（采矿工程专业论文）全长粘结式锚杆受力特征及动测特性研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 9 7 9 g 7 8 全长粘结式锚杆受力特征及动测特性研究 摘要 本文在详细分析、总结前人研究成果的基础上，运用实验室模拟试验， 理论分析等多种综合研究方法，结合全长粘结式锚杆中性点理论，对锚 杆在工作荷载作用下的行波规律进行了研究。 本文首先研究了弹性杆中波的传播规律，在此基础上研究了锚杆在不 同约束状态下体内波的运行规律。通过理论分析得知，固结波速的大小 奔于锚杆和锚固介质中弹性应力波速之间，它由二者的材质特性决定， 与二者的粘结强度密切相关。 其次，通过对大量参考文献的分析和研究，论述了粘结式锚杆锚固段 中锚固力的传递方式、分布规律及作用效果，在理论上证明了全长粘缮 式锚杆中性点的存在。 最后，在实验室我们通过在锚杆体上布设应变测点，观测锚杆在不同 的荷载作用下的应变变化情况，依据虎克定律计算其轴力的分布，并对 测试结果进行了拟合，得出了锚杆的轴掏应力和剪应力分布均按照负指 数规律衰减。与此同时，对锚固体内传播的应力波进行了波形的时域和 频域分析，得出了在不同荷载作用下固结波速德基本不变，锚杆锚固质 量越差，其值越接近自由链杆体内的波速；可以通过确定锚杆的固端反 射时问来确定全氏粘结式锚杆的中性点位置；而且基频值先随着荷载的 太原理工大学硕士研究生学位论文 增加藤增加，然后维持在个较蔫的频段蠹，说唠全长锚髑锚稽工 乍穗 载越过一定值时，其基频基本保持不变。 关键词：锚杆，应力波，固结波速，中性点，无攒检测 i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 r e s e r c hf o rm 暖c h a n i c a lc h a rac t e r a n dd y n a m i ct e s t i n gp r o p e r t yo f f u l yg 爻o u t e db o i j a b s t r a c t o nt h eb a s i so fa n a l y s i sf o rp a s tr e s e a r c h o u t c o m e s ，u s i n gm a n y c o m p r e h e n s i v em e t h o d s s u c ha s l a b o r a t o r ye x p e r i m e n ta n dt h e o r e t i c a l a n a l y s i s ，c o n n e c t i n gt h et h e o r yo ft h en e u t r a lp o i n ta b o u tf u l l l e n g t hg r o u t b o l t ，t h ep a p e rf u r t h e rs t u d i e st h et r a v e l i n gw a v er e g u l a t i o no f r o c kb o l tu n d e r f u n c t i o no f w o r k i n gl o a d 。 f i r s t l nt h ep a p e rd e s c r i b e st h et r a v e l i n gw a v er e g u l a t i o no fe l a s t i cs t i c k ， t h e nb a s e do ni t ，t h ew a v es p r e a d i n gl a wo f r o c kb o l ti nt h ed i f f e r e n tr e s t r i c t e d s t a t ei ss t u d i e d 。i nt h e o r y , t h ec o n s o l i d a t i n gw a v es p e e di si n t e r v e n i e n tt h e i n h e r e n tw a v e s p e e do fb o l ta n do ft h ea n c h o rm e d i a m o r e o v e r , t h e c o n s o l i d a t i n gw a v es p e e di n h e r e n ti nt h em a t e r i a lo ft h er e i n f o r c i n gb o l ta n d t h ea n c h o rm e d i a , a n di tr e l a t e st ot h ec l i n gs t r e n g t ho fb o l ta n dt h ea n c h o r m e d i a s e c o n d l y , b a s e do nl a r g eq u a n t i t y o fd o c u m e n t a t i o n sr e s e a r c ha n d a n a l y s i s ，i nt h es i t u a t i o no fd i f f e r e n ta n c h o r a g el e n g t h ，t r a n s