（计算机软件与理论专业论文）基于复杂网络的音乐分析与辅助作曲.pdf

a b s t r a c t m u s i ci sa na r tf o r mw h i c h o r g a n i z e st h ev o i c ee l e m e n tw i t ht h eo b j e c t ss h a k er u l e m u s i ci st h ec a r r i e ro fh u m a nm e n t a l i t ya n de m o t i o na sw e l la st h ee x i s tf o r m so f c o m m u n i t yb e h a v i o r s o ，i ti sa ni m p o r t a n tm e a n i n gi nm u s i c a ls t u d y a l o n gw i t ht h e d e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y , t h en u m e r i ca n a l y s e sa n dd i s p o s a lo fm u s i ct u r n i n t oo n eo ft h eh o t s p o ti na c a d e m eg r a d u a l l y t h ed o m a i np r i m a r i l yc o n s i s t so fm u s i c a l c l a s s i f i c a t i o n ，d i v i s i o n ，b a s e do nt h ec o n t e n to ft h em u s i c a ls e a r c h e s 。m u s i c a li n t e l l i g e n c e a n ds oo n t h i sp a p e ri sc o m b i n a t i o no ft h ec o m p l e xn e t w o r ko fm u s i ct h e o r ya n ds t u d i e st h e a n a l y s e sa n da s s i s t a n tc o m p o s i n g t h em a i nc o n t e n t si n c l u d et h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： f i r s t l y , w es t u d yt h ec o r r e l a t i o nt h e o r ys y s t e m i c a l l y w em o d e lt h em u s i c a l i n f o r m a t i o nw i t hc o m p l e xn e t w o r k s w ed i s c o v e rt h ep o w e r - l a wd i s t r i b u t i n ga n ds m a l l w o r l dc h a r a c t e r i s t i c w ec a nc o m p o s ea u t o m a t e dw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c s s e c o n d l y , w ea n a l y z et h ec h i n e s ea n c i e n tm u s i ca n dw e s t e r nm u s i cw i t hc o m p l e x n e t w o r k s w i t ht h ec h a r a c t e r i s t i co fs t a f fa n dg o n g c h e p u ，w ed e s i g nar t c o d i n gm o d e i no r d e rt op i c k u pa n dc h a n g et h ei n f o r m a t i o n w em i n et h em o t i fo ft h em u s i c r e s p e c t i v e l ya n dc o m p a r et h ec h a r a c t e r i s t i ci n d i f f e r e n tc u l t u r e s t h i r d l y ，w ef i n dt h em u s i c a lm o t i fw i t hd a t am i n i n ga l g o r i