（大地测量学与测量工程专业论文）大坝形变监测数据分析中若干理论问题的研究.pdf

摘要 形变监测是保证工程建筑物安全的一个重要手段。其主要目的是通过监测设 备对所监测的物理量进行观测，以便及时了解对象的工作性态，及时发现问题， 并进行相应的处理。形变监测具有实时性、事前性、可靠性三个基本属性在测 量工作的实践和科学研究活动中，形变监测都占有重要的位置在工程建筑物的 兴建中，从工程施工开始到竣工，以及建成后整个工程的运营期间都要不断的对 工程建筑物进行监测，以便掌握工程建筑物形变的情况，及时发现问题，保证工 程建筑物的安全。本文首先介绍形变监测的概况，并分析大坝形变监测的研究情 况。然后围绕基准与坐标系之间的关系和如何正确发现位移场这两个核心问题展 开研究，具体包括以下几方面： 研究自由网平差理论：证明最小范数原则与内部约束条件之间的等价关系 探讨重心基准的数学、测量意义，内部约束阵g 的中心化、标准化问题等，并 给出详细的推导过程。 研究自由网参考基准的变换方法：微分相似交换，斜投影交换。在这两种交 换方法的基础上推导基准解变换法，并综合分析三种方法的优劣。 在研究各种平差基准的基础上，推导出法方程的一种通解形式，并由此引入 广义基准的概念，进而推导出基准与坐标系之间的关系式 研究基准点稳定性问题：以线性假设检验法原理为基础推导出平均间隙法的 基本公式，给出一套经典的形变分析方案，进而结合某大坝实测数据进行稳定性 分析。 研究形变模型：由最小二乘条件和附加约束条件推导出一种广义形变模型。 不断的改变模型参数，得到三种形变模型，包括重心基准解，方向拟稳解以及模 型坐标解分别采用三种模型处理大坝数据，得出结论：重心基准解与方向拟稳 解对位移量的仙计均不够准确。虽然选取的先验值较粗略，但模型坐标解仍能正 确的发现位移场。在实际计算中，如果有较准确的先验信息或是以物理模型计算 出的位移场为先验值，将会取得更好的估计结果 关键词：形变监测，自由网平差，基准，形变模型 a b s t r a c t a b s t r a c t 1 ) e f o r m a t i o nm o n i t o r i n gi sa l li m p o r t a n tm e t h o dt oe n s u r eb u i l d i n gs e c u r i t y , w h i c hf o r e c a s t sb u i l d i n gs e c u r i t yb yo b t a i n i n gd y n a m i c a li n f o r m a t i o no f d e f o r m a t i o n i nt i m e i t sc h a r a c t e ri n c l u d e st i m i n g , p r e c e d i n g , a n dr e l i a b i l i t y d e f o r m a t i o n m o n i t o r i n gp l a y sa r ti m p o r t a n tr o l e i nm e a s u r i n gw o r k sa n ds c i e n c er e s e a r c ho f e n g i n e e r i n gd e f o r m a t i o n t h i sp a p e ra n a l y z e st h e o r yo f d e f o r m a t i o nm o n i t o r i n g ，t h e n p u t sf o r w a r ds e v e r a lp r o b l e m st h a tw i l lb es t u d i e d ， h i c hi n c l u d ef o u rp a r t s ： ( 1 ) a d j u s t m e n to f f r e en e t w o r kt h e o r y i s t o d ys o m ep r o b l e m sa b o u ti n n e ra d j u s t m e n tc o n s t r a i n t w h i c hi n c l u d e m a t h e m a t i c a lm e a n i n g ，g e o d e t i c a lm e a n i n g ，a n ds oo n ( 2 ) d a t u mc o n d i t i o n 1 p r e s e n tt h r e ep o p u l a rm e t h o d so fd a t u mt r a n s f o r m a t i o na n da n a l y z et h e a d j u s t m e n tr e s u l t su s i n gt h et h r e ed i f f e r e n tm e t h o d s b a s e do nt h es t u d yo fd a t u m c o n d i t i o n s ，1d e r i v eag e n e r a ls o l u t i o ni nf r e eg e o d e t i cn e t w o r ka 由u s t m e n t ，a n dg i v ea f o r m u l aa b o u tt h er e l a t i o nb e t w e e nd a t u mc o n d i t i o na n dc o o r d i n a t es y s t e m ( 3 ) t e s tf o rd a t u mm a r ks t a b i l i t yo f d e f o r m a t i o nm o n i t o r i n g b a s e do nt h et e s t i n go fl i n e a rh y p o t h e s i s ，id e r i v eaf u n d a m e n t a lf o r m u l ao f h a n n o v e rm e t h o da n dp r o v i d eas e to fm e t h o d sf o rd e f o r m a t i o na n a l y s i s f i n a l l y , t a k i n gac e r t a i nd a ma sa c a s es t u d y , iv e r i f yt h a tt h em e t h o d sc o u l db eu s e df o r s t a b i l i t ya n a l y s i s ( 4 ) r e s e a r c ho nd e f o r m a t i o nm o d e j 1d e r i v eag e n e r a ls o l u t i o nf o rd e f o r m a t i o nm o d e lu s i n gl e a s ts q u a r ea n d a d d i t i o n a lc o n s t r a i n t c o n d i t i o n b yc h a n g i n g t h em o d e lp a r a m e t e r s ，1 g o t 3 d e f o r m a t i o n m o d e l s , i n c l u d i n gi n n e r - c o o r d i n a t es o l u t i o n a n do u t e r - c o o r d i n a t e s o l u t i o na sw e l la sm o d e lc o o r d i n a t es o l u t i o nw h i c ha d da d o p t e dt op r o c e s st h ed a m d a t ar e s p e c t i v e l y , a n dt h er e s u l ts h o w st h a tn e i t h e ri n n e r - c o o r d i n a t es o l u t i o nn o r o u t e r - c o o r d i n a t es o l u t i o ni sp r e c i s ee n o u g hf o rd i s p l a c e m e n te s t i m a t e a l t h o u g ht h e p r i o r iv a l u ei sc o a r s e l ys e l e c t e d ，d i s p l a c e m e n tc a r lb