（电路与系统专业论文）自适应判决反馈均衡器动态长度算法研究.pdf

中文摘要 自适应滤波是利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻 的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最 优滤波。这种技术可用于自适应预测、自适应干扰对消、自适应系统辨识等，在 通信、雷达、生物医学等领域得到了广泛的应用。 线性自适应滤波器计算复杂度低，稳定性强，其性能主要依赖于滤波器的长 度。目前关于线性滤波器可变长度算法的研究比较成熟，主要有s g d l a ( 片段 动态长度算法) ，g d d l a ( 梯度下降动态长度算法) ，f l d l a ( 分数长度动态 长度算法) 和v t - d l a ( 可变阈值动态长度算法) 。其中v t - d l a 是对各种算法 的通用解释，通过参数的设定v t - d l a 算法可以在其它各种算法问进行转化。 判决反馈均衡器是一种普遍应用的非线性滤波器，其性能要优于线性滤波 器，其结构也较为复杂。判决反馈均衡器的性能强烈依赖于三个结构参数：前馈 长度、反馈长度和判决延迟。由于三个参数对滤波器性能的影响并不相互独立， 三维地调节目前尚不能实现，解决的途径是合理得选择三个参数的调整顺序来降 低调整的维度和复杂度。本文中根据横向滤波器与判决反馈均衡器的互通性，将 在横向滤波器中得到的关于判决延迟的结论应用于判决反馈均衡器，首先设定了 判决延迟的取值区间，将三维的问题转化为二维。然后根据前馈长度与反馈长度 在调整方向、调整幅度上的一致性对两者进行同时同相同幅度调整，进一步将二 维问题降低为一维进行处理。在这种算法下，前馈长度与反馈长度均能收敛到理 想的长度，并且具有良好的误差性能。 关键词：自适应滤波动态长度算法判决反馈均衡器结构参数顺序调整 a b s t r a c t i na d a p t i v ef i l t e r i n g ，t h ef i l t e rp a r a m e t e r so b t a i n e di np r e c e d i n gt i m ea leu s e dt o a d j u s tt h ef i l t e rp a r a m e t e r sa tp r e s e n ta d a p t i v e l y t h ea d j u s t m e n t c a na d a p tt h e u n k n o w no rt i m e v a r y i n gs t a t i s t i c a lp r o p e r t yo ft h es i g n a la n dt h en o i s e ，a n dr e a l i z e t h eo p t i m a lf i l t e r i n g t h i st e c h n o l o g yi su s e di na d a p t i v ep r e d i c t i o n , t h ea d a p t i v e i n t e r f e r e n c ec a n c e l i n g ，t h ea d a p t i v es y s t e mi d e n t i f i c a t i o na n ds oo n i ta l s ow i d e l y u s e di nd o m a i n so ft e l e c o m m u n i c a t i o n ，r a d a ra n db i o m e d i c i n e l i n e a ra d a p t i v ef i l t e rh a sl o wc o m p u t a t i o nc o m p l e x i t ya n ds t r o n gs t a b i l i t y , a n d i t sp e r f o r m a n c ed e p e n dl a r g e l y0 1 1t h el e n g t ho ft h ef i l t e r c u r r e n t l y , t h er e s e a r c ho n t h ed y n a m i cl e n g t ha l g o r i t h mo fl i n e a ra d a p t i v ef i l t e ri sq u i t em a t u r e ，t h em a i ns e v e r a l a l g o r i t h m sa r es g d l a ( s e g m e n td y n a m i cl e n g t ha l g o r i t h m ) ，g d d l a ( g r a d i e n t d e s c e n td y n a m i cl e n g t ha l g o r i t h m ) ，f l - d l a ( f r a c t i o n a ll e n g t hd y n a m i cl e n g t h a l g o r i t h m ) ，v t - d l a ( v a r y i n gt h r e s h o l dd y n a m i cl e n g t ha l g o r i t h m ) 。