t h m t h em o t i f se x i s ti n t h r e ef o r m s ：w ef i n dt h em o t i fw i t ht h em e t h o do fm o t i f sf i n d i n gi nc o m p l e xn e t w o r k st o f i n do u tt h ef r e q u e n tr e p e a t e d l ym u s i c a l ；w eu s ef i r s t - o r d e rd e r i v a t i v ea n ds e c o n d - o r d e r d e r i v a t i v et od e a lw i t ht h ev a r i a t i o na n dd e v e l o p m e n t a lm o t i f s ；t h et r u n ko ft h em u s i ci s a n o t h e rr e p r e s e n t a t i o n i to f t e nc o n t a i n si nf r o n tr h y t h m w eu s et h ea s s o c i a t i o nr u l e m i n i n ga l g o r i t h mt of i n do u tt h et r u n kt o n e f o u r t h l y , o nt h eb a s eo fm u s i c a lc h a r a c t e r i s t i cw i t hc o m p l e xn e t w o r k ，w eb r i n g f o r w a r dar a n d o mw a l ka l g o r i t h mf o ra s s i s t a n tc o m p o s i n g b a s eo nt h ec h a r a c t e r i s t i co f n o c t u r n e ，w ed e s i g nm u s i c a la s s i s t a n ta n dv a l i d a t et h ec o r r e l a t i o na l g o r i t h mp r a c t i c a l l y k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；m u s i c a lm o t i f ：a u t o m a t e dc o m p o s i t i o n ；r a n d o m w a l ka l g o r i t h m 目录 第一章绪言1 1 1 论文研究的目的和意义1 1 2 国内外研究动态分析l 1 3 论文的主要工作和创新点3 1 4 论文的组织结构4 第二章复杂网络基本理论5 2 1 复杂系统和复杂网络5 2 1 1 复杂系统5 2 1 2 复杂网络5 2 2 复杂网络的描述方法7 2 3 复杂网络的结构特性8 2 3 1 度和度分布8 2 3 2 最短路径长度，直径，介数和平均路径长度l o 2 3 3 聚集系数l l 2 4 小世界网络和无标度网络模型及性质1 2 2 4 1 小世界网络模型1 2 2 4 2 无标度网络模型1 3 第三章音乐特征复杂性分析1 5 3 1 引言1 5 3 2 构建乐音网络模型1 6 3 2 1 编码方式1 6 3 2 2 网络模型构建方法分析1 6 3 2 2 1 西方音乐网络模型的构建及分析1 8 3 2 2 2 中国古代音乐网络模型的构建及分析2 2 3 3 东西方音乐特征对比分析2 5 3 4 小结2 6 第四章音乐创作动机的分析2 7 4 1 引言2 7 4 2 动机的挖掘方法2 7 4 2 1 在网络中挖掘基本动机2 8 4 2 2 变化发展的动机的挖掘方法3 2 4 2 3 基于主干音的挖掘3 5 4 3 东西方音乐动机比较3 7 4 4 小结3 8 第五章计算机辅助作曲3 9 5 1 基于复杂网络特征的辅助作曲3 9 5 2 基于动机的重新创作4 2 5 3 小结4 3 第六章总结与展望4 5 6 1 总结4 5 6 2 展望4 5 参考文献4 7 攻读学位期间的研究成果5 0 致谢5 1 学位论文独创性声明5 2 学位论文知识产权权属声明5 2 第一章绪言 1 1 论文研究的目的和意义 第一章绪言 音乐是把物体规则震动发出的声音有组织的结合起来的一种艺术表现形式。它 既是人类思想和情感的载体又是一种社会行为的形式，音乐从声波上分析它介于 噪声和频率不变的纯音之间，从效果上讲它可以带给人美的享受和表达人的情 感，音乐隐含着作者的生活体验，思想情怀。 