（计算机软件与理论专业论文）利用高光线模型修改nurbs曲面的研究.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：玉跹日论文作者签名：绚塑埏蒸 日 期：占涩鲫加f 7 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：雌导师签名： 山东大学硕士学位论文 利用高光线模型修改n u r b s 曲面的研究 硕士研究生：张跟全 指导教师：张彩明教授 摘要 n u r b s ( t h en o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e 简称) 是汽车设计和逆向工 程过程中应用最广泛c a d 曲面表示方法。n u r b s 曲面可用来交互设计和修改曲面 形状，也可用来把曲面的物理原型，例如将汽车的泥塑模型，转化为c a d 模型。 n u r b s 已经成为工业标准，被广泛应用于c a d 系统中，并在不同c a d 系统之间的 进行数据交换。n u r b s 的主要能力是进行自由曲面的生成和修改。 高光线是一种交互式评估曲面光顺性的简单反射模型，是由曲面上方某处无 限延伸的直线光源产生的，是直线光源在曲面上产生的印迹。这些印迹是曲面上 点的子集，这些点处的曲面法向量与直线光源的垂直距离为零。实际上，高光线 在应用中起到了光滑性指示器的作用。它放大了血面的质量问题，主要用来检验 曲面的外形特征和渐变性质。高光线是评价n u r b s 曲面光顺性的强有力的工具。 通过修改n u r b s 曲面上的高光线来修改曲面的形状是一种直观有效方法。本文介 绍了其中两种主要算法。 文章第二章介绍了直接修改高光线法，用户选择n u r b s 曲面上条高光 线，然后修改高光线的形状或改变高光线局部部分。假定高光线由有序排列的 点数字化表示，用交互技术实现高光线修改。最后，用未修改前的曲线和修改 后新的曲线作为输入，计算出n u r b s 改变后的控制点，这些新的控制点可重 新生成曲面，同时在曲面上生成想得到的高光线。曲面的控制点求解通过解由 n u r b s 曲面的控制点与高光线上的点建立的非线性方程组来实现的。方程组的 线性化通过一阶泰勒展开式来解决的。在很多情况下，人们希望通过修改曲面 的局部形状来创造新的曲面特征。在另外一些情况下，人们并不希望形状修改 只局限于局部范围，因为修改会破坏原始曲面已有的形状特征。为了解决该问 题，本章介绍了一种形状控制机制。该方法将控制点的变化分散到整个曲面上， 并且保证曲面形状变化的连贯性和可预测性。采用这种形状控制方法，用户能 l 山东_ = 学硕士学位论文 交互式进行曲面局部或大范围的修改，同时保证高光线具有希望的修改形状。 本章通过实例证明这种方法的实际效果很好。 文章第三章介绍了另外一种通过修改高光线上点的法向量消除n u r b s 曲面 局部不光顺性的方法。设计者沿着线光源修改位于高光线上点的曲面法向量的方 向，修改后曲面法向与线光源的垂直距离是零曲面修改处的点位于修改后曲面 法方向所在的直线上，这些约束条件作为计算输入。根据弹性力学中的薄板能量 方程，可以求出曲面的能量。曲面经过修改后，希望新求的曲面与原曲面的能量 变化越小越好。根据薄板能量模型，我们采用新的优化能量目标函数极小化新曲 面与原曲面的能量变化。通过上述条件计算出n u r b s 曲面改变后的控制点，使网 格控制点发生变化，重新生成曲面，从而达到修改曲面的目的。这种方法把由高 光线模型对应的非线性方程转化成线性方程，求解容易、精确，避免了求解非线 性方程所带来的困难，而且可使修改后曲面上的一些点具有指定的法方向，操作 简单、直观，非常适用于实时交互式系统。文章中还给出了测试新方法有效性的 实例。 关键词：高光线模型；n u r b s 曲面；光顺性：曲率。 a b s t r a c t t h en o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i r l eo rn u r b si st h em o s tc o m m o n l yu s e d c a ds u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n i na u t o m o t i v e d e s i g n a n dd o w n s t r e a m e n g i n e e r i n gp r o c e s s e s n u r b ss u r f a c ec a nh ee m p l o y e df o rt h ei n t e r a c t i r e c r e a t i o na n dm o d i f i c a t i o no fs h a p e sa sw e l la sf o rt h et r a n s f o r m a t i o no f p h y s i c a lp r o t o t y p e s ，s u c ha sa u t o m o t i v ec l a ym o d e l s ，i n t oc a dm o d e l s a s a ni n d u s