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受追摆方程的伪概周期解 摘要 本文利用伪概周期函数的基本理论和性质以及b a n a c h 压缩映像原理，研究 了受迫摆方程的伪概周期解问题 第零章简述了概周期理论的发展过程及现状，介绍了所要研究的受迫摆方程 的背景及最新的研究动态和成果 第一章主要研究了受迫摆方程的伪概周期解问题首先介绍了概周期函数和 伪概周期函数的基本概念和性质，然后研究了d u f f i n g 方程j ；+ 砂一勿= p ( f ) 的 伪概周期解的存在唯一性，最后利用伪概周期函数的性质和b a n a c h 压缩映像原 理研究了受迫摆方程j ；+ 巧+ 4s i n y = p ( t ) 的伪概周期解问题，证明了伪概周期解 的存在性及在条件0 y z c 车下的唯一性 第二章主要研究了受迫摆方程的双伪概周期解问题。首先介绍了几个引理， 然后证明了方程工4 + 4 ，工n = f ( t ，工) 在相应定义域内伪概周期解的存在唯 吨进而证明受迫摆方程在区域b 舟隆，刳上各存在一个伪概周黼 第三章讨论了一特殊类型伪概周期微分方程譬：吖一十以( f ) x + 印( f ) 4 f 在介绍了关于遍历性的基本理论之后，利用b a n a c h 压缩映像原理研究了该伪概 周期微分方程的解的存在性 关键词：伪概周期函数；格林函数：d u f f i n g 方程；受迫摆方程； b a n a c h 压缩映像原理 p s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so ff o r c e dp e n d u l u m e q u a t i o n a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ep s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs d n t i o n so ft h ef o r c e d p e n d u l u me q u a t i o nb yt h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dq u a l i t yo ft h ep s e u d oa l m o s t p e r i o d i cf u n c t i o n sa n db a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e c h a p t e r0i n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n ta n dc u r r e n ts i t u a f i o no ft h ea l m o s tp e d o d i c t h e o r y , a n dt h eb a c k g r o u n d ，t h en e w e s tr e s u l t so ft h ef o r c e dp e n d u h me q u a t i o n i nc h a p t e r1w es t u d yt h ep s e u d oa l m o s tp e r i o d i cp r o b l e m so ft h ef o r c e dp e n d u l u m e q u a t i o n f i r s tw ei n t r o d u c et h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dq u a l i t yo fa l m o s tp e r i o d i c a n dp s e u d oa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s ，t h e nw es t u d yt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f t h ep s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so f d u f f i n ge q u a t i o nj ；+ c 梦一勿= p ( f ) l a s tw e a p p l yt h eq u a l i t yo ft h ep s e u d oa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n