（固体力学专业论文）Trefftz法解压电材料平面问题.pdf

摘要 本文首先由压电材料的基本方程出发，采用偏微分方程一般解的统一理论，通 过规范的步骤，得到了以完备解系表示的压电材料平面问题一般解。这种形式的 一般解是恰当的。 其次，对运用数值计算方法求解压电材料平面问题进行了研究，本文采用 t r e f i t z 边界元法进行计算，比较了t r e f l i z 法与常规边界元法的构造方式，并分析 了几种t r e f l t z 型边界元法的优缺点，给出了压电材料平面问题中t r e f f t z 间接法和 t r e f f t z 直接法的边界积分方程及相应的权函数和试函数。目前国际上还没有将 t r e f t t z 法运用到压电材料领域的先例，本文的工作是一次有意义的尝试。 最后。通过对例题的数值实验，检验了用t r e f r z 法求解压电材料平面问题的 可行性。结果表明，t r e f f t z 法求解的精度和计算效率都很高，是一种行之有效的 方法。同时为方便其他的研究人员进行研究，也对计算中可能遇到的较典型的问 题进行了分析和解答。 【关键词】t r e t i t z 法边界元压电材料一般解平面问题 【分类号】t m 2 8 2 a b s t r a c t f i r s t l y , b a s e do nt h ef u n d a m e n t a le q u a t i o nf o rp l a n ep r o b l e mo fp i e z o e l e c t r i c m e d i a , au n i f o r mt h e o r yf o rt h eg e n e r a ls o l u t i o no fp a r t i a lc l i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h c o n s t a n tc o e f f i c i e n t sw a si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r , a n dt h eg e n e 蹦s o l u t i o n ，e x p r e s s e d b yt h ec o m p l e t es o l u t i o no ft h ep l a n ep r o b l e mo fp i e z o e l e c t r i cm e d i a , w a sd e r i v e d t h r o u g h as e to f r e g u l a r s t e p s i tc o u l d b e p r o v e d t h a tt h eg e n e r a ls o l u t i o nw i t ht h i sf o r m i sp r o p e r s e c o n d l y , t h en u m e r i c a lm e t h o df o r t h ep l a n ep r o b l e mo f p i e z o e l e c t r i cm e d i a w a s s t u d i e d t r e f f l z - t y p eb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o dw a s a d o p t e d i nt h en u m e r i c a l c a l c u l a t i o ni nt h i sp a p e r t h ed i f f e r e n c e si nt h ec o n s t r u c t i o no ft m f f t zm e t h o da n d c o n v e n t i o n a l b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o dw e r e c o m p a r e d t h ea d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e so ft r e f f t zm e t h o dw e r ed i s c u s s e d , t h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o na n d r e l a t i v ew e i g h t i n gf u n c t i o n sa n dt r i a lf u n c t i o n si nt r e f f t zd i r e c tm e t h o d ( t d m ) a n d t r e f t j i zi n d i r e c tm e t h o d ( t i m ) f o rt h ep l a n ep r o b l e m o f p i e z o e l