t r ys t a n d a r d ，t h en u r b si se x t e n s i v e l yu t i l i z e df o rd a t ae x c h a n g e s b e t w e e nd i f f e r e n tc a ds y s t e m s t h ea b i i i t yt oa 1 1 0 wf r e e f o r ms u r f a c e c r e a t jo na n dm o d i f i c a t i o nh a sb e e nr e c o g n i z e da sam a j o rs t r e n g t ho ft h e n u r b s t h eh i g h l i g h tl i n ei sas i m p l i f i e dm o d e lf o ri n t e r a c t i v es m o o t h n e s s e v a u a t i o no fs u r f a c e ah i g h l i g h t i n ei sc r e a t e do nas u r f a c e b yal i n e a r l i g h ts o u r c ew i t ha bi n f i n i t ee x t e n s i o n t h e1 i g h ts o u r c ei sp o s i t i o n e d 山东大学硕士学位论文 s o m e w h e r ea b o v et h es u r f a c e t h eh i g h l i g h tl i n ei st h ei m p r i n to ft h el i g h t s o u r c eo dt h es u r f a c e t h ei m p r i n ti sas e to fs u r f a c ep o i n t sf o rw h i c h t h ep e r p e n d i c u l a rd i s t a n c eb e t w e e nt h es u r f a c en o r m a la n dt h e1 i g h ts o u r c e i sz e r o i nf a c t ，h i g h l i g h t1 i n e ss e r v ea ss m o o t h n e s si n d i c a t o r st h a t m a g n i f yt h eq u a li t yp r o b l e m t h e ya r eu s e dp r i m a r il y t oe x a m i n es u r f a c e s h a p ec h a r a c t e r i s t i e sa n dt r a n s i t i o np r o p e r t i e s t h eh i g h l i g h tl i n e i s ap o w e r f u lt o o li na s s e s s i n gt h ef a i r n e s so fas u r f a c e i ti sd i r e c ta n d e f f e c t i v et oa d j u s tt h es h a p eo fn u r b ss u r f a c eb ya d j u s t i n gt h eh i g h l i g h t i n e so ni t i nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n s ，w ei n t r o d u c e dt w om a i na l g o r i t h m s t h es e c o n ds e c t i o ni n t r o d u c et h e a l g o r i t h m o fd i r e c t h i g h l i g h t l i n e m o d i f i c a t i o n t h eu s e rf i r s ts e l e c t sa ne x i s t i n gh i g h l i g h tl i n eo nan u r b ss u r f a c e h e ( s h e ) t h e nm o d i f i e s t h es h a p eo rc h a n g e st h el o c a t i o no f t h e h i g h l i g h tl i n e g i v e n t h ef a c tt h a tt h eh i g h l i g h tl i n ei sr e p r e s e n t e dn u m e r i c a l l ya sa no r d e r e ds e q u e n c eo f p o i n t s ，i t s m o d i f i c a t i o nc a nb ea c h i e v e db yi n t e r a