰减项组成 利用分数阶算子的性质，我们研究了时空分数阶量子体系中的非马尔可夫时间演 化规律：导出了力学量的时间演化公式，并证明了时空分数阶量子体系中不存在守恒 量，还给出了一种m i t t a g - l e f f l e r 型的波函数时间演化算子，然后建立了包含分数阶算 子的h e i s e n b e r g 方程所有这些结果都是标准量子力学的推广 在分析当时间趋于无穷时粒子总概率和能级的极限时，发现这些极限值不仅与时 间导数的阶数有关，还与空间方程的本征值的符号( 正或者负) 有关当空间方程的本 征值为正数时，总概率和能级的具有有限的极限值，而且总概率极限值可能大于或者 小于1 ，这表明，由时空分数阶薛定谔方程描述的量子体系中概率不守恒，势场可能释 放或者吸收粒子，但这种释放或者吸收的行为越来越弱，以至整个量子系统最终能达 到一些具有非零总概率和非零能级的稳定状态进一步研究表明，当0 p 1 ( p 表 示时间分数阶导数的阶数) 时，总概率的时间极限必为非零有限值，而当1 2 时 在某些特殊情况下( 可参考本文第6 0 页4 4 中的一些结论) 可能为零因此，当空间 方程的本征值为正，只有1 p 2 时，时空分数阶量子体系中的粒子才有可能完全 被势场吸收当空间方程的本征值为负数时，若0 p 1 则总概率和能级的时间极 限均为零，意味着粒子最终完全被势场吸收；若1 p 2 ，则它们的极限值为无穷， 表明此时势场始终释放粒子，从而导致量子体系不可能达到稳态 从上述结论可以看出，所有时间分数阶量子体系的基本特征是概率不守恒，无论 空间项是否为分数阶换句话说，在薛定谔方程中引入时间分数阶导数会导致概率不 守恒 关键词：分数阶微积分；量子力学；分数阶薛定谔方程；非马尔可夫时间演化 山东大学博士学位论文 f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n st of r a c t i o n a l q u a n t u mm e c h a n i c s j i a n p i n gd o n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 10 0 ) s u p e r v i s o r ：p r o f m i n g y ux u a bs t r a c t t h ep a p e rf o c u s e so nf r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n st of r a c t i o n a lq u a n t u mm e - c h a n i c s i ti sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rc o n t a i n sab r i e fi n t r o d u c t i o nt o f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n ds o m ee l e m e n t a r yk n o w l e d g e t h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e r sd e a lw i t h t h es p a c ef r a c t i o n a lq u a n t u ms y s t e md e s c r i b e db yas p a c ef r a c t i o n a ls c h r 6 d i n g e re q u a t i o n i nt h el a s tc h a p t e r , s o m ep r o p e r t i e so ft h es p a c e t i m ef r a c t i o n a lq u a n t u ms y s t e md e s c r i b e d b yas p a c e t i m ef r a c t i o n a ls c h r 6 d i n g e re q u a t i o na r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r ya n dt h ed e v e l o p m e n to ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a - t i o n si si n t r o d u c e d w ea l s oi n t r o d u c es o m ek i n d so ff r a c t i o n a lo p e r a t o r s ，s u c ha sr i e m a n n l i o u v i l l e ，c a p u t oa n dr i e s zf r a c t i o n a lo p e r a t o r s a d d i t i o n a l l y , s o m es p e c i a lf u n c t i o n s ， w h i c ha r et h ee l e m e n t a r ys o l u t i o n so fm a n yf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a r es h o w n w ep r e s e n tt h em i t t a g l e f f l e rf u n c t i o na n dg e n e r l i z e dm i t t a g l e f l t e rf u n c t i o ni nt w o ，t h r e e a n df o u rp a r a m e t e r s m o r e o v e r , w eg i v et h ed e f i n i t i o na n ds o m ep r o p e r t i e so ft h ef o xh f u n c t i o n ，w h i c hi n c l u d e sn e a r l ya l lt h es p e c i a lf u n c t i o n so c c u r r i n gi na p p l i e dm a t h e m a t i c s a n ds t a t i s t i c sa si t ss p e c i a lc a s e s ，s u c ha sm i t t a g l e f f l e rt y p ef u n c t i o n ，g e n e r a l i z e dh y p e r g