ed e t e r m i n e dc o r r e c t l yb yt h e i l a b s t r a c t m o d e lc o o r d i n a t es 0 1 i o n i na c t u a l c o m p u t a t i 6 n ，i fr e l a t i v e l yp r e c i s ep r i o r i n f o r m a t i o ni sa v a i l a b l eo rt a k i n gd i s p l a c e m e n tf i e l dc a l c u l a t e db yp h y s i c a lm o d e l 舔a p r i o r iv a l u e ，ap r e f e r a b l ee s t i m a t i n gr e s u l tc o u l db ea c h i e v e d k e yw o r d s ：d e f o r m a t i o nm o n i t o r i n g ；f r e en e t a d j u s t m e n t ；d a t u mc o n d i t i o n ； d e f o r m a t i o nm o d e i i i i 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 形变监测的目的和意义 变形是自然界的普遍现象，它是指变形体在各种债载作用下，其形状，大小 及位置在时问域和空间域中发生变化。变形体的范围是极其广泛的，人至地壳板 块运动、地壳断层的相对移动、地震引发的岩层及地表位置的交化，局部地壳的 隆起和+ f 沉、海底扩张，冰期后地面i 壁| 弹。局部范围的城市地卜大量抽水和刨灌 引起的地面沉降和回升、地下采矿与油田采油引起的地面下沉、大盐湖湖水蒸发 以后造成的地面上升。小范围的工程建筑物基坑开挖时的吲弹、t 程建筑物的下 沉、隧道开挖时及建成后受山体压力的变形与错位或整段滑动、桥梁基础的位移 与倾斜、桥梁上部构造受到荷载及温度和风力影响下的挠度、水工大坝受水库水 位变化及温度变化而产生的周期性变化和不可逆变化，小至精密工程构件或设备 在运转中的微小相对位移，等等。 工程建筑物在施工和运营期间，由于受多种主客观因素的影响，会产生变形， 变形在一定范围内是允许的但如果超出了规定的限度，就会影响建筑物的正常 使用，严重时还会危及建筑物的安全，给人民生命财产带来巨大损失。尽管t 程 建筑物在设讨时采用了一定的安伞系数，使其能安全承受所考虑的多种外荷载影 响，但是由于设计中不可能对丁程的- 丁作条件及承载能力做出完全准确的估计， 施工质量也不可能完美无缺，工程在运行过程中还可能发生某些不利的变化凶 素，因此，国内外仍有一些工程出现事故。以近几年国内的事故为例，2 0 0 3 年7 月1 日上海地铁心号线( 浦东南路一南浦大桥) 区自j 隧道联络信道工程发生渗水 事故。大量流沙涌入隧道，引起部分地r 由沉降，造成地面一栋8 层楼房倾斜，裙 房规塌。2 0 0 4 年l o 月2 5 日，上海中环线某地道丁程发牛荩坑坍塌事故，坍塌范围 长近4 0 米，深约l o 米。2 0 0 5 年7 月2 l 广州海珠城由于基坑存在安全隐患发生坍塌 事件。2 0 0 5 年i l 月，北京1 1 ，地铁十号线2 2 标段发生坍塌事故，造成至少4 0 0 甲方 米范围内的基坑塌陷1 0 余米。由于各类建筑物与我们的日常生活息息相关，一旦 出现安全事故，将给人民的生命财产造成损失所以，保证工程建筑物安全是一 个十分重要也是很实际的问题。形变监测是保证工程建筑物安全的+ 个重要手 段其主要目的是通过监测设备对所监测的物理量进行观测，以便及时了解对象 的工作性态，及时发现问题，并进行棚应的处理 形变监测主要应用在以下几个方面： ( i ) 地壳形变观测：主要包括监测全球板块运动、地极移动等。地壳在地 第1 章绪论 球内部构造应力的作用下，引起地壳的一些构成要素柏对运动，它可以是水平运 动，垂直运动或地倾斜运动，而造成了山会长高，陆地也会下沉地壳形变的速 度是缓慢的，测定形变的办法是用大地测量方法建立各类监测网进行长期椎测。 ( 2 ) 工业与民用建筑：主要包括基础的沉降观测与建筑物本身的变形观测。 基础的变形监测主要内容是基础的均匀沉陷于不均匀沉陷；建筑物本身的监测主 要包括自身的倾斜和裂缝观测。