（信号与信息处理专业论文）非干涉光场的相位恢复算法研究.pdf

安徽大学硕士学位论文 摘要 摘要 由于光的频率较高，现有设备只能记录光场的强度信息，无法直接获得相位 信息，因此需要借助强度信息来恢复光场的相位信息。相位恢复问题研究，对于 天文、x 射线相衬成像、衍射光学、波阵面重构和全息术等领域有重要意义。但 是干涉法从强度测量恢复相位要求光源的空间和时间连续，由此会造成一系列分 辨率、敏感性等问题。本文利用非干涉光场，对相位恢复算法进行了研究。目前 非干涉技术恢复相位主要有基于强度传输方程( t i e ) 的确定性求解和迭代两大 类。本文的主要研究工作如下： 首先研究了基于t i e 方程的确定性求解相位的方法。总结了各种t i e 方程 的解法，如傅里叶法、多重网格法等。重点研究了傅里叶法，对成像距离参数影 响进行了讨论，该算法计算速度快、对低频信息恢复较好，但是得到的是相位的 近似解。通过模拟实验和真实实验验证，该算法适用于近场。 其次研究了迭代算法求解相位，总结了各种迭代算法如g s 迭代、角谱迭代 等。重点研究了角谱迭代算法，其思想是用随机相位作为迭代初始相位，利用平 面角谱传播原理，在物面和像面之间反复迭代，从而获得物面相位讯息。通过模 拟实验验证，该算法对高频信息恢复较好，但是适用于远场。 然后为了克服t i e 方法和迭代算法的局限性，将t i e 方法和迭代算法两者 融合，即用t i e 方程得到的解作为迭代算法的初始相位进行迭代。通过模拟实验 和真实实验验证，该算法提高了t i e 方程检索相位的精度，同时减少了迭代算法 的计算负担，扩大了成像距离的适用范围。 最后，基于t i e 、迭代及两者融合的算法，本文提出了整个非干涉光场的相 位恢复算法模型，即在近场采用基于t i e 方程算法，中场采用t i e 与迭代融合 算法，远场采用迭代算法。通过模拟实验验证，该算法模型对不同成像距离的相 位复原效果都很好。 关键词：非干涉光场；相位恢复；t i e 方程；迭代算法；迭代与t i e 融合算法 a b s t r a c t d u et ot h el i g h tf r e q u e n c yi st o oh i g h ，t h ee x i s t i n ge q u i p m e n tc a no n l yc o l l e c t t h ei n t e n s i t yi n f o r m a t i o no ft h eo p t i c a lf i e l d ，b u tc a nn o to b t a i nt h ep h a s ei n f o r m a t i o n d i r e c t l y , s ow en e e dt ou s et h ei n t e n s i t yi n f o r m a t i o nt or e s t o r et h ep h a s ei n f o r m a t i o n o ft h el i g h tf i l e d t h er e s e a r c ho fp h a s er e t r i e v a la l g o r i t h mi si m p o r t a n tf o rm a n y f i e l d s ，s u c ha sa s t r o n o m y ，xr a yp h a s ec o n t r a s ti m a g i n g ，d i f f r a c t i v eo p t i c ，h o l o g r a p h y , w a v e f r o n tr e c o n s t r u c t i o na n ds oo n b u tt h ei n t e r f e r o m e t r yf r o mi n t e n s i t y m e a s u r e m e n t si nr e c o v e r yp h a s er e q u i r e st h ec o n t i n u i n gs p a c ea n dt i m eo fl i g h t s o u r c e ，w h i c hw i l lc a u s e sas e r i e so fp r o b l e m ss u c ha sr e s o l u t i o n ，s e n s i t i v i t ya n d s oo n s ow er e s e a r c h e dt h e p h a s e r e t r i e v a l a l g o r i t h m w h i c hi sb a s e do nt h e n o n i n t e r f e r o m e t r yo p t i c a lf i e l d n o n i n t e r f e r o m e t r yp h a s e r e t r i e v a lt e c h n o l o g y m a i n l yi n c l u d e st h ed e t e r m i n i s t i cs