（机械设计及理论专业论文）航空发动机星型齿轮传动系统优化设计.pdf

摘要 本文主要研究了航空发动机星型齿轮传动系统的优化设计，对单级齿轮传动和两 级星型传动都进行了深入的分析和探讨，分别以系统体积最小和中心距最小为目标函 数，以齿轮的接触强度、弯曲强度、胶合强度等为约束条件，建立了完整的数学模型。 并运用m a t l a b 软件为开发平台，结合其优化工具箱和成熟的优化设计理论，开发出 一套齿轮传动系统参数优化的设计软件。 在齿轮传动系统优化的研究中，确定了齿轮的结构形式和几何尺寸计算，对设计 变量的选取和约束条件的确立进行了较为详细的论述，建立了问题的数学模型。给出 了参数的圆整和变位系数的优选方法。经过对成熟机种设计参数的优化分析，验证了 程序的可靠性和完整性等。 在软件开发的研究中，确定了该软件的总体结构和功能剖析，对各模块的设计开 发进行了说明，并编制了相应的计算机软件，设计了良好的人一机对话界面。 关键词：齿轮传动优化设计接触强度弯曲强度胶合强度m a t l a b a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e dt h e o p t i m i z a t i o nd e s i g n o ft w o - s t a g es t a r - t y p eg e a r t r a n s m i s s i o ns y s t e m i tc o v e r e dt h et w os i d e s ：o n e s t a g eg e a rt r a n s m i s s i o na n dt w o - s t a g e g e a rt r a n s m i s s i o n 0 nt h eb a s i so f t h e i ra n a l y s i sa n dr e s e a r c h ，t h em a t h e m a t i cm o d e l sa r e e r e a c e dw h i c hi n c l u d et h e0 b i e c t i v ef u n c t i o n so fm i n i m u mv o l u m ea n dm i n i m u mc e n t e r d i s t a n c e t h ec o n s t r a i n t so fc o n t a c ts t r e n g t h b e n ds t r e n g t ha n ds c u f f i n gs t r e n g t h w i t ht h e h e l po fm a t l a bs o f t w a r ea n di t so p t i m i z a t i o nt o o l b o x ，c o m b i n i n gt h eo p t i m i z a t i o nd e s i g n t h e o r y , t h ep a r a m e t e ro p t i m i z a t i o no fs y s t e ms o f t w a r ef o rg e a rt r a n s m i s s i o ns y s t e mh a s b e e nd e v e l o p e d s u c c e s s f u l l y i nt h er e s e a r c ho f g e a rt r a n s m i s s i o ns y s t e mo p t i m i z a t i o n ，t h es t r u c t u r ea n dg e o m e t r y d i m e n s i o nc a l c u l a t i n ga r ed e t e r m i n e d t h es e l e c t i o no ft h ed e s i g n i n gp a r a m e t e ra n d e s t a b l i s h m e n to fc o n s t r a i n t sa r ea l s od e s c r i b e d s i m u l t a n e o u s l y , t h em o d e lo ft h ew h o l e p r o b l e mi sp r e s e n t e d a l s o ，t h ea d j u s t m e n t o fp a r a m e t e ra n dt h es e l e c t i o no fa l t e r c o e f f i c i e n ta l ed i s c u s s e d a tl a s t ，t h er e l i a b i l i t ya n di n t e g r a l i t ya r ev e r i f i e db e c a u s eo ft h e a n a l y s i so f c u i t e n th e l i c o p t e r sd e s i g n i n gp a r a m e t e r k e yw o r d s ：g e a rd r i v e c o n t a c ts t r e n g t hb e n ds t r e n g t h o p t i m i z a t i o nd e s i g n m a t l a b 1 1 论文的背景 第一章绪论 航空发动机是飞机的核心部件，航空发动机的优劣在很大程度上也决定了整架飞 机的性能。