（固体力学专业论文）弯曲和扭转载荷作用下微管的屈曲分析.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 细胞是生命的基本单位。微管是真核细胞骨架的主要成分，其主要功能有 维持细胞形态、保持细胞内部结构的有序、支持细胞运动、是细胞内蛋白输运 的轨道、在细胞分裂和分化中牵引染色体向两极移动。力的作用能显著影响微 管的生物化学行为，研究微管的力学行为是理解微管生物功能的基础。本论文 主要包括两部分： 基于各向异性壳模型，分析了微管的受弯曲屈曲行为。我们计算出了弯矩 和屈曲波数的关系，得到了微管受弯曲屈曲的最小临界弯矩和曲率，推断细胞 中的微管大多处于屈曲状态，并对相关结论进行了讨论。 基于各向异性壳模型，分析了微管的受扭转屈曲行为。同样我们计算了扭 矩和屈曲波数的关系，得到了微管受扭转屈曲的最小临界扭矩为和扭转角。得 到了较长微管( 即微管长度大于l c m ) 受扭转屈曲临界扭矩的解析公式，当对 微管取各向同性材料参数时，退化为长杆侧压屈曲的格林稀尔公式。 关键词：细胞微管，各向异性，屈曲，弯曲，扭转 v 上海大学硕：l 学位论文 a b s t i 认c t ac e l li st h eb a s i cu n i to fl i v i n go r g a n i s m s m i c r o t u b u l e s ( m t s ) a r em a i n l y p a r to ft h ec y t o s k e l e t o no fe u k a r y o t i ce e u s t l l e ya r el a r g e l yr e s p o n s i b l ef o rs h a p e a n dm e c h a n i c a lr i g i d i t yo ft h ec e l l ，a c ta st r a c k sf o rd y n e i n - a n dk i n e s i n - d i r e c t e d v e s i c u l a rt r a n s p o r t ，f o r mt h em o v i n gc o r e so ff l a g e l l aa n dc i l i a , a n ds u p p o r tt h e m o v e m e n to fc h r o m o s o m e st o w a r dt h ep o l e si nm i t o s i s m e c h a n i c a ld e f o r m a t i o no f m t si sr e l a t e dt ot h e i rc h e m i c a lr e s p o n s e s m e c h a n i c a lb e h a v i o r so fm t sa r e t h e r e f o r ee s s e n t i a li nu n d e r s t a n d i n gm o s to ft h e i rb i o l o g i c a lf u n c t i o n s i nt h i sp a p e r , t h em a i nc o n t e n t sa r eb e l o w ： b u c k l i n go fm i c r o t u b u l e su p o nb e n d i n gi si n v e s t i g a t e db a s e do na l lo r t h o t r o p i c e l a s t i cs h e l lm o d e l t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ec r i t i c a lb u c k l i n gp a r a m e t e r sa n d w a v en u m b e r so fm t sa r eo b t a i n e d t h ec r i t i c a lb u c k l i n gm o m e n ta n dt h e c o r r e s p o n d i n gc u r v a t u r ea r ep r e d i c t e df o rab e n tm t - i np a r t i c u l a r , w ef i n dt h a t a l m o s ta l lm t si nl i v i n gc e l l sa r ev e r yl i k e l yb u c k l e d ，a n dw eg i v eo u ts o m e d i s c u s s i o n so nt h i st o p i c b u c k l i n go fm i e r o t u b u l e su p o nt o r s i o ni s a l s o i n v e s t i g a t e db a s e d o na l l o r t