（概率论与数理统计专业论文）金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究.pdf

山东大学博士学位论文 金融衍生产品中美式与亚式期权定价问题的 数值方法研究 孙鹏 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) o 1 中文摘要 早期的金融市场上只有四种金融工具：银行存款，汇票( 银行承兑汇票) ，债券 和股票【朱利安沃姆斯利( 2 0 0 3 ) 1 最早的银行存款产生于1 3 世纪，所知最早的是 卢卡的瑞塞迪银行( p d c c i a r d io fl u c a ) ，它在1 2 7 2 - 1 3 1 0 年给英国王室提供了4 0 万英 镑的借款，虽然这笔借款的拖欠导致了该公司的破产，但同时也留下了一个早期的 金融风险的例子汇票( b i l lo fe x c h a n g e ，d r a f t ) 作为以支付金钱为目的，并且可以 流通转让的债权凭证几乎和银行存款同时代产生，而各种类型的债券( b o n d ) 作为 定期获得利息，到期偿还本金及利息的凭证是到1 6 世纪才出现的第一只真正意 义上的政府债券是1 5 5 5 年的g r a n dp a t t io ff r a n c i si ，它不是面对少数银行发行的， 而是面向所有的投资者股票则起源于1 6 0 0 年的英国东印度公司，最初的股票是出 海前向人集资，航次终了将个人的出资及该航次的利润交还出资者的凭证第一家 永久性的股份公司是成立于1 6 0 2 年的荷兰东印度公司1 6 1 3 年起，该公司改为四 航次才派发一次利润，这也正是“股东”和“派息”的前身 由此可以看出，早期的金融投资相对简单，投资者遵循的是。低买高卖”，“不 要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”之类的朴素的投资哲学直到2 0 世纪后半叶，金 融市场的发展才出现急剧上升的趋势，数量工具也在金融市场中崭露头脚 1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的学位论文。t h o r i ed el as p g c u l a t i a n ”( 投 机交易理论) b a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) 它被公认为现代金融学的里程碑他在论文中首次利 用随机游走的思想给出了股票价格运行的随机模型，在这篇论文中，他就提到了期 权的定价问题 七十年代初，b l a c k 和s c h o l e s 取得了一个重大的突破 b l a c k ( 1 9 8 9 ) 】，掀起了第二 次金融变革他们推导出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足的 微分方程 m ， 甏+ 譬等郴尝= r f f i s h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 在他们那篇突破性的论文【b l a c k s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 】 中成功求解了他们的微分方程，得到了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式r o b e r t m e r t o n 随即将模型推广到了更一般的范畴【m e r t o n ( 1 9 7 1 ) m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 因为他们 山东大学博士学位论文 的的杰出工作，r o b e r tm e r t o n 和m y r o ns c h o l e s 一起分享了1 9 9 7 年的诺贝尔经济学 奖 金融市场的迅速发展也推动了相关的数学工具的迅猛发展【巴克斯特、伦尼( 2 0 0 6 ) 1 近年来在金融数学方面应用越来越广泛的倒向随机微分方程( b s d e ) 的线性形式首 先由【b i s m u t ( 1 9 7 8 ) 】在1 9 7 8 年引入，1 9 9 0 年( p a r d o u x & p e n g ( 1 9 9 0 ) 】研究了l i p s c h i t z 条件下非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性定理【d u f f l e & e p s t e i n ( 1 9 9 2 b ) 】在 研究随机微分效用过程中也独立地引进了倒向随机微分方程的一个特别典型的情 况他们发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好( 即计量经济学的基 础一效用函数理论) 随后e lk a r o u i 和q u e n e z 发现金融市场的许多重要的衍生证 券( 如期货期权等) 的理论价格都可以用倒向随机微分方程解出，特别是上面提到 