由于发动机运动的单一性、简单性与工作机运动的多样性、复杂性之间的 矛盾，所以必须应用传动装置来进行中间传输，航空上常采用的是星型齿轮传动系统。 它用于将发动机的运动和动力传递给工作机，并改变发动机运动的速度和形式、力或 力矩的大小与方向，使之适应工作机的需要。由于它工作在高速高温快速起动条件下， 具有输入转速高( 能达到4 0 0 0 0 6 0 0 0 0r m i n ) 、工作条件苛刻、外形尺寸小、重量 轻等特点，从而提高了系统的设计指标，尤其是在高速、高温、快速启动等方面对齿 轮的设计都提出了很高的要求；另一方面，整架飞机的工作性能、使用寿命、能源消 耗、振动噪声，在很大程度上也取决于传动系统的质量和性能。因此开展对星型齿轮 传动系统的研究，不仅对提高飞机的整体性能有极为重要的意义，而且会带来巨大的 经济效益和社会效益。 在制造方面，其齿轮采用渗碳淬火的硬齿面齿轮，每个轮齿都需经过修形，齿轮 的精度达到4 5 级。其他零件的精度也相当高。从这些角度来看，要在制造方面挖 掘潜力来提高性能只会增大制造成本，并且也不会有很大的改观。 在设计方面，由于各设计参数及参数间相互制约的条件较多，强度、应力计算复 杂，技术设计较为繁复。依靠常规的设计方法和手段来确定各项参数，工作量相当大， 也难以得到理想的设计结果。因此，为了高质量、高效率的完成设计任务，使设计更 接近客观实际，进一步减少系统的总体尺寸和重量，缩短设计周期，提高设计质量和 降低设计成本，按照设计方法学的观点，有必要将优化设计的思想引入到星型传动装 置的设计研究中，进而根据优化设计结果为工程设计提供较高的参考价值和整体指导 作用的意见。 近几十年来，出于计算机的迅速普及和优化理论的不断发展与完善，国内对齿轮 传动系统的优化设计作了大量的工作。如河南农业大学所做的研究：“齿轮减速器优 化设计参数的转换”，以单级圆柱齿轮减速器为例进行了优化设计，根据量纲理论， 求出相似准则，将优化设计参数转换为不同设计要求的其他齿轮减速器的优化设计。 吉林化工学院做的研究工作：“二级圆柱齿轮减速器的模糊优化设计”，以各级传动的 承载能力大致相等和在一定承载能力下减速器具有最小的外形尺寸和重量为多目标。 云南工业大学研究的“行星齿轮减速器的模糊多目标优化设计”，大庆彳酬i 学院岜将 优化设引理论应用于“抽油机双圆弧齿轮减速器”的研究丌发中等。所有这些i ! | j 为航 空星型齿轮传动系统优化设计的研究提供了参考。 为了推动我国国防和航空事业的发展，快速赶超国外的研究水平，国家制定了航 空传动系统的设计研究计划，主要针对当前航空工业的备科t 设计软件进行集成，使计 算机应用在航空工业中发挥更大的作用，更合理快速地发展我国的航空工业，争取在 最短的时间内取得突破性进展。本课题正是在这种背景下提出的，作为国家航空传动 系统设计研究计划的一部分，对我国设计高性能航空动力传动装置将具有十分重要的 意义。 1 2 优化设计在齿轮传动中的研究现状 齿轮传动是机器和仪表中应用最广泛的一种机械传动，也是历史最为悠久的机械 传动之一，自1 7 6 5 年欧拉( l e u l e r ) 创立渐开线圆柱齿轮以来，迄今已有二百余年 的历史。1 8 9 1 年赫兹( h e r t z ) 公式和1 8 9 2 年l e w i s 公式的提出奠定了现代齿轮强度 计算的基础，齿轮制造进入工业化生产阶段【1 】；二十世纪6 0 年代到8 0 年代，齿轮技 术有了快速发展。在此期间，刀具齿形角更多的采用2 0 0 至2 5 0 ，并对齿轮疲劳寿命 和材料疲劳特性进行广泛研究，美国齿轮制造协会( a g m a ) 、德国( d i n ) 以及国 际标准化组织( i s o ) 先后制订了较为配套的齿轮标准。进入8 0 年代后，齿轮传动技 术有了飞速的发展，并获得了较为广泛的应用，而齿轮传动的设计方法却显得相对滞 后。 对于齿轮传动的参数设计，传统的设计方法大多是依靠分析、试凑或类比的方法 来确定复杂的结构参数，从而减少了设计的可行方案，使设计变得相对被动，往往需 要多次重复性的工作，才能得到较满意的结果。6 0 年代初期，德、英、美、日等工 业发达国家就开始了工程设计的思维和方法的探索工作，获得了较大的进展。7 0 年 代后期，随着计算机技术的快速发展和优化理论的日趋成熟，最优化设计逐步发展为 一项新技术，在国外开始得到工程设计的实际应用。在我国，直到8 0 年代，最优化 设计方法才开始广泛应用在机械设计领域。近十多年来，最优化设计方法已陆续应用 在建筑结构、化工、冶金、铁路、航空航天、机床等工程设计领域，从而打破了传统 的设计观念。据国外报道【3 1 ，比尔公司设计飞机机翼，通过对1 3 6 个变量的优化计算， 可使其重量减轻3 5 ，从而取得了显著的技术经济效益。 