sa n db a n a c hc o n t r a c t i o n m a p p i n gp r i n c i p l ei nt h ep s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ef o r c e dp e n d u l u m e q u a t i o nj ；+ 毋+ as i ny = p ( f ) ，f m d i n gt h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s su n d e rt h e c o n d i t i o n l yz 忆 0 ，集合 t ( f ，占) = ( r ；l f ( t + r ) - f ( t ) i 0 ，存在，= ，( 曲 0 ，使得在每个长度为，的区间内 至少有一个f = r ( 占) t ( f ，s ) ，使l f ( t + 力一，( f ) k 占对一切t r 成立 集合t ( f ，占) 叫做厂( f ) 的s 一移位数集或占一概周期集f 叫做厂( f ) 的占一移位 数或f 一概周期，( 占) 叫做r ( f ，f ) 的包含区间长函数厂( r ) 的全体用集合a p ( 励 来表示 概周期函数有下面些重要性质，详细证明可见 2 0 性质1 设，( f ) c ( r ，e ) 是概周期的，则，( f ) 在尺上有界且一致连续 受迫摆方程的伪概周期解 性质2 设，( f ) 是概周期函数，a 是任何复数，b 是任何实数，则函数盯( f ) ， f ( t + 6 ) ，f ( b t ) 以及f ( t ) 的共轭函数，( f ) 都是概周期函数 性质3 概周期函数，( f ) 与g ( f ) 之和、积都是概周期函数，如果蝶l g ( f ) 0 ，则 它们的商八f ) 也是概周期函数 性质4 设 ( f ) = l ，2 ，) 都是概周期的，又序列 ( f ) ) 在r 上一致收敛于函数 f ( t ) ，则，( f ) 是概周期函数 性质5 设概周期函数，( r ) 可微，其导函数厂，( f ) 是概周期的当且仅当f ( 力在r 上一致连续 性质6 设，( f ) 是概周期函数，其不定积分 ，( f ) = r ，( s ) a s 是概周期的当且仅当f ( t ) 有界 关于概周期函数的b o h r 定义及其基本性质等一些古典结果可在任一本概周 期函数的书中找到，例如，可参看f i n k 或l e v i t e n 的专著 1 9 , 2 1 】 1 2 伪概周期函数理论的基本知识和记号 概周期函数的经典理论在几个方面得到了推广其中一个主要方面就是概周 期型函数，即渐进概周期函数，弱概周期函数1 9 9 2 年，z h a n g 提出了伪概周 期函数的概念，并研究了它在微分方程定性理论中的应用全体伪概周期函数所 构成的空间是概周期型函数空间中最大的一个，并且它在上确界范数意义下也构 成b a n a c h 空间 定义1 2 1 2 2 脚1 将函数妒( f ) c ( 矗) 满足条件 熙寺肛s ) 陋= o 6 受迫拦方程的伪概周期解 的全体记为集合p a p o ( r ) ， 即 似晶c 彤= 仁帅c c 趴舰万l9 1 烈，陋= 。 定义1 2 2 阱。”函数，( f ) c ( 矗) 称为是伪概周期的，若 ，( f ) = 占( f ) + p ( f ) ， 其中，占( ，) a p ( r ) ，以，) ep a p o ( r ) 函数g ( ，) 和烈f ) 分别称为函数，( 0 的概周期 部分和遍历扰动函数，( f ) 的全体用集合p a p ( r ) 来表示 性质7 若函数，p a p ( r ) ，且g 是它的概周期部分，则 占( 彤c 7 丽 并且 l i f l t - i i g l l - i n fg ( t ) _ i n , i f ( t ) 1 性质8 若函数，( f ) p a p ( r ) 有逆函数厂- 1 ( f ) p a p ( r ) 当且仅当存在一个数 m 0 ，使得 i n f l f ( t ) i _ m 性质9 若函数，( f ) p a p ( r ) ，且它的导函数，( f ) 在r 上是一致连续的，则 ，( f ) p a p ( r ) 性质1 0 连续函数烈f ) p a p o ( r ) 当且仅当妒2 ( f ) p a p o ( r ) 定理1 2 3 。