的b l a c k - s c h o l e s 公式正可以被归纳为b s d e 线性情况下的一种特殊形式可参见 p u f f i e & l i o n s ( 1 9 9 2 ) ， d u f f l e ，c , e o f f a r d ，& s k i a d a s ( 1 9 9 4 ) l ，【e lk a r o u i & q u e n e z ( 1 9 9 5 ) ， f e lk a r o u i ，p e n g & q u e n e z ( 1 9 9 7 ) 求解b s d e s 一般有两种途经：一种途径是用随机方法直接对b s d e s 求解，如 m o n t ec a r l o 方法；另一种途径则是通过求解p d e 来求解b s d e s 第二种途径的理论 基础是【p e n g ( 1 9 9 1 ) 1 获得的一类与正向随机微分方程( f b s d e s ) 的解耦合的倒向随机 微分方程( b s d e ) 的解与一类拟线性二阶偏微分方程( p d e ) 的解的对应关系，即非 线性f e y n m a n - k a c 公式f e y n m a n - k a c 公式将与s d e 耦合的b s d e 的解和p d e 的解 联系起来这样一方面可以使用相对比较成熟的p d e 方法来解b s d e ，另方面可以 反过来使用b s d e 的随机算法来解决p d e 中的问题见【m a ，p r o t t e r y o n g ( 1 9 9 4 ) ， m a y o n g ( 1 9 9 5 ) ，【d u f f l e ，m a ，& y o n g ( 1 9 9 5 ) i ，m a ，p r o t t e r ，s a nm a r t n & t o r r e s ( 2 0 0 2 ) 。 【p e n g & x u ( 2 0 0 6 a ) 】等随后 h n p e n g ( 1 9 9 5 ) 】又通过概率方法获得了一类完全耦 合的s d e 和b s d e 解的存在唯性 在实际市场中，更多的衍生证券定价是得不到确切的解析公式的，这时候就可 以使用数值计算方法已有的金融衍生产品的定价方法种类非常丰富，如二叉树方 法，m o n t ec a r l o 随机模拟方法以及有限差分方法、特征方法等各种p d e 中的数值方 法( 可参见i k a r a t z a s s h r e v e ( 1 9 9 8 ) 、 s e y d e l ( 2 0 0 4 ) 、 姜礼尚( 2 0 0 3 ) 】) 其中经典的二 叉树方法作为一种简便易行的期权估价方法由【c o x ，r o s s & r u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) 】在著名 的c r r 模型中引入，随后扩展出三叉树方法以及切片法( 可参见 p a r k i n s o n ( 1 9 7 7 ) 】和 【b o y l e ( 1 9 8 8 ) 】) ，并不断改进( 见【h u l l w h i t e ( 1 9 8 8 ) l e v y , a v e l l a n e d a p a r a s ( 1 9 9 4 ) 】 t i a n ( 1 9 9 3 ) 】等) 二叉树方法和切片法的收敛性证明分别由【l a m b e r t o n ( 1 9 9 8 ) 】和 a m i n & k h a n n a ( 1 9 9 4 ) 1 给出至于m o n t ec a r l o 方法，【d o u g l a s ，m aa n dp r o t t e r1 9 9 6 】， 【m a ，p r o t t e ra n dy o n g1 9 9 4 l 针对正倒向随机微分方程( f b s d e ) 情形【b o u c h a r d ， e k e l a n da n dt o u z i2 0 0 2 1 考虑了非线性情形下的蒙特卡洛( m o n t e - c a r l o ) 方法最 近，【z h a o ，c h e n & p e n g ( 1 9 9 8 ) l 通过蒙特卡洛( m o n t e - c a r l o ) 方法研究提出了一类解 i i 山东大学博士学位论文 倒向随机微分方程的高精度数值格式 通过b s d e 与p d e 的联系，f m a ，p r o t t e r y o n g ( 1 9 9 4 ) 】提出了一种用p d e 来解 一类正倒向随机微分方程的“四步法。，随后【d o u g l a s ，j r ，m a p r o t t e re ta 1 ( 1 9 9 6 ) 1 提供了一种特征线差分方法来解上述问题，本论文就是基于“四步法”这种途径分 别考虑了美式期权和亚式期权的定价问题： 欧式期权价格可以通过解一个混合导数的高维抛物形偏微分方程( 组) 的初 边值问题得到，通常用数值方法求解，常用的方法有差分方法，有限元方法、有限 体积方法等，可参见( 李荣华冯果忱( 1 9 9 6 ) 1 库德元& 陈光南( 1 9 9 5 ) 】与欧式期权 不同，由于美式期权可在期权有效期的任何一个时刻执行，美式期权实际上是一 个非线性问题。