（应用数学专业论文）满足弱分离条件的测度.pdf

学位论文版权使用授权书 【l i t ll li iiiii i i i1 11 1 | | u l 18 9 4 6 6 3 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密口。 学位论文作者签名：芩受曼 加1 1 年6 月c 日 指导教师躲獬，礼 | 1 年6 只6 日 满足弱分离条件的测度 m e a s u r e s a t i s f y i n gt h ew e a ks e p a r a t i o n c 0 n o l t l o n 1 j 2 0 11 年6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 水文主要研究了满足弱分离条件和有界变差性质的自共形测度， 定义了齐次m o r a n l i k e 集并讨论了它的一些性质，然后计算了自共形测 度的混合的口谱 首先，在绪论中我们简单阐述了本文的研究意义和研究的主要内 容以及当前国内外围绕本课题研究的现状及发展趋势然后，我们简 单回顾了分形几何的产生，给出了分形几何、维数以及相关集合的一 些基本概念及相关命题在此基础上我们在第三章中研究了满足弱分 离条件的自共形测度，并且给出了带有有界变差性质的测度的一些性 质，最后探索了。 ) 和x 点的集合的豪斯道夫维数之间的关系，使得 有j u ( b ( x ，6 ) ) b “第四章我们回顾了开集条件，有界变差性质和混合的 上下r 谱，对不满足开集条件的自共形迭代函数系的重叠进行了改进， 然后计算了满足有界变差和弱分离条件自共形测度的混合的口谱第 五章我们定义了齐次m o r a n 1 i k e 集，它的构造比m o r a n 集的构造要弱 并且满足弱分离条件，然后证明了对于m o r a n l i k e 集的更加精细化的 计盒原理 关键词：h a u s d o r f f 维数，白共形测度，弱分离条件，勒让德变换，计盒 原理，m o r a n - 1 i k e 集，混合的口谱，有界变差性质 满足弱分离条件的测度 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，w em a i n l y s t u dys o m e p r o p e r t i e s o f s e l f - c o n f o r m a lm e a s u r e s s a t i s f y i n g t h ew e a ks e p a r a t i o nc o n d i t i o na n d b o u n d e dd i s t o u r i o np r o p e r t y , d e f i n i t et h eh o m o g e n e o u sm o r a n l i k es e ta n d d i s c u s ss o m ep r o p e t i e s t h e nw ec o m p u t e rt h em i x e dd s p e c t r af o r s e l f - c o n f o r m a lm e a s u r e s f i r s t ，w eb r i e f l ya d d r e s st h es i g n i f i c a n c eo ft h i sr e s e a r c ha n d m a i n l y c o n t e n tw h i c hw es t u d i e d w ea l s od i s c u s sc u r r e n td o m e s t i ca n df o r e i g n r e g a r d i n gt h i st o p i cr e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o na n dt h et r e n do fd e v e l o p m e n t t h e n ，w eb r i e f l yr e v i e wt h ef o u n d a t i o no ff r a c t a lg e o m e t r y , i n t r o d u c es o m e b a s i cc o n c e p t sa n dr e l a t e dp r o p o s i t i o na b o u tf r a c t a l s ，d i m e n s i o na n ds o m e c l a s s e ss e t s n e x t ，i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys e l f - c o n f o r m a lm e a s u r e sa n dt h e h o m o g e n e o u sm o r a n l i k es e ts a t i s f y i n gt h ew e a ks e p a r a t i o nc o n d i t i o n ，w e d e v e l o ps o m ep r o p e r t i e so f t w i t hb o u n d e dd i s t o u r i o np r o p e r t y a tl a s t ， w ee x p l o r et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n 乇( 口) a n dh a u s d o r f fd i m e n s i o no f t h es e to fxs u c ht h a t a ( b ( x ，6 ) ) b “i nc h a p t e r4 ，w er e c a l lt h eo p e ns e t c o n d i t i o n ，b o u n d e dd i s t o r t i o np r o p e r t ya n dm i x e dds p e c t r a t h e nw e m o d i f i e do v e r l a po fs e l f - c o n f o r m a lm e a s u r e sw h i c hd on o ts a t i s f yt h eo p e n s e tc o n d i t i o n l a s tw ec o m p u t e rt h em i x e d 氆s p e c t r af o rs e l f - c o n f o r m a l m e a s u r e s ，w h i c hh a sb o u n dd i s t o r t i o np r o p e r t