e c t r i cm e d i a w e r eg i v e n i ts h o u l db em e n t i o n e dt h a tt h e r ei sn o r e p o r t o nt h ea p p l i c a t i o no f t r e f f t zm e t h o di nt h e r e s e a r c hf i e l do fp i e z o e l e c t r i cm e d i a , a n dt h er e s e a r c ho ft h i sp a p e ri sav a l u a b l e e x p e r i m e n t l a s t l y , t h ef e a s i b i l i t y o ft r e f f t zm e t h o di n s o l v i n g t h e p l a n ep r o b l e m o f p i e z o e l e c t r i c m e d i aw a sp r o v e db yan u m e r i c a le x a m p l e t h er e s u l ti n d i c a t e st h a t t r e f f t zm e t h o di s 柚e f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o do fl l i g hp r e c i s i o na n de f f i c i e n c y , i n a d d i t i o n ，f o rc o n v e n i e n c eo fo t h e rr e s e a r c h e r s ，s o m et y p i c a lp r o b l e m si nn u m e r i c a l e x p e r i m e n t a n dt h es o l u t i o n sw e r el i s t e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s t r e f f t zb o u n d a r ye l e m e n tp i e z o e l e c t r i cg e n e r a ls o l u t i o n p l a n ep r o b l e m c l a s s i f i c a t i o nc o d e 】t m 2 8 2 2 绪论 一、压电材料性能及其研究概况 压电材料是一种能够实现机械能与电能之间相互转换的机敏材料。自从c u r i e 兄弟于1 8 8 0 年发现压电效应”以来，压电材料就以其特殊的正、逆机电效应被用 于制作各种传感器、滤波器、延迟器和制动器等关键功能元件，在电子、医疗、 激光、超声、红外、导航等高科技领域及现代工业中得到了广泛的应用【2 1 。其中， 压电陶瓷是一种横观各向同性压电材料，具有良好的压电效应，应用尤为广泛。 ( 一) 、压电材料机电耦合性能的研究 由于多数压电材料固有的脆性特征，往往导致材料在力场和电场的作用下引 起应力集中而导致裂纹的产生和扩展，造成压电部件失效；由于材料本身往往存 在裂纹、孔洞、夹杂等缺陷，也是部件失效的重要原因；另外，压电陶瓷等单相 压电材料往往不具有现代高新技术所需要的综合性能，因此，要提高压电材料的 工作性能，设计和制造出高性能、多功能的压电复合材料，就需要将固体力学的 方法同电磁理论相结合，从机电耦合的观点对压电陶瓷材料的损伤和断裂过程作 理论性分析和精确的定量描述，这一工作已引起材料、力学工作者的广泛关注和 浓厚兴趣。 目前对压电材料机电耦合性能的研究主要集中于两个方面：宏观的有效电弹 性能和局部的弹性场、电场分析。前者是建立材料的细观结构与宏观有效性能的 定量关系，以期指导压电复合材料的设计和研制，这方面的工作主要有 s c h u l g a s s e r i3 1 ，b e n v e n i s t e 和d v o r a k 【4 】，d u m a 和t a r a , 5 1 ，w a n g 和d u 6 , 7 1 等人的研 究。后者注重于研究含夹杂、裂纹等缺陷的压电材料的弹性场与电场的分布特征， 为压电元器件的可靠性分析提供理论依据。在这方面，许多研究人员做了大量的 工作： p a t t o n f 8 | 在1 9 7 6 年首先提出讨论了压电材料界面裂纹问题；d e e 9 9 1 研究了压电 3 材料的断裂、位错和夹杂问题，得到了含缺陷压电材料的应力和电位移的奇异行 为。