o l v i n gw h i c hb a s e do n t h ei n t e n s i t yt r a n s p o r t e q u a t i o n ( t i e ) a n d i t e r a t i v e t h em a i nr e s e a r c hw o r ka t ea sf o l l o w s ： f i r s to fa l l ，t h i st h e s i sr e s e a r c h e dt h ed e t e r m i n i s t i cs o l v i n gp h a s ei n f o r m a t i o n b a s e do nt h et i ee q u a t i o n w es u m m a r i z e dt h ev a r i o u ss o l u t i o n so ft h et i ee q u a t i o n ， s u c ha sf o u r i e rm e t h o d ，m u l t i g r i dm e t h o da n ds oo n w ef o c u s e do nt h ef o u r i e r m e t h o d ，d i s c u s s e dt h ei m a g i n gd i s t a n c ep a r a m e t e ri n f l u e n c e s ，a n dt h i sa l g o r i t h mh a sa f a s tc a l c u l a t i o ns p e e d ，w h i c hi sg o o df o rl o w - f r e q u e n c yi n f o r m a t i o nr e c o v e r y , b u t w h a ti tg e t si st h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no ft h ep h a s e t h r o u g ht h es i m u l a t i o na n dr e a l e x p e r i m e n t s ，i ti sa p p l i e dt ot h en e a rf i l e d s e c o n d l y , w er e s e a r c h e dt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m w es u m m a r i z e dt h e v a r i o u s i t e r a t i v ea l g o r i t h m s ，s u c ha sg si t e r a t i v ea l g o r i t h m ，t h ea n g u l a rs p e c t r u mi t e r a t i v e a l g o r i t h ma n d s oo n w ef o c u s e do nt h ea n g u l a rs p e c t r u mi t e r a t i v ea l g o r i t h m ，t h ei d e a i su s i n gt h er a n d o mp h a s ea st h ei n i t i a li t e r a t i o np h a s e ，e x p l o i t i n gp l a n ea n g u l a r s p e c t r u mc o m m u n i c a t i o np r i n c i p l e ，i t e r a t i n gb e t w e e nt h eo b j e c tp l a n ea n di m a g e p l a n e ，f i n a l l yg e t t i n gt h em e s s a g e o ft h e o b j e c tp h a s e t h r o u g h t h es i m u l a t i o n e x p e r i m e n t ，t h ea l g o r i t h mi sg o o df o rt h eh i g hf r e q u e n c yi n f o r m a t i o nr e c o v e r y , b u t o n l yf i tf o rt h ef a rf i l e d m o r e o v e ri no r d e rt oo v e r c o m et h el i m i t a t i o n so ft h et i em e t h o da n di t e r a t i v e a l g o r i t h m ，w ec o m b i n et h e s et w o ，t h a ti su s i n gt i e s o l u t i o nr e p l a c i n gt h