该问题可转化为一个自由边界问题陵s l 湍j ( 2 0 0 3 ) 】或者依赖于时间 的线性互补问题( 1 i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ，l c p ) o x s t e r l e e ( 2 0 0 3 ) 1 解决线性互 补问题现有很多数值方法，如【c l a r k e & p a r r o t t ( 1 9 9 6 ) 】提出了近似线性互补方程的 p f a s 方法，其优点是该多层格式的迭代次数与网格数是不相关的，并且得到了有 效的数值解，但是其执行难度是非常大的【o x s t e r l e e ( 2 0 0 3 ) 】应用并改进了p f a s 格 式，有效的避免了数值解的震荡【z v a n ，f o r s y t h & v e t z a l ( 1 9 9 8 ) 1 对于美式期权的可 提前执行约束采用惩罚方法来解决，在原偏微分不等式中引入一个惩罚项，使其成 为一个偏微分方程此方法避免了数值解的震荡，但是收敛性会随着离散的优化而 降低 i k o n e n t o i v a n e n ( 2 0 0 5 ) 】【i k o n e n t o i v a n e n ( 2 0 0 4 ) 】应用了另外一种基于算子 分裂的方法来解决美式期权的约束条件通过离散将空间算子分解为几个简单的算 子，并将每个时间层分解成与这些分解后的算子等数目 i k o n e n & t o i v a n e n ( 2 0 0 5 ) 1 中，他们使用这种方法来解决随机波动率下的美式期权定价问题，将差分算子及可 提前执行约束分解成一系列一维线性互补问题( l c p s ) ，然后应用b r e n n a n & s c h w a r t z 格式【b r e n n a n s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) 】近似一维线性互补问题。这种方法的优点是将复杂 的高维问题化为多个简单的一维问题，使得计算的复杂性大大减少 但是考虑到期权定价中满足极值原理的重要性，本文针对描述美式期权定价的 二维问题提出了一类新的有限体积九点格式和相应的算子分裂格式，该格式结合价 格漂移方向近似二阶混合导数，使得提出的格式满足极大值原理和一致误差估计 亚式期权是奇异期权的一种，其到期收益函数依赖于标的资产有效期至少某一 段时间内的某种形式的平均嘞翰赫尔( 1 9 9 7 ) 1 通常取标的资产价格按预定时间内 的算术平均值或几何平均值作为其平均价格目前亚式期权是o t c ( 柜台交易) 市 场上广受交易者青睐的金融工具，但即使在标的遵循几何布朗运动的假设下，也只 有几何平均亚式期权的定价可以得到显式表达式而在o t c 市场上交易的绝大部 分亚式期权都是标的算术平均，对标的算术平均亚式期权进行定价更多的是采用数 值方法如二叉树方法【k l a s s e n ( 2 0 0 1 ) 、特征线差分方法【j i a n g d a i ( 2 0 0 2 ) 】或以标准 几何平均亚式期权【s e y d e l ( 2 0 0 4 ) 1 来近似逼近 i i i 山东大学博士学位论文 本文对亚式期权定价问题给出了恰当的边界条件，并提出了一类加权迎风有限 体积格式和相应的交替方向格式对价格漂移占优问题，采用加权迎风技术以避免 数值解的非物理震荡；同时，结合亚式期权定价问题特性提出相应的交替方向从 理论上严格证明了提出的格式满足极大值原理，得到了一致误差估计 本文最后提出了高维偏微分方程的迎风有限体积数值格式，因在b s d e 模型中 我们讨论的问题都是高维问题，而金融市场中变动因素的多样性和复杂性也决定了 在金融定价问题中我们实际上面对的都是高维问题所以本文结合问题特性提出的 格式满足了极大值原理，解决了通常的有限体积格式不满足极值原理的问题并得到 了一致误差估计 论文组织和具体安排如下； 本文第1 章主要介绍了金融衍生产品的历史与现状，及金融衍生产品定价的由 来，随后从b s d e 的角度给出了金融衍生产品定价的数学模型 本文第2 章介绍了倒向随机微分方程( b s d e ) 与一类拟线性二阶偏微分方程 ( p d e ) 存在的对应关系，这就是【p e n g ( 1 9 9 1 ) 1 中获得的非线性f e y n m a n - k a c 公式于 是b s d e 中可问题可以转化到相对比较成熟的p d e 中，使用p d e 数值方法方法来 解b s d e 同时可以反过来使用b s d e 的随机算法来解决p d e 中的问题 本文第3 章则简单回顾了一下已有的金融衍生产品的定价方法，如二叉树方 法，m o n t ec a r l o 随机模拟方法以及有限差分方法，特征方法等p d e 中的各种数值 方法 本文第4 章主要研究了美式期权定价问题的有限体积数值模拟方法对随机波 动率下美式期权定价问题，我们用新的方法近似二阶混合交叉导数项，用迎风技术 近似一阶对流项 l i a n g z h a o ( 1 9 9 7 ) ，提出一类新的有限体积九点格式 ( 。