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含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析 中文摘要 中文摘要 本文主要研究了含跳扩散信用风险模型下的信用风险问题与以往模型 参数为常数情形下的含跳扩散信用风险模型不同，本文考虑的是模型参数 依赖于时间以及依赖于公司资产价值这两种情形下的含跳扩散信用风险模 型在第一种情形下，我们得到了局部违约率以及相应的零息债券在零时 刻的信用利差的极限而在第二种情形下，利用强马氏性，我们得到了违约 时间l a p l a c e 变换所满足的积分微分方程当跳分布服从g a m m a ( 2 ，a ) 分布 时，我们得到了违约时间l a p l a c e 变换的闭形式表达式利用这个表达式， 我们得到违约概率以及相应零息债券价格的数值解 关键词：跳扩散；信用风险；局部违约率；信用利差；违约时间；l a p l a c e 变换；违约概率 作者。薛玲 指导老师。王过京 c r e d i tr i s ka n a l y s i su n d e rj u m p - d i f f u s i o nc r e d i tr i s km o d e la b s t r a c t c r e d i tr i s ka n a l y s i su n d e rj u m p - d i f f u s i o n c r e d i tr i s km qd e l c r ei tr l s km oe l a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ec r e d i tr i s ku n d e raj u m p - d i f f u s i o nc r e d i tr i s km o d e l d i f f e r e n tf r o mt h ec o m m o nu s e dm o d e l ，i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h eo n ew i t ht w o g e n e r a lc a s e s ：o n ei st h ec a s ew h e r et h ep a r a m e t e r sa r et i m e - d e p e n d e n t ，t h eo t h e ri s t h em o d e lw h o s ep a r a m e t e r sr e l yo nt h ef i r m sa s s e tv a l u e i nt h ef i r s tc a s e ，w eg e tt h e l o c a ld e f a u l tr a t ea n dt h el i m i to fc r e d i ts p r e a d so fz e r o - c o u p o nb o n d sa tt i m ez e r o i n t h es e c o n dc a s e ，u s i n gt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y , w eo b t a i nt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nf o rt h el a p l a c et r a n s f o r mo fd e f a u l tt i m e v l c r h e nt h ej u m p - s i z ed i s t r i b u t i o ni s g a m m a ( 2 ，a ) d i s t r i b u t i o n ，w eg e tt h ec l o s e df o r me x p r e s s i o nf o rt h el a p l a c et r a n s f o r m o fd e f a u l tt i m e u s i n gt h i se x p r e s s i o n ，w ef u r t h e rg e tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rt h e d e f a u l tp r o b a b i l i t ya n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r i c eo fz e r o - c o u p o nb o n d s k e y w o r d s ：j u m l - d i f f u s i o n ；c r e d i tr i s k ；l o c a ld e f a u l tr a t e ；c r e d i ts p r e a d s ； d e f a u l tt i m e ；l a p l a c et r a n s f o r m ；d e f a u l tp r o b a b i l i t y i i w r i t t e nb yx u el i n g s u p e r v i s e db yp r o f w a n gg u o j i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本入承担本 声粤马的法律责任。 