（应用数学专业论文）spherically+symmetric+solutions+to+compressible+hydrodynamic+flow+of+liquid+crystals+in+nd.pdf

目录 中文摘要1 a b s t r a c t 1 c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n ： c h a p t e ri i e x i s t e n c eo fl o c a ls t r o n gs o l u t i o n s 5 c h a p t e ri i i ap r i o r ie s t i m a t e su n i f o r mi nb 1 1 c h a p t e ri v p r o o f so ft h e o r e m1 1a n d1 2 2 5 b i b l i o g r a p h y 2 9 ljffif 摘要 l i i iiiii i i t11 1 11 1i iqlll 、t17 6 8 3 17 本文综合运用n a v i e r - s t o k e s 方程以及调和映照热流的相关研究技巧，讨论了初始密 度p o 0 的n ( n 2 ) 维可压缩液晶模型的球对称问题对于任意的，y 1 ，得到了有界 或无界的环形区域上的球对称强解的整体存在性 关键词：液晶；可压缩；局部解；全局解； a b s t r a c t u s i n gt h em e t h o d sa p p l i e di ns t u d y i n gt h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sa n dh a r m o n i c h e a tf l o w ，w ec o n s i d e rt h ee q u a t i o n sm o d e l i n gt h ec o m p r e s s i b l eh y d r o d y n a m i cf l o wo f l i q u i dc r y s t a l sw i t hr a d i a l l ys y m m e t r i ci n i t i a ld a t aa n dn o n - n e g a t i v ei n i t i a ld e n s i t yi n n ( n 2 ) d i m e n s i o n w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lr a d i a l l ys y m m e t r i cs t r o n gs o l u - t i o n si nab o u n d e do ru n b o u n d e da n n u l a rd o m a i nf o ra n y y 1 k e y w o r d s ：l i q u i dc r y s t a l ；c o m p r e s s i b l e ；l o c a ls o l u t i o n s ；g l o b a ls o l u t i o n s 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h end i m e n s i o n a li n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h e h y d r o d y n a m i cf l o we q u a t i o no fl i q u i dc r y s t a l s ： l 风+ d i v ( p u ) = 0 ， ( 胁瑚比哟u ) 们( ) ) = 山。讹( n - 咩m ( 1 j ) 【n t + ( u v ) n = o ( z x n + i v n l 2 n ) ， f o r ( z ，t ) f t ( 0 ，+ o o ) ，w h e r eq i sab o u n d e do ru n b o u n d e da n n u l u si nr ( 2 ) a n dt h eg i v e nd a t aa r er a d i a l l ys y m m e t r i c m o r ep r e c i s e l y , t h ed o m a i nf ta r eg i v e n b yq = x 舯：口 | x i 6 ) f o rs o m ec o n s t a n t sa , bw i t h0 0 ，a 0 ，p 0a r ev i s c o s i t yo f t h ef l u i d ，c o m p e t i t i o nb e t w e e nk i n e t i ca n dp o t e n t i a le n e r g y , a n dm i c r o s c o p i ce l a s t i c r e l a x a t i o nt i m er e s p e c t i v e l y p = r p y ，f o rs o m ec o n s t a n t s - y 1a n dr 0 ，i st h e p r e s s u r e f u n c t i o n a n duou = ( u i u # ) n n ，v nov n = ( n 乱) r t h em a i ng o a l so ft h i sp a p e ra r et op r o v et h eg l o b a le x i s t e n c eo fr a d i a l l ys y m - m e t r i cs o l u t i o n st ot h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 ) 一( 1 3 ) ，w h e r et h ei n i t i a l d a t as a t i s f i e st h en a t u r a lc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n 嬲f o l l o w s p a u o + v ( p ( 伽) ) + a 出口( v i l o 。