各类的音乐呈现出多种内容，反映了特定环境的物质文化及精神文化，对音乐 的研究能反映不同的社会和文化的特征，并具有在音乐传承中的意义和作用。对音 乐进行跨文化的研究，可以分析比较在不同的文化氛围及文化积淀中，例如东西方 音乐中，音乐创作所具有的文化色彩。另外音乐的研究在医疗和军事领域也有着重 要的意义。 ! 信息技术的高速发展为音乐研究领域提供了支撑和动力。信息技术在与音乐结 合产生了诸多新的研究领域：基于音乐内容的检索，能够让人们根据记忆中的声音 片段查找音乐；音乐自动分类与匹配能够让人们对各类音乐的特性有了更全面更科 学的认识，让自动按照个人喜好随机播放音乐成为可能；各种辅助作曲方法，能够 帮助作曲家的创作，同时也可以让人们模仿已故大师风格进行创作。 用一般的方法对海量音乐数据进行建模和分析十分困难，因此复杂网络理论被 引入到了音乐分析与研究的相关领域。复杂网络是用来解决难以用常规数学方法来 处理的复杂系统问题。 进行复杂网音乐分析与研究的目的在于利用复杂网络的相关特性，丰富音乐研 究与创作的方法，拓展音乐分析的思路，通过分析其网络的性质为音乐的分类、检 索、辅助创作等提供支撑。 1 2 国内外研究动态分析 随着信息技术的迅速发展，音乐的数字化分析与处理逐渐成为工程与学术界关 注的热点之一。该领域主要包括音乐的自动分类、分割、基于内容的音乐检索、音 乐的智能创作等方面内容。 1 针对音乐数据的自动分类 b i c k e r s t a f f e 等人研究了如何利用最小消息长度准则( m m l ) 对摇滚乐和古典音 乐进行自动分类 ”。在他们的工作中比较了一种称为“s n o b 的非监督学习方法和 三种监督分类方法：决策树、决策图和人工神经网络，结果表明监督分类方法明显 青岛人学硕士学位论文 优于非监督分类方法；为了方便进行歌词自动识别，b e r e n z v e i g 等人研究了如何区 分流行歌曲中的演唱部分和纯伴奏部分嘲1 ，他们利用一个在说话人识别领域中常用 的分类器对类似语音的声音信号进行检测。由于具有背景伴奏音乐的歌手演唱信号 与一般的语音信号有着很大的不同，对于那些无法直接通过“说话人识别分类器 来确定类别的声音片段，作者将进一步采用一个基于h 删框架的方法来最终判断其类 别。t z a n e t a k i s 等人设计了一个以音乐类数据为主的三层音频分类树，其内容覆盖 了大部分西方现代音乐和一部分古典音乐，其中在具有十种音乐类别的分类层次上 可以达到6 l 的平均分类正确率。 2 基于内容的音频流分割 基于内容的音频流分割是指将一段音频流数据按其内容自动地分为若干片段， 使得每个片段在内容类别上具有一致性。它是基于内容的音频和多媒体数据分析领 域中的一个十分重要的问题。例如，一段电台或电视台的音频信号，其中可能包含 古典音乐、流行歌曲、传统戏曲以及广告、语音等内容，如果能将其按这些内容属 性合理地分割开来，就能够方便听众和观众选择收听、收视，也能够方便多媒体数 据的分类保存和进一步的剪辑加工等。面对海量的多媒体数据，如果能开发出一种 自动的、基于内容的音频流分割方法，会大大地提高工作效率。 3 针对音乐类数据的自动检索 目前互联网上已有的音乐曲目的数量非常大，面对如此大的音乐数据库，传统 的检索方法主要依据曲名、演唱者、出版商等附属文字信息，但仅依靠这些检索手 段往往不能满足用户快速有效地查找音乐作品的需要。如果通过某种技术可以直接 查找音乐文件的内容将会大大提高检索结果的有效性和准确性。 4 音乐作品结构分析 音乐是一种十分复杂的、有层次的声音信号，一些学者致力于通过计算机来分 析音乐本身的层次结构，他们所定义的这种层次结构不一定和音乐学本身相关，但 是可能会更适合于音乐信号的自动处理。由于m i d i 格式本身已经包含了大量音乐信 息，所以基于m i d i 格式的音乐分析工作相对较多。h s u 等人定义了音乐信号中的“非 平凡重复模式 嘲1 。 5 音乐建模 对音乐进行建模分析是十分困难的，也是十分必要的。关于音乐建模的研究很 少，但近两年来也可以看到一些报道。w a n g 等人提出了一种音乐数据模型和相应的 代数操作规则，并将其应用于数字音乐图书馆中的数据检索和查询咖1 。c o u r h a r b o 研究了如何将最小燃料神经网络用于音乐信号的稀疏表示阻，该方法可以归结为一 组二阶微分方程，并且他认为可以通过先验知识来确定用于优化该方法的最重要的 参数离散化步长。e n d e l t 等对通过小波变换实现音乐信号的稀疏表示时所遇到 2 第一章绪言 的若于问题进行了研究，他们还比较了用于音乐信号稀疏表示的几种方法嗽1 。 6 乐谱自动识别与分析 乐谱自动识别是指将音乐演奏的声学信号所对应的乐谱信息自动翻译出来，它 是音乐分析领域中的一项十分重要同时也是十分困难的工作。