（应用数学专业论文）半不变量的概率组合性质.pdf

东北大学硕士学位论文 摘要 半不变量的概率组合性质 摘要 在概率论中，研究随机变量的数字特征十分重要。而随机变量的数字特征中，最常用 的数学期望和方差都是某种矩。矩( m o m e n t ) 是使用最广泛的一种数字特征，在概率论和 数理统计中占有重要地位。本文要讨论的半不变量( c u m u l a n t ) 是和矩同样重要的随机变 量的数字特征，它与矩可以相互表示，在某些场合使用它比使用矩来得更方便。 在概率论中，半不变量与特征函数、矩母函数有密切联系，随着组合数学的发展，发 生函数理论、分拆理论、哑算子理论等等都与半不变量联系起来，使得半不变量的组合性 质得到很大发展。半不变量，在组合数学和概率论之间架设了另一条联系纽带。组合数学 中有很多著名的组合数，能否借助半不变量找到其中一些数的概率背景呢? 本文试图进行 这方面的探讨。 本文首先介绍了半不变量的定义及性质；在第二章讨论了半不变量的组合性质；在第 三章针对几个概率论中最常见也是最重要的几个分布，讨论其矩和半不变量以及组合数 的联系：第四章介绍半不变量的几个简单应用和遗留问题。 关键词：半不变量：矩：发生函数；特征函数 一i l 查些垄兰壁主兰堡丝圭垒璺! ! ! 翌匹l t h e p r o b a b i l i s t i ca n d c o m b i n a t o r i a l c h a r a c t e r i s t i c so ft h ec u m u l a n t s a b s t r a c t i np r o b a b i l i t yt h e o r y , i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h ef i g u r ec h a r a c t e r i s t i c so ft h er a n d o m v a r i a b l e t h em a t h e m a f i c a l e x p e c t a t i o n ， v a r i a n c e ， w h i c h a r et h e f i g u r e c h a r a c t e r i s t i c sw eo f t e nu s e ，a r ea l lc e r t a i nam o m e n t t h em o m e n ti so n eo ft h em o s t e x t e n s i v e f i g u r ec h a r a c t e r i s t i c si nu s a g e ，o c c u p y i n gt h ei m p o r t a n tp o s i t i o n i np r o b a b i l i t y t h e o r ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s t h ec u m u l a n tt h a tt h i st e x tw a n tt od i s c u s si sa n o t h e rf i g u e c h a r a c t e r i s t i c so ft h er a n d o mv a r i a b l e ，w h i c hi sa si m p o r t a n ta st h em o m e n t t h ec u m u l a n t a n dt h em o m e n tc a nb ee x p r e s s e db ye a c ho t h e r i ns o m es i t u a t i o n s ，i ti sm o r ec o n v e n i e n tt o u s ec u m u l a nt h a nm o m e n t t h e r ei sc l o s ec o n t a c tw i t hc u m u l a n t s ，c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，m o m e n tg e n e r a t i n g f u n c t i o ni np r o b a b i l i t yt h e o r y w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s ，t h e c u m u l a n t sh a sr e l a t i o n sw i t