v t - d l ag i v e s ag e n e r a le x p l a n a t i o nt oa l lt h ed y n a m i cl e n g t ha l g o r i t h m s ，b ys e t t i n gt h ep a r a m e t e r s i nv t - d l a ，i tc a nb et r a n s l a t e di n t oo t h e ra l g o r i t h m s t h ed e c i s i o nf e e d b a c ke q u a l i z e ri so n ek i n do fu n i v e r s a la p p l i c a t i o nn o n l i n e a r f i l t e r , i t sp e r f o r m a n c em u s ts u r p a s st h el i n e a rf i l t e r , i t ss t r u c t u r ei sa l s om o r ec o m p l e x t h ed e c i s i o nf e e d b a c ke q u a l i z e r sp e r f o r m a n c er e l i e so nt h r e es t r u c t u r a lp a r a m e t e r s ： f e e d f o r w a r df i l t e rl e n g t h ，t h ef e e d b a c kf i l t e rl e n g t ha n dt h ed e c i s i o nd e l a y a st h e i n f l u e n c e so ft h et h r e ep a r a m e t e r so nt h ef i l t e rp e r f o r m a n c ea r en o ti n d e p e n d e n t ，t h r e e d i m e n s i o n a la d j u s tc a nn o tb ea c h i e v e da tp r e s e n t o n er e a s o n a b l es o l u t i o ni st o c h o o s eas u i t a b l ea d j u s t m e n to r d e ro ft h et h r e ep a r a m e t e r s f i r s t ，a c c o r d i n gt ot h e s i m i l a r i t yb e t w e e nl i n e a rf i l t e ra n df e e d b a c kf i l t e r , ar a n g eo ft h ed e c i s i o nd e l a yi ss e t ， a n dt h et h r e e - d i m e n s i o n a lp r o b l e mi st r a n s f o r m e dt ot h et w o d i m e n s i o n a lp r o b l e m t h e na c c o r d i n gt ot h ec o n s i s t e n c yb e t w e e nf e e df o r w a r df i l t e rl e n g t ha n df e e d b a c k f i l t e rl e n g t ho nt h ea d j u s td i r e c t i o na n da m p l i t u d e ，a d j u s tt h et w op a r a m e t e r s s i m u l t a n e o u s l y t h et w o - d i m e n s i o n a lp r o b l e mi sf u r t h e rr e d u c e dt oo n e - d i m e n s i o n a l t r e a t m e n t i nt h i sm e t h o d ，t h ef e e d f o r w a r dl e n g t ha n dt h el e n g t ho ff e e d b a c kc a n c o n v e r g et ot h ei d e a ll e n g t ha n dh a sag o o de l r o rp e r f o r m a n c e k e y w o r d s ：a d a p t i v ef i l t e r i n g ，d y n a m i cl e n g t ha l g o r i t h m ，s t r u c t u r a lp a r a m e t e r , o r d i n a la d j u s t m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞苤堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：b 袈签字日期：山。