（轻工技术与工程专业论文）矩阵的双加权广义逆.pdf

摘要 矩阵是工程技术以及经济管理领域的不可缺少的数学工具。1 9 2 0 年摩尔 ( e h m o o r e ) 首次引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们的重视，直 到1 9 9 5 年彭诺斯( r p e n r o s e ) 以更明确的形式给出了m o o r e 的广义逆矩阵的定义之后， 广义逆矩阵的研究进入了一个新的时期。由于广义逆矩阵在数理统计，系统理论、最 优化理论、现代化控制理论等许多领域中的重要应用为人所认识，因而大大推动了对 广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。而 加权广义逆矩阵作为广义逆矩阵的一个重要组成部分，最近几年己获得飞速发展。 加权m o o r e p e n r o s e 逆主要有四种：以州。，加，砧。，。，彳0 。很多文章都 是在m ，正定矩阵的前提下研究这四种加权广义逆的存在性与唯一性及各种表达式。 本文提出了双加权广义逆局m 。u 概念，将文献【5 6 】中提到的 州。，岛加，筋。 ，戤州综合为一种形式。 本文分成三大部分，第一部分是在环上权数矩阵为一般矩阵的前提下得到了双加 权广义逆矩阵存在的充要条件，得n t 1 ，3 ) 、 1 ，4 ) 、 1 ，3 。4 ) 、 1 ，2 ，3 ，4 - 逆 的全部解。第二部分是在域上权数矩阵为可逆矩阵的前提下得到了双加权广义逆的存在 的充要条件，存在时的唯一性，并给出了双加权广义逆的多种显示表达式及其多个性质。 从而使得很多非常著名的表达式如：u r q u h a r t 、m a c d u f e e 、d e c e l l 、z l o b e c 等公式成为 本文的特例。第三部分得到了双加权广义逆矩阵的逆序律，得到了两矩阵、三矩阵乘积 的逆序律方面的多个表达式。 关键字：矩阵；广义逆矩阵；加权广义逆矩阵；双加权广义逆矩阵；逆序律。 江南大学硕士学位论文 a b s tr a c t t h em a t r i xi st h ee s s e n t i a lm a t h e m a t i c a li n s t r u m e n ti np r o j e c tt e c h n o l o g ya sw e l l a st h ee c o n o m i c a lm a n a g e m e n td o m a i n h o w e v e rg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i xh a s n o tb e e np a i dm o r ea t t e n t i o nf r o m1 9 2 0 w h i c hi si n t r o d u c e db ye h m o o r e t h e r e s e a r c ho fg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i xg e t si n t oan e wp e r i o du n t i lr p e n r o s eg i v e s w i t i lt h em o r ee x p l i c i tf o r mt h ed e f i n i t i o no f g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i xi n1 9 9 5 t h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i xh a sb e e nt h ed e v e l o p i n gs u b j e e ta n da ni m p o r t a n t b r a n c ho f t h em a t r i xb e c a u s ei th a sb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e dt om a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ， s y s t e mt h e o r i e s ，o p t i m i z a t i o nt h e o r y , m o d e mc o n t r o lt h e o r y , a n dm a n yo t h e r i m p o r t a n ta r e a s m o s t l yr e c e n t l y , t h ew e i g h t e