目前齿轮传动优化设计的主要内容有：齿轮在最小接触应力下的齿廓最佳几何形 状设计；轮齿在满足弯曲和接触强度条件下具有最佳承载能力的非渐开线正齿轮副设 计：定轴齿轮传动在限定最大接触应力、齿面最高温升和保证齿面最小油膜厚度下使 单位体积所能传递的扭矩最大的优化设计；二级齿轮减速器重量最小化的设计；齿轮 泵的优化设计；行星齿轮传动系统的优化设计等。这些问题的研究主要是针对直齿、 斜齿圆柱齿轮进行的，目前比较深入的研究有：齿轮传动的模糊优化设计：可靠性优 化设计；圆柱齿轮优化设计的数学模型变换：约束变尺度法优化设计等。对星型齿轮 传动系统的优化设计研究，国外也进行了大量研究，如美国的n a s a 在对航空行星传 动和星型传动的均载分析的同时，也进行了参数优化和均载系数优化的分析；国内对 这方面的研究则相对较少。 1 3 星型齿轮传动的特点和研究现状 星型齿轮传动是一种定轴传动形式，与行星齿轮传动的最大不同之处就是没有行 星架。但它也具有行星传动的一些优点，因此，也广泛应用于工程机械、矿山机械、 起重运输机械、机床、飞机、轮船和仪器仪表等方面。它不仅适用于高转速、大功率， 而且在低速大转矩的传动装置上也获得了应用。它几乎可适用于一切功率和转速范 围，故目前星型齿轮传动技术也成为机械传动领域中研究的重点之一。 通常情况下，星型齿轮传动具有如下几个方面的优点： ( 1 ) 结构紧凑、重量轻、体积小。由于星型齿轮传动具有功率分流和共轴线式 运动，以及合理地应用内啮合，因此可使其结构非常紧凑。由于在中心轮的周围均匀 地分布着数个星轮来共同分担载荷，故使得每个齿轮所承受的负荷较小，所以，可采 用较小的模数。此外，在结构上充分利用了内啮合承载能力大和内齿圈本身的可容体 积，从而有利于缩小其外廓尺寸，使其结构紧凑、重量轻、而承载能力却很大。 ( 2 ) 传动效率高。由于系统结构的对称性，即它具有数个均匀分布的星轮，使 得作用于中心轮和轴承中的反作用力能相互平衡，从而有利于提高传动的效率。 ( 3 ) 运动平稳、抗冲击和振动的能力较强。由于数个星轮均匀地分布在中心轮 的周围，从而使参与啮合的齿数增多，星轮间的惯性力相互平衡，故星型齿轮传动的 运动平稳，抵抗冲击和振动的能力较强，工作较可靠。 但星型齿轮传动也具有一些缺点：结构复杂、制造和安装较困难等。但随着人们 对星型齿轮传动技术的深入研究，以及对国外技术的引进和吸收，其传动结构和均载 方式都不断完善，同时生产工艺水平也会不断提高。 从资料中看，目前对星型齿轮传动的研究，主要集中在均载结构、优化设计、制 造和安装、材料性能和强度计算等方面。国内外许多学者对均载结构进行了大量的研 究。日本的f = l 高照晃对行星齿轮均载机构中各种误差和载荷分配的关系进行试验，比 较了各种不同机构中的误差和载荷的分配关系；美国的j o h nj c o y 、d e n n i s r t o w n s e n d 和e r w i n v z a r e t s k y 在n a s a 报告中讨论了齿轮修形对均载性能的影响：国内邵晓荣 推导了齿轮的制造及安装误差引起的齿轮均载系数的计算公式：肖铁英等对行星齿轮 均载系数的计算方法进行了理论研究；张展、张少名等人对均载机构的实际应用作了 大量实验。对于优化设计这方面的研究，尽管起步较晚，但由于计算机的高速发展和 优化理论的f = = l 趋成熟，国内外对行星齿轮传动的优化没汁做了大量的工作，尤其是幽 航j ，技：吨h 哺u 出轮传曲系筑优化馊汁 内各高校和科研院所。重庆大学机械传动国家重点实验室朱j 朝、李润方等从事了内 齿行星齿轮传动系统参数的动态优化问题；中国矿业大学的李爱军等对曲柄式渐开线 行星齿轮的优化设计进行了研究：华南理工大学的迟永滨等对行星齿轮传动的优化设 计方法进行了研究等。因此以上研究都是侧重于行星齿轮传动的研究，而对星型齿轮 传动的研究则相对较少，但这些研究的方法和理论对星型齿轮传动系统的研究有重要 的参考价值。 随着星型传动技术的迅速发展，目前，高速渐开线星型齿轮传动机构所传递的功 率已达到1 1 0 0 0 k w ，输出转矩已达到2 4 0 0 k n m 。星型齿轮传动在未来的发展将会 更快，将逐步向高精度、高转速、大功率、大转矩的方向发展，更多地应用到工业生 产的各个部门和领域中。 1 4 本文的研究内容 前面已经比较详尽地阐述了齿轮传动的研究现状和急需研究的必要性。国内对齿 轮传动的优化设计也做了大量的工作，但由于行业不同，传动性能要求和应用计算标 准也不相同，所以考虑的因素也有较大差异。考虑到目前航空工业发展的必要，特将 这一成熟理论引入到航空传动系统的设计和研究开发中来，不仅有助于后续设计工 作，而且对航空齿轮传动系统的均载分析研究提供较好的条件和准备工作。 本课题主要针对航空发动机常用的两类星型传动齿轮减速器进行研究。首先进行 了单级齿轮传动系统的研究，对优化算法、目标函数、约束条件等基本理论进行了较 为详细的论述：然后以单级传动为基础，分别对两级外啮合和两级内外啮合两类星型 齿轮传动系统进行了优化分析。通过分析这两种系统的物理模型，结合航空标准要求， 合理建立其简化数学模型，以现有的m a t l a b 6 1 软件为开发平台，利用其功能强大的 优化工具箱，结合优化设计的基本算法、理论和航空发动机减速器的实际设计要求， 将传动系统的设计参数、强度计算与工程实际相结合，进行分析调整。