c t i v et e c h n i q u e s f i n a l l y , t h e d i f f e r e n c eb e t w e e nt h eo r i g i n a la n dt h en e wd e s i r e dl i n ei su s e da si n p u tt oc o m p u t e t h er e q u i r e dc h a n g ei nl o c a t i o no ft h en u r b sc o n t r o lp o i n t st h a tw i l lp r o d u c et h e d e s i r e d h i g h l i g h t l i n eo nt h es u r f a c e m o d i f i c a t i o no ft h ec o n t r o l p o i n t so ft h e s u r f a c ei sa c h i e v e db ys o l v i n gas y s t e mo fn o n l i n e a re q u a t i o n st h a ta r es e tu pb yt h e c o n t r o lp o i n t so fs u r f a c ea n dt h eh i g h l i g h tl i n eo nt h es u r f a c e t h ei n v e r s ep r o b l e m i ss o l v e dt h r o u g hl i n e a r i z a t i o nb yaf i r s t - o r d e rt a y l o re x p a n s i o n i nm a n yc a s e s ，a l o c a lm o d i f i c a t i o ni sd e s i r a b l ef o rc r e a t i n gn e ws u r f a c ef e a t u r e s i no t h e rc a s e s ， h o w e v e r , l o c a lc h a n g eo fs h a p ei su n w a n t e ds i n c ei tm a yd e s t r o yt h eo r i g i n a ls h a p e c h a r a c t e r i s t i c s i no r d e rt os o l v et h i s p r o b l e m ，as h a p e c o n t r o lm e c h a n i s mi s i n t r o d u c e dt h a td i s t r i b u t e sc o n t r o lp o i n tc h a n g e so v e rt h es u r f a c ei nac o h e r e n ta n d p r e d i c t a b l ew a y w i t ht h i sm e c h a n i s m ，t h eu s e ri sa b l et oi n t e r a c t i v e l yc o n t r o lt h e l o c a l i t y , o re x t e n t , o ft h e s u r f a c em o d i f i c a t i o nw h i l em a i n t a i n i n gt h ed e s i r a b l e h i g h l i g h tl i n em o d i f i c a t i o n i nt h i ss e c t i o n w eh a v es o m ee x a m p l e st op r o o f t h a tt h e m e t h o di sv e r yg o o d i nt h et h i r ds e c t i o n ，an e wm e t h o di s p r e s e n t e dt or e m o v et h el o c a l u n f a i r n e s so fn u r b ss u r f a c eb ya d j u s t i n gi t sn o r m a lv e c t o r sw h i c hp o i n t 1 4 山东大学硕十学位论文 jso nh i g h l i g h t1 i n e t h ed e s i g n e rm o d i f ys u r f a c en o r m a l v e c t o rw h i c hi s o nt h e h i g h l i g h tl i n ea l o n g1 i g h t1 i n e a f t e rm o d if i c a t i o n t h e p e r p e n d i c u l a rd i s t a n c eb e t w e e ns u r f a c en o r m a lv e c t o ra n