m， 研究生签名：鳋羔呈日 期：鲨皇：! 生 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 ：， 研究生签名：琏兰圣 日期：娑呈：! 兰 导师签名：至垫昌期：圣= 三：竺罗汐 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析 第一章引言 第一章引言 2 0 0 7 年美国次贷危机爆发，但由于美国政府在金融管理上的缺位，没有 及时采取正确而有效的补救措施，从而导致次贷危机愈演愈烈，进而波及 到了整个金融业，而涉及地区也由单一的美国到了全世界尽管随后各国 政府都采取了一定的措施，但这场全球金融危机还是进一步加剧，并逐渐 演变为了全球经济危机这场多年来最大的全球性的金融危机影响之大是 我们所料未及的 而这次危机的源头是美国的次级抵押房贷次级抵押房贷指一些贷款机 构向信用程度较差和收入不高的借款人提供的用于购房的贷款美国次级 抵押房贷市场通常采用固定利率和浮动利率相结合的方式，即购房者在购 房头几年以固定利率偿还贷款，其后以浮动利率偿还贷款0 6 年之前的5 年里，由于房价持续上升，美国住房市场持续繁荣，加上前几年美国利率水 平较低，美国的次级抵押房贷市场迅速发展但2 0 0 6 年美国房价出现下跌 且随着短期利率的提高，次级抵押贷款的还款利率也大幅上升，购房者的 还贷负担大为加重同时，住房市场的持续降温也使购房者出售住房或者 通过抵押住房融资变得困难本来次级抵押房贷者的收入不高，还贷能力较 弱，在这种情形下，直接导致大批次级抵押房贷者不能按期偿还贷款此 时即使按揭提供方收回抵押的房屋，但房产整体上并不能顺利的及时出售 ，这就引起其大面积的亏损，坏账增加，导致次贷危机的发生和蔓延所以 说这次的次贷危机是由于次级抵押房贷的信用违约引起的 信用风险一般包括以下四种：( 1 ) 由于互换，债务或者其他参与方工具 的违约而遭受损失的风险度( 2 ) 由于发行方或交易对方的信用评级降低导 致市场价值下降而遭受损失的风险度信用风险可以通过在交易生效之前 的信用检验或者通过可以抵消违约效应的金融工具条款或者在信用评级降 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析 第一章引言 低时要求增加付款额度等措施加以降低( 3 ) 由违约事件的可能性所导致的 回报多样性的组成部分( 4 ) 市场对违约事件可能性预感的变化，它影响存 贷利率以及参考指数之间的利差前面所介绍的次贷危机就是由第一种信 用风险引起的而本文考虑的也是第一种信用风险考虑此时的信用风险 问题，对其进行建模有两种基本的方法：结构方法( s t r u c t u a a p p r o a c h ) 和约 化方法( r e d u c e df o r ma p p r o a c h ) 结构信用风险模型 结构信用风险模型的目的主要是解释公司信用违约的经济原因更确切 地说，违约是被假设为公司财力不充足的结果若公司的资产价值小于一 确定的门限值，就说公司发生违约这样公司的偿付能力就与公司资产与 负债的比率相联系起来了从而，公司资产价值过程模型就可以用于说明 违约概率的期限结构故公司资产价值过程在结构信用风险模型中起着关 键性的作用。而公司的债券以及其它信用衍生产品就是基于这种违约概率 的期限结构来定价的不同的结构信用风险模型是根据其采用不同的公司 资产价值过程来区分的因此，结构信用风险模型的分类是与公司资产价 值过程模型的发展相关联的 最早的结构信用风险模型是由b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 提出的，在该模型 中公司资产价值过程为几何布朗运动开始，这个模型是设计用于描述股 票价格大于公司资产价值而后，他们把这个股票价格模型修改使其成为 了最早的结构信用风险模型而他们的思想主要是由m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 详细地说 明的，m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 改进了公司资产价值过程的随机微分方程( s d e ) 使其 包含了分红以及利息的支付，使之更符合实际情形但m e r t o n 模型中违约 时间的假设过于严格，违约仅发生在到期日的限制使得违约触发机制过于 简单，违约边界不能被准确建模b l a c k 和c o x ( 1 9 7 6 ) 放宽了m e r t o n 模型违 