在后续结果处 理中，重点介绍了模数、齿数的圆整操作和预处理，以及变位系数的优化选择等。同 时针对星型齿轮传动装置的特点，对优化设计软件的开发环境选择进行探讨，开发出 一套操作简便、功能丰富、界面美观的系统软件；并结合一些现有减速器的设计数据 和优化结果比较、分析，对软件的可靠性和可行性进行了评价。 i 南_ 堋u ；! 航犬人i 坝卜川ol 文 2 1 引言 第二章优化设计的理论基础 “最优化”概念在很早的时候就已存在。人类在发展的进程中，很早以前就有了 最简单的优化意识，早在1 4 世纪，即出现黄金分割法和分数法的一维搜索法的基本 思想，但是科学的表达出优化的概念，还是从1 7 世纪时随着数学的发展而开始的。 古典的优化方法起源于2 0 世纪4 0 年代，主要是应用微分法和变分法，在5 0 年代提 出线性规划和梯度法，6 0 年代出现多维非线性约束规划的罚函数法。在二战期间， 由于军事上的需要，优化技术才开始应用于解决实际问题。但作为门新兴学科，则 是在gb d a n t z i g 提出求解线性规划问题的单纯形形法( 1 9 4 7 年) ，h w k u h n h 和 a wt u c k e r 提出非线性规划基本定理( 1 9 5 1 年) 以及r b e l l m a n 提出动态规划的 最优化原理( 1 9 5 1 年) 以后【5 1 6 1 1 3 4 l 。到了本世纪5 0 年代，线性规划开始应用到工业 建设、交通运输、物资调配、生产管理等很多领域中，显示出了初步的效能。特别是 7 0 年代，随着电子计算机的诞生和应用数学的发展，优化理论和方法已形成了具有 多分支的综合学科，并在各行各业中得到了日益广泛的应用。近几年来，优化技术己 在工业、农业、交通、运输、军事等各个领域中发挥着重要的作用。我国对优化理论 方法的研究虽然起步较晚，但经过科研部门，高等院校及生产建设单位的多方努力， 也取得了较快的发展和客观的经济效益。 优化的含义，就是在处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。绝对 的最优只有在理论计算中才能达到。但实际事物中没有不受客观条件限制的情况。因 而实用中的优化问题，都是在给定的条件下，从一切可能的方案中寻求最适当的方案。 从这个意义上说，对于实际的事物，所谓最优化，无不带有一定的客观性和相对性。 现代优化方法主要以数学规划为核心，以高速电子计算机为工具，向着多目标、 多变量、高效率、高精度方向发展，成为科学研究，经济发展，产品创新等工作中强 有力的助手，并在各行各业的革新与竞争中同益显示威力。但是，只有在近代，随着 电子计算机技术的高速发展以及数学理论的深入研究，才使得最优化设计解决科学和 工程技术问题成为可能。“最优化”就是要使问题的解决在一定程度上达到无可争议 的完善化。目前，机器最优化设计已成为机械设计理论和技术发展中的一个重要方面， 并且取得了很多良好的经验和成果，这对于提高机械设计水平，改进机械产品的性能， 发展计算机辅助设计和制造，将起着重要的推动作用。 最优设计是在计算机上进行的半自动化或自动设计，来选出在现育工程条件f 的 最佳方案的种现代设计方法。其设计原则是最优设计；设计手段是电子计算机及计 算程序；设计方法采用最优化方法。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性 能，减轻自重和体积，降低工程造价的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量 繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性设训，并大大提高 设计效率，一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈复杂，最优化 设计结果所取得效益就愈大。 2 2 优化设计问题的数学描述及基本概念 2 2 1 泰勒展开式和海赛矩阵( h e s s i a nm a t r i x ) 式中 设函数，( ) ，则，( x ) 在x 。附近的值，( 凰+ a x ) 可由泰勒展开式求出，即 f ( x 。+ 醚) = f ( x 。) + v f ( x 。) 7 硝+ 1 2 a x 7 h ( x 。) “+ ( 2 1 ) w c 科_ 警，掣，等jl 出l 积2 j h ( x ) = a 2 f ( x 、 缸? a 2 f ( x 、 幽2 x 1 a 2 f ( x ) m 。x i a 2 f ( x 、 u x l x 2 a 2 f ( x 、 缸j a 2 f ( x 1 咖n x 2 a 2 f ( x 1 幽1 x a 2 f ( x 、 出2 x a 2 f ( x 1 嬲 日( x ) 为函数，( x ) 的h e s s i a n 矩阵a 因此，( z ) 在x 。处取得局部极小值的一阶必要条件为 ( 2 - 2 ) o f ( x o ) ：o f ( x o _ _ 2 一一型：o ( 2 3 ) 舐1融2 叙。 ，( x ) 在工。处取得局部极小值的二阶必要条件为鲥h ( x 。) a x 0 ，并且对任 意脯o 成立。对任意x 0 ，x 7 a x o 时，矩阵a 正则。因此，h ( ) 在x 。处必 须是正则矩阵。 2 2 2 设计空间和可行域 一般工程设计问题都是需要确定一组设计参数，工程设计优化问题的设计变量都 是一组，也就是多变量优化问题。设计变量的个数就是优化问题的维数。以设计变量 x ( n ，z ”，一，z ( “为坐标所构成的空间称为n 维设计空间。 设计空间指出设计变量可能取得的空间，设计变量必须是作为变量处理的独立参 数。以二维为例，若要求x ：o ，7 = 1 , 2 ，则二维直角坐标的第一象限为设计空间。 在设计空间中，满足设计要求的一切约束所构成的空间，称为可行域。在可行域 中，任一点都是可行点。当设计变量均为连续变量时，可行点有无穷多个。优化设计 过程就是在可行域中沿着目标函数值不断改善的方向去搜索出最好的解。优化方法的 巧妙和威力就是用有限次搜索找出最好点，这种点称最优点或最优解，用x 表示。 图2 1 表示可行域的几种情况。 ( a ) ( c ) ( b ) 图2 - 1可行域的儿种示例 ( d ) 2 2 3 优化设计数学模型三要素 1 设计变量 设计变量是设计问题需要确定的一组设计参数，一般可以全部为连续变量或离散 变量，也可以部分为连续变量，部分为离散变量，通常将其称为混合离散变量。 2 目标函数 目标函数又称为评价函数，是整个优化设计中的关键，它可以直接反映设计变量 的变化，与设计变量有着明显的函数关系，也可以直接用来评价优化方法的优劣。在 机械产品设计中，目标函数主要按设计准则来建立，这种准则可以是运动学和动力学 的性质；在零部件设计中，可以用重量、体积、效率、可靠性、承载能力等表示：对 于产品设计，也可以将成本、价格、寿命等作为追求的目标。 在某些设计中，可能存在两个或两个以上的优化设计目标，如齿轮传动中期望得 到的重量最轻和承载能力最大等。这种具有两个或两个以上的设计目标的优化设计， 称为多目标优化。 优化问题的数学描述是采用极小化来描述的，即 m i n f ( x ) = m i n f ( x l ，x 2 ，x 3 ，。一，x 。) ( 2 - 4 ) 3 约束条件 约束条件是设计变量间或设计变量本身应该遵循的限制条件的数学表达式，它可 分为等式约束和不等式约束。其表达式为： 不等式约束： g ，( x ) 0 ，j = 1 , 2 ，p ( 2 5 ) 等式约束：h 。( x ) = 0 ，k = 1 , 2 ，口 ( 2 6 ) 约束条件的确定应以满足设计要求为原则，要避免重复的、矛盾的和线性相关的 约束，应注意约束条件选取越多，优化问题越难求解。 2 2 4 全局最优解和局部最优解 不论是无约束或有约束的优化问题，由于目标函数和约束条件的函数形态不同， 极值点分布可能有多个局部极值点( 即局部最优解) 。而全局最优解是指这些局部最 优解中目标函数值最好的一个解，往往只有一个。考虑图2 2 所示情况，只，只分别 是厂( ) 在邻域r l ，r ：上的最小点。但是，只并非是全域只上的最小点。如f ，只所示， 仅其附近邻域上的最小点称为局部极小点，对应的函数值为局部极小值。在全域上， f ( x ) 取最小值的点为全局最小点，其值为全局极小值。图中只点既为局部最小点， 也为全局极小点。 在机械优化设计中，目标函数和约束条件般都是非线性函数，寻找全局最优解 有很大困难。目前很多优化方法，在理论上可以证明能收敛到局部最优解，仅对于特 殊的数学模型，可以收敛到全局最优解。这并不影响优化设计广泛应用，因为人们用 常规设计方法很难找到一个复杂问题的局部最优解。但是，还是可以通过不同的技巧， 找出几个局部最优解，从中选择目标函数值最好的解。 图2 - 2 局部极小点与全局极小点 2 3 优化算法的基本理论 2 3 1 优化算法的分类 数学规划理论、算法和应用是工程优化设计的关键。尽管优化方法及其软件的研 究开发在我国起步较晚，但由于国家重视，广大科学工作者和工程技术人员的积极探 索，出现了不少优化理论、方法及软件的研究和应用成果，特别是近十年来，在经典 优化设计方法的基础上，又发展了许多先进的优化算法和技术。国外一些大的程序库 如英国原子能研究中心和牛津大学等的程序库，都包含了相当数量的最优化程序。考 虑到用户的需要，对熟练的用户和没有经验的用户可提供不同的程序。常用优化算法 程序功能： ( 1 ) 最优化问题的建模和模型分析： ( 2 ) 求解线性规划问题； ( 3 ) 求解约束非线性连续规划问题： ( 4 ) 求解约束混合离散规划问题； ( 5 ) 求解多目标规划问题： ( 6 ) 内点线性规划法。 