ei t e r a t i v e i n i t i a l p h a s e t h r o u g h t h es i m u l a t i o na n dr e a le x p e r i m e n t s ，t h i sa l g o r i t h mc a n i m p r o v et h ea c c u r a c yo fr e t r i e v a lp h a s eu s i n gt i ee q u a t i o n ，w h i l er e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a lb u r d e na n d e x t e n dt h es c o p eo fa p p l i c a t i o no fi m a g i n gd i s t a n c e f i n a l l y , b a s e do nt h et i e ，i t e r a t i v ea n dt h ec o m b i n a t i o no ft i ea n di t e r a t i v e a l g o r i t h m ，t h i st h e s i sp r e s e n t e dt h ep h a s er e t r i e v a la l g o r i t h mm o d e lw h i c hb a s e do n t h en o n - i n t e r f e r e n c eo p t i c a lf i l e d w eu s e dt h et i ee q u a t i o na l g o r i t h mi nt h en e a r f i e l d ，t h ec o m b i n a t i o no ft i ea n di t e r a t i v ea l g o r i t h mi nt h em i d f i e l d ，t h ei t e r a t i v e a l g o r i t h mi nt h ef a rf i e l d t h r o u g h t h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t ，w et e s t i f i e dt h e a l g o r i t h mm o d e li sg o o df o rd i f f e r e n ti m a g i n gd i s t a n c ep h a s e r e t r i e v a l k e y w o r d s ：n o n i n t e r f e r e n c e ；p h a s er e t r i e v a l ；t i ee q u a t i o n ；i t e r a t i v ea l g o r i t h m ； t h ec o m b i n a t i o no ft i ea n di t e r a t i v ea l g o r i t h m i i i 安徽大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 研究背景与目的 第一章绪论 由强度测量来恢复丢失了的相位信息问题称作相位恢复问题，它出现于不同 的物理学分支学科中，例如，天文学【1 j ，x 一射线成像【2 卅，电子显微术【5 卅，全息 术【8 】以及逆源问剧9 l 等领域中。由于光的频率太高，现有设备只能采集到光场的 强度信息，而无法获得其相位信息，所以借助已知的光强信息来恢复相位信息是 很必要的。 目前显示技术处于高清阶段，下一个技术目标是3 d 显示，科技部已将该技 术列入十二五重大战略新兴产业。目前的3 d 显示技术大致可分为三类：自由立 体显示、空间体显示和全息显示。而全息显示不仅能够提供几乎接近于真实世 界的3 d 图像，还能提供所有视点上、所有距离上的3 d 视觉，它几乎是最理想 的能够自由观看的3 d 显示技术。i e e et r a n s a c t i o n s 特邀文章指出：“全息 术可能是3 d t v 的最终解决方案”【1 0 1 。 全息显示中需要源光场的强度和相位，光在空间传播频率约为3 1 x 1 0 1 5 r a d s ， 目前还没有一种设备有那么快的响应速度可以直接测量光的相位，也就是说常规 成像系统( 例如相机) 只能提供光波场的振幅平方( 强度) ，丢失了波阵面的相 位( 曲率) ，为了得到深度信息需要复杂的设备或对数据进行复杂的转换和处理。 1 9 7 7 年诺贝尔奖得主d e n n i sg a b o r 提出用干涉法从强度测量中恢复波阵面，由 此相位获取技术受到相当的重视，并且已经应用在显微、天文等领域中【1 1 , 1 2 】。但 是干涉法要求光源的空间和时间连续，会造成一系列分辨率、敏感性等问题【1 3 , 1 4 】。 因此，我们研究非干涉光场相位获取的理论、实验和计算，为3 d 显示技术提供 必要的技术支持。 