（应用数学专业论文）子群的正规性质及θ偶对群的影响.pdf

子群的正规性质及州禹对群的影响 摘要 摘要 用有限群的子群研究有限群的结构在有限群的研究中有重要的作用很 多学者都在这些方面进行了研究，得到了很多重要的结果，如：著名的h u p p e r r 定理，即有限群为超可解当且仅当它的所有极大子群的指数为素数；有限群 为幂零当且仅当每个极大子群都正规；有限群为可解当且仅当它的极大子群 均p 正规( 见【7 0 1 ) ；等等本论文主要研究了子群的正规性质和子群的乒偶 以及极大子群c 一截断，由此刻画了群的结构，得到了一些有意义的结果本 文共分四章，主要有如下内容； 第一章主要介绍本文常用的符号和概念 第二章定义并研究了，r s c a p 一子群和n 争可补子群对有限群结构的影响 1 r s c a p - 子群是c a p - 子群和c 正规子群的推广，f 1 c - 可补子群是c 一可补子群的 推广利用这两个概念得到了一些关于有限群的( i f - ) 可解，p 幂零、) 超 可解等性质的一些充分或充要条件，由此推广了一些结果，分析了一些条件 和结果之间的关系，并且介绍了与正规性相关的各种子群及其它们之间的相 互关系 第三章主要研究子群的班偶具有某些性质的群的可解性，并得到了关于群 的可解性和幂零性的一些充分或充要条件3 3 中我们研究了极大子群乒偶 的个数，并解决了a r a s h r a f i 和r s o l e i m a n i 在f 6 1 6 中提出的问题“对n 2 ，3 是否存在似偶的非交换群? ”对此问题我们有如下结果：不存在恰有4 个 良偶的非交换群，但存在，；良偶的非交换群，这里n 4 。在3 - 4 中我们把极 大子群的乒偶推广为一般子群的乒偶，并得到了关于群的可解性和幂零性的 一些充分或充要条件 第四章我们研究了极大子群的c 截断，给出了几个关于群的可解性的充 要条件特别地，我们证明了：假设对群g 的任一个极大子群m 都有s e c ( m ) 超可解，那么g 的合成因子同构于l 2 ( p ) 或乙，其中p q 均为素数且有p 暑 ：e l ( r o o d8 ) 这个结果回答了王燕鸣和李世荣在【7 2 i 中提出的问题“假设对群 g 的每一个极大子群m 都有s e c ( 明超可解，那么g 是否可解? ”在4 3 中我们研究具了有某些性质的广义补，得到了几个关于群的可解性的充分条 件这一章中我们主要运用了归纳法和有限单群分类定理 关键词：正规子群；极大子群；6 - 偶；c 一截断；可解群 作者：李士恒 指导教师：施武杰 至堡堕垂壑堡亟垦! ：堡型鲎塑墅堕皇坠竺 a b s t r a c t i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h es t r u c t l l r e so ff i n i t eg r o u p sb yc o m b i n i n gs o m e s u b g r o u p s w i t hs o m ep r o p e r t i e si nt h er e s e a r c h e so nf i m t eg r o u p s m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dt h e e r e s p e c t sa n dg i v e nm a n yi m p o r t a n tr e m d t s ，f o re x a m p l e ，t h eh u p p e r t sf a m o u st h e o r e m 。 n a m e l y , af i m t eg r o u pg i ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi fe v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fgh a s p r i m ei n d e x ；af i n i t eg r o u pg i sn i l p o t e n ti fa n do n l yi fo v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fg i s n o r m a li ng ：af i n i t eg r o u pgi ss o l v a b l ei fa n do n l yi fe v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fgi s c - n o r m a li ng ( s e ei ti n r o d ；e t c