dg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i x ，w h i c hi so f t h ev e r yi m p o r t a n tb r a n c ho ft h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i x ，h a sb e e ng e t t i n gr a p i d d e v e l o p m e n t t h e r ea r em a i n l yf o u rt y p e so ft h ew e l 【g h t e dm o o r e p e n r o s ei n v e r s e sa sb e l o w ： a k 。n ，疋q n ，a 乙。? n a n d 式u ，n m a n y a u t h o r si n v e s t i g a t e dt h ee x i s t e n c e ， u n i q u e n e s sa n dv a r i o u se x p r e s s i o n so f t h e s ef o u rw e i g h t e dg e n e r a li n v e r s e sa s s u m i n g t h a tm ，na r ep o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s ean e wc o n c e p t r e f e r r e da si tt ob i w e i g h t e dg e n e r a li n v e r s e sd e n o t e db y 砧“，a n d 咖j 移t h ef o u r w e i g h t e dg e n e r a li n v e r s e s ，w h i c hw e r em e n t i o n e db yr a k h a ( 2 0 0 4 ) t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nc h a p t e r2 ，w e e s t a b l i s ht h e s u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n d t h e w h o l es o l u t i o n so f 1 ，3 ， 1 ，4 ) ， 1 ，3 ， 4 a n d 1 ，2 ，3 ，4 ) o f t h eb i - w e i g h t e dg e n e r a l i z e di n v e r s ea si te x i s t su n d e rt h e c o n d i t i o n so ft h em a t r i c e sm ，w ；na n du b e i n gc o m m o ni nr i n g i nc h a p t e r3 ，w e g e ts u f f i c i e n t - a n d n e c e s s a r yc o n d i t i o no fi t se x i s t e n c e ，p r o v eu n i q u e n e s s ，g i v ee x p l i c i t f o r m u l a sa n dp r o p e r t i e so f 以州以a s s u m i n gt h a tm a t r i c e sm ，wn a n dua r e n o n s i n g u l a ri nf i e l d h e n c em a n yf a m o u se x p r e s s i o n ss u c ha su r q u h a r t 、m a c d u f e e 、 d e c e l l 、z l o b e ef o r m u l aa r es p e c i a li no u rp a p e r c h a p t e r4p r o v i d e ss o m ef o r m u l a so f t h er e v e r s eo r d e rl a w sf o rt h eb i - w e i g h t e dg e n e r a l i z e di n v e r s e so ft w a i nm a t r i xa n d t r i p l em a t r i xp r o d u c t k e y w o r d s ：m a t r i x ；g e n e r a l i z e di