v i l 0 一竖雩止厶) ：p 吾1g ， ( 1 4 ) 2 f o rs o m eg l 2 t h eh y d r o d y n a m i cf l o wo fc o m p r e s s i b l e ( o ri n c o m p r e s s i b l e ) l i q u i dc r y s t a l sw a s f i r s td e r i v e db ye r i c k s e n 1 】a n dl e s l i e 2 】i n1 9 6 0 s h o w e v e r ，i t sr i g o r o u sm a t h e - m a t i c a la n a 匆s i sw a sn o tt a k e np l a c eu n t i l1 9 9 0 s ，w h e nl i n 【3 】a n dl i n - l i u 【4 ，5 ，6 】 m a d es o m ev e r yi m p o r t a n tp r o g r e s st o w a r d st h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o n s a n dp a r t i a lr e g u l a r i t yo ft h ei n c o m p r e s s i b l eh y d r o d y n a m i cf l o we q u a t i o no fu q l l i d c r y s t a l s w h e nt h eo s s e n - f r a n ke n e r g yc o n f i g u r a t i o nf u n c t i o n a lr e d u c e st ot h ed i r i c h l e t e n e r g yf u n c t i o n a l t h eh y d r o d y n a m i cf l o we q u a t i o no fn q u i dc r y s t a l si nq cr nc a n b ew r i t t e na s ( 1 1 ) ( s e el i n 3 】) t h es p h e r i c a l l ys y m m e t r i cc a u c h ya n di n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e db yan u m b e ro fm a t h e m a t i c i a n si nt h el a s t d e c a d e s f o ri s o t h e r m a lf l o w s ，h o f f 【9 】p r o v e dt h eg l o b a le x i s t e n c eo fs p h e r i c a l l y s y m m e t r i cw e a ks o l u t i o n sp r o v i d e ds t r i c t l yp o s i t i v ei n i t i a ld e n s i t i e si na n n u l a rd o - m a i n s t h e nj i a n ga n dz h a n go b t a i n e di n 【1 0 g l o b a ls p h e r i c a l l ys y m m e t r i cs o l u t i o n s o ft h ec o m p r e s s i b l ei s e n t r o p i cn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sf o rt h ec a u c h yp r o b l e mf o r a n y y 1w i t hn o n - n e g a t i v ei n i t i a ld e n s i t i e s w e i g a n t 11 】c o n s t r u c t e dar a d i a l l y s y m m e t r i cs t r o n gs o l u t i o n ( p ，u ) i n ( 0 ，1 ) 如i nt h ec a s ea = 0 a n d1 - y 0 i p l ( o ，t ；l 1n h 2 ) ，m l ( o ，t ；h 1 ) ，p 0 ， u 工o 。( o ，t ；d 3n d 2 ) n l 2 ( o ，t ；d 3 ) ，u t l 2 ( o ，t ；d 3 ) ，、万u l ( o ，t ；l 2 ) ， v n l ( o ，t ；h 1 ) n l 2 ( o ，t ；h 2 ) ，m l c 。( o ，t ；l 2 ) n l 2 ( o ，t ；h 1 ) r e m a r k1 1i f , i na d d i t i o n s ，p o 饥q ，d rs o m ec o n s t a n t 0 ，t h e nt h er a d i a l l y s y m m e t r i cs o l u t i o nt o ( 1 1 ) - ( i 3 ) u n d e rt h eh y p o t h e s i sm e n t i o n e di nt h e o r o m 、a s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gr e g u l a r i t y p c ( ) 0 ，u 二( o ，t ；硪n h 2 ) ，u t l ( o ，t ；l 2 ) n 三2 ( o ，t ；h 1 ) s i n c et h ec o n s t a n tra n dp ，入，0i n ( 1 1 ) d o n tp l a ya n yr o l ei nt h ea n a l y s i s ，w e a s s u m eh e n c e f o r t ht h a t “= 入= 0 = r = 1 2e x i s t e n c eo fl o c a ls t r o n gs o l u t i o n s i