1 2 ) 堕= = p 【也嗡+ l + 生呓+ 1 + 。a x 。v 。k + l 。ua l ，。喵= ：1 + ( 1 一口) 【a z 嗡+ a v 嗡+ a z 呓+ a ，z 嗡】， 其中算子如、也a 。，和山。分别由自四个不同方向( x 一方向，x y - 方向，y x - 方向 以及y - 方向) 的差分方程的系数构成： ， i 4 z = a ( i ，j k k j + a 0 一l ，j ) m 一1 j + a 0 + l ，j ) v + l , ， ( o 删 如 = a ( i ，j ) 掣m j + a ( i ，j 一1 ) k j - l + a ( i ，j + 1 ) k j + l ， 、 la = a ( i ，j ) z 口k j + a o 一1 ，j 1 ) v i x , j l + a a + 1 ，j + 1 ) v + l , j + t ， l 如z = a ( i ，j ) 归k j + a “一l ，j + 1 ) k i d + l + a ( i + 1 ，j 一1 ) m + i j l ， i v 山东大学博士学位论文 其中 ( 0 1 4 ) 撕驴静心+ 右j + 掣一掣+ 啪， 二 篓三韵巍西 相应的0 格式： ，簪k k 4 - i 。篇k + ，。l 蕊x k + l 张k + 嗡l 蕊k + ；：】l 。 + ( 1 一日) f a 。i 售+ a 啭+ a 。垤+ a 。v 蜘 同时，我们对所提出的九点格式提出有效的算子分裂格式【w a n g z h ”( 2 0 0 3 ) i 舟一v p = q 嗡， 玩= j + o a t a - - 。t j ，巴= ，一( 1 一口) t 如， 乏墨：；2 三之荡i 乏三，i + + o 蚴a t a 如= 。u , ，之三i j 一- ( 。1 ，一- 啪o ) a 。t a , u ，, i 岛呓+ 1 = q 咭，岛= i + o a t a u ， q = j 一( 1 - o ) a t a v ， 工 嗡：二v 竺k 产 z k - i - ba i - 1 j v 苎l j + a 巧嘈+ a + l j k k + 1 j工 嗡= 二生产l j + a 巧嘈+ a + l j k + 1 j 其中“中的a ，j 满足假设( # 只j ) ，则嗡不可能在内点取正的极大，除非嗡为 常数 v 山东大学博士学位论文 定理d 1 2 ( 稳定性估计) 若l h 嗡= 0 ，贝i v | | l * ( n ) m “ l l v 一1 | 【l 。( n ) ，j f v l * ( r ) ， v l l l ( o ，t ；l ( 矗h ) ) m a - x l v u l x ( o ，t ；c 。c ( r h ) ) ，i i y o i i l ( o t ；l ( a ) ) ) 定理o 1 3 ( 误差估计) 在定理口j 1 的条件下，离散格式徊，印具有误差估 计；l i e i i k s u p k i i r ，其中e 为分量为e 嚣的向量 为说明所提格式的有效性，我们给出几个数值算例通过与投影超松弛( p s o r ) 方法【i k o n e n & t o i v a n e n ( 2 0 0 5 ) j 计算出的结果进行比较，我们发现，结果与其吻合 更加复杂的一般的多因索期权定价问题将在以后讨论 本文第5 章主要研究算术平均亚式期权定价问题的交替方向迎风有限体积方 法对算术平均亚式期权定价问题 ( 。1 8 ) 否o v 7 一丁u 2 x 2 否o u 万v + 国一r ) z 否o v i + 亍兰j ( 一z ) g ；+ r y ：。， 我们通过方程( 0 1 ，8 ) 给出了适宜的边界条件，令 l ( 一k ) + ，( 具固定敲定价格k 的看涨期权) ， 咖= 冀z ：嚣蔫嚣 i ( 一) + ( 具浮动敲定价格的看跌期权) 则亚式期权问题( 0 1 8 ) 的初边值条件为t fv ( z ，9 ，o ) = g ( x ，) ， ( z ，g ) n ， l 尝+ 士娑+ ，y ：o ，当x = o 时， l 酉+ 南面 y 0 ，当8 0 时， ( o 1 1 0 ) y ( 毛0 ，t ) = 9 ( z ，o ) ， i v ( x ，口，t ) = o ( x ，x ) ， lv ( x ，f t ) = 9 ( z ，y ) ， 并在此基础上对价格漂移占优问题，采用加权迎风技术以避免数值解的非物理震荡； 同时结合亚式期权定价问题特性，我们提出相应的交替方向最终得到了一类新的 交替方向加权迎风有限体积( a d f v ) 格式； i 监等芷一芝簪) 巧+ ( 扩v 扩”屯 圳 掣： 舞k 叫。“巾蝴k l+ ( ( c ( 2 ) y ) 3 = 0 ，( x i ，y j ) n 山东大学博士学位论文 ( o 1 1 1 ) 中喵一 的边值和增的初边值条件为； ( o 1 1 2 ) 其中 嵋一 = ( 9 ) 3 + a t ( g ) 弓， ( 幻) 比， p 霉= g 。