2 6 1 ( b a n a c hf k 缩映像原理) 完备的度量空间上的压缩映像必有 唯一的不动点 受迫摆方程的伪概周期解 1 3 线性d u f f i n g 方程的伪概周期解 为了讨论受迫摆方程的伪概周期解问题，首先研究线性d u f f i n g 方程 j ；+ 毋一砂= p ( f ) ( 1 3 1 ) 的伪概周期解问题 定理1 3 1 若p ( f ) 是伪概周期函数，则方程( 1 3 1 ) 有唯一的伪概周期解 证明已知函数 y ( o = s a ( t ，j ) p ( j ) d s 是方程( 1 3 1 ) 唯一的有界解田1 ， 鼽g 忙扩咖妒d 一孵 由于p ( t ) p a p ( r ) ， 可令 p ( f ) = g ( f ) + 烈f ) ， 其中掌( f ) a p ( r ) ，双f ) p a p o ( r ) 下面来证明y c t ) p a p ( r ) y ( f ) = 弘( 抽) p ( j ) 西 一去p 卜巾“胁 一去当唔 “i - 。如，出一寺唔q 如加冲 = 卜万11 t ( z 。- + o x , - o 如) 出一去唔叫p 。如) 娴 8 受迫摆疗程的伪溉周期解 令 + 卜万| ! t c e + o x , _ 0 妒( s ) 矧“ 瓦i 筝( ! - o ) o - o 妒( s ) 出l ， ，c r ，= 一- - 壳羔e 1 2 “小p ”g c s ，正，一寺；一砷p - i 占c s ，d s ， 眦卜寺少帅幽， n t ( 归一去吒啪川幽 由于g ( f ) a p ( r ) 及概周期函数的性质可知，( f ) a p ( r ) ，为了证明 y ( t ) p a p ( r ) ，只需证明h ( t ) + i l l ( t ) p a p o ( r ) 事实上， 令 则 寺三陬叫出= 刍驴去璺( z t + o x s - o 烈对如卜 去去弘p 西 = c 寺寺萤妒c 刮出主e 一2 + u ) “_ i d t l + 丽11 _ j r l 妒c 刮出 e 唔删p q ) 出， = h 1 + l i l ， = ；+ u o ，= s u p l 妒( t ) i t a r 酗而i2 i u 爿- f l 酬如p 川疵 珂) 胁) t e 皿d s 历) j e 序幽 9 已 已 一 一 声 p p 一 一 。一孙 。一如 。一玎 。一盯 = 一 受迫摆方程的伪概周期解 = 万1 万1 矿1 1 - e - 2 序r ) 可以看出，当r 专o o n , 寸，h i 一0 耻去去弘呼出 = 万1 五1 万1 眇r s ) 陋岫 由于j r ，所以l 一8 4 “是有界的，又因为烈f ) p a p o ( r ) ，故当r 寸。o 时， ，2 0 ，由此得至l j h ( t ) p a p o ( r ) 令 刍至f 肼陋= 寺非去唁叫“加，出卜 刍去王出m 。帅哪幽 = c 刍去兰协叫西兰。邮哪d 玎+ c 寺去毋牺王e 唔训h 堋 = i l i l + 1 1 1 2 ， ，。三2 一d - t ，y 0 ，所以l e h ”是有界的， 又因为f o ( t ) p a p o ( r ) ，故当r 一时，i l l lj 0 即去去m 出p 疵 1 0 受迫摆方程的伪概埘期解 一i 1 ，1 ( 2 t2g，r百矿)j1如)k一出u ，主叫 土2t土2导(e，re一声删屏一西vy 叫” = 万1 五1 歹1 ( 1 - e 2 r ) ， 可以看出，当r 寸o 。时，i i l 2 _ 0 ，由此得至t j i l i ( t ) p a p o ( r ) 因此盯( f ) + i l l ( t ) p a p o ( r ) ，定理证毕 1 4 受迫摆方程的伪概周期解 通过以上对线性d u f f i n g 方程伪概周期解的研究，现在来讨论受迫摆方程 j ；+ 毋+ a s i n y = p ( t ) ( 1 4 1 ) 的伪概周期解问题，其中p ( f ) 是伪概周期函数本文中定义洲= s 。u 。p 。l 引理1 4 1 嗍若p ( f ) c ( r ) n l 。( 尺) ，则方程( 1 3 1 ) 有唯一的解y c 1 ( r ) 满足 l i y o r 去o p i i r ，且m r 吉o ，o r ， 靴= 孵 定理1 4 2 若c o ，p ( f ) 是伪概周期函数，使得恻k 4 ，则存在占o 使得方 程( 1 4 1 ) 有唯一的伪概周期解y c 1 ( r ) ，并且满足 证明固定常数a 和u ， - - ；+ s y 莩一占 受迫摆方程的伪概周期解 满足 m r a 4 ，o u a 考虑完备的度量空间 q = p a p ( r ) ，i i y 一万忆u 以及映射 t y = “， 其中u 是方程 i i + c l i a u = - a y 一4s i n y + p ( t 1 的伪概周期解， 其中p ( f ) f t p a p ( r ) ，y p a p ( r ) ，并j j s i n y p a p ( r ) 由上述映射的定义可知，映射r 将q 映入p a p ( r ) ， 再由定理1 3 1 ，映射丁的不动点对应着方程( 1 4 1 ) 的伪概周期解， 满足 0 y - 万- u 下面证明，映射r 将q 映入它自身 对任意给定的y q ， 则一us y 一，u ， 并且函数妒( 9 = _ 4 f a s i n f 是递减的， 则有不等式 4 万一a u + as i n u a y + a s i n y 口万+ a u as i n u ( l4 2 ) 成立 常数石+ u 和万一u 分别是方程 蛾+ c 血一a c o , = - a ( n + 口) 和 1 2 受追摆方稃的伪概周期解 0 ) 2 + c o ) 2 一a ( 0 2 = 一a ( x u l 的伪概周期解 由引理1 4 1 ， 可以比较吃= 万一u ，“( f ) 及q = 万+ u 的大小 蚓r 手争咖删峙= 万+ u = q ， r 争咖圳峙= 石一u = 缈2 ， 扣掣t n y + p ( 叽。， 再由不等式( 1 4 2 ) 及条件恻0 口， 得至0 万u “( o i i + u 成立 现已知r ( 卿cq ，下面证明映射r 是压缩映射 对任意的y t y 2 q ， 黟l = l ，t y 2 = u 2 差d = 蝴一h 2 是方程 i i + o d a d = 一a ( y l y z ) 一a ( s i n y l s i n y z ) 的解 由于 则 可知 兰! 羔；q ，万一u 兰! 兰! 石+ u ， 22 c o s 兰! 丝 o 2 l 防。一乃：i i r = l p ，一“：肚。 丢。一4 ( y l - y z ) 一n ( s i n y l - s i n y 2 ) i k 。 = i l y l y 2 + s i n y l s i n y 2 忆 1 3 受迫摆方程的伪慨周期解 = 卜 2 c o s 半咖刊r ( i + c o s 半帆圳r o - c o s 矽) 慨一y 2 k = k l l y 。一y ：峙， 其中， 0 k = l c o s u 三2 ，则由不动点的唯一性， 可知在球j i y 一万i i 詈内不存在其它的伪概周期解 定理证毕 受迫捏方程的伪概周期解 第二章受迫摆方程的双伪概周期解 首先考虑有界值问题 2 1 基本引理 工4 + d ，工一o = ( t ，工) ， ( 2 1 1 ) 工s ， ( 2 1 2 ) 其中j ，j = l ，n 是实系数，：r 2j r 是连续函数，s 是c ( 屁) 的一个给定 子集 引理2 1 1 峙8 1 若存在c “( r ) 的凸的闭的有界子集q 和有界闭子集s 。，其中墨 包含在集合s n q 中，使得对v u q ，问题 工4 + 4 ，j ”一一= f ( t ，“( r ) ) ， ( 2 1 3 ) j s l ， 存在唯一的解，则有界值问题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的解是存在的 ( 2 1 4 ) 引理2 1 2 设多项式刀+ 4 ，刀一7 的所有零点 ，= 1 ，n 都是非零实数， p 是有界的连续函数，则方程 工町+ 4 ，工协一d = p ( f ) ( 2 1 5 ) 有唯一的有界解j ( f ) ，使得 一s u p 妒恻胪枷f p ( 刮5 可p ， 汜椭， 受迫摆方程的伪概周期解 ，品妙( 忙2 k p a t ，扩i ， 其中a 是上述特征多项式的谱半径，满足 a m i n m a x ( | a i + l ，k 。f + 1 ，k 。 删凇一咔舡m a x 啦l l 陟，恸 l7 r e = s u pi p ( t ) 0 0 当上述多项式的零点是负数( 或正数) 时，( 2 1 6 ) 中的积分号j 代表j 二。 ( 或r ) 以 注1 ”明： 方程( 2 1 5 ) 的解的形式为工( r ) = g 却如w f e - a p ( t ) ( d t ) 4 注2 ：多项式刀+ 口，刀一的所有零点乃，= l ，n 都是非零实数，经计算可 得， 附沁枷唧c 酬= h e t h - a o t e c 酬南 l 1 2 网2 两 2 2 受迫摆方程的双伪概周期解 引理2 2 1 町1 若方程( 2 1 1 ) 有有界解工( f ) ，使得s u pi x ( t ) l d o ，其中玩是 正数，f ( t ，工) 是关于f 的概周期函数，x c l x l d o ，且对x 满足| 已一 条件，即 i ，( f ，工) 一f ( t ，y ) i l l x - y i ， 其中，t ( m ，o o ) ，h d o ，i y i d o ，工 p 。