f e rm o d e ， i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 d i s t r i b u t i o nr e g u l a t i o na n df u n c t i o ne f f e c to fa n c h o r a g ef o r c ei nt h ea n c h o r a g e s e c t i o na r er e s e a r c h t h ee x i s t e n c eo fn e u t r a l p o i n to nf u l l - l e n g t hg r o u tb o l ti s d e m o n s t r a t e dw i t hn e u t r a lp o i n tt h e o r y f i n a l l y ，a st h em a i nm e t h o do f m e a s u r e m e n ti nt h el a b o r a t o r y ，s o m es t r a i n m e a s u r i n gp o i n t sa r ea r r a n g e do nt h ea n c h o rb o l t s ，t h ec h a n g e so fs t r a i ni n d i f f e r e n tw i t hd i f f e r e n tl o a d i n gl e v e la tt h e i rl o c a t i o n sh a v eb e e nm e a s u r e d ， c o r r e s p o n d i n gd i s t r i b u t i o no fa x i a lf o r c ei sc a l c u l a t e da c c o r d i n gt oh o o k e r s l a w ，a n dm a k i n gu s eo fn o n l i n e a rc u r v ef i t t i n g i ti si n d i c a t e di nt h et e x tt h a t t h ed i s t r i b u t i o no fa x i a ls t r e s si nt h ea n c h o r i n gs e c t i o na n ds h e a rs t r e s s d i s t r i b u t i o na r ea t t e n u a t e di nt h em i n u se x p o n e n t i a lr u l e 。a tt h es a m et i m e ，t h e f o r mo fs t r e s sw a v et r a v e l i n gi na n c h o r a g eb o d yi sa n a l y z e dw i t ht i m ed o m a i n a n df r e q u e n c yd o m a i n s o m ec o n c l u s i o n sa sf o l l o w sa r ef o u n d ：t h ev a l u eo f c o h e s i v ew a v es p e e di sa l m o s ts a m eu n d e rd i f f e r e n tl o a d s ，a n di sm o r e a p p r o x i m a t et ov a l u eo fw a v es p e e di nf r e ea n c h o r a g eb o l t , i fa n c h o r a g e q u a l i t yi sm u c hb e t t e r w h a t sm o r e ，t h eb a s i cf r e q u e n c yv a l u ei si n c r e a s i n g a c c o r d i n gt o l o a d si n c r e a s e f i r s t l y , a n dt h e nk e e p sc o n s t a n ti n ah i g h f r e q u e n c yb a n d 。t h i sr e v e a l sar e g u l a t i o nt h a tt h em o r ea n c h o r a g ef o r c ei s l a r g e ，t h em o r e b a s i cf r e q u e n c yi sc o n s t a n t 。 k e yw o r d s ：b o l t ，s t r e s sw a v e ，c o n s o l i d a t i n gw a v es p e e d ，n e u t r a lp o i n t , n o n d e s t r u c t i v et e s t i n g 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章锚杆动测技术研究的历史及现状 1 1 选题的背景和意义 当前，锚杆锚固技术正在隧道、地铁、边坡加固等大型建设工程中广泛应用，并 且发展迅速。