（岩土工程专业论文）考虑基底粗糙度的地基极限承载力分析.pdf

摘要 摘要 基于极限分析理论的特征线法是一种令人熟知并被广泛应用的数值方法。 本文即采用特征线法，对不同租糙程度基础下的地基承载力问题进行了分析研 究。 首先将土体视为理想刚塑性材料，并认为服从库仑屈服准则，综合考虑土 的粘聚力c 、内摩擦角+ 、土重丫及超载q ，以平均应力。和方向角0 为基本变量， 引入摩尔圆半径r ，重新推导出了地基土在极限荷载作用下所产生塑性区域的 平衡微分方程，即地基承载力问题的控制方程。 用特征线法求解上述控制方程的关键在于如何处理基础与土体接触面处 的边界条件。本文研究了完全光滑基础、完全粗糙基础和不完全粗糙基础与土 体接触面的边界条件，运用有限差分方法，并充分利用对称性条件，提出了一 种适合于粗糙基础的构造应力场的方法，使得计算粗糙基础下的地基承载力成 为可能。根据构造应力场的思路，编制相应的计算机程序，经过一些典型算例 的验证，自编程序能够得出较为精确的结果。 为了扩展应用范围，本文提出了计算地基承载力系数m 、m 朐方法， 并计算了部分十值对应的肥、m 、m ，进一步说明了基底粗糙度对，有显著的 影响。同时综合考虑土重参数g 竹b 2 c ) 、基础埋深d 和内摩擦角m ，分析了基 底粗糙度对地基承载力的影响。 关键词：极限承载力，粗糙度，特征线法，有限差分法，边界条件，应力场， 承载力系数 a b s t r a c t a b s t r a c t t h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ( a l s ok n o w na st h es l i pl i n em e t h o d ) i sa t r a d i t i o n a lm e t h o dt os o l v et h ec l a s s i c a lg e o t e c h n i c a lb e a r i n gc a p a c i t yp r o b l e mo fa r i g i df o u n d a t i o n ，r e s t i n go nac o h e s i v e - f r i c t i o n a ls o i lm a s s ，l o a d e dt of a i l u r eb ya c e n t r a lv e r t i c a lf o r c e t h i sp e rd e s c r i b e st h eu s eo f t h em e t h o do f c h a r a c t e r i s t i c st o e s t a b l i s hp l a s t i cc o l l a p s el o a d so f f o o t i n g sw i t ha r b i t r a r yr o u g h n e s s o nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h es o i li sa ty i e l d ，t h et w o d i m e n s i o n a ls t r e s ss t a t ea ta p o i n tc a l lb ef u l l ys p e c i f i e di nt e r m so ft w oa u x i l i a r yv a r i a b l e s ，n a m e l yt h em e a n s t r e s soa n dt h eo r i e n t a t i o n0o f t h em a j o rp r i n c i p a ls t r e s s t o g e t h e rw i t ht h er a d i u so f m o h r sc i r c l er t h eg o v e r n i n ge q u a t i o nc a nb et h e no b t a i n e da f t e ra s s o c i a t i n g c o u l o m b y i e l dc r i t e r i o nw i t ht h ee q u i l i b r i u me q u a t i o n c o n s i d e r a b l ei m p o r t a n c es h o u l db ea t t a c h e dt ot h et r e a t m e n to fb o u n d a r y c o n d i t i o n so fs o i l f o o t i n gi n t e r f a c e i nt h i sp a p e r , b o u n d a r yc o n d i t i o n so ff o o t i n g s w i t hf a c u l a t i v er o u g h n e s sn r ea n a l