hg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，p a r t i t i o nt h e o r y , u m b r a lc a l c u l u s ，a n ds oo n b yc u m u l a n t s ，w ec a r lc r e a t ear e l a t i o n s h i pw i t hc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c sa n dp r o b a b i l i t y t h e o r y t h e r ea r es o m ef a m o u sc o m b i n a t o r i a ln u m b e r si nc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s ，w et r y t og i v et h e mp r o b a b i l i s t i ei n t e r p r e t a t i o n s i nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p t i o na n dc h a r a c t e r i s t i c so ft h ec u m u l a n t ；in c h a p t e r2w ed i s c u s ss o m ec o m b i n a t o r i a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h ec u m u l a n t s ；i nc h a p e r3w e d i s c u s st h er e l a t i o no ft h em o m e n t ，c u m u l a n ta n ds o m ec o m b i n a t o r i a ln u m b e r sb ys t u d ys o m e s i m p l eb u ti m p o r t a n td i s t r i b u t i o n s i n p r o b a b i l i t y ；i nt h el a s tc h a p e rw ei n t r o d u c es o m e a p p l i c a t i o n so ft h ec u m u l a n t sa n ds o m eq u e s t i o n sc a nb ed i s c u s s e df u r t h e r k e yw o r d s ：c u m u l a n t ；m o m e n t ；c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：训立士 日期：矽菇另， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名：否则视为同意。) 学位论文作者签名：磊1 壶壬 、 签字日期：；，3 导师签名：打刁 签字日期k ，衫；= ； i - 东北大学硕士学位论文 第一章半不变量的定义及性质 第一章半不变量的定义及性质 1 1 引言 1 9 世纪，是正态分布在统计学中占统治地位的时代当时l a p l a c e 极限定理和 g a o s s 正态误差理论十分流行1 9 1 0 年，查利尔在统计数据中观察到与正态的偏离，但 由于数据量不够多而来引起人们的重视一直到1 9 世纪后期，数据与正态拟和不好的 情况越来越为人所注意，有人开始研究“偏态数据”的分布问题当时的出发点主要有 两个： ( 1 ) 从测量误差的角度看； ( 2 ) 从一般的统计数据( 如一群人身高的值) 角度看 ( 注：1 9 世纪，误差分析和统计学被视为两个不同的领域而现在不再区别“观察 数据”( 对一个对象的重复测量值) 与“统计数据”( 一些不同对象的测量值) ，而是 和二为一，处理上述两个问题的统计学原理方法一致) 从第一种观点出发研究此问题的先驱是格兰姆( 1 8 7 9 ) 和齐勒，后者在1 9 0 3 年出 版了观察值的理论一书，其中引进了“半不变量”这个在统计学中有一定重要意义 的统计量( 当时他们称之为h a l f - i n v a r i a n t s ) 他们的做法是把随即误差x 的分布表 达成一个级数，其第一项为正态分布，以后的项则视为由盖的非正态性而带来的修正查 利尔在1 9 0 5 年发表论文指出： 令x - x l + + z 。