在岩土工程中采用锚固技术，能充分利用岩土的自身强度和自身承受能 力，大大减轻结构自重，节约工程材料，取得了显著的经济效果，并确保施工安全与 稳定。 在各种土木建筑工程中使用锚固技术距今已有8 0 多年的历史。据记载，美国于 1 9 1 2 年首先在阿伯施菜辛( a b e r s c h l e s i n ) 的弗里登斯( f r i e d e n s ) 煤矿使用锚杆支 护顶板，1 9 1 5 年至1 9 2 0 年在金属矿山也开始使用锚杆，并有所发展和推广。从1 9 3 4 年阿尔及利亚的舍尔法坝加高工程使用预应力锚杆及1 9 5 7 年前西德b a u e r 公司在深基 二 坑中使用土层锚杆至今，锚固技术在世界各地都得到了广泛应用。德国、奥地利的地 ， 下开挖工程，己把锚杆作为施工的重要手段，无论硬土层或软土层，几乎没有不使用 。：二 锚杼的。5 0 年代后期，我国先后在京西矿务局的安淮煤矿、河北龙烟铁矿：湖南湘 。 潭镐矿等单位开始使用楔缝式岩石锚杆支护矿山巷道。进入6 0 年代，普通砂浆锚杆与 。 喷射混凝支护开始在矿山巷道、铁路隧道和边坡整治等工程中大量应用。7 0 年代，北 京国际信托大厦等基坑工程采用土层锚杆支护。近几十年以来，随着我国改革开放后 工程建设项目不断增加，岩土锚固技术也得到了突飞猛进的发展。口1 与此同时，对锚杆施工质量和工程可靠性的检测工作也日益迫切要求。目前，由 于多方面的原因，我国锚杆锚固质量及受力状态的检测仍然停留在利用液压千斤顶进 行破坏性拉拔试验阶段，即工程界常用的方法“拉拔”实验，此法虽然具有直观可靠 之优点，但此法费工费时，而且这种检测手段会对经锚杆加固的巷道产生较强的扰动， 降低了锚杆对围岩的加固作用，这样会导致某些矿井大面积失控现象，仍属于有损检 测。因而锚杆“拉拔”试验只限于抽查，而且工作量较大，操作不便。d 1 因此，寻 求一种能快速实时检测锚杆锚固质量及受力状态的无损检测技术，是保证围岩加固质 太原理：c 大学硕士研究生学位论文 量及其稳定的必要前提，也是我国目前岩土加固工程及矿业采掘急需解决的技术关键 问题。可以预测，只要检测水平达到了一定程度，锚固技术将以独特的效应，简便的 工艺，广泛的用途，经济的造价，在岩土工程领域中显示其旺盛的生命力。 随着岩石动力学的研究深入和在岩土工程中应用的开展，以及现代计算机应用的 普及，使得采用波动理论的方法解决这一难题成为可能。自然界波动现象极为普遍， 其波动信号携带有大量的有用信息，其关键是如何采集、分析、鉴别这些信息，为我 所用。这方面中国科学院武汉岩土力学所在桩基质量检测方面取得了较为突出的成 果，并在工程中实践使用，取得了较为明显的社会效益和经济效益。同时，对于锚杆， 无论从理论上讲，还是从几何形体、材质、受力情况等方面，比桩基更符合一维弹性 杆的波动理论，而且就目前煤矿上广为使用的锚杆形式，其相对长度较桩基小得多： 另外就信号接收来讲，因其能量衰减较小，更容易一些。这样，就可以借鉴桩基动测 法中的小应变法( 即锤击法) 测定锚杆的锚固情况。此外，因锚杆材质与围岩的波阻 抗相差不多，而且锚杆长度较短，会给波形分析和识别带来更大的困难。这就需要提 高信号采集系统的精度。 锚固体系质量检测系统是加强以锚固技术为支护方式的土木水利工程安全生产 的迫切需要解决的技术问题。它的应用，能够解决现场专家不足的问题，早期发现结 构潜在的缺陷，减少判断故障的时间，避免或减少事故的发生，对带伤结构的剩余寿 命进行科学的评价，保证结构的安全性。健康监测与智能诊断系统有可能把目前广泛 使用的离线、静态、被动的检查转变为在线、动态、实时健康监测与控制，将导致安 全监控和性能改善产生质的飞跃。 1 2 现有研究成果的文献综述 近几十年来，发展起来的无损检测技术是多学科紧密结合的高技术产物。现代材 料科学和应用物理学的发展为无损检测技术奠定了理论基础，现代电子技术和计算机 科学的发展为无损检测技术提供了现代化的测试工具，同时，现代土木工程中迅速发 展的新设计、新材料、新工艺又对无损检测技术不断地提出新的更高的要求，起着积 极的促进作用。所以，它已成为测试技术体系中的一个重要分支，是建筑工程测试技 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 术现代化的重要发展方向。常用的工程结构无损检测诊断方法有：振动诊断法：声发 射诊断法；应力波检测法：射线诊断法：光学诊断法；涡流、磁粉诊断法；泄露诊断 法：红外诊断法等“1 。 8 0 年代，瑞典曾推出超声波反射法检测砂浆锚杆的锚固状态的商品化检测仪 8 0 l t m e t e rv e r s o l o n 0 0 2 检测仪1 ，9 0 年代，美国矿业管理局开发出能检测锚杆应 变和长度的超声波仪器n 1 ，但它无法评价锚杆的施工质量。两种仪器都是采用 超声波原理，由于超声波方法的缺陷是衰减过快，对于长锚杆的检测是无能为力的， 且激发条件苛刻又不能做出定量化评价，而且为了得到比较好的超声波信号，锚头必 须磨平，故现场不适用。 同期，我国铁道科学研究院曾经仿效瑞典上述仪器对砂浆锚杆进行过一段试验研 究。因检测的机理及激发、接受方面存在着不少问题，信号采集信噪比低，又无数据 处理能力，而且使用2 2 0 v 电源接x y 函数绘图仪，故未能投入应用。