y z e di nd e t a i l ，w h i c hm a k e si tp o s s i b l et oa p p l yt h e f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m et os o l v et h eg o v e r n i n ge q u a t i o nw i t ha n yc o m b i n a t i o no f t h e p a r a m e t e r sc 森a j ，ba n dq w h e nc o n s t r u c t i n gs t r e s sf i e l du n d e rr o u g hf o o t i n g s ，i ti sc o n v e n i e n tt oa d o p ta n e wt e c h n i q u ew h i c hm a k e st h em o s to ft h es y m m e t r yc o n d i t i o n ac o m p u t e r p r o g a mi st h e nd e v e l o p e dt ot e s t i f yt h ev a l i d i t yo ft h et e c h n i q u ea n ds o l v es e v e r a l e x a m p l ep r o b l e m s i np r a c t i c a le n g i n e e r i n g ，b e a r i n gc a p a c i t yf a c t o r sn c 、n pn r a r ew i d e l yu s e dt o c a l c u l a t eu l t i m a t eb e a r i n gc a p a c i t yo ff o u n d a t i o n s t h e r e f o r e ，as i m p l ea n de f f e c t i v e m e t h o di sa d o p t e dt oo b t a i nv a l u e so f n c 、n 旷n rr e g a r d i n gf o o t i n g sw i t hd i f f e r e n t r o u g h n e s s f i n a l l y , t h ep r o b l e m sr e q u i r i n gf u r t h e r s t u d i e sa r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：u l t i m a t eb e a r i n gc a p a c i t y , r o u g h n e s s ，t h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ，t h e f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，b o u n d a r yc o n d i t i o n ，s t r e s sf i e l d ，b e a r i n gc a p a c i t yf a c t o r 申请同济大学工学颁士学位论文 考虑基底粗糙度的地基极限 承载力分析 交通部秘豁交通建设科技联网n o + 2 0 0 4 31 8 2 2 3 l1 螯劫) 培养单位： 一级学科： 二缎学耩： 研究生： 指导教师： 土木工程学院 土木工程 岩土工程 杨江海 黄茂橙教授 二o o 七霉三月 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者躲扬多涵 2 0 0 7 年；月2 二日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：1 易；k ；乃 二u 。7年；月二二日 第1 章绪论 1 1引言 第1 章绪论 土力学问题通常被分为稳定问题和变形问题两大类，其中稳定问题研究土 体极限破坏条件，常常把土压力、地基承载力及边坡稳定等问题归于这一类【1 l 。 据统计，全世界6 0 以上建筑物的破坏是由于地基问题造成的【2 l ，可见地 基承载力问题是地基设计中的一个重要课题。地基承载力是指地基土单位面积 上所能承受的荷载，把地基土单位面积上所能承受的最大荷载称为极限荷载或 极限承载力”j 。 目前国际上大多采用地基极限承载力除以安全系数的方法来确定地基承 载力，该方法的优点是安全度明确，是国外确定地基承载力的主流方法1 4 】。条 形浅基础是常见而又简单的基础型式，弄清这种基础极限承载力的计算方法对 其他较为复杂的基础型式有一定的指导作用。有多种理论方法可用来确定条形 浅基础的地基极限承载力，其中被人们熟知的方法可以分为三大类：极限平 衡法、极限分析法、特征线法( 又称滑移线法) ，这三种方法均将地基土视为理 想刚塑性材料，并服从库仑屈服准则。 