( z t ，珊，t “) ，( z i ，协) f h ， 叼= 夕( 戥，盼) ， ( ，聊) q ， 9 = ( b y v y “) 3 + ( ( c ( 2 y ) 3 我们从理论上严格证明了提出的格式满足极大值原理，也得到了一致误差估计； 定理0 1 4 ( 极值原理) 假定叼满足以下条件； 蔓二：三譬二一( 矿曼：爱) 嵇+ ( a - v 。y t 一 ) 巧一( 扩v ；y 一 ) 巧o ， ( 0 1 1 3 掣+ ( b v f 胛) 舀一( 6 v - y ) 嚣+ ( ) 嚣so ，t_ 、- y ，”、。， o 、。，”o ” ( 以，蜥) n 如果叼在0 上不是常数，则叼的正最大值只能在a e 上达到 定理o i 5 ( 稳定性估计) 因定价问题中，= 仉我们有以下稳定性估计， l i v ”i l l * ( 矗h ) m x l l y n - 1 l l l 一( h ) ，i i v “一 i i l 一( r t ) ，i i v “i l l 一( r ) ) ， i i v i i l = ( o , t ；l = ( f l h ) m a x l l v i i l = ( o ，t ；l * ( r ) ) ，i i v o t l l * ( 矗 ) ， 其中工。( n ) 为标准b a n 。c h 空问，i i v i l 工- ( o ，r r ) 20 0 ， a ( i j ) a m 口0 ，n = 一1 ，0 ，1 ，p = 一1 ，0 ，1 11 。三l 占。a ( i j 卜”砣o b ya n a l o g yt ot h ef o r e n a m e dp r o c e d u r e ，w ec a ng e tt h ef o l l o w i n gm a x i m u mp r i n c i p l e ， s t a b i l i t ya n a l y s i sa n dt h ee r r o re s t i m a t e t h e o r e m0 2 7 ( m a x i m u mp r i n c i p l e ) l e t v 孝b eon e tf u n c t i o no ng h ，w h i c hs a t i s f i e s i n e q u a l i t y ： ( o 2 1 7 ) l h 咭0 ， t h e n 嗡w i l ln o ta c h i e v ei t sm a x i m u m a t 舭i n n e rp o i n t s ，u n l e s s 嗡i sc o n s t a n t x v i ir 山东大学博士学位论文 t h e o r e m0 2 8 ( s t a b i l i t y ) l e tl i 。嗡= 0 ，t h e n y 七l i l x l i h 】m a ) 【 l l y 七一1 | i 工( n ) ，f i 矿i i l * ( r ，1 ) ， v i i l ( o7 ；l ( a h ) ) sm a x ( 1 v i i l o c ( o ，r ；l ( r ) ) ，i i y o i l l ( o t ：l ( 矗 ) ) t h e o r e mo 2 9f e r r o re s t i m a t e ) u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h e o r e mo 2 1 ，t h ed i s c r e t e s c h e m e ( 6 5 8 ) h a st h ei o l l o w i n ge r r o re s t i m a t e ： i i e ij k s u p i i r 2 | i 墨c ( h + l x t ) ， 七 w h e r ee 七i sdv e c t o rw i t hc o m p o n e n t so ，e 与，c 话oc o n s t a n t ，d o e s n td e p e n do nt h es o l u t i o n 让，v ，p 盘以f 拓d 佗ha d na t r e m a r ko 2 1 印l i t t i n # s c h e m ef o r 俺5 j 刃c a na l s ob ep r o p o s e d , t o g e t h e r 埘饶t h em a t - i m u mp r i n c i p l ea n de m re s t i m a t e s w h i l e 琥ed e t a i l sa n dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o na r e u n d e rv e r i f y i n g k e yw o r d s ：b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， o p t i o np r i c i n g ，f e y n m a n - k a cf o r m u l a ，f i n i t ev o l u m em e t h o d ；a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o ni m p r i n t m e t h o d x i x 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律责任由本人承担。 