1 9 9 2 年淮南矿业 学院的王鹤龄等人进行了锚杆检测仪的研制，并于1 9 9 6 年推出t m t - i 型锚杆检测仪， 提出了用振幅值比即能量衰减系数来衡量锚杆的锚阐质量，但该仪器不能测定锚杆的 工作荷载和极限承载力，没有弄清锚杆的底端反射显现规律，同时由于信号采样率较 低东操作安装困难，成本较高等原因，上述锚杆检测仪未能在我国推广使用。 黼京大学的汪明武凹”1 利用声频应力波来快速普查检测锚杆锚固质量及预测锚 固力的无损拉拔试验方法，研究表明，由于锚固体系广义波阻抗的变化，激发的声频 应力波在波阻抗界面处发生界面效应，产生反射波和透射波，应力波能量重新分配， 介质质点问内摩擦也导致能量向其他形式转化，此外，反射波的相位特征及能量衰减 规律反映了锚杆的锚固状态和侧阻力分布状态，且应力波能量吸收系数与锚固段长度 有如下关系： 口：上l 。生 2 x a 。+ l 式中：a 为能量吸收系数( 奈培m ) ，x 为应力波在锚固段中传播距离( m ) ，a i 为 应力波第i 次反射的反射波振幅。检测工作的核心之一是锚固段长度的测定，工作关 键是系统参数的合理设定。根据不同的a 值和反射波相位特征，可得出锚杆锚固状态 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 检测分级标准。通过现场锚杆拉拔试验可知，锚杆锚固体系的拉拔曲线在锚系i 临破坏 前有明显的变化，若自动跟踪绘制拉拔曲线形态和拉拔系数的变化特征，来判断锚杆 受力是否达到临界破坏，并用拉拔曲线转折前后曲线割线交点预测锚固力，可达到既 测定锚杆锚固力，又不损坏锚杆锚固力。现场实测拉拔曲线可能呈现出复杂的变化规 律，因为影响锚固力的因素多而且复杂，锚固体系破坏方式又多样的原因。实测位移 除锚固体系的弹性和塑性变形外，还有锚杆垫板的形状和压入松散岩面的位移，以及 杆体与锚固介质、锚固介质对孔壁围岩的相对位移等。故无损拉拔测定的锚杆锚固力 与实际锚固力及破损性拉拔测定锚固力之间存在差别，这是该法需完善和改进的方 面。 重庆大学的许明“”“盯利用声波原理把声波测试技术应用于锚固工程完整性无损 检测中，其基本原理是采用动力瞬态激振引起锚杆弹性振动，通过测定锚杆的振动响 应来估计和推断锚杆的完整性。基于小波包分析得到能量特征向量，作为缺陷特征向 量进行无损检测，这种缺陷诊断方法在实施缺陷特征提取和诊断时，无需建立诊断系 统的数学模型，就可以迅速地进行检测。利用人工神经网络进行锚杆完整性的预测， 将人工神经网络这类非线性动力学系统运用于该灰色系统的质量预测取得了一定的 效果。 据( c o a l a g e 2 0 0 2 年第1 2 期报道，德国d m t 公司最近开发出了一种超声波锚杆无 损检测系统，能提供明显的信息来说明锚杆是否因断裂而失效，准确确定断裂的位置， 而无需再安装高价的传感器。使用这种超声波无损检测仪，需要配备1 个传感器头紧 贴锚杆端面，并使用1 个胶体式联接器，以减少发声时的能耗。检测仪上显示的输出 信号是由各种不同振幅的声波形成的点状破坏曲线。y 轴，表示量测信号的强度，x 轴，表示量测点到传感器的头二者之间的距离。从检测仪器上可看到整个曲线上各个 量测点的声波强度值。 长江科学院岩基研究所的汪天翼，王法刚。叼“们等利用声频应力波无损检测方法， 在湖北清江水布垭电站进行了工程锚杆注浆密实度检测的试验研究，其原理是利用应 力波沿着锚杆传播时因边界条件变化带来波阻抗改变，进一步引起相位的变化，根据 波形中反射相位的相邻点计算空浆或不密实的位置及长短，来判断密实性状，结果表 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 明声频应力波法检测工程锚杆注浆密实度可以基本满足工程需要，但这也只是定性的 建立了检测指标与锚杆密实度的相关关系。 英国伦敦大学的m d b e a r d 博士等人“明利用导向超声波来对锚杆进行检测，通 过对信号相速率、能量速率、衰减系数的频散曲线进行分析，并综合考虑了围岩岩石 模量、环氧层模量及厚度、锚固质量等因素对测试结果的影响，、得到了在高频和低频 时最为理想的超声波激振频率，而且研制了专门的激振传感器。在低频时，宜采用4 0 k h z 脉冲进行检测；在高频时，2 m h z 是一个比较理想的激振频率。在实际中，采用高 频和低频相结合的方法，且通常只能对3 o m 以内的锚杆进行检测。 太原理工大学的李义、王成、刘海峰等人“6 加”，通过实验室研究和现场实测工 作，提出了锚杆锚固状态综合参数动态无损检测方法。其基本原理是在锚杆顶端( 自 由端) 施加一瞬态冲击载荷，由安设在锚杆顶端的传感器接受反射信号，通过对反射 波信号进行时、频域分析，获得锚杆有效锚固长度、锚固质量、工作荷载、极限承载 能为( 拉拔力) 等反映锚杆锚固特性的基本参数。该技术可以满足施工质量安全检测及 支护参数优化设计的要求。 寝除此以外，在锚杆无损检测的理论和工程应用方面还有许多单位和个人也做了 大量的研究工作，上述研究工作的开展和相关仪器的研制，极大的推动了我国岩土锚 固歪程和工程质量无损检测技术的发展，但是锚杆无损检测是一项很复杂的系统工 程，无论在理论上还是实践中都还存在很多的问题需要研究。 1 3 本文研究的主要内容及存在的问题 本论文研究的主要内容是解决全长锚固锚杆的锚固粘结质量的动态无损检测问 题，试图找出全长粘结式锚杆的中性点在不同的工作荷载作用下与应力波参数之间的 关系，籍此确定锚杆的最大轴向拉力和沿锚杆全长的剪应力分布，从而得出锚杆此时 的受力情况，进一步判断工程结构的稳定性。