极限平衡法是传统上一直用来近似求解地基极限承载力问题的方法，首先 设法建立一种简化的破坏模式，使之有可能利用简单的静力学来求解地基极限 承载力【5 】；极限分析法以一种理想的方式考虑了土的应力一应变关系( 流动法 则) ，并根据极限定理，适当地选择应力场和速度场，将所求的地基极限承载力 限制在很接近地小范围内 6 1 ；特征线法是首先推导出土体塑性区域的极限平衡 微分方程，结合应力边界条件，求解基础底部土体的应力分布，进而求得地基 极限承载力i l ；1 1 。 地基承载力不是地基土的一个物理或者力学指标，而是基础和土体相互作 用的结果。影响地基承载力的因素有很多，包括土体的强度指标、土体重度、 地下水位、超载、基础几何形状和尺寸、基底粗糙程度、基础刚柔度等【8 】。因 此，在计算地基承载力时，需要根据具体情况，综合考虑各种因素的影响。现 有计算地基极限承载力的理论公式已经能够考虑其中某些因素的影响，但都是 第1 章绪论 从垂直荷载作用下水平刚性条形基础的极限承载力公式进行补充和修正而来 1 9 l 。地基极限承载力的理论公式最早由r a n k i n e ( 1 8 5 7 ) 提出，后有p r a n d t l ( 1 9 2 0 ) 根据极限平衡理论导出，再有r e i s s n e r ( 1 9 2 4 ) 、t e r z a g h i ( 1 9 4 3 ) 、t a y l o r ( 1 9 4 8 ) 、 m e y e r h o f ( 1 9 5 1 ) 、h a n s e n ( 1 9 6 1 ) 、v e s i c ( 1 9 6 3 ) 等多次补充和修正 4 j 】。 1 2 本文的研究背景 基础底部粗糙程度对地基承载力的影响一直受到人们的重视，并认为基底 的粗糙程度对地基承载力有一定的影响，粗糙基础下的地基承载力普遍大于光 滑基础的地基承载力。m e y e r h o f ( 1 9 5 1 ) 的研究认为基底完全光滑时的极限承 载力只有基底完全粗糙时的一半，后来的研究普遍认为m e y e r h o f 的观点是不完 全正确的，对于超载g 较小而内摩擦角十较大的砂性土，基础完全粗糙时的极限 承载力接近基础完全光滑时的两倍，但是对于一般一丫土，m u h s 和w e i s s ( 1 9 7 3 ) 通过大量试验研究说明，基底完全光滑时的极限承载力约占基底完全 粗糙时的9 0 蝌1 , 7 1 。 在用理论公式计算地基极限承载力时，许多计算公式都对基础的粗糙程度 进行假定。p r a n d t l ( 1 9 2 0 ) 假定基础底面完全光滑，根据塑性理论得到破坏面 的型式，并推出了相应的计算公式；t e r z a g h i ( 1 9 4 3 ) 假定基础底面粗糙，与相 接触的土体不发生相对滑动，得到了基础粗糙这一假定条件下的地基承载力公 式。然而这些方法只是将基础底面的粗糙程度当作一个假设条件，而把推导出 的承载力公式及其修正公式普遍应用于工程实例，例如美国地基规范中的 t e r z a g h i 公式、m e y e r h o f 公式、h a n s e n 公式、v e s i c 公式，既没有在公式( 包括 地基承载力系数的计算公式) 中提出不同粗糙程度基础的承载力计算方法，也 没能在修正系数中体现基础粗糙程度对地基承载力的影响p , 5 1 。 c h e n ( 1 9 7 5 ) 应用极限分析法对地基承载力问题进行了广泛的研究，认为 当无量纲土重参数g ( = y b 2 c ) 较小时，基底粗糙程度对地基承载力的影响很 小，但是当g 较大时，基底粗糙程度对地基承载力有显著影响；一个适当的摩 擦角6 值( 对任意m ，小于1 5 。) ，足以产生一个实质上完全粗糙的条件，即摩擦 角6 值达到某一值后，地基承载力接近基底完全粗糙时的值，因此任意增加基底 摩擦程度( 即增大6 值) ，并不能再提高承载力【1 1 。 第1 章绪论 特征线法是用来求解地基承载力问题的一种传统方法，由于理论严密，加 上计算手段的进步，至今仍被广泛采用。c o x ( 1 9 6 2 ) 曾发表过光滑表面基础 承载力的特征线解，而对于基础底部粗糙的情况，近些年也有所发展。 b o l t o n & l a u ( 1 9 9 3 ) 和k u m a r ( 2 0 0 3 ) 在构造应力场前，先对基础底下的土体 进行了假设，认为沿整个基础底面会出现非塑性的刚性楔，在这一假设前提下， 对粗糙基础的地基承载力问题和地基承载力系数做了一些研究 1 0 , 1 1 1 ；m a r t i n ( 2 0 0 3 ) 和s m i t h ( 2 0 0 5 ) 认为刚性楔的假设没有必要，在构造具体问题的应 力场时，有的会沿整个基础底面形成刚性楔，有的只是沿基底部分区域形成刚 性楔 1 2 , 1 3 1 ，他们分别求解了部分十值对应的m 值，结果基本一致，以极限分析 的观点来看，这些值是较为精确的值。本文正是采用特征线法，对不同粗糙程 度基础下的地基承载力问题进行了分析研究。 