（应用数学专业论文）退化正则半群及相关问题.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 f 正则半群自二十世纪8 0 年代以来，由于其应用范围广泛，是强连续算子半群的实 质性推广，而受到人们的普遍关注。然而，目前有关正则半群的研究仅限于非退化的 情形，对于退化情形的正则半群，基本上还没有人研究过。但退化正则半群是基本的 和重要的。从理论上讲它是正则半群理论的进一步完善，从应用上看它可以作为研究 退化型的c a u c h y 闯题的工具。 本文引入了退化正则半群及其生成元的定义，并考虑退化正则半群的基本性质及 指数有界型退化正则半群的生成定理，包括用l a p l a c e 变换所刻划的生成定理和 i - f i l l e - y o s i d a 型的生成定理；我们讨论退化正则半群与退化c a u c h y 问题的关系，得到 在空阃满足一定分解时指数有界型的退化正则半群与退化c a u c h y 问题的某种适定性 的等价关系。同时我们也考虑了退化正则半群与强连续算子半群、退化积分半群及退 化分布半群等其它类型半群之间的关系；我们给出了退化正则余弦函数的定义及相关 性质，详细讨论了退化分布余弦函数的基本性质，特别是它们与二阶退化c a u c h y 问题 的关系，并证明了非退化分布余弦函数的生成元生成非退化正则余弦函数。此外，还 提出了一些有待进步讨论的问题。 关键词： 退化正则半群退化c a u c h y 问题适定性退化分布余弦函数退化 正则余弦函数 一一 t 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a t r e g u l a r i z e ds e m i g m u p s a l et h e g e n e r a l i z a t i o n o fm o n # y c o n t i n u o u s s e m i g r o u p s d u et o t h e i r s t r o n ga d a p t a b i l i t y , r e g u l a , i z c ds e m i g r o u p sh a v e r e c e i v e dm u c ha t t e n t i o ns i n c e1 9 8 0 s h o w e v e r , t h em a i n c o n 0 0 1 t ii st h en o n d e g e n e r a t ec a s e ， b u tn o tt h ed e g e n e r a t ec a s ew h i l et h es t u d yo nd e g e n e r a t er e g u l a r i z e ds e m i g r o u p si s i m p o r t a n ti n t h e o r e t i c a lt e r m s ，i ti sas u p p l e m e n tt ot h et h e o r yo f r e g u l a r i z e ds e m i g r o u p s ；i n t e r m s o f a p p f i c a t i o n s ，i tp r o v i d e s u sat o o lf o rr e s e a r c h i n gd e g e n e r s t ec a u c h yp r o b l e m s i nt h i s p a p e r , w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fd e g e n c r a l er e g u l a r i z e ds e m i g r o u p sa n d s h o wt h e i rb a s i c p m p e f t i e s a n dt h e g e n e r a t i o n t h e o r e m so fe x p o n e n t i a l l yb o u n d e d d e g e n o r a t er e g u l m z e ds e m i g r o u p s ，w h i c hc o n t a i n t h eg e n e r a t i o nt h e o r e mc h a r a c t e r i z e db y l a p l a c et r a n s f o r m sa n dt h eg e n e r a t i o nt h e o r e mo f i - i i l l e - y o s i d at y p e t h ee q u i v a l e n c eo f e x p o n e n t i a l l yb o u n d e dd e g e n e r a t er e g u l a r i z e ds e m i s r o u p sa n ds o i i 他k i n do f w e l l p o s e d n e s s o f d e g e n e r a t ec a u e h yp r o b l e m si sp r o v e du n d e rt h es p a c eh a v i n gap r o p e rd e c o m p o s i t i o n m e a n w h i l e , w ec o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i pb e h v e 吼d e g e n e r a t er e g u l a r i z e ds e m i g r o u p sa n d s o n q eo t h e rk i n d so f s e m i g r o u p s o nt h eo t h e fh a n d , w e i n t r o d u c ed e g e n e r a t er e g u l a r i z e d c o s i n ef u n c t i o n sa n dd e g e n e r a t ed i s t r i b u t i o nc o s i n ef u n c t i o n s ，d i s c u s st h e i rp r o p e r t i e sa n d t h e r e l a t i o n s h i p t os e c o n do r d e rd e g e n e r a t ec a u c h yp r o b l e m si nd e t a i l ，a n ds h o wt h e g e n e r a t o r o fa n o n d e g e n e r a t ed i s t r i b u t i o n c o s i n ef u n o t i o ng e n e r a t e sa n o n d e g e n e r a t e r e g 脚a r i z e dc o s i n ef u n c t i o n m o r e o v e r , s o m eo p e n q u e s t i o n s a r ep o i n t e do u t k e y w o r d s ： 咖e r a t er e g u l a r i z e ds c m i g r o u pd e g e n e r a t ec a u c h yp r o b l e m w e l l p o s e d n e s sd e g e n e r a t ed i s t r i b u t i o n c o s i n ef u n c t i o n d e g e n e r a t er e g u a i i z e dc o s i n e f u n c t i o n 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 众所周知，形成于本世纪上半叶的算子半群理论，在1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 提出 强连续线性算子半群的生成理论以来，得到了飞速发展。目前它已经成为数学的一个 重要分支，而且广泛应用于偏微分方程、数学物理、控制理论以及位势理论等中。 强连续线性算子半群的理论体系目前已经比较完善( 1 ，2 】) ，但其生成元必须是满足 某些条件的稠定算子，而且对适用的函数空间有一定的限制，例如s c h r o d i n g e r 算子在 l p ( p 2 ) 空间中就不生成强连续线性算子半群。从而其应用范围具有一定的局限性。 1 9 8 7 年a r e n d t ( 3 ) 、d a v i e s 和p a a g ( 4 ) 分别提出了两类新的算子半群积分半群和 正则半群。这两种半群在很多方面实质性地发展了强连续线性算子半群。其中正则半 群的生成元的定义域可以不稠，预解集可以为空集( 积分半群的生成元预解集必须是非 空的) ，在应用上体现出很强的优势，故近十几年来得到了人们的广泛关注( 4 1 6 】) 。 