n v e r s e ；w e i g h t e dg e n e r a l i z e di n v e r s e ；b i - w e i g h t e d g e n e r a l i z e di n v e r s e ；r e v e r s eo r d e rl a w i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 关于论文使用授权的说明 口6 年9 只8e l | 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：盏些导师签名： 日期：口 第一章绪论 第一章绪论 1 1 矩阵广义逆的产生l 广义逆是一门年轻而应用十分广泛的学科在生产实践和科学研究中，人们 经常需要解下列方程组： 设j ，y 是两个线性空间，爿l ，列， 彳x = b ，x a ，b y 众所周知，若矩阵爿可逆，则方程组有唯一解工= a b 。但是，当矩阵爿不可 逆时有两种情况，一是方程无解，二是方程有解但解不唯一因此，无解时如何 求最佳近似解，有解但不唯一时哪些解的性质更好就成了人们关注的问题人们 希望象非奇异方程组那样。也能找到某个适当的矩阵z ，使得jb 可用于表征此 类方程的解集或特定解于是，广义逆便应运而生 1 9 2 0 年，在美国数学会通报上，m o o r eeh 首次提出了非奇异方阵逆矩阵的 概念，以摘要的形式给出了任意矩阵广义逆的定义： 定义l 设a e c ”，则爿的广义逆矩阵x c ”是如下方程的唯一解 a x 2pr 1 x a 2 pr ( x l 并且将z 记作a + 但在这之后的3 0 多年，广义逆很少被入注意，直至i j l 9 5 5 年，英国学者 p e n r o s er 在剑桥哲学学会学报上发表的“广义逆矩阵”中，用四个矩阵方程的 直观形式给出了广义逆矩阵的新的更简便、实用的定义之后，广义逆矩阵的理论 和应用才得到了迅速发展 定义2 设a c ”，则爿的广义逆矩阵a + c ”“是如下方程的唯一解 ( 1 ) a a + a = a ( 2 ) a + a a + = a + ( 3 ) 似j = a a + 江南大学硕士学位论文 ( 4 ) 似+ 4 j = a + a p e n r o s e 的这个定义较m o o r e 的定义直观，也易于操作，从而为广义逆的研究和发 展开辟了广阔的空间此后，人们将爿+ 称为m o o r e p e n r o s e 逆，简称m p 逆，广义 逆的理论研究和应用研究也由此进入了快速发展的轨道现在，矩阵广义逆在数 值分析、数理统计、测量学、经济学、最化及若干应用科学中发挥了广泛而重要 的作用，在研究最d x - - 乘问题，长方、病态线性、非线性问题，不适定问题，回 归、分布估计、马尔可夫链等统计问题，无约束、约束、随机规划问题，控制论 和系统识别问题，网络问题等等中间，广义逆更是不可缺少的工具随着矩阵广 义逆研究的深入，人们又发现了许多其它类型的广义逆，如群逆，d r a z i n 逆，加权 广义逆，a b 广义逆，应用于电网络理论的b o t t d u f f i n 逆和广义b o t t d u f f i n 逆 等由于广义逆矩阵的重要性，多年来人们一直对广义逆矩阵的研究充满了浓厚 的兴趣，成果不断涌现，应用逐步深入 1 2 近年来广义逆的研究进展m 们 近年来，广义逆沿着四十多年来的快速发展道路继续获得蓬勃的发展，在矩 阵广义逆和算予广义逆方面取得了许多重要成果，也提出了很多值得继续研究的 问题在矩阵广义逆的理论研究方面，2 0 0 1 年k o l i h a jj 在c l 代数上讨论了m - p 逆 的连续性和可微性，2 0 0 2 年b a k s a l a r yjk 和s t y a ngph 对分块矩阵的广义逆进 行了研究，b a p a trb 毛e m - p 逆、外逆、加边矩阵广义逆等很多问题，取得了大量 新成果由前南数学家s t a n i m i r o v i cps 在1 9 9 9 年给出的广义逆的极限表示公式 及其相关的表示方法、g r e v i l l etne 在2 0 0 2 年给出的m p 逆的一个新的表示以 及王国荣在2 0 0 4 年给出的加权广义逆的递归表示，都为广义逆理论的研究提供了 有用的工具。2 0 0 3 年，陈果良推广了l 一非负矩阵的概念，定义了l 一零矩阵，并讨 论了l 一零矩阵广义逆的若干性质2 0 0 4 年邓斌通过类k b b o t t d u f f i n 逆和广义b o t t d u f f i n 逆，将传统的空间正交直和分解条件减弱为空间直和分解，定义了一 种新的广义逆一互补广义逆4 熙= p 邶口p + b ，j 由于广义逆4 z 。