我们知道一首音乐的 乐谱记录着该音乐的全部信息，音乐家通过阅读乐谱就可以了解音乐的全貌，并不 需要将它实际演奏出来。现有的许多音乐分析方面的工作都是基于m i d i 格式的，因 为m i d i 格式本身包含着大量的乐谱信息，所以基于m i d i 格式的音乐分析工作可以做 的比较深入但是它们一个共同的缺点就是其对m i d i 音乐文件格式的强烈依赖性 7 自动作曲 我们经常可以发现某个作曲家的作品会具有某种特殊的风格，通过分析这个作 曲家的大量作品，从而利用计算机来自动创作出类似的音乐作品，这样的研究工作 被称为计算机自动作曲或自动创作嘲h 引】。c o p e 于1 9 9 1 年介绍了他的e m i ( e x p e r i m e n t si nm u s i c a li n t e l l i g e n c e ) 研究计划羽，构想中的一个e m i 子计划是 一个专家系统，它可以利用模式识别技术来创造“重组 音乐。首先它将音乐作品 分解为由音符组成的若于模式，然后对其进行分析，最后将这些模式重新组合起来 从而创作出新的“音乐”。t s e n g 设计了一个基于内容的音乐自动检索系统一 “c r y s t a l ”m 3 1 。它的一个特点是可以随机地生成一些旋律片段，用户可以试听这些 旋律片段并选择其一作为查询内容，从而实现“0 输入情况下的基于内容音乐检索。 s r i n i v a s a n 则利用线性预测技术对音乐的动态特性进行分析，在此基础上提出了一 种“音乐即兴创作”技术，并将其用于为视频自动生成背景音乐嗍1 。 1 3 论文的主要工作和创新点 本文介绍了复杂网络的理论、有关概念、典型模型，并将复杂网络理论运用到 音乐创建的网络中，分别对西方音乐和工尺谱作曲的中国古代音乐建立网络，分析 网络特征，并在复杂网络中挖掘音乐动机，最后基于音乐构建的网络具有的特性利 用计算机辅助创作。 全文主要工作包括： 1 介绍了复杂网络的基本理论和相关概念、 2 综述了复杂网络的主要特征以及复杂网络的结构特性，小世界网络和无标度 网络的相关性质。 3 将复杂网络理论运用到音乐创建的网络中。分别为西方音乐和中国古代音乐 构建网络。通过一种特殊的编码方式r t ( r h y t h m - t o n a l ) 编码对乐曲的音符进行编 码。针对乐曲构建的复杂网络，研究网络的特征，诸如度和度分布，平均最短路径、 聚集系数、幂牢分布等等，分析中国古代音乐以及西方古典音乐是否具有各自的普 3 青岛人学硕士学位论文 遍性和相似性。最后验证了西方的古典音乐以及工尺谱记载的中国音乐具有小世界 和无标度特征。 4 西方古典音乐及中国古代音乐创作动机的分析。本文挖掘了三种不同表现形 式的音乐创作动机，通过复杂网络中的频繁模式挖掘算法挖掘音乐中包含的基本动 机；通过分析一阶导数、二阶导数的挖掘方法发现变化发展的动机；通过采用数据 挖掘中的序列模式挖掘算法寻找音乐中的主干音。 5 基于复杂网络的特征进行计算机辅助作曲以及基于音乐创作动机的重新创 作，在此，我们提出了一个限定条件的随机行走算法进行辅助创作。 本文的创新点如下： 1 基于复杂网络理论，对音乐进行辅助分析及创作。 2 设计了三种发现音乐动机的方法：第一种是通过挖掘乐曲中的频繁模式发现 音乐基本动机；第二种，通过求一阶导数及二阶导数，寻找变化率相同的音符；第 三种，通过采用数据挖掘中的序列模式挖掘算法寻找音乐中的主干音。 3 提出了一种随机行走算法，自动的创作音乐。计算机辅助作曲的音乐通过实 验论证保留了原有音乐的网络特征。 4 给出了一种基于音乐动机的重新组合进行辅助作曲的方法。 1 4 论文的组织结构 本文的章节安排如下： 第一章：绪言。介绍了论文的研究目的和意义、国内外研究动态、主要工作、 论文创新点及论文结构。 第二章：简要介绍了本文的基础理论知识一复杂网络的结构特性。介绍了复杂 网络的基本概念以及复杂网络的描述方法：接着介绍了复杂网络的结构特性，其中 包括度和度分布，最短路径长度，直径，介数和平均路径长度，聚集系数等。 第三章：音乐特征复杂性分析。首先介绍了工尺谱的编码方式，接着对中国古 代音乐及西方古典音乐分别构建网络模型进行仿真实验，分析网络模型的特性。 第四章：分析东西方音乐创作动机。挖掘出三种不同形式的动机。 第五章：计算机辅助作曲。基于复杂网络特性及音乐动机的重新创作。 第六章：总结和展望。对本文所做的工作进行了总结，阐述本研究存在的问题， 并展望未来的发展方向。 4 第二章复杂系统以及复杂网络的结构特性 第二章复杂网络基本理论 2 1 复杂系统和复杂网络 2 1 1 复杂系统 复杂系统是相对与简单系统而言的，所谓简单系统是牛顿时代以来构成科学事 业焦点的系统，那么简单系统与复杂系统有着根本意义上的不同1 。简单系统由于 包含较少的个体对象，它们彼此之间的相互作用则显得比较弱，或者具有大量相近 行为的个体，比如封闭的气体或遥远的星系，以至于我们能够应用简单的统计平均 的方法来研究它们的行为。