锚杆中性点理论认为：全长粘结式锚杆 是靠其与孔壁之间的粘结剪应力来阻止围岩向自由面变形的，剪应力的大小与围岩和 锚杆之间的相对位移成正比，且在靠近自由面的一段锚杆上，因阻止围岩向巷道移动， 产生指向围岩自由面的剪应力，其余一段锚杆因受该段的拉拔作用，锚杆表面的剪应 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 力必然指向围岩内部，以满足锚杆的静力平衡，因此在锚杆长度内存在一个剪应力改 变方向的点，该点被称为中性点，其剪应力为零，轴向力最大。锚杆的动态无损检测必 须在锚杆的工作状态下完成。采用波动理论解决锚杆锚固质量的检测，首先必须研究 锚杆和围岩作用体系在冲击荷载作用下，应力波的传递及相互作用、衰减规律及能量 分布等一系列问题。在此基础上，研究在不同的轴向载荷作用下锚杆中传递的应力波 的波形、频谱及传递函数。在大量的实验数据基础上，把锚杆的中性点理论和应力波 形参数结合起来，通过波形的时域、频域分析来探讨、确定全长锚固锚杆的受力和波 形参数的关系。 由于锚杆长度短，波阻抗与围岩相差不多，给数据的采集和分析带来了一定的困 难。我们在实验室进行了一些探索性的研究，很多工作需要进一步深入研究。 6 奎堕望三盔兰堕主婴塞兰堂堡笙苎一 第二章锚杆在轴向荷载作用下的振动规律的研究 2 1 锚杆在自由状态下的振动分析 在分析锚杆的纵向振动时，我们假设锚杆是弹性连续体，由无穷多个质量组成， 为了确定锚杆中某点的位置，就需要无穷多个位移坐标。这时系统具有无穷多个自由 度。这些坐标作为一连续函数来处理，它对时间的一次导数和二次导数代表一般点的 速度和加速度。因为它的质量是分布的，所以其具有无穷多个固有振型，它的动力反 应可以按诸振型影响之和来计算的。 在考虑锚杆的纵向振动时，我们假设材料是均匀和各向同性的，并服从虎克定律。 位移假设相当微小以至动力激发的反应总是线性弹性的。并假定纵波的长度比锚杆的 横截面尺寸大得多。在这种情况下，横向位移对纵向运动的效应可忽略不计。锚杆在 纵向振动时，锚杆的横截面保持为平面，而且每个截面上的应力是均匀分布的”“。 2 1 i 锚杆的纵向振动分析 图2 - 1 表示一根长度为l 的无约束锚杆，在距离锚杆端x 处有一长度为d x 的单 元，用符号u ( x ，t ) 表示在时间t 时x 处横截面的纵向位移。锚杆的单位体积质量 为p ，截面的抗拉刚度为卧( x ) ，e 为弹性模量，a ( x ) 为横截面积，由于已假设 锚杆的横截面在纵向振动过程中始终保持平面，锚杆的横向变形也可忽略不计。则g l ( x ，t ) 是截面位置x 与时问t 的二元函数，取微段d x ，它的应变量为： 图2 - 1 锚杆的纵向振动 f i 9 2 - 1l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o na n a l y s i so f b o l t 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 s ：掣：_ u + 云d x - u ：一o u ( 2 - - 1 ) s 2 亏尹2 广2 3 x ) 在x 和x + d x 两截面上的内力分别为n 和n + 掣出，对于锚杆n 可近似为： n ：e a s ：剧丝( 2 - 2 ) o x 根据牛顿运动定律可得： p a d x 0 酽2 u o 叙n e x _ = 型3 x 出= 钟卦 或 雾=昙f尉罢(2-3)t o x l d 积j 只要知道截面的变化规律a ( x ) ，即可求得( 2 3 ) 的解，对于等直杆a ( x ) 为常数。( 2 3 ) 式可简化为： 雾0 = 去v c 粤o t c z 叫， z 2 22 。 其中v c = ，岸为锚杆体中的纵波传播的速度。式( 2 4 ) 称为锚杆的纵向一 vp 维波动方程，它表明在纵向振动过程中纵波以速度v c 传播，为了求出方程( 2 4 ) 的解，可以令： u ( x ，) = x ( x ) ( a c o s t o t 4 - b s i n c o t ) ( 2 5 ) 式中a ，b 为常数，脚是角频率，符号x 是x 的函数，该函数决定固有振型的 形状，把方程( 2 5 ) 代入( 2 4 ) 并分离变量后可得到： 垡+ 、0 ) 2x ：o( 2m 6 ) d x 2 v c 2 “ 。 由此可得： z = c c 。s 嚣x + d s i 。n 瓦c ox (2-7) 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 式中c ，d 为常数，由边界条件确定，令t ：善，k 为波数。 y c 女= 等= 铥= 丁2 7 l ，式中f 为振动频率，五为波长，且a = 等。将( 2 7 ) 代 = 尉当= e a ( 一c k s i n k x + d k s i n k x ) ( a c o s c o t + b s i n 耐) ( 2 - - - 9 ) j默! 沪 j ( 筑= 。 “川 为了满足这个边界条件，并使方程有非平凡解，则必有s i n 肛：0 ，即：s i n 百c o l 一：0 ， p r 等：衙 ，2(2-11i=l21 ) 瓦2 1 万j 埘：i t r v ci ：1 2 ( 2 1 2 ) 石( x ) ：c c o s 7 研- x i = l ，2 ( 2 - - 1 3 ) 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 速度响应为 嘶) = 茎c c o s 莩( 胁s 丁i t r v c t 堋，n t i z r v c t j ( 2 - - 1 4 ) 巾，f ) = 茎c c o s t i n x ( 丁i ；r v c bc o s 半一一孚s i n 丁i ；r v c t ) ( 2 _ 1 5 ) = 茎半c o s 军c d r v ，c t a s i n i ；r v ，c t lll ， 、 f _ 1 l 加速度响应为： m ，) = 舌i 丁i z r v c p 、2s 竿( 一字砒。s 竽) ( 2 叫) ( 2 ) 一端固定，一端自由的锚杆： 当外端头自由时的锚杆，可简化为一端自由，一端固定的锚杆，其边界条件： 0 ) = 0 ( 孰= 。 _ 1 7 由( 2 1 6 ) 第一式得c = o 。 由( 2 1 6 ) 第二式知，若方程( 2 8 ) 有非零解必有： c 0 8 f c o l ：0 。0 8 瓦2 此时频率方程为： 等：等i = 1 ，3 ，5 比2 各固有频率为： 鲫：1 i ；, r v f c i - 1 ，3 ，5 ( 2 1 8 ) 鲫2 万 1 2l ，3 ，3 ( 2 一 各固有颇率相廊的振犁甬数为： m = d s i n 矗x i = 1 ，3 ，5 ( 2 q 1 9 ) 将( 2 1 8 ) 、( 2 一1 9 ) 代入( 2 8 ) 可得出一端固定，另一端自由时锚杆的自由 振动的解为： 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 哪) = 善d s i n 字( 胁8 百i r v c t 憾i n 百i z r v c t ) ( 2 - - 2 0 ) 忙l 厶二厶l 吣，f ) = i d u = 善争s i n 等( 胁s 百i z r v d - a s i n i z 2 c v 上d ) ( 2 _ 2 1 ) 舡力= 雾= 墨d ( 等卜篆c 墙i n 等础。s 等1 z ， ( 3 ) 两端固定的锚杆 当端锚锚杆底端被锚固，外端被喷射混泥土层固定时，可简化为两端固定的模型， 苴仂界器件柏 u ( x ，) d = 0 u ( x ，r ) 。= 0 由此得出： s i n 瓦c o l = o 由上式得： d r v c 曲2 丁 各阶振型函数为： ” 彪：c c o s ! 竺 上 两端固定时，锚杆的自由振动的解为： ( 2 _ 2 3 ) l m ，f ) = 墨c c o s 等( 舭s 丁d r v c t 恼n t i z r v c t ) ( 2 - 2 6 ) 哪) = 呈c 竽c o s 等( 胁s 丁d r v c t a s i nd r上vcti=1 - ) ( 2 - 2 7 ) llll m 力= 墨c ( 竿) 2 c o s 芋c 一半础。s 半心嘲， ( 4 ) 一端自由，一端为弹性支承的锚杆： 外端自由，底端锚固较差的锚杆，可简化为一端自由，一端为弹性支承的锚杆， 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 尉丝o x + 吐= o c z lj ( 孰o x = ”l 几 式中i 为底端锚固介质的刚度系数 由边界条件可得频率方程： 刨七s i n k l ：云c o s 地 。即舭= 磊 令f = k l ，玎= 面k l 宠f = 1 7 由此方程可以画出f 和叩的相互关系图，并由此确定各阶固有频率的鲫，相应于 各阶频率的主振型为【2 0 】： 石= 厶雠c o s ( 箦) + s i n 一忍s 毗= 善d 尝c o s ( 嚣) + s i n ( 剀s c o ，t + b s i n 训) ( 2 - - 3 0 ) 巾力= 酬警c o s 舟s i n ( c ，口c 。c i ( - a s i n c o i t + b c o s o g i t ) ( 2 - - 3 1 ) m 力= 籼2 尝c o s ( 舟s i n ( c 。口c 川 ( - a c o s a j i t - b s i n o j , t ) c 2 哪， ，2 锚杆存妯向苻赫of 1 、作用- i c 的隅4 犏劫8 图2 2 表示一根一端锚固、一端自由的锚杆，q ( t ) 为轴向载荷。由( 2 1 9 ) 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 可求出锚杆在自由振动时的振型函数： 石( x ) = d s i n 署i _ l ，3 5 由于任何位移u = f ( x ) 都可以用上述振型函数叠加来得到，所以 图2 - 2 在q ( t ) 作用下的锚杆 f i 9 2 - 2r o c kb o l tu n d e rf u n c t i o no f q ( t ) 该干扰力q ( t ) 所引起的振动可用下面级数表示： “( x ，f ) = 至咖s i n 罢 i = l 。