许多学者研究了基底粗糙程度对地基承载力系数m 、m 的影响，已经 达成了一些共识：m 、和基底的粗糙程度无关( m e y e r h o f1 9 5 7 、1 9 6 3 ，g r i f f i t h s 1 9 8 2 ，b o l t o n & l a u1 9 9 3 ) ；m 和基底的粗糙程度有很大关系( m e y e r h o f1 9 5 7 、 1 9 6 3 ，b o l t o n & l a u1 9 9 3 ，m i c h a l o w s k i1 9 9 7 ) 1 4 1 。m ，普遍采用无重土理论 解析解，目前的研究已经取得了令人满意的成果，而m 的各种计算公式和数值 解都有显著的差异，原因正是在于m 与基底粗糙程度有关。近些年主要有以下 学者通过不同方法计算了粗糙基础的m 值：b o l t o n & l a u ( 1 9 9 3 ) 、f r y d m a n & b u r d ( 1 9 9 7 ) 、k u m a r ( 2 0 0 3 、2 0 0 4 ) 、h j i a je t a l ( 2 0 0 5 ) 、m a r t i n ( 2 0 0 5 ) 、s m i t h ( 2 0 0 5 ) ， 其中h j 埘应用极限分析法求得了m 的上限解和下限解，将m 值限制在一个小 的范围内，m a r t i n 和s m i t h 均采用特征线法求得了非常接近的m 值，并且都介 于h j i 4 上下限解之内，为本文求解部分值对应的婀提供了较为准确的参照。 1 3本文的研究目的和主要内容 本文的研究目的是用特征线法求解不同粗糙程度基础的极限承载力，关键 在于处理基础与土体接触面的边界条件，并使塑性区域土体的应力场满足对称 性条件的限制。本文考虑水平刚性条形基础上作用中心垂直荷载，将土体视为 理想刚塑性材料，仔细研究了基础与土体接触面的边界条件，充分利用对称性 条件，提出了一种构造粗糙基础下塑性区域内应力场的方法，进而求得粗糙基 第l 章绪论 础下的地基极限承载力。主要内容有： ( 1 ) 比较各种计算地基极限承载力的方法，分析这些方法如何处理基底粗糙 程度及其对地基极限承载力的影响； ( 2 ) 以平均应力a 和方向角0 为基本变量，引入摩尔圆半径r ，重新推导出了 地基土在极限荷载作用下，所产生塑性区域的平衡微分方程，即地基承 载力问题的控制方程，该控制方程综合考虑了土的粘聚力c 、内摩擦角m 、 土重y 及超载q 对地基承载力的作用； ( 3 ) 研究地基承载力问题的三类应力边界条件，特别是第三类边界条件，即 基础和土体接触面的边界条件，该边界条件与基底的粗糙程度有关； ( 4 ) 充分利用对称性条件，提出了一种适合于粗糙基础的构造应力场的方法； ( 5 ) 编制相应的计算机程序，计算一系列典型算例，验证程序的有效性和精 确程度，并计算不同粗糙程度基础的极限承载力，并和已有计算方法或 已有软件的计算结果作比较； ( 6 ) 计算部分值对应的地基承载力系数肌、m 值，分析基础粗糙程度 对它们的影响； ( 7 ) 综合考虑参数g 、d b 和 ，分析基底粗糙度对地基承载力的影响。 4 第2 章地基极限承载力研究方法概述 第2 章地基极限承载力研究方法概述 2 1 极限平衡法 在土力学的发展过程中，出现了许多求解地基极限承载力的方法，其中大 多数是通过极限平衡法推导得来，极限平衡法又分为微分极限平衡法和假定滑 动面解法两类。属于微分极限平衡法的有p r a n d t l 和r e i s s n e r 承载力计算理论。 p r a n d t l ( 1 9 2 0 ) 根据塑性理论，假定基底光滑，由静力平衡和极限平衡条件建 立的平衡方程，推导出刚性基础压入无重土中破坏面的形状( 如图2 1 a ) ，求 得具有严格数学意义的极限承载力计算公式5 】： q u = c - nc 其中：n c = 2 “t a n 2 ( 4 5 。+ 妒2 ) 】c o t # 式中：吼指地基极限承载力，k p a ； c 指土的粘聚力，k p a ； 咖指士的内摩擦角，o ； c 指地基承载力系数。 r e i s s n e r ( 1 9 2 4 ) 在p r a n d t l 的基础上，把基础两侧埋置深度内的土重以连 续均布的超载g = t d 来代替( 如图2 1 - b ) ，得到基础有埋深时的地基极限承载 力公式： q 。= c n c + q m 其中：n c = 【p 。“t a n 2 ( 4 5 。+ 声2 ) 】- c o t = 【7 l 1 ) c o t # 口= p “t a n 2 ( 4 5 。+ ，2 ) ( 2 1 ) 式中：4 指基础两侧埋深内的超载，k p a ； y 指土重；k n m 3 ； d 指基础两侧土体埋深； 肌、指地基承载力系数。 