逆统 一了六类常见的广义逆，因此对a 进行系统的研究更具有重要意义陈永林在 1 9 9 9 年给出了广义逆a 罗。连续性的充分必要条件，2 0 0 1 年王国荣等获得了广义 第一章绪论 逆a 乳的子式的计算以及广义逆么譬s 的一些表示，2 0 0 3 年魏益民和bj o r d j e y i c ds 给出了a 逆的积分表示，近几年魏益民还系统地研究了广义逆彳，得 到了广义逆爿的群逆表达式，广义逆爿的分解式以及广义逆爿。的连续性 的条件等许多有意义的结果在广义逆的秩等式研究方面，2 0 0 0 年以来，t i a ny 研究了m p 逆、d r a z i n 逆、群逆等多种广义逆的秩等式2 0 0 4 年刘永辉给出了 与一个矩阵爿的广义逆4 有关的秩等式、与两个矩阵彳，口的广义逆 a ，岛霉。，有关的秩等式以及与一个分块矩阵肺广义逆m 。的子矩阵有关的 秩等式1 9 9 9 年魏木生得到了多重矩阵积的g 一逆和自反g 一逆的反序律，2 0 0 1 年 d j o r d j e v i cd s 给出了广义逆反序的统一方法，2 0 0 4 年王国荣和郑兵给出了矩 阵积a = 一，4 4 的a 逆的反序律，2 0 0 2 年孙文瑜给出了不包含任何广义逆 计算的一种新的加权广义逆的三重逆序律，2 0 0 4 年邓斌讨论了口一广义逆矩阵 的反序性问题 近年来，结合环的代数结构的研究方兴未艾，而环上矩阵的广义逆则是揭示 环的代数结构的有力工具r a okps 、b a p a tr 、r o b i n s o nd 等学者在交换环上 矩阵广义逆的研究方面作了大量工作，2 0 0 2 年，r a okps 在他的专著“t h et h e o r y o fg e n e r a l i z e di n v e r s e so v e rc o m m u t a t i v er i n g s ”中系统地总结了这方面的 工作除环在量子力学等学科中有着广泛的应用，因而除环上的矩阵也成了矩阵 研究中的重要课题，以屠伯勋、曹重光、庄瓦金为代表的众多学者已经作了大量 的研究，得到了一系列结果 在广义逆的分析扰动方面，陈果良和薛以锋引入了稳定性扰动的概念，证得 了一系列稳定扰动的等价条件，为广义逆扰动分析研究奠定了很好的基础2 0 0 2 年陈果良和薛以锋还讨论了广义b o t t d u f f i n 逆的扰动理论，2 0 0 3 年陈果良又研 究了l z e r o 矩阵广义b o t t - d u f f i n 逆的扰动问题，2 0 0 0 年g u l l i k s s o nme 、w e d i n pa 和魏益民给出了加权广义逆的扰动恒等式，1 9 9 9 年魏益民研究了群逆和斜投 影的扰动问题，n a n m i nz h a n 9 2 0 0 3 年给出了子空间和有扰动时a 乒。逆的扰动界， 2 0 0 0 年和2 0 0 1 年g o n z a l e znc 和k o l i h ajj 等人在d r a z i n 逆的扰动方面发表 了多篇研究论文，2 0 0 2 年k o l i h ajj 还给出了d r a z i n 逆扰动的误差界，在研究 扛南大学硕士学位论文 历史很短的广义逆代数扰动方面，2 0 0 5 年骈俊生和朱超研究了矩阵b o t t - d u f f i n 逆和广义b o t t - d u f f i n 逆的代数扰动理论及其应用，给出了它们的代数扰动表达 式广义逆的计算可分为直接法和迭代法两大类，近年来在广义逆的计算方面有一 些新的进展1 9 9 9 年g o n z a l e znc 和k o l i h ajj 给出了计算d r a z i n 逆的半迭代法， 2 0 0 2 年朱超给出了算子广义逆a 熙存在的充分必要条件，提出了一种分裂迭代 法，2 0 0 3 年蔡静和陈果良提出了口一口广义逆的分裂迭代法2 0 0 0 年魏益民借鉴了 c o n d e n o t t ib 利用分块技巧提高迭代法收敛速度的方法，给出了收敛速度较快的 计算d r a z i n 逆的迭代法，2 0 0 4 年lix i ez h a n g 和魏益民继续研究了d r a z i n 逆 的迭代法和半迭代法陈永林在提出了计算矩阵广义逆a 。的迭代法之后，紧接 着又在2 0 0 5 年给出了基于矩阵分裂的计算矩阵广义逆的迭代法，英国学者 a r a m p e t a k i snp 研究了矩阵多项式广义逆的计算问题，1 9 9 9 年美国学者u d w a d i a fe 和k a l a b are 给出了计算几种实矩阵广义逆的递归公式。