e o m a t r i cf u n c t i o n ，g e n e r a l i z e db e s s e lf u n c t i o n ，m e i j e r sg f u n c t i o na n ds oo n i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eo n e d i m e n s i o n a ls p a c ef r a c t i o n a ls c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t h l i n e a rp o t e n t i a l ，d e l t a - f u n c t i o np o t e n t i a la n dc o u l o m bp o t e n t i a l w i t ht h eh e l po ff o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ，t h es p a c ef r a c t i o n a ls c h r 6 d i n g e re q u a t i o nu n d e rm o m e n t u mr e p r e s e n t a t i o n i so b t a i n e d b yu s eo fm e l l i nt r a n s f o r ma n di t si n v e r s et r a n s f o r m ，w eo b t a i nt h ee n e r g yl e v e l s a n dw a v ef u n c t i o n se x p r e s s e di nh - f u n c t i o nf o ra p a r t i c l ei nl i n e a rp o t e n t i a lf i e l d t h ew a v e f u n c t i o ne x p r e s s e da l s ob yh f u n c t i o na n dt h eu n i q u ee n e r g yl e v e lo ft h eb o u n ds t a t ef o r t h ep a r t i c l eo fe v e np a r i t ys t a t ei nd e l t a f u n c t i o np o t e n t i a lw e l l ，w h i c hi sp r o v e dt oh a v en o a c t i o no nt h ep a r t i c l eo fo d dp a r i t ys t a t e ，i sa l s oo b t a i n e d t h ei n t e g r a lf o r mo ft h ew a v e f u n c t i o n sf o rap a r t i c l ei nc o u l o m bp o t e n t i a lf i e l di ss h o w na n dt h ec o r r e s p o n d i n ge n e r g y x 山东大学博士学位论文 l e v e l sw h i c hh a v eb e e nd i s c u s s e di nl a s k i n sp a p e r p h y s r e v e6 6 ，0 5 610 8 ( 2 0 0 2 ) 】a r e p r o v e dt os a t i s f ya l le q u a l i 哆o fi n f i n i t el i m i to fh f u n c t i o n a l lo ft h e s er e s u l t sc o n t a i nt h e o n e so ft h es t a n d a r dq u a n t u mm e c h a n i c sa st h e i rs p e c i a lc a s e s f u r t h e r m o r e ，b ym e a n so fd i m e n s i o n a la n a l y s i s ，w eg i v eas p e c i f i cm a t h e m a t i c a le x - p r e s s i o nf o r t h eu n d e t e r m i n e dc o n s t a n td 口i nf r a c t i o n a lq u a n t u m m e c h a n i c s t h e nw ep l o t t w of i g u r e st os h o wt h ee f f e c t ，o ft h ec h a n g i n go fq ( 1 n 2 ) w h i c ha l s od e n o t e st h e f r a c t a ld i m e n s i o no f t h el e v y - l i k eq u a n t u mm e c h a n i c a lp a t h ，o nt h ew a v ef u n c t i o n so f ap a r - t i c l ei nl i n e a rp o t e n t i a lf i e l da n d & p o t e n t i a lw e l l ，r e s p e c t i v e l y w ef i n dt h a tw h e nqt a k e sa s m a l l e rv a l u e ，t h ew a v ef u n c t i o nf o rt h el i n e a rp o t e n t i a lo s c i l l a t e sm o r er a p i d l yw i t hh i g h e r a m p l i t u d ea n ds h o r t e rp e r i o d ，a n dt h ew a v ef u n c t i o nf o rt h e & p o t e n t i a lw e l ld e c r e a s e sm o r e r a p i d l y i nc h a p t e r3 ，w ef i n dt h a tt h ec o n t i n u i t yo rd i s c o n t i n u i t yc o n d i t i o no f af r a c t i o n a ld e f i v a - t i v e ，d e f i n e db