第2 章地基极限承载力研究方法概述 ( a ) k - 7 地面 牛 ，i ，舟i 川a lij ，illj ，j ，【唧d 上j ，1lj rl lj ，j ，【a ( b ) 图2 1p r a n d t l 方法计算地基极限承载力 ( a ) d = 0 ( b ) d 0 p r a n d t l 和r e i s s n e r 的方法均没有考虑到土重对地基承载力的影响，为了弥 补这一缺陷，不少学者在p r a n d t l 的基础上对承载力理论进行了研究，推动了这 一问题的发展。假定滑移面方法可看作是平面极限平衡法的不同近似方法，因 为这类方法实质上是采用平面极限平衡理论的某些已有成果，取极限平衡的外 轮廓滑动面作为假定滑动面，求解滑动面达到极限平衡时，按静力条件求出相 应的极限荷载。t e r z a g h i ( 1 9 4 3 ) 根据p r a n d t l 的基本原理，假定基底粗糙，提 出了考虑土重的极限承载力公式；m e y e r h o f ( 1 9 5 1 ) 提出了考虑基底以下两侧 土体抗剪强度影响的极限承载力公式，而后又提出了荷载偏心、荷载倾斜时的 极限承载力公式；h a n s e n ( 1 9 6 1 ) 提出了考虑基底倾斜、土表倾斜时的极限承 载力公式；v e s i c ( 1 9 6 3 ) 在前人的基础上，除了引入一些修正系数外，还考虑 到地基土的压缩性的影响【2 , 1 5 】。下面分别介绍这些学者计算极限承载力的基本原 理和方法。 6 第2 章地基极限承载力研究方法概述 t e r z a g h i 公式 t e r z a g h i 公式适用于地基土是整体剪切破坏的情况，即地基土较密实。太 沙基公式有三个基本假定： ( 1 ) 基础底面粗糙。当地基土发生整体剪切破坏并形成延伸至基底等高面处的 连续滑动面时，基底以下有一部分土体将随基础一起滑动而始终处于弹性平衡 状态，该部分土体称为弹性楔体。弹性楔体的边界a b ( 或a l b ) 为滑动边界的 一部分并假定与水平面的夹角为母( 如图2 2 ) ； ( 2 ) 除弹性楔体外，在滑动区域范围内的所有土体均处于塑性平衡状态。滑动 区域由径向剪切区和朗肯被动区所组成。径向剪切区的边界b c 由对数螺旋 曲线方程表示，即r = r o e 9 “，其中r o 为起始矢径，0 为任一矢径，与起始矢径 r o 的夹角。朗肯被动区i 的边界c d ( 或o l d l ) 为直线并与水平线成( 4 5 0 6 2 ) 角； ( 3 ) 不考虑基底以下基础两侧土抗剪强度的影响，而用相应的均布超载g = 徊 来代替。 一 。i 可地面4 ： j 胥 川 吨j ，iil 【ij ，l 。 mj r l ij ，j ，【l 【耐 t e r z a g h i 公式为： 其中： 图2 2t e r z a g h i 方法计算地基极限承载力 1 q 。= q b = 以+ 鹕+ 寺皿， ( 2 2 ) 牡c o s ( 妒c - 叫# ) c o ss i n 鼻叫o + 咖叫 妒 矿ii n q ：型竺娑e 伊似卜t a n ( 4 5 。+ 妒2 ) ( 2 3 ) c o s 口 7 第2 章地基极限承载力研究方法概述 以= 三t a n 攻等一t ) 式中：指被动土压力系数； 从、 0 、m 指地基承载力系数。 上述肥，、m 的表达式是在基底粗糙的假定条件下得到的，其中弹性楔 体边界a b ( 或a l b ) 与水平面的夹角q 是未知量。t e r z a g h i 对基底完全粗糙和完 全光滑这两种情况作出了解答。 ( 1 ) 假定基底完全粗糙。此时可设弹性楔体边界a b ( 或a l b ) 与水平面夹角q = 十，于是帆、m 、m 的表达式可转化为： 。：f羔一-1。矿；c虬一。，。妒 ：! 型： 9 2 c o s 2 ( 4 5 。+ ，2 ) ，= 2 l _ _ t a n , * ( 。k 。p _ _ r1 ( 2 ) 假定基底完全光滑。此时弹性楔体己不再存在而成为朗肯主动区，并且整 个滑动区域也演变成与p m n & l 完全相同，即由朗肯主动区i 、径向剪切区和 朗肯被动区l l i 所组成，i 区的边界a b ( 或a l b ) 与水平面的夹角c p = 4 5 0 珈2 。将 9 = 4 5 。+ + 2 代入到式( 2 3 ) 中，则基底完全光滑时c 、的表达式与式( 2 1 ) 完全一样。对于m ，t e r z a g h i 和p e c k ( 1 9 6 7 ) 建议改由下列半经验公式表示： 以= 1 8 ( 虬一1 ) t a n 妒 ( 2 4 ) t e r z a g h i 公式的修正公式 上面介绍的p m n & l 和t c r z a g h i 的极限承载力公式都是在条形基础受中心荷 载作用并忽略基础两侧士的抗剪强度的影响的条件下得到的。但是在工程实践 中，经常会遇到非条形基础、荷载偏心、荷载倾斜等情况，对于这些情况，目 前尚无严格解答，一般都采用引入一些半经验的系数对承载力进行修正，这些 修正公式均没有考虑基底粗糙程度的影响，而地基承载力系数由于对基底粗糙 第2 章地基极限承载力研究方法概述 程度的假定不同在表达方式上也有所不同。这些修正公式可在美国地基规范和 国内诸多土力学教材中查到，这里不再赘述，而只介绍三种修正公式中与基底 粗糙程度相关的内容。 