i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fn o r m a l i t y , 8 - p a i r sa n dc - s e c t i o no fs u b g r o u p si nf i m t eg r o u p s ，w i t hw h i c hw ed e s c r i b et h es t r u c t u r e o fy , o m ef i n i t eg r o u p sa n dg e ts o m em e a n i n g h dr e e u t s w ed i v i d et h i sp a p e ri n t of o u r c h a p t e r s t h em a i no ft h ep a p e ri st h ef o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m es y m b o l sa n db a s i cc o n c e p t st h a tw e t u s a x a l l y1 l s ei n t h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w ed e f i n ea n ds t u d yc o n c e p t i o n s ： r s c a p - s u b g r o u pa n dh e - s u b g r o u p ， w i t ht h e s ec o n c e p t sw es t u d yt h ei n f l u e n c eo fs u b g r o u p so nf i n i t eg r o u p sa n do b t a i ns o m e r e s u l t so l l ( 口- ) s o l v a b i l i t y , p - n i l p o t e n c e ，o r ( 7 r - ) s u p e r s o l v a b i l i t y a n ds o m eo ft h e s er e s l d t s a r eg e n e r a l i z a t i o no fs o m ek n o w nr e s u l t s i nt h ee n do ft h i sc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m e c o n c e p t so nt h en o r m a lp r o p e r t i e so fm t b g r o u p sa n dr e l a t i o n so nt h e m i nc h a p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o p e r t i e so f8 - p a i r sf o rs u b g r o u p sa n dg e ts o m e s u f f i c i e n to rs u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n so ns o l v a b i l i t yo rn i l p o t e n c eo ff i n i t eg r o u p s i l l 3 3 ，w es t u d yt h em l m b e ro f ? - p a i r sf o rm a x i m a ls u b g r o u p sa n ds o l v e daq u e s t i o ni n 6 1t h a tw a sp o s e db ya r a s h r a 丘a n dr s o t e i m a n i n a m e l y , 。i st h e r ean o n - a b e l i a n f i n i t eg r o u pw i t he x a c t l y 佗8 - p a i r ? ”t h ea n s w e rt ot h i sq u e e t i o ni st h a tt h e r ei sn o ta n o n - a b e l i a nf i n i t eg r o u pw i t he x a c t l y48 - p a i r ，b u tan o n - a b e l i a nf i n i t eg r o u pw i t he x a c t l y ng - p a i rf o rn 4 i n 3 4 ，w eg e n e r a l