d e l a u b e n f e l s 的专著( 【6 】) 对正则半群的基本理论有较系统的介绍。 然而，目前有关正则半群的研究仅限于非退化情形，对于退化的正则半群却很少 有人深入研究过。但退化正则半群无论从理论上还是从应用上看都是基本和重要的。 首先，它是对正则半群理论的进一步完善。平行于非退化正则半群的基本理论，这里 我们给出退化正则半群及生成元的定义、性质及其生成定理。 此外，我们知道退化c a u c h y 问题的研究在应用中是很有意义的，退化型方程诸如 b u ( t ) = a u ( t ) ，t o ，h ( o ) ；x 及告曰v ( f ) = a v ( t ) ，t o ，b v ( o ) = x ( 其中k e r b $ ) ) 均可看 成多值算子对应的退化c a u c h y 问题甜0 ) a u ( t ) ，f o ，( o ) = x 的特殊情形，而一个算 子生成半群对应相应抽象c a u c h y 问题的某种适定性，故多值算子生成的半群也开始受 到人们关注。目前，已有利用退化半群( 强连续算子半群) 与退化积分半群来研究退化 c a u c h y 问题的工作( 1 7 - 2 6 ) 。f a v i n i 的专著( 1 7 ) 对b a n a c h 空间退化问题的存在性 与唯一性有较详细的介绍。然而，遗憾的是到目前为止没有一般情形下关于退化 c a u c h y 问题的适定性的结果。起初研究前述两种退化型方程是利用k e r b 的4 相关向 量，要求空间能分解成两个子空间直和，使得4 在其中一子空间上可逆；对于强制算 子也有利用谱方法来讨论闻题的解的工作。后来，退化c a t u c h y 问题的研究基于半群方 华中科技大学硕士学位论文 法以及多值算子的理论。在( 1 8 ) 中给出了积分问题v ( f ) 告x + 4 l t u ) x d s ，r x 唯一 可解时4 的谱特征；在( 2 0 ) 中主要利用一的单值分支生成强连续算子半群，给出了 前述退化型方程及包含c a u c h y 问题一致适定性的m f h i y 条件；在( 2 2 ) 中给出了利用 多值算子生成退化强连续算子半群，退化积分半群研究退化c a u c h y 问题的一致适定性 及( 打，国) 适定性的结果。自然我们有必要考虑利用退化正则半群来研究退化c a u c h y 问 题。这里，我们将退化正则半群与强连续算子半群、积分半群、分布半群等其他类型 的半群进行比较，并讨论它与多值算子对应的退化c a u c h y 问题的关系。 由于算子余弦函数与二阶抽象c a u c h y 问题有着密切关系( 2 7 3 0 1 ) ，这里我们也 给出退化正则余弦函数的基本定义及性质。此外，退化情形的分布余弦函数的研究很 少有人涉足，所以我们也着重考虑了退化分布余弦函数的一些性质及其与退化积分余 弦函数、退化二阶c a u e h y 问题的关系。同时我们提出要讨论退化分布余弦函数与退化 正则余弦函数关系所面临的问题。 本文安排如下： 第二章主要引入退化正则半群及其生成元的定义，并讨论其基本性质和生成定理。 第一节给出非退化正则半群及其生成元的一些预备知识；第二节给出研究退化正则半 群生成元所需要的有关多值算子的基本性质；第三节定义退化正则半群及其生成元， 并讨论它的一些基本性质；第四节我们研究退化正则半群的生成定理。 第三章主要讨论退化正则半群与退化c a u c h y 问题的关系及其与其它类型半群的 关系。第一节给出退化正则半群与退化c a u c h y 问题关系；第二节我们研究退化正则半 群与强连续算子半群、退化积分半群的关系。并指出讨论退化正则半群与分布半群间 关系时所遇到的问题。 第四章主要研究退化正则余弦函数与二阶退化c a u c h y 问题的关系及其退化正则 余弦函数与退化分布余弦函数的关系。第一节中我们引入退化分布余弦函数的基本定 义，并给出其基本性质以及其它相关结果；第二节中我们定义退化正则余弦函数，并 研究非退化正则余弦函数与非退化分布余弦函数的关系，从而指出要讨论退化正则半 群与分布半群间关系所遇到的问题。 2 华中科技大学硕士学位论文 2 退化正则半群 本章主要引入退化正则半群及其生成元的定义，讨论其基本性质，并建立其生成 定理。 2 1 非退化正则半群 本文若无特别声明，均假定x 是复数域g 上的b a n a c h 空间，a ，b 为x 上的( 单 值或多值) 线性算子，曰( x ) 为x 上单值有界线性算子构成的空间，c b ( x ) 。d ( a ) 、 r ( a ) 、k e r ( a ) 、p ( 4 ) 分别为算子彳的定义域、值域、核空间、预解集。 我们首先回忆非退化正则半群韵基本定义 o j ，x 工) 。 