论文作者签名： 儡、伽易 日期 1 7 s 、l j 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作榴型名：埤日期：地， 第一章金融衍生产品定价与倒向随机微分方程 1 1 什么是金融衍生产品 衍生产品是英文( d e r i v a t i v e s ) 的中文意译其原意是派生物、衍生物的意思 在金融市场上，衍生产品是指为了有效管理金融风险而设计的工具，通常是一种私 人合约其价值一般是从一些标的( u n d e r l y i n g ) 资产价格、参考利率或指数( 如股 票指数、商品指数) 中派生出来的这种合约通常会规定一个名义数量( n o t i o n a l a m o u n t ) ，可以根据货币、股份、蒲式耳或其他一些单位来定义这个名义数量衍生 产品最简单的例子就是外汇远期合约 1 1 1 金融衍生产品的由来 早期的金融市场上只有四种金融工具；银行存款、汇票( 银行承兑汇票) 、债券 和股票床利安沃姆斯利( 2 0 0 3 ) 】银行存款产生于1 3 世纪，所知最早的是卢卡的 瑞塞迪银行( r i c c i a r d io fl u c a ) ，它在1 2 7 2 1 3 1 0 年给英国王室提供了4 0 万英镑的借 款，虽然这笔借款的拖欠导致了该公司的破产，但同时也留下了一个早期的金融风 险的倒子汇票( b i l lo fe x c h a n g e ，d r a f t ) 作为以支付金钱为目的，并且可以流通转 让的债权凭证几乎和银行存款同时代产生，而各种类型的债券( b o n d ) 作为定期获 得利息，到期偿还本金及利息的凭证是到1 6 世纪才出现的第一只真正意义上的 政府债券是1 5 5 5 年的g r a n dp a t t io ff r a n c i si ，它不是面对少数银行发行的，而是面 向所有的投资者股票则起源于1 f i 0 0 年的英国东印度公司，最初的股票是出海前向 人集资，航次终了将个人的出资及该航次的利润交还出资者的凭证第一家永久性 的股份公司是成立于1 6 0 2 年的荷兰东印度公司1 6 1 3 年起，该公司改为每四航次 才派发一次利润，这也正是。股东”和“派息”的前身 由此可以看出，早期的金融投资相对简单，投资者遵循的是。低买高卖- ，“不 要把所有的鸡蛋放在个篮子里”之类的朴素的投资哲学直到2 0 世纪后半叶，金 融市场的发展才出现急剧上升的趋势，数学工具也在金融市场中崭露头脚而变化 的产生是与华尔街发生的两次金融变革分不开的 第一次金融变革的开始是以1 9 5 2 年“p o r t f o l i os e l e c t i o n ”l m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 1 的发 表为标志的，这篇h a r r ym a r k o w i t z 的博士论文的早期版本探讨了投资者如何通过对 风险资产的组合投资( 分散投资) 来达到预期收益最大化的资产组合，同时又使单 个证券的风险保持在可以接受的水平所用到的工具被称作马科威茨均值一方差分 析( m e a n - v a r i a n c ea n 村y s i s ) f m a r k o w i t z ( 1 9 5 9 ) 在而在马科威茨的证券组合理论创立 之前，投资者虽然也谈论风险与收益，但是由于不能量化某些重要指标，构建的投 资组合往往非常主观，更重要的是难以弄清楚投资者为什么会预期如此的收益率 山东大学博士学位论文 马科威茨的理论正好使这些疑问迎刃而解随后威廉夏普等人进一步研究了当r r 场达到均衡状态( 供需相等j 时，资本的收益和风险问题，提出了标准状态下的资 本资产定价模型( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l c a p m ) 【s h a r p e ( 1 9 6 4 ) 该模型表明当 市场达到均衡时，决定资产收益( 即对资产的定价) 的因素是以j 测度的系统风险， 非系统风险对资产定价不起任何作用，并且期望收益与p 之间呈线性的关系因此 标准c a p m 就完整地回答了当市场均衡时，资产收益的决定机制问题。