k e p k e 等1 1 0 1 提出，压电部件的破坏与材料本身的特性有关；s o s a 1 1 - 1 4 先后研 究了无限压电材料中含椭圆形空腔、压电体中的半无限裂纹端线、椭圆母线或裂 纹前沿垂直于压电材料极化方向、无限大压电材料平面中含中心裂纹等情况，利 用应力函数法及复变函数解法提出了带有缺陷的压电材料平面问题的一般解法； 王子昆【”，1 印研究了压电陶瓷中圆币形裂纹在垂直力和横向剪力作用下的问题，给 出了裂尖附近应力场和电位移的解析表达式；s h i r t d o 和o z a w a 1 l 1 8 1 研究了正交各 向异性压电材料中含有限裂纹时电弹性波的传播，以及正交各向异性压电材料中 心裂纹受面外剪力和面内电场联合作用的问题；l i 等1 9 1 给出了g r i t i i t hi i i 型裂纹 裂尖的应力和电位移分布，及应力和电强度因子的解析表达式；w h n 窖2 0 1 对扁平椭 球裂纹进行了三维分析；p a r k 和s u n t 2 1 1 给出了无限大压电材料含中心裂纹的三种 断裂模型的封闭解；g a o 和f a i l 【2 习研究了压电材料中含同线性裂纹的问题，给出 了压电体和裂纹中的封闭解；l i u 和f a n 2 引利用传统边界元法研究了含缺陷或薄形 压电介质问题。 ( 二) 、压电材料解析方法研究概况 无论是理论分析还是数值计算，都极大地引起了人们对某些压电材料问题基 本解和一般解的浓厚兴趣。比如，在横观各向同性材料的求解问题上，众多学者 做了大量的研究工作。l e k i l n i 协i 【i i l 2 4 0 5 1 研究了横观各向同性材料旋转体轴对称问题 的通解；e 1 1 i o 甜2 q 导出了用类调和函数表示的三维问题的某种特解；l o d g e i z 7 1 在此 基础上作了推进，把e l l i o t t 的结果扩展为用三个势函数表示；胡海昌2 8 1 通过引入 势函数方法得到了恰的解：丁皓江和徐博候【2 9 1 从应力函数出发，求得了横观各向 同性体轴对称问题的通解表达式；p a n 和c h o u t 3 0 1 引进三个位移势函数，用试凑法 求解了无限体内受集中力的问题id u n n 儿l 通? x s t r a d o n 变换和坐标变换给出了横观 各向同性压电材料的显式基本解；王子昆，陈庚超口2 1 利用逐次引入势函数的方法 4 得到了压电材料空问轴对称问题的完备通解；王子昆，郑百林3 3 l 研究了横观各向 同性压电材料半空间边界上的解和平衡方程的通解；丁皓江等 3 4 , 3 5 研究了横观各 向同性压电材料的运动方程和平衡方程的通解，利用体积势理论，结合试凑构造 法，给出了横观各向同性压电材料三维问题的基本解。 在平面问题的研究上，s o s a 和c a s t r o 3 6 - 3 8 采用了状态空间法得到了基本解； 而l e e 和j i a n g 3 川则采用二重f o u r i e r 变换得到基本解；丁皓江等采用状态空间 方程与一重f o u r i e r 变换和通解技术结合的方法，给出了平面问题的基本解；丁皓 江、王国庆、陈伟球m 1 1 利用推广的a l m a n s i 定理，将通解化为简单形式，得到了 用调和函数表示的平面问题通解；丁皓江等 4 2 4 5 1 依据得到的一般解，导出了无限 体的基本解、半无限体的g r e e n 函数，以及两相材料组成的无限体的g r e e n 函数： 尚福林、王子昆 4 6 1 采用引进势函数法和f o u r i e r - h a n k l e 变换技巧，得到了横观各向 同性热压电材料空间轴对称问题场方程的通解；刘金喜，王彪4 刀利用复变量鼬o h 方法和解析延拓理论导出了双相压电材料电弹耦合场的封闭形式基本解；高存法、 樊蔚勋【4 8 】应用复变函数导出了含一个椭圆孔或裂纹的横观各向同性压电体在任意 集中力和集中电荷作用下的复变函数解；e ，p a n ，f ，t o n o n 4 9 采用s n 曲公式和二 维f o u r i e r 变换得到了各向异性压电体全空间的基本锵，以此为基础，退化可得到 横观各向同性解。 值得注意的是，在过去对压电材料的研究中，对于求解一般解或通解问题， 通常采用引入势函数、f o u r i e r 变换、利用s t r o h 公式、复变函数等方法，大多属 于试凑法，需要凭借一定的经验，而没有一种统一的理论。1 9 7 8 年，张鸿庆1 5 0 1 建 立了弹性力学方程组一般解的统一理论，给出了产生恰当解的一般公式。本文即 以此理论为基础，推出压电材料平面问题的一般解。 ( 三) 、压电材料数值方法研究状况 由于压电材料的机电耦合性质，使得数学上的处理非常复杂，能以理论方式 5 求得解析解的问题仅占很少的一部分，对于大多数目题，必须依靠数值方法解决。 数值计算主要分为有限元型解法和边界型解法两大类，前者在压电材料的研究中 已经得到了广泛的应用，例如，b e n d c t t i 和ba ：r b o n i ( 5 1 】用有限元法求解了一维机电 耦合问题的二阶微分方程组；b e r g e r 等5 2 1 建立了压电材料的有限单元库，这一单 元库包括固体单元、平面单元、杆单元、以及某些多层复合壳单元。这方面的工 作还有a l l i k 和h u g h e s 53 1 ，s u n g 等f 5 4 】，o d e n 和k e l l y l 5 5 1 ，k u m a r 和s i n g h i 5 6 1 ，y u 等矧，k i m 等【蜘，l i n 等铷，s a r a v a n o s 等 6 0 l 。 