1 2 国内外发展趋势 非干涉光场相位即相位恢复技术，它是指利用直接测量得到的强度分布来 恢复相位从而重建波函数。关于相位恢复问题，近几十年来，许多学者提出了各 1 安徽大学硕士学位论文非干涉光场的相位恢复算法研究 种复原方案并进行了详细的讨论。目前有若干方法被提出，主要有g s f ( g e r c h b e r g - s a x t o n f i e n u p ) 迭代算法和基于强度传输方程( t r a n s p o r to fi n t e n s i t y e q u a t i o n ，t i e ) 的确定性求解方法。 1 9 7 2 年，g e r c h b e r g 等人提出了g s 算澍1 5 】，g s 算法涉及在图像空间和傅 立叶空间之间利用已知的信息或者约束来重复迭代。后来，f i e n u p 等人对g s 算 法作出了很多的修正算法。1 9 8 2 年，f i e n u p 提出错误减少算法( e r r o rr e d u c t i o n a l g o r i t h m ，e r ) 1 6 】及混合输入输出算法( h y b r i di n p u t o u t p u t ，h i o ) 1 6 1 。e r 算 法主要思想是在每一次迭代图像的像素或数据的当前估计值被设置为符合先验 的约束。如果当前的估计是负的或在支撑域外，那么对应的像素值被设置为 零，其它的值保留，傅立叶幅度设置为它们的测量值。不幸的是，该算法往往 陷入“停滞 。h i o 算法与g s 算法不同之处在于对物面限制的处理不同，h i o 算法加入了负反馈，从而加快了收敛速度。 国内学者针对于e r 算法的缺陷，提出了另一个有效的改进算法，即杨国祯 和顾本源两位学者在9 0 年代提出的杨顾算法【1 7 1 ，该算法是根据两个面( 含输入 面和一个输出面) 的强度信息对输入面的相位进行恢复。不过，该类算法具有收 敛速度慢、迭代不确定性、抗噪性能差等缺点。随后，针对这些缺点，国内也 有很多学者作了很多改进算法，如利用三个散焦面或更多来恢复相位信息。还 有一种有效迭代算法是基于平面角谱理论知识的迭代角谱算法( i t e r a t i v e a n g u l a r s p e c t r u ma p p r o a c h ，i a s a ) 1 8 , 1 9 】，该算法是利用物平面与像平面之间，通过平 面角谱传播公式，在两个平面之间反复迭代来恢复物平面上的相位讯息。 1 9 8 3 年t e a g u e 为电磁辐射提出强度传输方程1 2 0 1 ，后来应用到更广泛的线性 和非线性傍轴领域【2 1 】。t e a g u e 引进了一个辅助函数把t i e 变换到经典的二维泊 松方程【2 0 1 ，该方程可由傅里叶法解出。傅立叶法【2 2 1 已经广泛应用于用可见光【1 1 ， 中子【5 卅，x 射线1 2 叫和电子【2 3 之6 1 进行的相位恢复中。 t 除了傅里叶解法外，还有g r e e n 函数法。1 9 8 2 年，t e a g u e 2 0 j 选择d i r i c h l e t 边界条件的g r e e n 函数求解相位。2 0 0 2 年，w o o d s 和g r e e n a w a y 提出用g r e e n 函数的n e u m a n n 边界条件【2 7 1 。 除了上述解t i e 方程的算法，g u r e y e v , r o b e r t s 和n u g e n t 2 8 】在1 9 9 5 年提出 一种把t i e 扩展成z e m i k e 多项式的重构波阵面方法。该算法仅包含一个矩阵乘， 2 安徽大学硕士学位论文 第一章绪论 能得到非常快和准确的相位检索。 另一种有效求解t i e 的方法是多重网格方法( m u l t i g r i dm e t h o d ，m g ) 2 9 , 3 0 ， 该算法可以得到t i e 方程的精确解。国内学者薛斌党、郑世玲等也提出完全重网 格方法( f u l lm u l t i g r i dm e t h o d ，简称f m g ) 3 1 1 及预处理联合梯度算法1 3 2 】等。这 些算法都是基于m g 算法改进的。 2 0 0 3 年，g u r e y e v 提出一种将强度传输方程与g s f 迭代结合起来1 3 3 j 以及在 2 0 0 4 年提出将t i e 方程与b o r n 近似结合起- 来【3 4 j 的相位检索方法。t i e 与g s f 结合的思想是将t i e 得到的相位作为g s f 的初始相位进行迭代，这种方法可以 提高t i e 在菲涅尔域相位检索精度，也可以减少g s f 的计算负担。2 0 0 5 年国内 几位学者也提出一种t i e 与i a s a 结合的相位检索方法【1 8 】。 1 3 论文的内容与结构 在本文中，首先阐述了相位恢复算法的研究背景及目的、国内外研究现状及 其应用；通过相关光学基础知识，对光波的复振幅表示、光的干涉和衍射理论和 光的传播进行了描述，为后面的进一步研究提供理论基础。 其次，重点研究了相位恢复算法：基于t i e 方程的相位恢复算法、迭代算法 和将两者结合起来的相位恢复算法。