i ， 受迫摆方程的伪慨周期解 则j ( f ) 是概周期解，且j ( f ) ，工( f ) ，x ( s - 1 ) ( ，) 在r 上一致连续且是概周期函数 由引理2 1 2 和引理2 2 1 ，定义引理2 1 1 中的集合q 为 q = 枷，：恶，”r ，l 观肛。扩- ， 其中仇是常数 定理2 2 2 对于方程 鼻“+ a ，工协嘞= p ( f ) ( 2 1 5 ) 满足引理2 i 2 中的条件，若函数p ( f ) 是伪概周期函数，则方程( 2 1 5 ) 的解工( f ) 也是伪概周期函数，其中工s ， 证明由于p ( f ) 是伪概周期函数，令 p ( t ) = g ( f ) + 烈f ) ， 其中，g ( f ) a p ( r ) ，烈f ) p a p o ( r ) 根据引理2 。1 2 可知，方程( 2 1 5 ) 有 唯一的有界解工( f ) ，由注i ， 工( f ) = e 却e 小- f g - ：t t p ( f ) ( 出) “ = e h t j e ( 如- 4 ) t j e 却占( f ) ( 出) 4 + e ：q t f e f e 一。烈f ) ( 出) “ = 工i ( f ) + x 2 ( f ) ， 一( hr ) = g 却j e f p 一。g ( f + f ) ( 出) 4 ， 其中f = f ( 功是譬( 力的移位数 + t ) 一 ( f ) i = p f e t a , - a , ) t f e 一( h r ) 一g ( f ) i 出) 8 加h i 南， 受迫摆方程的伪概周期解 因此j l ( ，) ea p ( r ) 再由注2 ，当r _ a o 时， 舟2 ( f ，肛 = 劫e 却f 下p 删p 上m 上2 tj ) 研专。， 因l l t x 2 ( f ) p a p o ( r ) 所以，x ( t ) 是伪概周期函数 定理证毕 定理2 2 3 若多项式刀+ 4 ，刀一7 的所有零点乃，j = l ，阼都是非零实数， j 正l 并且 ( 1 ) 方程 町+ 盯，工似啪= f ( t ，“( f ) ) 1 = 1 满足引理2 1 1 中的条件； ( 2 ) f ( t ，神对工满足l 一条件，即 并且 i f ( t ，工) 一f ( t ，y ) i l x - y i ， s u pi f ( t , x ) h a n | d 0 ， “4 o 时 其中，t ( 一q 叫，h d o ，f y l d o ，l k i ，d o 是正数 ( 3 ) u ( t ) p a p f 剧n q ； 则方程( 2 1 1 ) 有唯一的伪概周期解工( f ) p a p ( r ) 7 q ( 2 1 3 ) 证明根据引理2 1 1 和引理2 2 2 ，方程( 2 1 1 )有有界解工( f ) ，且 受迫摆方榨的伪概周期解 s u pl 石( f ) i d o f 茸电哪 若u ( o 是伪概周期函数，并且f ( t ，石) 对工满足l 一条件，由 7 知，函数 ( t ，“( ，) ) 也是伪概周期函数 根据定理2 2 2 ，v u ( t ) p a p ( r ) d q ，方程( 2 1 3 ) 有唯一解 x ( t 、p a p ( r ) d q 因此，可以定义p a p ( r ) n q 到p a p ( r ) n q 的映射，r ：“( f ) 专工( f ) 由于蹦p f 彤依1 1 1 l 是完备的，q 是闭集，p a p ( r ) 1 7 q 也是闭集，从而依| h i 也是完备的，即p a p ( r ) n q 是完备的度量子空间 下证r 是压缩映射 对任恳= w - 的“l ，l d 2 p a p ( r ) 1 7 q ， i 即。一t u ：l i - p p 卅j e 一 删一f ( t , u z ( f ) 】 纠0 却加以( f ) ) - ，姒圳i 舟l ( f 卜叫z 卜 由于l l 。