2 2 多值算子 对于x 的线性子空间f ，g ，定义f + g = 扣+ v ；f ，v g ，舾= 铷；f ) ， 其中五0 。 定义2 2 1 称a ：z i - - 2 。为z 上的多值线性算子，若d ( 4 ) = ( 甜x ；a u 奶为x 的 线性子空间，且对于村，v d 似) ，五ec ，满足4 甜+ a v c a ( u + v ) ，? m u 亡脚) 。称 r ( a ) = u 。，a u 为4 的值域。记m ( x ) 为z 上所有多值线性算子所构成的空间。 设4 ，b m ( x ) ，定义逆算子_ 1 为d 0 。1 ) = 月( 4 ) ，a - 1 = p d 即x ”a v ) ；两 算子的和a + 曰为d 似+ b ) = d ( a ) f l d ( b ) ，口+ 丑陋= a u + 勘；两算子的乘积a b 为 d ( a b ) = 伽d ( 口) ；d ( a ) n b u 妒) ，a b u = u a v ；v d ( a ) n b u ) 。此外，a 的预解 集为尸( a ) ：= a c ：( 御一a ) 。曰( x ) ) 。 由定义我们容易得到多值算子的一些基本性质。 引理2 2 2 设算子a ，b m ( x ) ，则 ( a ) _ ，a + b ，a b m ( 如； c o ) ”a - 1 v 当且仅当v a u 。特别地，似。) = a 及( 丘回一= b 1 a 一； ( c ) 对于五0 。a u + a v = a ( u + v ) 及触越= a ( a u ) ； ( d ) 4 0 为x 上的线性流形，且对于甜d ( z ) ，v a u ，a u = v + a o ； ( e ) 若p ( 爿) 妒，则对于五p ( 彳) ，a o = k e r ( 甜一4 ) ； 4 华中科技大学硕士学位论文 ( d 若存在的子空间】，使得空间分解x = a o ( d y 成立，则a u ：= a u n j ，是单值 算子，且d ( j ) = d ( a ) ，这里爿称为4 的单值分支。 定义2 2 3 设4 m ( x ) ，如果”。d ( 彳) ，v 。a l l 。，”。寸，v 。寸v ( n _ ) 蕴涵 ”d ( 4 ) ，v a u ，则称爿为x 上的闭线性算子。 由定义易见a 是闭的当且仅当a 是闭的。又不难证明以下引理。 弓l 理2 2 4 设a m ( x ) ，材d ( a ) ，定义i i a u | | = i n f 。) | lv i l ，i l l ，i i 。= 4 i | | + | l 爿h | f ， 则 d ( 4 ) 】= ( d ( 彳) ，l ) 为一b m m c h 空间。 2 3 退化正则半群的定义及性质 本节将给出退化正则半群的定义及其基本性质。与非退化正则半群不同的是这里 的c 不是单射。 定义2 3 1 强连续算子族仃( r ) 。c b ( x ) 被称为退化正则半群，若其满足 ( a ) t ( o ) = c ； ( b ) t ( t + 5 ) c = r ( f ) 丁( j ) ( f ，s 0 ； ( c ) k e r c ( 0 ) 。 ，( f ) ) 。称为指数有界退化正则半群，若其还满足丁( f ) j 庠m e 。o o ) 。其生成元爿定 义为 d ( 4 ) = x x ；砂x ，使得，( f ) x c x ：r o ) y d s ( t o ) ) ， 、 a x 2 0 ，x ；c t ( t ) y d s = t ( t ) x c x ( t o ) ，x e d ( a ) 。 显然a a m ( x ) 。另外，由 1 4 知条件( c ) 等价于n ，。k e r ( t ( t ) ) o ) 。 下面给出退化正则半群的一个例子。 例2 3 2 设a 是h i l b e x t 空间上的自伴算子，q 为复平面的一个紧集，c 为4 关于q 的谱投影，则可以知道4 k 。是只( c ) 上的有界算子，r p ( a l 【r ( c h ) c q 。可以验证， 对于任意多项式p ， ，( f ) ) ，。为多值算子c - 1 a c 生成的退化cj e 则半群，其中 ，( f ) = 二糸p 似粉= 二知一) ) c 。 定义彳的c 预解集为p 。( 4 ) = 缸c ，r ( c ) c 尺( 五一4 ) 且似一彳) 一1 c 烈并) ) ，a 的 c 预解式为r ( a ，4 ) = ( a 一一) c ，v 丑p 。( 彳) 。 蓬蚴 华中科技大学硕士学位论文 下面给出退化正则半群的一些基本性质。 定理2 3 3 设爿e m ( x ) ，4 生成退化c 正则半群 r ( f ) ) ，。