广义逆之所以能得 到众多学者的重视，与它在诸多学科和领域的广泛应用是分不开的，随着广义逆 研究的深入，其应用的范围越来越广，广义逆也被更多的人所认识和关注，反过 来又进一步推动了广义逆的研究工作d ep i e r r oar 、魏木生、f o r s g r e na 、s p o r r eg 、j d a n gep 和b e r r ymw 等以广义逆作为工具，在2 0 0 0 年和2 0 0 1 年分别在 最小二乘问题和加权最小二乘问题方面作了一些研究，得到了一些新的结2 0 0 3 年，z h a n gn a i m i n 等讨论了a 在约束线性系统中的应用2 0 0 2 年z h a n gs h e n g 也曾讨论了a 的一些应用t owm 和e w i n sdj 则成功地将广义逆应用到了结 构动力学的研究上 1 3 广义逆研究前瞻 2 0 0 4 年1 2 月，在中国哈尔滨举行的有 - n a s h e d m z 、h u d z i k h 、h a y a m i k 、 s i d i a 、丁玖( 美籍) 等国际众多著名数学家参会的“广义逆及其应用”国际会议上， 国内外代表作了很多关于广义逆应用方面的报告，引起了与会代表和学界的极大 兴趣矩阵广义逆理论及其应用是目前数学研究中非常热门的一个领域，在本学科 快速发展过程中，很多亟待解决的问题，比如在矩阵d r a z i n 逆条件数达到极小时的 矩阵元素和结构方面的性质问题，环上矩阵的代数扰动问题，度量广义逆扰动的 稳定性、连续性问题，集值度量广义逆的连续选择问题，各种广义逆的计算问题， 4 第二章环上矩阵的双加权广义逆 以及内容广泛的广义逆应用问题等等相信随着研究的深入，在矩阵广义逆 的理论及应用上一定会取得更多有价值的成果，为人类文明和进步做出更大的贡 献 1 4 本课题的任务 本课题的任务是从理论上对广义逆矩阵的重要组成部分加权广义逆矩阵进行 研究，重点在权数矩阵条件减弱的情况研究其存在的充要条件、唯一性、表达式 等。 本文的章节安排如下： 第二章权数矩阵为一般矩阵下的双加权广义逆定义和存在的充要条件，及其 各种解集的构造。 第三章权数矩阵为可逆矩阵下的双加权广义逆存在的充要条件、唯一性、多 种显示表达式及其性质。 第四章双加权广义逆矩阵乘积的逆序律。 第二章环上矩阵的双加权广义逆 2 1 弓l 言 本文恒设r 是有对合且有单位元的正则环，由对合诱导了矩阵上的一个运 算= ( 嘞y = ( 西) 当= 彳时，称“是对称的众所周知，r 是正员 j 环的 充要条件是对任意的正整数m ，行，a r ”有1 - 逆。 定义2 1 1 设a r ”，m ，n 分别为m ，r 阶可逆矩阵，对于下述六个方程： a x a = a ( 1 ) x a x = x ( 2 ) m a x ) = m a x ( m 3 ) u x a ) = 嬲( 4 ) 觑) = x a n ( 4 ) a x m ) = 且跏( 3 肘) 若存在j 满足其中的方程：( 1 ) ，( 2 ) ，( m 3 ) ，( 4 ) ，则称z 为相对于m ，n 的加 权广义逆，记作：4 7 , 。；同样，若满足( 1 ) ，( 2 k ( 肘3 ) ，( 4 ) 的，记作：o n ；满足 5 江南大学硕士学位论文 ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 m ) ，( 4 ) 的，记作：岛。：满i f = 0 ) ，( 2 ) ( 3 m ) ，( 4 n ) 的( 文【4 3 】中称为斜 广义逆) ，记作：厶。 近年来，国际上在这方面的研究取得了丰硕的成果。文 5 4 、6 4 、6 6 研究了 加权广义逆的逆序律；c h i p m a n js 在 5 1 】、m i t r a 在 5 7 】、p y l e 在 6 1 1 均证明 了当m ，对称正定时，四种加权广义逆以州。，。，。，岛舻，缸，。的存在性和唯一 性，并基于a 的满秩分解，给出了的显式表达式和一些主要性质。文 5 3 、5 9 、6 2 、 6 7 】也是在m ，正定之条件下得到了筋。的各种显式表达。近年来，不少文献如 【6 5 在肘，对称可逆的条件下，研究了砧。的存在的充要条件并给出相应的表 达式。本文是这些工作的继续。 本文将这四种加权广义逆进行综合并推广，提出了双加权广义逆这一新概念， 将上述四种加权广义逆合并为一种形式。使得文 5 1 6 7 】中的多个结果成为本文的 特例。 定义2 1 2 设a r ”，m ，w e r “”，n ，u r ”，若矩阵石满足下列四个 方程： a x a = a ( 1 ) x a x = x ( 2 ) ( m a x r v ) = m a x w( 3 ) ( n x a u ) = n x a u( 4 ) 则称矩阵x 为矩阵彳的关于m ，u 的双加权m o o r e p e n r o s e 逆，记作： 砧m w 。显然， 筏止m = 州，岛叽= 岛州，驾她= 如n 。，帆i 。