相比之下，边界元法在压电材料中的应用较少，有关采用边界元法研究压电 材料的文献非常有限，可参见l u 和m a h r c n h o l t z 6 ”，l e e 和j i a n 9 1 6 习，l e e 矧，d i n g 等6 4 1 ，p a l l l 6 5 1 ，c h e n 和l i n t 6 6 1 ，王国庆【硎，p i a n 【6 8 1 ，刘正兴等，d e n d a 和l u a l 7 0 1 的论文。 以上文献中采用的大多是以s o m i g l i a n a 互等定理为基础的常规边界元法，即 以g r e e n 函数解作为边界积分方程的权函数。这是一类具有奇异性的边晃积分方 程，在计算时会遇到一定的困难，在某种程度上，还会影响计算的精度和效率。 为避免奇异积分问题，本文采用了种非奇异的边界积分方程t r e f f t z 型边界 积分方程进行数值计算。 二、t r e f f t z 法研究概述 t r e f f t z 法由t r e f l 娩t 7 1 1 在1 9 2 6 年首创，可以归类于边晃型解法。近年来，t r e f f t z 型边界解法逐渐引起了学术界的重视。1 9 9 5 年，a d v a n c e si ne n g i n e e r i n gs o f t w a r e 杂志出版了一期专刊，以纪念t r e f f t z 法7 0 周年的发展史。在1 9 9 6 年、1 9 9 9 年和 2 0 0 2 年，已先后召开了三属t r e f r z 法的国际会议，研讨t r e f f t z 法的最新发展和成 果。 t r e f f t z 法的基本思想是将预先满足控制方程的函数作为试函数，代入相应的 变分方程，从而得到只含有边界项的积分式。在1 9 2 6 年的文章中，t r e f f i z 将这一 6 方法应用于解决l a p l a c e 方程的d i r i c h l e t 问题。其后，t r e f h z 法在b i 瑚锄【7 2 _ 7 4 l ， r a f a l s o n l 7 5 , 7 6 1 等人的研究中得到了推广。 在经典t r e f f t z 法中，t r e f f t z 函数( t 一函数) 中的待定系数通过边界条件的 某种加权残数方式确定，属于间接法。1 9 8 9 年，c h e u n g ，j i n ，z i e n k i e w i c z 等a t 7 7 , 7 s l 提出了t r e f f t z 真接法。在其后的研究中，金吾根等人 7 9 - 8 2 1 将t r e f f t z 直接法应用于 势流、平面弹性、平板弯曲、波浪载荷、薄板振动和中厚板等问题。直接法的提 出，完善了t r e f f t z 法的体系。 自形成以来，t r e f f t z 法在许多方面得到了广泛应用，r e k t o r y s k i s 3 1 在解双调 和方程中运用了t r e f l t z 法；k u p r a d z e o z 8 4 1 用t r e f f t z 法研究了弹性问题，z i e l i n s k i a p 和z i e n k i e w i c zo c 【8 习将t r e f r z 完备函数引入有限元法，求解了广义调和方 程：p h i l i p z i k w , 【蚓，d e s m u k h r s 【朗，r u o f f g 1 8 8 ，1 瓠1 h n a s h w a s g j 等a 利用t r e f t t z 法分别研究了桥面板，中厚板，壳，薄板振动等问题：j s l a d e k ，v s l a d e k l 9 0 】分别采用t r e f f t z 直接法和间接法求解了h e l m h o l t z 方程：e k i t a 等人 将t r e f f t z 直接法与区域分解法相结合，研究了二维势流问题；继而，他们【9 列又利 用l a p l a c e 方程t r e f f t z 完备系的迭代，求解了非线性的p o i s s o n 方程；c t f e r n a n d e s 等人【9 3 l 采用t r e f f t z 最小二乘配点法，结合非线性最优化方法，给出了对应于不同 边界条件下应力比例因子的确定方法。 随着对t r e f f t z 法研究的不断深入，这种以满足控制微分方程的齐次解作为权 函数的思想渐渐得到广泛采纳，使t r e f f t z 法不再局限于边界元的范畴。以t r e f f t z 法为指导思想，与有限元相结合的数值方法也逐渐发展起来。