nt h i ss e c t i o n w ee m p l o yt h es c h a u d e r 矗) 【e dp o i n tt h e o r e mt op r o v et h a tt h e r e e x i s t sau n i q u es h o r tt i m es t r o n gs o l u t i o nt o ( 1 5 ) 一( 1 7 ) w h e np 0h a sap o s i t i v el o w e r b o u n d w eo n l yc o n s i d e rt h ec a s e0 a b 0 ， ( 2 6 ) w h e r e ( 盯，m ) a r ek n o w ns m o o t hf u n c t i o n sw h i c hs a t i d f i e st h eb o u n d a r yc o n d i t i o n v ( a ，亡) = v ( b ，t ) = 0f o rt 0 ，a n di 珥( 口，t ) = 珥( 6 ，t ) = 0 ，w h i l e 仃( 0 ) 百1 a m 0 o n a ，6 】n o ww et u r nt op r o v et h el o c a le x i s t e n c eo fas t r o n gs o l u t i o nt o ( 2 1 ) 一( 2 3 ) d e f i n e r t 兰 ( 口，m ) l 口l ( o ，t + ；础，n 研) n l 2 ( o ，t 。；聊) ， 仇l ( o ，t + ；工；) n 三2 ( o ，t + ； h 0 1 t ) ， m l ( o ，t ；职) nl 2 ( o ，r ；砩) ， m t l 2 ( o ，t ；研) i 1 l ( o ，p ；霹) i ，n 琊+ i l 仇| | 羔；+ o ( i 岛+ i | 饥| | ) 研， i l m l l + i l m t l l 乙+ o ( 1 l m l l + l i r a t i i 巍) k 2 ， v ( r ，0 ) = 咖( r ) ，m ( r ，0 ) = n 0 ( r ) ，r 【n ，6 】) 6 w h e r ek 1 ，k 2a n dt 木w i l lb ed e c i d e dl a t e r i nt h i ss e c t i o n ，w ed e n o t eb ycag e n e r i c c o n s t a n td e p e n d so n l yo nn ，b ，c o ，ta n dt h en o r i n so ft h ei n i t i a ld a t a t h ee x i s t e n c eo ft h eu n i q u es t r o n gs o l u t i o no ft h eh y p e r b o l i ce q u a t i o n ( 2 4 ) 1 h a sb e e nw e l lk n o w n 。m o r e o v e r ，t h es o l u t i o n 仃s a t i s f i e st h ef o l l o w i n ge s t i m a t e ，s e e r e f e r e n c e 【1 4 ： s u p ( i l 盯( t ) 0 日；- 1 - j 百互| i 吼 ) | 1 日j + i l 口 ) 一1 i i 工* ) c e x p ( c k i t ) ( 2 7 ) 0 t 0 s u f f i c i e n t l ys m a l ls u c ht h a tt + 乃= 去，t h e nw eg e t e x p ( c k l ( t ) 壹) d f u r t h e r m o r e ，w ec a ng e tt h es i m i l a re s t i m a t e sa b o u tp t h e nb yt h et h e o r yo f p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h eu n i q u es o l u t i o n s ( u ，n ) c o n s i d e r t h em a p 西d e f i n e di nr t i nt h i sw a y ： 圣：( t ，m ) h ( 缸，n ) n o ww et u r nt op r o v et h ee s t i m a t e sf o r 缸a n dn m u l t i p l y i n g ( 2 4 ) 3b yn ，u s i n gt h ef a c ti 脚1 2 k 2a n dl n o l = 1 ，a n dm a x i m u m p r i n c i p a l ，w eh a v e n 1 2se x p ( k 2 t 。) t a k i n gt + s u f f i c i e n t l ys m a l ls u c ht h a tt + t 2 = m 埘乃，击) ，w eh a v e m u l i p l y i n g ( 2 4 ) 3b yn r r ，w eg e t 丢旦d tz 6j m l 2 + z 6i 脚，1 2 = a a b y ( 三z 6 丢厂6 j a n isd 珥蛳) 一z 6 2 ( n 懈) 一z 6 - n r m 蛳 阶l + c ( 1 l 训蛩+ 万m 2 ) z 6i 珥1 2 + c i i n i | 色z 6 4 d i i l r ，1 2 + c ( g l + 1 ) i m | 2 + c 磺 u 口 t h e ni n t e g r a t i n go v e r ( 0 ，t ) ( 0 ，t + ) ，w eo b t a i n b i n r l 2 + o 。z 6 蚶z 6 i 甜i + z o t c ( 跹+ 1 ) z 6 2 + c k t 7 a c c o r d i n gt ot h eg r o n w a l l si n e q u a l i t y , 卜j 2 + o t + z 6 酬2 z 6l n o r l 2 + c k 2 t * + c ( 1 + 虬) r ( z 6 i i l o r l 2 + c 磺p ) 唧( ( 1 + 甄) r ) g w h e r ew eh a v ec h 。