，则有以下结论： ( a ) 对矗x ，f o ，有j = r ( s ) 】c 凼d ( 4 ) ，k t ( t ) x c x a j a r ( s ) x d s ： ， ( b ) a 是闭算子，r r ( c ) c 万丽； 。 ( c ) 对于，d ( 4 ) ，t 0 ，有t ( t ) x d ( a ) ，r ( ) x c 1 ( 【o ，) ，d ，g t ( f ) x _ r ( f ) x = t ( o a x ； ( d ) c a c = a ，其中d ( c _ 1 4 c ) = 缸x ；c x d ( a ) j j t a c x c r ( c ) ) ； ( e ) 若l i r ( f ) i l ( 胁。( f o ) ，则 ，) p c ( a ) ，且对于r e a ，i n ，有 d ( q a ) 1 ) j r ( c ) 及 ( 五一4 ) 一”c = 石f f ”k “r ( f 弦， 由此得1 1 ( a 一) 一“c l 离m ( r e 2 一国) 一“。 证明：( a ) 对h x ，f ，0 ， 丁( r ) r ，( j ) 溉蠡一c i ：t ( s ) x d s = t ( r + s ) c x d s r 丁o ) c 奴括 = r 丁。胁凼一砸) c x a s = f r ( s ) ( r ( ，沁一c x ) d s 从而由彳的定义知f 丁( 曲妇d ( ) ，且 t ( t ) x c x a t ( s ) x d s ( f o ) 。 ( b ) 设 ) c d u ) ，x 。七x ，y 。血。，j ，。y ( n _ a 。) 。由a 的定义知， t ( t ) x 。一c x 一2 1 ：r ( j 堍d s ( f o ) 则上式两边取极限有，( f ) x c 譬= f 砸) 灿，从而x d ( 彳) ，夕4 r 。故4 是闭算子。 因为 觋 r ，o ) 砌= r ( o ) x = ， 又据( a ) 知r 邢) 础f d ( 彳 ，故d 似) 在r ( c ) 中稠密，从而有坝c ) c 西丽。 ( a ) 对矗d ( 么) ，y a x ，有 6 华中科技大学硕士学位论文 t ( r ) x c x = t ( s ) y d s ( r o ) ， 两边作用t ( t ) ( t 0 ) ，则有 t ( t ) t ( r ) x c t ( t ) x = t ( r ) t ( t ) x c t ( t ) x = j = t ( s ) t ( t ) y d s ， 故t ( t ) x d ( 4 ) ，且丁( f ) y a t ( t ) x ，从而r ( t ) a x s a t ( t ) x ； 另方面，对于2 a t ( t ) x ，由a 的定义知， 丁( ，) 7 ( f p c t ( t ) x = j r o ) z d s ( f ，o ) 。 5 l x c - t - x d ( 4 ) ，3 y _ y ，使得丁( r ) z c x = t ( s ) y d s ，故j ：丁o ) z d s = r ( f ) r r 扣) y a s a 则有：= t ( t 沙t ( t ) a x ，从而a t ( t ) x t ( t ) a x 。 综上所述，对于x d ( 爿) ，有4 川弦= t ( t ) a x a 又由t ( t ) x c x - - r r ( s ) y a s 易知 ，( ) x c 1 ( o ，) ，x ) ，从而t ( f ) r a t ( t ) x = t ( t ) a x 。 ( d ) 在a t ( t ) x = t ( t ) a r ( y d ( 爿) ) 中取t = 0 即得a c x = c a x 。故有a c c a c 。 下证a c a c 。令x 仨d ( c 。a c ) ，即c x d ( a ) ，a c x c r ( c ) 。对于y a c x ，有 t ( t ) c x c x = 丁o ) y a s ，故丁( f ) x - x = f 丁( s ) c 。y a s 。从而x d ( 4 ) ， t c a c x c a x 。 可得c 。1 4 c a 。则有c - 1 爿c = a 。 ( e ) 记”( a ) = f e - “t ( t ) x d t ( r e 2 ( o , x e z ) 。显然”( 五) d ( 4 ) ，且 a u q ) = 4 f 口t ( t ) x d s = 2 ；oe - “a f o t ( s ) x a s 匝， 由( a ，知，( f 弦一c x e 爿f ，o ) x d s a 又因为 五j c d e - 2 t ( t ( t ) r c x ) a t = 知( 五) 一c x ， 且”m ) 是单值函数，故 以一4 ) c x = 钟( a ) = f e - “t ( t ) ：x l t 。 