驴年莎月年日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：托震 导师签名： 却以 签字日期：文苫年多月妒r 签字同期：埘年舌月易日 第一章绪论 1 1 课题的提出 第一章绪论 自适应滤波器是用来从接收信号中提取有用信息的一种系统，它的统计特性 可以随着接收信号统计特性的变化而变化。自适应滤波器广泛应用于通信、雷达、 地震、生物医学和金融工程等领域。衡量滤波器性能指标主要有：1 收敛速率， 2 跟踪速率，3 稳定性，4 计算复杂度，5 最小均方误差性能等。滤波器的长度是 滤波器的一个重要参数并且会对上述各项指标产生强烈的影响。然而直到现在， 有关滤波器长度的研究并没有引起足够的重视，关于此领域的研究成果甚少。 p i t z k e r 在19 9 1 年首次提出了一种基于最小均方误差算法( l m s ) 的可变长 度的线性滤波器【1 j 。在这篇文献中，使用l m s 算法的自适应线性滤波器的初始 长度很小，随着线性滤波器逐渐趋于稳态，它的长度也逐渐增加。在随后的文献 2 3 3 3 中也提出了相似的算法。然而这几种算法的目的是通过调整线性滤波器的 长度来加快收敛速度，而不是设法调整线性滤波器以达到最优长度。此处最优是 综合收敛速率、计算复杂度、稳定性、最小均方误差性能等各项指标在内的最优。 并且这几类算法只能增加滤波器的长度而不能减小滤波器的长度。因此，上述几 种算法没有引起广泛的重视。 近来，不同的研究机构分别提出了三种基于最小均方误差准则的可变长度的 线性滤波器，它们都是通过比较线性滤波器输出的累计瞬时均方误差( 瞬时均方 误差在一定时间范围内的和) 来调整滤波器的长度。这三种算法分别为： s g d l a t 4 ( s e g m e n td y n a m i cl e n g t ha g o r i t h m ) ，g d d l a 5 】( g r a d i e n td e s c e n t d y n a m i cl e n g t ha g o r i t h m ) ，和f l d l a t 6 】【7 】【8 】( f r a c t i o n a ll e n g t hd y n a m i cl e n g t h a g o r i t h m ) 。随后，文献 9 中将所有的动态长度算法分成比率模型与差分模型两 类并且对每一类都给出了通用方程。通过调整通用方程的部分参数可以在上述几 种算法间相互转换。在通用方程的基础上提出了v t - d l a ( v a r y i n gt h r e s h o l d d y n a m i cl e n g t ha g o r i t h m ) 。无论滤波器的初始长度为多少，这几种算法均能使 滤波器收敛到最佳长度，只是在不同指标下的表现略有不同。 自适应滤波器可以分为线性自适应滤波器和非线性自适应滤波器。线性滤波 器的优点在于稳定性强，易于实现并且计算的复杂度低，但它的性能一般要比非 线性自适应滤波器的性能差。对于经过深度衰落的接收信号而言，线性滤波器仅 具有有限的抵抗深度频率衰落的能力，因此，它只能部分地消除由深度频率衰落 第一章绪论 引起的码间干扰。此时，需要非线性自适应滤波器来代替线性自适应滤波器。判 决反馈均衡器( d f e ) 是一种被普遍应用的非线性自适应滤波器，在理想情况下， 它能够提供比线性自适应滤波器更好的抗衰落能力【1 o 】1 1 1 】。 判决反馈均衡器的性能也强烈地依赖于它的长度，包括前馈滤波器长度，反 馈滤波器长度。判决延迟的大小也是滤波器性能的一个重要影响因素。目前，对 于前馈长度可以由上述针对线性自适应滤波器提出的可变长度算法来确定。反馈 的长度一般设定为信道的长度，但此种设定并非最优。在特定的信道模型下，判 决反馈均衡器的误码率随反馈长度的增加而降低，但降低的幅度逐渐减小。如何 确定反馈的最佳长度仍然是悬而未决的问题。 1 2 拟解决问题及设计方案 d f e 的基本结构包括前馈滤波器( f f f ) ，反馈滤波器( f b f ) 和一个无记忆 的判决器( d e c i s i o nd e v i c e ) ，这就决定了影响d f e 性能的结构参数为f f f 的长 度n ，f b f 的长度m 和判决延迟。