dt h e1i g h ts o u r c e isz e r o t h ep o i n tt h a ti sm o d i f l e do nt h es u r f a c ei s l o c a t e do nt h el i n e w h o s ed i r e c t i o nv e c t o ri st h es u r f a c en o r m a lv e c t o r a l lo ft h e s ea r eu s e d a s l n p u t t o c o m p u t ec o n t r o lp o i n t a c c o r d i n gt os p r i n gm e c h a n i c sa n d s p r i n ge q u a t i o no fs h e e tm e t a l ，w ec a ng e te n e r g yo fs u r f a c e a f t e r m o d i f i c a t i o no fs u r f a c e ，i ti sd e s i r a b l et h a t c h a n g eo ft h ee n e r g i e s b e t w e e nt h em o d i f i e ds u r f a c ea n dt h e o r i g i n a ls u r f a c ei sa ss m a l la s p o s s i b l e a c c o r d i n gt ot h ee n e r g ym o d e lo fs h e e tm e t a l ，t h en e w o p t i m i z a t i o ne n e r g yg o a lf u n c t i o ni su s e dt om i n i m i z ee n e r g y c h a n g eo f t h em o d i f i e ds u r f a c ea n dt h eo r i g i n a l s u r f a c e t h en o n l i n e a re q u a t i o n s o fh i g h l i g h t l i n em o d e li st r a n s f o r m e di n t ol i n e a re q u a t i o n s a n dh e n c e g r e a t l yr e d u c et h ec o m p l e x i t yo fc o m p u t a t i o n ，a v o i d i n gd i f f i c u l t yt o s o l v en o n l i n e a re q u a t i o n s m o d i f i c a t i o no ft h ec o n t r o l p o i n t so ft h e s u r f a c ei sa c h i e v e db ys o l v i n gas y s t e mo f1 i n e a re q u a t i o n s t h en e w n u r b s s u r f a c eh a v et h ec e r t a i nn o r m a lt h a t d e s i g n e rs p e c i f i e s t h em e t h 。di s i n t u i r i v ea n ds u i t a b l ef o rr e a l t i m e i n t e r a c t i v ed e s i g n ，i ta l l o w sa d e s i g n e rt oi m p r o v et h ef a i r n e s so fn u r b ss u r f a c eb ys i m p l eo p e r a t i o n s e x a m p l e so ft e s t i n gt h ee f f e c t i v e n e s so ft h en e wm e t h o da r ei n e l u d e d k e y w o r d s ：h i g h l i g h tl i n em o d e l ：n u r b ss u r f a c e ；f a i r n e s s ：c u r v a t u r e 山东大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 随着航空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一 门新兴学科一计算机辅助几何设计。尽管研究对象扩展到四维曲面的表示与显 示等，但其主要研究对象仍是工业产品的几何形状。工业产品的形状大致可分 为两类：一类是仍由初等解析曲面( 例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环 面等) 组成，大多数机械零件属于这一类。