从而( a 一4 ) 1 c b ( x ) ，r r ( c ) c d “a 一4 ) 一1 ) = r q 一4 ) 。则有 ，) p c ( a ) ( 2 - a ) 4 c r = ( - 1 ) “( f t - t e - “t ( t ) x d t ) 。 又由预解恒等式知 三每( 五一4 ) c = ( 一1 ) ”1 ( n - 1 ) ! ( 2 - a ) 一”c 。 华中科技大学硕士学位论文 结合两式得 ( 五一名) 一c = 南f f “e “，o ) a s 。 因为i l 丁( f ) 临m e “，故有i l ( 五一) “c 临m 承e 2 一c o ) 一。证毕。 2 4 退化正则半群的生成定理 对于算子半群而言，生成定理无疑是重要的。以下是用l a p l a c e 变换所刻划的指数 有界退化正则半群的生成定理。 定理2 4 1 设彳m ( n ，k e r c o ) ，m 0 ，瑚s r ，则以下结论等价： ( a ) 4 生成退化正则半群 7 ( f ) ) 。，l | t ( t ) i 库胁“( f 0 ) ； ( b ) c a c = a ，( c o ，0 0 ) cp c ( a ) ，且存在强连续族 ，o ) ) 。，使得t ( 0 ) = c ， | | 7 1 ( ，) j 峰 如4 0 0 ) 及 心 ，爿) x = e e 。t ( t ) x d t ( 五 c o , x e 石) 。 证明：( a ) ( b ) 由定理2 3 3 ( e ) 及退化正则半群的定义即得。 ( b ) j ( a ) 对于a ，卢 ，由r c ( a ，a ) x = ( a 一由- 1 c 易验证 恐( a ，a ) c 一墨以，a ) c = 姐一a 比 ，4 ) 心( ，a ) 则 f f e - w e - , u r ( h s ) c x d s d t = f e - ( u - 2 ) t ( 五，彳肛一f p “，o ) 倒f ) a t = 击阮q ，a ) c x 一心( ，a ) c x 】 = 心( 五，彳) 心( ，a ) x ：ff e - f e - a n r ( f ) r o ) x d s d t 。 由l a p l a c e 变换的唯一性知t ( t + j f = r ( t ) t ( s x t ，j o ) 。又据题设t ( o ) = c ， k e r c o ) ，故 r ( f ) ) 为退化c 正则半群。 下证生成元为爿。事实上，若矗生成 r ( f ) ) ，则对于工d ( c 。a c ) ，y c a c x ， 有 c x = ( 丑一爿) 。c ( 知一c a c x ) = ( 五一彳) 1 c ( 知一c a c x ) ， 从而彳c x = c ( c a c x ) 。故& d ( j ) ，且彳c k c r ( c ) ，即工d ( c 。a c ) 且 华中科技大学硕士学位论文 c 一1 a c c c 一1 彳c = 彳。反之，对于r d ( a ) ，有 c i = ( 一彳) 一1 c ( 缸一c 一1 j c l ) = ( 五一彳) 1 c ( 缸一c 一1 彳c k ) ， + k 而a c x ：c ( c 一，j q ) ，d ( 彳) ，j l a c x c r ( c ) ，从而x d ( c 一1 x c ) 且j = c 一1 j c c ca c 。所以由题设得一= c a c = 彳。证毕。 下面我们给出当生成元定义域稠时指数有界退化正则半群的生成定理。 定理2 4 2 若4 m ( x ) ，西丽= x ，k e r c o ) ，m 0 ，国r ，则以下结论等价： ( a ) 彳生成退化c 正则半群i f ( o ，。，i i r ( f ) l i 国，n n ，有d ( 一4 ) ”) i r ( c ) 及 ij ( 五一爿) 一”c i i m ( r e a c o ) 一4 。 证明：( a ) j ( b ) 由定理2 3 3 ( e ) 即得。 ( b ) ( a ) 由w i d d e r - a r e n d t 表示定理( 【3 】) ，存在 s ( f ) ) ，cb ( x ) ，使得s ( o ) = 0 ， l i r a “s u p i i s ( t + 西) 一临施“， 且 一爿) 1 c = e 知。s ( t ) x d t ( r e 2 c o ) 。 