o s nt s u f f i c i e n t l ys m a l l ，s u c ht h a tt + t 32 m j n 【死，丽1 ，南) n e x t ，d i f f e r e n t i a t i n g ( 2 4 ) 3w i t hr e s p e c tt or ，m u l t i p l y i n gt h er e s u l t i n ge q u a t i o n b y 脚r r a n dt h e ni n t e g r a t i n go v e r ( a ，6 ) ，w eo b t i a n 三丢z 6 i 珥，1 2 + z 6 l 珥 i ” = z 6 - 蚧，) + z 6 钞( m r 珥一一2 2 6 ( 脚嘶r ) ( n 珥竹) 一z 6 蝴珥酬+ z 6 筹( 珥) + z 6 等( 跏酬 三6i i l r 一2 + c ( | 珥i i 乏。z 6 口；+ i i 训i 羔。z 6i 珥r 1 2 + 恤幢。l i m 川兰。z 6i m 一2 刊酬芝。z 6i 珥1 4 + 筹z 6 叫2 + 万m 2z 6 l n 廿) 三z 6i n r r r l 2 + c ( 甄+ 研+ 1 ) 6 l 跏1 2 + c ( 磺+ 1 ) i n t e g r a t i n go v e r ( 0 ，t ) 互( 0 ，t 。) ，w eg e t z 6 | n r r l 2 + o z 6i m 1 2 z 6i n 晰1 2 + z 。c + 磁+ 1 ) z 6 i 珥r 1 2 + c ( 磺+ 1 ) t t h e nb 移g r o n w a l l si n e q u a l i t y , w eh a v e z 6l i l r r l 2 + o pz 6 l z h l 2 b l n 刊2 + c ( 磺+ 1 ) p + c + 磺+ 1 ) r ( i 阶1 2 + ( 磁+ 1 ) t 。) e x p ( ( 甄+ 碹+ 1 ) t ) 。，n n d 口一互1 = 石1 + p ， w h e r ep 0 ，0 b l ，q 一，p 一；1a n d = b a + ( 1 6 ) n f o r0 t + o o ，l e t ( p ，u ，n ) ：q 【0 ，t ) 一 0 ，o 。) r s 2b et h es t r o n g s o l u t i o n so b t a i n e db yt h e o r e m2 1 t h ef i r s te s t i m a t ew eh a v ei st h ee n e r g ye q u a l i t y p c 譬+ 鲁埘学m ， + z p + m u 2 + a b r m b 制2 n 1 2 + m 譬) = p c 学+ 伽+ 鲁+ 学 簿1 ， p r o o f m u l t i p l y i n g ( 2 i ) 2b yu a n di n t e g r a t i n gt h er e s u l t i n ge q u a t i o no v e r ( a ，6 ) ，w e g e t 斯以譬+ 鲁) + ，z 。a b r m ( 谛+ m u 2 ) - - z a b r m u ( 珥训一m j ( a b r m - l u 衅 ( 3 2 ) m u l t i p l y i n g ( 1 5 ) 3b yr m ( i l r r + i n r l 2 n ) a n di n t e g r a t i n gi to v e r ( a ，6 ) ，w eo b t a i n m z a b r m - 1 ( k z b ) 一：id b r m i z b l 2 + j ( a b r m u ( n r n r r ) = z 6 一i 珥r + j 珥2 一掣，：。a b r m - 2 j n rj 2 ( 3 3 ) w h e r ew eh a v eu s e dt h ef a c tt h a ti n i = 1t og e t ( n t + 让n r ) n r l 2 n = 0 ，7 m i l r i n r l 2 n = o m u l t i p l y i n g ( 1 5 ) 3b ym t m - - 1 n r ，w eg e t m z a b r m - 1 ( n t m ) = m z 6r m _ 1 u i n r l 2 + m ( m 2 - 1 ) - ，f n b r m - 2 l 珥1 2 二m 2 z a br m - 2 i 珥1 2 ( 3 4 ) c o m b i n i n gf 3 3 1a n df 3 4 1 w eh a v e 仇z 6r m - 1 u i n 斤一m a b r m - 2 i 珥1 2 = p i 姊制n 1 2 一三丢z 6 n r l 2 r m + z a b r m u c n r 蛳， ( 3 5 ) i tf o l l o w sf r o m ( 3 2 ) a n d ( 3 5 ) t h a t 爰z 6 ，( 譬+ 两p y + 学) + ，a br m ( u ；+ m u 2 仆州帅| 2 + m 譬) _ o f i n a l l y , w eg e t ( 3 1 ) f r o mc o n s e r v a t i o no fm a s s 口 l e m m a3 2f o ra n y0 t t ，i th o l d s z 。