z j 属于某一分布，将z 标准化( 期望为0 方差为1 ) ，得 到的密度函数f ( x ) 和分布函数f o ) 分别展开成级数形式 ，o ) 一甲o ) + z 4 妒。f ! ，o ) - o + 4 蕾o ) f f 式中级数称为格兰姆一查利尔级数 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中，妒，o 分别是标准正态分布( o ，1 ) 的密度函数和分布函数，c p ( n ，o ( ) 分别是 其f 阶导数，系数4 可以通过z 的半不变量( 因而由矩) 表出，最初几个系数是： a i ( - 1 ) ，q ，i 一3 ，4 , 5 ， 这里n 为i 阶半不变量 a 6 - f 6 + l o x 3 2 1 东北大学硕士学位论文 第一章半不变量的定义及性质 现在，上述级数被埃其渥斯在1 9 0 5 年的一篇论文中提出的“埃其渥斯展开级数” 所代替： 令x ；x 1 + + x 。，x j 独立同分布， 按中心极限定理，z 标准化的分布当n 很大时应接近正态，即( 1 1 ) ，( 1 2 ) 展开式 中系数4 ( f 3 ) 应随n o 。而趋于0 ，改造如下： 曲 一二 日_ 西+ 荟“2 q ， q 3 一与n 有关，q ，0 ) 是3 ，0 4 中某些个的线性组合，其系数不依赖n 啪，- c - 1 ) ，亿驱r 裁器j k m 筹， 其中s 一七l + k 2 + + 七r ，b 。- 2exi j _ l 其中求和对方程七1 + 2 k 2 + + r k ，一，的所有非负整数解( 七1 七2 七，) 进行 对( 1 3 ) 式，不是考察级数的收敛性，而是指：若右面的级数取m 项，即用 m 一三 已 ) - m ) + h2 q ，o ) r - 1 作为b 的近似，误差属于o ( n2 ) 的数量级 上述问题在独立同分布随机变量之和的中心极限定理中表述很多 在1 9 3 1 年，伟大的统计学家r o n a l df i s h e r 和j o h nw i s h a r t ( w i s h a r t 分布的以 其名命名) ，在伦敦数学协会发表一篇名为“t h ed e r i v a t i o no ft h ep a t t e r nf o r m u l a e o ft w o w a yp a r t i t i o n sf r o mt h o s eo fs i m p l e rp a t t e r n ”的文章中，第一次使用了 “c u m u l a n t s ”这个概念。 半不变量又叫积累量，它是矩的一种卷积在实际的生产中。多用于控制理论中， 相应的方法称之为半不变量法但在橇率论中。这个概念好像已经变得不是那么重要本 文试图从概率论的角度出发，结合组合数学的研究方法，研究半不变量的概率性质和组 合性质希望在概率和组合数学间用半不变量作为桥梁 r 。y 盘# 丽 一 东北大学硕士学位论文第一章半不变量的定义及性质 1 2 半不变量的定义及性质 1 2 1 半不变量的定义 “半不变量”是概率论中与数理统计中相当重要的一个概念，它与“矩”一样在理 论和实践中有着广泛的应用尤其在涉及独立同分布的随机变量之和的问题中，有时应 用起来更为方便。 定义1 1 ：设f 0 ) 为( 一* ，+ m ) 上的一个分布函数，称 f ( o - f s e l w d f ( x ) f ( 一* ，+ * ) 为f ( x ) 的特征函数如果f ) 是随机变量z 的分布函数。则有 1 ( 0 - e ( e i o ) 若x 是离散型随机变量，其分布列为 暖誓：) 则其特征函数为： ，( r ) 。e p i ， 若x 是连续型随机变量，其概率密度函数为p o ) ， 则其特征函数为： 厂o ) - e e 衙p o 遄 这时，特征函数，o ) 是概率密度函数p ) 的傅立叶变换 随机变量x 的矩定义为 e x 4 一j 0 “p 如逑 定理1 1 ( 唯一性定理) 随机变量z 的分布函数，o ) 由它的特征函数，( f ) 唯一 确定 定义1 2 设厂o ) 是随机变量z 的特征函数。z 具有整数阶矩 e l ( t ，k 。1 , 2 ，鼻， 令 h 一一1 万d kl n ，( f ) 】f 1 0 t 七虮 称k k 为随机变量x 的七阶半不变量 查! ! 垄兰堡主鲎堡垒查 苎= 烹至苎量竺查苎垒! ! ! l 由唯一性定理知随机变量x 的半不变量序列可以唯一地确定肖的分布。 1 2 2 半不变量的性质 由定义可知半不变量具有下列性质： 性质1 1麟。