n = a + m ，n ， 4 = iii ， ，= 6i ； ，= 喜i ； ，= ii ； ，u = ；兰 6 第二章环上矩阵的双加权广义逆 容易看出：彳玉o , n o ，岛。，如。，如，这四种加权广义逆均不存在，但是， f 1 0 0 1 4 玉帆，川= 10 loi 却存在。因此，研究双加权广义逆是加权广义逆的非平凡推 l o 0 o j 2 2 主要结果 引理2 2 1 设彳r ，b 月“，则 1 ) 若关于矩阵的方程爿：a b x 有解，则爿b ( 彳b ) “a = a 2 ) 若关于矩阵y 的方程b = 拗b 有解，则b ( 4 b ) “a b = b 引理2 2 2 1 ) 设aer ，k r ，若a k a 为对称的，且方程彳= x a c a 有解，则一( 彳j 翻) ”彳为对称的( 其中( 彳 “) “e ( 彳尼4 ) l ) 2 ) 设a r ，se 月，若a s a 为对称的，且方程a = a s , + y 有 解，则彳a s a ) “爿为对称的( 其中( a s a ) “a s a ) 1 ) ) 证明：1 ) ：设v 是方程a = x a 1 5 4 的解，即有a = v a k a ，两边取共轭有： 彳= a k a v 于是，爿( 爿删) 。彳= y ( 彳+ k a ) v 为对称的 仿照 q e e 类似证明，可得以下引理。 引理2 2 3 设a r ”，b r ”9 ，d r “7 ，则矩阵方程么五刀= d 相容 的充要条件是存在a o ，b ”，使得a a d b b = d 成立在此情况下，一般解 为：z = a d b o + y a ”爿，珊“，其中任意y r “ 缈 1 ) ，使得彳= 矽4 = ( 形m ) 4 ，w o ) w - 与m 可交换，则_ 1 ，3 ) 妒的 充要条件是a m 矿( 1 彳为对称的且方程y a m ( 1 彳= a 有解；此时， ( a m 例w 爿m 例w ) m 2 ，3 。 江南大学硕士学位论文 证明：由越设易知：存在矩阵7 ，便得：a = t m ao 一万曲：砹爿刎l ，3 ， 则， ( a * m w ( 1 ) 爿) + = ( 矿m ) m a = a + ( 肜m ) m a x a = ( 矿m ) 埘r 矿m a = 彳( 形m ) ( 脚) w m a = ( 矽) + w x m 例w 彳= 彳x 。m 俐w 4 = a m ( 1 ) 彳 a = a x a = t m a x w w ( 1 4 = t w x a m ( 彳，所以方程y a m + 矿1 4 = a 有 解 另一方面：由引理2 2 1 知：4 ( m w m 4 ) ma m w m a = a ， 令：x = ( 彳m 矿( 1 ) 爿y ”m w ( 1 ) ，贝* ja x a = 彳( m w m 一) 。m a = a ， m a x w = 此4 ( 彳o ) a ) 。j ：l ，形m 矿= “( m 矽m 4 ) 。( ( 矿m ) 彳) m = 膨( 4 ( m 形( 1 ) 4 ) 。4 ) m 由引理2 2 2 知：m a x w 为对称的。因为存在矩阵】，满足：y a m ( 1 爿= a ，即 有a m + w o ) a ，= a + ，所以， x a x = ( 4 + m + w 1 4 ) ( 1 a + m w 1 一( 彳+ m w 1 4 ) a 么+ m + w 1 = ( m ( 1 ) 彳) ”a m w c l _ ( 4 m 1 彳) 。4 m 1 a y m w 0 = ( 4 + m 例w 彳) 。h am 例w a y m 例w = ( m 矿m 彳) o m + w = x 所以x a 1 ，2 ，3 ，充分性证得。 定理2 2 2 设a r “”，n 凡”，u r “”，若方程a u y = a 有解，且存在 n c l 1 ，使得4 = 彳( 1 ) n = a ( n n 1 1 ， n n m 与u 可交换，则4 l ，4 ) 的 充要条件是a n 1 u a 为对称的且方程a n ( 1 u a y = a 有解； 此时，n m u + a ( 4 0 u a + ) o 4 1 ，2 ，4 ) 。 仿照定理2 2 1 即可证的。 定理2 2 3 设a r ”，m r ”，形r ，n r “”，u r “”， 若两方程x m a = a a u y ：a 有解，且存在( 1 形f 1 ，n ( 1 n i l ，使得 8 第二章环上矩阵的双加权广义逆 a = w w m 4 = ( 矿) 彳= 爿m = 彳( m 、r m ) ，且矽o ) w l = j m 可交换、n n o ) 与( ， 可交换，则线。妒的充要条件是m + 形1 一、a n o ) u a + 为对称的且两方程 x a + m w o ) a = 4 ，a n 1 u a y = 彳有解；此时， 4 1 4 a a ，。 