( 1 ) 在前人研究基础之上总结了基于t i e 方程的相位恢复算法，包括傅里叶算法、多重网格算法、g r e e n 函数算法以及 z e m i k e 多项式等。本文重点研究了傅里叶解法，给出了具体的解法推导以及对 这种方法的适用性进行了简单讨论。本文利用傅里叶算法做了一系列模拟实验， 并对实验结果做了简要分析。更利用实验室搭建的平台拍摄了2 组真实图片，进 行了相应的真实实验。但是该算法只是得到了相位的近似解，而且只适用于成像 距离较近的情况。( 2 ) 总结了迭代算法包括经典的g s 算法、迭代角谱算法、h i o t t 算法、y g 算法等。本文重点研究了角谱迭代算法，该算法是基于平面角谱传播 理论，但是迭代算法只适用于成像距离较远的情况。( 3 ) 重点研究了t i e 方程与 迭代融合的算法，该算法是在总结了t i e 方程和迭代算法的特点后提出的改进算 法，用t i e 方程得到的相位作为迭代的初始猜测相位，加快了迭代算法的收敛速 度并提高了t i e 方程检索相位的精度。本文对这些算法做了相应的模拟实验及真 实实验。 安徽大学硕士学位论文非干涉光场的相位恢复算法矽堕 最后，基于各种相位恢复算法之上，本文提出了在整个非干涉光场的相位恢 复算法模型，根据菲涅尔数值将衍射场划分为近场、中场和远场。即在菲涅尔近 场采用基于t i e 方程的相位恢复算法，菲涅尔中场采用t i e 与迭代结合的相位 恢复算法，远场即夫朗和费远场采用迭代算法。并给出模拟实验验证。 全文共5 章，每章内容如下： 第一章绪论。本章主要内容包括课题研究背景与目的，国内外研究现状以 及本文的内容与结构。 第二章相关光学基础知识。本章阐述相关光学基础知识，包括光的干涉现 象及发生干涉的条件、波的复振幅表示、角谱衍射理论、菲涅尔衍射及夫朗和 费衍射积分。 第三章基于强度传输方程( t i e ) 的相位恢复算法。本章详细介绍基于t i e 方程的相位恢复算法，首先给出t i e 方程的详细推导，并重点介绍t i e 方程的 解法，如傅里叶算法、多重网格算法、g r e e n 函数算法及将t i e 方程展开成z e m i k e 多项式算法。并给出傅里叶算法的模拟实验和真实实验及实验结果分析。 第四章迭代与强度传输方程融合的相位恢复算法。本章首先介绍迭代算法， 如经典的g s 算法、迭代角谱算法、h i o 算法等及相关实验。然后重点分析了 t i e 方程和迭代算法的优缺点，介绍迭代与t i e 方程融合的相位恢复算法及相关 模拟实验和真实实验。最后重点提出整个非干涉光场的相位恢复算法模型及模拟 实验验证。 第五章总结与展望。本章是对本论文的总结和对未来工作的展望。 4 安徽大学硕士学位论文 第二章相关光学理论 第二章相关光学理论 光波是电磁波，光的传播过程是电磁波在介质空间的衍射过程，衍射规律是 光波传播的基本规律。 本章介绍光学研究的基础知识，包括光的干涉现象与干涉条件【3 5 1 、光波的 复振幅表示【3 6 】及光的标量衍射理论【3 7 3 8 】的部分内容，为后面进一步研究提供理论 基础。 2 1 光的干涉现象与干涉条件 光的干涉现象是指两列或者几列光波在空间相遇时，相互叠加，在某些区域 始终加强，而在另一些区域始终减弱，从而形成稳定的强弱分布现象。 不是任意的光波相叠加之后都能够产生干涉现象，产生干涉现象时，光波必 须要满足一定的条件。 假设两个的单色光波振动巨和e ：叠加后，设 巨；e 0 1c o s ( c o , t k 1 厂+ 1 ) ( 2 1 ) e 2 = e 0 2c o s ( t 0 2 t k 2 ，+ 够0 2 ) ( 2 2 ) 按照叠加原理叠加后： e = e 1 + e 2 ( 2 3 ) 叠加后光强为： 一 ，= e 2 = ，l + ，2 + 2 ，1 ，2c o s oc o s _ ( p ( 2 - 4 ) 其中，1 1 和，：分别是两束单色光的光强；口为两单色光束的间夹角；c p 为两单色 光束之间的相位差。并且有 驴= k 2 r k l r + 1 一驴0 2 + ( q 一0 ) 2 ( 2 5 ) 设 ，1 2 = 2 ，1 ，2c o s oc o s p ( 2 6 ) 安徽大学硕士学位论文非干涉光场的相位恢复算法研究 有 i ；1 1 + ，2 + ，1 2( 2 - 7 ) 当，。：；0 时，i = 1 1 + ，：，即干涉项为零时不发生干涉现象，这时两单色光波 属于非干涉叠加；当厶：0 时，即干涉项不为零时发生干涉现象，这时两单色光 波属于相干叠加。分析干涉项，。：，我们可以得到两单色光束叠加而产生干涉现 象的条件。可以将干涉项改写成为： 1 1 2 = 2 e o l e 0 2e o s q ， ( 2 8 ) 对于任意两单色光束的相位差驴，干涉项：乒0 条件为： - _ 一 e 0 1 0 2 乒0或0 事竺 ( 2 9 ) z 因此，由( 2 9 ) 式可知，当两单色光束振动有平行分量时，才会发生干涉现象。 当两单色光波的振动方向完全一致时，干涉项，l ：最大，此时的干涉效应最明显。 总之，两光波发生干涉的条件有：两光波的振动方向相同；两光波的频 率相同；两光波的相位差恒定。 