存在，则坼( fs k ) 存在 性质1 2r 1 一职，r 2 - 脚2 一) 2i 蹦，k 3 e 暖一肠) 3 证明：首先，特征函数具有性质，( ) ( o ) - i t e x 。 ( 腰存在) 因为 由于e x 存在，故 眵叫少 j | 七d f 。) ( * ，故可做下列积分号下的微分运算 ，p ) - ，万d k 眇妒一l 。j = ：x v “押 取f ，0 ，得，( 0 ) - f 膨a f ( x ) - f 。e x 黜 ”瞄”o o 馏。e x ； 专譬m 川】f 。新州巾) 】2 砉1 2 e x 2 _ i 2 ( 酬 - e x 2 帼) 2 l d x 而 茁3 - 矧一以) 3 同理可证 性质1 3( 形式同变性和形式不变性) 若宇- z + 6 ，b ，0 ，记事的| 阶半不变量为( 亭) ，则有 当k - i 时，( 亭) - ( z ) + 6 ，即研( 亭) - q 何) + b 当k ) 1 时， i c k ( 亭) - k k ( x ) 证明：当k 一1 时， k ，c 亭，【丢t n 如o ，】，。【丢h ，x + 。o ，】，- 0 一渺产川卜；渺汕， ，加 ( 同变性) ( 不变性) 东北走学硕士学位论文第一章半不变量的定义履性质 由唯一性定理知随机变量x 的半不变量序列可以唯一地确定五的分布。 1 2 2 半不变量的性质 因为 由定义可知半不变量是有下列性质 性质1 1 以存在，1 x i “s ) 存在 性质1 2 r 1 一e x ，r 2 - e x 2 一( 点x ) 2 d x ，k 3 e r e x ) 3 证明：首先，特征函数具有性质 ，( ) ( 0 ) - i k e x ( 髓存在) 由于e x 存在，故 l 箬 妇i 州 e h 抒o ) t * ，故可做下列积分号下的微分运算 ( f ) - ，簧妒m p e 哳。) 取f 0 ，得，( 0 ) 一f d a f ( x ) - i 。蹦 黜 ”嚣虬一篇- e x ； 弗m 删】f 。如咖2 】 - 砉1 2 e x 2 _ i 2 ( 脒) 2 】i 删2 一( 船) 2 。d x 而 i 3 e ( x 一朋，) 3 同理可证 f y 赏1 3 ( 形式| 司燹性和形式不变性) 若 - z ，6 ，0 ，记 的i 阶半不变量为( ) ，则有 当t - 1 时， ( ) - ( 置) + 6 ，即q ( 的- q 何) + 6 当 ，1 时- ( ) - ( x ) 证明：当k 1 时， 确c 勤i ；f 暑- n 蠡o ，】。；f 鲁，n 厶+ 。 ，i 。 _ ；渺一卜狰町叫，。 - ； 丢i n e ，o ， ，。- 丢“a t + - n ，o ， ，。 ( 同变性) ( 不变性) 东北大学硕士学位论文 第一章半不变量的定义及性质 。抄+ 粒h ，( f j ，柚嘶+ 6 当 1 时， 一耠n 叫。弗t l 。弗p 寸t = o 1 一d k 6 t + i n f ( t ) ) 】f 1 0 - o + 弗n ，。0 郴， 亭- a x + 6 ，亭的特征函数为e 脚f ( a t ) ，其膏阶半不变量为“( 亭) ，则 售) a k h ( z ) ，1 ) 鳓一l 叩 d ：1 n ( e i b t f ( a t ) ) 卜手防 蒡- n ， | 0 - o + 弗”l p 川】f o 一， 综合性质1 3 和1 4 。 令亭- a x + 6 ，即有 r 1 ( 亭) 一a k k l ( z )( 1 4 ) h ( 亭) - a k ( x ) ( 七 1 ) ( 1 5 ) 性质1 5 ( 可加性) x _ 亭+ ，7 ，亭与，7 独立，乓( f ) ，厶o ) 为各自的特征函数，( 宇) 与( 叩) 为各自 的半不变量，( k 阶矩存在) ，则 售+ 叩) - ( 亭) + h 国)( 1 6 ) 证明： f x ( t ) - 乓师o ) - ，亭( f ) 厶o ) ( 宇与町独立) 所以 i n 如9 ) 一i n 如p ) + i n f 口( t ) 故 啪。砉劳t 哪堠o n 删m 删 东北大学硕士学位论文 第一章半不变量的定义及性质 一专陪k 叫，。+ 陪町。虬 - 信) + 1 。k 伽) 此性质说明，两个独立随机变量之和的半不变量等于各自的半不变量之和并且可 以推广到有限个随机变量之和 正是由于这条性质，有了“半不变量”这一叫法 特别地，如果随机变量噩，x 2 ，x 。独立同分布，则置( f - l 2 ，n ) 的七阶半不 变量同为x k ( x 1 ) ，那么随机变量y 一z l 的七阶半不变量是x k ( y ) 一n r k ( x 1 ) 性质1 6 ，o ) 是某个分布的特征函数该分布存在n ( 正整数) 阶矩则当t 一0 时，有 l n 删- 窆鲁( f f ) + 。