（运筹学与控制论专业论文）本质连通区的存在性及其应用.pdf

贵州大学硕士学位论文 摘要 本论文进一步研究了统一的本质连通区存在性定理，并且还研究了一类广义 k k m 点集的稳定性全文共分为三章： 第一章，预备知识首先介绍了拓扑空间中集合间的h a u s d o r f f 距离和集合 的b a i r e 分类；其次介绍了k k m 引理和广义k k m 引理；最后介绍了单值映射 的半连续性以及集值映射的半连续性、闭性和紧性 第二章，本质连通区的存在性定理2 0 0 4 年，俞建等给出了一个统一的本 质连通区的存在性定理他们应用该定理，推出了不动点集、k yf a n 点集和n a s h 平衡点集等本质连通区的存在性在本章我们修改了他们的定理条件，得到了一 个新的统一的本质连通区的存在性定理并应用该定理推出了k k m 点集本质连 通区的存在性，同时也推出了k yf a n 点集、n a s h 平衡点集和不动点集本质连通 区的存在性 第三章，广义k k m 点集的稳定性我们给出了一类广义k k m 映射，并对 该广义k k m 点集的稳定性进行了研究所得结果包含了俞和向( 2 0 0 3 ) 的k k m 点集的稳定性的有关结果 关键词：h a u s d o r f f 距离；本质连通区；广义k k m 点；n a s h 平衡点；k yf a n 点 贵州大学硕士学位论文 s u m m a r y i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h eu n i f i e de x i s t e n c et h e o r e mo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t s a n dt h es t a b i l i t yo f g e n e r a l i z e dk k m p o i n t s i tc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s c h a p t e r l p r e l i m i n a r i e s f i r s t ，w e r e c a l ls o m en o t i o n sa n dr e s u l t si n c l u d i n g h a u s d o r f fd i s t a n c ea n db a i r e sc a t e g o r y s e c o n d ，w ei n t r o d u c ek k ml e m m aa n d g e n e r a l i z e dk k ml e m m a f i n a l l y , t h es e m i - c o n t i n u i t y , c l o s u r ea n dc o m p a c t n e s so f s e t - v a l u e dm a p p i n g sa r ei n t r o d u c e d c h a p t e r 2 u n i f i e de x i s t e n c et h e o r e mo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t s y ue ta 1 ( 2 0 0 4 ) g a v eau n i f i e de x i s t e n c et h e o r e mo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t sa n dd e d u c e db o t h t h e e x i s t e n c eo f e s s e n t i a lc o m p o n e n t so f t h es e to f f i x e dp o i n t sa n dt h a to f t h es e to f n a s h e q u i l i b r i u mp o i n t s i nt h i sc h a p t e r , w ei m p r o v es o m ec o n d i t i o n so ft h e i ru n i f i e d t h e o r e ma n do b t a i nan e wu n i f i e de x i s t e n c et h e o r e mo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t s a s a p p l i c a t i o n s ，w ed e d u c et h ee x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t