理想的d f e 具有无限的长度【1 2 】，在实际 中，为了降低计算的复杂度，提高稳定性，同时满足自适应性的要求经常采用的 是有限长度的d f e 。这就带来一个问题：如何调整这三个结构参数以最大地发 挥d f e 的性能。这三个参数各自对均衡器性能的影响已经得到了广泛深入的研 究，例如在 和固定的前提下，可以通过自适应长度算法s g d l a 、g d d l a 等来寻找最优的，。显然这种调整只能达到局部的最优。单独调整m 或也会 有同样的缺点。在文献 1 3 中证明：对所有可能的，、。和，存在一组最优 值使得d f e 性能达到整体最优。 围绕判决反馈均衡器最优化这一核心问题，本课题着重从以下几个方面入 手： 1 判决反馈均衡器三个结构参数分别对滤波器的性能有哪些影响； 2 三个结构参数之间存在什么关系； 3 如何确定三个参数调整的先后顺序； 4 设计一种能够根据信道状况自动调节前馈长度和反馈长度的联合算法； 本课题以自适应信号处理理论为基础，通过对已有的滤波器动态长度算法进 行仿真，比较各类算法的优缺点，并加以总结和改进。在理论上对新算法的可行 性进行分析，并通过仿真考察算法的实际效果。 2 第一章绪论 1 3 课题的研究意义 1 在理论上揭示了判决反馈滤波器三个结构参数对其性能的影响，为设计判 决反馈滤波器提供理论依据。 2 通过寻找三个结构参数之间的内在关系，确定合理的调整顺序，有效解决 三维调整难于实现的问题。 3 提供联合调整前馈长度、反馈长度的动态长度算法，可以应用到所有应用 判决反馈均衡器的场合。 第二章自适应滤波器原理与分类 第二章自适应滤波器原理与分类 2 1 自适应滤波器原理 所谓自适应滤波，就是利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调 节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从 而实现最优滤波。 所谓“最优”是以一定的准则来衡量的，最常用的两种准则是最小均方误差 ( m i n i m u mm e a n s q u a r ee r r o r , m m s e ) 准则，和最小二乘( 1 e a s ts q u a r e ，l s ) 准则。 最小均方误差是使误差的均方值最小，而最小二乘准则是是误差的平方和最小。 对信号处理而言，信号滤波是其共同的特点，以便从观测信号中提取需要的 信息。自适应滤波器有自我调整的能力，它的最大特点是时变性和自调整性。调 整的目的是为了达到最优或保持接近最优，也就是使滤波器输出中的噪声效应在 某种准则下达到最小。 实际中广泛应用的是线性自适应滤波器。需要注意的是，自适应的调整过程 是时变的和非线性的。但是，当调整过程结束，自动调整不在进行的时候，如果 自适应滤波器为线性系统则称之为线性自适应滤波器，反之则称之为非线性自适 应滤波器。自适应滤波器的主要性能指标是收敛速率、稳定性、计算的复杂度等。 2 2 滤波器的组成分类与结构 自适应滤波器由数字结构、自适应处理器和自适应算法三部分组成。数字结 构是指自适应滤波器中各个部分之间的联系。自适应处理器就是通常所说的 f i r 、i i r 部分，与其不同的是，自适应处理器的参数是可变的。自适应算法则 是用来控制处理器参数的变化。 自适应滤波器可以从不同的角度进行分类，按其数字结构可以分为开环自适 应滤波器和闭环自适应滤波器；按其自适应处理器可以分为非递归自适应滤波器 和递归自适应滤波器；按其自适应算法可以分为l m s 自适应滤波器和r l s 自适 应滤波器等等。 4 第二章自适应滤波器原理与分类 2 2 1 按数字结构分类 自适应滤波器按其数字结构可分为开环自适应滤波器和闭环自适应滤波器， 它们的结构分别如图2 1 和图2 - 2 所示。 图2 - 1 开环自适应滤波器 在开环自适应滤波器中，参考信号含有自适应系统所处环境的信息，系统通 过对输入信号或环境特性进行测量，用测量得到的信息对数字滤波器的参数进行 调整。 输 图2 2 闭环自适应滤波器 在闭环自适应滤波器中，是将滤波器的输出信号与参考信号( 期望信号) 进 行比较以产生误差信号，自适应算法则是根据此误差信号控制滤波器参数的变 化，使它的输出能尽可能接近参考信号。实际中应用较多的是闭环自适应滤波器。 2 2 2 按自适应处理器分类 自适应滤波器按其处理器可分为非递归自适应滤波器和递归自适应滤波器。 在非递归自适应滤波器中，自适应处理器没有反馈回路，是f i r 数字滤波器。而 判决反馈滤波器则含有反馈回路是典型的递归自适应滤波器。非递归自适应滤波 第二章自适应滤波器原理与分类 器的分析和实现比较简单，在大多数自适应信号处理系统中得到广泛的应用。假 定用h ( 甩) 来表示非递归自适应滤波器的输入信号矢量，那么根据向量h ( 刀) 的 组成，又可以分为多输入和单输入两种情况。 多输入情况下，滤波器的输入序列是一个空间序列，相当于并行输入。如下 图2 3 所示，向量j ( n ) 的元素是由同一时刻的一组取样值构成的，表示为 x ( 甩) = k ( 甩) x a ( n ) x u q ( ，z ) 2 例如，某时刻天线阵列接收到的来自不同信号源的信号。 