（应用数学专业论文）神经网络的稳定性分析.pdf

摘要 自从1 9 8 2 年h o p f i e l d 神经网络模型提出以来，稳定性的分析一直是神经网络 理论的研究重点主要原因在于这类神经网络的应用( 例如最优化、联想记忆、信 号处理、图像处理以及模式识别) 都与网络的稳定性有关本文对于几类神经网络 模型的稳定性进行了研究 在第一章，我们分析了带有延迟的h o p f i e l d 神经网络模型证明了模型在一定 条件下存在唯一的平衡点通过构造一类新的l y a p u n o v 函数，我们给出了关于神 经网络全局指数收敛的几个新的充分性条件我们也与文献中的结果进行了比较 在第二章里，我们给出了一类细胞神经网络( c e l l u l a r n e u r a l n e t w o r k s ) 平衡点 的全局指数稳定性分析，并且指出，当神经网络的激发函数( a c t i v a t i o nf m _ l c t i o n s ) 取为双曲正切函数时，在条件的临界状态下，系统的平衡点仍然是全局渐进收敛的 我们在第三章讨论了带有延迟的双向联想记忆的神经网络( b i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r yn e u r a ln e t w o r k s ) 的稳定性通过对模型的简化，我们得出了几个 平衡点的全局指数收敛的充分性条件， 第四章研究了c o h e n g r o s s b e i g 神经网络模型通过定义两类范数，在一定条 件下我们直接证明了模型的全局指数稳定性在条件的临界状态时，我们也分析了 平衡点的全局渐进稳定性 关键词：神经网络；收敛性；延迟；全局指数稳定；渐进稳定； a b s t r a c t h o p f i e l d ，t y p e n e u r a ln e t w o r k sa n dt h e i rv a r i o u sg e n e r a t i o n sh a v eb e e nd e e p l yi n - - v e s t i g a t c dd u et ot h e i rp r o m i s i n ga p p l i c a i i o ne i t h e ra sa s s o c i a t i v em e m o r i e s ( o rp a t t e r n r e c o g n i t i o n ) o ra so p t i m i z a t i o ns o l v e r s i nb o t ha p p l i c a t i o n s ，t h es t a b i l i t ya n a l y s i so ft h e n e t w o r k si s p r e r e q u i s i t e i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t es o m en e u r a ln e t w o r km o d e l sa n d g i v es o m es t a b i l i t ya n a l y s i s i nc h a p t e r1 ，w ed i s c u s st h eh o p f i e l df l e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y sa s e to fn e w s u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u mp o i n ta r ed e r i v e d i nc h a p t e r2 ，w eu t i l i z ead e wl y a p u n o vf u n c t i o nt oa n a l y z et h eg l o b a lc o n v e r g e n c e o fac l a s so fn e u r a ln e t w o r k sm o d e l sw i t ht i m ed e l a y s t h i ss t a b i l i t yc r i t e r i o n i m p o s e s c o n s t r a i n t so nt h ef e e d b a c km a t r i c e si n d e p e n