由于两人的 杰出工作，马科威茨和夏普一起与m e r t o nm i l l e r 分享了1 9 9 0 年的诺贝尔经济学奖 1 1 2 现状及金融衍生产品的分类 国际上金融衍生产品种类繁多，根据产品形态分类，远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 、期货( f u t u r e s ) 和期权( o p t i o n s ) 构成了三种最基本的金融衍生工具( 掉期 实际上可以视为由远期合约派生出的) 远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 是一个在未来的确定时间按确定的价格购买或出 售某项标的资产的协议它一般都在场外交易( o v e r - t h e c o u n t e r ，简写为o t c ) ，即 不同于规范的交易所内进行的交易，通常是两个金融机构之间或金融机构与客户之 间签署该合约。 买入远期合约的一方称为多头( 1 0 n g p o s i t i o n ) ，卖出方称为空头( s h o r t p o s i t i o n ) 合约中规定好的确定价格和确定时间称为交割价格( d e l i v e r yp r i c e ) 和交割时间 ( m a t u r i t y ) 若分别记交割价格和交割时间为k 和丁，则一单位资产远期合约的损 益( p a y o f f ，也称收益，回报等) 硌为： 盱= 勖一k 多头方， 坼= k 一曲，空头方 其中曲是合约到期时标的资产的即期价格 期货( f u t u r * ) 与远期合约相同，也是两个对手之间签定的一个在未来的确定 时间按确定的价格购买或出售某项标的资产的协议但与远期合约不同的是，期货 交易通常在规范的交易所内交易，交易所详细规定了期货合约的标准化条款并提供 承兑保证由于期货合约上的交割价格( 期货价格) 通常是由场内交易决定的，所 以供求关系的变化直接对其产生影响 期权( o p t i o n s ) 是这样一种权利，其持有人在规定的时间( e x p i r a t i o nd a t e ) 内有 权力但不负有义务( 可以但不是必须) 按约定的价格( e x e r c i s ep r i c e ，s t r i k ep r i c e ，) 买 或卖某项产品 其中，如果是持有人有按照约定的价格买的权力，则称为买方期权( c a l lo p t i o n ) ， 也称看涨期权，因为持有这种期权，将来价格上涨时较为有利如果是持有人有按 约定的价格卖的权力，则称为卖方期权( p u to p t i o n ) ，也称看跌期权，因持有这种期 2 山东大学博士学位论文 权，将来价格下跌时较为有利美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 可以在期权有效期内任 何时候执行，欧式期权( e u r o p e a n ) 只能在到期日执行 金融衍生产品市场的发展与期权模型的发展是分不开的九十年代初，随着市 场需求的多样化，仅仅使用标准期权( 如欧式、美式) 已经很难满足客户的特殊需 要，所以很多交易方式和交易价格更多样化的期权应运而生，这就是奇异期权( 新 型期权) f h u l l ( 2 0 0 0 ) 大多数新型期权在场外交易他们是由金融机构设计以满足 市场特殊需求的产品 欧式期权和美式期权都有一个共同的特点，就是它们的最终收益只依赖于期权 到期日标的资产当天的价格，而与它们的历程无关在新型期权中有比较特殊的一 类叫做路径依赖期权路径依赖期权的特点就是期权的最终收益不仅依赖于期权 到期日标的资产的价格，而且与整个期权有效期内标的资产价格的变化过程有关 亚式期权是新型期权的一种，属于路径依赖期权其到期收益函数依赖于标的 资产有效期至少某一段时间内的某种形式的平均通常取标的资产价格按预定时间 内的算术平均值或几何平均值作为其平均价格目前亚式期权是o t c ( 柜台交易) 市场上广受交易者青睐的金融工具， 美式期权权利的行使是如此的不确定，欧式期权权利的行使又是如此的严格， 为满足某些中间地带的需要，产生了百慕大式期权( b e r m u d ao p t i o n ) ，其权力的行 使可以在期权有效期内某些规定好的日期百慕大式期权至今限于小范围的交易， 基本属于场外交易，交易量有限 1 2 衍生产品定价 1 2 1 为什么要对金融衍生产品定价 由于许多金融衍生产品交易在资产负债表上没有相应科目，因而也被称为“资 产负债表外交易( 简称表外交易) ”金融衍生产品的共同特征是保证金交易，即只 要支付一定比例的保证金就可进行全额交易，不需实际上的本金转移，合约的了结 一般也采用现金差价结算的方式进行，只有在满期日以实物交割方式履约的合约才 需要买方交足贷款因此，由于事前不存在现金流，金融衍生产品交易一般具有杠 杆作用( 1 e v e r a g e d ) 保证金越低，杠杆效应越大，风险也就越大正是由于这一点， 相对较低的交易成本促使衍生产品成为了一种对冲风险和投机的有效工具但是另 一方面，由于不存在事先的现金支付，评估潜在的下跌风险有多大，即衍生产品定 价问题就成为了相对困难而且至关重要的问题 期权是一种未定权益( c o n t i g e n tc l a i m ) 以看涨期权为例，在未来的期权执行日 若标的资产曲大于敲定价格k ，则合约赋予期权持有人利用敲定价耳购入标的资 产的权利( 从而获得利益) ，否则期权一文不值等于一张废纸因此期权定价本质上 3 山东大学博士学位论文 就是对这一类未定权益定价。 