常用优化算法主要内容q ： ( 1 ) 一维搜索最优化方法：切线法、f i b o n a c c i 法与黄金分割法( 0 6 1 8 法) 、二 次插值法与三次插值法、平分法和格点法等： ( 2 ) 无约束多维问题最优化方法：坐标轮换法、最速下降法( c a u c h y 法或阶 梯度法) 、牛顿法( n e w t o n r a p h s o n 法或二阶梯度法) 、共轭梯度法、共轭方向法及 其改进p o w e l l 法、变尺度法、单纯形法、h o o k e j e e v e s 直接搜索法、r o s e n b r o c k 法、m a r q u a r d t 法、最小二乘法( g a u s s n e w t o n 法) 等： ( 3 ) 约束非线性规划间接算法：拉格朗日乘子法，惩罚函数法( 内点法、外点 法、混合法) 等； ( 4 ) 约束最优化问题直接算法：随机试验法，随机方向搜索法，复合形法，可 行方向法，梯度法等； ( 5 ) 多目标优化算法：统一目标法，主要目标法，协调曲线法，设计分析法等。 2 3 2 最优化方法的选择 每种算法都有自己的特点和适用范围，合理地选择优化算法对于解决工程实际问 题显得非常重要。鉴于机械最优化设计问题多属于约束非线性规划问题，因此，此处 仅就约束问题的最优化方法的选择进行论述。 一般来说，在选择优化方法时主要考虑如下两点： 1 明确数学模型的特点。例如问题的模型( 即维数，目标函数及约束函数的数 目) ，目标函数及约束函数的性质( 例如函数的非线性，连续性及计算时的复杂程度) 以及计算精度。这些特点是选择最优化方法的主要依据。 2 要考虑最优化方法本身及其计算程序的特点。例如，该方法是否已有现成的 程序可用：编制程序所要花费的代价；程序的通用性或普遍性，即能否用它来解多种 类型的问题；解题规模；使用该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的时间和 费用；程序的机动性；该方法的收敛速度、计算精度、稳定性及可靠性等。 在最优化方法中，惩罚函数内点法的计算程序最简单，并且适用于有约束最优化 问题，但它需要有一个初始可行点。从程序本身的简单程度来看，其他惩罚函数方法 紧排在内点法之后；从编制程序所花费的代价来看，则各种惩罚函数方法是最方便的。 由于本课题的优化内容属于有约束最优化问题，早期的方法通常是通过构造惩罚函数 等来将有约束的最优化问题转换为无约束最优化的问题进行求解。现在，这些方法已 经被更有效的基于k t ( k u h n t u r k e r ) 方程解的方法所取代。而且，k - t 方程的解形 成了许多非线性规划算法的基础，经过较为深入的探索和发展，这些方法逐渐形成为 目前较为成熟的算法序列二次规划法( s q p ) f 2 “，也就是在本课题的研究中所选 择的基本优化算法。 2 3 3 优化算法的基本数学原理 k - t 方程是有约束最优化问题求解的必要条件。假设有所谓的凸规划问题，a x ) 和毋( x ) ，i = l ，2 ，r n 为凸函数，则k t 方程对于求得全局极小点是必要的，也是充 分的。 1 k u h n t u c h e r 定理 设，( x ) 为凸函数，毋( x ) ( f = 1 , 2 ，) 为凹函数，并且连续可微，则x + 0 为非 线性问题解的必要充分条件是：( x + ，刀) 为下式的鞍点或k t 点。 中( x ，兄) = f ( x ) - 砑。( x ) ( 2 7 ) i 鞍点：o ( x ，a ) 巾0 + ，刀) 中 ，f ) 式中，旯为拉格朗日乘子。 图2 - 3k u h n t u c h e r 定理原理图 则( x ，) 为鞍点的条件为 堂0 x 盟= 等c o x 一警0 x o 牛叫_ l z ，n ) 智 1 剥等一p 掣卜乩：，n ， 望幽：一g 、( x ) o ，入，o ，( i ：l ，2 ，m ) 靠 卜g ，( x 1 = o i = 1 ，2 n 1 ( 2 - 8 ) 帆审发功帆j 掣斯轮心动系统l 圮化殴计 2 序列二次规划法( s q p ) 原理 对于规划问题 卿厂( 并) g ( x ) = 0i = 1 ，一，卅。 g 。( x ) 0i = m 。+ 1 ， x l x x 。 ( 2 9 ) 式中，是设计参数向量，x r 8 ；，( x ) 为目标函数，向量函数g ( x ) 为等式约束 和不等式约束函数。该问题的k t 方程可表达为 f ( x + ) + 叠v g 。( x ) = 0 ( 2 一l o ) i = l v g f ( x + ) = 0i = 1 ，m 。 l 0i = m 。+ 1 ，一，m 方程( 2 1 0 ) 描述了目标函数和约束梯度之间的函数关系，采用了拉格朗日乘子 a ( i = 1 ，2 ，m ) 来平衡目标函数与约束梯度间大小的差异。 k - t 方程的解形成了许多非线性规划算法的基础，这种算法直接计算拉格朗日乘 子，通过用拟牛顿法更新过程，给k t 方程积累二阶信息，可以保证有约束拟牛顿 法的超线性收敛。这种方法称为序列二次规划法( s q p ) ，因为在每一次主要的迭代 中都要求解二次规划问题。 对于给定的规划问题，序列二次规划法的主要思路是形成基于拉格朗日函数二次 近似的二次规划子问题，即 l ( x ，兄) = 厂( ) + 五g ，( ) ( 2 _ 1 1 ) 这里，通过假设约束条件为不等式约束使( 2 - 1 0 ) 式得到了简化 约束问题线性化来获得二次规划子问题。二次规划子问题可表达为 m d 。i n 1 2 d h 。d + v f ( x i ) 7 d v g 。