h o t r o p i ce l a s t i cs h e l lm o d e l t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ec r i t i c a lb u c k l i n g p a r a m e t c r sa n dw a v en u m b e r so fm t sa r eo b t a i n e d t h ec r i t i c a lb u c k l i n gt o r q u ea n d t h ec o r r e s p o n d i n gr o t a t i o na n g l ef o rat o r s i o n a lm ta r ep r e d i c t e d a f t e rm a n y o p e r a t i o n s ，t h eo r t h o t r o p i cs h e l lm o d e lo fv e r yl o n gm t s ( s a y , ll a r g e rt h a na b o u t1 c n l ) c a nb es i m p l i f i e dt ot h ew e l l k n o w ng r e e n h i l lf o r m u l af o rt h i na n dl o n gs t a f f b u c k i n gu n d e rt o r s i o n k e y w o r d s ：m i e r o t u b u l e s ，o r t h o t r o p i c ，b u c k l i n g ，b e n d i n g ，t o r s i o n v i 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示t n 意。 签名：垦盘：i 堡e l 期：塑墨：j 2 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) i i 上海大学硕十学位论文 第一章绪论 在木章，首先介绍了微管力学行为对细胞牛命活动的影响；然后综述了微 管力学性能的实验测量，和微管力学行为的理论模型；最后对微管的屈曲做了 简单的描述。 1 1 微管力学行为与微管生物学功能 细胞是构成生命的基本单位，细胞的牛命活动与其自身和亚单位的力学行 为密切相关。比如，细胞能将能量从一种形式转化为另一种形式，并随外界环 境而改变自身的结构；生物的发育过程中普遍存在的细胞迁移现象，需要细 胞产生收缩力拉1 ；血管内壁的内皮细胞改变“压力敏感”基因的表达适应血液 的剪切力船1 等。 细胞骨架( c y t o s k e l e t o n ) 是指细胞中的蛋白纤维网架结构体系。广义的细 胞骨架包括细胞核骨架、细胞质骨架、细胞膜骨架和细胞外基质；狭义的细胞 骨架指细胞质骨架，包括微丝( m i c r o f il a m e n t ) 、微管( m i c r o t u b u l e ) 和中 间纤维( i n t e 瑚e d i a t ef i l a m e n t ) 和微梁。 细胞骨架与细胞的生命活动密切相关。以细胞的迁移为例子，首先，微丝 和微管与其马达蛋白组成特定的运动体系。马达蛋白通过水解a t p 将化学能转 变为机械能，沿微丝或微管运动，推动细胞自身或细胞内亚细胞结构的运动， 以及物质的运输等h 1 。细胞鞭毛的摆动也是由于微管马达和微管之间产生相对 滑动而造成的蹲1 。再比如，微丝和微管都可以通过其聚合和解聚来产生机械力， 形成细胞运动的动力来源。微丝和微管都是由其蛋白质亚单位聚合而成的结构。 蛋白质亚单位在微丝或微管两端的加入或脱离可以产生推动或拉动的机械力 3 。在有丝分裂后期，染色体平均分向两极的运动，一种解释是随着结合于动 粒端的微管去组装，动粒倾向于滑行以恢复与微管的结合，从而拉动染色体向 极运动盯吲。同时，在有丝分裂后期，除了染色体分向两极以外，两极之间也互 相远离。两极的分离伴随着微管的延长，这就同微管聚合产生的力密切相关。 可以看到细胞骨架的力学行为与细胞迁移密切相关，细胞的很多其他重要的生 上海大学硕- j ：学位论文 命活动亦如此。 微管是细胞骨架的主要部分，是强度最高的细胞骨架。微管主要功能有维 持细胞形态，保持细胞内部结构的有序，推动细胞运动；是细胞内蛋白输运的 轨道；在细胞分裂和分化中牵引染色体向两极移动；还和细胞的能量转换，信 息传递等牛命活动密切相关阳1 。 微管的力学行为与微管的生物化学行为密切相关。比如弯曲微管到较高的 曲率时将导致微管的破坏n 钔；增加对神经细胞的牵引力，将促进微管的组装 h 4 。此外，研究微管的力学行为不仪可以更好的理解其生物学功能和意义，还 具有潜在的应用前景，如基于对微管力学行为研究提出的各种潜在的药物n 们， 包括可能的抗癌药物n 6 2 眦。