3 5z l 0 ( + t j 式中咖为时间的函数 二 根据虚功原理，考虑单元的惯性力，由于变形引起的每一单元的弹性力以及作用 于端点处的干扰力，得出西所满足的微分方程 式中：幼= 丌 西- - o ) i 2 咖= 去付q ( f ) i = l ，3 ，5 p 锚杆的质量密度； a 锚杆的截面积； l 锚杆的长度： 假设初始位移和速度均为零，只考虑由于干扰力q ( t ) 所产生的振动，按杜哈曼 积分形式写出方程( 2 3 5 ) 的解为： 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 痧= 冬箬锄1 f 铲i ：r v c ，卜 c z 将式( 2 - - 3 6 ) 代入( 2 3 4 ) ，得到由于干扰力q ( t ) 所产生的下列形式的响应： 吣力= 丽4 毒，鱼半s i n 瓦i n x 心, 问n 五 i t r v c 巾 2 3 锚杆在瞬态力作用下的振动 前面介绍了锚杆在各种边界下的自由振动特性和锚杆在q ( t ) 作用下的强迫阻。 尼振动，下面作为强迫振动的一个特例，介绍锚杆在一端固定，另一端) j a - 冲击荷 p ( ，) = - p 。占( f ) 的作用。如图2 3 所示 在t = o 时，锚杆的位移，速度等于零，根据锚杆在自由振动时的振动频率方程及 振型函数3 可得： 幼：至 军，皇 i = l ，2 ，3 幼2 r i 、万 2 土 踯川商n 莩争怎， 1 i p ( t ) = - p o a ( t ) 图2 - 3 一p o g ( t 1 作用下的锚杆 f i 9 2 3b o l tu n d e rt h ef u n c t i o no f p o a ( t ) 由归一化条件：詹倒石= 詹爿，2 s i n 2 掣三珧= l 1 4 太原理：【：大学硕士研究生学位论文 故彳， 正则振型为 所以广义力为： 删= 加) m ) = 脚( f ) 刍 在零初始条件下，正则坐标 所以锚杆的响应为 一( 1 跏压2 去s 洫训 吣，f ) = i = l 胁( ，) = 哿墨( _ y 扣莩争n 鲫r 令x = l ，得到在瞬态力一p o d ( t ) 作用下自由端的响应 毗= 一盖茎扣鲫， 引入瓦z 后e ，则吲2 f _ l ，上式可改写成 吣，f ) 一删4 p om 至- _ e 器s i n 泐， 由此可进一步求出锚杆端内质点的速度和加速度响应 v ( 刈k 。一i 2 p o p a li=毳13 5 训 ， 1 5 ( 2 3 9 ) = 肚 丌一上等压 咖 吼 ” 厅房筹 d w 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 1 应力波现象简述 第三章应力波传播规律 如果在介质的某个地方突然受到一个惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介 质质点的运动。依次类推，外部冲击载荷在表面引起的扰动就这样在介质中传播。像 这样一点的扰动传播的现象就是应力波。通常的声波、超声波、地震波、爆炸产生的 冲击波等都是应力波的例子。介质中扰动区域与未受扰动区域的分界面称为波阵面。 扰动在介质传播显示为波阵面的传播，其传播的速度称为波速。 如果波传播的方向与质点运动方向一致，称为纵波，纵波又可分为压缩波( 二者 方向相同) 和拉伸波( 二者方向相反) ：如果二者方向垂直，则称为横波。根据波阵面的 几何形状，可分为平面波、柱面波、球面波。根据应力应变关系是弹性的或塑性的， 可分为弹性波或塑性波等等。口” 3 2 一维弹性应力波传播的规律 3 2 1 杆体中的应力波传播嘲3 如图3 一l 所示的长杆，其原始横截面积为a o ，原始密度为p0 。材料的性能参数 与坐标无关，即其为均匀的长杆。首先假定杆在变形前横截面保持为平面，沿截面只 有均匀分布的轴向应力。于是各运动参量都只是考察杆中微元体d x ，如图3 1 所示。 ， p 。p ( x + d 沟( 二) x x d x 图3 1 杆体的纵向振动 f i 9 3 - 1l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o no fp o l e 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 在左截向上总的作用力为p ( x ，t ) ，在右截面上总的作用力为： j p 伍+ 科，) = j p ( x ，f ) + 掣扰 ( 3 一) 根据牛顿第二定律，可得： 岛4 硝詈= p + 攒，r ) 一j p ( zr ) = 嚣栅 ( 3 2 ) 引入工程应力 盯= p a o ( 3 3 ) 可得运动方程 p 。詈= 筹 浯a ， 关于材料的本构关系，假定应力只是应变的单值函数( 应变率无关理论) ，即材 料的本构关系可以写成 盯=盯g)(3-5) 0 。( e ) 是连续可微函数，引入 c 2 ：一1 塑 ( 3 6 ) p od s 可由式( 3 - 4 ) 和( 3 - 5 ) 消去0 ，得 堡：c z 堡( 3 7 ) o to x 将式( 3 1 ) 和( 卜2 ) 代入式( 3 7 ) ，则得到波动方程： 。0 2 1 , 1 一c 2 粤：o ( 3 - 8 ) o t 2o x 2。 考察方程( 3 - 8 ) ，该方程为双曲线型偏微分方程，根据偏微分方程的数学理论， 存在两族特征曲线，沿着这些曲线，能把原来的偏微分方程化成沿曲线的全微分。 