z 6 一( i n r r l 2 + i n t l 2 ) 岛， 0 r8 0 m e 既d e p e n d i n go n l yo na ta n de o ，w h e r e 耻z 6 ( 学+ 鲁+ 冈+ i ( n 0 ) 斤矿 d e n o t e st h et o t a le n e r g yo t h ei n i t i a ld a t a p r o o f b yp r o p o s i t i o n3 1 ，w eh a v e r m 峨4 t i l l r 罟n ，恻庐叫垤 s i n c ef n i = l ，t h i si m p l i e s ( 3 6 ) ：abr m l n 一2 = z 6 叫跏+ m 2 n | 2 + r m l 珥1 4 s 丢z 6 r m j n ，r 1 2 + b r t mj n + i n r l 2 n 1 2 + a ( z 6 r m i n ，1 2 ) 3 h e n c e ：a b r m n r 斤z a b r mj z h + j n 斤n 1 2 十q ( z 6 r m i 珥1 2 ) 3 t h i s ，c o m b i n e dw i t h ( 3 1 ) a n d ( 1 5 ) z ，y i e l d s ( 3 6 ) t h ep r o o fo ft h el e m m ai s c o m p l e t e 口 i no r d e rt od e r i v ef u r t h e re s t i m a t e s ，w eo u t l i n et h ef o l l o w i n gs o b o l e v i n e q u a l i t i e s f o rr a d i a l l ys y m m e t r i cf u n c t i o n s ( s e e 1 2 ) ： j 一 鲴b州p2-k-霹)，llu。c1(n)zabrmipfl兰c-llpllm l u l l 至c i ( n ( 谚+ m 筹) j 。a 7 m (霹) ， 。 ( 谚+ m 兰) ， | i i l r l l 艺。c l l l n , - i i m q r m ( i n ，1 2 + i n r ，1 2 ) t op r o v et h es e c o n do i l e ，w em a k el l s eo ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o nu ( a ，t ) = 0a n dg e t i u i r m = iz r ( 让s m ) 。幽i = iz ( u 。+ m 詈) s m d s i ( 小s + m m 幽) 5 ( ( 而, r m + 1 ) 一( 藉) ) 2 ( 小2 耐砂u 2 户焉 t h e nw eo b t a i nt h es e c o n di n e q u a l i t y 1 3 j 。e i i l m a5 a d r 口n yus c 1 ，l c 尼d d s p 蚶+ f o 。z 6 州酬2 + k 1 2 ) 鲰 ( 3 7 ) o r8 0 m e 岛d e p e n d i n go n l yo na ，t ，n ，e oa n di i ( 1 1 0 ) ”i i 工2 p r o o f d i f f e r e n t i a t i n g ( 1 5 ) 3w i t hr e s p e c tt or ，m u l t i p l y i n gt h er e s u l t i n ge q u a t i o n b yr m n r t ，a n di n t e g r a t i n gi to v e r ( o ，6 ) ，w eh a v e z 6r m i n n l 2 + 1 2d d t ，f 。br m i n 1 2 = b r m ( n r j 2 ( 珥) + 2 ( 珥n r ，) ( n 翰) ) 一z a b r m u r ( 脚珥t ) 一z a br m u ( 阶叫一mz 6 一珥蝴) 丢z 6 叫酬2 + c ，f b r m ( 1 n ，m 1 2 l 珥，1 2 + u 1 2 + u 2 k 1 2 + 譬) 三z 6 r m i 珥铲+ c i b r m l 珥1 6 + 口。珥幢。z 6 r r n u ； ，d + a ( 1 l n r i i 羔。+ | i u i l 羔。) r m ( 1 n ”1 2 + 1 ) ，o 搿叫酬2 删，( 1 + ：a b r r n 卅+ z a b r m 侔2 + m 箬，) p c 酬2 删， w h e r ew eh a v eu s e dp r o p o s i t i o n3 1 ： r 等珥i b 0 ，i th o l d s p l l n = ( n x ( o ，t ) ) 伤 f o rs o m e 仍d e p e n d i n go ni i p o l l l = o ，a n dt h ep a r a m e t e r so fc 2 ( 3 8 ) p r o o f t h i sp r o o fi sq u i e ts i m i l a rw i t ht h et h ed i s c u s s i o ns h o w nb yc h o ea n dk i m i n 【1 2 w eu s et h el a g r a n g i a nv a r i a b l e sa g a i n ，( 1 5 ) t r a n s f e ra sf o l l o w s ： 仨篓格附；( r 2 m p 加2 n y 纠 2 ) 篡y 严圳蚶， ( 3 9 ) n o ww eh a v eo n l yt os h o wt h a tp cf o r0 t ta n d0 y y = b r m 册p ) t ob e g i nw i t h ，w eo b s e r v ef r o m ( 3 9 ) t h a t ( 1 0 9 p ) 叩= ( 告) 可= 一( p ( r m u ) 可y - - - - _ r - m u ，- - 乃一三( r 2 m p 2 i j 2 ) 可一m r m - l p i 1 2 = 一r - m u ) r r m - - - 斋u 2 - - 乃一三( r 2 m 矿m 2 ) 掣一m r n - l p l n 冒1 2 t h e ni n t e g r a t i n go v e r ( 0 ，t ) x ( 0 ，) ，w ed e d u c et h a t f 凹黼= z 器+ o y 一乱0 ) ) 叶一讹丁舯名+ 0 7 。( p ( 0 s ) 叫舭) ) d s 一0 下0 掣( 石m 丽了u 2 +