而复杂系统并不一定与系统的规模成j 下比，复杂系统要 有一定的规模，但也不是越大越复杂。另外复杂系统中的个体一般来讲具有一定的 智能性，例如组织中的细胞、股市中的股民、城市交通系统中的司机、生态系统中 的动植物，这些个体都可以根据自身所处的部分环境通过自己的规则进行智能的判 断或决策。 复杂性科学将成为2 l 世纪的科学，因为它不仅仅从科学技术上指明了2 1 世纪 的发展方向，而且它给我们提供了一种崭新的世界观。完美的、均衡的世界不存在 了，耿而代之的是复杂性的增长和混沌边缘的繁荣。自上而下的分解分析方法曾经 在几千年的科学发展中发挥了威力，然而复杂性科学却提出了一种自下而上的自然 涌现方法。数学无疑是人类理性认识自然的有力武器，然而面对庞大的非线性系统， 简单的数学推理不能胜任，复杂性科学开始运用计算机模拟来分析科学对象。 对于复杂系统理论的研究，在经历了两个十年的发展已经具有了相当成熟的模 型与算法，其中最著名的模型就是细胞自动机和多智能体系统h u 。另外，复杂网络 则是近些年才兴起的一股研究热潮。 2 1 2 复杂网络 复杂网络是研究复杂系统的重要模型和工具之一。所谓的网络就是由结点和连 接结点的边组成的集合。其中结点代表系统中的元素，结点之间的边代表元素之间 的联系。人们对网络的研究是从图论开始的，图论可以追溯到1 7 3 6 年瑞士数学家 欧拉对k o n i g s b e r g 七桥问题的抽象和论证。k o n i g s b e r g 是东普鲁士的一个城镇， 城中有一条横贯城区的河流，河中有两个岛，两岸和两岛之间共有七座桥，如图 1 1 ( a ) 所示。传说当地居民经常议论这样一个有趣的问题：一个人能否在一次散步 中走过所有的七座桥，并且只能经过每座桥一次，最后返回到原地? 这个问题似乎 相当简单，但是长期以来小镇上没有人能走出这样的一条路径。1 7 3 6 年欧拉仔细的 5 青岛人学硕十学位论文 研究了这个问题。他利用数学抽象法，将被河流分割丌的四块陆地抽象成四个点， 将连接这四块陆地之间的七座桥抽象为连接四个点的七条线，这样就构成了有四个 点和七条线构成的一个图，如图2 1 ( b ) 所示。于是七桥问题就转化为如下的数学 问题：从图中的任意一点出发，经过每条边一次而后返回到原点的回路是否存在? 欧拉给出了这样一条回路的重要条件，并由此推出七桥问题是没有解的。欧拉对七 桥问题的研究和论述开创了图论的研究，直到现在人们也使用图作为描述网络的一 种工具，并且今天人们关于复杂网络的研究与欧拉关于七桥问题的研究在某种程度 上是一脉相承的，即网络结构与网络性质密切相关。 ( a t ” 图2 1 ( a ) 七桥问题示意图。( b ) 欧拉抽象出的图。 在欧拉解决七桥问题之后的相当长的一段时间里，图论并未获得足够的发展。 直到1 9 3 6 年才出版了图论的第一本专著，此后图论开始进入发展与突破的快车道， 2 0 世纪6 0 年代，有两位匈牙利数学家e r d o s 和r e n y i 建立的随机图论( r a n d o mg r a p h t h e o r y ) 被公认为是在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究口1 。 在2 0 世纪的后4 0 年中，随机图论一直是研究复杂网络的基本理论，并且人们 认为随机图模型完全可以模拟现实中的实际网络。在此期间社会学家、生物学家、 计算机科学家分别基于随机图论研究了各自领域内的网络h 副。但是随着社会的发展 出现了许多结点数量众多、结构复杂的网络，例如，电力网络，通信网络等。同时， 计算机的计算能力也得到了很大程度的提高，使得人们使用计算机分析这些大型网 络的性质成为可能。人们通过计算机发现了这些网络的许多新的性质并且这些性质 是不能使用随机图论的理论来解释的，也就是说许多实际的网络并不是完全随机 的。这迫切要求人们提出新的理论和方法来研究复杂网络。w a t t s 和s t r o g a t z 于 1 9 9 8 年在n a t u r e 上发表了关于小世界网络的文章口1 ，b a r a b a s i 和a l b e r 于1 9 9 9 年 6 第二章复杂系统以及复杂网络的结构特性 在s c i e n c e 上发表了关于无标度网络的文章h 1 。这两篇文章分别揭示了复杂网络的 小世界特性和无标度特性，并且提出了相应的模型，掀起了研究复杂网络的热潮。 过去关于实际网络结构的研究常常着眼于包含几十个，至多几百个结点的网 络，而现在关于复杂网络的研究中则常可以见到包含从几万个到几百万个结点的网 络h 引。网络规模尺度上的变化也促使网络分析方法做出相应的改变，甚至于很多问 题的提法都要相应的改变。