i z eo - p a i r sf o rm a ) c ：i n 2 a ls u b g r o u p st o0 - p a i r sf o r s u h g r c t t pa n dg e ts o m es u f f t c i e n to rs u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ns o l w b i l i t yo r n i l p o t e n c eo ff i n i t eg r o u p s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yc o s e c t i o no fm a x i m a ls u b g r o u p s ，a n dg e ts o m en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ns o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p s e s p e c i a l l y , mh a v ep r o v e dt h a ti f s e c ( m ) i ss u p e r s o l v a b l ef o re v e r ym a x i m a lm l b g r o u pm o fg ，t h e na n yc o m p o s i t i o nf a c t o r o fgi si s o m o r p h i ct ol 2 p ) o r 磊，w h e r epa n dqa r ep r i m e s ，a n dpi 士1 ( r o o d8 ) t h i s a n s w e r st h eq u e s t i o n “f o re v e r ym a m m a ls u b g r o u pm o f8g r o u pga s s u m et h a ts e c ( m 1 i ss u p e r s o l v a b l e i sg s o l v a b l e ? ”，w h i c hi sp o s e db yy w a n ga n ds l ii n 【7 2 j a tt h e e n d w es t u d y , s o m es u p p l e m e n t sw i t hs p e c i a lp r o p e r t i 箦a n dg e tt w os u 伍c i e n tc o n d i t i o n s o ns o l v a b i l i t yo ff i m t eg r o u p s k e y w o r d s ：n o r m a ls u b g r o u p ；m a x i m a ls u b g r o u p ；0 - p a i r ；c - s e c t i o n ；s o l v a b l eg r o u p s w r i t t e nb yl is h i h e n g s u p e r v i s e db ys h iw u j i e i i 9 5 7 3 主4 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已注明引用的内容外，本论文不含其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果，也不得含为获得苏州大学或其它教育机 构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：垒兰! 垣日期：型丝埋7 暖 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作 部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的 内容和纸质论文的内容搁一致除在保密期内的保密论文夕卜，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文豹金都或部分内容论文的公布( 包 括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：l 坚垡i日期：磷芏笪z 日 导师签名嗡矍主l 叁日期佃b 垡鱼19 子群的正规性质及乒偶对群的影响引言 引言 利用子群研究有限群的结构，在有限群的研究中有很重要的地位很多学者都在这 些方面进行了研究。