d e n t l yo ft h e d e l a yp a r a m e t e r sf u r t h e r m o r e ， t h ec o n d i t i o nm a yb el e s sr e s t r i c t i v ei nt h ec a s et h a tt h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n sa r e h y p e r b o l i c t a n g e n t i n c h a p t e r3 ，f lo man e wv i e w p o i n t t h eb i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v e i n e r n o r yn e u r a l n e t w o r kw i t ht i m ed e l a y si s i n v e s t i g a t e da n ds o m en e wg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yr e s u l t s a r eg i v e n w e i n v e s t i g a t et h eg l o b a ls t a b i l i t yo fs ( m em o d i f i e dc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k 8 i nc h a p t e r4a s e to fn e ws u f f i c i e n tc o n d i t i c t n s e n s u r i n gt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya r e d e r i v e d m o r e o v e r ，t h ec o n d i t i o nc a nb er e 【a x e dw h e nw ec h o o s et h ea c t i v a t i o f i l n e t i o n s t ob eh y p e r b o l i ct a n g e n t k e y w o r d s ：n e u r a ln e t w o r k s ；c o n v e jg e n c e ；t i m ed e l a y ；g l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t y 前言 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ) 是在神经生理学和神经解剖学的基 础上，利用电子技术、光学技术等模拟生物神经网络的结构和功能原理而发展起来 的一门新兴的边缘交叉学科，简称为神经网络( n e u r a ln e t w o r k s ) 由于其良好的 自适应性、自组织性以及很强的学习能力、联想能力和容错能力，神经网络在风险 预测、算法优化、信号处理、自然语言理解、图像识别和智能机器人控制等方面有 着极为广泛的应用， 目前，研究的比较多的是h o p ：j e l d 神经网络模型和细胞神经网络模型，它们都属 于反馈性的网络，而反馈性网络的应用都是与其动态性能相关的例如，h o p f i e l d 网 络用于优化时，要求网络只有唯一的一个平衡点，该平衡点对应于待求解的目标， 而且随着时间的增长，要求网络的所有状态都趋于这个平衡点从数学上看，就是 要求网络必须是全局稳定( 渐进稳定或指数稳定) 的；当某一类细胞神经网络用于 图像处理时，希望网络的平衡点尽可能的多，这样可以将处理后的结果储存于这些 平衡点上，而且网络的状态在长时间演化后也要趋近于某个平衡点因此，对于 神经网络的研究重点就是它们的稳定性分析 八十年代早期，h o p f i e l d 将非线性动力学中的l y a p u n o v 函数引入到神经网络 的稳定性研究中，并称之为“能量函数”，从而使人i t x ? 