约只能发生在到期日的限制，引入了可在债券有效期内任何时间发生的更 一般的违约事件他们提出了检验违约，定义违约时间为公司资产价值过 2 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第一章引言 程小于某一给定门限的首中时( f p t ) 而研究此时的首中时( f p t ) 问题，在 数学上可以转化为研究一个确定的随机微分方程( s d e ) 问题在实际问题 中有时需要更一般的模型，g e s k e ( 1 9 7 7 ) 允许公司债券契约中附带条件，而 l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) 进一步考虑了利率期限结构的随机运动对违约风 险价格的重要作用，用v a s i c e k 模型来描述利率的随机演化但这些传统的 结构信用风险模型都有其局限性，那就是它们均假设公司资产价值过程为 扩散过程的指数。而在含扩散信用风险模型中，违约时间为公司资产价值 过程的首中时( f p t ) ，故其为关于布朗运动产生的过滤的可料停时这个性 质就隐含了短期债券无信用利差，而这显然与经验观察得到的信用利差有 正极限相互矛盾由于无法解释经验观察得到的市场回报与其标的衍生品 的价格，z h o u ( 2 0 0 1 a ) 把公司资产价值过程修正为一个扩散过程和服从正态 分布的跳部分的叠加，并且他用了一个简单的m o n t ec a r l o 算法来估计其模 型中的债券价格，进一步地，他说明了模型中隐含的信用利差的极限为正 约化信用风险模型 不同于结构信用风险模型，约化信用风险模型( 也称强度信用风险模型) 没有考虑违约和公司资产价值之间明确的关系，而把违约看作是由违约强 度而确定的p o s s i o n 过程这种方法消除了对公司资产价值的依赖，使得 模型采用市场中易于得到的公司违约率，公司信用等级变动以及债券信用 利差等数据来进行违约风险定价这类模型特别适用予对信用利差进行建 模，而且也比较易于检验信用违约互换( c d s ) 数据这类模型被许多作者采 用，包括j a r r o w 和t u r n b u u ( 1 9 9 5 ) ，j a r r o w 和l a n d o 及t u m b u l l ( 1 9 9 7 ) ，m a d a m 和 u n a l ( 1 9 9 8 ) ，l a n d o ( 1 9 9 8 ) ，d u f f l e 和s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 以及k i j i m a 和m u r o m a c h i ( 2 0 0 0 ) 等等 j a r r o w 和t u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) 最早将强度的概念引入到违约风险定价的方法 中他们假设违约时间是强度为常数的p o s s i o n 过程强度为常数的假设 使得违约风险易于估计，但不同公司违约率不同，这种假设与实际不符 3 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析 第一章引言 l a n d o ( 1 9 9 8 ) 发展了j a r r o w 和t u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) 这种约化信用风险模型，并设 违约时间为带连续时间随机强度的c o x 过程发生第一次跳的时间j a r r o w ， l a n d o 和t u r n b u l l ( 1 9 9 7 ) 提出了基于信用等级的约化信用风险模型，简称j l t 模型他们根据历史经验数据如标准普尔的信用等级转移矩阵中的违约率 来确定违约强度而在d u f f l e 和s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 中，他们假设违约在任意时 间t 以风险中性危害率发生这意味着在给定的时间t 之前没有发生违 约的条件下，在时间小区间缸之内，在时刻亡发生违约的条件风险中性概 率为也础 与传统的结构信用风险模型( 含扩散信用风险模型) ，即m e r t o n - b l a c k - c o x - l o n g s t a 赶：- s c h w a x t z 方法相比，约化信用风险模型有如下优点( t o m a s z ，m o n i q u e 和m a r e k ( 2 0 0 4 ) ) ：( 1 ) 不需要具体说明公司资产价值过程和违约触及障碍( 2 ) 信用风险水平只是由风险中性违约强度这单个量反映( 3 ) 违约时间是不可 预料的停时，违约事件可以在人们毫无思想准备时发生( 4 ) 对可违约权益 的估计更为直接类似于在期限结构模型中估计无违约风险的未定权益 ( 5 ) 在约化模型中，对信用利差的量化更容易，从而此时的信用利差更为现 实，可靠，风险补偿也更易于处理对于任何模型而言，它都不可能是完 