图2 3 多输入自适应滤波器 单输入情况下，滤波器的输入序列是一个时间序列，相当于串行输入，如下 图2 - 4 所示，向量h ( 刀) 的元素由同一信号在不同时刻的取样值构成，表示为： x ( 玎) = x ( ，z ) x ( 刀一1 ) x ( n - + 1 ) r 例如，自适应线性预测器，它是用信号序列的过去值预测信号的现在值或将来值。 图2 4 单输入自适应滤波器 6 第二章自适应滤波器原理与分类 2 3 自适应滤波器应用举例 2 3 1 自适应预测 在p 阶a r 模型中，如果在白噪声w ( n ) 的激励下模型的输出为z ( 刀) ，则模型 输入输出关系的时域表达式为 x ( ，z ) + 卵x o - i ) - - - g w ( ，z ) ( 2 - 1 ) f = l 我们从预测的角度来建立x ( 刀) 的表达式 x ( ，z ) = 一卵石( 刀一f ) + g w ( 刀) ( 2 - 2 ) f 篁i 上式可以解释：用力时刻之前p 个观测值的线性组合一艺甜x 0 一f ) 来预测以时 刻的值x ( n ) ，预测误差为g w ( n ) 。 令，预测误差为p ( n ) ，有 p p ( ，z ) = g w ( 刀) = x ( ，z ) + 卵x ( n - i ) ( 2 - 3 ) j = l 在最小均方误差准则下，通过自适应算法调节预测器的系数口，( i = l 2 ，p ) 使 预测误差的功率e 2 ( n ) 最小。此时，预测器的系数口，就是a r 模型的参数仅t 。 图2 5自适应预测误差滤波器 自适应预测的应用非常广泛，例如a d p c m 语音编码。a d p c m 是指自适应 差分脉码调制。通过自适应预测，根据过去时刻的语音样值，得到对现时刻语音 样值x ( n ) 的估计量( 刀) ，然后对预测误差8 ( 刀) = x ( 行) 一圣( 刀) 进行量化编码。因为p ( 力) 的 动态范围比x ( 刀) 的动态范围小的多，在同样比特率下可以减小量化误差，同样量 7 第二章自适应滤波器原理与分类 化误差下可以降低比特率。自适应预测技术还可以应用到谱估计、信号白化方面。 2 3 2 自适应干扰对消 在路边的公用电话亭打电话时，人讲话的有用信号为s ( 疗) ，但同时送入话筒 的还有街上的喧闹声以及各种交通工具发出的声音。将各种干扰噪声的总和用 v ( 刀) 表示，则同时送入话筒的信号为工( 刀) = j ( 刀) + v ( ) 。通过自适应干扰对消，能 够使接听者感觉到的干扰噪声最弱。 为达到干扰对消的目的，在信号j ( 以) 所在的环境中安放一采集器采集背景噪 声v ( 力) 。一般情况下，v 7 ( 甩) 与v ( 胛) 由于来自同一环境下，因而是相关的。而有用 信号s ( 行) 与它们都不相关。图中的自适应处理器用于将v ( 疗) 加工成移( 刀) ，加工时 所依据的准则就是在均方误差最小的意义下使得矿( 摊) 最好的逼近v ( 野1 。 石g ) = s g ) + v g ) 图2 - 6自适应干扰对消滤波器 根据上图有 e ( n ) = s ( ，z ) + v ( 忍) 一( 以) ( 2 4 ) e p 2 ( 甩) = s i s 2 ( ，z ) + e v ( 胛) 一移( ，z ) 2 + 2 e j ( 刀) v ( 船) 一移7 ( 胛) ) ( 2 5 ) 因为信号与噪声不相关，所以上式可以简化为 e 2 ( ，z ) = e s 2 ( ，z ) + e v ( 咒) 一移( 刀) ) ( 2 6 ) 等式右边第一项为信号功率，与自适应调整无关。要使均方误差最小，就是 使e v ( n ) 一( n ) ) 最小。根据( 2 - 4 ) 式，有 p ( 聆) 一s ( ，z ) = 1 ，( 胛) 一伊( ，z ) ( 2 - 7 ) 在理想情况下，自适应处理器将v ( 即) 加工成伊( 以) = v ( 胛) ，则有g ( ”) = j ( 珂) ，信 号中的噪声v ( 以) 完全被( 订) 抵消。 第二章自适应滤波器原理与分类 自适应干扰对消的应用非常广泛，例如听胎儿的心音，此时母亲腹腔内的各 种声音都是噪声，从母亲腹部偏离胎儿心跳的位置取得背景噪声作为辅助输入， 利用自适应干扰对消，可以得到胎儿心音的最佳估计。 2 3 3 自适应系统辨识 一个物理系统，如果不知道它的内部结构，只知道它的输入和相应的输出， 一般将其看作一个“黑匣子”。系统模拟和辨识的目的就是要通过对输入信号和 相应输出信号的分析或测试，求得系统的传递函数。 用自适应滤波器模拟未知系统，并通过自适应算法调整其参数，使它在与未 知系统有相同激励的情况下，其输出与未知系统输出之间的误差满足最小均方误 差准则。如下图 图2 7 自适应系统辨识 图中v ( 胛) 是未知系统本身的加性噪声，我们希望自适应滤波器的输出中不要 含有对噪声的估计，亦即自适应滤波器不要模拟未知系统的噪声特征。假定实际 系统的输出为 d ( n ) - - - 0 2 x ( n ) + o 8 x ( ，z 一1 ) + v ( 刀) ( 2 - 8 ) 只要噪声与输入信号不相关，所设计的等效数学模型的输出中将不会含有对 噪声的估计。