得到了很多重要的结果，如：著名的h u p p e r t 定理，即有限群为超 可毹当且仅当它的所有极大子群的指数为素数；有限群为幂零当且仅当每个极大子群都 正规；有限群为可解当且仅当它的极大子群均d 正规( 见 t 0 1 ) ；等等很多学者对子群 的正规性进行了推广，并由此得到了许多关于可解性，超可解性，幂零性的一些充分条 件例如【6 3 l 证明了如果群g 的每一个s y l o w 子群有在g 中正规的极大子群那么g 超 可解；f 1 2 】和【8 2 】中刻画了满足换位子条件的群的结构；等等本文中我们研究了和有 限群子群的正规性质相关的一些概念，以及子群的口偶和极大子群的e 截断由此我们 刻画了群的结构，得到了一些有意义的结果 本文主要运用有限群论的理论和方法证明丁一些结果，主要的方法是归纳法和反证 法，在许多地方用到了单群分类定理在这里，我们所说的。正规性质4 是指和正规子 群的性质相关的性质，即正规子群的性质的推广性质倒如：o o r e 6 1 1 提出和研究过 置换子群；o h ，k e g e l 4 1 】提出和研究过 可置换子群；陈重穆【17 】研究过跸置换子 群。t f o 舒l e l 【2 4 1 在1 9 9 7 年提出和研究过共轭置换子群 设r 为群g 的某些子群的集合如果为群g 的正规子群，那么有下面的性 质： 性质0 ( i ) 对任意的k r 有彤g ； ( i r ) 对任意的k f 有n k 宴k 在本文中，我们说子群h 满足性质( i ) ，如果对任意的k r 有h k g ；满足性 质( i i ) ，如果对任意的k r 有日n 宴 我们把性质0 称作“正规性质”设日为g 的子群，则显然有；设r = 研。其中 满足汀耳= g 且k 曼g ，若日满足性质( i i ) 刚日为g 的c 正规子群，这和t - , q = 规 的定义等价( 见 7 0 1 ) ；设r = k ，其中耳满足h k = g ，若日满足性质( 玎) 则日为 g 的o 可补子群，这和o - 可补的定义等价( 见【6 9 1 ) ；设r = ( s i s 是g 的s y l 子群 。如 果日满足性质( i ) 则那么日为g 的”拟正规子群；f = s i s 研，如果珂满足性质 ( i ) 。那么日为g 的拟正规子群，这是拟正规子群的定义；设r = k i k m ，其中 m 满足日m = g ，若日满足性质( i ) 则有日为g 的半正规予群，这和半正规的定义等 价显然上述概念均是正规子群的推广 子群的莲塑壁盈墨塑墅叠鲤墅堕引言 本文共分四章。主要有以下内容： 第一章主要介绍本文常用的符号和基本概念 第二章研究了”s c a p 子群和正规子群对有限群结构的影响，得到了一些关于 有限群的可解性、p 幂零性以及超可解性的一些充分或充要条件，由此推广了一些已知 的结果，并且分析了一些条件和结果之间的关系在本章的最后一节中我们介绍了与正 规性质相关的各种子群以及它们之间的相互关系在已有的结果中人们往往是利用某些 子群的正规性质，如极大子群、s y l o w 子群的极大子群和2 搬大子群、( 广义) f i t t i n g 子群的s y l o v , 子群的极大子群等的正规性质( 如，正规6 可补、霄一拟正规等) ，许 多学者研究了有限群的结构，如可解性超可解性、幂零性等 4 在3 4 中我们把极大子群的口偶推广为一般子群的叫禺，并得到了关于群的可解性 和幂零性的一些充分或充要条件，具体结果如下； 定理3 4 2 设g 是有限群如果对g 的任一个非循环的s y l o w 子群的任一极大子群 最都有口一偶( c ，d ) e ( h ) 使叫d 超可解且g = p l c 。那么g 超可解 定理3 4 3 设g 是有限群如果g 的每个s y l o w 子群的每个极大子群r 都有 口偶( g d ) 使c d 幂零且g = 只c ，那么g 幂零 定理3 4 4 设g 是有限群如果g 的每一个2 极大子群何都有口镅( g d ) 使纠d 幂零且g = h c ，那么g 幂零 定理3 4 5 设g 是有限群如果g 的每一个2 - 极大子群日都有极大刊禹( a d ) 使 研d 幂零且g = h c ，那么g 幂零 定理3 4 6 设g 是有限群如果g 的每个s y l o w 疳群p ，其中p ( 2 ，3 ，n c ( e ) 都有口_ 禺( a d ) 使吖d 是素数幂阶群且g = n c ( e ) c 。那么g 可解 定理3 4 6 7 设g 是有限群如果g 的每一个s y l o wp 子群p ，其中p 2 ，3 ， g ： b ( p ) 1 都是素数幂，那么g 可解 定理3 4 6 是【l5 】中定理。如果群g 的每一个s y t o w 子群的正规化子在g 中的指数 都是素数幂，那么g 可解”的改进，但【l5 】中的这个定理没有用到单群分类定理 子群的正规性质及以偶对群的影响引言 第四章我们研究了极大子群的c 一截断，给出了关于群的可解性的几个充分条件；最 后我们用子群的h a l l 广义补的商群得到了可解性的几个充分条件。