可以用画法几何与机械制图的方法 完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息；第二类是不能由初等解析曲面组 成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、 汽车、船舶的外形零件。然而，后一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能 表达清楚的。 在制造飞机或船舶的工厂里，传统上采用模线样板法表示和传递自由型曲 线曲面的形状。模线员与绘图员用均匀的带弹性的细木条、有机玻璃条或金属 条通过一系列点绘制所需要的曲线即模线，依此制成样板作为生产与检验的依 据。在曲面上没有模线控制的部分取成光滑过渡。这种采用模拟量传递信息的 设计制造方法所表示与传递的几何形状因人而异，要求设计与制造人员付出繁 重的体力劳动，设计制造周期长，制造精度低，互换协调性差，不能适应现代 航空、汽车等工业的发展。人们一直在寻找用数学方法唯一的定义自由型曲线 曲面的形状，将形状信息从模拟量改变为数值量。由此而来的大量计算工作手 工无法完成，只能由计算机完成。随着计算机的出现，采用数学方法定义自由 型曲线曲面才达到实际应用的地步。这导致了计算机辅助几何设计的产生与发 展。依据定义形状的几何信息，应用计算机辅助几何设计学科所提供的方法， 就可建立相应的曲线曲面方程即数学模型，并通过在计算机上执行计算和处理 程序，计算出曲线曲面上大量的点及其他信息。期间，通过分析与综合就可了 解所定义形状具有的局部和整体的几何特征，这里实时显示与交互修改工作几 乎同步进行。形状的几何定义为所有的后置处理( 如数控加工、物性计算、有 限元分析等) 提供了必要的先决条件。 山东大学碗士学位论文 在形状信息的计算机表示、分析和综合中，核心的问题是计算机表示，既 要找到适合计算机处理且有效的满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信 息传递和产品数据交换的形状描述的方法。 关于实体造型的理论的发展落后于曲线曲面，虽然近几年己取得很大进展 并进入实际应用，但仍不及曲线曲面理论那样成熟。 自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图方法表示清楚，成为工程师 们首先要解决的问题。1 9 6 3 年，美国波音( b o e i n g ) 飞, 机公司的福格森( f e r g u s o n ) 首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线 1 】，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的福格森双 三次曲面片。这些方法由f m i l l 系统实现，有它可以生成数控纸带。在这之前， 曲线的描述一直是采用显式的标量函数y = y ( x ) 或隐方程f ( x ，y ) = 0 的形式，曲 面的描述相应采用z = z ( x ，y ) 或f ( x ，y ，z ) = 0 的形式。福格森所采用的曲线曲面 的参数形式从此成为形状数学描述的标准形式。 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m a s s a c h u s e t t si n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y ) 的孔 斯( c o o n s ) 发表了一个具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四 条边界就可以定义一块曲面片。1 9 6 7 年，孔斯进一步推广了他的这一思想。在 c a g d 实践中应用广泛的只是它的特殊形式一孔斯双三次曲面片。它与福格森 双三次曲面片的区别，仅在于将角点扭矢由零矢量该取为非零矢量。两者都存 在形状控制与连接问题。 由舍恩伯格( s c h o e n b e r g ) 于1 9 6 4 年提出的样条函数提供了解决连接问题 的一种技术。用于形状描述的样条方法是样条函数的参数形式，即参数样条曲 线、曲面。样条方法用于解决插值问题，在构造整体上达到某种参数连续阶( 指 可微性) 的插值曲线、曲面时是很方便的，但不存在局部调整的自由度，样条 曲线和曲面的形状难以预测。 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的贝齐尔( b 6 z i e r ) 2 1 于1 9 7 1 年发表了一种 由控制多边形定义曲线的方法。设计员只要移动控制点就可以方便的修改曲线 的形状，而且形状的变化完全在预料之中。贝齐尔方法简单易用，又出色地解决 了整体形状控制问题。它是雷诺公司u n i s u r fc a d 系统的数学基础。贝齐尔 方法在c a g d 学科中占有重要的地位，它广为人们接受，为c a g d 的进一步 山东大学硕上学位论文 发展奠定了坚实基础。贝齐尔方法仍存在连接问题，还有局部修改问题。稍早 于贝齐尔，在法国另一家汽车公司雪铁龙( c i t r o e n ) 汽车公司工作的德卡 斯特里奥( d ec a s t e l j a u ) 也曾独立的研究发展了同样的方法，但结果从未公开 发表。 