对于高层或超高层建筑以及一些重要建筑物，还 要对其进行动态观测，如在日照或台风中振动幅值、频率、挠度等。 ( 3 ) 地下工程：主要包括隧道、深基坑( 大于7 米) 等。其中隧道除了对 隧道本身的变形进行监测外，还要对南于隧道开挖引起的地面沉降、地面建筑变 形( 主要为沉降和倾斜) 进行监测；深基坑旅工监测内容主要包括周边环境变形 监测和基坑围护体系监测两大类。其中周边环境变形监测包括周边建筑物沉降、 地下管线沉降、地表沉降等；基坑围护体系( 包括基坑支护，土体、水力系统监 测) 监测包括围护墙顶沉降、围护墙顶位移、围护墙深部水平位移、立柱隆沉、 支撑轴力监测、坑外地下水位监测、土压力监测、孔隙水压力监测、土体分层沉 降等 ( 4 ) 水工建筑物：主要为各种大坝。对于土石坝，重点是观测其水平位移， 垂直位移、渗透以及裂缝：混凝土坝重点观测水平位移、垂直位移和伸缩缝的变 形。 与其他形式的测量相比，形变监测有下列几个特点： ( i ) 精度要求较高在工程项目中，一般精度要求在+ l m m 在地壳形变 监测中，则精度要求更高 ( 2 ) 要求多期晕复观测。根据不同形变率，监测的周期也从秒到年不等。 ( 3 ) 需综合不同类型观测值。监测中不仅要对测量方法做一定的研究，为 了得到更全面的形变信息还需要考虑务种物理仪器的使用，包括倒垂线，测斜仪， 应力计，激光准直仪等等。 ( 4 ) 需精确分析所获得的数据。在监测数据处理巾，必须精确分析形变数 据，尽量避免测量误差或局部形变现象对总体形变分析的影响。 ( 5 ) 需要物理。测量，人文等各学科知识的融合。为了给出最合理的物理 解释，必须要兼顾各学科的知识。 1 2 大坝形变监测的概况 众所周知，大坝所拦蓄的水在正常利用时会带来显著的经济效益和社会效 益，但一旦溃坝，突然失控的水流将给卜f 游人民的生命财产带来巨大的灾害。国 第l 章绪论 内外均有一些大坝曾出现失事的记录。2 0 世纪2 0 年代以来，国际上相继发生了 圣佛朗西斯重力坝( 美国，1 9 2 8 年) 、马尔巴塞拱坝( 法国，1 9 5 9 年) ，瓦依昂特 拱坝( 意大利，1 9 6 3 年) 、提堂土坝( 美国，1 9 7 6 年) 等垮坝事件；我国也先后发 生了板桥、石漫滩两座土坝( 1 9 7 5 年) 洪水漫顶以及沟后水库( 1 9 9 3 年) 渗透破坏 等垮坝事件，给相关国家带来了惨重的灾害和巨大的经济损失，各国政府和坝工 界开始对大坝安全监测高度重视。火坝形变监测是监视火坝安全、提高设计水平 和改进施工方法的行之有效的手段，也是水利水电建设和运营的重要组成部分。 根据国际大坝委员会“坝和水库老化委员会”所给出的定义：大坝形变髓测是指 采用一定的措施，来掌握坝的最近状况，当出现异常情况时，能及时发现j f 能根 据需要考虑处理，以避免严重的后果。通过几i 。年的实践，国内外普遍认为，对 大坝等水工建筑物及其基础的监测可以达到i 个目的：其一是监视建筑物在蓄水 初期以及随后时间运行的安全；第二是在施工过程中不断反馈，提高设计和旅工 水平；第三是通过实际二 作性态的反分析，检验设计和施上，为提高和修正水工 设计理论提供科学依据。 1 。2 。1 形变信息的获取 大坝形变监测主要方法是建立高精度的测量控制网。它主要依赖于精密的测 距仪、全站仪和水准仪，这种测量手段技术成熟，通用性好，精度高，能提供变 形体整体的变形信息。将其他监测方法也列在下面： 基准线法：以一条钢丝作为基准线。其端点需设置丁稳定的地方并施加一定 的拉力，同时以防风装置严格保护。 视准线法：依靠光学仪器构成一条视线。它必须满足点问通视的要求，且按 照规范的要求其长度应限定在一定范围内。 激光准直法：激光准直可分为大气激光准直和真空激光准直。由于旁折光的 干扰，大气激光准直的精度受到限制真空激光准直系统的优点足能测量水甲和 垂直位移，且精度和自动化程度较高，同时它相对于坝外静力水准浮托式引张 线等系统而言有着较强的抗低温和温变能力。 g p s 技术：g p s 在形变监测中的广泛运用，使测量人员的工作量大大降低， 提高了外部形变监测的能力 1 2 2 形变信息的分析 形变信息分析的内容包括形变数据处理与分析、形变的物理解释和变形预报 等等，一般将其分为两个部分；一是变形的几何分析；- - 是变形的物理解释。变 第1 章绪论 形的几何分析是对变形体的形状和大小的变形作几何描述，它的任务主要是描述 变形体变形的空间状态和时间特性主要包括观测值的平差处理和质量评定、参 考点的稳定性分析、变形模型参数估计等内容。