并对此进行了运用 【8 0 。，5 】和 7 2 1 中提出极大子群的c 截断这个概念c 畿断和正规指数、争正规这两个 概念是有联系的f 8 0 ，r x ，5 1 的命题5 7 说明了极大子群的c - 截断和正规指数以及其指 数之问的关系， 7 2 ，l e m “m1 2 】说明了极大子群的c 截断和其征规性之间的关系我 们用极大子群的c 截断得到了如下结果： 定理4 2 1 设g 是有限群假设对g 的任一个极大子群m 都有s e ( m ) 超可解 那么g 的合成园子同构于如0 ) 或磊，其中热q 均为素数且有p e 士t ( m o d8 ) 定理4 2 2 群g 可解当且仅当g 有个可解的极大子群肘使l g ：m i 妒且s c m ) 为2 _ 幂零的，其中p 为i g i 的某个素因子 定理4 2 3 群g 可解当且仅当g 有一个可解的极大子群吖使i g ：m i 为素数幂且 s e c ( f ) 幂零 其中定理4 2 1 回答了王燕鸣和李世荣在f 7 2 】中提出的问题。假设对群g 的每一个 极大子群m 都有s e c ( 超可解，那么g 是否可解? 5 子群的正规性质及乒偶对群的影响 第一章符号和基本概念 第一章符号和基本概念 本文中的群都是指有限群，所用符号都是标准的，来指出的符号可参考文献 1 6 1 【2 l j 1 3 4 】( 3 7 】【3 8 j 【7 9 j s o 】本章给出本文常用的符号和基本概念 日g 表示牙为群g 的子群；日 g 表示日g 且日s g 。即日为群g 的真子 群；胃要g 表示子群日为群g 的正规子群；日司g 表示予群日为群g 的正规子群且 g 日，即日为g 的真正规子群；日司司g 表示日为群g 的次正规子群；日c h a r g 表示日为群g 的特征子群 1 g l 表示g 的阶，t c ：m i 表示子群m 在群g 中的指数；p 表示某个素数，矿表示 除了p 以外的所有素数的集合；- 表示某个素数集合，霄，表示除了- 以外的所有素数 的集合；一( g ) 表示群g 的阶的素因子的集合；如果自然数n 的所有素园子都在，r 中， 那么称n 为”数；如果一个群g 的阶为r 擞，那么我们称群g 为霄一群；群g 的子群 m 。如果有( | g ：m i ，i m i ) = 1 ，那么称日为群g 的h a l l ”子群 设i 是裹数集合如果群g 有一个h a l l n 子群，那么称g 日；如果g 耳且群 g 的任意两个h a l l 霄- 子群在g 中共轭那么称g d 丌；如果g g 且每一个- 寻群 均包含在某个h a l l ，r 一子群中，那么称g d ， 嘭表示群g 的s y l o w p 子群，g 表示群g 的h a l l ，r 一子群；s y l p g 和勋( g ) 都表 示群g 的s y l o w p 子群的集合；m g 表示m 是g 的极大子群；m g = n g m z ，称 作子群m 在群g 中的核，是包含在m 中的g 的最大的正规子群；0 p ( g ) 表示群g 的 最大正规p 子群；o _ ( g ) 表示群g 的最大正规霄一子群；f p ( g ) 表示群g 的最大正规p 幂 零子群；f ( c ) 表示群g 的f t t t i n g 子群，它是群g 的最大正规幂零子群；圣( g ) 表示群 c 的f r a t t i n i 子群，即g 的所有极大子群的交； f ( g ) 表示群g 的广义f i t t i n g 子群； a 位( 5 3 表示群g 的全自同构群；( 磅表示由元素z 生成的循环群s o c ( g ) 表示群g 的 极小正规子群的乘积，称作群c 的基拄；如果酬g ) 为非交换单群且g a u t ( s 叫g ) ) ， 那么我们称g 为几乎单群 设g 是群，p 是素数我们有以下记号： ，= m i m 。g ；矗= m i m ，且m 非幂零 ； 疋= m i m ，且l g ：m l 是合数 ； p = m i m ，且有g 的某个s y l ”p 子群p 使g ( p ) m ； 再= m i m ，且i g ：m i p = 1 ； 6 子群的正规性质及良偶对群的影响第一章符号和基本概念 & = 五n 元；刀= u p 岳霄g ) 、 2 p ；声= p n 五； 一= 尸n 五n 矗；严= p n 五n 矗 s ( c ) = n m ：m 五。这里如果是空集则定义s ( c ) = x g ( g ) * ：m 是g 的有合数指数的极大子群且 g ：m i 。= 1 定义1 1 群g 的一个子群的商群叫做g 的一个截断 设日是一个群，如果群g 没有和日同构的截断，那么称g 是承自由的 定义1 2 群g 的子群列 1 = g 0s g l g 。ls g 。