这类非线性模型的稳定性 研究有了明确的判据自此以后，构造合适的能量函数并利用相应的l y a p u n o v 判 定定理来给出网络稳定性的充分条件成为最重要也是最基本的工具， 1 9 8 8 年c h u a 等人( 1 8 ， 1 9 j 提出了一种新的反馈神经网络模型，称为细胞神 经网络( c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ) 与h o p f i e l d 神经网络中各个神经元之间的全局 连接性不同，细胞神经网络在拓扑结构上是局域连接的，神经元的激发函数不是连 续光滑的s i g m o i d 函数而是存在不可导点的分段线性函数，这些特点使得细胞神经 网络非常适合超大规模集成电路( v l s i ) 实现目前，细胞神经网络已被应用到模 式识别、联想记忆、图象处理、偏微分方程的近似求解以及组合优化等领域众多的 应用中，图像处理占有重要的地位，已涉及到了如空洞滤波器( h o l e f i l t e r ) 、连接 单元检测器( c o n n e c t e dc o m p o n e n td e t e c t o r ) ，阴影检测器( s h a d o wd e t e c t o r ) 、 图像细化( i m a g et h i n n i n g ) 、图像边缘检测( i m a g ee d g ed e t e c t o r ) 以及图像压缩 等这些应用极大地依赖于细胞神经网络的动态行为 在实际应用中，由于放大器( a m p l i f i e r ) 的转化速度有限，不可避免地会在模 型中带来时间延迟( t i m ed e l a y ) 并且在动态图像处理时，也需要在细胞之间传 输的信号中引入延迟，因此，带有延迟的神经网络模型引起了越来越多的关注和研 究 本文主耍围绕反馈神经网络的稳定性进行了研究其内容涉及h o p f i e l d 神经网 络，c e l l u l a r 神经网络，双向联想记忆神经网络，c o h e n g r o s s b e r g 神经网络等我 们这里讨论的所有模型都是带有时间延迟的 本文各章节的安排如下：第一章分析了带有延迟的h o p f i e l d 神经网络模型，证 明了模型在一定条件下存在唯一的平衡点，给出了关于神经网络全局指数收敛的几 个新的充分性条件第二章里研究了一类细胞神经网络平衡点的全局指数稳定性， 证明了当神经网络的激发函数( a c t i v a t i o nf u n c t i o n s ) 取为双曲正切函数时，在条件 的临界状态下，系统的平衡点是全局渐进收敛的我们在第三章讨论了带有延迟的 双向联想记忆的神经网络( b i d i r e c t i o n s 1a s s o c i a t i v em e m o r yn e u r a ln e t w o r k s ) 的稳 定性我们对模型进行变换，把它看作是一个单向的h o p f i e l d 神经网络，得出了几 个平衡点的全局指数收敛的充分性条件第四章研究了c o h e n g r o s s b e r g 神经网络 模型通过定义两类范数，在一定条件下我们直接证明了模型的全局指数稳定性 在条件的临界状态时，我们也分析了平衡点的全局渐进稳定性 2 第一章带有延迟的h o p f i e l d 神经网络的稳定性分析 1 1 模型的描述和假设 在对已有的神经网络模型的稳定性研究中， 广泛它的模型为下面定义的一组微分方程： g 掣：一掣+ 妻咖搏) ) + 五。2 i 厂2 一元- + 2 一。j 毋l u ，f ) ) + t h o p f i e l d 神经网络被讨论得最为 这里n 是神经元的个数对于每个神经元i ，c i20 ，尼o ，五是恒定的外界输 入矩阵丁代表神经元之间的连接权如果从神经元j 的输出激发了神经元z ，则 殇 o 反之， 0 ，j d ( e ，t o ) 0 ，当l l x o i i 0 ，当i l x o i f 0 ，j a 0 ，( d ) o 当i x o l | d 时，有| r x ( t ，t o ，x o ) l k ( d ) ir x o | | e 一1 一如) ，t t o 有了这些稳定性的定义后，我们来考察神经网络的稳定性。 在定理的叙述和证明中，我们还用到下面几个定义 定义1 ，1 ，5 一个矩阵a 被称为m 矩阵，当且仅当o ，i ，j = 1 ，2 ，i j 并且4 的所有顺序主子式大于0 定义1 1 6 一个方阵a 称为是l y a p u n 9 vd i a g o n a l l ys t a b l e ( l d s ) 的，如果存在一 个正定对角阵p 使得p a 的对称部分f p a l 8 是正定的 定义1 - 1 7 一个映射h j 彤_ r “称为同胚的，如果日c o ，日是一对一的，到 上的，并且其逆阵h 一1 c o 定义1 1 8 一个连续函数g ：酽_ r “ 其形式为g = ( 9 1 ，9 2 ，蜘) 7 ，g 是属于 函数类o g l ，g 2 ，g n ) 的，如果对任何z ，y r ，z y ，有0s 虹业x - 二趔yg 。 