需注意到的是，微管的力学行为具有很多特异的 性质，因为微管为能实现各种的复杂生物功能，微管的组成结构、微管的附加 蛋白和所处细胞环境都具有多样性，并且微管还具有复杂的遗传后修正属性 ( p o s t t r a n s l a t i o n a lm o d i f i c a t i o n s ) 和各种卫星蛋白( s a t e l l i t e p r o t e i n s ) 陋矧。 综上所述，细胞及组成细胞的生物大分子的力学行为和细胞的生命活动密 切相关，特别是细胞骨架中微管的力学行为。研究微管的力学行为，可以对了 解细胞分裂、细胞生长、细胞分化和发育等过程中力的产生及调控机制提供重 要的理论基础，对掌握和改造细胞的生命活动意义重大。 1 2 微管力学性能的实验测量 微管的力学行为对细胞生命活动具有重要意义，是当前细胞生物学的研究 热点之一。特别是近年来，随着多种物理学技术迅速发展并广泛应用于生物学 领域，有力地推动了从力学角度定量的对很多生命现象及机理的研究。测量微 管的力学性质有很多实验方法和手段，如热振动( t h e r m a lf l u c t u a t i o n s ) ，扫 描力显微镜( s c a n n i n gf o r c em i c r o s c o p e ，s f m ) ，光镊( o p t i c a lt w e e z e r s ) 等。下面我们按实验方法，对微管的力学性能的实验研究进展做简单综述。 2 上海大学硕1 二学位论文 1 2 1 基于热振动和扫描力显微镜 热振动法是指在液流环境下，通过温度的改变来影响和观测微管的振动， 用以定量测得微管的力学参数。扫描力显微镜法指用扫描力显微镜直接操作微 管，观测微管的形态和微管的力学响应，如弯曲和屈曲等，来推测微管的力学 参数。 g i t t e s 等m 1 最早精确测定了微管的抗挠刚度。他们通过观察微管的热涨落 波动( t h e r m a lf l u c t u a t i o n s ) 测量了经紫杉醇( w i t ht a x 0 1 ) 稳定的未经标记的 微管抗挠刚度为2 1 9 0 1 4 1 0 2 4 n m 2 ，经罗丹明标记的微管为2 1 1 0 2 3 n m 2 ， 对应的l p 为5 2 m m 。这里的l p ( p e r s i s t e n c el e n g t h ) ，代表弯曲刚度外，另一 个常用于判定纤维状物体抗弯曲能力的量。它是指当曲线长度为无穷时，从曲 线的一端到另一端的矢量在其中一端点切线上投影的平均值的极限。可以这样 来理解：想象晃动一根橡皮管，橡皮管上的任意点的运动方向是随机的。但如 果两个点足够相邻，它们的运动方向就是一致的，这就是“p e r s i s t e n c e 。如 果两个点之间的距离大于l p ，它们就不相关。所以l p 表示物体抗弯曲的能力， l p 越大表示越不容易被弯曲。l p 与抗挠刚度的关系为：p = 嚣，其中k b 为 玻尔兹曼常数，t 为绝对温度。g i t t e s 等啪1 的结果表明，微管的杨氏模量为1 2 g p a 。 d y e 等人订通过分析微管在液流中的弯曲状态，发现紫杉醇能增加微管的柔 性，即微管更容易弯曲，而微管结合蛋白m a p 一2 和t a u 的作用正相反，能降低 微管的柔性。 v e n i e r 等池1 用液流法( h y d r o d y n a m i cf l o w ) 和热波动法两种方法测定了微 管的抗弯刚度。他们测得只含纯微管蛋白的微管弯曲刚度为8 5 1 0 2 4 n m 2 ，还 用热涨落作用测量纯微管蛋白与经紫杉醇稳定的微管弯曲刚度分别为 4 6 1 0 2 4 n m 2 和2 5 1 0 2 4 n m 2 两种方法的测量结果基本一致。g d p 一微管的抗 挠刚度为8 5 x 1 0 2 4 n m 2 ，l p ( p e r s i s t e n c el e n g t h ) 约为2m m ，而g d p p i 一微 上海大学硕士学位论文 管( g d p - p i 由其无机类似物代替) 的抗挠刚度和l p ( p e r s i s t e n c el e n g t h ) 约为 g d p - 微管的3 倍。这种机械性质的改变可能在调控微管牛理功能方面起着作用。 如在细胞分裂等微管快速聚合的时候，使微管更能抵抗马达蛋白在上面行走时 给微管施加的外力。 k u r z 和w il li a m s 3 3 也用液流法( h y d r o d y n a m i cf l o w ) 和热波动法这两种方 法测定了微管抗挠刚度。测定结果为微管的l p 为6 - 8m m ，在有m a p s 存在时， l p 略大于这个值。说明m a p s 对微管抗挠刚度的影响不大，它对微管的作用可 能并不在于改变微管本身的机械性质，而是通过使微管成束等起作用。 m i c k e y 等m 1 同样以热涨落作用测量得微管的弯曲刚度为2 6 2 1 0 2 4 n m 2 ( 紫杉醇带冒( c a p - s t a b i l i z e d ) ) 和3 2 2 1 0 2 4 n m 2 ( w i t ht a x 0 1 ) 。