德布尔( d eb o o r ) 于1 9 7 2 年给出了关于b 样条的一套标准算法。美国通 用汽车公司的戈登( g o r d o n ) 和里森费尔德( r i e s e n f e l d ) 于1 9 7 4 年将b 样条 理论 3 】应用于形状描述，提出了b 样条曲线曲面。它几乎继承了贝齐尔的一切 优点，克服了贝齐尔方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而 易举的在参数连续性基础上解决了连接问题。与控制多边形和节点相联系，1 9 8 0 年分别由伯姆( b o e h m ) 和可恩( c o h e n ) 等人给出的节点插入技术 4 是b 样 条方法中最重要的配套技术。其次，还有福里斯特( f o r r e s t ，1 9 7 2 ) 与普劳茨 ( p r a u t z s c h ，1 9 8 4 ) 等人的升阶技术 5 】。 上述各种方法尤其是b 样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的描 述问题。然而，将其应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能给 出近似表示，不能满足大多数机械产品的要求。代数几何里的隐函数形式可以 满足这一要求。在参数表示范围里，福里斯特( f o r r e s t , 1 9 6 8 ) 首先给出了表达 有理贝齐尔形式的圆锥截线。鲍尔( b a l l ，1 9 7 4 ，1 9 7 5 ，1 9 7 7 ) 在他的c o n s u r f 系统中提出的有理方法在英国飞机公司得到广泛的使用。然而，欲在几何设计 系统中引入这些与前述自由型曲线曲面描述不相容的方法，将会使得系统变得 十分庞杂。人们希望找到一种统一的数学方法。美国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大 学的福斯普里尔( v e r p r i l l e ，1 9 7 5 ) 在他的博士论文中首先提出了有理b 样条方 法。以后，主要由于皮格尔( p i e 9 1 ) 、蒂勒( t i l l e r ) 和法林( f a r i n ) 等人的功 绩，至2 0 世纪8 0 年代后期，非均匀有理b 样条( n o n u n i f 0 1 t nr a t i o n a lb s p l i n e ， 简称n u r b s ) 6 ，7 方法成为用于曲线曲面描述的最广为流行的数学方法。非有 理与有理贝齐尔曲线曲面和非有理b 样条曲线曲面都被统一在n u r b s 标准形 式之中，因而可以采用统一的数据库。早在2 0 世纪8 0 年代的美国，n u r b s 就首先被纳入初始图形交换规范i g e s ( i n i t i a lg r a p h i c se x c h a n g es p e c i f i c a t i o n ) ， 成为美国国家标准( a m e r i c a n n a t i o n a ls t a n d a r d ，简称a n s ) 。国际标准化组织 ( i n t e r n a t i o n a ls t a n d a r d i z a t i o no r g a n i z a t i o n ，简称i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工 山东大学倾士学位论文 业产品数据交换的s t e p ( s t a n d a r df o rt h ee x c h a n g eo f p r o d u c tm o d e ld m a ) 国 际标准，把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。1 9 9 2 年， n u r b s 又成为规定独立于设备的交互图形编程的p h l g s ( p r o g r a m m e r s h i e r a r c h i c a li n t e r a c t i v eg r a p h i c ss y s t e m ) 国际标准。n u r b s 仍在发展中，一些 问题有待深入研究。 1 2 n u r b s 曲面定义 阶为p x q ， p ，) 为控制网格以。，( 0 f m ，0 胛) 为权的n u r b s ( 非均 匀有理b 样条) 曲面参数形式定义为 ，p ，j ，( u ) n j 。( v ) p ( u ，v ) = 里者二一，“p 一1 s ”“。，l ，v q l v k + i ( 1 ) ，j ，( “) n ，。( v ) 1 = 0 j = 0 其中m 。( “) 是p 阶样条基函数，“的节点向量为 ，l0 蔓i m + p + 1 r 。( v ) 是口阶样条基函数，v 的节点向量为“f o s s 行+ g + 1 ) 。“参数取值区 间阻川，“+ 1 】，v 参数取值区间【。口_ l ，“。】。 