( x ) 7 d + g l ( x t ) = 0 i = 1 ，一，m 。 甲g ( i ) d + g 。( x i ) s 0i = m 。+ l ， 通过非线性有 ( 2 1 2 ) 南京航窀航犬人学硕十学纯论文 该子问题可以用任何一种二次规划算法求解，求得的解可以用来形成新的迭代公 式 x “i = x i 十d ( 2 1 3 ) 用s q p 法求解非线性有约束问题时的迭代次数常比用解无约束问题时的少，因 为在搜索区域内，s q p 方法可以获得最佳的搜索方向和步长信息。 3 m a t l a b 软件中s q p 法的实现1 2 2 】【2 4 1 ( 1 ) 拉格朗日函数h e s s i a n 矩阵的更新 在每一次主要迭代过程中，都用b f g s ( b r o y d e l l f l e t c h e r - g o l d f a r b 。s h a n n o ) 法计 算拉格朗日函数的h e s s i a n 矩阵的拟牛顿近似矩阵。更新公式为： ”籍q 一怒1 - 1；6 i6 ；1 6 ( 2 1 4 ) 式中 q 。= v f ( x 。) + a 。v g ，( x 。) 一( v f ( x 。) + 丑- v g 。( 。) ) ( 2 1 5 ) 式中，丑( i = 1 , 2 ，m ) 为拉格朗日乘子的估计。 ( 2 ) 二次规划求解 s q p 法的每一次主要迭代过程中都要求一次二次规划问题，形式如下： m 。i n 。州) = 胁一d ( 2 - 1 6 ) a j d = b i = 1 ，- 一，m 。 a ，d 以i = 州。+ 1 ，一，m 式中，a 。为矩阵a 的第i 行：c = v f ( ) ；6 = g 。( z ) 。 求解过程分两步，第一步涉及可行点( 若存在) 的计算，第二步为可行点至解的 迭代序列。 在第一步中，需要有可行点作为初值，若当前点不可行，则通过求解下列线性规 划问题可以得到一个可行点 ，舞刮n ， 2 1 7 a 。x = b a ，x y ，i = 4 - 1 ， j ( 2 1 9 ) 航空发动机星型齿轮传动系统优化设计 式中，a ，为矩阵a 的第f 行。 ( 3 ) 一维搜索和目标函数的计算 二次规划子问题的解生成一个向量d 。，它形成一个新的迭代公式 式中，口为步长参数。 目标函数的形式如下： 矿( 肖) = 厂( 工) + y ，g i ( z ) + n m a x 0 ，g f ( ) ) f l j - d + l 1 一。( y ) ，= m a x a j ( ( ) ，+ ) ) i = 1 ，m 2 4 机械系统优化的一般过程 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 机械系统优化设计是把优化技术应用到机械设计中去，通过对机械系统的零件、 机构、部件乃至整个系统的优化设计，使所需设计目标在规定的各种设计限制条件下， 优选设计参数，确定出它们的最佳参数和结构尺寸( 取代过去长期使用的可行性设计 方法) ，从而提高机械系统的设计质量，加快设计过程，缩短设计周期。其基本设计 过程及相互关系可以用图2 4 表示。 图2 4 中将整个优化设计过程分为两部分。虚框i 表示设计问题的数学描述，然 后根据建立的目标函数和约束条件等，选用适宜的优化设计方法；虚框h 表示程序运 行过程，通过对优化方案的不断评价和分析，逐步逼近最优解。这部分主要包括程 序的编制、数据准备及结果的分析和整理等。 4 南京航空航天人学硕士学位论文 图2 _ 4 机械系统优化过程框图 航空发动机星型齿轮传动系统优化设计 3 1 引言 第三章单级齿轮传动系统的优化设计 所谓优化设计就是通过对具体设计问题的数学建模和分析，利用最优化算法，在 满足各种约束的条件下，用计算机进行设计参数的选择、调整和设计方案的比较评价， 最终使要求的某项或几项性能指标达到最佳值。 对于航空发动机用渐开线圆柱齿轮传动系统来说，由于它工作在高速高温快速启 动条件下，具有输入转速高( 能达至u 4 0 0 0 0 6 0 0 0 0r m i n ) 、工作条件苛刻、安全性 和可靠性要求也较普通齿轮传动严格；在强度计算方面，除了要满足接触强度和弯曲 强度外，更重要的是要满足胶合强度，所以在进行优化设计时考虑的因素比较复杂。 本章是在己知传递的功率p 、传动比u 、输入轴转速n 、工作状况、使用寿命、齿轮加 工精度等条件下，按照航空工业标准对齿轮强度( 齿面接触疲劳强度、齿根弯曲疲劳 强度和齿轮胶合强度) 的要求和其他约束条件，以一对啮合齿轮的体积最小和中心距 最小为目标进行优化设计，从而得到齿轮的几何设计参数，为齿轮传动系统的工程设 计提供参考。本章主要内容为 ( 1 ) 设计变量的选取和设计空间的形成； ( 2 ) 建立问题的数学模型： ( 3 ) 内齿轮、外齿轮的几何形状和尺寸计算： ( 4 ) 各种强度条件的计算： ( 5 ) 参数的圆整和变位系数的优选方法； ( 6 ) 优化结果的评价和分析。 3 2 数学模型的建立 3 2 1 齿轮传动系统的结构设计 在航空齿轮传动系统中，大量采用了轴轴承一齿轮的一体化设计技术。