变形物理解释的任务是确定变形 体的变形和变形原因之问的关系，对变形的原因加以解释l ”。 ( 1 ) 几何分析 变形监测数据处理的首要问题就是变形的基准问题，多用于周期性形变监测 网。1 9 7 1 年德国测量学者h p e l z e r 提出以方差分析进行整体检验为基础的 h a n n o v e r 法( u p 常用的“平均间隙法”) 。它是利用两周期观测值之差 i 算的单位 权方差与两周期观测值所求的综合单位权方差构成f 检验来判断参考点的稳定 性。参考点的稳定性分析方法很多，a c h r z a n o w s k i 总结为五种方法，除了平均 间隙法外，还包括：以b 检验为基础的d e l f t 法，即甲点位移分量法；以方差分 析和点的位移向量为基础的k a x l s r u h e 法：考虑大地基准的m u n i c h 法；以位移 的不变函数分析为基础的f r c d e r i c t o n 法0 9 8 1 ) 1 2 i 观测值的平差处理是变形数据处理的重要内容，平差基准的选择直接影响平 差结果的正确性。当网中存在稳定的参考点时，经典平差无疑是最佳的选择，但 当无法确定是否存在稳定点时，经典平差显然无法解决这个问题。所以学者们纷 纷将目光转向广义测量平差，包括1 9 6 2 年，迈塞尔( p m e i s s l ) 从测量平差观 点，将经典平差中列满秩的系数阵推广到奇异阵，提出了解决翡满秩平差问题的 秩亏自由网平差方法。1 9 6 4 年，高德曼( a j g o l d m e n ) 和禁勒( m z e l e n ) 将 满秩权逆阵q 扩展到奇异阵。提山具有奇异权逆阵的最d , - - 乘平差方法。1 9 7 1 年t 劳( c r r a o ) 综合了各种可能情况，得出了广义高斯一马尔可夫平差模型， 并把广义商斯一马尔可夫模型的参数估计称为最小二乘统一理论。1 9 7 6 年。瑞 士的k e l l e r 提出广义的赫尔默特变换法。我国的周江文于1 9 8 0 年提出了“拟稳 平差”法，美国的w p r e s c o t t 提出“外部坐标解”平羞法用在模型的参数估 计方面，陈永奇于1 9 8 3 年提出迭代求基准的模型的参数估计方法l 射。 ( 2 ) 物理解释 以大坝为例，物理解释就是根据采集到的大坝结构效应量测值( 变形、渗流、 应力应变等) ，结合坝体结构特点、材料特性和坝基地质条件运用坝工理论和 相应的数学方法对它们进行定量分析，可建立相应的物理模型。应用这些物理模 型，依照特定的分析目的和要求，便可定量地掌握大坝的工作性态，内部机理， 对大坝安全情况作出判断，进而实现对大坝安全的监控日前，常用的大坝监测 物理模型有统计模型、确定性模型和混合模型等l “ 统计模型：大坝监测统计模型是通过数卿统计分析所建立的定量描述大坝监 测值变化规律的数学方程，是大坝实际工作性态的抽象和简化。以混凝土坝为例， 4 笫i 章绪论 其上某测点a - t 时刻的形变效应量主要是山上下游水位、温度以及时间效应这三 种环境因素的共同作用引起的。其模型为： j ( f ) = j h ( 磅+ 磊( 0 + 磊( f ) ( 1 1 ) 式中：6 ( 0 一效应量监测值6 在时间t 时的统计估计值： 矗( f ) ，西( 0 磊( f ) 一分别为艿( f ) 水压、温度、时效影响分量。 确定性模型和混合模型：确定性模型以有限元分析为主，它是在假设一定的 条件下，利用变形体的力学性质和物理性质，通过应力一应变的关系来建立荷载 与变形的函数模型，它不需要观测数据，因而有“先验”的性质。 大坝效应量受环境因素的影响，它是众多环境因素共同作用下的综合反映。 影响大坝效应监测量的因素很多，有些环境因素与效应量问的关系是明确的，通 过相应的物理理论和方法就可以建立这些环境自变量与效应量间的函数关系式： 另一些环境因素与效应量间的关系尚不明确，采用相应的物理理论和方法难以建 立这些环境自变量与效应量间的确定性关系式。因此，在建立大坝效应监测量模 型时，部分环境影响分量形式由物理理论计算确定，另一部分环境影响分量形式 由统计方法给出，这样得到的即为混合模型。若五五，j ，p 咒是影响大坝某 监测点效应量y 的q 个环境量，x ，k ，乓，二是q 个环境量对y 的影响分量， 则大坝效应量y 的混合模型形式为： y = a , g + y 。a ， ： ( 1 2 ) 式中前p 个影响分量形式i 由物理理论计算确定，后q l d 个环境影响分量形式则 由统计方法给出。 