j i r o u s e k ，p i l t n e r ， z i e n k i e w i c s 和t a y l o r 等人致力子运用t r e f r z 法的思想构造对称的有限单元形函 数，并在单元边界处进行积分；杂交t r e f f t z 有限元法( h y b i r d t r e f f t zm e t h o d ) 是 一种将t r e f f t z 法与有限元结合的典型方法，自j i r o u s e k 和g u e x 9 4 l 提出杂交t r e f f t z 单元的概念以来，作为一种高效的数值工具，被用在平面弹性问题、薄板弯睦、 厚板弯曲、p o i s s o n 方程、壳体问题和热传导等各个力学领域。 ， 随着应用范围的推广，许多t r e f r z 法的实际应用问题也得到了研究，j i n w g 等9 5 1 在运用t r e f f t z 法解厚板问题时发现了一类新的“自锁现象”，并提出了“变 量减缩法”解决这一问题；z i l e n s k i t 蚓，r e u t s k i y 9 7 l 研究了t r e f f t z 型试函数的构建、 p o r t e l a 】研究了t r e f f t z 法的编程，为t r e f f t z 法的运用提供了方便的工具。 在应用于实际问题的同时，研究人员也从理论上对t r e f f t z 法进行了研究，e k i t a t 9 堋提出了一套研究t r e m z 法边界敏感性的数值方案，并用此方法讨论了t r e f f t z 伽辽金法的敏感性；j i m u s e k 等1 删回顾并评价了t r e f t t z 单元，指出这种单元不仅 吸收了传统有限单元和边界单元的优点，摒弃了它们的不足，而且还具有自身的 优点，如在有限元应用时仅需在边界上进行积分、处理集中载荷或不连续载荷问 题时无需重新划分网格，等等。 近年来，t r e f f t z 法由于其避免奇异、计算效率和积分精度高、边界附近数值 稳定等优点逐渐引起了学术界的重视，并得到了越来越广泛的应用。然而，在压 电材料领域t r e f f t z 法的应用尚无先例。本文将t r e f f t z 法运用到压电材料平面问题， 是在这一领域的一次尝试。 三、本文的主要工作及特点 1 由压电材料的基本方程出发，采用弹性力学方程组一般解的统一理论，得 到了以完备解系表示的压电材料平面问题一般解。解决了过去只能用试溱 法或引入势函数法求解，而没有一种统一方法的问题。 2 基于加权残数法，导得了压电材料平面问题中t r e f f t z 间接法和t r e f f t z 直接 法的边界积分方程及相应的权函数和试函数，并运用t r e f l k 边界元法作为 数值计算方法求解了压电材料平面问题。过去对压电材料的边界元研究太 都采用常规边界元法，无法避免积分的奇异性问题，目前国内外还没有将 t r e f f t z 法运用到压电材料领域的工作，本文的研究是一次有意义的尝试。 3 通过实际算例，验证了t r e f f t z 法求解压电材料平面问题的可行性。数值实 验的结果证明，t r e f f t z 法求解的精度和计算效率都很高。 第一睾压毫材料平蠢闫嚣的基本方程及一毅簿 本露由压电材料空间问蹶的基本方程出发，曾先退化得到横观嵛向同性压 电材料带面应变问题和平筒成力问题的控制微分方程，继而引入弹性力学方程 组一般躲豹统一理论，求褥压邀瓣粒乎瑟翊题懿靛表这影式，再对躲避嚣海除 处理，戳降低计算难度：最藤采用l a p t a c # 方程程复数域中盼完备解系，得到 阱完备解系表示的压电材料平面问题一般解。 1 压嫩糖料熊基本方程 压电材料的平衡方程和g a u s s 电学方程为 咒餐方程为 a i j 七，| = 0 d l j q = 0 岛= 委扎+ h ，) e l = 一妒i 本构方穰( 鄹机电藕合方程) 为 边界条件为 n - 1 - 2 ) 2 如一最 - 3 ) d l = g 埘占材+ 拈e k 。 d 篆t n 耋z ! 雾 绺谚 - i = 丽l ，妒= 毛 、7 其中，岛，虬，丘，毋和庐分别为应力、威变、位移、电场强艘、电位移 和电势；，q 为体积力和电荷密度；c 知，以，8 触，* ，一t ，五分别裳示弹性 鬻数、电场强发、匾龟常数、套惫鬻数、给定覆力秘表嚣邀蕊密度。鬈麓逸爨r 魏 夕 法线方向余弦，且有u l = lu l = f 。 本文讨谂的压电陶瓷属于横观备向同性材料p 7 , s a l ，以z 轴为各向异性轴，x - y 0 平面为各向同性面，则弹性常数矩阵c 可简化为： c = 压电常数矩阵e 简化为： 1 2压电材料平面问题的基本方程 o o o o 0 昙( q 。一q ：) 在平面应变问题中，有勺= o 如= = 。，b = 一雾。，则压电材料 平面问题基本方程简化为 本构方程( 1 - 1 3 ) 退化为： 仨r 胁匕 孥+ 孥+ 正：o a x昆 。4 等+ 等+ 正= o盥窿 孕+ 孕：g 融钯 1 0 - 2 - 1 ) 以2 曩。t 。瓦。：。