为了获得这个未定权益所需要付出的代价称为期权费( p r e m i n m ) 由于客户的 需要是干变万化的，为此相应地设计出的金融产品一一期权更是多种多样，考虑到 期权费的存在，在期权到期日期权持有人的总收益实际上是到期日期权的收益减去 期权费 1 2 2b l a c k s c h o l e s 定价模型 这个问题最早可以追溯到1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的学位论文“t h d o r i e d el as p e c u l a t i o n ”( 投机交易理论) b a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) 它被公认为现代金融学的里程 碑他在论文中首次利用随机游走的思想给出了股票价格运行的随机模型，在这篇 论文中，他就提到了期权的定价问题 七十年代初，b l a c k 和s c h o l e s 取得了一个重大的突破 b l a c k s e h o l e s ( 1 9 7 3 ) ，推 导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足的微分方程 ( 1 z ) 筹+ 譬筹朋筹= r 需要注意到的是b l a c k - s c h o l e s 微分方程中是不包含股票的预期收益p 的，即方程中 出现的变量都是独立于风险偏好的所以在对f 进行定价时，我们可以使用任何一 种风险偏好，特别的，可以假设：所有的投资者都是风险中性的在风险中性的世 界中，所有证券的预期收益率都是无风险利率r 这样就得出了衍生证券分析中的 一个最重要的工具一一风险中性定价 在b l a c k o s c h o l e s 模型之后各种各样的改进模型不断出现，如 1 【m e r t o n ( 1 9 7 3 ) ，【a m i n & j a r r o w ( 1 9 9 2 ) 】的随机利率期权定价模型， 2 b a t e s ( 1 9 9 1 ) 】的跳模型， 3 c o x r o s s ( 1 9 7 6 ) 】常弹性方差模型， 4 【l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 】的带交易费用的模型， 5 r u b i n s t e i n ( 1 9 9 4 ) 】的马氏模型， 6 【h e s t o n ( 1 9 9 3 ) ，h u l l w h i t e ( 1 9 8 7 ) ，s c o t t ( 1 9 s 7 ) ，s t e i n s t e i n ( 1 9 9 1 ) 】的随机波动 率模型。 7 a m i n n g ( 1 9 9 3 ) ，b a i l e y s t u l z ( 1 9 8 9 ) ，b a k s h i & c h e n ( 1 9 9 7 a ) s c o t t ( 1 9 9 7 ) 】的随 机利率随机波动率模型， 8 【b a t e s ( 1 9 9 6 a ) ，s c o t t ( 1 9 9 7 ) 的随机波动率一跳扩散模型 4 山东大学博士学位论文 9 f b a k s h ie ta l ( 1 9 9 7 ) b a k s h i ，c a o c h e n 的随机利率随机波动率跳模型 其中特别要提到的是波动率微笑问题【r u b i n s t e i n ( 1 9 8 5 ) l 首先发现实值( i n t h e - m o n e y ) 和虚值( o u t o f - t h e - m o n e y ) 期权的隐含波动率比较高，两平( a t t h e - m o n e y ) 期 权的隐含波动率比较低，这种现象称之为波动率微笑( v o l a t i l i t ys m i l e ) 隐含波动率的 微笑表明了b l a c k - s c h o l e s 公式仍存在着不容忽视的误差，如果使用的参数是两平期 权的隐含波动率，那么对于实值和虚值期权的定价就是错的因为波动率的微笑的 存在，各种随机波动率模型不断出现，例如【h u l l w h i t e ( 1 9 8 7 ) ，s t e i n s t e i n ( 1 9 9 1 ) ， h e s t o n ( 1 9 9 3 ) 其中以h e s t o n 的模型最流行，有三个主要特点：不会出现负的波动 率；资产回报和波动率之间可以有相关关系；有显式解 1 3 新兴金融工具一一倒向随机微分方程 金融学中有关期权及衍生证券定价问题的数学模型实际上正好是b s d e 的求解 问题，而获得诺贝尔经济学奖的b l a c k - s c h o l e s 公式则是线性倒向随机微分方程的解 应用非线性b s d e 研究更复杂的定价问题的研究成果【e 1k a r o u i ，p e n g q u e n e z ( 1 9 9 7 ) 】