也就是说，自适应滤波器能排除噪声的干扰，收敛于正确的系统参 数0 2 和o 8 【1 4 】 1 5 】。 2 4 本章小结 本章简单介绍了自适应滤波器的基本原理与组成结构，并在滤波器数字结 构、自适应处理器和自适应算法三个方面对自适应滤波器进行了分类。介绍了自 适应滤波器在自适应预测、自适应干扰对消、自适应系统辨识等方面的应用。 9 第三章自适应滤波器算法 3 1 维纳滤波器 第三章自适应滤波器算法 设为s ( n ) 某一平稳随机过程的一个采样序列，并假设该随机过程的自相关函 数或功率谱是已知的或能够由s ( 拜) 估计得到。在传输或测量苫( 以) 时，由于存在信 道噪声或测量噪声v ( 胛) ，使得接收的数据z ( 刀) 与s ( 甩) 不同，如果噪声是加性的， 则x ( 刀) = s 伽) + v ( 甩) 。为了从中工( 以) 提取或恢复原始信号s ( 刀) ，需要设计一个滤波 器对工( 行) 进行滤波，使滤波器的输出y ( 以) 尽可能的逼近s ( 以) ，成为s ( 以) 的最佳估 计| ；( h ) ，这种滤波器称为最佳滤波器。 维纳滤波器就是最小均方误差准则下的最佳滤波器。不同于自适应滤波器的 是，它的参数是固定的，只适用于二阶统计特性不随时间变化的平稳随机过程。 而自适应滤波器就是自动调整滤波系数，使其逐步接近并收敛于维纳解。 3 1 1 正交原理与维纳一霍夫方程 由于维纳滤波器的参数是固定的，它对应一个长度为n 的f i r 数字滤波器， 是线性时不变系统。设其单位脉冲响应为 ( 玎) 。 r ( ”) 型幽j 正岸( ”) 图3 1 维纳滤波器输入输出关系 因为j j l ( 胛) 为因果序列，并且在实际中只能得到有限个观测数据，所以输出表 示为 n - i y ( 刀) = j ( 厅) = x ( ，z ) 木而( 刀) = h ( m ) x ( n - m ) ( 3 1 ) m ；o 估计误差用e ( ”) 表示 e ( n ) = s ( n ) - g ( n ) 设计维纳滤波器的过程就是寻求使 l o ( 3 2 ) 第三章自适应滤波器算法 e e 2 ( 刀) = e s ( 以) 一j ( 姐) 2 ( 3 3 ) 最小的滤波器的单位脉冲响应l l ( 摊) 或系统函数h ( z ) 的表达式。 为方便讨论，令h ，= j i l ) 、x i = x ( n m ) ，并用e 表示e ( 以) ，占表示j ( 行) ，j 表示 ；( 月) ，有 e e 2 = e ( s 一；) 2 = l ( 篓办m s ) 2l c 3 4 ， 为求出使e e 2 ( 玎) 最小的 h i ) ，i = o l 1 一，n - 1 ，将上式对各h j 求偏导数，并令其 均等于零，得 掣：e降h斟2酬一o，i=0,i,-n-10h o ho h 5 ) f l ， li fj l j 将b 的表达式带入( 3 5 ) 式得 e 陪h 。 6 ， 式( 3 6 ) 称为正交方程。由此方程可以得到正交性原理及其推论如下： 1 正交性原理：要使估计的均方误差最小，滤波器系数 h j ，i = o ，1 ，n 一1 的选 择应使估计误差e 与所有的观测值x j 正交。 2 正交性原理的推论：要使估计的均方误差最小，滤波器系数 厅屯i = o ，1 ，n 一1 的选择应使估计误差口与估计值；( 观测值的线性组合) 正交。 正交性原理可以借助集合图形来表示。下图所示为n = 2 的情况。图中用x o 和 期表示观测数据，用x o 和x - 的线性组合j = h o x o + j i l 作为s 的估计，当且仅当e 垂 直于x o 和x - 时，e 的长度为最短。 图3 2 正交原理的几何表示 将( 3 6 ) 式可以展开为 第三章自适应滤波器算法 一l 栖【瑚卜e 【蹦r 】= 0 ，i = o ，1 ，n - i ( 3 7 ) j = o 令e 【工】= r 扩，e s x , 】= ，则上式可以写为 础驻= r , x i ， i = 0 ，l 1 一，n 一1 ( 3 8 ) j 。= 一0 此式称为维纳霍夫方程，它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。 将i = 0 , 1 ，n 一1 分别代入上式，可得到n 个方程组成的线性方程组。如果将方程 组的系数矩阵用k 表示，即 l k = r o ，i r l ，1 黜一1 1 ( 3 9 ) 分别令h - - h oh h n - i 】2 ，和r “, 1 - - 【尺“。尺“卜r 删一】，则可以将维纳一霍夫 方程表示为矩阵的形式 k h = k( 3 1 0 ) 其中l k 称为的自相关矩阵，r , x 称为s ( 刀) - 与x ( n ) 的互相关向量。由上式可以解 出最佳单位脉冲响应为 h o p t = r 。i k ( 3 1 1 ) 3 1 2 维纳霍夫方程求解 维纳一霍夫方程的解就是维纳滤波器的系数，也就是f i r 数字滤波器的单位 脉冲响应j i j ( 以) ，称为维纳解。 