这里g = d i a g ( g 1 ，g 2 ，g 。) ，0 p b q 一1 ( 尸b ) r + q( 1 26 ) 根据不等式x 7 、x + i x + x r ，我们有 p b q 一1 ( p b ) t + q p b + ( p b ) rf 1 2 7 ) 5 ，+ 弓 一 珏 蜥 b 。皿 + 锰d 所以式f 1 26 ) 变为 2 p d g1 p b 十f p 厅1 r 即 0( 12 8 ) 式( 12 8 ) 说明d g 一b l d s 因此，由引理1 2 2 ，日心) = 一d 让+ b g ( u ) + ， 是一个同胚，并且系统( 11 5 ) 有唯一的一个平衡点 定理1 2 1 的证明根据引理12 瓦我们知道系统( 1 1 5 ) 有一个唯一的平衡 点，设之为“4 令z 。( t ) = u 。( t ) 一u ；，则( 1 15 ) 可以被改写为： 等! = - d 印) + 酬t 叫 ( 1 2 9 ) 这里z ( ) = ( z - ( ) ，z n ( ) ) 7 ，妒( ) = ( 妒( 。，( ) ) ，妒。( z 。( ) ) ) t ，妒。( z 。( ) ) = 乳( 。( ) + u ；) 一吼( u ；)i = 1 ，2 ，n ，系统( 1 ：19 ) 有一个唯一的平衡点0 明显地，+ 是( 1 15 ) 的全局指数收敛的平衡点，当且仅当0 是( 1 29 ) 的全 局指数收敛的平衡点， 下面我们分析( 12 ，9 ) 的零解的稳定性为此，考察下述函数： n n p zz n p t v ( z ( t ) z ) = z ；e 6 t + 2 d 只e “! f 。( p ) d p + ( n + 卢) q 。妒；( 卫。( s ) ) e e ( s 十一) d s i = 1i = l jo 看 j 一“ ( 12 1 0 ) 这里正常数，卢和e 待取定 对t 求导数，利用( 1 2 9 ) ，有 e e 8 t z t z + 2 e e t x t ( 一d z + b 妒( 一r ) ) + 2 e e “妻只厂8 妒。( p ) d p 。一1 0 2 e “妒t 0 ) ( 一p d x + p u 妒( t 一7 _ ) ) + ( 乜+ 卢) 妒t ( f ) e e r q 妒( t ) e e 妒r p r ) q 妒 一r ) e 。 因为7 是一个向量，这里e 7 表示d i a g ( e 一，e ) 由于g g g l ，g 2 ，g 。 ，我们有 胁劫；g i x ? o 帆p i ? 妒t 0 ) ( 一p d ) xsv t 0 ) ( 一p d g 一1 ) 妒0 ) 6 蚴 2 2 姐 q 所以， 杪( z o ) ，) e 2 z ，1 ( 一d + ；e ，+ ；a e p a ) z + 2 t 日妒( 一r ) + 2 血卜- 妒t ( t ) p d g 一1 妒( t ) + 妒r 0 ) p b 妒( t 一下) + ( + 卢) t p t ( ) e ”q p ( t ) 一妒7 ( t f ) q 妒( t r ) )( 1 21 3 ) 现在我们取合适的参数来证明v ( z ( t ) ，t ) 0 令= “e ，并且选取固定的一个臼， 使得 胁嚆m l n 掣 ( 1 z 1 4 ) u 4 、7 这里矩阵范数定义为i l x lc = 7 a 。( x t x ) ) 我们选足够小的e 0 和足够大的 0 ，使得 d 云卜i p g 0 ( 1 21 5 ) 扣1 l + ； p g d - i 性，一甓掣 ( 1 。1 6 ) 并且，由2 p d g 一1 一p b q 。( p b ) t q 0 ，我们知道对于足够大的o ，有 n 【2 p d g 一1 一p b q 一1 ( p b ) t 一8 老7 q 】一卢e 言7 q 0f 1 21 7 ) 从式( 1 2 1 6 ) ，得到 卢2 面而尚辫赢 蝶并胍卜去矿可e 。1 广 i i 皇：( 里二蠡! 二i 竺笪! ：! 望! 