( 1 1 k i ”) - ( 1 7 ) = l n 借助泰勒公式， ，o ) - f ( x o ) + ，o o 沁+ + ，( o o ) 鲁+ d ( i z r ) 将i n ，o ) 形式地展成幂级数，有： 吖( t ) - i n f 和湖瑚+ + 告瞄町。0 卅哪 。荟静) ( 1 f 8 | ) 。 有了这个式子，我们就可以研究矩和半不变最之间的关系 1 3 半不变量和矩的关系 1 3 i 形式恒等式 ， + 薹等唧鼹0 s ， 这是一个形式恒等式 证明：借助泰勒公式，将，o ) 展成形式幂级数有 m 。，( o ) ( 咿- + f 学” 小薹华小薹等 东北大学硕士学位论文 第一章半不变量的定义及性质 椅i n ( f ) 彤瓦地展厩幂缴数，码 町m k 胁夸川k o + + 告净川 f - 0 + “。 一薹i c k ( i r ， 所以 + 薹等一p 鼢叫 、 ( i 8 ) 式确定半不变量和矩之间有着密切的联系，半不变量可以用矩表示为： 定理1 _ z ”七t ( 可。1 瞧毒等严 ( 1 。) 其中s - a i + a 2 + + a k ，式中求和对方程口1 + 2 a 2 + + k a i - k 的所有非负整数解 进行。 对于此结论，我们也可以从另一角度来说明 引理1 1 设函数_ ) ，- f ( x ) y i 铂z - g ( y ) 具t f n 阶导数，0 1 ) ，则由复合求导法则可 拶d n 占( ，o ) ) 】- ! 川。斑爿去告m 广 m n 其中，5 一口。，求和是对方程口l + 2 a 2 + + ，1 - 肛的所有非负整数解进行 研l 证明：首先， 【g ( ，o ) ) 】4 一g 。( ，) q ( ， 呶( ，8 ) c 。， ( $ ) 这里，j - 口。， a l + 2 口2 + + 弹口。一n g 是待定的系数 m - 1 其次，考虑正整数n 的无序分拆 a 月- n o 一1 ) 。2 a 2 1 。1 若定义从正整数”的无序分拆到复合函数高阶导数的映射f 嘶一( ，“) ) 唧 n 一映射，且s - 鲰是正整数 的无序分拆的个数 xol 已知( 术) 式对应方程 口月+ 伽一1 ) 口n i + + 2 a 2 + a 1i 抨 ( 料) 则此映射是一 型矿 d 一 东北大学硕士学位论文 第一章半不变量的定义及性质 即正整数h 的无序分拆数是方程( 料$ ) 的所有非负整数解( 口14 2 口。) 的个数 式( $ ) 的解之并口 a 1 + a 2 + + a - s 故( ) 式中求和就是对方程( $ ) 进行即方程( 木料) 有几个解，( 术) 式中求和就有几项 下面来看( 母) 式中系数c ， ( ) 式中每一项是 g ( ，) 4 1 ( ，”) 4 2 ( ，即) ， 因为 a 1 + a 2 + + a n - s ， a l + 2 a 2 + + h a i 弹 可认为a l , 4 2 ，口。的权分别是1 ，2 ，n ，找一个标号集( 12 疗) ，权i 以i 元数对标记 ，取“1 个，易知g 求导一次出现一个，现g ( f o ) ) 求导n 次，故( ，) q 的个数是 ( o n ) 。南 取完( ，) 4 1 ，方程知2 + 孙3 + + n 口。一，i 一口1 与之对应； 再看( ”) “，易知g 求导两次出现一个”，现掌( ， ) ) 求导n a 1 次，故顺序取完 后( ，”) 4 ：的个数是( 乘积项共口2 个) ( i 口1 ) ( ”一2 2 ) ( n 一：一4 ) 【万一口1 一；口2 1 ) 垒二! i ! ! 竺：! ! ：型尘= ! ! = 垫2 二必1 0 4 1 2 ) 1 2 1o - a i 一4 ) 1 2 1伽- a 1 2 a 2 ) 1 2 1 鱼：竺! 蔓 0 一a l 一孙2 ) ! ( 2 1 ) 口2 又式中( ，j ，) 4 2 与位置无关，故( ，勺口2 的个数应为石= i 当赢 取完( ，”) 8 2 ，方程3 口3 + + n a 。一一与之对应； 同理，( ，一) 口3 的个数为量! 旦l = 兰立生一 ( n a 1 2 4 2 3 a a ) ! ( 翌) a 3 4 3 1 ( ，( 一) 的个数为垒二生二丝互三二二尘型 饿0 1 ) 4 。! ( ) 式中系数 东北大学硕士学位论文 第一章半不变量的定义及性质 c s = 州 f h a o ( 丹一a j ) a j ( 11 ) q ( 强一a l - 2 a 2 ) ! ( 2 1 ) 屯a 21 2 五瓦2 i ii_j；杀all a = 刀：垂( 啬 q 上a f t11 4 1 啦州- 21 !