2 瓦+ 一0 z ( 1 - 2 - 2 ) e ：一娑，也：一娑 o x0 z + 曹 ( 1 - 2 3 ) 1 0 o o o o o o o o o o o o o i q 气o 0 o i【1 o o o 们副 0 oo o o o 0 o e o o 吩 l i l r b 、，lrj t t p o 一 、lr， q t k wi儿 o o o 、llrj 、lrj t 疋w h30 黾 、rj q t k ，i1 0 o 将几何方程( 1 - i - 2 ) 代入，有 o x ：c 1 i 罢蝎，娑蝎，娑 o xo zo z 。：婴+ c 3 ，婴+ 掣 置跏如a ? 2 ( 1 2 4 ) ，a a w 、0 ”1 ， 7 z ”“( 瓦+ 瓦) ”l ，2 a x d ，：罢+ e 。娶一竹娑 d ；码，( 婴+ 当咱，娑 d z0 xd x 将( 1 - 2 4 ) 代入平衡方程和电学方程( 1 1 1 ) ，可得压电材料平面应变问题的控制 微分方程组： 鲁万a2u211忡。3 + c 。) 尝心。，蝎，) 关+ 正：o 萨托“万+ 托“丽+ ( 8 1 5 托3 1 ) 蒜+ ，t 枷 ( c 1 3 + c 4 4 ) 塞+ c “窘+ c 3 3 窘+ e 1 5 窘+ e 3 3 窘+ 正= o ( 1 - 2 - 5 )赢托“萨+ 矿+ 紊+ 旁+ = 刨 ( e 1 5 - 4 - e 3 1 ) 塞蝎，窘+ 害一e l l 害咱，害一删蕊托t ，矿+ 万一紊”一目划 不计体积力和自由电荷密度时，有六= 0 ，以= 0 ，q = 0 ，此时将上式写成 矩阵形式： 其中a 为微分算予矩阵，即 a = a u = 0 c 1 1 一a x 2 托“矿( c 1 3 托4 4 ) 丽( 白5 + 岛1 ) 丽 ( q 3 “) 丽c “萨+ c 3 3 萨e 1 5 萨+ e 3 3 矿 ( p t sw ，蕊p t s 萨w ，可一( 1 1 矿托，拶 u = 【u , w ，朔7 ( 1 - 2 6 ) ( 1 - 2 - 7 ) 对于平面应力问题，有仃，= 。，k = = 。， e ，= 一芳= 。，因此，平面应 力问题压电材料控制微分方程组中，应对( 1 - 2 5 ) 式中的材料常数作相应修正： c ；。：c 。一鱼，c i ，：c l ，一c 1 2 c 1 3 ，c 刍：c 。一堕，c 0 ：c 4 4 ， p ：，= q ，= e 3 1 一c 1 2 e 3 l ，如：e 3 ，一鱼鱼， e l lc 1 1 ：。= l l ，刍= 3 3 + 詈2 由于平面应变问题和平面应力问题的控制方程形式完全一致，本文仅讨论平 面应变问题。 1 3 压电材料平面问题的一般解及其完备系 t r e f f t z 型边界解法以基本方程的齐次解为权函数，代替传统b e m 中的基本 解。因此，如何求压电材料问题的一般解对t r e f f i z 型边界解法是十分重要的。国 内较早涉及求压电材料问题通解的王子昆等1 0 1 】，采用交量替换法和 f u r i e r - h a n k e l 变换法分别求得了压电材料空间轴对称问题和横观各向同性热压电 材料空间轴对称闯题场方程的通解。丁皓江等【4 1 ，4 2 , 1 0 2 1 贝1 j 采用变量替换法、试凑法 或积分变换法等求得了诸如双相材料、压电介质平面问题和热压电平衡问题等一 系列问题的一般解或基本解。鉴于变量替换法或试凑法具有较强的经验性，本文 则根据张鸿庆教授提出的弹性力学偏微分方程组一般解的统一理论【5 0 1 ，采用较规 范的步骤导得了压电介质平面问题的一般解。 1 3 1弹性力学方程组一般解的统一理论 弹性力学偏微分方程组的一般解可用下述定理直接构造【5 0 】： 定理1 ： 对于方程 a u = 0 0 - 3 1 ) 1 2 a 鞋a 2 2 耋卜阱小匕：到时 设d f 是线性常系数偏微分算子，鸣是口f 的代数余子式，e 是坞，与4 。的最大非常 数公因子，4 = e b 3 ，4 ，= e 色。( = l ，2 ，3 ) ，q ，与q ：互质，a 3 ：与岛，互质，且全不 刚a 1 2 鲴( 1 - 3 - 2 ) e d = 0 幽掣：o ( 1 - 3 - 3 ) e j a l 是爿的行列式。证明见文献【5 0 】。 这一定理适用于任意线性常系数偏微分方程组。同时，( i - 3 - 3 ) q u 两式的阶数之 和等于( 1 3 - 1 ) 中各方程的阶次之和，因此，给出的解是恰当的，既保证了解的完 备性，又保证了其唯一性。 1 3 2 监电材科半囱列题明一肢群 根据定理1 ，压电材料控制方程组_ 阵的伴随矩阵一的元素坞j 分别为 a 3 , = ( c 1 3 + c 4 4 k ，一( e 3 1 + e 1 3 h 】焘+ 【( c 1 3 + c 4 4 地，一( p 3 1 + e 1 5 坞，】参 如一导嘞( e 3 t + e t s ) - - c 4 4 s 3 1 】鑫嘞箬 氏铂，c 。