对于r d ( a ) ，有 3 r c q ，a ) x = + 也( 五，a ) a x a 由分部积分得 、 s ( t ) x = t c x + s ( r ) 曲耐f c 1 ( 【o ，】，肖) 。 令t ( t ) x = s ( f 弦= c x + s ( t ) a x ，则有，( o ) = c ，| | t ( t ) f 喀施“( f o ) ，且 心似，4 弦= j c o 口“r ( t ) x d t ( r e 五 戤x z ) ， 从而由定理2 4 1 即知彳生成指数有界退化c 正则半群。证毕。 我们在这里只对退化正则半群做了初步的研究，还有很多问题需要进步探讨。 比较非退化正则半群的工作，我们还可讨论诸如退化正则半群的压缩性、稳定性、概 周期性及其遍历性等些特殊性质，以及局部退化正则半群等其它退化正则半群类。 华中科技大学硕士学位论文 3 退化正则半群与c a u c h y 问题及其它算子半群类的关系 本章我们主要讨论退化正则半群与退化c a u c h y 问题的关系，以及与其它类型退化 半群的关系。 3 1 退化正则半群与c a u c h y 目题的关系 考虑退化c a u c h y 问题( 也称为包含问题) ”( f ) a u ( t ) ，t 0 ，u ( o ) = yf m ) 其中a 为多值算子。 首先，我们给出退化c a u c h y 问题( n o 的解及c 适定性的定义。 定义3 1 1 称( f ) 为( 口) 的解，若( ) c 1 ( ( o ，。) ，j ) ，u ( t ) d ( a ) ( f 0 ) ，且满足( ) ； 称l f ( f ) 为( p ) 的m d d 解，若j ：甜( s ) a s d ( 么) ，且甜( ，) x + 彳f ( s ) 西o o ) 。 定义3 1 2 称他) 是c 适定的，若对于z c ( d ( 4 ) ) ，( m ) 存在唯一解，且对t - t 0 ， i i u ( o i 辟肘( r ) i i c 1 x 其= p l l c x l t = i n f 。 | | y 忆，肘( f ) 为【o ，m ) 上局部有界函数。 若m ( t ) 为指数有界函数，则称( i p ) 是c 指数适定的。 下面我们研究指数有界退化正则半群与c 指数适定之间的联系。因为要考虑解的 唯一性，退化情形下x 需要满足一定的空间分解条件。 定理3 1 3 设4 e m ( x ) ，石满足分解x = r ( c ) 0 c a o ，且c a c ；a ，几( 彳) ， 则以下结论等价： ( a ) 4 生成指数有界退化c 正则半群； ( b ) 对于r r ( c ) ，( i d 有唯一指数有界m i l d 解； ( c ) ( 坤) 是c 指数适定的。 证明：( a ) ( b ) 设4 生成退化c 正则半群留( f ) k 。，且| | t ( t ) i s m e 。对于x c ( d ( 4 ) ) ， ，c 1 y ，由定理2 3 2 知r ( j 枷凼d ( 由，且 ，( f 沙9 【t ( s ) y d so o ) 。 令( ，) = c t ( t ) x ，则有e 群( s ) d s d q ) ，且 1 0 华中科技大学硕士学位论文 u ( o x a 1 ( s ) d ，( f o ) 。 亦即u ( t ) = c 。t ( t ) x 为( 口) 的m i l d 解。 下证空间分解保证了m i l d 解的唯一性。首先注意对于x r ( c ) ，( f ) = c 。t ( t ) x 是 单值的。由退化正则半群的定义知a o = f l k e r ( t ( t ) ) ，又因为x = r ( c ) 0 c a o ，故由 引理2 2 2 知c 1 4 在r ( c ) 上是单值算子，又c 是单值算子，从而a 和c 。在r ( c ) 上 也是单值算子，故c 一17 1 ( f ) 也是单值的。这样c 在页i 巧上是单射，从而完全类似与 6 】 中定理3 5 中唯一性的证明可得m i l d 解的唯一性。 ( b ) ( c ) 设r r ( c ) ，( i p ) 有唯一指数有晃m i l d 解”( f ) ，则有 u ( t ) x d s d ( a ) ， 且”( f ) r + a 【t ，( s ) 凼( f o ) 。设五p c ( 4 ) 妒，令v ( f ) = ( a - a ) 一1 ( f ) ，贝。有 ( a 一4 ) 1 u ( t ) ( a 一4 ) 。x + a e ( 五一一) + 1 u ( s ) d s 即v ( t ) = ( 五一4 ) - 1 甜o ) 是对应于( a 一爿) 1 x 的解。 