p ，为p ( u ，v ) 的控制点，把由两组多边形只”只1 2 p ，“= 1 ，2 ，行) 和 置，足，只( ，= 1 ，2 ，m ) 组成的网格称为p ( u ，v ) 的控制网格，且记为 只，) 。 n u r b s 曲面具有凸包性、几何不变性、局部调接性等；它的控制网格是人机 交互的手段：这些都与b 样条曲线的情况类似。 1 3 n u r b s 曲面修改 n u r b s ( t h en o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e 简称) 是汽车设计和逆向工程 过程中应用最广泛c a d 曲面表示方法。通过改变n u r b s 曲面的控制点，可用 来交互式生成和修改曲面形状，也可用来改变曲面的物理特性，例如把汽车泥 塑模型转化成c a d 模型。n u r b s 已经被标准化，成为工业标准，被广泛应用 于c a d 系统中，并在不同c a d 系统之间的进行数掘交换。 山东大学硕士学位论文 n u r b s 有一个主要强有力的能力是进行自由曲面的生成和修改。在概念 设计化阶段，曲面经常有框架生成。n u r b s 模式能使用户通过调整控制点而 生成和修改曲面。在实际操作过程中，移去控制点是一件费时的工作，而且精 确度成了主要问题。复杂形状曲面经常由大量的控制点定义，移去一个控制点 会引入噪声和曲面不规则性，这些缺点消除很困难。因此，如果没有成熟和界 面友好的工具，用基础的n u r b s 模式不可能生成复杂光滑的三维图形。 在高级设计阶段，设计者经常面对更困难的工作，特别是n u r b s 曲面的 间接特性，例如以高光线、反射线、等高线 8 ，9 ，1 0 ，1 l 】形式出现的反射特性，需 要重新定义或修改。通过人工操作控制点生成曲面上的这些特征形状非常困难。 控制点移动反映在反射特性上是间接的和非线性的。比较理想的方法是直接说 明特征曲线的理想形状后，随后自动调整曲面的几何形状。 k l a s s 1 2 1 介绍了一种方法允许直接修改曲面的反射线。这种方法基于微分 几何，通过修改一定数量的一族反射线近似反映曲面的变化，再用修改后偏移 加到原始曲线上来评价变化结果。这个方法有一个缺点，当曲面修改后，失去 了原始曲面的定义。k a u f m a n 和k l a s s 1 3 发表了一个近似算法：用等高线修改 一族样条曲线，与第一个方法相比，这个方法重新定义每个样条曲线，而且每 个样条曲线有相同的定义。这样更容易恢复原始曲线定义。 高光线是一种交互式评估曲面光顺性的简单反射模型，是修改n u r b s 曲 面强有力的工具，修改n u r b s 曲面的具体算法有很多，本篇论文主要介绍了 两种关键算法。文章第二章介绍了直接修改高光线法，用户选择n u r b s 曲面 上一条高光线，然后修改高光线的形状或改变高光线局部部分。假定高光线由 有序排列的点数字化表示，用交互技术实现高光线修改。最后，用未修改前的 曲线和修改后新的曲线作为输入，计算出n u r b s 改变后的控制点，这些新的 控制点可重新生成曲面，同时在曲面上生成理想的高光线。文章第三章介绍了 一种通过修改高光线法向量消除n u r b s 曲面局部不光顺性的方法。设计者修 改位于高光线上曲面法向量的方向，使网格控制点发生变化，从而达到修改曲 面的目的。这种方法把由高光线模型对应的非线性方程转化成线性方程，求解 容易，可使修改后曲面上的一些点具有指定的法方向，而且操作简单、直观， 非常适用于实时交互式系统。 山东大学硕士学位论文 1 4 高光线模型简介 高光线是一种交互式评估曲面光顺性的简单反射模型。与物理上反射光线 相比，高光线具有视点独立性，也就是说如果观察者他( 她) 的视点，高光线 的路径没有变化。然而，高光线的灵敏度和表面特性与反射光线相似。 高光线是由曲面上方某处直线光源产生的，是直线光源在曲面上产生的印 迹。这些印迹是曲面上点的子集合，这些点处的曲面法向量与直线光源的垂直 距离是零，如图1 1 所示。 图1 1n u r b s 随面及其高光线 光源线的参数方程l ( t ) = a + 墟，其中a 为上上的一点，嚣为二8 ) 的方 向向量。q 为n u r b s 曲面上点，是曲面在q 点处的法方向，通过q 、方向 向量为的直线方程可表示为e ( s ) = q + s n 。如果l ( t ) 和e ( s ) 相交，那么点q 位于高光线上，也就是说l ( t ) 和e ( s ) 的垂直距离c 等于0 ，即有 c ：哩! 翌：坠二望址o( 2 ) 0 ( b n ) f f 等式( 2 ) 也可以写成 ( 丑) ( a - q ) = o ( 3 ) 由高光线模型可以引申出高光带和高光带边界曲线，假设线光源的直径非 零。高光带边界曲线是曲面上的点的集合，这些点在曲面上法向的扩展与光源 圆柱体相切。也就是说，假设q 是高光带边界曲线上的点，q 满足 山东大学硕士学位论文 。：! ! 望! 型2 ：! 垒二q 划：，( 4 ) i i ( b x n ) i i 其中r 0 ，是光源圆柱体的半径。 高光线模型涉及到曲面的法向量，对法向量的方向变化很敏感，它放大了 曲面的不连续性，揭露了其他不可见的不规则性。在交互式图形环境中，用户 能通过移动或旋转线光源来评价曲面的质量，最后清除曲面上的高光线。一组 平行线光源在曲面上能生成一族高光线，如图1 2 所示。 