1 2 3 形变分析的基本流程 形变分析一般包括监测方案的制定，监测资料预处理，形变几何分析以及物 理解释四大步。而这四大步中又包含各自的子步骤。以形变几何分析为例，该部 分主要包括：基准问题，观测值平差和形变模型参数估计等三方面。本文着重对 形变几何分析这一部分进行研究。绘制形变分析基本步骤示意图如下： 第i 章绪论 1 3 本文研究内容 1 1 形变分析基本步骤示意图 在过去数十年中，国内外学者对形变监测的一系列问题做了大量的研究，也 取得了可喜的成果。在基准方面，学者们提出了各种不同的见解。但他们主要集 中于对基准与平差结果之间的数学关系进行研究，并未涉及到基准与坐标系之间 关系的问题，或者即使涉及到基准与坐标系问题，也没给出它们之间关系的数学 表达式。在位移分析方面，目i j i 经典的位移分析方法是通过不断地统计检验来选 定合理模型求解位移场。所以其求解的工作量必然很大，对位移场的估计也具有 一定的偶然性。另外，经典方法只涉及到重心基准解和拟稳基准解这两种形变模 型，则对一些特定的变形体有可能错误的估计位移场。所以如何建屯一个合理的 6 第1 章绪论 形变模型是当前迫切需要解决的问题。本文围绕着基准与坐标系之间关系和如何 正确发现位移场这两个核心问题展开研究，具体包括以下几方面： ( 1 ) 研究自由网平差理论：证明最小范数原则与内部约束条件之间的等价 关系。探讨重心基准的数学、测量意义，内部约束阵g 的中心化、标准化问题 等。 ( 2 ) 着重研究基准问题( 参考系) ：研究两种自由网参考基准的变换方法： 微分相似变换，斜投影变换在这两种变换方法的基础上推导基准解变换法，并 综合分析二种方法的优劣 在研究各种平差基准的基础上，推导法方程的通解，并由此引入广义基准的 概念，进而推导基准与坐标系之问的关系式。 ( 4 ) 研究基准点稳定性分析方法：根据线性假设检验法原理推导出平均间 隙法的基本公式。给出一套经典的形变分析方案，进而结合某大坝实测数据进行 稳定性分析 ( 5 ) 讨论三种形变模型：推导广义形变模型不断的改变模型参数，得到 三种形变模型，包括重心基准解，方向拟稳解以及模型坐标解结合大坝形变监 测数据计算位移场，并根据计算结果进行模型评定 1 4 论文的组织结构 本文主要研究大坝形变监测数据分析中的若干理论f j 题，共分7 章，下面列 出论文的组织结构： 第l 章绪论：介绍形变监测的概况，并列出本文的主要研究内容。 第2 章自由嘲平差基础：珂f 究自由网平差理论。着重研究重心基准，对其 中的若干问趣给出证明 第3 章基准、基准解及坐标系；研究参考基准变换的方法；推导基准与坐 标系之间的关系式。 第4 章基准点稳定性分析：研究稳定性分析方法。推导平均间隙法的基本 公式。 第5 章几种形变模型：推导广义形变模型，并给出三种特殊形变模型。 第6 章实例分析：以某大坝监测数据为基础，进行两种计算：( 1 ) 稳定性 分析( 2 ) 采用三种形变模型试算，选定最佳模型 第7 章结论与展望：归纳本文所做的工作，列出下一步研究计划。 第2 章自由网平暑基础 第2 章自由网平差基础 变形监测网分为绝对网和相对网。绝对网指网中一部分点位于变形体之外， 并作为测定变形点绝对位移的参考点，绝对网多用于工程建筑物的形变监测。相 对网指由于全部网点都位于变形体上，不仅需要分析网点之间的相对变形，而且 还需要研究变形体的几何状态，选择最佳的形变模型相对网主要用于地壳变形 观测。不论绝对网还是相对网，在观测期间网点位景均不能认为是没有变动的， 即网中任意一点的稳定性必须进行检验。因此，变形监测网大多数是自由嘲。 要探讨基准的一系列问题，首先必须对自由网的基础知识以及目前较常用的 基准进行研究。故本章首先研究自由网平差的相关知识，在此基础上引入了基准 的概念重点研究重心基准，对中心化内部约束阵问题给出新的解释。 2 1 概述 控制网按间接平差，通常必须满足足够的起始数据， 它们是非随机参数，平羞的数学模型是1 5 6 , 7 i ： 瞧2 曼磊+ 叁 【d ( 1 ) = o 0 2 q , e ( a ) = 0 待定参数是点的坐标， ( 2 1 ) 即高斯一马尔科夫模型，其中a 为误差方程系数阵( 设计矩阵) ，为误差方程 常数项，膏为坐标改正数。 在函数模型中，由于膏不包含起始数据，a 阵必为列满秩阵，即a 的秩 r ( a ) = ，t 为待定坐标参数的个数。