证明：由定理2 2 1 、定理2 2 2 可直接证明必要性。充分性可根据定理2 2 1 、 定理2 2 2 ，由已知条件即可证得a 0 ，3 ) ，a i ，4 非空，令x = a o , 4 ) a a ，直接带 入定义2 1 i 的4 个等式，即可证得。 推论2 2 1 在定理2 2 3 的条件下，若a 0 ，2 ，3 ，4 ) ，则 _ ”u + a + ( 4 ”u y ”a ( m w o ) 4 ) o a m w 1 4 1 ，2 ，3 ，4 ) 。 由上述三定理即可证得。只是要注意上式中的( ”，形( 1 ) 一定要满足定理2 2 3 的条件，不是任意的1 逆。 定理2 2 4 在定理2 2 3 的条件下a 1 ，2 ，3 ，4 ) 的充要条件是彳m 形1 彳、 a n ( 1 【，a 为对称的且存在矩阵f ，s ，使得删m + 1 彳= a n ( 1 u a f = a ； 在这种情形下：1 u f a s m w 1 a i ，2 ，3 ，4 。 证明：必要性：由定理2 2 3 可直接得到。充分性：令x = ( 1 u f a s m w ”， 注意到： a s = s a m ( 1 ) a s = 翩a f = f a n ( 1 ) 矿a f = f a ，则 a x a = a n ( 1 u f a s m + 形( 1 一= a n ( 1 矿f s a + m + ( 1 4 = a n ( 1 扩f a = a n ( 1 ) u a f = a x a x = ( 1 ) ( ，f a s + m 矽【1 ) 彳( 1 ) u + f a s m + 【1 ) = ( 1 ) 扩f a s m 形( 1 彳( 1 ) 矿a ，苫+ ，( 1 ) = ( ”扩f + a s + m 形( 1 ) a s m ( 1 ) = n 1 u + f 跹m w 1 a s m w = n 1 u f a s m w 1 = n 1 u f a s m w 1 = x a x w = m a n ( 1 u ，a s m 形( 1 形：m a n ( 1 矿a f s m w o ) w = m a s m ( 1 = m s a ( 1 ) w m = m s a m 所以，m a x w 是对称的同理可证n x a u 是对称的。 因此，x a i ，2 ，3 ，4 ) ，即a 1 ，2 ，3 ，4 ) 定理2 2 5 在定理2 1 的条件下非空集合爿 1 ，3 ) 由方程 纠肼，= m a a w 9 江南大学硕士学位论文 的全部解构成。 证明：v x 4 1 ，3 ) ，且由定理2 2 1 知：爿m 。w o ) a 为对称的， 此“( a ) w = m a x a a ( l 3 = m a x w w m 删n ”w = ( 脚) w m a a 1 j i , v = w x + m 形( 1 ) 止4 ( 1 3 ) w = w x ( m + ( 1 ) 4 ) a n ”w = w x 4 ( 形m ) 正“o m i , v = w x ( ( 1 ，) ( j j l 甜彳。m ) = x ( 形( i ) 形( 彳1 。) m = w ( 彳( ) + m + = w * x + m + = ( 删) = m a x w 另一方面：设y 是方程的解，下证y a 1 ，3 ) a y a = t m a y w w ( 1 ) 一：t m a a ( 1 , 3 ) w w ( 1 ) 彳= 州( 1 j ) 彳= a ( 埘删) = ( 删1 却) = m a a n 3 矿= m a x w 所以，y a 1 ，3 因此定理2 2 5 得证 推论2 2 2 在定理2 2 5 的条件下， a 1 ，3 ) = ( 翻) 1 ：厶4 爿1 m w w 1 + 】，一( j “) o m a y w w 1 v ye r ”。”) 定理2 2 6 在定理2 2 2 的条件下非空集合4 1 ，4 ) 由方程脱物u = n a 1 渤a u 的全部解构成。 仿照定理2 2 5 得证明证之 推论2 2 3 在定理2 2 6 的条件下， a 1 ，4 ) = 1 h ( r 4 a u ( a v ) 1 + y n 1 n y a u ( a , ) 1 iv y er ”。”) 定理2 2 7 在定理2 2 3 的条件下，若彳 1 ，3 ，4 ) 非空，则刎l ，3 ，4 = ( 心) 。埘聊7 0j + ( r + s s ( 一r ) a v ( a v ) ”) + 巩i v j ，z r ( 其中三= i - ( 刎) o m a ，8 = n l m ，r w = i - w w 1 证明： 令x = ( a 烈) ( ”m m m 肼+ 厶。