= g( ) 称为g 的正规群列，如果对i = 1 ，n l 都有g 璺g ，正规群列的因子群g g i l 称为g 的正规因子 正规列( + ) 称为g 的主列，如果对l ；1 ，n 都满足： q l g ，且如果有 g i t g i 和t 里g 那么必有t g l 一1 ，g 。 此时商群g 。q l 称为g 的主因子 定义1 3 群g 的子群列 1 = g b g l 孙如果存在g 的- - i l l s y l o w 子群岛。，q 。，其中s y f p i g 且i = l ，n ，使q ，g k 瓯宴g ，其 中i = 1 ，t i 一1 ，那么称群g 为s y l o w 塔群；如果存在1 2 t l 的某个排列i l ，i 2 ，t 。 使g 有一组s y l o w 子群g “。，g ，其中g a ，跗啊g 且j = 1 ，n ，使 7 子群的正规哇质及乒偶对群的影响 第一章符号和基本概念 。g 如璺g 。其中j = l ，n l ，那么称群g 为广义s y l o w 塔群 定义1 g 对于g 的子群日，如果存在l g 使日n = 1 且疗l = g ，那么称耳 在g 中可补，其中厶叫作胃在g 中的补子群 定义1 1 0 设日为g 的子群如果存在g 的子群耳使日k = g ，那么称作是日 在g 中的广义补( s u p p l e m e n t ) 定义1 1 1 一个群类芦称作个群系，如果，满足下面两个条件： ( 1 ) 若g ，则g 的同态像也在芦中； ( 2 ) 设g g ，m g g ，e n 和g m 都在芦中，那么g m n n ， 每个群g 都有满足g n ，的最小的正规子群，这个唯一确定的正规子群称作 g 的，剩余，记作g f 如果g 垂( g ) ，辛g ，那么称，为饱和群系显然所有 的超可解群组成的群系为饱和群系，记作“；所有的幂零群组成的群系为饱和群系，记 作 8 子群的正规性质及乒偶对群的影响第二章和正规性质相关的子群 第二章和正规性质相关的子群 这一章我们引进两个概念；- s c a p 子群和n o - 可补子群，由此我们得到了关于群 的结构的一些充分或充要条件，也推广了一些已知结论在最后一节中我们总结了和正 规性质相关的子群之间的关系和结果 2 1 概念和简介 定义2 1 1 如果g 有正规子群使日= g 且h n n 司_ g ，那么称日c 正规于g 这是王燕鸣1 7 0 】在1 9 9 6 年提出和研究的，郭秀云、李样明等都研究过这个概念对群结构 的影响( 见【4 4 】【3 0 l ， 7 1 】、i n ) 定义2 1 2 如果g 有正规子群使日璺g 且日n n 笪g ，那么称日n c - i e 规于 g 这是樊恽、郭秀云等在【2 2 1 中提出过的概念，是征规性的个推广 设商m n 为g 的正规因子如果g 的子群满足h m = h n 。那么称日覆盖 m g ；如果有i ( 日n m ) i 。= i ( h n n ) i 。l 饵n m ) ( h a n ) i 。= 1 ) ，那么称日为霄- 离开 m n 的 定义2 1 3 如果对g 的任意主列1 = 瓯口瓯一i 司司g o = g 都有席g - l = 蚋五 或q ln 日= g i n h ，i = 1 ，n ，那么称胃是g 的c a p - 子群如果把。任意主 列”换成。某个主列”，那么称盯是g 的半c a p - 子群或半覆盖一离开子群，本文叫作 s c a p _ 子群郭秀云等在 2 9 ( 2 0 0 3 年) 和f 2 2 】中分别研究过这两个定义他们用s y l o w 子 群或极大子群的半覆盖离开性或覆盖离开性分别刻画了有限群的可解性，也用其他 一些子群的半覆盖离开性或覆盖离开性刻画了有限群的超可解性从【2 2 l 中我们知 道s c a p - 子群是c - 正规子群和c a p 寻群的一个推广 定义2 1 4 设g 为群，胃为g 的子群 ( t ) 如果g 有主列1 = 巩司瓯一l 司习g o = g 使对t = 1 ，n 有或日覆盖戗一l q 或日n 离开函一l ，q ，那么称日是g 的z s c 且p 孑群如果 r = , k c ) ，那么称日是g 的s c a p - - 子群 显然* s _ g a p - 子群是【2 2 1 中s c a p - 子群的一个推广，当日为，r _ 子群时，若h 为g 的r s c a p 子群等价予日是g 的s c a 尸二子群特别，若，r = w ( g ) 则_ s g a p - 子群就是 s c a p - 子群 在2 2 ，我们用有限群g 的某些霄- 半c a p 子群刻划群g 的霄可解性， 一超可 解性或* - 幂零性为方便起见，这里我们采用【2 9 l 中的概念，称半覆盖离开性质为 9 子群的正规性质及州禺对群的影响第二章和正规性质相关的子群 s c a p ( s e r m - c , o v e r - a v o i d d n gp r o p e r t y ) ，半覆盖离开子群为$ c a p - 子群 定义2 1 5 设g 是群，日是g 的子群称日砰 于g 或日是g 的d 可补子群，如 果g 中存在子群置使胃彤；g 且厅n 眉如称彤是日在g 中的c 讲这是2 0 0 0 年王燕鸣在【6 9 】中提出和研究的。