对于特征线方程，可由方向导数法引入。一个二元函数厂g ，j ，) ，在它定义域内沿 曲线y = p b ) 的方向导数为 姜厂g ，y 】州。) = 丢，b ，妒g ) 】= 六+ 工妻= 正+ 妒g ) 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 所以，任意一个二元函数g ，y ) 的两个偏导数正和厶的线形组合矾+ 虮可以表示 成矾+ = 口i + 昙厶 = a i + 五d y 乃) 只要字= 旦。也就是说，两个偏导数的线形组合矾+ b u y ，可以认为是二元函数厂g ，_ y ) 沿曲线字：鱼的方向导数。曲线的具体函数形式可由积分y ：f + c 决定，c 是积 分常数。所以这样的曲线不是一条，而是一族。这一族曲线就是特征线。 根据方向导数法，对方程( 3 8 ) 进行讨论。设在( x ，t ) 平面上有某曲线f 似，f ) ， u 的一阶偏导数也即v 和e 沿此曲线方向的微分则为： 咖：鱼硝+ 堡出：塑硝+ 堡出 o xo t o x o to t 2 d s ：堕i 堕d c i 坚嫂 堕d t 弘o t o x 2o x o t ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 式中d x 君l jd t 是曲线f 似，f ) 的微段d s 在x ，t 两轴上的分量，也即_ - d x 是曲线在( x ， a t t ) 点的斜率。如果曲线是方程( 3 - 8 ) 的特征线，则( 3 - 8 ) 式左边应能化为只包 含此曲线的方向微分，对式( 3 - 9 ) 、( 3 - 1 0 ) 进行线形组合，于是( 3 - 8 ) 式化为 咖+ 胁= 鲁出+ ( k d t + 趔，嘉+ t 嘉删= 。 仔 式中k 是待定系数。将上式与( 3 - 8 ) 式进行对比，可见应满足下面的关系： 上： ! ：一旦( 3 1 2 ) d tk d t + d xk d x 由上式中第一个等式得：k ：一坚：由第二个等式即特征方向孥为：一d x ：c ，或 d td t讲 写为 d x = + c d t( 3 - 1 3 ) 此即特征线微分方程，对其积分可得特征线。把式( 3 1 3 ) 代入( 3 - 1 2 ) ，得k = t - c ， 1 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 于是式( 3 - 8 ) 也就是式( 3 - 1 1 ) 化为只包含沿特征线方向微分的常微分方程 d v = + c d c( 3 1 4 ) 由于此式规定了在特征线上v 和e 必须满足的相互制约关系，所以称为特征线上相容 关系。 将( 3 - 6 ) 式代入( 3 1 4 ) 式，可得特征线上v 和。的相容关系： d c r = 风c d v ( 3 1 5 ) 特征线方程( 3 一1 3 ) 在物理意义上表示扰动的传播，即在( x ，t ) 平面上特征 线代表扰动( 波阵面) 的传播轨迹，c = 去等代表波阵面的传播速度( 将在下面 的讨论中进行证明) ，式中正号代表右行波而负号代表左行波。式( 3 - 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 确定了扰动传播过程中在波阵面上质点运动速度v 和应变e 与应力。之间的相容关 系，p o c 称为波阻抗。 为了使问题简单化，只研究沿x 正方向传播的单向波，没有波的反射；外载荷 以嘉力边界条件给出j 鲁l 。，以速度边界条件给出f 剖。：杆处于弹性变形阶段， 应为和应变的关系遵循h o o k 定律，本构关系( 3 5 ) 化为 盯= e s ( 3 - 1 6 ) 式中e 为y o u n g 模量。非线性的波动方程( 3 - 8 ) 简化为线性波动方程 矿a 2 l 一四芸a x ( 3 - 1 7 ) a f 。 ” 2 式中c 。是完全由材料常数p o 和e 所决定的常数 c o2 拦c s 一 由式( 3 - 1 3 ) 和( 3 - 1 4 ) 知，这时特征线和相容条件分别为( x ，t ) 平面和( v ，e ) 平面上斜率为c 的两族直线： 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 d x = + c o d t ( 3 1 9 ) d v = c o d s 引入积分常数n 。、n ：、r 、r ：，将( 3 - 1 9 ) 式改写为 誊一c o f 2 矾 ( 右行波c v o s = r 、“。“7 誊，+ c o 。t 三叩2 ( 左行波) cg v+0s 2 2 、“l j “7 r 】、r 2 称为r i e m a n n 不变量。汹1 设杆原来处于静止的自然状态，t = 0 时刻在杆端x = 0 处受到一给定条件的冲 击，例如杆端质点速度随时间的变化v o ( f ) 是已知的。于是问题归结为在初始条件 v ( x ，0 ) = s 伍，0 ) = 0 及边界条件 v ( o ，) = v 0 ( ) 下求解式( 3 8 ) 或式( 3 - 1 9 ) 。 在( x ，t ) 平面上，经任一点有正向和负向两特征线，如图3 2 所示，其中o a 是经过0 ( 0 ，0 ) 点的正向特征线。在o a 的下方a o x 区，沿o x 轴的v 和e