随机模型中的权阵p 是满秩阵，即r ( p ) = 玎， 表示观测值之间不存在函数相关，所以这是一个满秩平差问题 设j 的估值为x ，则由( 2 1 ) 式可得误差方程为： v = 一善一i ( 2 2 ) x jm x i “l v 是，的改正数，称为残差。 按最小二乘原理： v 1 p v = m i n ( 2 3 ) 组成法方程得： 服= 爿1 p ( 2 4 ) 式中r ( n ) = r ( a ，_ ) = f ，n 非奇异，存在凯利逆一，得到唯一解： 3 第2 章自由刚平差基础 x = n - 叠p l( 2 5 ) 上述经典平差法的条件是控制网中必须设定足够的坐标起算数据。如果设定 的坐标起算数据等于必要起始数据个数，则称为经典自由网平差。例如，在水准 网中，仅选一个点的高程为已知，测角网中设定两点平面坐标为己知，g p s 网中 设定一点三维坐标为已知 当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差 参数，误差方程系数阵a 列亏，( r ( 4 ) = ， t ) n 阵奇异，误差方程无法确定 唯一解。这样的平差问题称为秩亏自由网平差n 秩亏数d 满足d = t r ( 一) ，实际上就是平差中缺少的必要坐标起始数据的个 数。例如，水准网秩亏数d = l ，对应一个已知点高程；测角网秩亏数d = 4 ，对 应两个待定点的平面坐标数；测边网秩亏数d = 3 ，对应一个待定点的平面坐标 和一条边的方位角。 2 2 秩亏自由网平差 2 2 1 最小二乘解 正如前文提到的，对于秩亏自由网平差，法方程n x = a 7 p i 无法解出唯一解 针对该法方程s e a r l e 于1 9 7 1 年给出了一种通解形式如下1 8 i ： x = n a p i + ( i n n ) m ( 2 6 ) 式中一即广义逆，一n 1 ，广义逆可以通过s v d 分解求解。m 为任意r 维向 量转置。 2 乏2 秩亏自由网平差的解法 由( 2 6 ) 式不难看出，任给出。个m ，就可以得到不同的x 所以，为了 得到唯一解，必须附加约束条件基于此思想，众多学者研究山多种秩亏自由网 平差的解法，常用的有：伪观测法、附加条件法、直接解法，消去条件法等。下 面给出附加条件法的推导过程。 列出误差方程： v = a x 一，( 2 7 ) 删l 拊“，一般i r ( 彳) = r d 。 ( 2 4 8 ) 式为拟稳基准下的平差准则。而为拟稳点的坐标参数，0 相对而而言为变 形点的坐标参数。 ( 2 ) 固定基准 重新考察拟稳基准中的，当f 2 ；d 时，即网中存在d 个起始数据，这就是固 定基准下的经典自由网平差。平差模型为： 阮2 。ax 。- 。i 矿7 p v ；m i n ( 2 4 9 ) i 而7 屯= m i n = o 该式为经典自由网平差固定基准的平差准则或相应的最小范数准则。在误差 方程中的磊为不考虑d 个起始数据的全部网点坐标参数。x 2 7 而= m i n = o 表明 其中d 个坐标参数改正数为零，亦即该d 个坐标为起始数据，是固定不动的，如 果将该式代入误差方程，消去这d 个参数，就是经典间接平差模型。 本章小结 本章主要研究了自由网平差的基础理论，主要内容包括： ( 1 ) 推导了秩亏自由网平差的附加条件法的一整套计算过程。 ( 2 ) 证明最小范数原则推导与基准条件s 7 x = o 等价。 ( 3 ) 着重研究重心基准，给出内部约束阵g 的数学表达式并探讨其几何 意义。同时证明：从数学角度看，中心化、标准化前后的g 阵对平差计算 结果毫无影响，而从测量意义上来分析，中心化g 阵是为了保证平差前后 坐标系不变 1 7 第3 章基准、基准解及坐标系 第3 章基准、基准解及坐标系 通过第2 章的分析，我们知道在自由网平差中，给定一个基准，法方程有唯 一解从测量角度来看，也就是固定了一个坐标系换句话说，基准与其定义的 坐标系必然有着某种关系。同样，不同的基准可以得到不同的基准解，那么不同 基准下的解之间又存在什么样的关系呢? 本章将从下面两个方面进行研究： ( 1 )参考基准变换的三种方法 ( 2 ) 基准与坐标系之问的关系 另外，章末通过算例对本章提出的一系列理论进行验证。 3 1 参考基准的变换 在平差计算中。如果已计算得到了经典基准下的平差解，我们就不必再进行 平差计算，直接通过一系列的变换可以将其转换到重心基准或拟稳基准下把这 种问题推广到任意基准下：在自由网平差中，选择不同的基准，会得到不同的基 准解。