叩q z 因而， p q 矿( d 一三2 0 e 一；p g ) 一1 日 1 8 ) 至此，我们已经选取了参数，并且得到了条件f 1 21 7 ) ( 1 2i s ) 下面我们证明矿( z ( t ) ，t ) 0 利用配方法，有不等式 一。7 ( d 一三2 0 z ，一；p a ) z + 2 茹r 昱妒( t f ) 【p t ( t r ) b t i d 一三2 aj r 一；p g ) b p ( t 一7 - ) ( 1 2 1 9 ) 7 一( 1 妒t ( t 一丁) q 妒( t 一下) + 2 a p r ) p 日妒( t 丁) d 妒r ( t ) p b q 一1 b t p 妒( t ) ( 12 2 0 ) 由式( 121 3 ) ，我们有 8 - x t ( d 二2 a ，一；。3 6 j ) z 一妒7 1 ( t ) 2 a p d g 一u p b q 。b ? p ( + 卢) ，o i l ( t ) + 妒r ( z r ) b 2 ( d 一去j 一；p g ) 一1 b 妒( t r ) 序妒7 1 ( 一下) 固妒0 一下) ) 利用( 1 2 1 5 ) ( 1 21 7 ) ( 12 1 8 ) ，我们得到 f 122 1 1 因此，v ( z ( t ) t ) v ( z ( o ) ，o ) 所以， 塞z ；兰v ( z ( o ) ，o ) 。一也就是说，。f t ) 指 数收敛于0 定理1 21 证毕 定理1 2 4 假设口g 0 1 ，g 2 ，瓯) 并且存在正定对角阵p 和q 满足2 p d 一 | p b q 一1 ( p b ) t g q a 0 ，即左边的矩阵是正定的，则系统化j 纠有一个唯一 的平衡点，并且是全局指数收敛的 同样地，我们先证明系统存在唯一的一个平衡点 引理1 2 5 假设定理j 占4 中条件满足，则系统一彤有一个唯一的平衡点 证明我们定义一个映射 日( ) = - d u + b g ( u ) + i 则只要证明h 是一个同胚就可以了根据z h a n g 等( 5 3 ) 的结果，我们分两步证明 首先，我们证明h 是单射用反证法假设存在u ， 峨， ，使得h ( 。) ：日 那么有d ( “一u ) + b ( 口( u ) 一9 ( 口) ) = o 由于g g g ，g 2 ，g 。) ，所以存在一 个正定对角阵k 使得0 ks g ，并且( 一d + b k ) ( 一u ) = 0 下面我们证明 d e t ( 一d + b i ( ) 0 为此考察系统! 挚= ( 一d + b k ) x ( t ) 令v 扛( t ) ) ：。，1 p z ， 由不等式 我们得到 y 扛) = x t ( 一2 p d + p b k + k ( p b ) t 1 z ( q i 1 ( p _ b ) t q k ) t ( q j ( p b ) t 一0 i 1 ) 0 p b q 一1 ( p b ) r + k q k p b k k ( p b ) r 0 8 ( 1 ，22 2 ) ( 1 22 3 ) f 22 4 1 因此 p 1 3 k + a ，( p b ) 2 1sp b q 一1 ( p 日) r + g q g f l2 s s ) 从而由( 1 22 2 ) ，得 p ( z ) s z r ( 一2 p d + p b q 一1 ( p 曰) t + c o a ) z f 122 6 ) 所以由定理条件知道，对于z o ，有i l z ) 0 ，则2 u p 雷一肛f f u f f 2 所以 2 硎f f 曰f f2 f 2 即f j 目f f 三删所以当f f “f j 。+ o 。时，f f 宙( u ) 1 | _ + 。，| 1 日( 。) _ + 。这 就证明了h 是一个同胚所以，系统( 1 1 5 ) 有一个唯一的平衡点引理125 证毕 定理1 - 2 4 的证明 由引理1 2 ，5 ，我们知道系统( 11 5 ) 有一个唯一的平衡 点u + 同样地，只要考虑系统( 1 ：! 9 ) 的零解的稳定性 定义一个函数 ( 1 22 7 ) sd n e p 2 z妒 叶 厂几 o q 。嘲 卜 矿zp r z | | z 求导，有 v ( z ( t ) ，t )e z r p x e e 亡+ 2 x r 一p d x + p b 妒( t r ) e “+ o p t ( t ) e 7 q 妒( t ) e “ ，( t 一- o q v ( t t ) t ：“ e “f 一茁7 ( 2 p d c p g e 7 q f f ) x + 2 x t p b 妒( t r ) 一妒r ( 一下) q 妒0 一丁) = e “ 一。