y 屹= ( 一h 2 a ) n 2 一v ，o f t h ew a v ef u n c t i o n ss h o u l db ec o n s i d e r e dt os o l v e t h ef r a c t i o n a ls c h r o d i n g e re q u a t i o ni nf r a c t i o n a lq u a n t u mm e c h a n i c s ，j u s ta st h ec o n t i n u i t y o rd i s c o n t i n u i t yo ft h e1 s t o r d e rd e r i v a t i v eo ft h ew a v ef u n c t i o n si so f t e nu s e dt os o l v et h e s t a n d a r ds c h r s d i n g e re q u a t i o ni ns t a n d a r dq u a n t u mm e c h a n i c s i ft h ep o t e n t i a lf u n c t i o ni sf i - n i t ei na n yf i x e dr e g i o n ，1 五( z ) ( 矽( z ) d e n o t e st h ew a v ef u n c t i o n ) i sc o n t i n u o u se v e r y w h e r e ， b u ti f t h ep o t e n t i a lf u n c t i o ni si n f i n i t ea ts o m ep o i n t s ，屹( z ) i sd i s c o n t i n u o u sa tt h e s ep o i n t s a sl o n ga st h ew a v ef u n c t i o ni sn o tz e r oi nt h ev i c i n i t yo ft h ep o i n t s a c c o r d i n gt ot h e s e sc o n c l u s i o n s ，t h es p a c ef r a c t i o n a ls c h r o d i n g e re q u a t i o n sw i t haf i n i t es q u a r ep o t e n t i a l ，p e r i o d i c p o t e n t i a l ，a n dd e l t a - f u n c t i o np o t e n t i a la r e s t u d i e d i ns t a n d a r dq u a n t u mm e c h a n i c s ，t h e r ei so n l yo n ek i n do fe v e no ro d dp a r i t ys t a t ef o r af i n i t es q u a r ep o t e n t i a lw e l t h o w e v e r , w eo b t a i nt w ok i n d so fw a v ef u n c t i o n sf o re a c ho f t h ep a r i t ys t a t e sf o rf r a c t i o n a lq u a n t u mm e c h a n i c s t h ee n e r g ye q u a t i o n sf o rt h e s es t a t e sa r e a l s oo b t a i n e da n ds o l v e dg r a p h i c a l l y b l o c k st h e o r e mf o rf r a c t i o n a lq u a n t u mm e c h a n i c sw i t hp e r i o d i cp o t e n t i a lf i e l d si so b - t a i n e da n dt h ee n e r g yf o rt h ep e r i o d i cp o t e n t i a le x h i b i t sa b a n ds t r u c t u r e j u s ta sw i t h s t a n d a r dq u a n t u mm e c h a n i c s w h e ns t u d y i n gt h ee n e r g yb a n ds t r u c t u r e ，w ef i n dt h a t ，t h e 1 s t o r d e rd e r i v a t i v eo ft h ew a v ef u n c t i o ni sn o tc o n t i n u o u sw h e nt h e r ei sm o r et h a no n e l i n e a r - i n d e p e n d e n tr e a ls o l u t i o nt ot h ef r a c t i o n a ls c h r s d i n g e re q u a t i o nf o rp e r i o d i cp o t e n t i a l t h ej u m p ( d i s c o n t i n u i t y ) c o n d i t i o nf o rt h ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v eo ft h ew a v ef u n c t i o n o ft h e & p o t e n t i a li sg i v e n w i t ht h eh e l po ft h ej u m pc o n d i t i o n ，w es t u d ys o m ek i n d so f g - p o t e n t i a lf i e l d s f o rt h e & p o t e n t i a lw e l l ，a na l t e r n a t ee x p r e s s i o no ft h ew a v ef u n c t i o n ，i n x l 山东大学博士学位论文 t e r m so f e l e m e n t a r yf u n c t i o n s ，i sd e r i v e d i ti sm o r eu s e f u la n de f f i c i e n tt h a nt h a ti nt e r m so f