so f t h es e to ft h ek k m p o i n t sa sw e l la st h ee x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o m p o n e n t so ft h es e to fk yf a n sp o i n t s ， n a s he q u i l i b r i u mp o i n t sa n df i x e dp o i n t sr e s p e c t i v e l y c h a p t e r 3 s t a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dk k mp o i n t s w ed e f i n eah n do fg e n e r a l i z e d k k m m a p p i n g sa n dd i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h e i rs o l u t i o n s o u rr e s u l t si n c l u d ey u a n dx i a n g ( 2 0 0 3 ) k e y w o r d s ：h a u s d o r f f d i s t a n c e ；e s s e n t i a lc o m p o n e n t s ；g e n e r a l i z e dk k mp o i n t s ；n a s h e q u i l i b r i u mp o i n t s ；k yf a n sp o i n t s 贵州大学硕士学位论文 前言 1 9 5 0 年，f o r t 为研究连续映射不动点的稳定性，引入了本质不动点的概 念因为不是所有连续映射都至少存在一个本质不动点，1 9 5 2 年，k i n o s h i t a 引 入了不动点集本质连通区的概念，并证明了对于任意将h i l b e r t 方体映入自身的 连续映射，其不动点集至少存在一个本质连通区1 9 5 1 年n a s h 首先引入了有限 n 人非合作对策的概念，并证明了平衡的存在性由于n a s h 平衡点的不唯一性， 对n a s h 平衡点的稳定性研究变得相当重要1 9 6 3 年，吴文俊和江嘉禾对有限n 人非合作对策首先引入了本质n a s h 平衡点的概念1 9 6 3 年，江嘉禾又对有限n 人非合作对策首先引入了n a s h 平衡点集的本质连通区的概念，并证明了对任何 有限n 人非合作对策，其n a s h 平衡点至少存在一个本质连通区在此基础上， 1 9 8 6 年，k o h l b e r g 和m e r t e n s 对n a s h 平衡点的稳定性进行了全面而深入的分析， 提出了这样的问题：一个稳定的n a s h 平衡应当满足哪些公认的条件? 这是公理 化的研究他们得出了结论：它是集值的，实际上这就是n a s h 平衡点集的本质 连通区更难能可贵的是，他们应用代数几何的方法证明了：任何有限n 人非合 作对策，其n a s h 平衡点集的连通区必为有限个，而至少有一个是本质的在研 究n 人有限非合作对策时，n a s h 分别应用b r o u w e r 不动点定理和k a k u t a n i 不动 点定理，证明了n a s h 平衡点的存在性从此，博弈论就逐渐与凸分析，集值映 射和不动点定理，一般地，与非线性分析的研究结合起来了 1 9 2 9 年波兰数学家k n a s t e gk u r a t o w s k i 和m a z u r k i e z 首先提出了k k m 引 理1 9 6 1 年美籍华人数学家f a nk y 将其推广到一般线性拓扑空间，这就是著名 的f - k k m 引理在数学研究的许多领域，k k m 引理有着重要的应用，不少学 者对k k m 引理进行了大量的研究，这些研究被称为k k m 理论或k k m 方法我 们知道：k k m 引理与b r o u w e r 不动点定理等价，但k k m 引理更为基础，在应 用方面比b r o u w e r 不动点定理更为有效 在本文第二章，我们给出了一个新的统一的本质连通区的存在性定理应 用本定理既推出了k k m 点集本质连通区的存在性，同时也推出了k yf a n 点集， n a s h 平衡点集和不动点集本质连通区的存在性在第三章，我们给出了一类广 义k k m 映射，并对该其广义k k m 点集的稳定性进行了研究 贵州大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 1i - i a u s d o r f f 距离 