就目前而言，复杂网络理论的主要研究内容可以归结为： 发现：揭示刻画网络系统结构的统计性质，以及度量这些性质的合适方法。 建模：建立合适的网络模型以帮助人们理解这些统计性质的意义与产生机理。 分析：基于单个结点的特性和整个网络的结构性质分析与预测网络的行为。 控制：提出改善已有网络性能和设计新的网络的有效方法，特别是稳定性、同 步和数据流通等方面。 2 2 复杂网络的描述方法 自从欧拉开创了图论研究，直到现在人们仍然使用图描述复杂网络。一个具体 的网络可以抽象为一个由结点集y 和边集e 组成的图g 一，e ) 。结点数记为 ；川，边数记为m ；例，e 中的每条边都与y 中的一对结点对应。一条边连接的 两个结点称为相邻结点。如果任意结点对( l 力和( z 力对应同一条边，则该网络称 为无向网络( u n d i r e c t e dn e t w o r k ) ，否则称为有向网络( d i r e c t e dn e t w o r k ) 。如果 每条边赋予一个相应的权值，那么该网络就称为加权网络( w e i g h t e dn e t w o r k ) ，否 则称为无权网络引( u n w e i g h t e dn e t w o r k ) 。无权网络也可以作为每条边的权值为l 的等权网络。图2 2 中给出了一7 ，m - 4 的不同网络的表示方法，用点表示网络 中的结点，点之间的连线表示边n 训。 ( a ) ( ”f c ) 图2 2 网络的图表示( a ) 无向网络。( b ) 有向网络，用箭头表示边的方向。( c ) 权重网络，w i j 表 示边的权重o 7 青岛大学硕士学位论文 图g 一，e ) 还可以用邻接矩阵矽表示，对于一个无向网网络的邻接矩阵中 的元素t l ，如果结点f 和结点之间存在一条边，否则一0 。 2 3 复杂网络的结构特性 揭示刻画网络系统结构的统计性质，以及度量这些性质的合适方法是复杂网络 的主要研究内容之一。今年来，人们在刻画复杂网络的统计特性上提出了许多概念 和方法。这里介绍几种重要的概念。 2 3 1 度和度分布 度( d e g r e e ) 是描述网络中的结点性质的一个简单而重要的概念。结点f 的度定 义为与该结点相连的其它结点的数目。用邻接矩阵表示其数学定义如下： k ，妻w 盯 2 时，度为k 的节点实际上是不存在的。因此这类网络也 称为均匀网络( h o m o g e n e o u sn e t w o r k ) 。 8 第二章复杂系统以及复杂网络的结构特性 ) ( a ) p o i s s o n 分布； ( b ) 幂率分布( 对数坐标系) 图2 3 完全随机网络的度分布p o i s s o n 分布和幂率分布 近几年的大量研究表明，许多实际网络的度分布明显地不同于p o i s s o n 分布。特 别地，许多网络的度分布可以用幂律形式p ( k ) k 吖来更好地描述( 图2 3 b ) 幂律分布 曲线比, p o i s s o n 指数分布曲线下降要缓慢得多。 幂律分布也称为无标度( s c a l e f r e e ) 分布，具有幂律度分布的网络也称为无标 度网络。幂律分布函数的无标度性质：考虑一个概率分布函数f ( x ) ，如果对任意给 定常数a ，存在常数b 使得函数f ( x ) 满足如下“无标度条件 。 那么必有( 假定f ( 1 ) f ( 1 ) 一0 厂( 麟) 一b f o ) 2 一( 2 ) 厂o ) - 厂( 1 净一，一一，( 1 ) f ( 1 ) 2 一( 3 ) 也就是说幂律分布是惟一满足“无标度条件的概率分布函数。 在一个度分布为具有适当幂指数( 通常为2 r 3 ) 的幂律形式的大规模无标度 网络中，绝大部分的节点的度相对很低，但存在少量的度相对很高的节点。因此， 这类网络也称为非均匀网络，而那些度相对很高的节点称为网络的“集线器( h u b ) 一， 例如，美国高速公路网就可近似看作是一个均匀网络，因为不可能有上百条高速公 路都经过同一个城市；而美国航空网则可看作是一个无标度网络，大部分机场都是 小机场，但却存在少量连接众多小机场的非常大的机场，如芝加哥，达拉斯，亚特 9 青岛人学硕+ 学位论文 兰大和纽约机场( 图2 4 ) 。 j ? 。? 飞一， 。谗 白簟_ - 麓h _ 鬻，； 毫。_ ：。t o 。 皆 -， 嘞 j 二4 以一妒4 。| ：。五 ” “一 。 ”* ，：。：三0 毫，二1 0 一= 毒：_ 器 。 耋、j 曼7 蔓- i ：爹爹麓 锄7 ，w ” 。“ t 。 ；v 。一麓 ：- j 飞4 二r 。t1 ，0 jl _ “气i ? ：曩r ：。，“j j j ， 二：一：o 曩菇”o 蠢 ”，4 m _ ，一一 。