导+ c l l c 3 3 - - ( 2 1 3 h 3 + 2 c 洲赫坞，导 ( 1 3 _ 4 ) 一可无非常数公因子，故e = 1 ，从而有( 1 3 3 ) 中妒= 0 ，且岛，= a 3 ) a 代回( 1 - 3 2 ) 式，得压申材料平面闻颗的一般解为 其中 一邓p 鑫删3 1 鑫严 w = 8 3 2 、壬，= ( b 产 = b 3 3 y = ( b p 斋删3 2 导f ( 1 - s 嘞 专悄3 3 甲 研1 = c 1 3 e l s e 3 l c 4 4 霹= ( c 1 3 + 6 4 4 ) e 3 3 一( 岛l + e 1 5 ) c 3 3 研2 = 一c l l e l j 鼋2 = 一【c 1 1 e 3 3 一c 1 3 ( e 3 l + 嗍5 ) 一c “e 3 1 1 砰= 一 b ? 2c l l c 4 4 职3 = c l l c 孙一c 1 3 ( c 1 3 + 2 c “) 霹3 = 锄0 4 4 ( 1 - 3 6 ) 咿f 7 2 1 1 旦缸2 0 2 3 + 1 1 1 1 2 导卜叽2 l 矿厂 铲k 爰慨嘉卜 盯r2 1 t 瓦呸堋z 丽矿厂 铲f m 3 l 嘉慨岳卜 小s 川 皿扣导愧鑫慨毒卜 以如彘地：鑫地，导户 其中 1 4 - 酵 醪 + 扩一酽扩一矿 r o l l = c i i ( 9 3 3 c 0 一c 3 3 e 1 5 ) + c 1 3 ( c 1 3 e t 5 一c “巳1 ) m 1 2 = 。4 4 ( c 3 3 1 一c 1 3 e 3 3 ) m 2 1 = c l l ( 岛3 c 科一c 3 3 e 1 5 ) + ( 2 1 3 ( q 3 e z 5 一c “岛1 ) m 2 2 = o “【c 3 3 巳l c i 3 e 3 3 ) 7 1 3 1 = c l i 【岛3 c “一c 3 3 e 1 5 ) 一c 1 3 ( q 3 e i s c “岛i ) n 7 3 22 一c “( c 3 3 e 3 l c i 3 e 3 3 ) m 4 2 一c l l ( 8 l ；+ e l lc “) l 啦= e 1 5 ( 2 e 1 5 c 1 3 一c l l e 孙一c 1 3 e ，1 ) 一l i ( c l l c 3 3 - 2 c 1 3 c 4 4 一c 磊) ，靠4 3 = e 1 5 ( , 0 3 3 c z 3 一c ”白1 一e 1 5 c 3 3 ) 一1 1c o c 3 3 弦1 5 l = 岛le 1 5 c l 3 一e 3 t c 4 4 ) 一c l l ( 巳3 e 1 5 - i - e 船c “) 肌5 2 = 2 e 3 i e 3 3 ( c 3 + c “) 一g 引c 珏0 3 j + e l ，- e 3 3 0 3 3 c l l 一窖1 5 q 3 卜鄞g 矗+ 2 c 1 3 c 4 4 一c 1 1 c 站) ，拧5 3 = c 4 4 卜磕一c 3 3 ) 由( 1 - 3 - 3 ) ，位移函数p 满足方程 l a 阳= 0 其中，阳i 为算予矩阵a 的行列式 | a | ；以等+ 6 嘉+ c 嚣+ d 孓 即位移函数甲满足一个6 阶线性常系数偏微分方程 。参+ 6 嘉+ c 南+ d 似可+ 6 移萨托礤萨“紊) 甲划 式中的系数分别为 口= 一c “( 瑶+ ( 2 3 3 3 3 ) 西= p 1 3 ( c 1 3 + 2 c “) 一c i i c 3 3 】3 3 一c 3 3 c “l l “2 c 1 3 ( 9 3 l + e z s ) + 2 c “岛l 一( t i l e 3 3 】e 3 3 一( e 1 5 + e 3 1 ) 2 c 3 3 c = 【c 1 3 ( c 皓+ 2 c “) 一c 1 1 c 3 3 】i i c 1 1 c “如+ 【2 c 1 3 ( e 3 l + e 1 5 ) + 2 c “9 3 l 一2 c 1 1 e 拍k i5 + c “p 磊一( e l j + e 3 1 ) c “ d = 一( c l l c “l t + c 1 1 8 磊) ( 1 3 - 1 1 ) 记线性常系数偏微分算子l a l 为，( 鲁，昙) ，若用文字变量j ：代替算子p 中的 导，导可得与其同构的多项式钛s l 沌) ，将其分解为二次式乘积 甜0 2 、j、j、j 8 9 d 焉 母 m 1 j 刍 - o o 卜 0 ( ( 0 p ( s ) = 础2 6 + 加2 4 j 1 2 + 。2 吼+ d ，1 6 = d ( s 2 2 + 2 s 1 2 x s 2 2 + 如2 3 1 2 ) ( s 2 2 + 厶2 占1 2 ) ( 1 - 3 1 2 ) = 口垂( j ：2 + 以2 墨2 ) # j 式中九2 是方程口岔一6 磐+ “一d = o 的3 个根，以昙，兰代回s 。，s 2 ，方程( 1 3 1 0 ) 搿韶 分解为 甲；一d 群3 争2 + ) 甲t 。( 1 - 3 - 1 3 ) 即函数p 满足方程 球3 参2 + 章q = 。( 1 - 3 - 1 4 ) 其中d = 口正，以= 以= ( 扣l ，2 ，3 ) 。 由h aj ramo b 定理可知，若妒是广义函数空阃或无穷多次可微函数的 空间c ，( 口 0 ，p l 没有重因子，则p k g = o 的任意属于的妒 解可以表示成 甲= z 也0 - 3 _ 1 7 ) 其中野e ，且满足 仇( 鼍) = v ：t = 0 0 - 3 - 1 8 ) 由此，高阶方程( 1 _ 3 一l o ) 的求解问题化为求低阶方程( 1 - 3 - 1 6 ) 的解瓢( | ；1 , 2 ，3 ) ， 极大的降低了求通解的难度。 