并且用g 的s y l o w 子群的某些。- 可补子群刻划了g 的 结构韦华全等人也对此进行过研究( 见1 7 5 1 ) 定义2 1 6 称耳n c 补于g 或日是g 的，l 十可补子群，如果g 中存在子群影使 h k 曼g 且日n k 称是日在g 中的，”补 这是我们在这一章中给出的另一个新概念，它是阿补的一个推广在2 3 中我们 用n o - 可补得到了关于可解性的一些刻划其中的一些结论是【6 9 】中某些结论的推广。 例如定理2 3 2 是【6 9 ，定理2 4 】的推广 下面是2 ，4 中用到的几个关于正规性质的几个概念： 定义2 1 7 设g 是有限群，日和k 为g 的子群如果日巧= k 日，郡么称日和 置换( p e r m u t a b l e ) ( 1 ) 如果日和g 的每一个子群置换，那么称日在g 中是可置换的( p e r m u t a b l e ) ，即 为g 的置换子群置换子群首先被o o r e 6 1 l 提出和研究的，在f 6 1 1 中被称作拟正规的 ( q m 面嗽a 1 ) ( 2 ) 如果日和g 的每一个s y l o w 子群置换，那么称日在g 中是，可置换的协 p e r m u t a b l e ) * - w 置换是0 h k e g e l 4 1 】引进并且研究的，f 4 l l 中称之为争拟正规的 s q u a s i n o r m a l ) 。1 5 2 】中称为霄拟正规( 7 r - q u a s i n o r m a l ) ( 3 ) 如果耳和g 中满足( f l ，l 州) = l 的所有子群置换，那么我们称之为半置换 的( s e m i p e r m u t a b l e ) ；如果日和g 中满足( i h i ，p ) = i 的所有s y l o w 矿子群置换。郡么我 们称之为衅置换的( s - s e m i p e r m u t a b l e ) 陈重穆【1 7 1 分别称这两个概念为半正规和跸 正规 ( 4 ) 如果对任意的g g 有胛日= h h g ，郡么日被称作g 的共轭置换子群这是 t f o g t m l 2 4 1 在1 9 9 7 年提出和研究的。这是拟正规的一个推广 ( 5 ) 如果存在k s g 使h k = g 且对任意的l k 有h l g ，那么日被称作g 的半正规子群这是苏向盈【6 4 】在1 9 8 8 年提出的，这也是拟正规子群的个推广王品 超1 6 7 1 也研究过这个方面 2 2 半c a p 子群 首先我们给出关于m ：s c a p - 子群子群的几个引理 1 0 子群的正规性质及良偶对群的影响 第二章和正规性质相关的于群 引理2 2 1 设疗是群g 的子群。1 n m g 是g 的一个正规列如 果j j r 覆盖( 霄离开) 吖，那么日覆盖( n 离开) 这个正规列细化后的在m 和之间 的任个主因子 证明：设a 口是满足n s8 a m 的群g 的主因子当日覆盖m n 时，显然 日覆盖a b 如果圩f j 离开m n 。那么i ( 珂n m ) i 。= ( h n ) k 困为i ( h n m ) i 。 l ( h n a ) i 一i ( h n 8 ) 1 - l ( h n m ) i t = i ( h n n ) i t 。所以l ( 日n ) | 霄= ( 日n b ) i 。引理得 证 引理2 2 2 1 2 2 ，命题1 】设日是g 的一个子群则有： ( 1 ) 日的c _ 正规性蕴含了日的n o 正规性 ( 2 ) h 的* 正规性蕴含了圩的半覆盖离开佳 3 ) 日的覆盖离开性蕴含了日的半覆盖- 离开性 引理2 2 3 2 2 ，引理3 】如果g 的子群日在g 中是半覆盖离开的，那么日在g 中 。正规，且在g 中是覆盖离开的 引理2 2 4 设耳是g 的_ ，r s c a p - 子群 ( a ) 如果日m s g ，那么日是膨的”a p - 子群 ( b ) 如果n s 耳或( i 玎i ，i i ) = 1 ，那么h n n 是g n 的柑c a p 孑群 证明：设丑是g 的，r s c a p - - 7 ：群那么g 有主列1 = 瓯q 瓯一1 日司g o = g 使 对= 1 ，n 有两置= 抒g i l 或1 日n & 一l i 。= l 疗ng i i ，设 必；g ；n mi = 0 。