l ，因此r 是压缩映射，于是它在p a 尸f 彤n q 内有唯一的不动点即 方程( 2 1 1 ) 在p a p ( r ) f l q 内有唯一的伪概周期解 定理证毕 注3 由引理2 1 2 及第一章性质9 可知，工( r ) ，工( f ) ，x ( n - i ) ( f ) 是有界的，并且 在r 上一致连续，从而，它们均为伪概周期函数，且 ，恶，盼r ，l 等粕w 以，k = 1 , - - , n - 1 现考虑受迫摆方程 茗+ 撕+ b s i n 工= p ( f ) ， 1 9 ( 宰) 受追摆与程的伪概周期解 其中，a , b 是正实数，且4 2 4 b ，p ( r ) p a p ( r ) 将( ) 式改写为 膏+ 戚+ k = b ( x s i n d + p ( f ) ， ( 2 2 1 ) 并且考虑 夏+ 戚一如= 西( 石+ s i n ( x 一刀) + p o ) ( 2 2 2 ) 我们可以将定理2 2 3 的结论应用到方程( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 中 定理2 2 4 若s u pl p ( f ) f b ，并且满足上述假设条件，则方程( 木) 至少存在两 l 目q 个伪概周期解 ( f ) 、善：( f ) ，使得， ，0 器k ( r ) l 0 ， m h ；a x x s i n x ) = 詈一一l ， 僦4 - - c o s x j 1 ， 由条件 s u pi p ( f ) l n m8 4 ， 有 m 4 - l + 盟m h = 肼4 - 1 + 膨“- l 县m h i = 肘“o + 1 i m l ) 一川 = 旷1 圳可n - 1 卜f = n m “一h o ， 即 + 粤一j 五i 。， 推出 1 u r + l u l 肼 因为 赠j 以( f ) i = h 0 ， 所以 i f f ( 五g ( f ) ) = o 或s 。u 。p ( 2 9 ( f ) ) = 一小0 ， 两种情况的讨论是相似的，我们只讨论前一种情况就可以了 这时，有 舰钉1r 砧( s ) 幽。 令 口= 缸f ) ；烈f ) p a p ( r ) ，0 烈f ) i l i f ， 受迫摆方程的伪概周期解 口是完备空问 对仕一幽毅烈f ) e b ，乃程 一d x ：船o ) x + u p ( f ) 一( f ) d t 。、。 有唯j 的伪概周期解，记为工。( f ) 于是， 工，c r ，= i k 4 t s ，一约p c s ，x p 五g c “，d “ 出 ) 褂瞳4 + 肌x p ( - i 五l ( s 一 芝掣 m ， 1 产洲 即茗。( f ) b 于是，可以定义集合口到其自身的映射，t ：妒寸工。( f ) 任取竹，仍b ， f c p l - t o p 2 = i b “c s ，一p ：4c s ，( e x p i 以c “，d “ 幽 = i 盼c ，一纵s ，扔”b ，+ 吼”2 c s 概c s ，+ + 仡”1 c s ，x p i 以c “胁卜 i r i m “咖h ( e x pj l a g ( “) d u 出 “h 一加) 1“卜 箐”圳， 由于 胁，得箐扎 受迫摆方程的伪概刷期解 期解 由压缩映像原理，在b 中必有矾f ) 为不动点，即为方程( 3 2 1 ) 的伪概周 受迫摆方程的伪概周期解 参考文献 1 w s t e p a n o f f u b e re i n i g ev e r a l l g e m e i n e r u n g e nd e rf a s t p e r i o d i s c h e nf u n k t i o m e n m a t h a n n b d ，1 9 2 6 ，9 5 ：4 7 2 4 9 8 2 h w e y l i n t e g r a l g l e i c h u n g e nu n df a s t p e r i o d i s c h e nf u n k t i o n n e n m a t h a n n b d ， 1 9 2 6 9 7 ：3 3 8 3 5 6 3 a s b e s i c o v i t c h a l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s c o m b r i d g e 1 9 3 2 4 m ，f r e c h e t l e sf o n c t i o n sa s y m p t o t i q u e m e n tp r e s q n e p e r i o d i q u o s c r a c a d s 0 1 p a d s ， 1 9 4 1 ，2 1 3 ：5 2 0 5 2 2 5 m f m c h e t l e sf o n c t i o n sa s y m p t o t i q u e m e mp x e s q u e p e d o d i q u e s r e v s c i 1 9 4 1 ，7 9 ： 3 4 1 3 5 4 6 w f e h e r l e i n a b s t r a c te r g o d i ct h e o r e m sa n dw e a k l ya l m o s tp c 咖d i cf u n c t i o n s t r a m a h l e r m a t h s o c ，1 9 4 9 ，6 9 ：2 1 7 - 2 4 0 7 c z h a n g p s e u d oa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s t h e s i s 。