又因为c ( d ( 4 ) ) = r ( ( a 一由。c ) ，故对于x c ( d ( 彳) ) ，( i p ) 存在唯一解。由”( f ) 指 数有界可得l 甜( f ) l 阵m e “| | c 。r i i 。故( i p ) 是c 指数适定的。 ( c ) ( a ) 的证明完全类似于【6 】中定理41 5 ，这里略去。 因以后的需要，我们指出对于非指数有界情形，类似于 1 0 中非退化情形的结论， 有以下定理。 定理3 1 4 设a m ( x ) ，z 满足分解j = r ( c ) 0 c a o ，且a c = c a ，p ( 国， 且对于x r ( c ) ，l i p ) 有唯一m i l d 解，则爿生成退化c 正则半群。 3 2 退化正则半群与其它算子半群类的关系 定义3 2 称强连续算子族 r o ) ) 。cb ( x ) 为退化c 。半群，若其满足 ( a ) r ( t + s ) = r ( f ) r ( j ) ( f ，s o ) ； ( b ) n mk e r ( t ( t ) ) 鼢。 从定义可知这里r ( o ) 是一个投影算予。可以看出退化g 半群并不是指数有界退化 正则半群的特殊情形。我们给出的是指数有界退化正则半群与c 。半群的关系。 定义3 2 2 称强连续算子族 r ( f ) ) 。cb ( z ) 为退化一次积分半群，若其满足 ( a ) t ( t + 5 ) = t ( t ) t ( s ) ( f ，s 0 ) ； ( b ) n ，k e r ( t ( t ) ) 0 。 1 1 i 瓣勰l 华中科技大学硕士学位论文 定理3 2 3 设a m ( 柳，a 生成退化c 正则半群 丁( f ) ) ，。，r i l t ( t ) 临m e “( t 0 ) 。 又设x 的子空间f ：= 仁e x ；c 。t ( t ) x 单值连续且t i m 。一e 。i l c 。t ( t ) x 卜0 ) ( 五 0 3 ) 上具有范数 i h i f ：= s u p ，p ”i ic 。t ( t ) x 】i = s u p ，。e , ui n f ，c ( f ) ，i ly j 且x = f o a o ，则彳i f 生成f 上的c 。半群。 证明：由t ( t + s ) c = t ( t ) t ( s ) 得t ( t + s ) x = c 。t ( t ) t ( s ) ，从而r ( ，( f ) ) c f ，t 0 。若 x r ( c ) = r 口( o ) ) ，则有 f f x f s u p l 卸m e 毋。”c _ 羔l f - m | | c r f i 可以验证赋上述范数后的f 是b a n a c h 空间。因为 c 一1 t ( s ) c t ( t ) x = c 一1 t ( t + s ) x x f ， 故s ( t ) = c - 1 t ( t ) 为f 上的线性算子。 下面证明彳k 生成f y _ f 拘c 。半群p ( f ) ) f 。 显然s ( f + j ) = s ( f ) s ，t ，s 2 0 ，r s ( o ) = i 。类似于0 v ) ：。非退化情形( 【1 9 ) ，我 们可以证明p ( f ) l 。在f 上的强连续性，从而p ( f ) l 。为f 上的c 。半群。又由于空间分 解x = f o a o 保证了f 上4 k 的单值性，生成元为一l ，的证明也是类似的。证毕。 定理3 2 4 设a 膨( x ) ，五e p ( 4 ) ，x = r ( c ) o c a 0 ，则以下结论等价 ( a ) 彳生成指数有界退化q 一一) “正则半群； ( b ) 彳生成退化力次指数有界积分半群。 有了空间分解，定理31 4 的证明完成类似与 1 9 】中证明思路：( b ) j ( a ) ，这里为：存在m o ，c o r ，使得( o j ，) p ( a ) ，且对于a m ，m ，n n ，成 立 + i l ( a 一) 一“( 一彳) 一4i 阵m ( x - c o ) 一”。 此外，我们考虑退化分布半群与退化正则半群的关系。分布半群的概念最早由 l i o n s 在6 0 年代引入，近年来，其他类型的分布半群相继被定义和讨论( 【6 ，3 1 3 4 1 ) ，在 【1 9 ，2 6 中有退化情形的分布半群的定义及研究。 以下d 为z 上具有紧支集的无穷次可微函数构成的空间，其上赋以归纳极限。d o 为d 中支集包含于【o ，哟的函数所构成的空间，d ( x ) 表示d 卜x 的连续线性映射所 构成的空间。 华中科技大学硕士学位论文 定义3 2 5 称分布g d ( b ( x ) ) 为一退化分布半群，若 ( a ) s u