丁( 2 p d e p g e 7 q g p b q q ( p g ) t ) 。 一i q 妒( t r ) 一q 一 i 尹p z ， q ；妒( t r ) 一q 一 日t p z ) 墨一e e t z r 2 p d e p g e ”q g p b q 一1 ( p b ) r 。) 由假设2 p d p b q 。( p b ) t g q g ，0 ，我们可以选取充分小的，使得 2 p d e p p b q - 1 ( p b ) r g e 7 q g 0( 1 22 8 ) 所以， 矿( z ( t ) t ) o ，v ( t ) ，t ) si7 ( z ( o ) ，o ) ， 量石；丛m 剑l n p ，e n 因此z ( t ) 指数收敛于0 ，这就证明了u + 是系统( 【15 ) 的全局指数稳定的平衡点证毕 注1 2 1 上述定理推广了已有的一些文献中的结论在文献膨彰序曰中，仅仅考虑 了渐进稳定性在p 习中，a - 究了细胞神经网络的绝对稳定性这里我们给出了指 数稳定性分析我们根据不等式门霉2 v 得到指数收敛的速度另外，这里对于激 爱函数的要苯也放宽1 一些参见文献f 8 h 16 jf 4 铂33 j 注1 2 2 如果连接矩阵中的元素有些为负的，文献声哥中给出了例子，说明命题 不成立但是定理21 和2 4 乃然成立这是因为命题忽略了神经 元之间相互激发或者- t q 席0 的效果因而这里的结果可以应用在更多的网络中，保证 神经网络的稳定性 第二章一类带有延迟细胞神经网络的全局稳定性 2 1模型的描述和假设 细胞神经网络是由c h u a 和、f a n g 1 8 1 1 9 在1 9 8 8 年提出来的细胞神经网络 在图像处理方面有着广泛的应用在处理动态图像时，必须在信号传输里引入时间 延迟1 7 由于延迟的引入，网络的动态行为会发生很大的变化 1 7 ，甚至会出现 混沌现象，在已有的文献中，带有延迟的细胞神经网络( d c n n ) 也得到了大量的研 究在 2 2 2 3 5 3 8 中，利用l y a p u n o v 函数方法，得到了一些全局渐进收敛的 判定准则在文献 6 1 1 0 1 1 4 中给出了一些指数收敛的充分性条件在 5 2 ，带 有可变的无界延迟的细胞神经网络也作了研究 在这一章，我们研究下面带有延迟的神经网络的稳定性 d u 。( t ) 出 = 画u 。( t ) + a i j g j ( “，( t ) ) 十b 。j g j ( j ( t ，= 1，= 1 令u = ( u 。，“z ，“。) 7 ，我们把系统( 2 11 ) 写成向量的形式 百d u ( t ) = 一d u ( t ) + 匈( “( ) ) + 勘( u ( t r ) ) + ， ( 2 12 ) 这里d = d i a g ( d t ，d z ：，如) ，9 ( 扎) ：( 虬( u 1 ) ，9 z ( u 2 ) ，吼( u 。) ) ，j = ( 厶，如，厶) 1 ， t = ( t 1 ，n ，) 丁a = a i j 是反馈矩阵，b = 地j ) 是延迟反馈矩阵激发函数 仍然要求满足9 ( 茁) g g 1 ，g 2 ，g 。 对于神经网络( 2 12 ) ，c h e r t 1 0 利用m 矩阵给出了一个全局指数收敛的定 理。利用m 矩阵的性质，可以得到一些结果，例如 6 【1 0 【2 2 【3 8 1 然而，与第一 章中命题1 1 1 类似，这些结果没有考虑神经元之间的相互激发或是抑制的影响 v a nd e nd r i e s s c h e 4 9 ，z h a n g 5 3 和j o y 3 2 1 3 3 等人对这一问题进行了研究 但是他们使用的激发函数要么是折线函数g d x ) = j 1 ( 忙+ 1 l f 一忙一l f ) ，要么是单 调递增函数，我们这里仅要求g 属于函数类g g 1 ，g 2 ，g ) 并且，我们考虑r 全局指数稳定性 首先，我们证明系统( 2 ，1 2 ) i 一个唯一的平衡点 引理2 1 1 假设g g g 1 ，g 2 ，g 。) ，并且存在正定对角阵p 和q ，使得 2 p d g 一1 一( 尸4 + a 丁p ) 一p u p , 一1 ( p b ) t q 0( 2 1 3 ) 则系统偿，j 到有一个唯一的平衡点 证明从( 2 1 3 ) ，我们有 2 p d g 一1 一( p a + a t p ) p b q 一1 ( p b ) t + q 由不等式f 一 ( p b ) t q ； 丁【q 一 ( p 占) r q 1 0 得 p b q 一1 ( p b ) 。