对于压电材料平面问题，方程( 1 _ 3 - l o ) 的特征根在一般情况下无重根。求得m 后，即可由( 1 3 - 1 5 ) 式得到l 王，代a ( 1 3 5 ) 式，则可得到压电材料平面问题的一般 解。 1 3 3 解函数的降阶形式 由于墨满足广义调和方程 则有 又由“= 2 , z ，有 因此有 堡墨：旦兰 苏4 瑟： a 4 掣4a 4 甲t 瓦f 刊可 筹= 皤器玉3 如2越出： 等= 雹器 令 ( 等+ 割删 i 丽+ 碡严。0 如0 4 q j , ：= 皤筹 钕2 七2 一。昆： 盟：旦里 知5 a 硒0 暑一正每 缸2 出31 勿： 扩甲。 ：于2 虮 o z t 爰一五器缸3 赴缸赴： 爰呐等面西刊t 虿 孑x o z 4 = 疋器 a氟玉： f 1 3 - 1 9 ) ( 1 3 - 2 0 ) 盟群 = 盟铲 盟皖 麓 盟酽 易证n 满足方程v ：= 0 。 将( 1 - 3 1 9 ) 、( 1 3 - 2 0 ) 代入( 1 3 5 ) 和( 1 - 3 7 ) ，则有 越2 萎3 ( 4 研1 + 五3 巳3 1 ) 警 w = 善3 ( 砰一麓日 + 霹2 ) 挈-l【屈 妒。芝(钟3一2。：3ill3 + 名霹3 ) 老 u t 印妾( - 籼。+ 飙) 等l1“zt 以= 奎k - i 阮一霹皤出 屯= 善3r 仍2 - + 名) 罄bd“【描t 羔3 + ：5 墓。锄 扩枷n m ) 等 可以看出，通过偏微分阶数的降阶处理，简化了解的形式，降低了求解的难度。 1 3 4 用完备解系表示的一般解 由以上论述可知，要求得方程( 1 - 2 5 ) 的一般解，关键是求得l a p l a e e 方程( 1 - 3 一1 8 ) 的解n 。h e r r e m l l0 3 1 0 4 1 给出了l a p l a c e 方程在复数域中的完备解系： 平面内域问题中，完备解系为： b 。= i , r e ( z ”) ，i m ( z ”l 刀= 1 ，2 , 3 ，) ，( 直角坐标形式) b ：= ，“c o s 以口，“s i n n o ；n ；1 ，2 ，3 ， ，( 极坐标形式) 平面外域问题中，完备解系为： b 3 = 4 i 啦2 + z 2 ) ，r z 一”) ，i m ( z 一“) ；甩= l ，2 州3 b 。= l n r 2 ，”c o s h o , r - s i n n o ；n = 1 ，2 3 - 其中z = ( 工+ i z ) 。 ( 直角坐标形式) ( 极坐标形式) b ，p厶“，f厶h = = 以 阢 ( 1 ) 内域问题直角坐标解： 依据l a p l a c e 方程的完备解系，所有满足平面内域l a p l a c e 方程的调和函 数l c r ，其直角坐标表达式都可写成 y = l + 【矗。r e ( z 1 ) + 属h ( z ) 】 ( 1 - 3 - 2 2 ) “日 的形式，而对于压电材料平面内域问题，矿的完备解系( b ，) 应取作魄，吼，鸭 的完各解系( b 一，b f 2 , b ”) 之和t 即 b j ，= l ，r e ( 冒) 叫彳) ；r e ( z ：) 妇暖h n q t 3 n ) ，i n l ( 虿) ；甩= 1 , 2 ，3 ， 因此，位移函数的般解可表示成： 3“ 缈= 1 + 蹦乏) + 尾i n l ( 4 ) 】 ( 1 3 - 2 3 ) k - ij 乱 代a 0 - 3 - 2 1 ) ，有 这就是用完备解系表示的压电材料平面内域问题直角坐标形式的一般解。 ( 2 ) 外域问题直角坐标解： 一 一 嘲 彻 蜊 一 蝴 肚 舳 邮 蝌 仙 m m 抽 卜 卜 凡 ” 名 一 一 一 一 m 鼬 蹦 劢 腻 一一一和却挚嗨雌 ；： z 腕 丝 m + 呦 制 m ” 棚 嘞 洲 枫 嘞 声 ：一 ，一 麓 蠢 妣班 班心协 一跚_脚r踟_涩一垭一一滋一垭蛭一 根据外域问题中l a p l a c e 方程的完备解系，有 b 印2 o n ( ，+ z 阳n ( + 2 ；) ，i n ( _ x 2 + ：；) ； 蹦甲) ，h n 亿，) ；r 乏“) ，蛾虿) ；r e ( 虿) ，姒穿) ；雅：l ，2 3 1 则 妒。砉l n 0 2 + 露) + 砉喜r e ( 乏) + 尾乏) 】( i - 3 - 2 5 ) 代入0 - 3 - 2 0 ) ，即可得到用完备解系表示的压电材料平面外域问题直角坐标形 式的一般解： z ，2 荟卜以目、露霹1 ) 譬i + 姜昙陋。r 薯- ) + i m ( z j 。l 膏+ z ：管撕球一、7 厶1w w 。善产一鬈砰+ 霹2 ) i 等+ 砉毒f 甜。蹦z 一+ 成i l i l ( 彳 扣荟卜麓明3 + 础4 ，3 3 ) ( 惫嘻毒m 刁) + 讪( z 刊- , i - ) 】) o 呐