c a s s i m e r i s 等剐以热涨落作用测得微管弯曲刚度为1 8 5 + 2 0 x 1 0 2 4 n m 2 ( p u r et u b u l i n ) 和 1 7 5 2 2 1 0 2 4n m 2 。j a n s o n 等m 1 基于热振动测量了微管的弯曲刚度。 p a m p a l o n i 等刀用热涨落法测量了悬臂嫁接微管的弹性系数，并计算出加周线 长的微管的持续长度( t h ep e r s i s t e n c el e n g t ho fm i c r o t u b u l e sw i t hc o n t o u r l e n g t h s ) 在2 6l l m 和4 8u m 之间。p a m p a l o n i 等m 3 同样还用热涨落法测量了 嫁接的微管的力学性能参数l p 。 k a w a g u c h i 等人鲫用热振动测量得微管的弯曲刚度为2 5 4 1 0 2 4 n m 2 ，与前 面人所得结果很相近。在他们的实验中还用到热脉冲显微镜( t e m p e r a t u r e p u l s em i c r o s c o p y ( t p m ) ) 研究了温度变化对微管弯曲刚度的影响。 e l b a u m 等人h 用显微镜直接观察单根的、长的微管在一个脂质体内的弯曲 情况。他们将一根单根微管被包在一个脂质体内，使圆形的脂质体变成橄榄球 形，当用外加吸力使脂质体又变成圆形时，里面的微管就发生了屈曲，根据膜 的形变和微管的屈曲计算出微管的抗挠刚度为2 6 1 0 2 3 n m 2 。 p a b l o 等用扫描力学显微镜( s c a n n i n gf o r c em i c r o s c o p e ，s f m ) 测定 了微管受到横向外力时的形变和塌陷过程。他们用扫描力学显微镜的探头横向 向下切压微管，微管先发生塌陷，直至断开。下压过程中开始的一段，施加的 4 上海大学硕上学位论文 荷载与微管的形变呈线性关系，塌陷后变为非线性。对于线性部分，微管的弹 性系数为0 1n m 。p a b l o 等h 羽还用扫描力显微镜观测了微管的变形。 s c h a a p 等h 3 1 用扫描力显微镜( s c a n n i n gf o r c em i c r o s c o p y ) 观测了微管的 纤维、缺陷破坏等微结构，并定量的测量了微管结构缺陷和破坏的长度和力大 小等相关数据。 k i s 等h 盯用原子力显微镜测量微管的力学性能，测量得了微管的杨氏模量和 剪切模量。他们将微管粘在有小孔( 直径2 0 0n m ) 的玻片上，用原子力显微镜的 探头在小孔上方向下压微管，观察微管在外力作用下的形变。测量得微管的剪 切模量约为1 4m p a ，而杨氏模量比剪切模量大两个数量级，在1 0 0m p a 左右。 两者之间如此大的差异说明微管是各向异性的结构，微管纵向即原丝内部的作 用力远大于微管横向即原丝间的作用力。但是此实验所用的微管经戊二醛固定， 对微管性质可能造成一定的影响。 1 2 2 基于光镊测量 光镊是一个由光学梯度力形成的光学势阱，利用辐射压来抓住并操纵微小 颗粒。光镊如同一把无形的镊子可以捕获微小的生命体，是光学测力技术中最 简单又最成熟的技术，可以对微小力和微小位移进行定量的测定。光镊用于微 米范围内操纵微粒的特点正好符合细胞、亚细胞层次的研究，实现了对活体细 胞、细胞器无损伤地操纵，并且光镊产生的皮牛顿量级的力也正好适合于生物 分子水平的力学研究。 k r a t k y 等h 5 1 首次用x 光镊技术测量了微管等生物分子的力学性质。k u r a c h i 等m 3 利用光镊技术( o p t i c a lt r a p p i n g ) 操纵和观察微管的屈曲，测量了微管的 弯曲刚度等材料系数。 f e l g n e r 等h 7 柏则用光镊研究了微管的抗挠刚度及紫杉醇和微管结合蛋白 ( m a p s ) 对微管抗弯刚度的影响。他们用光镊弯曲以轴纤丝为核心生长的单根微 管，以r e l a x 和w i g g l e 两种方法测定了微管的抗弯刚度，在r e l a x 实验中，他 们用光镊直接捕获微管末端，将其弯曲，然后释放，观察微管恢复的过程，计 上海大学硕士学位论文 算出其抗弯刚度。在w i g g l e 实验中，用光镊固定微管中部，然后移动轴纤丝端， 观察移动过程中微管自由末端的运动状态，从而计算出其抗弯刚度，为 4 3 1 0 2 4 n m 2 。并在体系中加入两种m a p s ( t a u 和m a p 2 ) 及其结构类似物或紫 杉醇，研究其对微管刚性的影响。发现野生型的t a u 和m a p 2 分别把微管刚度增 加了3 倍和4 倍。而且即使是很低浓度的m a p s 也能明显地增强微管刚度。他们 还用m a p s 的不同结构类似物与微管作用，研究m a p s 的不同结构域对改变微管 刚性的作用。发现所有的测试区都能不同程度地增强微管刚性，而紫杉醇则降 低微管的抗弯刚度，说明微管刚度的改变与微管的其它生化和生理学参数紧密 相关。 