集合论是现代数学的基础，其中包含了极其丰富的内容本节只选择了与本 论文密切相关的两个方面作简单的介绍，主要包括集合间的h a u s d o r f f 距离以及 集合的b a i r e 分类本节中包含了若干引理，它们大多是很经典的结果( 可参见 【17 】 9 】 1 9 】 2 0 】 1 3 】【2 l 】【3 0 】) ，由于有些定理对本文的重要性，我们仍给出了证明 设( x ，d ) 为度量空间，4 ，b 是并的两个子集，x x ，通常地，点工到集合 a 的距离和集合一到丑的距离分别定义为： d ( x ，爿) 2 薯d ( x ，y ) ，d ( a ，曰) 2 簋b d ( y , z ) ， 但是这种定义并不能真正反映两个集合的“距离”，例如胙r ，a = ( o o ，o ) ， b = ( 0 ，+ o o ) ，d ( 4 ，b ) = 0 ，但这两个集合甚至没有公共点，且一个集合中的点到另 一个集合的距离可以无穷大，即这两个集合的“距离”并不好事实上，这种 定义并不满足距离公理，也就是说这种“距离”并不是真正意义上的距离为了 真正的反映集合间的接近程度，h a u s d o r f f 引进了一种满足距离公理、并以其名 字命名的距离 为介绍h a u s d o r f f 距离，我们先引进一些记号 设( x ，d ) 为度量空间，a 是x 一个子集，x x ，定义 d ( x ，a ) = i i l f d ，y ) v 五r + ，记兄+ a = 缸x ：d ( x ，a ) 0 ，3 m 0 ，当”，m m 时， h ( a 。，4 。) 4 2 “，记e ：o 爿，4 ： b 。，n a p e n n ，即4 k ( x ) ，要证 r a i n n = l ( 圈) ，日) 完备，只须证h ( 爿。，4 ) 哼o ，聍_ o o 即可 第一步：我们证明爿非空且当n m 时，以cs + 爿v n m ，固定 n v a 。以，所以h ( a 。，a ) 2 “1 ，所以ja 以十l ，使d ( a 。，口。“) 2 ”1 ， 同样因日( 以+ l ，a 。) d 2 “2 ，所以j a n + 2 a m ，使d ( 口。，口。) ， d ( a 舯，a 十女) d ( a 。+ j ，a n + j + 1 ) + d ( a 。+ j “，a n + j + 2 ) + + d ( 口。+ t l ，a 。+ t ) 4 2 ：。4 2 = 2 “导， 因此 口州) j 。是x 中的c a u c h y 列，因x 完备，所以存在口x ，使 a 专口，j 寺o o v m n ，a ua 。+ ，cua ，= b m ， 由m 的任意性知 1 5 一 口n 吃= a 所以a 非空，由前面知w n ，d ( a 。，口。) 要，从而 r a i l z d ( a ，a n ) d ( 口，口。，) + d ( a n + j , a n ) d ( a , a n + j ) + 要，令，斗。，贝o d ( c l , a n + j ) - 3 0 ，从而 d ( a ，a n ) 差，所以p ( a n 爿) 差 m 时，a ce + a 。a ： 0 4 。，v 玎m 由于 n = l m 5 n x 譬e = 型爿，所以3 m n 和靠a 。，使得d ( x ，) 要因为 m o h， 日( 以，以) 2 “差，所譬对于4 。存在e a n7 使d ( x m ，x n ) 2 5 为 一托刚映像，且对每一x x ，g ( x ) 是有限闭的( 即g ( x ) 与e 的任一有限维子 空间三的交l n a ( x ) ，按三中的e u c l i d 拓扑是闭的) 则集合族 g ( ：x z 具 有有限交性质 由引理1 2 - 2 可以推出下面的f k k m 引理 引理1 2 3 ( f - k k m 引理) ( 见 1 1 ) 设e 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 为 e 的非空子集，g ：x - - - 9 2 5 为k k m 映像，且对每一x x ，g ( x ) 是e 中的闭集， 且至少存在一x ，使得g ( ) 是e 中的紧集，则q g ( x ) 妒 1 9 8 1 年g w i n n e r 对f k k m 定理作了如下推广： 引理1 2 4 ( g w i n n e r 定理) ( 见 1 1 】) 设e 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 为e 的非空子集，g ：x j2 8 为k k i v l 映像，且满足下面条件： ( 1 ) 对每一石x ，g 是有限闭的； ( 2 ) 存在一x ，使得g ( x 。) 