譬l 州 即 l 竺= ! ! 二兰1 2 二：二生二1 2 鱼! o i ( 蹦) 4 拧口。! 故蝴堋= 刖门叫肭t 密( j ) 毋寺 等俄删刮剥刚斑文去告几，厂 月 其中，s = a 。，求和是对方程口l + 2 a 2 + + r a 。= 刀的所有非负整数解进行。 m = l 现由引理导出公式( 1 9 ) ： 令y = ，( x ) = ，( ，) ， g ( 力；l n y = l n f ( t ) ， 则 所以 即 l n f ( t ) l = k ! 掣a y 穗寺( 掣) 列壶去a m 塑m 1 “f ，( 例5描! 【 j 知舰科t ( - 1 ) s ( s - 1 ) ：丌文等卜 哪矿_ 1 ( 川) ! n 爿等 “贬k 曲s n 爿等 。7 1 尹d k 删瑚圳( - 1 ) s - l ( s - 1 ) ! 兀文等厂 东北大学硕士学位论文第一章半不变量的定义及性质 其中， ，求和是对方程口i + 2 a 2 + + k a t = k 的所有非负整数解进行 1 3 2 矩母函数与半不变量的发生函数 概率分币的半小燹量也可由f 列定义给出 定义1 3 矩母函数 假定f ( x ) 为随机变量z 的分布函数，如果期望e 如) = e e “d f ( x ) 至少在f 的某个 区间上存在，则称函数f , e 脒为随机变量x 及其分布f 的矩母函数当矩母函数存在时， 它唯一地决定分布函数第七阶矩剧t = 鲰= 簧e ( p 饼：。 若整值随机变量的矩母函数为g ( s ) ，那么它的特征函数，( ，) = g 0 “) 定义1 4 分布f 的半不变量由式 一p 塾钏 给出，其中k 。叫做随机变量x 及分布f 的第一阶半不变量 这里，r 。是l n e ( e ) 的级数展开式中_ f n 项的系数，所以。称矩母函数的对数 i n e ( e 晰) 为半不变量的发生函数 1 3 3 半不变量与矩之间的几个关系式 前面已经得到半不变量用矩表达为： 硼( - 1 ) 一( 删囊，习i 卜f - 万m ) 把( 1 9 ) 式写成行列式的形式即： i l ioo f 2l lo r 。= ( 一1 ) 4 ( 一一1 ) ! d e t f u 3 2 1 2 2 1 1 1 l 4 3 1 3 3 1 卢2 2 1 l 【 半不变量由矩表达的关系式还可写成递归形式： i o n = f i n - 烈n - i f n _ 1 户n 肌t 通过反演可得到 ( 1 1 2 ) 肼 口 。删 = s 东北大学硕士学位论文第一章半不变量的定义及性质 窖f n 一1 、 几2 乙i p 女r ”k t = 0 “ 这是用半不变量来表示矩的递归形式相应的封闭表达式为 舻删却。焉黑钒妒时 所以，第n 阶矩。是前一个半不变量的二项式型的多项式，这种表达是唯一的，从 ( 1 1 4 ) 式我们可以方便地写出前几个矩： 肌2 砷 2 = r 2 + h - 2 3 = q + 3 物q + r 4 = t 4 + 4 t c 3 x l + 3 r ；+ 6 心砰+ 砰 5 = 茁5 + 5 t 0 4 r 1 + 1 0 x 3 1 c 2 + 1 0 t c 3 t r 2 + 1 5 t c 2 2 x l + 1 0 x 2 r f + r f , u 6 = k 6 + 6 t c s x - i + 1 5 t c 4 s c 2 + 1 5 x 4 t r 2 + 1 0 x 2 + 6 0 1 c 3 x 2 t - - 1 + 2 0 k - 3 t c f + 1 5 t r i + 4 5 t c ；砰+ 1 5 x 2 x ：+ 1 c 6 关于( 1 1 4 ) 式我们将在第四章做更深入的讨论 1 1 东北大学硕士学位论文 第二章半不变量的组合性质 第二章半不变量的组合性质 2 1 分拆与关联代数 本章开始我们引入组合数学中的相关概念，我们发现，概率论中的半不变量与它们 有很密切的关系这样我们就可以借助组合数学中的方法来研究半不变量的性质注意 到组合数学中更多的联系到有关代数方面的知识，我们有必要用代数的语吉来重新叙述 半不变量的定义 2 1 1 分拆 定义2 1 正整数n 的一个分拆是n 作为称做部分的一个或多个难整数的无序和的 一种表示 由于部分和的顺序是不重要的，因此我们总可以排列这些部分使得它们的顺序从大 到小 正整数n 的一个分拆可以写成 a = n a n 2 a 2 l q 令p 。表示正整数，l 的不同的分拆数，则p 。等于方程 n a h + + 2 a 2 + l a i 。 1 的非负整数解 口。