图1 2 组平行线光源在曲面上能生成一族高光线 山东大学硕士学位论文 2 1 d h l m 方法简介 第二章直接修改高光线法 在两种情况下，利用高光线模型修改曲面会得出两种结果。第一种情况的 特点是曲面质量不好，会导致高光线出现不规则性。在此情况下，高光线起到 了光滑性指示器作用，放大了曲面质量问题。目前的各种光顺技术能消除曲面 不规则性，同时保证达到最小的曲面几何形状修改。 第二种情况是曲面的整体质量已经得到满足，只有局部零星的瑕疵。高光 线主要用来检验曲面形状特性和变换属性。对于一个汽车外形设计师，用高光 线来检验汽车外形的反射特征，是评估一辆汽车特征和表现的重要一环。 直接修改高光线的形状而没有破坏曲面的质量，下面要详细介绍具有此特 性的一种新方法一直接修改高光线，d e r i c th i g h l i g h t l i n e m o d i f i c a t i o n 简称 d h l m 1 4 ，这种方法能够定义曲面形状特征，并保留这些曲面特征。 2 2 解决步骤 d h l m 方法步骤如下：首先，用户选择n u r b s 曲面上一条高光线，然后 修改高光线的形状或改变高光线局部部分。假定高光线用有序排列的点数字化 表示，用交互技术实现高光线修改。最后，未修改前的曲线和修改后新的曲线 作为输入，计算出n u r b s 改变后的控制点，这些新的控制点可重新在曲面上 生成理想的高光线。 然而，d h l m 方法需要解决反函数问题。输入的点是高光线上所有点的位 置，输出是所有受到影响的控制点的位置。由于控制点的数量通常少于高光线 上点的数量，实际上很难准确的修改高光线上的所有点。换句话说，表达自由 度的有效控制点的数量与用户要修改的高光线上点的数量相比通常是不足的。 要解决这个问题，我们可以插入新的节点而达到增加控制点或者减少高光线上 的采样点。采样点是高光线上点的一个子集，把这些点当作“柄”或“参考点”。 随后，我们能直接修改这些参考点，d h l m 方法就是用第二种方法进行解决的。 些查奎兰堡主堂些笙苎 2 3 建立方程组 为了找到新的控制点的位置，需要建立方程组。要用曲面的定义( 1 ) 和距 离公式( 3 ) 建立关于参考点和控制点之间关系的方程组。然而，距离公式提供 的仅仅是参考点和控制点之间的隐含关系，我们必须找出这两类点之间的直接 关系。便于后面的引用，公式( 4 ) 可写成 d ( “，v ，p l ，一，只) = c ( 5 ) p ( p l ，一，以) 表示一组自由度。注意到每个控制点有三个独立的量x ，v ， ：。因此，p ( p 】，一，p 。) 包含被选择的控制点的分量，这些控制点影响高光线所 在的曲面区域。 高光线是离散的，通过采样并且由m 个参考点表示，因此公式( 5 ) 转化 为r n 个方程 z ( “，v ，p l ，一，p 。) = c j ，( i = l ，m ) ( 6 ) 其中“( “t ，“：，“。) 和v ( v 1 ，v 2 ，v 卅) 是参考点在曲面域参数空间“和v 方向的参 数。公式( 6 ) 可以写成 d f ( “，v f ，p l ，一，b ) = 一( “，v ，b ，b ) 一q = 0 ，( i _ 1 ，m )( 7 ) 方程( 7 ) 描述的是自由度和参考点的位置在参数空间的关系。d h l m 方 法的目标是允许直接修改目标空间上的这些点。因此，必须添加这些点x ，v ， z 位着等式到公式( 7 ) ，可得 墨( 一，“，v ，p l ，。一，岛) = t ( x ，“，v ，p 1 ，p 。) 一t = 0 甏麓篆：落裟麓纂落搿0 洚“z ，( 二，“，v ，a ，+ 一，p 。) = z ，( z ，“，v j ，已，一，p 。) 一o ，= 1 7 o o7 口( 甜，v ，p l ，。，p 。) = z ( “，v ，p 1 ，p 。) 一q = 0 其中( x ，m ，z ，) 表示参考点的位置，( 坼，一) 是相应的“，v 值，只是方程的 自由度。注意到公式( 8 ) 中有4 m 个等式，这是自由度要求的数目，因此n 必 等于4 m 。 同时我们注意到z ( 西，恐，) ，y 幻，：，儿) ，z ( z ，z ：，：。) 是独立的 山东大学硕士学位论文 变量，p ( p 。，p ：，p 。) 是方程中相关联的变量。 下面介绍一个初步的解决方法。选择一条高光线，例如( 吼，p 。) ， q 。= ( x 0y 。，z 。) ，满足方程( 8 ) 。d h l m 方法允许用户直接修改参考点：例如x ， y ，= ，然后计算出相应的p 。由隐函数理论 1 5 ，在( 9 0 ，p o ) ，p 由唯一的连 续函数定义( 一，y ，毛) 。满足雅克比矩阵 j f ( qo ，po ) = _ a x i ( qo , po ) 1 a x l g o ，p 。) 攀( 9 0 ，p 。) o p lo p2印。 善( p 。) d p l _ = a _ z 1l q 。，p 。) 0 p l 善( p 。) d p2 - a - 互7 - ( qo , p o ) v ，2 一擘( g o ，p 。) o p 。 旦( p 。) o p 。 _ = o y m ( g 。，p 。) 0 p 。 善( p 。) o