是e 中的紧集； ( 3 ) 对任一有限维截口d = x n f ，其中f 是e 中的任一包含的有限 维子空间，有 ( ng ( y ) ) n d = ( ng ( y ) ) n d y e d y e d 则n g ( x ) 艇j 由于k k m 理论在数学研究的很多领域有着重要的应用，虽然k k m 引理和 6 贵州大学硕士学位论文 b r o u w e r 不动点定理是等价性定理，但在某些情况下它比b r o u w e r 不动点定理更 为好用，所以吸引了很多人从事删理论和删技巧的研究，并且得出了很 多推广 定义1 2 2 设e ，f 是线性空间，x ，】，分别为e ，f 的非空子集，g ：x 一2 7 称为广义删映射，如果对任意的有限集扛。，x ：，x 。 c x ，存在与之相应的 有限集。，) ，2 ，y 。) c y ，使得对任意的子集 y ，y | 2 y k ) c y i ，y 2 ，j ，。 ， 1 _ j 行，有 ) ，h ，_ y 矿“y i k c m g ( x 。) c o 乩，y 矿) ，k ) 是 ) ， ，_ y j 2 ，托) 的凸包 注1 2 1 ：显然k k m 映射是广义k k m 映射，通过下面的例子我们可以知 道广义k k m 映射是k k m 映射的真推广 例2 1 1 见1 1 设e = ( o 。，+ o o ) ，x = 一2 ，2 】，设g ：x 斗2 7 是由下式定 义的映射， ) 【_ ( 1 + 了x 2 ) ，1 + 争，x x 因。l j 。g ( x ) = 【一詈，尹9 ，故当 _ 2 ，一j 9 ) u 哼9 ，2 】时，匹g ( ) ，所以 g ：x 一2 7 不是k k m 映射 下证g ：x - - f f2 7 是广义k k m 映射 事实上，对任意的有限集扛，x ：，o 。 c x ，取。，y ：，y 。) c 卜1 ，1 】，由于 ng ( x ) = 卜1 ，1 ，所以对。，y ：，y 。) 任意的子集n ，y 。，y 。) ，有 c o 龇，y m ，y m ) c 一1 ，1 - 。ng ( x ) c 。ug ( x o ) 结论得证 由下面两个定理我们可以推出一个广义k k m 定理 引理1 2 5 ( 见 1 1 】) 设e 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 为e 的非空子集， g ：x 一2 5 为一集值映像，且对每一x x ，a ( x ) 是有限闭的，则集合族 g ( x ) ：x x ) 具有有限交性质的充要条件是g ：x 呻2 5 为广义k k m 映射 贵州大学硕士学位论文 由引理1 2 5 可得到以下引理 引理1 2 6 ( 见 1 l 】) 设e 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 为e 的非空子集， g ：x 专2 5 为一集值映像，且对每一z x ，g ( x ) 是e 中的闭集，且至少存在 某一x ，使得- g ( x o ) 是e 中的紧集，则q g ( z ) 妒充要条件是g ：x - - 2 5 为 广义k k m 映射 很显然，f a nk y 的推广形式的删定理( 即f k a i m 定理) 是引理1 2 6 的特例下面我们给出广义k k m 定理的证明 引理1 2 7 ( 见 1 1 】) 设e 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，z 为e 的非空子集， g ：z _ 2 e 为一具有非空闭值的广义k k m 映射，如果存在一紧凸子集x oc x ， 使得旦g ( 力是e 的一紧子集，而且对任意的有限子集扛- ，x z ，一 c x n ( g ( x ) n k ) j e 其中x l = x o u x 1 ，x 2 ，x 。) ，k = c n ，贝un g ( x ) e 证明： 因g ：x 一2 5 为一具有非空闭值的广义k k m 映射，由引理1 2 5 知， g ( x ) ：石z 具有有限交性质，因蜀是z 中的紧凸子集，故对任一给定的 有限集扛，x 2 一n cx ， k = c o x 也是肖中的紧凸子集，令d = ，曼g ( z ) ，由 定理的假设条件知 n k n g ( 功) j e 于是有 n ( d n g ( x ，) ) = ng ( x ) = ) n k n g ( x ) 妒 t = lj t z e i 上式表明 d n g ( x ) ：x x ) 也具有有限交性质，因而d n g ( x ) ，x x 是紧集， 由紧集的性质知 n g ( x ) = d n ( ng ( x ) ) = n ( d n g ( x ) ) 痧 定理得证 作为以上定理的推论我们可以得到下述重要定理 贵州大学硕士学位论文 引理1 2 8 ( 见【1 l 】) 设e 是h a u s d o r f f 线性拓扑空间，x 