hf u n c t i o ng i v e ni nc h a p t e r2 t h e n ，t h ep r o b l e mo fa p a r t i c l ep e n e t r a t i n gt h r o u g had e l t a - f u n c t i o np o t e n t i a lb a r r i e ra n dt h ef r a c t i o n a lp r o b a b i l i t yc u r r e n td e n s i t yo f t h ep a r t i c l ea r ea l s o d i s c u s s e d w ep r o v et h a tt h ef r a c t i o n a lp r o b a b i l i t yc u r r e n td e n s i t yi sc o n t i n u o u se v e r y w h e r e e v e nt h o u g h 坛( z ) i sd i s c o n t i n u o u sa tt h eo r i g i n a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r ，w es t u d yt h e d i r a cc o m b ，a n dt h ee n e r g yb a n ds t r u c t u r ef o rt h ed i r a cc o m bi ss h o w ni nf i g u r e3 3 ，f r o m w h i c hw ec o m et oac o n c l u s i o nt h a tt h ea d m i t t e de n e r g yr e g i o n sg e tm o r en a r r o wf o rl a r g e r a i nc h a p t e r4 ，w ed e v e l o pas p a c e t i m ef r a c t i o n a ls c h r r d i n g e re q u a t i o nc o n t a i n i n gc a - p u t of r a c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dt h eq u a n t u m r i e s zf r a c t i o n a lo p e r a t o rf r o mt h es p a c ef r a c t i o n a l s c h r f d i n g e re q u a t i o ng i v e nb yl a s k i n t h en e ws p a c e t i m ef r a c t i o n a ls c h r r d i n g e re q u a t i o n i sg i v e n b y ( i h ) p d a t 矽( x ，t ) = 祝砂( z ，亡) ， w h e r e 幺口 残= 瓷( d q ( 一无2 ) a 2 + y ( z ，) ) 。p 1 p b y u s eo f t h en e w e q u a t i o nw es t u d yt h et i m ee v o l u t i o nb e h a v i o r so f t h es p a c e t i m ef r a c t i o n a l q u a n t u ms y s t e mi nt h et i m e - i n d e p e n d e n tp o t e n t i a lf i e l d sa n dt w oc a s e st h a tt h eo r d e ro ft h e t i m ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v ei sb e t w e e nz e r oa n do n ea n db e t w e e no n ea n dt w oa r ed i s c u s s e d r e s p e c t i v e l y t h es p a c e - t i m ef r a c t i o n a ls c h r f d i n g e re q u a t i o nw i t ht i m e i n d e p e n d e n tp o t e n t i a l si sd i v i d e di n t oas p a c ee q u a t i o na n dat i m eo n e ag e n e r a ls o l u t i o n ，w h i c hi sc o m p o s e d o fo s c i l l a t o r yt e r m sa n d d e c a yo n e s ，i so b t a i n e d w i t l lt h eh e l po ft h ep r o p e r t i e so ff r a c t i o n a lo p e r a t o r s ，w e s t u d yt h et i m ee v o l u t i o nl a w s o ft h es p a c e - t i m ef r a c t i o n a lq u a n t u ms y s t e m t h et i m ee v o l u t i o nf o r m u l a so fm e c h a n i c a l q u a n t i t i e sa r eo b t a i n e da n df r o mt h e mw ef i n dt h a tt h e r ei sn oc o n s e r v a t i v em e c h a n i c a lq u a n t i t i e so f m o t i o nf o rt h es p a c e - t i m ef r a c t i o n a lq u a n t u m s y s t e m am i t t a g - l e f f l e rt y p eo f t i m e e v o l u t i o no p e r a t o ro fw a v ef u n c t i o n sa n dah e i s e n b e r ge q u a i o n c o n t a i n i n gf r a c t i o n a lo p e r a t o t sa r ea l s og i v e nb yu