上节已经推出，维纳解可表示为 h o p , = r 。1 热 ( 3 1 2 ) 如果运用上式求维纳解，不仅要对二阶统计特性k 和l k 先验己知，而且涉 及到矩阵求逆，运算量很大，所以这种方法并不可行。 由于自相关矩阵具有一些优越的性质，存在高效的快速算法可以降低计算 量，例如l e v i n s e n d u r b i n 递推算法。但是，虽然运算量减少了，却依然用到了 1 2 o o o k 0：-一 尺r c 芑 第三章自适应滤波器算法 相关特性的先验知识，这就给它的应用带来了局限性。因为输入序列的相关特性 通常是不知道的，虽然可以根据观测到的数据估计得到，但对于相关特性时变的 非平稳随机过程，就需要一直小断地重新计算相关函数所需的计算量显然是不 允许的。 一种可行的方法是根据误差性能曲面的特点而提出的搜索法。这种方法不需 要统计特性的先验知识，常用于自适应滤波中寻求维纳解。 误差性能函数可以表示为 ( ) = 彰一2 1 07 pd - t o7 r c o ( 3 - 1 3 ) 其中为由滤波器权系数组成的权向量，”时刻的权向量表示为 m ( 一) = m 。( n ) m - o )。“t ( n ) ( 3 一1 4 ) p 为输入与期望的互相关矢量，r 为输入的自相关矩阵群= 龇d 2 ( 一) 是 期望的平均功率。 在n _ 2 的情况下，权向量是二维的，待定的权系数有鳓和m - ，此时s ( 。) 是o 和。- 的二元二次函数。如果以鲫和t 为平面坐标，以s ) 为相应的高度， 可在三维空间画出一系列的点f ，s 1 ，各点组成误差性能曲面，如图3 - 3 所示 图3 - 3 二维情况下的误差性能曲面 误差性能曲面上的最低点的高度就是最小均方误差的大小，它所对应的坐标 即权向量m 的值就是维纳解。用一组平行于坐标面的平面去切割误差性能曲面就 可以得到一组误差性能等高线，如下图所示： 第三章自适应滤波器算法 图3 4 误差性能曲面上的等高线 按照最小均方误差准则，最优解应该是使最小值的权向量，也就是面的最低 点( 碗底) 所对应的坐标。将碗底随对应的权向量表示为 = 陬硝国枷r ( 3 1 5 ) 为求出使性能函数s ( ) 取最小值的权向量，令s ( 国) 对权向量求导，得 到性能曲面的梯度向量为 瞻型型型型k 一2 p ( 3 - 1 6 ) a l a c o oa la 翻w i 因为梯度向量v = 0 的坐标对应碗底，所以使上式等于零的权向量就是最优 权向量，有 最优解为 r + = p ( 3 1 7 ) 国+ = r 一1 p ( 3 1 8 ) 对比( 3 1 1 ) 可以看出，通过使误差性能f h l 面的梯度矢量等于零同样可以得 到维纳解。因此搜寻法是可行的。 1 4 第三章自适应滤波器算法 3 2 常用自适应滤波算法 3 2 1 最速梯度算法 经过前面的分析，可以通过搜索的方法寻求“碗底 的坐标，即滤波器的最 优权系数。假定搜索点出于s 面的某一初始位置，该点在国面上的投影的坐标就 是滤波器系数的初始值，为了保证搜索点的移动方向朝向“碗底”并且搜索速度 尽可能地快，一个合理的方案是在s 面上沿着负梯度的方向上移动搜索点，这种 方法称为最速下降法或梯度下降法。 用( 胛+ 1 ) 和( 刀) 分别表示经过，z + 1 次迭代和，z 次迭代后的系数权向量，它 们之间的迭代关系为 ( 甩+ 1 ) = ( ，z ) 一v a , s ( n ) ( 3 1 9 ) 其中，v m e ( n ) 是占面上任一点佃，s ) 的梯度，是由该点处s 面的方向微分所组成 的向量。p 为步长因子或收敛因子，它影响在梯度方向上行进的长度。可以证明 1 当0 弘 时，最速下降算法能够收敛于最优解。其中允一是自相关矩阵r 的 l i n a l 最大特征值。也就是说，最速下降算法的收敛条件取决于最大特征值。 由于自相关矩阵为正定阵，必然有 n a 。 y 允，：t r r( 3 2 0 ) 一 i = l 而矩阵的迹等于矩阵主对角线元素之和 tr r = n ( o ) ( 3 - 2 1 ) 式中凰( o ) = 2 可以通过对样本数据估计得到。因此的取值范围可以变为 0 1 以+ l = 。i f 以+ j 抽 ( 3 - 4 5 ) + l o t h e r w i s e j 在上式中，0 。 o 为衰减因子。从上式可以看出，当i p ( 甩) i 为一个较大的值时，此时算法 有较快的收敛速度。而当i p ( 聆) i 逐渐缩小时，算法进入失调减小的状态。 在文献 2 2 中，将上述两种变步长算法进行了综合与改进，提出了一种新型 第三章自适应滤波器算法 的变步长算法。改进的思想是将( 3 - 4 7 ) 式中固定不变的参数卢设计为随均方误 差时变的，令 p = 九u ( n - 1 ) + r t p ( ，z ) i ( 3 - 4 8 ) 将( 3 4 8 ) 式带入( 3 4 7 ) 式得到 ( 刀) = ( 饥( ，z 1 ) - i - ，7 ) j ) ( 1 可口俐) ( 3 - 4 9 ) 其中，参数允为遗忘因子，且0 a 1 ；参数叩为大于零的常数。