三种修正公式中，地基承载力系数c 、m 的表达式相同，均以式( 2 1 ) 表达。而m 的表达式有所不同：对于基底完全光滑的情况，h a n s e n 和t e r z a g h i 均以式( 2 4 ) 表达；m e y e r h o f 以，= ( 虬一1 ) t a n l 4 矿表示，其中同式( 2 1 ) ； v e s i c 则建议以，= 2 ( 虬+ 1 ) t a n 妒表示。 2 2 极限分析法 极限分析法假定土体为理想刚塑性材料，并服从库伦屈服准则，以一种理 想的方式考虑了土体的应力一应变，这种理想化叫作流动法则( 正交法则) ，据 此建立了成为极限分析基础的极限定理。极限定理包括上限定理和下限定理 i , 6 , 1 6 1 ( a ) 上限定理。在一个假设的，且满足：( 1 ) 速度边界条件及( 2 ) 应变与速 度相容条件的变形模式( 或速度场) 中，由外功率等于所消耗的内功率而得到 的荷载，不会小于实际破坏荷载。与这种速度场相关联的塑流所消耗的能量， 可以根据理想的应力一应变率关系( 即所谓流动法则) 算出。满足上述条件的速 度场叫做运动许可速度场。因此，上限定理是：如果能找出运动许可速度场， 则自由塑流必将发生或早已发生。上限方法说明：对任何一条破坏路径，理想 物体都经受不住；如果几何形状基本不变，则初始应力或变形对塑性极限荷载 没有影响；若考虑作用荷载的位置，则增加物体材料( 无重) 不会导致更低的 破坏荷载；在物体任何区域内增加( 降低) 材料的屈服强度，不可能使物体弱 化或强化。上限方法只考虑速度模式( 或破坏模式) 和能量消耗，应力分布并 不要求满足平衡条件，而且只需要在模式的变形区域内定义。 ( b ) 下限定理。仅仅由满足条件( 1 ) 应力边界条件( 2 ) 处处不违背屈服条件 的应力分布所确定的荷载，不会大于实际破坏荷载。满足这三个条件的应力分 布，叫做静力许可应力场。因此，下限定理可以表述为：如果能找到静力许可 应力分布，则自由塑流就不会在下限荷载下产生。下限定理表明：理想物体有 能力调整自己，以承受它可能承受的荷载。下限方法只考虑平衡和屈服，而不 第2 章地基极限承载力研究方法概述 考虑土体运动学。 因此，对于地基承载力问题，只要适当地选择静力许可应力场和运动许可 速度场，就可以将根据上述两个定理求得的极限承载力限制在很小的范围之内。 采用上限方法求解地基承载力问题的步骤为： ( 1 ) 假定一个有效的破坏机构，并满足力学边界条件； ( 2 ) 求解外荷载( 包括土重) 在假想机构所确定的小位移上的能量损耗； ( 3 ) 求解与机构塑性变形区相关联的内部能量损耗； ( 4 ) 建立功方程( 内功率= 外功率) ，求得与假定机构相对应的上限解； ( 5 ) 采用代数法、算术法或者其他方法，求得最小上限。 c h e n ( 1 9 7 5 ) 应用极限分析法研究了条形基础承载力的诸多问题，并在其 著作中做了论述。对于一般粘性有重土( c - + 吖) ，图2 3 描述了无量纲承载力q e 与无量纲土重参数g ( = y b 2 e ) 之间的关系；图2 4 描述了基底粗糙程度对承 载力的影响【”。 铆暾蠲 图2 , 3 表面基础的承载力 基底摩擦角，5 图2 4 承载力与基底糙度的关系 第2 章地基极限承载力研究方法概述 1 啪 o o o n 旧 图2 5 基底糙度对深基础承载力的影响 图2 3 表明，g 值较小时，基底粗糙程度对地基承载力的影响很小，例如 p r a n d t l 解与基底粗糙程度无关；然而当g 值较大时，基底粗糙程度对承载力有 较大影响，例如当g = 1 0 和p = 3 0 。时，粗糙基础的承载力约为光滑基础的两倍。 如图2 4 所示，曲线由一个上升段和一个水平段构成。在两段相交处，基 础底部摩擦恰能阻止基础底部与相邻土体间作任意滑动。因此，任意增加基底 的摩擦角。都不会提高承载力。一个适当的基底摩擦角( 对所有m 值，均小于 1 5 0 ) ，足以产生一个实质上完全粗糙的条件。 c h e n 还指出，对于表面基础，基底粗糙程度对承载力有显著影响，然而这 种影响随着基础埋深的增加而明显减小。如图2 5 所示，当埋深增大时，粗糙 基础与光滑基础承载力之间的差别会明显缩小。事实上，从某一深度以后，光 滑与粗糙基础的承载力将趋于一致。 对于无粘性土( y 系数) ，如图2 6 所示，当摩擦角6 较小时，m 随着6 的增 加而迅速增加，然而当8 增大到一定数值( 不大于1 7 。) 后，m 不再增大，说明 当基底摩擦角6 增大到某一值时，可以限制基底与相邻土体间的滑动，因而实际 第2 章地基极限承载力研究方法概述 上就造成了完全粗糙基底的条件。 基底摩擦角。6c o ) 图2 6 帆与基底摩擦角6 的关系 近年来，数值极限分析法受到国内外的广泛关注，其本质是采用数值分析 手段求解的极限分析法。目前，国际上多采用有限元增量加载( 超载) 法求地 基极限承载力。