，+ q p b + ( p b ) r 所以( 2 14 ) 变为 2 p d g 一1 尸( ， + b ) + ( a + 嚣) r p f 2 1 4 1 f 2 1 5 1 ( 2 16 ) 即 p ( d g 。一a 一目) 5 o( 2 1 7 ) 因此，d g 一( a + b ) l d s 从引理12 2 知道胃m ) = 一d u + a gc u ) + b g ( u ) + ， 是一个同胚所以，系统( 2 1 2 ) 有一个唯一的平衡点 我们在下一节给出指数收敛的主要结果 2 2 主要结果 在上一节中，我们已经证明了在一定条件下，系统( 2 12 ) 有一个唯一的平衡 点在这一节，我们研究这个平衡点的全局稳定性 定理2 2 1 假设g g g 1 ，g 2 ，g 。) ，并且存在正定对角阵p 和0 ，使得 2 p d g 一1 ( p a + a r p ) 一p b q 一1 ( p b ) t q o( 22 8 ) 则系统偿j 剀的唯一的平衡点是全局指数收敛的，并且不依赖于延迟 证明由引理2 1 1 我们知道系统有一个唯一平衡点“+ 做变换z ( t ) = u ( t ) 一u + ， 则f 21 2 ) 可以写为 掣= 一蹦讣酬讣b o p ( t 叫 ( 2 29 ) 这里z ( ) = ( z ，( ) ，z 。( ) ) t ，妒( ) = ( 妒，( x l ( ) ) ，妒。( z 。( ) ) ) r ，妒。( 。( ) ) = 9 ，( z ：( ) + u i + ) 一虮( “i ) i = 1 ，2 ，几 我们考察系统( 2 2 ，9 ) 的零解的指数稳定性 定义相同的一个函数( 1 21 0 ) ，沿着( 2 2 9 ) 的解求导，有 矿( 。 ) ，t ) = e e “z t z + 2 e “z t 一d x + _ 妒o ) + b 妒。一r ) + 2 n e e “只 ( p ) d p ：= 1 ，o + 2 a e 。妒t ( 舌) i _ p d x + p 4 ，( 幻+ p b 妒( t 一7 _ ) + ( + 卢) 妒r ( t ) e 盯q 妒( i ) e 。妒t ( z 一下) q 妒0 丁) e “( 2 2 1 0 ) 由于r = f n ，丁2 ，) 是一个向碴，酽7 代表对角阵d i a g e “1 ，e ”2 ，e “) 与定理121 中处理类似，我们有不等式( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) 所以， 矿( 。( t ) ，t ) 墨e “ 2 z t ( 一d4 - ；e j + ；d e p a ) z 十2 x t a 妒( z ) + 2 z t 口妒( t 下) + 2 d i 一妒t ( t ) p d 0 1 妒( t ) + 妒t ( t ) p 一妒( t ) + 妒丁( t ) 尸b 妒( t 一丁) + ( + 卢) 妒t ( t ) f 汀q 妒( t ) 一妒t ( 亡一下) q 垆0 一r ) ) ( 2 2 1 1 ) 令e = q e ，即为 m ( t ) ，) s e ： 2 z 丁( 一d r 轰，+ ；p c ) 上+ 2 z t a 妒( ) + 2 x r b , 妒( t 一7 - ) + 2 q 【一妒f ( t ) p d a 一1 妒 ) + o p t ( t ) p a 妒( o ) + 垆r ( t ) p b 妒0 一丁) 】 + ( 0 = + 卢) 妒t ( t ) 曰i 7 q 妒( t ) 一妒t 0 一r ) q 妒0 一下) 】) ( 2 21 2 ) 我们选取e ，o l ，卢来证明v ( t ) ， ) s0 同定理1 21 中一样，我们取充分大的 充分小的 o 和固定的卢得到不等式( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( 1 、2 1 8 ) 以及 f 2 p d g 一1 ( p a - 4 - a 7 p 1 一p b q 。 一a t ( d 三2 a 一；p a ) 1 ( p b ) 丁一e ；7 q 一卢e ：7 q 。_ 0f 221 3 ) 少( 。