( y + s m s ( a ( i o - y ) 4 彤( 4 u ) ( ”) + z r ， 注意至0 ：4 ( i 翻) ”m a = 4 ，彳厶“= o ，s ，矿= o ，墨，彳= o ，贝u a x a = 4 ( 正4 ) m j 翻m ( l 3 a ) w w 1 a = a a 1 j m 爿= 彳 m a x w = 比4 ( 纠) o , m a d w w w 1 w = 拗彳u ”w ，是对称的 1 0 墨三兰! 錾堕塑型塑壑墨望 n x a u = ( ( 埘) 。m a a 。聊”1 + ( r d ”s ( a “”一o a u ( a u ) 。) + z p w ) a u = n ( m a ) 1 m a a 1 f f 7 。a u + s ( y + s 1 s ( a 1 4 一r ) a u ( a u ) m 1 彳u = ( 纠) o m a u + s y a u + s a a u s y a u = ( 翻) ( ”m a u + s a 1 朋爿u = ( 枷) o m a u + ( ，一( 埘) ( 1 ) 心) 。4 ) a u = n a ( ) a u 所以，n x a u 是对称的 故，x 4 1 。3 。4 另一方面：任意x 爿 l ，3 ，4 ) ，由定理2 2 5 及定理2 2 6 知： m a a 1 0 。= m a x w ，n a 1 。au = n x au ，贝0 x = ( 删) 1 m a a “聊删+ i - ( 心) m 埘) 聊m + x r w o = ( ( 彳( 1 , 3 , 4 ) - - x ) a v ( 4 u ) 。一( 心) 。捌( “一x ) w w ( 】) a u ( a v ) m ) = s n ( i a n ”一并) 孵4 u ( a 己，) ( “一( 拍) 。1m a ( a 0 , 3 , 4 _ 肖) 删( 1 ) 彳【厂( 爿u ) 1 ) = ( ( ，一( 心) 。刎) ( 4 1 一x ) 聊，( 1 ) a v ( a v ) m = s 。( ( ，一( 垣4 ) ( ”坛4 ) ( 一( i , 3 , 4 1 - - x w w ( 1 ) _ u ( 彳u ) ( 。 = s 1 s ( a 1 3 4 - x w w 1 ) a v ( a v ) 1 所以。 x = ( 砌) ( i ) 尬“1 孙1 肼7 m + 肼w m + 硌 = ( 心) o m a a 朋w w m + = ( 心) o m a a “ 4 w w o + 三 “ 肼谚o + s ( 爿o ”一肼谚“) 彳u o u ) o ) + x r w 】，+ s 1 s ( a ( 1 3 4 ) - r ) a v o v ) 。1 + 编 其中y = x w w ( 1 ) z = x 定理2 2 7 证毕 定理2 2 8 在定理2 2 7 的条件下， a 1 ，2 ，3 ，4 ) = y a a o 3 , 4 ) 聊1 + 拗i v y e a i ，4 证明：令= y a a 0 3 , 4 ) 矿1 + 以 ，0 ，v y a 1 ，4 ，则 a x a = , 4 ( r a a 1 3 4 玎7 阡7 + y a y r w1 a = a y a a o a , 4 ) w w 1 ) 彳= a 江南大学硕士学位论文 x a x = ( y a a 删哪+ y a y r w ) a ( y a a 1 聊矿1 + y a y i o 1 = y a ( y a a 1 3 4 矿1 + y a y r w ) = y a a 1 3 4 形矿1 + y a y r w = x 埘脚矿= m a ( y a a 1 ，3 舢缈”+ y a y r w ) w = m a a 1 3 “w ，是对称的 n x a u = n ( y a a 1 形1 + y a y r w ) a u = n y a u ，是对称的 所以，x 爿( 1 ，2 ，3 ，4 另一方面：由a 1 ，3 ，4 非空知a i ，3 ，彳f l ，q 均非空，根据定理2 2 。i 、2 2 2 知， a m w ”a 、a n 1 ) 矿a 为对称的且两方程j m w o ) a ：a ，a n o ) u a y ：彳有解， 再由定理2 2 3 的充分性可得a i ，2 ，3 ，4 非空。 v z a 1 ，2 ，3 ，4 ) ，则a x w = t m a x w = t m a a 1 3 ，4 w = a a 1 。 “w ，于是， x = x _ a x w w 1 + x a x r w = x a a 1 3 。厣w 1 + 删弛p 令y = 戈a i ，4 故定理2 2 8 得证。 由定理2 2 8 及推论2 2 3 易得