j “o # 5 ：， ( a )( b ) 图2 4 随机网络与无标度网络的对比协1 ( a ) 随机网络的例子：美国高速公路网简化图；( b ) 无标度网络例子：美国航空网简化图 2 3 2 最短路径长度，直径，介数和平均路径长度 最短路径( s h o r t e s tp a t h s 或g e o d e s i c ) 在研究网络中的运输和通信问题时扮 演着重要的角色。假设在互联网上由一台计算机向另一台计算机发送数据，最觚路 径为最优的传输路径，不仅能够较快的传输而且节约资源。因此，在复杂网络的研 究中最短路径也是刻画网络特征的一个重要概念1 。网络中的所有最短路径可以表 示为矩阵的形式d ，其中的每个元素d ，表示结点f 到结点，的最短路径。网络中的 所有最短路径的最大值称为网络的直径记为d i a m ( g ) 。定义如下： d 妇历( g ) = 1 四x 如 2 一( 4 ) 网络中两个非相邻的两个结点之间的通信依靠路径上结点。因此，网络上结点 的重要性也可以用经过某个结点的最短路径的数量来衡量。这个数肇称为结点的介 ( n o d eb e t w e e n n e s s ) 。结点介的概念最初是用来衡量社会网络中个体的重要性。 参考文献 1 2 1 3 中给出了计算结点介的快速算法。 结点的介可以扩展到边，边的介就是经过边的最短路径的个数1 。网络的平均 路径长度l 定义为任意两个节点之间的距离的平均值，即 1 0 第二章复杂系统以及复杂网络的结构特性 “南弘 2 1 ) 。当p 较小时 1 2 第二章复杂系统以及复杂网络的结构特性 ( o p 1 ) ，重新连线后得到的网络与原始的规则网络的局部属性差别不大，从而网络 的聚类系数变化也不大( c ( p ) 筐c ( 0 ) ) ，但其平均路径长度却下降很快( l ( p ) 时，度为k 的节点几乎不存在。因此，这类网络也称为均匀网络或 指数网络( e x p o n e n t i a ln e t w o r k ) 。近年来复杂网络研究上的另一重大发现就是许多 复杂网络，包括i n t e r n e t 、w w w 以及新陈代谢网络等的连接度分布函数具有幂律形式。 由于这类网络的节点的连接度没有明显的特征长度，故称为无标度网络。 为了解释幂律分布的产生机理，b a r a b a s i 和a l b e r t 提出一个无标度网络模型， 被称为b a 模型口1 ，认为以前的许多网络模型都没有考虑到实际网络的如下重要特性： 增长( g r o w t h ) 特性：即网络的规模是不断扩大的。例如每个月都会有大量的 新的科研文章发表，而w w w 上则每天都有大量新的网页产生。 优先连接( p r e f e r e n t i a la t t a c h m e n t ) 特征：即新的节点更倾向于与那些具有 较高连接度的“大”节点相连接。这种现象称为“富者更富( r i c hg e tr i c h e r ) ”或“马 太效应( m a t t h e we f f e c t ) ”。例如，新发表的文章更倾向于引用一些已被广泛引用的 1 3 青岛人学硕+ 学位论文 重要文献，新的个人主页上的超文本链接更可能指向新浪、雅虎等箸名的站点。 基于网络的增长和优先连接特征，b a 无标度网络模型的构造算法如下： 增长：从一个具有肌1 个节点的网络开始，每次引入一个新的节点，并且 连到m 个已存在的节点上，这罩m m 。 优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i 相连的概率兀。，与节点i 的度 k 。、节点j 的度k ，之间满足如下关系： h i4 蠢 2 - ( 8 ) j j ， 在经过t 步后，这种算法产生一个有n = t + 肌1 个节点、m t 条边的网络。图2 7 显示了当 m _ l i l 0 = 2 时b a 网络的演化过程。初始网络有两个节点，每次新增加的一个节点按优先 连接机制与网络中已存在的两个节点相连。 _ 辽_ 弋辽- 凤胯 汰魂_ 傣m 1 图2 7b a 无标度网络的演化( m = i i l i - 2 ) 1 4 第三章东西方音乐作曲的复杂网络模型建立及分析 3 1 引言 第三章音乐特征复杂性分析 音乐是创造性艺术的一种形式，它在历史上的不同时期被标记为某个特别的作 曲家、一个团体、一个国家或一种文化的象征，来自世界各地的人们在不同的时代 有他们自己的音乐陋l 。由于文化背景的差异，东西方乐曲差异显著。例如，我国古 代乐曲节奏多婉转缠绵，而西方乐曲则多情绪激昂。在对乐曲所体现出的特征上， 我们发现多是以定性的方式进行衡量，缺少定量的数据分析方法。本章中，我们通 过将复杂网络理论应用到乐曲分析中，试对音乐创作的内在机制进行讨论，提取音 乐创作的内在规律特性，借以对音乐创作提供相应地理论辅助支持。 近年来，关于复杂网路的研究发现：网络中节点的度呈无标度特性，即度分布 遵循幂律1 1 7 j _ l 州。