美的，都会有其固有的局限性，约化信用风险模型也是如此，其缺点如下 ( t o m a s z ，m o n i q u e 和m a r e k ( 2 0 0 4 ) ) ：( 1 ) 没有考虑公司资产价值水平和公司杠杆 作用的当前数据( 2 ) 不易处理特殊的安全契约和债务资历( 3 ) 关于公司 资产结构的所有重要的问题都超出了这种方法的范围( 4 ) 处理投资组合问 题最实用的方法一般都与公司资产价值相关 含跳扩散信用风险模型 含跳扩散信用风险模型是目前常用的信用风险模型之一它是几何布朗 运动信用风险模型的推广关于几何布朗模型的违约概率，人们已得到其 闭形式解( 如b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) ，l o n g s t a f f 和s c h w a x t z ( 1 9 9 5 ) 等等) 而对含 跳扩散信用风险模型的研究，所得分析结果很少，有许多工作需要进一步 4 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第一章引言 研究这方面的研究工作有很大的挑战性在模型中加入跳部分后，除了 某些特殊的情形，大多数实际情况下我们只能采取一些计算方法等其中 比较著名分析结果的例子包括跳尺度为双指数( d o u b l ee x p o n e n t ) 或指数分布 ( k o u 和w a n g ( 2 0 0 3 ) ) 以及正跳( 设门限小于过程的初值) ( b l a k e ( 1 9 7 3 ) ) 而在 其它情况中，m o n t ec a r l o 方法一般是应用中的首选但在计算中，传统的 m o n t ec a r l o 方法计算效率一般比较低许多研究者主要研究于m o n t e c a r l o 随机模拟的有效性，希望增加其计算的效率a t i y a 和m e t w a l l y ( 2 0 0 2 ，2 0 0 5 ) 提 出了m o n t ec a r l o 类型的数值方法的快速计算方法，用于在一维情形下来解 决f p t 问题 本文贡献 本文也采用了含跳扩散信用风险模型以往的含跳扩散信用风险模型， 像z h o u ( 2 0 0 1 a ) ，k o u 和w a n g ( 2 0 0 3 ) 以及a t i y a 和m e t w a l l y ( 2 0 0 2 ，2 0 0 5 ) 等模型 中，考虑的模型参数比如漂移项，波动项均为常数。本文主要考虑了其依 赖于时间以及公司资产价值过程这两种情形 而模型参数依赖于时间的含扩散信用风险模型也已经有作者研究，如 l 0 和h u i ( 2 0 0 0 ) ，l o 和l e e 及h u i ( 2 0 0 3 ) ，l o 和t a n g 和k u 及h u i ( 2 0 0 4 ) ，l o 和 h u i ( 2 0 0 6 ) 等等例如在l o 和h u i ( 2 0 0 0 ) ，他们基于w e i - n o r m a n 定理，说明 了用于参数依赖于时间的金融衍生品定价的l i e - a l g e b r a i c 技术而在l o 和 h u i ( 2 0 0 6 ) 中，他们用直观的方法导出了参数依赖于时间的o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程的首中时分布的闭形式解在模型参数依赖于时间的情形下，我们得 到了局部违约率l d r r 以及零息债券零时刻的信用利差的极限 对于含跳扩散信用风险模型，除了少数特殊的情形外，如k o u 和w a n g ( 2 0 0 3 ) ，通常是用m o n t ec a r l o 随机模拟的方法来求得违约概率的但由于模 型本身的复杂性，再加上基于此模型的m o n t ec a r l o 随机模拟的随机性，这 就使最后算出的违约概率与真实的违约概率相比可能差距比较大，无法真 实的反映违约概率在模型参数依赖于公司资产价值的情形下，本文给出了 5 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第一章引言 另一种方法来计算违约概率，那就是首先求得违约时间的l a p l a c e 变换，继 而再由l a p l a c e 反演变换用数值方法求得违约概率，这种方法减少了违约概 率求解过程中的随机性，能够比较好的反映真实的违约概率这种方法其实 在保险数学中已经被采用于计算破产概率，见g e r b e r 和l a n d r y ( 1 9 9 8 ) ，w a n g 和w u ( 2 0 0 8 ) 等等在这里我们引入该方法，目的用于计算违约概率，这是因 为有限时破产概率和违约概率从数学上而言，本质上是一样的而本文的 贡献在于把这种方法用于研究信用风险问题的违约概率，并且本文考虑的 模型参数不再是常数而是依赖于公司资产价值过程，此时利用强马氏性， 仍然可以由相似的方法导出了此时违约时间的l a p l a c e 变换在模型参数依 赖于公司资产价值的情形下，我们导出了违约时间l a p l a c e 变换满足的积分 微分方程当跳分布服从g a m m a ( 2 ，a ) 分布时，我们得到了违约时间l a p l a c e 变换的闭形式表达式根据这个表达式，我们利用m a t l a b 得到了违约概率 以及相应的零息债券价格的数值解 本文创新点 。