s a l lo ft h e s er e s u l t sa r et h eg e n e r a l i z a t i o no ft h o s ei nt h es t a n d a r d q u a n t u mm e c h a n i c s o n s t u d y i n gt h et i m ee v o l u t i o no f t h es p a c e - - t i m ef r a c t i o n a lq u a n t u ms y s t e mi nt h et i m e - i n d e p e n d e n tp o t e n t i a lf i e l d s ，w ef i n dt h a tt h et i m ee v o l u t i o np r o p e r t i e so ft h eq u a n t u ms y s t e m n o to n l yd e p e n do nt h eo r d e ro f t i m ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，b u ta l s oa r ea f f e c t e db yt h es i g no f t h ee i g e n v a l u eo ft h es p a c ee q u a t i o n w h e nt h ee i g e n v a l u eo ft h es p a c ee q u a t i o ni sp o s i t i v e ， t h et o t a lp r o b a b i l i t ya n dt h ee n e r g yl e v e l sr e a c hs o m el i m i t i n gv a l u e sa st i m ee v o l u t e sa n d 山东大学博士学位论文 t h el i m i t i n gv a l u eo ft h et o t a lp r o b a b i l i t ym a yb el e s so rg r e a t e rt h a no n e ，w h i c hm e a n st h e p o t e n t i a lm a ya b s o r bo rr e l e a s ep a r t i c l e sb u tt h ea b s o r b i n go rr e l e a s i n gb e h a v i o rb e c o m e s w e a k e re n o u g ha st i m ep r o g r e s s e ss ot h a tt h eq u a n t u m s y s t e ma p p r o a c h e ss o m es t e a d ys t a t e s w i t hf i x e dn o n z e r o p a r t i c l ep r o b a b i l i t ya n de n e r g yl e v e l s m o r e o v e r , t h el i m i t i n gv a l u eo f t h et o t a lp r o b a b i l i t yc a nn e v e rb ez e r ow h e n0 p 1 ( p d e n o t e st h eo r d e ro ft h et i m e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，a sm e n t i o n e db e f o r e ) b u tm a y b ez e r ow h e n1 口 2i ns o m es p e c i a l c a s e s ( s e et h ec o n c l u s i o n sg i v e ni ns e c t i o n 4 4 ，o np a g e6 0o ft h i sp a p e o t h e r e f o r e , w h e n t h ee i g e n v a l u eo ft h es p a c ee q u a t i o ni sp o s i t i v e ，o n l yf o r1 p 2 ，t h e p a r t i c l e si nt h e s p a c e t i m ef r a c t i o n a lq u a n t u ms y s t e mm a yb ea b s o r b e dc o m p l e t e l yb y 场ep o t e n t i a l 辑仍e n t h ee i g e n v a l u eo ft h es p a c ee q u a t i o ni sn e g a t i v e ，t h et i m el i m i t so f t h et o t a lp r o b a b i l i t ya n d t h ee n e r g yl e v e l sa r ez e r o sw h e n0 p 1 o ri n f i n i t i e sw h e n1 p 2 ，w h i c hm e a n s t h ep o t e n t i a la b s o r b sp a r t i c l e sc o m p l e t e l yw h e n0 口 1b u tr e l e a s e sp a r t i c l e sa l lt h et i m e w h e n1 0 ( 1 1 2 ) i ， 0 应用迭代关系 r ( z + 1 ) = z r ( z ) ， ( 1 1 3 ) g a m m a 函数可以被延扩到r e ( z ) 0 ) 定义如下 护州归杀p f ”q ) 弛) n - 1 o ) ( 1 1 7 ) 性质1 4 t 。d t o d f 卢，( ) = t 0 d x t - a f ( t ) ，( 入，p o ) ( 1 1 8 ) 特另d 的，对于入 0 ，t 0 d t x 幻d i - a y ( t ) = ，( 亡) 性质1 5 矧( 川】= 揣( 川妒， ( 1 1 9 ) 其中，p r 并且7 - 1 特别的，常数c 的r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数是 栅c = 禹，( 1 1 1 0 ) 却不是零。我们还应该注意到这个事实：分数阶微分方程丽d q ，( t ) = 0 ，( 0 q 0 阶c a p u t o 分数阶导数定义如下【3 】： 矧c