t a k a s o n 等h 刚用光镊技术和暗视野显微镜( al a s e rt r a p p i n gt e c h n i q u ea n d d a r k f i e l dm i c r o s c o p y ) 测量了长度为5 2 5u m 微管的弯曲刚度，测量结果为 1 0 - 2 5n m 2 和1 0 - 2 3n m 2 之间。 n e e d l e m a n 等脚1 用光镊子研究了微管的屈曲。k i k u m o t o 等在选择 a n t i b o d y c o a t e db e a d s 和优化了相关操作测量步骤的基础上，同样用光镊技 术测量了p a c l i t a x e l s t a b i l i z e d 和p a c l i t a x e l f r e e 微管的弯曲刚度，分别 为2 0 1 0 2 4 n m 2 和7 9 1 0 2 4 n m 2 。 此外，k e r s s e m a k e r s 等人嫡2 1 利用多光镊系统对微管的聚合进行了力的测量。 如果用一般的双光镊系统，两个光阱的力一样大，就会造成微管生长被障碍物 挡住时，两球之间的微管会发生弯曲，导致右边小球不能仪在x 轴方向( 水平方 向) 位移，不利于数据的测量。k e r s s e m a k e r s 等人啼2 1 对双光镊进行了改进，形 成钥匙孔形( 势能曲线) 多光镊，右边光阱力大，而左边的力小，垂直于x 方向 的束缚力大，保证两球间的微管不会发生弯曲，右边小球只能在x 轴方向移动。 这里提到的x - y 方向为水平面上相互垂直的坐标，z 方向为垂直于水平面的坐 标。用此方法测得微管生长的力最大为2 0 1 0 2 4 n m 2 。 k i m 等啼3 3 在通过电场的变化加力使微管变形，测量了微管的弯曲刚度，所得 结果与以前报道的数值很接近，k i m 等还基于各向同性圆柱壳理论，计算了微 管环向截面发生椭圆化变形时的临界弯矩。 6 上海大学硕士学位论文 l i u 等嘲1 使用光镊系统，观测了经荧光标记的微管的断裂过程，发现微管平 均可以伸长2 0 。微管中纤维表现为“台阶式”断裂，统计得拉断微管的力的 大小主要分布在3p n 左右，大大小于拉断未经荧光标记的微管的力。 g u o 等瞄剐同样用双光镊系统( ad u a l - o p t i c a lt w e e z e r ss y s t e m ) 测量了荧 光标记微管的力学性质，发现荧光标记的微管比无荧光的时候更容易拉伸，可 以平均可以伸长3 0 ，使微管断裂的力只有几p n 。他们的实验表明微管中的纤 维不是同时断裂，而是一个接一个的断裂( s t e p - b y - s t e p ) ，确认了微管纤维之 间的相互作用力很弱。 1 3 微管力学行为的理论模型 实验的进展和所得的数据，为理论建模提供了基础。理论分析可以促进深 入理解和阐明微管力学行为的机理，反过来也能对进一步的实验研究起指导作 用。研究微管力学行为的理论模型和方法有很多种，下面对研究微管力学行为 的理论模型做简单综述。 1 3 1 非连续介质模型 m a r t i n 等嘲1 用m o n t ec a r l o 法模拟了微管的动力学稳定，模拟和讨论了不 同类型微管生长和解聚的动力学稳定性。s t e p h e n s 等嘟1 用格子位错模型解释了 微管的踏车现象，即微管一端二聚体蛋白解聚，另端二聚体蛋白聚合的的动 力学现象。m o l o d t s o v 等嘞1 用分子力学模型研究了微管的屈曲，并计算证明了 微管的微小螺旋角对微管整体力学行为的影响可以忽略。m o l o d t s o v 等旧1 还应 用分子力学模型，理论计算了微管解聚产生的力。v a n b u r e n 等3 考虑了微管二 聚体间化学、热力学相互作用，和微管纤维的卷缩，建立三维模型( a t h r e e - d i m e n s i o n a lm o d e l ) 分析了微管自组装动力学问题。p o r t e t 等垆用离 散的格子模型研究了微管的二维振动，得到了微管的振动频率和振动波在微管 中的传播速度等。t u s z y n s k i 等m 1 基于实验测量的微管二聚体相互作用力参数， 将二聚体蛋白分子相互作用视为弹簧模型，建立简单的力学结构，分析和解释 7 上海大学硕士学位论文 了微管的力学性能的各向异性。d r a b i k a 等拍3 1 用分子动力学模拟了二聚体蛋白 如何生长成微管，并分析了二聚体蛋白生成的微管的力学性能。 1 3 2 连续介质模型 杆模型g i t t e s 等啪1 最早通过实验，将微管视为各向同性均匀杆理论，测 量得到了微管弯曲刚度。v e n i e r 等陇1 将微管作为的均匀杆处理，依据杆理论， 实验测量了微管的力学性能参数。 梁模型k a s a s 等4 3 进行了直接基于微管二聚体蛋白相瓦作用的梁一束模 型( ab e a m - t r u s sm o d e l ) 的有限元分析。接着k a s a s 等阳5 1 用基于已有实验测 量所得的微管的弹性模量和剪切模量等材料系数，用a n s y s 有限元软件分析了 微管的振动。他们发现微管的振动模态对剪切模量有很强的依赖性，而运动关 联时间比微管周围自由分子扩散时间短很多，因此他们推测通过匹配上述两个 时间尺度，将促进微管和微管结合蛋白，微管和二聚体蛋白本身相互作用。