，a 2 ，a l 的个数 定义2 2 集合【”】= 1 ，2 ，m ) 的一个分拆叫做相连的，指的是如果没有适当的i n 】的子区间是 各块的并 不可约分的分拆是指分拆不能再被约分至子分拆也就是【疗】的分拆1 和 在同一个 相连的块中 分拆叫做不相交的是指分拆的各个块在图解中没有交叉也就是没有两个 不同的块b l 和口2 ，元素岛b e b ic ，d b 2 使得口 c b d 当然也可以说成如果 是一个分拆的相连部分由仅仅一块组成，则分拆是不相交的 用图来表示即 相连的 不可约分的 不相交的 图2 1 三种分拆的图表示 - 1 2 东北太学硕士学位论文第二章半不变量的组合性质 “ 下面我们给出几个记号：集合【，l 】 l ，2 ，n 的一个分拆的格记做r l 。，不可约分的 分拆的格记做i i ，相连的分拆的顺序理想记做l i 二d ”。不相交分拆的格记做c 。，不 可约分不相交分拆的予格记做 乒，区间分拆的格记做i 。即分拆的格完全包含区间 2 1 2 关联代数 下面我们用到有关偏序集和关联代数的概念r o t a 引入了偏序集上的递减关联代 数 定义2 3 设( | p ，匀是完全偏序集，在空间“p ) 上复值函数，( x ，y ) 由数对 ，y ) 满 足x y 确定( 三角矩阵) ，引入卷积( 三角矩阵乘法) ，g ( x 。y ) = f ( x ，z ) g t z ，y ) x 0 ) 用三。表示长度为疗的l u k a s i e w i c z 路，用印表示长度为珂的不能化简l u k a s i e w i c z 路l u k a s i e w i c z 路的个数由著名的c a t a l a n 数来记数 f l a j o l e t 公式把加权的m o t z k i n 路作的发生函数表示为连续的分式 定理2 6 f l a j o l e t 令 “= v p r ) f e “ 这里求和是对长度为刀的m o t z k i n 路万= 协( o ) 霈( 一) ) ，万( _ ，) 是第，步后的水平，路 的赋值是每一步的赋值的乘积 v 仞) = n x ，这里 v f = v ( 万。一1 ) 万( f ) ) = 口z ( 1 - 1 ) 如果第i i 步水平， f l 如果第步上升， l 如( h ) 如果第，步下降 2 0 东北大学硕士学位论文 第二章半不变量的组合性质 有连续的分式表达式 州j ) - _ 丁l l z - ( 2 - 1 5 ) 卜卜穗 定义2 1 3 正交多项式 正交多项式序列是首项系数为1 的一次多项式最以及多项式空间上的一个线性函 数以及矩 ”) = “，对系数j 。满足( p 。( x ) n 0 ) ) = 8 m 。j 。我们总是假设：1 ， 目p 4 x o ) = 1 容易看出这样的序列满足三项递归关系： 印。o ) = p 。l ( 力+ 口。p 。( 功+ p n - 1 ( x ) ( 2 1 6 ) 这里口。，厶是所谓的j a c o b i 参数，如；0 显然多项式n ( x ) ；罢牲满足正交条件， a * i 而 d 。( x ) = i 2 ： 1u h x i , t ol i i2 a 。= i ； i k 。l ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 是h 阶h a n k e ! 行列式 从算予理论来讲，与f l a j o l e t 公式能建立联系的最自然的途径是通过矩阵矩函 数的j a c o b i 矩阵模型为 - 2 1 h 一 声 。栅 = 0 m 心m悱 以； 东北大学硕士学位论文 第二章半不变量的组合性质 j = 口0 1 g c l l 如口2 1 也就是说，如果我们把向量空间的基记为e o , g l ，一，内积p 。，8 。) = 。s 。，那么 j e n = e n + l + 口h e ”+ 九e 月一t 。 可以看到只( ，) = ，所以j 满足( j ”p o ，即) = m 。 展开矩阵的幂得到 珊。= e s o ， b j i _ i , o ， ( 2 1 9 ) ，、如1 卸 由于是三角矩阵，这个和被l i j + l - i jl ；， 矗，& 。o 1 k i 0 这里只有当j i - 1 时巧0 其实，这就是格点路上的和只要按照矩阵元素 正，f + l 。1 ，瓦。i k = 。+ l 给。u k a s i e w i c z 路每一步赋权，就是( 2 2 0 ) 所以心；v ( 石) f 厶 ( 2 ) 对经典半不变量来说，f o c k 空间模型变成t 0 9 p li t z 模型令x 和d 分别是生 灭算子，满足规范和规则：【d ，x 】；l 即在h i l b e r t 空间上基e 。