数值极限分析法具有数值方法与经典极限分析法两者的优点， 既具有数值方法适应性广的优点，又具有极限分析法贴近岩土工程设计，实用 性强的优点： ( 1 ) 用数值极限分析法求解地基承载力时，不必假定破坏面位置并给出理论解 答，而由程序自动给出破坏机构与极限承载力； ( 2 ) 具有数值方法的各种优点，能够对复杂地貌、地质条件的各种岩土工程进 行计算，不受工程的几何性状、边界条件以及材料不均匀等的限制； ( 3 ) 能考虑应力一应变关系，提供应力、应变、位移和塑性区等力和变形的全 部信息。 s o u b r a ( 1 9 9 9 ) 采用极限分析上限法，提出了两种破坏机构，并对这两种破坏 机构的地基承载力性状作了分析，同时计算了部分十值对应的n y 值，但是并没 第2 章地基极限承载力研究方法概述 有考虑基底粗糙程度对地基承载力的影响。 b o o n c h a i 、a n d r e w 和k i a n g v i j i t ( 2 0 0 3 ) 采用数值极限分析法计算了地基 极限承载力的上限值和下限值，将地基极限承载力限制在一定范围以内。另外， 提供了基底完全光滑和完全粗糙时，部分十值对应的n 丫上限值和下限值，当咖 小于3 0 0 时，能将限制在一个较小的范围内，但是当m 大于3 0 0 时，上限值和下 限值相差较大。 k u m a r ( 2 0 0 3 ) 采用极限分析上限法研究了基底粗糙程度对地基承载力系 数m 的影响，并提供了部分十值对应的m 的上限值，其结果显示，基底的粗糙 程度对m 值有显著的影响。 h j i a j 、l y a m m 和s l o a n ( 2 0 0 5 ) 采用数值极限分析法求得了部分m 值对应的 n v 的上限值和下限值，并能够将m 限制在一个较小的范围以内，结果表明，基 底的粗糙程度对n 7 值有显著的影响。 2 3 特征线法 2 3 1 概述 特征线法( 又称滑移线法) 将库仑准则和平衡方程相结合，组成屈服区域 的塑性平衡微分方程，再结合应力边界条件，便可根据该方程组算出基础底部 土体的应力分布。 k b t t e r ( 1 9 0 3 ) 最先导出了平面应变情况下的滑移线方程。而p r a n d t l ( 1 9 2 0 ) 又首先对无重土上的一种基础得出了这些滑移线方程的闭合解析解，并由此发 展而提出了以一束直滑移线通过一个奇异点的解。这些结果后来被r e i s s n e r ( 1 9 2 4 ) 和n o v o t o r t s g v ( 1 9 3 8 ) 用来对某些特殊问题求解过无重土上基础的承 载力。在这些问题中，至少要有一簇滑移线是直线，而且解具有闭合形式。 然而，由于考虑土重会使数学解变得相当复杂，因此，曾发展了许多近似 方法。s o k o l o v s k i i ( 1 9 6 5 ) 以滑移线方程的有限差分近似为基础，提出了一种 数值方法，并发展了关于基础或边坡承载力，以及挡土墙背后填土压力的许多 问题，这些问题不可能求得闭合解【1 7 1 。 c o x ( 1 9 6 2 ) 应用特征线法研究了光滑表面基础的承载力问题，证明了无 第2 章地基极限承载力研究方法概述 附加土上的光滑表面基础，与应力特征方程相关联的基本无量纲参数是m 和 g - = 丫b 2 c 。如果g 较小，则土体实质上相当于一种粘性无重介质；如果g 较大， 则承载力主要取决于土重，而不是粘聚力【1 】。 h a n s e n 和c h r i s t e n s e n ( 1 9 6 9 ) 根据l u n d g r e n 和m o r t e n s e n ( 1 9 5 3 ) 构造出来 的局部应力场，采用特征线法，得出了基底完全光滑和完全粗糙时，地基承载 力系数卜押的不完全解。 b o l t o n 和l a u ( 1 9 9 3 ) 采用特征线法，研究了基底粗糙程度对m 的影响， 得出了基底完全光滑和完全粗糙时，部分十值对应的n y 值。 s m i t h ( 2 0 0 5 ) 采用特征线法，提出了一种将局部应力场扩展为整体应力 场的方法，使得特征线解成为一个下限解，求得了部分值对应的h 叶，其结果 表明基底粗糙程度对n y 值有显著的影响。 m a r t i n ( 2 0 0 5 ) 构造出土体塑性区内的静力许可应力场和动力许可速度场， 使得特征线解成为一个完全解，并公布了地基承载力分析软件a b c ，用来计算 基底完全光滑和完全粗糙时的地基极限承载力。 2 3 2 基本假设 特征线法和极限分析法以及极限平衡法都采用了理想塑性的理论，并认为 土体服从库仑屈服准则 1 8 , 1 9 】。本文正是应用特征线法研究基底粗糙程度对承载 力的影响，因此有必要对理想塑性理论作简单的介绍。 图2 7 示出了土体典型的应力一应变图。大多数真实土的应力一应变特征， 由初始的直线部分逐渐到达顶点或破坏应力点，接着是软化和残余应力。理想 塑性理论忽略应力一应变图中的应变软化( 或工作软化) 段，而使应力一应变图 由两段直线组成，如图2 7 虚线所示。这种在常应力下有连续塑性特征的假想 材料，称为理想塑性材料。 在理想塑性的假设情况下，用于特征线法或极限分析法的屈服应力水平， 可以选作为适当应变范围内的平均应力。