2 2 光波的复函数表示 光波通过光学系统的研究中，通常需要计算的是垂直于系统光轴或者垂直于 光束传播方向的空间平面上的光波场。因此，正确表述不同形式的光波在给定平 面上的复振幅具有实际的意义。 2 2 1 单色光的复函数表示 在直角坐标系d 耽表示的三维介质空间中，坐标为g ，y ，z ) 的p 点在t 时刻 的单色光振动，可以用三角函数表示成： u b ，y ，z ，f ) = u b ，y ，z ) c o s 仁，y ，z ) 一2 s r v t ) ( 2 1 0 ) 式( 2 - 1 0 ) 中，u g ，y ，z ) 为p 点光振动的振幅， ，为光波的频率，驴g ，y ，z ) 为p 点的初始相付。 安徽大学硕士学位论文第二章相关光学理论 利用欧拉公式，式( 2 1 0 ) 可以表示为： u ( x ，y ，z ，f ) = r o v ( x ，y ，z ) c x p ( 一j 2 a w ) e x p j q 口( x ，y ，z ( 2 1 0 ) 謇 式( 2 1 0 ) 木为式( 2 1 0 ) 的另一种表现形式，其中j = 二i ，r e ) 表示对 内 的复数取实部。 由于光振动的频率非常高，在对实际光振动的探测时问间隔内，通常测量到 的是在探测时间内经历了大量周期振动的光强度的平均值，所以时间因子对描述 光场的空间分布不起作用。因此，光波场的空间分布完全由下式描述： u ( x ，y ，z ) - i u ( x ，y ，4 0 x p b , ( x ，y ，z ) ( 2 1 1 ) 该式是与时间无关的复函数。 由于光振动的强度分布正比于振幅的平方，利用复数表示光振动时，光波的 强度可以用它的复振幅和其共轭复量的积表示 1 ( x ，y ，z ) ；u g ，y ，z 妙g ，y ，z ) ：l u ( x ，y ，z 】2 ( 2 1 2 ) 因此 j ，g ，y ，z ) = 罗u 。g ，y ，z ) 罗阴仁，y ，z ) ( 2 - 1 3 ) 短 笥 在完成( 2 1 3 ) 的计算中，积的运算转化为幂指数和计算过程，显著简化了采用 三角函数表示波动时繁杂的三角函数运算。 2 2 2 空间平面上平面波及球面波的复振幅 1 空i 司平面上平面波的复振幅 对于平面波，通常将光的传播方向设为z 轴。这样，需要表述的平面就是与 z 轴垂直的平面。在给定平面z = z 。上的光波复振幅为： u ( x ，y ，z o ) = “g ，y ，z 。) e x p j k ( x c o s a + y c o s f l - i - z o c o s ) ，) ( 2 1 4 ) 由- t ：c o sr ；, 1 一c o s 2 口一c o s 2 是一个与x ，y 无关的常数，式( 2 1 4 ) 也可写成 u ( x ，y ，z 。) = u 。g ，y ，z 。) e x p j k ( x c o s a + y c o s f l ) ( 2 1 5 ) 其中 7 安徽大学硕士学位论文 非干涉光场的相位恢复算法研究 ( ，。g ，y ，z 。) ；蹦x , y , z o ) e x pj k z 。扛磊石二而) ( 2 二1 6 ) 式( 2 1 6 ) 就是我们常用的平面波复振幅的表达式。 2 空间平面上球面波的复振幅 定义一个实常量u 。，通过波矢七及矢径，可以将球面波表示为： 慨印) i u ，。c o s p 撕) ( 2 - 1 7 ) ，i， 式( 2 1 7 ) 中，两：，。乒而。 对于发散的球面波，k 与，的方向相同，可以将球面波直接写成下面的标量 形式： 比g ，y ，z ，f ) ：丝c o s 一撕) ( 2 1 8 ) 对于会聚的球面波，k 与厂的方向相反，其标量表达式则与发散球面波差一 个符号： h b ，y ，z ，f ) ；坠c o s ( 一k r 一撕) ( 2 1 9 ) 于是，球面波的复振幅可以表示为： v ( x ，y ，z ) = 一u oe x p ( j 静) ( 发散球面波) 堡r e x p ( 一弦) ( 会聚球面波) 2 - 2 。 当光源位置不在原点，而在( x 0 ，y 。，z 。) 时，球面波的复振幅仍然写为式( 2 - 2 0 ) 的形式，但是式( 2 2 0 ) 中： r ：厄i f f 哥而 ( 2 2 1 ) 式( 2 2 1 ) 表示球面波中心到观察点的距离。 2 3 衍射的角谱理论 2 3 1 衍射公式的角谱分析 设一束单色光波沿z 轴方向，投射到x y 平面上，在距离z 处的光场分布记 8 安徽大学硕士学位论文 第二章相关光学理论 作u b ，y ，z ) 。则光场分布函数u g ，y ，z ) 在x - y 平面上的二维f f t 变换为： 彳( 氕，正) ；胪g ，y ，ze x p - j 纫奴+ 巩沾劬 ( 2 2 2 ) 式( 2 - 2 2 ) 就是光场复振幅分布u g ，y ，z ) 的角谱。同时有逆变换为： 【，g ，y ，z ) = j p ( 九， ，丘) e x p 【，幼奴，历洼呢叽 ( 2 2 3 ) u ( x ，y ，z ) 可以理解为不同空间频率的系列基元函数e x p j 2 a ( x f x ，y l ) z 和，其叠加权重为4 【九，正) 。