为点的非空子集， g ：x 斗2 5 为一具有非空闭值的k k m 映射，如果存在一紧凸子集甄c z ，使 得ng ( x ) 庐是e 的紧子集，则 z e o n g ( x ) 1 3 集值分析 集值映射是本论文的基本研究工具之一，如文献 1 【2 【4 】【5 】 6 】 8 】【1 2 】【1 8 【2 3 本节主要介绍集值映射的极限和连续性 定义1 3 1 设x 为拓扑空间，x x 映射，：x 斗r ， ( 1 ) 如果v s 0 ，存在x 的一个邻域( x ) ，使当v x l ( x ) 时， f ( x ) 0 ，存在x 的一个邻域( x ) ，使当v x ( x ) 时， f ( x ) f ( x ) 一s ，则称厂在x 下半连续； ( 3 ) 如果厂在z 既上半连续又下半连续，则称厂在x 连续，即v 6 0 ，存在x 的邻域，使当v x ( z ) 时，八力一占 0 ，存在邻域n ( x ) 使v x ( x ) ， f ( x ) c u ( f ( x ) ，s ) 和f ( x ) c u ( f ( x ) ，s ) 同时成立，即日( f ( x ) ，f ( x ) ) 占； 1 2 贵州大学硕士学位论文 第二章本质连通区的存在性定理 2 0 0 4 年，俞等 1 5 】给出了一个统一的本质连通区的存在性定理 即如果一 个t l s c o 映射f 满足 1 5 1 0 ：给出的c 条件，则f ( x ) 必存在极小本质集和本质连通 区并且他们利用该定理证明了不动点集、n a s h 平衡点集等的极小本质集和本 质连通区的存在性由于c 条件要求x ，x ：是任意选取的，这使得在证明k k m 点集本质连通区的存在性时，不易找到c 条件中的在本节中我们将对【1 5 】 中的c 条件进行修改，得到一个新的统一的本质连通区存在性定理我们利用 该定理不仅证明了k k m 点集本质连通区的存在性定理，而且证明了k yf a n 点 集、n a s h 平衡点集和不动点集本质连通区的存在性定理本章的主要参考文献 有 4 1 0 1 4 1 5 1 6 2 5 2 7 4 0 2 1 本质连通区的存在性定理 在本节，我们将给出一个本质连通区的存在性定理首先我们给出俞等提出 的c 条件设( x ，d ) 和( y ，p ) 是两个度量空间，f ：x 斗2 7 是一个集值映射下 面是俞等给出的c 条件 对y 中任意两个非空闭集世。，k ：，k ，n k ：= 庐，及x 中任意两点x 。，x ：，如果 f ( x 1 ) n = 妒，f ( x 2 ) nr v 2 = 庐，则存在x x 使d ( x ，_ ) d ( x 1 ，x 2 ) ， d ( x ，x 2 ) 0 ，使当d ( x ，工) 0 ，对于彳中任意两点 x 1x ：，d ( x l ，x ：) 尸( ，) ，如果f ( x 。) n = ，f ( x ) n = 庐，则存在x7 x 使 d ( x ，x 1 ) 0 ，我们令a = p ( ，) ，由c l ) ，c 2 0 ) 都不是本质的，则对任意 0 8 2 口，存在x ：，x ；z ，d ( x ：，x ) y 4 3 ，d ( x ：，x ) 占，使 f ( x ) f 3 彤= 庐，f ：) n = ，d ( 工：，x ：) 占 p ( ，) 又由于f 满足条 件( c ) ，所以存在x 使得 d ( x7 ，工：) d ( x 0 x ；) ，d ( x ，x ；) d ( x ：，x ；) ， 且f ( z ) n ( 彤u ) = ，m ( x ) c ( 彤u ) 由爿，并；的选取可知： d ( x ，x ) d ( x ，x ：) + d ，x ：) d ( x ：，x ：) + 盯 ，x ：) 0 ，及吖中满足 p ( g 。，g 2 ) 0 ，则n = 庐有以上可知 工g 巍芒不失一般性，我们设z + 茌，从而有z 芒u ng 2 ) ，这与g 2 0 ) 是k k m 映射矛盾所以g ( x ) 是一个k k m 映射 对于任意x x ，g ( x ) 显然是紧集所以g m 下面我们证明p ( g ，g i ) p ( g 1 ，g 2 ) 对任意y g ( x ) ，如果y g i ( x ) ，贝o d ( y ，g l ( x ) ) = 0 ；如果y g ：( x ) 啊， 则d ( 弘g 1 ( x ) ) s u p a ( z ，g l ( x ) ) s u pd ( z ，g 1 ) ) h ( g l ( x ) ，g 2 ( x ) ) 从而有 z e g 2 ( j ) 、嵋 z e g 2 ( x ) s u pd ( y ，g i ( 功) 五( g i ( z ) ，g 2 ( x ) ) y i g ( x ) 对任意y g i ( x ) ，因为彤n = ，则y 芒或y 仨若y 萑，则 y 5 q ) 、睨d c y ，g ( x ) ) = o ；若_ y ，则y 仨m i 扫d ( y ，g ) ) 2 ：e g i n f d ( 弘z ) ， g ( 功= 【g l ( 工) 】u g 2 ( 功彬 ，从而我们可得d ( y ，g ( 砌s d ，g 2 0 ) ) d ( y ，g 2 ( x ) 霸) = 。