1 在模型参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型下，得到了局部违约 率以及零息债券零时刻的信用利差的极限，推广了k i e s e l 和s c h e r e r ( 2 0 0 7 ) 常 数模型下的相应结论 2 模型参数依赖于公司资产价值的含跳扩散信用风险模型下，导出了违 约时间l a p l a c e 变换所满足的随机微分方程当跳分布服从g a m m a ( 2 ，a ) 分 布时，给出了违约时间l a p l a c e 变换的闭形式表达式 本文安排 本文第二章首先给出了含跳扩散信用风险模型的定义以及相应的违约概 率和零息债券的定义第三章具体给出模型参数依赖于时间情形下局部违 约率以及零息债券零时刻的信用利差的极限第四章首先给出了模型参数 依赖于公司资产价值的情形下违约时间l a p l a c e 变换满足的积分微分方程 而后在第三节中，对于一具体的例子我们得到了违约时间l a p l a c e 变换的闭 6 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析 第一章引言 形式表达式，进一步地，我们利用m a t l a b 给出了违约概率以及相应的零息 债券价格的数值解 7 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第二章含跳扩散信用风险模型 第二章含跳扩散信用风险模型 2 1 基本模型 假设l ：设公司资产价值过程y 在定价测度p 下的动态满足 k = e x p x t ) ， 其中 ，t，t n c t ) 五= x o + 6 ( 五，s ) d s + 仃( 咒，s ) d w o + k ( 2 - 1 1 ) ，0，0= 这里 暇：t o ) 为标准布朗运动， m ：t o ) 是参数为入的泊松过程 漂移项与波动项 6 ，t ) ：t o ) ， 盯( 咒，) ：t o ) 也为随机过程，跳尺度 k ，蚝，) 独立同分布( i i d ) ，设其共同分布函数为乃( 剪) 彬v 相互独立 假设2 ；存在一个正常数的门限值k ( z o i n k ) 当公司资产价值y 满 足k k 时，公司正常运作并能够履行其债务的义务而当公司资产价值 y 小于或等于k 时，公司发生违约无法履行其债务义务用丁表示违约时 间，则r 可表示为 丁= i n f t ：k ) ， 其中，约定空集的下确界为o o ，即i n f 口 = o o 假设3 ：公司有资产和负债( 债券) 若公司在债券有效期内发生违约，则 债券的持有人在违约时间r 收到r 倍原债券面值f ，其中r 为 0 , 1 】任意常 数若公司在债券期内没有发生违约，则债券的持有人在债券到期e lt 收 到债券面值f 为简便起见，这里设债券面值f 为1 元 假设4 ：短期无风险利率r 为常数 8 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第二章含跳扩散信用风险模型 2 2违约概率 由上面的假设知，违约时间丁满足 i n f t ：) = i n f t ：五i nk ) 斌 t ：x o - 一耳+ f o 怖胁j o 吼篓2 2 1 ， 则违约概率 p ( 丁 n + e r r 厶r r ) 捌， ( 2 3 1 ) 这里j 为示性函数， 厶砸，= 。1r 疵 t 9 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第三章参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型 第三章参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型 3 1 基本模型 在这一章中我们考虑b ，盯依赖于时间亡的含跳扩散信用风险模型此时 k 满足 硷= 铷+ t b ( s ) 如+ z 0 to r ( s ) d w o + 篓m 。 ( 3 1 ) 模型参数依赖于时间的情形下，对于违约概率的求解比常数参数情形下 更加困难对于模型参数依赖于时间的含扩散信用风险模型，l o 和h u i ( 2 0 0 6 ) 用直观的方法推导出了首中时分布的闭形式解我们将在下一节中给出模 型参数依赖于时间情形下含扩散信用风险模型的首中时分布 3 2 含扩散信用风险模型的首中时分布 引理3 2 1 ( l o 和h u i ( 2 0 0 6 ) ) ：考虑如下参数依赖于时间的o u 过程的f o k k e r - p l a n c k 方程( f p e ) 却) 掣叫啦叫纠掣二肿麒础) = 丁t g p ( x , t ) ( 3 2 1 ) 其中盯( t ) ，p ( t ) ，扩( ) 为时间t 的任意函数对应于边界条件的解为 尸( 2 ，t ) = g ( x ，；z 7 ，o ) p ( x ，o ) d x ，i s 2 2 ) 其中 、唧o ) = 南唧 一躞铲删， ( 3 2 3 ) 且 a ( ) = 一p ( t 7 ) d e ， ( 3 2 4 ) 1 0 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第三章参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型 7 ( t ) = 一( t ，) e n ( ，) d t 7 ， ( 3 2 5 ) ，7 ) = z 2 互1 盯2 ( ) e 2 a ( r ) d t ( 3 2 6 ) 在条件p ( x ，0 ) = j ( z ，0 ) 下，对应的首中时分布可以得到如下的的显示解 p i ，( x o = ( 等) + e 蛳( 等) c 3 2 z ) 这里p 为实值修正参数p 的最优取值为 妒一谍黪筹 这里丁为首中时刻 引理3 2 1 给出了o u 过程的首中时分布，下面我们考虑模型参数依赖于 时间的含扩散信用风险模型的首中时分布由于与o u - 过程的f o k k e r - p l a n c k 方程( f p e ) 相比，扩散过程的f o k k e r - p l a n c k 方程( f p e ) 只是其中的系数不 同，所以由相同的方法可以得到如下引理3 2 2 含扩散信用风险模型的首中 时分布 引理3 2 2 ( 含扩散信用风险模型的首中时分布) ：若咒满足 x t = x o + o 。6 ( s ) 幽+ z 0 t o ( s ) d 眠， ( 3 2 8 ) 违约时间下为 丁= i n f t ：咒i nk ) ，( 3 2 ，9 ) 则此时违约概率 砷叫- ( 丝铲) + e - 2 # ( = o - l a k ) n ( 塑铲) ( 3 2 1 0 ) 这里p 为实值修正参数 研( ) = 一b ( s ) d s ， 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第三章参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型 哪) = z 互1 小) d p 的最优取值为 = 一1 oc 丽1 ( t 丽) c 2 ( t ) d t 当矿( 亡) = 盯，6 ( t ) = b 时，q ( t ) = 一b t ，伤( 亡) = _ 荟1 盯2 ，p = 嘉，这就得到了我们 所熟知的结论，模型参数为常数的含扩散信用风险模型的违约概率，即 p ( r t ) ：( 二竺兰掣些) + e 一荸r ( z o - l n k ) n ( 旦半) a v ta v t 3 3 局部违约率 k i e s e l 和s c h e r e r ( 2 0 0 7 ) 中的定理2 1 在6 ，盯为常数时给出了局部违约率， 本节推广了k i e s e l 和s c h e r e r ( 2 0 0 7 ) 的这一结论我们给出了模型参数依赖于 时间的含跳扩散信用风险模型的局部违约率这个结论在经济预测中是非 常重要的它使我们能推导出期限较短的债券和c d s 的利差 定理3 3 ( 丁的局部违约率) ：设如是连续的，则局部违约率l d r r 为 l d r r = l 加i r a p ( 丁 t ) = a v r ( 1 n k z 。) 注：这个结论说明局部违约率与违约距离z o i nk 有关 证明：沿用k i e s e l 和s c h e r e r ( 2 0 0 7 ) 中定理2 1 的证明思路，我们考虑 l i r a l p ( 下 t ) = l t i j m 。1 t p ( 螂m i n t j a s 1 n k ) 2 觜 薹p ( 吲m i 叫nx s 蝴牡妒( 邢两) 】 1 2 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第三章参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型 令磊= f o b ( u ) d u + 盯( u ) d 眠，则 i nk ln ( t ) = o ) p ( n ( t ) = 0 ) 【z o + 纠i nk ) 船【( 丝铲) + e - 2 口( z o - l n k ) n ( 塑铲 e 一锑 露丽 ( 3 2 。1 0 ) 。 厶= 晤 薹【尸( 幽咒l n 耳i = 佗) p ( = 酬全船 学：( e a t - 1 - m ：( 1 - e - ， t - 入t e - a t ) n ) m 】 _ i nk i ( 亡) = 1 ) 显然只有负跳的情形下j 1 2 才有可能大于0 ，且【磊) ， 圪) 与【( t ) ) 独立， 于是有 p ( 磊十m i nk x olm 孔) m 】1 nk 一$ 。