，n 那么有i - m = h m , 一l 或1 日n m , i 。= 1 日n 坛一l | 霄于是日”覆盖一离开m 的正规列 1 = 玩鱼螈一i 里璺m o = m ，从而由引理2 2 1 得日在m 中是”半覆盖一离开的 ( b ) 设日是g 的r s c a p - 子群，何口一覆盖一离开主列 1 = g o g 1 g = g 即有日国= 日戗一l 或i h n g d 。= l h n g 。一l l ，显然，只需要证明i h a g , 。= l h ng i 一1 1 。 时的情形显然，l h n g , i ，= i h n q i i ，和i ( 日n a , ) l ( h n g i 1 ) k = l 等价 如果n 日，那么驯ng l i n i n = n ( h n g 1 ) 且h n n q n i n = i v ( h n q ) n 因为( h nnq n n ) i ( h nnq t n n ) 垒( ( 日nq ) ) ( ( 日ng 一1 ) ) 垒( 日n g 1 ) ( ( 日ng t 1 ) ( ng t ) ) ，所以| ( h n n g , n n ) ( h n n g i l n n ) i 。= l ，从而酬n 离 开g t n c t n 千是电昏理2 2 1 祷h 是g 钓s c a p 子黎 子群的正规哇质及出偶对群的影响 第二章和正规性质相关的子群 如果( 1 日i ，i y l ) = i ，那么耳n g i 1 = n ( h n n 白1 ) = y ( s n q 1 ) ( n n q _ 1 ) = n ( h n g i - 1 ) ，皇s n g , 一i ，且同理有h n n g , n n 皇日n q 因此i h n n n g i l n n i 。= i h n nng , n n i 。，从而h n 是c n 的r s c a p - - 子群。 引理2 2 5 设g 为有限群且l 是g 的2 搬大子群如果l = 1 ，那么g 可解 证明：如果l = 1 ，那么g 有一个素数阶的极大子群，从而由【3 7 ，i v , 7 4 】得g 可解 下面是关于 彤a p 子群的几个结果， 定理2 2 1 设g 是有限群如果g 的每一个极大子群都是g 的，r s c a p - ：f - 群，那么 g 是i f - 可解的 证明：对i q 用归纳法 因为g 的商群的极大子群的逆像是g 的极大子群，由引理2 2 4 ( b ) 。g 的商群满 足定理的假设因此，对任意的n 要g ，v n 是”可解的如果g 有两个极小正规子 群。那么由n 可解群类是饱和群系得g 是丌一可解的因此，假定g 有唯一的极小正规子 群，设为若是一可解的则g 是霄一可解的，所以假定非，r 一可解显然非n 群 或非群故存在p r 使p l l y i 设p s y l p ( ) ，由f r a z t i n i 推断得g = n n c ( p ) 因为 是g 的极小正规子群且p n ，所以存在m g 使n a ( p ) 茧m ，从而g = m n 由假设，可设肘n 覆盖一离开主列l = g o n = g l g t = g 因为m f 覆盏一离 开主因子州1 且m g = m ，所以| n m j ，= l i n m j 。= 1 ，这和m n p 矛盾 因此，g 是n 可解的定理得证 定理2 2 2 假定群g 的每个2 4 a 大子群都是g 的口s g a p - 子群那么g 是f 一可 解的 证明：对每个m g 。由定理的假设条件和引理2 2 4 得m 的每个极大子群均 在m 中半覆盖一离开因此，由定理2 2 i 得m n 可解另一方面，对每一个n 司g ， 由引理2 2 ，4 ，有g n 满足定理的假设条件如果n l ，那么对i g f 用归纳法得g n 霄- 可解因此，如果n g 那么n 可解，从而gw 一可解因此，可假定g 是非交换 单群于是，对g 的任一个2 强大子群l ，由假设条件得l = g 或i l i ，= 1 ，从而 为一群于是，对任意的p s y l p ( g ) ，p e r n ，r ( g ) ，都有n g ( p ) ；p 且i p | - p 因 此，n a ( p ) = c a ( p ) = p ，由b u r n s i d e 定理，g 是p 幂零的因此，i i n f ( g ) = 口，g 是霄可解群 下面的例2 2 1 说明了定理2 2 2 是f 2 9 ，定理3 ，4 】的真正推广 例2 2 1 设g = 1 如果如l 。那么由引理2 2 4 得 g l g 满足定理的假设条件于是，由在l g f 上的归纳法得g y 幻可解，从而因如侄l ) 可解得g 可解于是可假定l a = 1 假设l 覆盖分离主列 1 = g q n = 岛一l 司司g i g - i 司g o