因此，屈服应力水平并不是一定的， 而是根据所求解问题的最主要特点决定的。在土力学中，这一假设对稳定问题 比对其他问题更加合理。在所有稳定问题中，在真实土体的整个破坏面上移动 的最大平均剪应力，将小于最大值而大于残余值。它在这两个极限值之间的相 对位置，是由土的特征和所论问题的几何条件和边界条件决定的。 1 4 第2 章地基极限承载力研究方法概述 2 3 3 解的评述 应变 图2 7 理想土和真实土的应力一应变关系 特征线法只考虑土体的平衡和屈服，而忽略了土的应力一应变关系，按照 变形体力学，有效解必须满足这个条件。就平面变形而言，可以只用两个平衡 方程和一个屈服条件，因此，从未知的应力分量个数与方程数相等的意义上讲， 有时好像是静定的。然而，在大多数实际问题中，边界条件都包含应力和位移 率，因此不能按静定问题来处理，必须考虑土的应力一应变关系才能求解。 一般来说，在一个特征线解中，只有靠近基础或挡土墙背后的一部分土体 才能假设为塑性平衡状态。在这个区域内，可以由该特征线解构成一个滑移线 场，且满足与这个区域直接有关的所有应力边界条件以及区域内每点的平衡条 件和屈服条件，这样获得的应力场叫作局部应力场。 从极限分析的观点来看，由特征线法构造的局部应力场，一般不能满足下 限定理的要求，因为它不能说明在滑移线网区之外存在一种满足边界条件和屈 服准则的平衡应力分布。然而，如果能将滑移线网区内的局部分布以一种静力 许可的方式扩延至整个物体，则特征线解即是一个下限解。一般来说，以静力 第2 章地基极限承载力研究方法概述 许可方式扩延局部应力场是比较困难的问题，因为一些应力场往往涉及到一些 应力间断曲线。 根据流动法则，可以得出与塑性区或滑移线网区的局部应力场相关联的速 度场。如果这样的速度场满足速度边界条件，则速度场是运动许可的，那么特 征线解即是一个上限解，因而求得了实际破坏荷载。这时，在发生变形的滑移 线网区内，应力和速度是相容的。 第3 章地基极限承载力的特征线法 第3 章地基极限承载力的特征线法 3 1 控制方程 3 1 1 库仑准则 对于二维平面应变问题，一般需要三个应力分量以、啄龟来描述土体中 一点的应力状态。如果土体处于屈服状态，只需要两个应力分量：平均应力。 和方向角0 ( 如图3 1 ) 。 当土体处于屈服状态时，摩尔圆的半径r 是x 、z 、a 和0 的函数： r = c c o s 矽+ 口s i n 庐 ( 3 1 ) 通过r 建立应力分量m 、和a 、o 的关系： i 盯，= 盯一r c o s 2 0 盯，= 盯+ r c o s 2 0( 3 2 ) 1 - ，= r s i n 2 0 jfo 险b 抵 喻 i 82 耳4 一由2 l 彳c 一、蘧乏一恻7 z 孓 j 、。 r = c c o s 妒+ t r s i n m c 图3 1 一点应力状态 第3 章地基极限承载力的特征线法 在平面应变问题中，平面上任一点都存在两个互相垂直的主应力。当土体 处于屈服状态时，每个点都存在两个剪切破坏面( 如图3 1 ) ，把各点的剪切破 坏面连续的连接起来，就可以得到两族曲线，称为滑移线，如图3 1 中的伍一 和p p 。滑移线是土体处于屈服状态时剪切破坏面的迹线，应力场不同，滑移 线场也不同，若滑移线场已经确定，则相应的应力场也就确定了【1 6 如 。 3 1 2 静力平衡微分方程 f 堕+ 丝：o !曼 ( 3 3 ) 陪+ 鲁呐 。， ”。 3 1 3 一阶拟线性偏微分方程 将屈服条件和平衡条件相结合，即联立求解式( 3 2 ) 和式( 3 3 ) ，式( 3 3 ) 中各应力分量的偏导为： a _ o x ：( 1 - - c o s 2 0 s i n 矿) = a - c t + 2 r s i n 2 0 0 j e 堡：2 r c o s 2 0 塑+ s i n 2 8 s i n 矽塑 丝：2 r c o s 2 0 翌+ s i n 2 8 s i n d 塑 堕：( 1 + c o s 2 8 s i n ) 塑一2 r s i n 2 0 0 0 将上式代入到式( 3 3 ) 中得到以下方程组： l ( 1 - c o s 2 0 s i n 妒) 罢“n 2 心n 妒罢+ 2 r ( s i n 2 8 0 。8 + c o s 2 p 罢) ：0 血出 盘 应 ( 3 4 ) ls i n 2 8 s 唧罢+ ( 1 + c o s 2 0 s 嘶) 冬+ 2 r ( c o s 2 占罢“n 2 8 - 警) ：， l “ 式( 3 4 ) 属于一阶拟线性偏微分方程的类型，p r a n d t l ( 1 9 2 0 ) 在假定v = o 的前提下，求得了该式的解析解，而在考虑忙o 时，通常采用特征线方法，将 式( 3 4 ) 沿特征线方向简化为一组常微分方程【1 啦”。 ! 里童垫茎壁里墨茎查塑壁笙垡鲨 慝莩黧 s ， 卜豢+ 最警+ q 警+ 幺警= 易 u 。 设想在x - z 平面内，存在某一曲线硎，上面每点的。和o 都满足式( 3 4 ) ， k ：挈出+ 挈出 ，。荔。若， ( 3 s ) j 卯：塑矗+ 塑出 ” 将d 和。的偏导数( 筹，等，罂，警