l i 等嘲1 基于梁模型分析了鞭毛中双微管结构的扭转和屈曲。k i m 等3 1 将单根微管 视为悬臂梁，通过电场的变化施加分布力，测量了微管的变形，然后依据梁模 型理论计算了微管的弯曲刚度，所得值与前人报道的结果基本接近。 弹性薄片模型j a n o s i 等人n 2 3 分析了微管纤维间的相互作用，应用二维弹 性薄片模型( at w o - d i m e n s i o n a le l a s t i cs h e e t ) 解释了微管的结构和生长动 力学。j a n o s i 等n 2 3 还分析了微管的受弯曲屈曲，他关注的重点是用力学的方法 解释微管的螺旋角度，没有考虑微管的各向异性壳结构特性。 三维有限元模型h u n y a d i 等人刀应用m o l o d t s o v 掣睁别的蛋白分子相互 作用力分析，建立三维的有限元模型( a3 df i n i t ee l e m e n tm o d e l ) ，计算了 微管的受弯曲等力学行为，如微管的受弯曲局部屈曲，他们关注的重点也是用 力学的方法解释微管的旋转角度手性特征。 各向同性圆柱壳模型s i r e n k o 等旧1 基于各向同性壳模型研究了微管在水 中的自由振动问题，并计算了水环境对微管振动的影响。f o s t e r 等哺们用圆柱壳 模型计算了微管的振动，并引入了粘性阻尼，考虑了微管振动过程中的耗散效 应。k a s a s 等研究了微管类似圆柱壳体的振动特性。p a b l o 等h 2 1 分别理论和 8 上海大学硕七学位论文 实验研究了微管的壳状的局部屈曲。n e e d l e m a n 等7 伽也用实验研究了微管受 压力作用下的壳状的屈曲行为，并应用各向同性圆柱壳理论计算了临界载荷， 所得结果与实验差几个数量级。k i m 等旧3 在实验中观测到了微管环向的椭圆化 变形，然后基于各向同性圆柱壳模型理论，计算了微管环向截面发生椭圆化变 形的临界弯矩。 各向异性圆柱壳模型实验已经发现单根微管纤维内二聚体间的相互作用 力，远大于微管纤维间的相互作用，如k i s 等n 们用原子力显微镜定量测得的微 管的杨氏模量仁l x l 0 8 n m 2 ) 与剪切模量p 1 4 x 1 0 6 n m 2 ) 相差2 个数量级， 环向弹性模量比轴向弹性模量低几个数量级，这些都表明微管具有很强的各向 异。w a n g 等口首先提出了描述微管的修正的各向异性圆柱壳模型，他们用提出 的各向异性壳模型研究了微管的轴向和侧向受压屈曲，依模型计算得到的结果 与实验非常吻合咖。7 伽，而由各向同性圆柱壳所得结果比实验结果高出约4 个数 量级。接着，w a n g 等盯2 1 还基于各向异性壳模型研究了微管的振动。q i a n 等口3 1 用各向异性壳模型研究了波在微管中的传播。实验测量微管弯曲刚度，基本上 是通过观测微管的各种力学行为响应，然后依据杆等模型计算得到弯曲刚度， 因此造成测量得到的结果表现为微管的弯曲刚度随微管长度不同而不同引，l i 等n 钔用各向异性壳模型解释了微管弯曲刚度对长度的依赖性。微管环向模量比 轴向模量低两个数量级，因此微管环向受力非常容易变形，h u a n g 等盯5 1 基于各 向异性壳模型计算了微观管在环向受集中载荷和分布载荷下的变形，并对比和 解释了相关实验的结果。 1 4 微管的屈曲问题 本文的研究内容为，受弯曲和扭转两种情况下的微管屈曲，因此下面我们 单独对微管屈曲的研究进展做简单的总结。 k u r a c h i 等m 1 ，f y g e n s o n 等m 1 ，0 d d e 等n 3 3 ，w a n g 等m 1 讨论了较长微管的 杆状屈曲。 n e e d l e m a n 等咖3 实验研究了微管的受压屈曲。p a b l o 等h h 2 3 和n e e d l e m a n 等 9 上海大学硕士学位论文 m 实验研究了受压微管的类似壳体的局部屈曲行为，并定量测量得到了微管的 临界屈曲载荷，发现与基于各向同性圆柱壳理论，屈曲临界载荷的公式计算所 得结果相差几个数量级，他们认为结果的差异主要是因为微管实际是各向异性 结构。s c h a a p 等盯踟应用扫描力显微镜侧压微管的环向，实验研究了微管的环向 弹性屈曲。 w a n g 等口1 1 建立了微管的各向异性壳模型，分别计算了微管受轴向压力和环 向压力下的屈曲，计算所得临界载荷和n e e d l e m a n 等人实验测量所得结果非常 吻合咖：删。 l i 等阳6 3 应用杆模型，理论研究了鞭毛中双微管的侧向屈曲。 b r o d l a n d 等口町首先观察认为中间纤维等细胞环境会影响和阻挡微管的轴压 屈曲，并进一步模拟了在真实的细胞质环境下微管的屈曲行为。b r a n g w y n n e 等 唧3 也研究了细胞质环境对微管屈曲的影响，发现随细胞质环境对微管环向约束 强度的不同，微管会产生波长不同的长波或短波屈曲。l i 8 妇应用欧拉梁理论， 引入细胞质的影响，把细胞质环境作为粘弹性材料，解释了为何在真实的活细 胞环境和实验溶液环境，微管受压屈曲行为不同。 