i ：n 【叫f d ( y , z ) ，i 扫d ( y ，g 2 ( x ) ) ( g i ( z ) ，g 2 ( x ) ) h ( w l ，) 当 y ，z 时，由于n = ，从而有d ( y ，z ) ( ，) 所以 d ( 儿g 2 ( 。) ) 。：。i g 2 n f ( ，) d ( 弘2 ) = ：。器、嵋d ( y ，z ) = d ( _ y ，g 2 ( 功啊) 综 上 d ( y ，g ( x ) ) d ( y ，g 2 ( 功) 所以有s u pd ( y ，g ) ) s u pd ( y ，g 2 ) ) ，从而有 蚱ql 叫y e o i t 引 s u pd ( y ，g ( x ) ) k g 。o ) ，g 2 ( x ) ) 蚱g l ( z ) 由以上分析我们可知 ( g ( x ) ，g 。( x ) ) ( g 1 ( x ) ，g ：( x ) ) 因此对任意x x ，有 j i ( g ( ng l ( 砌 0 ，总存在z ，使得d ( y ，z ) d ( y ，) + 艿，所以有 d ( x o ，) d ( x o ，z ) d ( x o ，y ) + d ( z ，y ) d ( x o ，y ) + d ( y ，) + 6 ，由于万的任意性， 从而有d ( x 。，) 一d ( y ，) d ( x o ，y ) ，同理可证d ( j ，) 一d ( x o ，) d ( x 。，y ) ，所 以有f d ( ，) 一d ( y ，) l 0 ，所以对任意x z ，d ( x ，) + d ( x ，) 0 ，从而 a ( x ) ，( x ) 都有意义，所以旯( x ) ，( x ) 是连续函数，且a ( x ) 0 ，( x ) 0 ， 兄( z ) + ( x ) = 1 容易验证口m 由p o ，y ) - f o ( x ，力l = ( z ) 胁( z ，j ，) 一仍( 工，力f ，得厦妒，妒。) p 。，仍) ，同样 贵州大学硕士学位论文 有p ( 伊，伊2 ) p ( 纯，妒2 ) 如果z 彤，则五( 力= 1 ，( 力= 0 ， ，y ) = 仍( 工，力，因x 茌，( 仍) ，得 x 隹f ( 妒) ；如果x ，则旯( = 0 ，( x ) = 1 ，妒( x ，y ) = 吼( x ，力，因xg f ( 仍) ， 得x 仨f ( 妒) 因此f ( 妒) n 【u 】= 妒，条件c 成立 以下研究n a s h 平衡点集的本质连通区 设n = 1 ，2 ，n ) 是局中人的集合，对任意i n ，x 是局中人i 的策略集， f ：x = 兀x ，专r 是局中人f 的支付函数，对任意f n ，记叠，= 兀x ，对任 i e l j e n i 意的x = ( _ ，x 2 ，x 。) x ，记譬。= ( _ ，x ，x ，x 。) 豆，如果存在 x + = ( x i ，x ：，x ：) x ，使得对任意f n ，有 ，( x j ，曼：) = m 群， 。，量：) 0 z e 则称x 为此对策的n a s h 平衡点 现在，对任意f n ，设z ，是线性赋范空间e 中的非空凸紧集，工是所有向 量函数f = ( 石，2 ，工) 的集合满足条件： ( 1 ) z ( 曲在上是下半连续； ( 2 ) 对任意f 和对任意x ，z ，多，斗f a x ，允) 在豆，上是下半连续的 ( 3 ) 对任意主。曩，y 。专z ( y ，i 。) 在j ，上是凹的 ( 4 ) s u e z i z ( x ) l 栅 1 2 l 对任意厂= ( i ，五，) ，厂= ( 石：月，刀) 三，定义 u ，f ) = s u p i z ( x ) - f , ，( x ) i j e i = l 显然，( 三，d 是一个度量空问 贵州大学硕士学位论文 由 3 3 】中定理2 2 ，对9 1 n f = ( z ， ，工) l ，存在x = ( x 凡x ：，x - ) x 是对策厂的n a s h 平衡点用( 厂) 表示所有厂的n a s h 平衡点的集合 引理2 3 1 【见3 3 】对任意，= ( 石， ，正) l ，映射t l l 斗m 定义如下 丁( 厂) = e ( x ，y ) = e e f , ( y ，量，) 一f a x ，曼。) 】 则丁是连续映射 证明：对任意f = ( 五，厶，矗) l ，容易检验：对每一固定的y x ， x e ( x ，y ) 是下半连续映射；对每一固定的x x ，y 斗伊( x ，y ) 是拟