和内积和。，p 。) ；剐厶 令x e 一= p 州，d e h = e 州，记( 趵；( 死o ，口o ) 是空算予，即对v 胛0 ，( x k d 一) ；0 并且 c o ( f ( x ) ) = f ( o ) 那么 + 耋等x nn ；u 一 的f o u r i e r l a p l a c e 变换是 - 2 3 东北大学硕士学位论文第二章半不变量的组合性质 7 1 在基p 。下的就矩阵表示为 同理，通过求r 的矩得到 t =q 3 r 2q 4 a 。= v ( 疗) f e 工j | ( 3 ) 由定义可知矩可以用布尔半不变量表达成 心= h i 。h i 2 气 r = l + b 十+ l j 0 封 从定理2 6 可知实际上每个m o t z k i n 路有唯一的因式分解至不可约分的路故按( 2 2 3 ) 式赋权后，一定有h 。= v ( 石) # t 或者可以比较m 。) 2 f 焉：西和定理2 6 中的展开式，也能得到结论 推论2 4 对l u k a s i e w i c z 路，每一步赋权为 v ( m “) 剐川，k o ，或 v ( m 叫= 鲁，女o v ( y ，y + 1 ) = y + 1 ， v ( y ，y 十1 ) = 1 ， 则布尔半不变量可用自由半不变量或经典半不变量表达成 = v ( 厅) e 簖 推论2 5 标准正态分布的t o e p l i t z 模型中，因为砭= 1 ，f 。= 0 铆2 ) 所以丁： o1 lo2 l 03 _ 这是一个三角阵，它就是著名的h i l m i t e 多项式的j a c o b i 算子矩阵 2 4 ， b 一耐 脚 p 烈 = 、j 曲 “ q吃q一翟 矸q一烈h一引； 东北大学硕士学位论文 苎三主兰委壅兰堂垒全壑塑薹墨 第三章半不变量与组合数的关系 本章开始我们具体研究几个概率论中重要的分布，通过矩与半不变量，我们可以把 半不变量或矩和某些组合数建立联系，从而给出组合数的概率解释：而且，进一步利用 半不变量和矩的表达式，可以用概率的方法去证明一些组合数的恒等式 3 1 均匀分布的半不变量与b e r n o u l l i 数 考虑区间( 魏自) 上的均匀分布设随机变量x u ( a ，6 ) 。其概率密度函数为 p ( 蔗) = 了l 一 口 x 0 ，即x r ( a ，1 ) ，其分布函数为 2 8 东北大学硕士学位论文 第三章半不变量与组合数的关系 这里 眦钏= 如出= r 等，o y o o , r ( 口) = x - i e - , d x ， 其中p ( x ) 是随机变量x 的概率密度函数 随机变量x 的七阶矩为 f _ x = f x p ( x ) a x = 口( 口+ i ) ( 口一七+ 1 ) ，k o 所以，当彳r ( 1 ，1 ) 时，( 此时称随机变量x 服从指数分布) e r 。= 削，k 0 ( 3 1 0 ) 组合数学中的错排数定义为 d c 疗，= 州( - 一+ 虿1 一击+ + e t ，”去) ；珂! 砉c 一- ，击c 。， 现在我们抛开错排数的组合意义，用概率论方法来证明有关错排数d ( 疗) 的几个组合 公式 错排数d ( n ) 的概率解释为d 西) ：e ( x 1 ) 一，其中，随机变量，r o ，1 ) 这是因为 则8 ；石砉( 妒- ，卜副问e x “ ，2 褰c 一，丽看铆吐，! ；叫蠢c 一，击 所以 g ( x 1 ) ”= d ( n ) 随机变量f r ( a ，) 的特征函数为 朋= ( t 一圹 所以随机变量r ( 1 ，1 ) 的特征函数为 “，) = ( 1 一i t ) - ， 随机变量x 的半不变量的发生函数为 l n f ( t ) = 一l n ( 1 一i t ) ， 所以随机变量x 的k 阶半不变麓 驴m 虬 2 9 - ( 3 1 2 ) 东北大学硕士学位论文 第三章半不变量与组合数的关系 计算得 y t = ( 女一1 ) ! i = 1 ，2 ( 3 1 3 ) 设y = x 一1 ， 则d ( 以) = e y “设随机变量y 的k 阶半不变量为，则由半 不变量的性质1 3 有 1 = ，l 一1 = 0 ，k k = ，t = ( | 一1 ) ! ，k 2 ( 3 1 4 ) 利用半不变量与矩的关系式 e y ”= 黔j1 弘 一， ”= r 1 眇7 h 一 ，- o ， 可得( 设d ( 0 ) = 1 ) m ，2 黔n - i1 抄旷篁j = o 志将似咖州川，荟n - 2 警。 所以 d 伽+ 1 ) = 硝厶n - , 了d ( j ) 比较上面两个式子可得 螋一盟：d ( n - 1 ) 蹦 ( 力一1