t h eu n i v e r s i t yo f w e s t e r n0 m a d o 1 9 9 2 8 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，易法槐数学物理方程讲义 m 北京：高等教育出版社， 1 9 9 6 9 】东北师范大学数学系常微分方程 m i 北京：高等教育出版社，1 9 8 2 1 0 】王高雄，周之明，朱思铭，王寿松常微分方程【m 】北京：高等教育出版社，1 9 7 8 1 1 丁同仁李承治常微分方程教程 m 北京：高等教育出版社， 1 9 9 1 1 2 丁同仁常微分方程定性方法的应用 m 北京；高等教育出版社，2 0 0 4 1 3 张锦炎，冯贝叶常微分方程几何理论与分支问题 m 北京；北京大学出版社，2 0 0 0 1 4 j o u c k e n h e i m e r a n d p h o l m e s n o n l i n e a r o s c i l l a t i o n s 。d y n a m i c a l s y s t e m s ，a n d b i f u r c a t i o n so f v e c t o r f i e l d ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 3 1 5 廖晓听稳定性的理论、方法和应用 m 武汉：华中科技大学出版社，1 9 9 9 1 6 a u r e f i a n o m r o b l e s - p e f e z ，a l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n s o f f o r c e d s i n e g o r d o n e q u a t i o n s p r i r a t ec o m m u n i c a t i o n 受追摆方程的伪概周期解 1 7 j a n a n & e s e x i s t e n c eo f t h et w oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so f t h ef o r c e dp e n d u l u m e q n a t i o n j 】，n o n f i n e a r a n a l y s i s ，1 9 9 9 3 7 ：7 9 7 8 0 4 1 8 c c o r d u n e a n u a l m o s tp “幻d i cf u n c t i o n s c h e l s e ap u b l i s h i n gc o m p a n y n e wy o r k f i r s te d1 9 6 8 s e c o a de d ，1 9 8 9 1 9 a m f i n k “a l m o s t p e r i o d i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ”，i * c t u r e n o t e s i n m a t h e m a t i c s v 0 1 3 7 7 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 4 2 0 何崇佑概周期微分方程【m 】北京：高等教育出版社，1 9 9 2 2 i b 。m 列维坦著，余家荣，张延昌译概周期微分方程m 北京：高等教育出舨社， 1 9 5 6 2 2 c z h a n g p s e u d oa l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n so fs o m ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 4 ，1 8 1 ：6 2 7 6 2 3 c z h a n g p s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so f s o a ”d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sl l i j j m a t h a n a