在过去的十年中，复杂网络在物理方面的研究，引起了人们对许 多应用领域研究的兴趣。许多实证网络，如电力网、生物网、科学家合作网等均表 明幂律分布是一个显著的特性【2 5 1 。并且实证发现这些网络还具小世界网络特征，即 具有较短的平均路径长度和较高的聚类系数。 本章对乐曲进行抽象建模，建立了以音符为节点，相邻音符连边的网络，并对 网络的拓扑特征进行分析。采用的乐曲有：西方乐曲( 巴赫，莫扎特，肖邦) 与我 国古代以工尺谱记载的音乐i 删( 牡丹亭，九莲灯，长生殿，玉簪记) 。 工尺谱中记录的音乐是没有节奏的，而节奏是在流传的过程中通过口传心授所：攀握 的，那么对于了解熟知简谱和工尺谱的人，将工尺谱译成简谱后，为其加上节奏， 因此，我们为工尺谱构建网络时，节点是带有节奏的音符1 4 5 l 。需要强调的一点是， 工尺谱在流传的过程中，节奏的传承难免会出现一些细微的改变，我们假设，对整 个创作而言，这些小的变化并不影响我们的研究。对东西方音乐的网络的特性进行 分析，并将不同文化中的音乐作曲进行对比，最终发现：东西方的音乐均具有节点 度呈幂律分布，节点的强度以及边的权重分布，平均度，聚类系数等在一定的范围 内。并且，从网络拓扑性质分析中，可以得出我国工尺谱乐曲与西方乐曲的差异。 对上述的几位不同曲风作曲家的音乐构成的网络，分析它们的网络节点度分布、 平均度，网络的平均距离与聚类系数等特性。我们发现它们的度均呈幂律分布，并 且网络中具有小世界效应。由此，我们推测具有满足上述特点的乐曲是为人们所喜 爱的。因而，有意识地创作类似特性的乐曲可辅助作曲家创作出为人们喜爱的曲子。 对于工尺谱记载的中国古代音乐，构建网络并分析网络特征，通过仿真实验的 1 5 青岛人学硕+ 学位论文 结果证明，这些网络也是具有小世界以及无标度特性，但是，特性不是很明显，这 样的普遍性明显的减弱了，说明中国的古代音乐，创作起来比较自由，规律性比较 弱，即音程变化不大i 卅。1 5 2 】等。 3 2 构建乐音网络模型 3 2 1 编码方式 在构建乐曲网络时，为将曲谱音符抽象为网络节点，需采用曲谱数字化编码问 题。为此，本文提出了一种r t ( r h y t h m - t o n a l ) 编码方式，来实现曲谱的机器编码。 所谓r t 编码，主要是根据音符的构成部分来进行编码的。格式为：节奏+ 高中低音 符号+ 中音音高，即用三位数字来表示。 第一位表示节奏，用i - 7 这七个数字表示节奏。节奏即时值，全音符为四拍， 例如x 一，用l 表示；二分音符即两拍，例如x 一，用2 表示；基本音符，又称四 分音符，例如x ，用3 表示；八分音符即1 2 拍，例如x ，用4 表示；十六分音 符即i 4 拍，例如x ，用5 表示；三十二分音符即i 8 拍，例如x ，用6 表示；符 ；一 点音符，例如x ，用7 表示 第二位高中低音符号，即对应的高八度音或者低八度音，高两个八度音或者低 两个八度音。不同的音高分别对应i - 7 这七个数字。 第三位表示中音音高，简谱中1 2 3 4 5 6 7 这七个音分别对应卜7 这七个数字。 例如5 这个音的编码为1 3 5 。 在为音乐构建网络模型时，我们采用了这种r t ( r h y t h m t o n a l ) 编码方式，方 便的表示出了每个音符的节点。在第四章中，介绍动机时，将一个动机拆分为对 节奏动机和声调动机，根据设计好的r t ( r h y t h m - t o n a l ) 编码方式的特点，可以分 别针对节奏和声调的特点，分别建立节奏网络和声调网络，依据r t ( r h y t h m t o n a l ) 编码，进行分析挖掘。 3 2 2 网络模型构建方法分析 音乐是基于一系列声音的元素，声音通过音符记录，形成一个连续的对人类大 脑有意义或有吸引力的刺激1 5 3 l 。我们的研究目标是将音符及其连接做成一个网络， 并且去研究形成i 叫络的特性1 2 7 1 。网络的两个基本元素是节点和边，乐曲和网络之间 的关系是：一首乐曲山若干不同音符组成，将j 爵乐中的音符看作网络中的节点，网 络中的边则为乐曲中两个桐邻音符的连接，通过复杂网络模型的建立描述音符之间 的关系，从而通过分析反映出乐曲中音符问柑互作用的性质。 1 6 第三章尔西方音乐作曲的复杂网络模型建立及分析 一个由音符构成的网络，节点是单独的音符，相邻的音符用边连接。来自于一 个节点和汇集于这个节点的边的数量称为这个节点的度，用k 表示。因此，网络的 平均度表示所有节点度的平均值。网络中节点度的分布表示为一个节点度为k 的概 率为p ( k ) ，p ( k ) k 表示分布函数。最近的研究表明，许多人工连接网络如w w w 等的度分布均遵循幂律，在双对数坐标系中，呈一条直线，斜率是特征指数。我们 把这样的网络称为无标度网络。 考虑单一音符的曲谱，音符是逐一被演奏的，而不是像和弦那样同时演