对于一般 的小齿轮，通常与轴做成一体，即轴齿轮形式，这样一方面可以尽可能的减少误差所 带来的不良影响，另一方面还可以增加小齿轮的强度；对于大齿轮则一般采用辐板式 齿轮纷陶形式和薄壁零件。这样既达到了传动系统的紧凑性，又减轻了整个传动系统 南京航空航天人学硕士学位论文 的重量。 ( 1 ) 辐扳式齿轮的几何结构尺寸 b _ 一 彩k a , i 俐l书c | 一+ 一ii u 缴i f 勿衫燃 爿 吃么凇 阍 该 髟形形彤蜊 图3 - 1 辐板式齿轮的j l t i i 结构 设齿轮模数为n l ，齿数为z ：，齿宽为6 ，则图3 - 1 中各参数计算公式如下： d = ，l z d 。= 2 2 8 m d 。= 1 6 d n ( 分度圆直径) ( 齿轮外缘内径) ( 轮毂外径) d 。= 0 5 ( d 。一d 。) ( 辐板孔直径) b = 1 2 b( 轮毂长度) d 。= o 5 0 。+ d 。) ( 辐板孔所在直径) 齿轮轴直径按下述公式计算 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 6 ) ：a 尚；(3da 3 - 7 ) n = ( 二_ ) 3 (7 ) h 式中，a 为由材料及许用剪应力确定的系数；p 为轴的传递功率，k w ：仃为轴的转 速，r m i n ；c 为辐板厚度，l n m 。 ( 2 ) 内齿轮的j l i i j 结构尺寸 航空发动机星，科齿轮传动系统优化设计 设齿轮模数为m 算公式如下： “= ，l z h ：皇 d 。= c i + h d 。，= 1 6 d 拍 b = 6 + c + 8 = 1 2 口 蚓3 - 2 内齿轮的儿何结构 齿数为z ，齿宽为6 ，c 为辐板厚度， ( 分度圆直径) ( 轮齿外缘高度) ( 齿轮外缘直径) ( 轮毂外径) ( 齿面宽度) ( 轮毂长度) 3 2 2 设计变量和设计空间的选取 则图3 - 2 中各参数计 ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 一1 1 ) ( 3 一1 2 ) ( 3 1 3 ) 设计空间的大小是由设计变量的数目决定的，对于优化设计问题，合理地选择设 汁变量，有效地控制设计空间的大小，可以使优化速度更快。一对标准直齿圆柱齿轮 的设计参数有模数，”，齿数z 。、z ：，齿宽6 ，斜齿轮还包括螺旋角口。而为了提高齿 轮的承载能力或满足中心距要求，常采用变位齿轮，因此变位系数z 。、x ：也要作为 南京航空航天大学硕7 1 ：学位论文 设计参数。对于齿数z 。、z ：，在传动比“已知的情况下，由于存在z ：= ：，w 关系式 所以z 、= ：不是一组独立的变量，取其中之一z ，作为设计变量。因此，对于目标函数 不同的两种优化设计，设计变量x 选耿如下： 体积最小为目标函数时：齿轮的模数聊、齿数z ，、变位系数x 。、x ：、齿宽b ，则 x = 沁z ，叠，6 ) 7 中心距最小为目标函数时：齿轮的模数m 、齿数z 。、变位系数 、x ：、中心距 变动系数a y ，则 x = h ，钆b 妙 7 3 2 3 目标函数的建立 目标函数是以设计变量表示所要追求的某种性能指标的解析表达式。在航空齿轮 传动系统t 扣所要追求的性能指标较多，有体积最小、重量最轻、中心距最小、承载能 力最高、传动比最大、传递功率最大、等强度、等磨损、轴向力平衡等。由于航空上 对各零部件的重量要求尽量轻、总体尺寸要求比较紧凑，而以体积最小( 重量最轻) 为优化目标不仅满足了这要求，并且可以降低振动的效果；另一方面，其它的一些 1 4 标中有些已经包含在体积最小这一目标中，有些可以不必考虑，如传动比最大、传 递功率最大等，有些则可以转化为约束条件来保证，如强度、传动比等。因此在进行 优化设计时，目标函数主要考虑体积最小( 即重量最轻) 和中心距最小两个方面。 ( 1 ) 目标函数为体积最小时的计算公式 小齿轮i ( 轴齿轮形式) 的体积“为： k = 等 m ( z l + 一) 】2 ( 3 一1 4 ) 齿轮2 的体积n 为： 若为外齿轮，则 k = 等缸：蝎) 】2 一d 靠等 o 3 0 j ：一) + 1 2 一略) 】 ( 3 _ 1 5 ) 若为内齿轮，则 ：至掣舾( ：+ ，：) + 6 1 2 一( i r z 2 ) 2 + 1 2 ( d 三一d 五* + 手c ( m z 2 ) 2 一站j ( 3 1 6 ) 9 航空发动机屉型齿轮传动系统优化设计 因此可得单级齿轮传动系统优化设计的舀标函数为 r a i n f ( x ) = _ + ( 2 ) 日标函数为中心距最小时的计算公式 若为外齿轮传动形式，则中心距n 为 。：生幽+ 脚( 工，+ z ：一缈) 若为内齿轮传动形式，则中心距d 为 。：竺掣+ 。( x ：，一缈) 因此可得单级齿轮传动系统优化设计的目标函数为 r a i n f ( x 、= 3 2 4 约束条件的建立 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 - 1 9 ) ( 3 2 0 ) 1 接触疲劳强度约束 齿面接触疲劳强度的计算，以轮齿表面节点处的接触应力为依据，计算公式参考 我国航空工业标准h b z 8 4 2 8