因为氕= 竖 ，= 丁c o s f l ，则4 仉，z ) 也可 利用方向余弦来表示为： 彳( 半，半寸酽) e x p 卜( 半五半y ) 姗协2 4 ) 2 3 2 平面波角谱的传播 根据式( 2 - 2 3 ) ，图2 - 1 中z = o 平面上的光场分布b ，y ，o ) 和z = z o 平面上 的光场分布u g ，y ，z 。) 可以分别记作： y 胁也( 半，半帅胁( 半z + 半删( 争( 半 ( 2 2 5 ) 【，( x , y , z o ) = ，( 半，半而) e x 幼( 半z + 丁c o s f l ) ，m 半川警) ( 2 2 6 ) 角谱的传播尊是研究z = o 平面上的角谱1 半，丁c o s f l ，。卜誓平面上 的角谱彳f ，竺 ，竺竽，z 。1 之间的关系。 i a 。 a”j 。一 9 窒丝盔堂亟主堂垡迨塞i ! 塑堂垄堕塑垡堡星篁鲨堕 u ( x z = 0 么褥、 一 一l 渊! ，一_ ，y , z o ) z 一一 f i g2 - 1s c h e m a t i cd i a g r a mo fa n g u l a rs p e c t r u mt h e o r y 将u 仁，y ，z 。) 表达式代入亥姆霍兹方程，改变积分与微分的j 顸序，可以推导 出，二阶线性微分方程 芸彳( 罕，掣而) 坩( 1 一z 口一c o s 2 1 4 ( 半，半而) ；o ( 2 - 2 7 ) d z 九人 式( 2 2 7 ) 的一个基本解是： 彳c 半，竿而m ( 半，竿) e x p k 。正而) 2 8 ， z _ 0 平面上的角谱为爿c o s t z 。，了c o s f l ，。) ，断有 c ( 半，半) 叫半，半聊 ( 2 - 2 9 ) 最后得到角谱传播的规律可以表述为： 彳( _ c o s ，掣而) 叫半，c o s , 0 ) e x p k 。瓜丽) ( 2 3 0 ) 儿 式( 2 3 0 ) 给出了两个平面波之间角谱传播的规律。通过已知平面上的光场 分帆伽) ，得其角谱彳( 半，半垆可蜊用式( 2 - 3 0 ) 求学它传播 i ， 至l j z = z 0 平面上的角叫半，了c o s f l 而) ，最后再通船f t 变换可以求牝 、 ， 一一一一一一 安徽大学硕士学位论文 第二章相关光学理论 平面的光场分布u b ，y ，z oj 。 令正；_ c o s，；c o ，s _ 塑，把式( 2 3 0 ) 改写成为： 彳【只，) = 4 【正，y _ l h 【尤，) ( 2 3 1 ) 式中彳( 丘，厂，) ；爿f 竖等，_ c o s f l ，z 。1 可以看作为一个线性不变系统的输出函数的。 i l ， 频谱，a ( m ) = 彳( 半，t c o s f l ，。) 可以看作一仫陛不变系统输入函数的频 谱，那么，系统可以由传递函数表述为： 日( m ) 一矧一p 他。瓜而珊 协3 2 ， 传递函数在满足标量衍射近似条件下也可表示为： 日( 丘， ) = e x p 膨。、j 叼 ，丘+ 0 ，这个方程对于相位有一个唯一的解。 如果有，( ，上，z ) = o 的点( 预示在相位图中有漩涡存在的可能) ，般而言，使用方 程( 3 1 4 ) 恢复相位将不会产生唯一的结果【4 2 ，4 3 1 。 t e a g u e 2 0 】提出一近似方程求解方法，即傅里叶方法。这种方法基于h e l m o l t z 原理i 删，可以分解方程( 3 1 4 ) 中的矢量场，( 厂上，z ) v 上妒( ，上，z ) ，如： ，( ，上，z ) v 上( r 上，z ) ：v 缈( ，上，z ) + 彳( r 上，z 儿 ( 3 1 5 ) 式( 3 1 5 ) 中，妒( r 上，z ) 是一个连续标量场，a ( a ，z ) 是一个矢量势( 不失一 般性可以假定散度自由) 。在t e a g u e 的近似值中，旋度v xa ( r ，z ) 是可忽略的， 所以方程( 3 - 1 5 ) 可以简化成p o i s s o n 类型的辅助方程缈( 厂上，z ) ： v 却k ，z ) = - k o ：，( _ ，z ) ( 3 1 6 ) 从方程厂o ) 关于x 的n 阶偏微分的傅立叶变换( 表示为3 ) 标准公式开始： 巾9 厂g ，y ) l ：i ”q ：5 3 f ( x ，y ) ( 3 - 1 7 ) 式( 3 1 7 ) 中，吼是在傅立叶空间随x 变化的变量【4 3 1 ，同理也适用于关于y 的偏微分方程，这样我们可以写成： v 上厂b ，) ，) ；f 二惑一1 留，z i ( x ，y ) + f 多s 一1 留y 对厂b ，y ) 】 ( 3 1 8 ) 式( 3 1 8 ) 中，x a 和y a 分另i j 是x 和y 方向的单位矢量，从方程( 3 1 8 ) 得到： v 弛y ) 羽。