所以通常需要把菜一+ 基准下的解变换到另。基准下故如何建立不同基准 解之问的关系成为一个重要的问题。本节首先给出了两种参考基准变换方法的推 导过程，并在此基础上推导基准解变换法。并综合分析三种方法的优劣。 3 1 1 基于相似变换的基准变换( 以下简称“方法1 ”) ( 1 ) 微分相似变换原理1 1 0 1 i 设两组平差坐标值五、砭，有如下关系： 墨= x o + 而，瓦= 瓦+ x 2 ( 3 1 ) 其巾蜀为近似坐标( 两次平筹采用同样的近似值系统) ，而，屯为坐标改正数 由墨相似变换至五，( 设恐满足基准方程d 7 , x 2 - - 0 ) 若只考虑网形旋转，设旋转矩阵为r ，则得 x 2 = r x j ( 3 2 ) 其中r = 玛是局( 三维空间) ，令r 的充分近似值p = 臂霹碍，则有： 五= 月。墨+ 8 r x l ( 3 3 ) 1 8 羁2 羁c q ，= l 00 cos喁tz!-篓sin啦ars，恐=是c，=s0吒：i一出0lo s i n 口2 c o s a 2 羁= 羁( q ) =i ，恐= 是( ) = i l i 喁c 郴啦j ii 料= 降s i n c b 嚣0 00 。1 1 焉= 码( ) = l c o s l ll 当旋转角q 、很小时，可取群= 啦0 = 霹= o 所以，群= 焉( 砰) = j ，同理，碍= 碍= r o = ， 础：怯吨0 耄1 础= f 她啦l 【觑奶0j 匿习= 睦耄亭 售 = 陪i 针隆 n 6 ， 式中而= 瞳，以，之爿，孵，艺】r ，= 【爿，爿，毛i 。爿，吖，露】r f - 【眠砂，嘲，奶，觑，融】r 1 9 第3 章基准、基准解及坐标系 g = l0 00 盈一瑁 01 0 卅0 冠 0 01 瑶一z0 10 00 刃一瑶 01 0 一z ：0 x ： 00 1 瑶一x ：0 ( 2 ) 基准变换公式 由于屯= o ，所以( 3 7 ) 式变化为d 7 恐= d 7 五+ d g t = o 。因此， t = 一( d r g ) - d 7 薯 ( 3 8 ) 将( 3 8 ) 代入( 3 7 ) 得微分相似变换的基准变换公式： 而= ( i - o ( d 7 g ) - d t ) x , ( 3 9 ) 另外，当屯满足g 7 屯= o ( 内部约束条件) ，就得到了我们熟悉的变换公式： 毛= ( t - g ( g 7 g ) 一g ) x l ( 3 i 0 ) 3 1 2 基于斜投影理论的基准变换( 以下简称。方法2 ”) ( 1 ) 斜投影理论 假设两个行数都为n 的矩阵a 、b ，其中a 、b 各自张成的空间s ( a ) 、s ( b ) 并s 一) n j ( 口) = 0 ，两矩阵共同张成欧儿里得空间矿。中的任意向量y 可以 表示为： y = 咒+ 肚，m s ( 爿) 兄es ( b ) ( 3 1 1 ) 现引入投影算子只，。： y m = 只，。y ，只，。表示将向量平行“b ) 投影到s ( a ) 上。 由于儿“4 ) ，儿e “d ，所以棚应的把y 农永如下； ) ，= 乃+ 见= a a + b b ( 3 1 2 ) 其中a ，b 分别为某一向量。 根据m = 只，。) ，不难得出： 只，口( a a + b b ) = a a ，也就是， 只，口a = a ，只，口b = 0 ( 3 1 3 ) 加 础瑶盈；嚣瑶筋 第3 章基准、基准解及坐标系 由于只，。b = 0 ，巧。可以看成b 的最大秩矩阵1 1 2 , 1 3 j 再设b 的一最大秩矩阵为c ， 有c r 口= o 因为只，。b = 0 ，所以把只，。表示为只，。= k c 7 ，k 为某一常量。将 其代入只，。a = a 得： k = 4 够7 x ) - ( 3 1 4 ) 因此，得到只。的具体表达式： 只，口= x ( c 7 爿) 。c 7( 3 1 5 ) ( 2 ) 基准变换公式 现把斜投影理论应用到参考基准变换上来： 首先，定义几个e u c l i d e a n 空间设f 为u 维的e u c l i d e a n 空间基准方程 d 五= o 定义了子空间c 矿，其正交补集为子空间s ( d ) ( s ( d ) 维数为 如，q = u - 如) s ( g ) 是由内部约束阵g 的列向量张成的空间具体见图3 1 。 圈3 1 利用投影理论得到的基准解 陈永奇于1 9 8 3 年提出：某一基准d 7 x 2 = 0 t 的解x 2 可以通过将任一解工