l i u 等实验研究了二聚体溶液中，二聚体组装成微管束( b u n d l eb u n d l e s ) 发生屈曲而产生条纹形外型结构。g u o 等认为二聚体在溶液中组装成微管时 产生的聚合力，导致了微管束的屈曲，并决定了波长，即波纹外型的长度。基 于以上思路，g u o 等建立杆模型模拟计算了微管束整个屈曲过程，与l i u 等池 的实验对比较吻合。 1 5 本文的主要工作 因为存在分子热力学运动，微管自身的聚合和解聚，微管蛋白对微管的作用， 肌动球蛋白的收缩作用等因素h 叫3 例3 ，微管在活细胞中一般处于弯曲形态。实验 统计表明细胞中的微管的平均曲率大约为0 4r a d u mn 羽。 另外，微管在实现各种生物功能过程中会受到扭矩作用。比如，皮质细胞的 微管沿扭转轨迹方式在血浆膜表层中生长嘶1 ：一些以微管为轨道行进的蛋白使 i o 上海大学硕上学位论文 微管产生扭转变形，如肌球蛋白( k i n e s i n ) 嘲1 ；鞭毛和纤毛运动需要其组成的 双微管的旋转变形，这是鞭毛和纤毛的主要动力形式之一呻耵侧。 微管是中空的圆柱壳形状，因而很自然的一个问题是：在实现各种生物学功 能过程时，微管是否会发生受弯曲或扭转屈曲呢? 本文在对已有文献中微管结构和材料参数等数据的分析基础上，应用各向 异性圆柱壳模型，分析和计算了弯曲和扭转作用下的微管屈曲问题，并对相关 的结果进行了讨论。 本论文共五章，内容安排如下： 在第一章中，作为本论文的绪论部分，按实验和理论对微管的力学行为研 究做了简要的综述，还介绍了本论文所研究的问题的背景微管的屈曲。 在第二章中，我们根据已有的实验结果，给出了描述各种载荷下的，微管 屈曲的正交各向异性圆柱壳模型的控制方程，并给出了相关参数的定义和取值 范围。 在第三章中，我们基于正交各向异性圆柱壳模型，计算了弯曲载荷作用下 微管的弹性屈曲行为，并比较了正交各向同性壳模型的弹性屈曲行为。我们还 计算和讨论了微管剪切模量的变化，对屈曲临界载荷的影响。 在第四章中，我们基于正交各向异性圆柱壳模型，计算了扭转载荷作用下 微管的弹性屈曲行为，并与正交各向同性壳模型的弹性屈曲相比较。同样我们 还计算微管剪切模量的变化对屈曲i 临界载荷的影响。 最后，我们在第五章中对论文的工作做了简单总结和展望。 上海大学硕士学位论文 第二章微管屈曲的各向异性壳模型 在本章，首先简单介绍了壳体屈曲的基本概念；然后描述了微管的结构和 组成；最后给出了研究微管屈曲的各向异性圆柱壳模型，给出了微管相关尺度 和力学性能参数的定义和取值范围。 2 1 屈曲简介 屈曲是研究结构的稳定性，稳定性指系统受到扰动后其运动能保持在有限边 界的区域内或回复到原平衡状态的性能。屈曲又称失稳，是指结构在各种形式压 力作用下，内部应力远小于材料的屈服极限应力时，突然丧失原有平衡状态和承 载能力，如压杆失稳。本文研究微管的屈曲，是基于连续介质力学中的壳体稳定 性理论，因此下面对壳体屈曲理论做简单介绍。 壳的平衡和稳定。一个在上下两边作用压力盯的薄筒壳，在压力比较小时， 其内部产生压应力和相应的压应变，而不产生侧向挠度w ，该壳体由原来的不受力 状态转为一个受力的平衡状态( 见图2 - 1 ) 。给这一平衡状态以小干扰，比如给一 个小的侧向挠度，板或壳中就会产生相应于干扰的应力和应变。在干扰消除后， 因干扰引起的应力和应变立刻消失，并使壳体恢复到受干扰前的状态，因而开始 的受力平衡状态被称为稳定平衡状态。如使仃不断增加并大于某一数值后，干扰 所引起的小挠度将迅速扩大，板壳受力的这种平衡称为不稳定平衡。如果板壳所 承受的外载荷从小值逐渐增大，则板壳将由稳定平衡过渡到不稳定平衡，在两种 平衡之间存在着一种过渡状态，称为临界状态，或称随遇平衡状态。这一状态所对 应的外载荷称为临界载荷，其大小称为临界值，板壳内的相应应力称为临界应力， 记为。稳临界应力值与结构的构造形式、边界条件、材料性能、载荷大小及 分布情况等多种因素有关。 研究稳定性问题的理论可分为两类：一类是经典线性理论，u p , j , 挠度理论， 其中的应变一位移和应力一应变之间都是线性关系。另一类是非线性理论，也叫大 挠度理论，其中的应变一位移关系和应力一应变关系两者至少有一种是非线性的， 1 2 - l ：海大学硕士学位论文 前者的非线性称为几何非线性，后者的非线性称为物理非线性。板壳在弹性状态 下的失稳问题一般是几何非线性问题。若在失稳前已出现塑性变形，则失稳问题 中物理非线性和几何非线性一般是并存而且相互影响的。对于薄板，线性理论所 计算出的i i 缶界压力值相当准确。对于壳体，实际临界压力值比用线性理论计算出 的值要小，而且数值也很分散。在研究初始缺陷对失稳影响的基础上发展起来的 初始缺陷理论，能很好地解释理论和实际问的差异。 在板壳稳定性问题中，最重要的内容是确定失稳的临界压力，方法有三种： 静力学方法：列出微扰动的平衡微分方程，将问题归结为微分方程的本征值问 题，求出本征值便可确定临界压力；动力学方法：利用受微扰动后位移和位移 速度不超出预先规定的界限的条件确定临界压力：能量方法：利用势能最小值 条件确定临界压力。 常见的板壳稳定性问题是多种多样的，有平板、曲板、扁壳、圆筒壳、圆锥 壳和各种形式的旋转壳。