1 喀坞2 m x ，y ) ( 3 - 1 9 ) 一一z - q l z f ( x ，y ) 式( 3 1 9 ) 中，q 上是在傅立叶空间随r 上变化的量级变量，由方程( 3 - 1 9 ) ， 方程( 3 1 6 ) 的解可以写成： 妒( 气，z ) = 惑g ：2 斟七a ：，( _ ，z ) 】 ( 3 - 2 0 ) 安徽大学硕士学位论文 非干涉光场的相位恢复算法硒塞 两次使用方程( 3 1 8 ) ，这时容易构造v 上【厂1 ( ，上，z ) v ( ，上，z ) 】，再根据方程 ( 3 1 5 ) ，再次舍弃旋度项，这时对于相位驴( r 上，z ) ： v b ( r 上，z ) nv 上【厂1 ( ，上，z ) v ( ，上，z ) 】 ( 3 2 1 ) 利用方程( 3 1 9 ) ，可以解出相位妒( ，上，z ) ： 驴( r 上，z ) = 一惑- 1 q ：双v 上【，- 1 ( r 上，z ) v 上妒( r 上，z ) 】) ( 3 2 2 ) 根据方程( 3 2 0 ) ，将妒( r 上，z ) 代入( 3 2 2 ) 式，最终可以得到相位驴( 厂上，z ) 。 强度偏导o f f ( r 上，z ) 的计算方法，可以利用强度差分来近似计算： ( ) 。监坐罢血型 ( 3 - 2 3 ) 式( 3 2 3 ) 中，j ( 气，z + a z ) 7 0i ( r l ，z 一z ) 分别是距离z 平面z 和一z 的两幅 图像强度。 在求解相位过程中，一个固定的假设就是满足周期边界条件。由于方程 ( 3 2 1 ) 中要除强度，为了确保方程稳定有效，可以通过指定一个参数a 并规 定，( r 上，z ) c 。，铆= 甜( r 上，z ) 懈来实现。这里，( r 上，z ) 一是在中心点平面强度的最大值。 当求方程( 3 2 1 ) 中的方括号的值时，如果，( ，上，z ) s ，( r 上，z ) 。卜研，这时设定，( _ ，z ) 值为，( ，上，z ) 。珊一研。由于类似的原因，求方程( 3 - 2 0 ) 和( 3 2 2 ) 时，吼；0 的值 。必须小心处理【4 0 4 3 】。 3 2 2 多重网格方法 为了便于推导，将光强度传输方程再写一遍： v 上 ，k ，z ) v 上( r l ，z ) 】一k o ：， ( 3 2 4 ) a 是波长，k 。幼a 是波数，厂上是平面x y 上的矢量，垂直于光轴z ，( ，上，z ) 为 单色光的强度，妒( 厂上，z ) 为单色光的相位，v 上= 【o x , a ，) 是平面x y 上的梯度算子， o z l ( r ，z ) 为强度的偏导。 安徽大学硕士学位论文第三章基于强度传输方程( t i e ) 的相位恢复算法 设z ；o 和z = - , - a z 平面上，光强度分布为，( ，上，z o ) ，( 厂上，缸) ，( r 上，z ，& ) 。光强 在光轴方向的变化率司以近似表不为： 亟b 。血坐也虹型 以 。 z 垃 方程( 3 2 4 ) 左边可以扩展开为： v 上f ，( ，l ，z ) v 上驴( k ，z ) 1 萱 v 上，( 厂上，z ) v 上伊( 厂上，z ) + ，( 厂上，z ) v i 妒( 厂上，z ) = a ，( 气，z ) o r l ( r 上，z ) 】0 ，妒( r l ，z ) a y q ) ( r 上，z ) 。+ ，( r 上，z ) a ：妒( r 上，z ) + ，( r 上，z ) a ；驴( ，上，z ) 这样可以将( 3 2 4 ) 式写成： ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ，( _ ，z ) a ，2 ，( r 上，z ) + ，k ，z ) a ；驴( r l ，z ) + o y l ( r 上，z ) o ，k ，z ) + o ，l ( r i ，z 归，k ，z ) ( 3 - 2 7 ) ；一k o l ：k ，z ) 同强度一样，相位的偏导数也可以写成： ! 尘! 尘! 兰! 。垒：! ! 受! 尘：三! 二垒：! = ! 翌! 尘：三2 a x2 h ! 翌( 尘! 三! 。垒! 型翌! 尘：三2 二垒：! ：丝! 尘：三! ( 3 2 8 ) a y 2 h ( 3 - 2 9 ) h 为x , y 方向上相同的离散化采样间隔，( i ，j ) 表示平面x y 上离散点的坐标位置 将( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 式代入( 3 2 7 ) 式，可以得到离散后的方程： e 识+ l ，+ f 谚_ 1 ，+ g 唬，+ 1 + h 绝，卜l 一4 i i , j 唬，= 一k ( o l ：l ， ( 3 3 0 ) 其中，e - - i ；，+ 0 5 ( 0 i ，) i ，】，= 【，一o - 5 ( 甜。) i ，j 】，g = 【，+ o 5 【a ，l ，】， h = 一0 5 ( 0 i ，l ，】 为了方便，将方程( 3 3 0 ) 写成： 2 1 掣 学 安徽大学硕士学位论文非干涉光场的相位恢复算法研究 严籼a z , f z , 。忙e 4 ( i n p ) ( 3 - 3 1 ) 【 m ；0 ( o n r ) p 是在x y 平面的一个范围，r 表示p 的光滑边界，t ，( ，上，z ) - o 和d i