根据实际情况 来设定允和7 7 ，对口的设定与原算法相同。当口趋近于无穷大时，算法退化为 v s s l m s 算法。为满足算法的收敛条件，增加下列约束： p ( 玎) = ：( 刀) 乒：。：p ( 3 - 5 。， 这里仍然用图3 5 所示的系统模型为例来说明新算法的性能以及各个参数对 性能的影响。 仿真条件：自适应f i r 滤波器的阶数n = l l ；信道的抽头权系数为o 3 、0 9 、 0 3 ；采样点数为5 0 0 0 ，分别做1 0 0 0 次独立的仿真，然后通过统计平均得到学习 曲线。 图3 - 1 1其他三个参数固定，口取不同值的学习曲线 图3 - 1 1 为0 = 0 3 ，7 = o 9 9 ，a = o 9 9 时，a 分别取1 ，5 ，3 0 0 时的学习曲 线。可以看出随着口的增大算法收敛的速度也越快。 第j 章自适应滤波器算法 。 变步竺筮1 0 0 。次实验谨差! 妻望值雌 b = 03 - 25 05 0 01 0 0 01 5 0 02 0 0 02 5 0 03 0 0 03 5 0 04 0 4 , 5 0 0 5 0 0 0 选代次数 崮3 1 2 其他二个参数固定，日取不同值的学习曲线 图3 - 1 2 为a = 3 0 0 ，”= 09 9 ，2 = 0 9 9 ，信噪比为2 5 d b 时，日分别取0 0 5 ， 01 5 ，03 时的学习曲线。可以看出在三种情况下，学习曲线均能收敛到相同的 误差水平，只是目的取值越大曲线收敛的越快。 售 o 变步* 算沾恤扶验误差平方均值l l 旬线 c = o9 9 4 5 。5 。，i 酊，s i j 。o i 鬻。3 5 0 一4 5 0 0 图3 - 13 其他三个参数固定，r 取不同值的学列曲线 固3 - 1 1 、图3 1 2 和图3 1 3 考察了可变步长算法中的几个重要参数对算法的 影响。在训论过程中都是在固定其他参数的前提下进行的。这几个参数表现了相 第一章自适应滤波器算注 似的性质，即随着它们的增大算法的收敛速率也加快，并且均能一致收敛到相似 的误差水平。 变步长算法次实验误差平方的均值自线 0 一 m2 - 0 4 ” b = 0 0 5 - 0 6 氇m 一” j 、- b - o3 12w r 14 4 譬。旃d 未蕊瓣漆p 鹣m 瓣赫赫精瞄女蕊赢 1 1 6 0 _ 茆o1 面订5 0 0 面i i2 鲕r 面；r 3 e o o 4 0 0 o4 5 0 0 0 图3 1 4 信噪比为2 0 d b 下的不同p 的学习曲线 图3 1 4 为口= 3 0 0 ，”= o9 9 ， = 09 9 时，信噪比为2 0 d b 时，日分月取o0 5 ， o1 5 ，03 时的学习曲线。对比上图3 1 2 ，两种情况下唯一不同的是信噪比的值。 在信噪比为2 5 d b 时均方误差曲线收敛到2 d b 附近，而当信噪比为2 0 d b 时，均 方误差曲线收敛于一l5 附近。这种结果与图3 8 所示的结论相吻台。从图3 一1 4 还 能清楚的看出随着p 的增大，算法收敛速度加快的同时均方误差收敛的高度也逐 渐增大，说明稳态情况下的最小均方误差m m s e 逐渐增大，收敛速率与最小均 方误差足相互矛盾的性能指标。 变步算法1 c 0 0 披实验误差平方的均值曲线 o 一 d = o o l _ o 2d 0 d - - o m4 m 6 氇m s 1 12 14 16 o ”2 ”鼍需震f ”3 5 0 0 4 5 0 0 “。 目3 - i5 其他三个参数同定，a 取不同值的学习曲线 第三章自适应滤波器算法 与其他几个参数不同，在这种可变步长算法中，参数允在0 到1 的区间内取 值时，对学习曲线的影响几乎相同。在实际中可以将参数a 设定为1 或其它的固 定值，以达到减小调整参数的个数，简化算法的目的。 3 4 本章小结 本章着重介绍了定长度的自适应滤波器算法。首先给出了最小均方准则下最 优滤波器的维纳一霍夫方程，为了找到维纳解在误差曲面上对应的“最低点”，即 最优滤波器的权向量，提出了最速下降算法。由于该算法依赖于二阶统计特性r 和p ，为了简化计算，威德罗( w i d r o w ) 和霍夫( h o f f ) 用梯度向量的估值来代 替真实梯度提出了l m s ( 1 e a s tm e a ns q u a r e ) 最小均方算法，其核心思想是用单 个平方误差序列的梯度来代替多个平方误差序列统计平均的梯度。在不同信噪比 以及不同步长因子的情况下给出了算法的学习曲线，揭示了信噪比和步长因子对 滤波器性能的影响。 本章结尾讨论了一种可变步长的自适应滤波器算法，通过仿真实验，比较了 不同参数对误差曲线的收敛速度以及稳定性能的影响。并对该算法提出了改进意 见。 第四章基于l m s 准则下的可变长度自适应滤波器 第四章基于l m s 准则下的可变长度自适应滤波器 第三章提到的自适应滤波器是在滤波器长度固定的前提下，对滤波器的权向 量进行自适应的更新，以满足最小均方误差准则( l m s )