( t ) ，t ) e 言 一妒t ( t ) 2 佃p d g 一1 一a ( p a + a t p ) 一q p b 0 _ b t p 一( n + 卢) e ；7 q a t ( d 一云，一；p a ) 。a i d ( t ) + 妒t ( t r ) f b r ( d 一去，一；p g ) 一1 b 一卢固眦一r ) ) ( 2 21 7 ) 1 3 丢丢删渺嘶 如一一一一舯 一 篡啦冀。邯恻幸专专去眺卿 协一肛m 脚 脚 ”例0 裟扣淼 结合( 1 21 8 ) 和( 2 2 1 3 ) ，得 v ( z ( ) ，t ) 0 ( 22 1 8 ) n 所以，v ( z ( t ) 、t ) = 三v ( z ( o ) ，0 ) ，z i v ( 。( o ) ，o ) e 1 。对于系统( 2 2 9 ) ，。= 0 l = 1 是全局指数稳定的证毕 2 3参数的选取和数值例子 我们应该看到，直接从稳定性条件( 2 2 8 ) 选取正定对角阵p 和q 是比较困 难的，因为这是一个矩阵不等式但是我们可以把它转化为等价的线性矩阵不等式 ( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ，l m i ) 来求僻在这一节，我们给出具体的方法来选取矩 阵p 和q 先给出一个引理： 引理2 3 1 s c h u rc o m p l e m e n t ，s b o y d 等，圳下述的线性矩阵不等式 ( 裂，淄) 。| 5 l r ( z ) r ( z ) 这里q ( z ) = q 7 ( z ) ，_ r ( 。) = r 7 ( z ) ，专二价于 r ( z ) 0 a n d q 07 ) 一s ( x ) r 一1 ( z ) s 7 ( z ) 0 从引理23 1 ，我们得到 定理2 3 2 假设p = d i a g ( p 1 ，r ) ，q = d i a g ( q m ，) ，只 0 。i 0 i = 1 2 ，他，那么 2 p d g 一1 一( p a + a 7 1 j ) 一p b q 一1 ( p b ) t q 0 等价于下面的线性矩阵不等式 ( 鬻p b ) 一鲋+ 删棚苫) 。( 丁 q 厂“ 因此，判别准则( 22 8 ) 可以转化为求一个线性矩阵不等式( 232 2 ) 这时我们 可以利用m a t l a b 中的线性矩阵不等式：亡具箱( l m it o o l b o x ) 来求解p 和q 下面我们给出一个具体的例子来计算p 和q 考虑下面两维系统 j2 1 ( t ) = 一9 2 1 ( t ) + 2 9 ( x l ( ) ) 一g ( x 2 ( t ) ) + 3 9 ( x t 0 一n ) ) + g ( x 2 一n j ) + 厶 i2 2 ( t ) = 一9 x 2 ( t ) 一2 9 ( x l ( t ) ) + 3 9 ( z 2 ( t ) ) + ；9 1 0 一n ) ) + 2 9 ( x 2 ( t 一他) ) + 厶 ( 2 , 32 3 ) 1 4 埘 卿 3 3 2 2 叫 哟 3 3 心 这里n = ，见= z ，z = ，2 = 2 ：g ( z ) = 州z + 一。一，m 所以，_ d = ( ：) g = ，a = ( ! 。二1 ) ，b = ( i ：) p = 0 。9 1 2 。0 。，。) ，。= ( ：0 9 12 。曼，。) 并且有 一2 p 。g 一1 + ( p a + a t p ) + 尸毋q - z b t p + q = ( 。- 。0 3 2 。9 4 6 3 0 。0 8 3 1 0 。4 2 ) ( 2 3 2 4 ) 我们给出例子( 2 32 3 ) 的轨道的相平面图这里初始函数取为 ( z l ，z 2 ) = ( s i l l5 ，c 0 8s ) ，( 2 s ，e x ps ) ，( 1 0 9 ( s + 3 ) ，s 2 ) ，( 5 3 ，a r c t a n s 一4 ) ，( 2 7 ，一4 5 ) ，( t a ns 3 ，一( 8 + 1 0 ) ) ，( 8 1 ，1 2 8 ) ，s 一2 ，o 系统( 2 32 3 ) 的轨道的相平面图 注2 3 - l 在a r i k 的文章川中，饰者构造了一个l y a p u n o v 函数来研究细胞神经网 络与这里的结果相比，主要有两点不同首先，a r i k 的函数选取是用来讨论渐进 1 5 稳定性的，我们这里考虑的是指数稳定性第二，a n 的文章中，作者针