它们所承受载荷的形式不尽相同，有单向受压和双向受 压，轴压和外压等。 - = 3 图2 1 圆筒壳失稳后的挠度变化示意图 本论文对微管屈曲的研究，采用的是属于小挠度弹性理论的改进的w 弗吕格 州州 x爹喇 z九nj 上海大学硕士学位论文 圆筒壳理论。如图2 一l ，根据不同的受力方式，预先设定不同的屈曲模态，然后 用静力学方法求解。本章下两节将介绍微管的结构和具体的建模过程，我们将看 到，和研究碳纳米管力学类似一1 ，连续介质模型经过适当修正，同样适用研究 细胞微管的力学行为；即连续介质理论不仅在对宏观尺度物体的研究中有很好价 值，而且能用于研究部分微纳米尺度物体的力学行为。 2 2 微管的结构 微管( m i c r o t u b u l e ) 是细胞骨架的- 辛要结构。从外形结构上看，微管在细胞 质和细胞核中都成网状分布，在鞭毛和纤毛中则构成能完成相关功能的有序结 构。单根微管呈圆筒型形状，平均内径约为2 0r l m ，平均外径约为2 5n m 。微管 在细胞中的长度约为l 到1 0u m ，而在神经纤维中的长度可以达5 0h m 到1 0 0u m 。 典型的微管结构组成层次为：一个口蛋白和一个蛋白结合成微管蛋白二聚体， 微管蛋白二聚体是微管的基本组成单位；然后微管蛋白二聚体头尾相连形成单 根纤维；纤维与纤维之间通过相互侧向连接组成圆柱壳形状的微管壁，其中最 常见的组成微管壁的原纤维数是1 3 根( 如图2 - 2c ) 。 1 4 l 海太学硕j 学位论文 篡“ ( b ) t o pv i e w 图2 - 2 ( a ) 微管蛋白二聚体 ( c ) 微管的三维结构 f 2 一 ( c ) f r o n t “e ( b ) 1 3 - 3 型微管结构的俯视图 1 3 根原纤维组成微管壁 实际上，微管的种类、结构和组成要复杂的多，首先组成微管的二聚体蛋 白，除了口蛋白和口蛋白外，还有多种比如脯乳动物的微管蛋白二聚体有8 种不同的蛋白”“；其次即便对只由a 一口两种蛋白二聚体组成的微管，d 蛋白和 口蛋白还可能组成三聚体结构m i 再次，“一口一二聚体组成纤维后，纤维还能 组成多种形式的管状，如图23 所示，微管存在有单管型( s i n g l e t ) 、双管型 ( d o u b i e t ) 和三管型( t r i p l e t ) “”。其中，一般所述细胞骨架中的微管主要 指单管型微管；双管型微管主要存在与鞭毛和纤毛中三管型微管主要见于中 心粒( c e n t r i o l c s ) 和基体( b a s a lb o d i e s ) 中。 对单管型徽管，组成的微管也不是所有都是1 3 根纤维构成，存在1 1 根、 1 4 根和1 9 根等不同数量纤维构成的微管。值得提的是组成微管纤维的根 j ：海大学硕：1 ：学位论文 数多数是1 3 ，而且不会偏离1 3 根这个数量太大。对单管型微管( s i n g l e t ) ， 如图2 - 2c 所示，我们可以用n - s 两个数字来描述其结构陋7 9 3 1 ，其中n 代表微 管组成纤维的数量，s 表示微管手性起始数( t h eh e l i x s t a r tn u m b e r s ) 。给 定参数n s 后，组成微管的纤维数、微管的半径大小、微管的螺旋角度等结构 参数都相应的确定了。 图2 - 3a r r a n g e m e n to fp r o t o f il a m e n t si ns i n g l e t ，d o u b l e t ，a n dt r i p l e t m t s 本文应用微管的各向异性壳模型，研究微管的整体力学性能屈曲，没有涉 及微管的螺旋角度等细节结构。我们对微管结构尺度参数选取的是典型的1 3 - 3 形微管，对微管力学性能参数的选取是基于直接的实验测量结果( 见下节) 。我 们抓住了影响微管屈曲的主要的微管结构参数，即微管厚度的选取( 见下节) ； 同样也重点考虑影响微管屈曲的主要的微管力学性能，各向异性因。抓住影响 微管屈曲行为的主要因素，可以确保我们的结果至少在定性上是正确的。因此， 我们所得的结论对所有单管形的微管的屈曲行为具有参考意义。 1 6 上海大学目上学口* 文 2 3 各向异性壳模型 细胞中屈曲的微管很常见，如图2 - 4 所示，电镜下经常能观察l 慨胞中长 波屈曲或短波屈曲的微管。在第一章我们已经介绍了微管的力学行为影响微管 的化学和生物功能“”1 ，对微管的屈曲研究进展和现状做了综述，还说明了我 们为何要研究微管的弯曲和扭转屈曲。 莲续介质力学是门相对比较成熟的学科它认为物质是连续分布的，丰 要研究物体在外载荷作用下的运动、变形、损伤和破坏等，是近代力学最重要 的基础之一。连续介质力学已经广泛应用于处理微米尺度和纳米尺度中的力学 问题，特别是对碳纳米管的研究。y a k o b s o n 等曾描述到“连续介质力学的理 论令人吃惊的牢固，它甚至能够处理直径相当于几个原子长度的离散物体。”在 对己有文献中微管结构和材料参数等数据的分析基础上，我们应用修正的连续 介质力学板壳理论研究微管的屈曲。 在本节，我们详细的描述微管的各向异性壳模型的建立过程和相关参数定 义，并给出