i ( t ) = 1 ，m o ) p ( 置晶【磊+ m j i n k - 铷lm o ) 1 3 兄 口帆铲强 黜叩 0 鲥：； p l一1一t m 加 m 归 址“ k “ 川 潞 鲥 铲 螋 叫 土瓜 ；星邺 n o 卜、 二星啪 式 ，f p o r j 以 厅 p 刮 慨 到 m 式写r l 雕 等去叭牡 i i l i 述 嘞 1 一t 一 v 竿啪 脚 一 b 一 一 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第三章参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型 由概率连续性和 磊，的连续性得 即 p ( m i nk x olm 0 ) = l t i i r a 。p f 蚋m i n q z s + y 1 i nk - x o ik a ) k 1 l n k ik o ，( ) = 1 ) l i mp ( 五+ m i nk x oih 0 ) t l o = p ( m 冬i nk 一2 ：0ih n ) m 】l n k lm + r e - j r ( 。) 幽p ( 丁 显然有b 伽( o ，t ) b ( o ，t ) b u p ( o ，t ) 再设彬，护分别表示b 让p ( 0 ，t ) ， b 删( o ，t ) 的信用利差，有谬珊护 护= 一；1 1 1 e _ 肌8 竹鲫( r - 1 ) + 1 】卜；f 小) 幽 = ；j r 0 t r ( s ) d s 一；l n 【p ( 丁t ) ( 冗一1 ) + 1 1 一；z t ，( s ) d s l t i m 扣一；l n 【p ( 下t ) ( 冗一1 ) + 1 】 = ( 1 一r ) l d r r 1 5 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第三章参数依赖于时间的含跳扩散信用风险模型 秽= 一亍1l n b 卸( 。，7 ) 一! xf f r ( s ) 如 ；【b 卸( 。，一1 】一! x f r ( s ) d s ：一；【e j 彳r ( 。) 如+ p ( 丁t ) ( r e j 孑r ( 。) 幽一1 ) 】一1 1 fr ( s ) 如” = 一亍1 【e 一口巾) 如一l 】一! * f f ，- ( s ) 幽一；p ( 丁t ) ( r - e - 口小冲) 叶( 1 一r ) l d r , 所以l t i m i 。钫2 ( 1 一r ) l d r , 证毕 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第四章参数依赖于公司资产价值的含跳扩散信用风险模型 第四章参数依赖于公司资产价值的 含跳扩散信用风险模型 4 1 基本模型 在这章中我们考虑了b = 6 ( 咒) ，盯= 盯( 五) 情形下的含跳扩散信用风险模 型在这种情形下五具有强马氏性，从而我们可推导出违约时间丁的l a p l a c e 变换所满足的积分微分方程，进而可以用数值方法计算出违约概率 此时五满足 x t = z o + 厶舳+ 小删职+ 篓m ， 4 2 违约时间7 的l a p l a c e 变换 令牡= 茹。一i nk ，则违约时间7 的l a p l a c e 变换l ( u ，6 ) 为 l ( u ，6 ) = e e r 】， 这里石为大于0 的任意常数 定理4 2 ：设l ( u ，j ) 在( 0 ，0 ( 3 ) 上二次连续可微，存在常数a o 0 ，使6 ( z ) a o ，a ( x ) a o ，则l ( u ，6 ) 其满足积分微分方程 去盯2 ( t + l nk ) l ：( u ，6 ) + 6 ( u + i nk ) l ：( 牡，6 ) ，一q = ( 入+ 6 ) l ( u ，石) 一a 【l ( u + y ，5 ) d f y ( y ) + g e t ( 掣) 】( 4 2 1 ) ，一缸，一 此定理的证明思想来自w a n g 和w u ( 2 0 0 8 ) ，具体证明如下 证明：设s ，t ，m 0 ，且满足 0 ，故p o t ) = 1 由强马氏性可得 l ( u ，6 ) = e 【e 一打己( z ( t ) ，6 ) 1 ： e 【e 一开l ( z ( t ) ，j ) 丑n t ) 】+ e e 一6 t l ( z ( t ) ，石) 丑a t ，1 + e e 一l ( z ( 强) ，石) n t ) e 【e 一研l ( 乱+ 铷，j ) + a e 一知e e 一孵l ( z ( 巧，6 ) i r i s ， j 0 三a + b e e 一研l ( z ( 霉) ，6 ) 】 ；e 【e 一6 t ：l ( z ( t ；8 ) ，石) 厶碍 。，】十e 【e 一瞬l ( z ( 巧) ，6 ) 碍= 。】 = e 【e 一研l ( u + r 耳，6 ) l n 。 1 + e 【e 一曲l ( u + 甩+ m ，6 ) 厶碍= 。) 】 ；e e - * 霉l ( 牡+ 殛，6 ) “碍 。) 1 + e 一如 e 陋( t 工+ r m + 可，6 ) 及碍= 。1 d f y ( y ) b=入e 一如e 【e m l ( u + 殛，d ) i 瑟 。) 1 出 ，t， + 入e n + 6 p e l ( u + r j + y ，6 ) j 碍：。 】d f y ( y ) d s j oj 一 = b l + b 2 。 因为船垴- t ) 2l ，船蛔 0 ，即 知( f ) = 一口2 可e 口l ，y 0 1 9 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第四章参数依赖于公司资产价值的含跳扩散信用风险模型 的含跳扩散信用风险模型。由( 4 。2 ，1 ) 式知，此时l ( 牡，6 ) 满足 寺仃2 茂( t l ，6 ) + 6 t ( u ，6 ) = ( a + 6 ) l ( t l ，6 ) + a l ( u + y ，6 ) o + 2 y e 鲫d y r 0 一a e 一( q t + 1 ) 1 _ ，一u ( 4 3 1 ) 引理4 3 1 ：设q ( 0 ，言1 ，令 g ( $ ) = 荟1 口2 万2 + b x + a 【石丽o l 2 1 】， 则对任意的6 f 0 o 。1 ，g ：j 有四个实根岛，院，风，俄，并且有 历，尾 一q 风 一a 时，r ( z ) 大于0 ，而艿( 。) 小于0 ，故 ( z ) 在$ 一a 时 向下凸，而a ( x ) 在z 一口时向上凸 又因为 ( 一o t ) = 盯2 口2 6 q 五( 一a ) = - - o o ， ( o ) = 0 ，2 ( + o o ) = a + j ，所以由 ( z ) ，2 ( z ) 的图像可知，存在实根风 在( 一口，0 ) 上满足 ( 。) = 如( z ) ，实根风在( 0 ，+ o o ) 上满足 ( z ) = ，2 ( z ) 分别设 ( z ) 与a ( x ) 在( 一q ，0 ) 上的交点慨，2 池) ) ( 图中点b ) 关于 ( z ) 的对称轴z = 一专的对称点为( z t ，厶慨) ) ( 图中点b ”) ，关于五( z ) 的对称 轴。= 一q 的对称点为( z 。，五慨) ) ( 图中点b ) ，则x l = 一风一2 击，x 2 = 一岛- 2 a 由于0 a 刍，所以$ 2 z 1 ，所以由 ( z ) 图像可知，点( z 2 ，五( 风) ) ( 图 中点b ) 在 ( 茹) 内部 同理可知， ( 茁) 与厶( z ) 在( 0 ，+ ) 上的交点慨，厶池) ) 关于a ( x ) 对 称轴茁= 一a 的对称点也在 ( z ) 内部 当z 一口时，因为五( z ) 0 ，所以a ( x ) 在z 一0 f 时严格单调下降 2 0 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第四章参数依赖于公司资产价值的含跳扩散信用风险模型 又因为 ( 。) 在z 一q 时为向下凸所以，由 ( z ) ，厶( z ) 图像可知在 ( 一，一口) 上也存在两个实根，满足 ( 茁) = 厶( z ) 证毕 下图为 ( 茁) ，2 ( z ) 的图像，其中点a ，b ，c ，d 为 ( z ) = ，2 ( z ) 的四个交点 、t| - 。飞 夕a 、i b 弋：二：二尘!弧 ( 0 。0 ) x i c ：f ! ：f 定理4 3 2 ：设q ( o ，嘉】，6 ( o ，+ o o ) ，r 服从g a , m m a ( 2 ，口) 分布，则违约时间 7 的l a p l a , c e 变换为 l ( u ，6 ) = e e 嘞】_ g 毋铒+ 岛毋缸+ 岛p 瞿，( 4 3 2 ) 其中风，岛，风为方程g ( 。) = 6 的三个负根，且 q= 岛= 岛= 侥风( 口+ 风) 2 a 2 ( 风一岛) ( 伪一尾) 一p l 风( a + 尾) 2 口。( 岛一风) ( 伍一侥) l q 一岛 2 1 含跳扩散信用风险模型下的信用风险分析第四章参数依赖于公司资产价值的含跳扩散信用风险模型 证明：对( 4 3 1 ) 求导可得， 寺盯2 ( 心，6 ) + ( 6 + 砉盯2 口) 艺( 牡，石) + ( b a a 一巧) t ( ，6 ) 二 ，u = ( 久+ 6 ) a l ( u ，6 ) 一a a 2 e 一l ( 亡，6 ) e d t a a e 一她 ( 4 3 3 ) 再对( 4 3 3 ) 求导可得， 丢仃2 l ：i ( u ，6 ) + ( 6 + 盯2 q ) l ：( u ，j ) + ( 2 6 口+ 互1 口2 a 2 一a 一6 ) l ：( t i ，j ) + ( 6 口2 2 a a 一2 6 a ) t ( t ，j ) 一j a 2 l ( t l ，j ) = 0 ( 4