ya n ds a t i s f y e s t h ew e a k s e p a r a t i o n c o n d i t i o n i nc h a p t e r5 ，w ed e f i n i t i o nt h eh o m o g e n e o u s m o r a n l i k es e t ，w h i c hi sw e a k e rt h a nt h ec o n s t r u c t i o no fm o r a ns e ta n d s a t i s f y i n g t h ew e a k s e p a r a t i o n c o n d i t i o n t h e nw e p r o v e t h a tt h e r e f i n e m e n tv e r s i o no ft h es t a n d a r d b o x - c o u n t i n gp r i n c i p l e f o rt h e m o r a n 1 i k es e t i i i 满 w o r d s ：h a u s d o r f f s e p a r a t i o n p r i n c i p l e ； d i s t o r t i o np ，奄 - 1 1 1 1 3 3 2 2 分形理论的研究对象和分形的定义”4 2 3h a u s d o f f f 测度及其维数6 2 4 迭代函数系( i f s ) 和开集条件8 2 5自共形测度和口谱1 0 第三章满足弱分离条件的自共形测度 3 1 介绍1 2 3 2 定义和符号1 3 3 3 有界变差性质1 4 3 4f 谱和勒让德变换1 6 3 5 本章小结1 9 第四章满足弱分离条件的自共形测度的混合口谱2 0 4 1 引言2 0 4 2 相关性质2 3 4 3 混合的口谱2 6 4 4 本章小结2 9 第五章满足弱分离条件的齐次m o r a n 1 i k e 集3 1 5 1 引言3 1 5 2 相关性质3 2 5 3 计盒原理3 4 5 4 本章小结一3 9 结束语 参考文献 致谢 在校期间发表论文 4 0 4 l 4 3 4 4 v 江苏大学硕士学位论文 1 1课题研究的意义 第一章绪论 “分形维数”概念几乎是整个分形数学的中心，而h a u s d o r f f 维数、口谱等又是 各种“分形维数”中最重要的几种对于自相似集，由于满足开集条件，分形维数都 等于相似维数，并有精确的表达公式然而对于一般的不满足开集条件，具有重 叠结构的分形集来说，它们的维数的研究是非常困难的而且不满足开集条件的 分形集的各种维数目前的研究较少涉及 所以对于各种具有重叠结构的分形集合的h a u s d o r f f 维数、口谱的研究将有助 于我f i j 更好地刻画和理解这一重要分形的几何特征，从而具有重要的意义 1 2 本文研究的主要内容 测瞍和维数是研究分形的主要工具而将测度本身作为分形实体成为研究对 象也已经是我们分形研究的一个重要课题为此，测度维数的研究构建了一个测度 与维数之间的桥梁本文中，我们研究了满足弱分离条件和有界变差性质的测度， 主要包含以下几个方面； 1 我们得到了满足弱分离条件和有界变差性质的测度z 的一些性质，并且探 索了。 ) 和x 点的集合的豪斯道夫维数之间的关系 2 我们计算了满足弱分离条件和有界变差性质的自共形测度的混合的口谱 3 我们定义了齐次m o r a n 1 i k e 集，它满足比开集条件更弱的弱分离条件，并 给出了它具有的一些性质，最后证明了更加精细化的计盒原理 1 3 国内外研究现状和发展趋势 分形从上个世纪7 0 年代由m a n d e l b r o t 提出以来在各个领域得到了迅速的发 展，解决了欧氏几何范畴内解决不了的一些难题，而对分形维数的研究始终是整 个分形数学的中心为了方便、实用的目的，我们引入了各种维数的定义，如 h a u s d o f f f 维数、b o x 维数、p a c k i n g 维数、m e a s u r e 维数等其中以c a r a t h e o d o r y 构造为基础的h a u s d o r f f 维数是最古老也可能是最重要的一种h a u s d o r f f 维数具 有对任何集合都有定义的优点，由于它是建立在相对比较容易处理的测度概念的 1 售础上， 种分离条件，迭代函数系不满足开集条件就出现了重叠，在这个时候下，计算混 合口谱一般更加困难n o r b e r t 考虑了在开集条件下自共形测度的口谱，得到 o ( q ) = ( q ) ，m o r a n 和o l s e n 研究了混合多重分形口谱，给出了一些性质，丰德 军老师对于一般测度通过口谱和勒让德变换构造了计盒原理并且对于满足弱分离 条件的自相似测度做了比较深入的研究，戴美凤老师计算了满足开集条件的自共 形测度的混合口谱，最近o l s e n 研究了不满足开集条件或者相似分离条件的任意的 自相似测度( 或集合) ，给出了对于任意自相似测度的口谱的上下边界在此，我们 研究了自共形迭代函数系在满足弱分离条件和有界变差性质条件下上下混合口谱 d ( q ) 和旦( q ) 关系，得到了一个与开集条件下类似地结论即旦( q ) = d ( q ) = ( q ) 2 江苏大学硕士学位论文 第二章分形基本理论和基础知识 分形几何萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，正式成为一门独立的学科则是在2 0 世 纪7 0 、8 0 年代其研究对象为自然界和社会活动中广为存在的复杂无序，而又具 有某种规律的系统分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供 了新的方法，使人们对于诸如布朗( b r o w n ) 运动，惴流( t u r b u l e n c e ) 等大自然 中的众多复杂现象有了更加深刻地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等 多个学科中被广泛应用，作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的 几何学，近年来，不论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展 2 1分形理论的产生 客观自然界中的许多事物具有自相似的“层次”结构在理想情况下，具有 无穷层次，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变不少复杂的物理现 象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量用尺来测量万里长 城，嫌太短用尺来测量分子长度，又嫌太长从面产生了特征长度还有的事 物没有特征长度，就必须同时考虑从, j , t u 大的许许多多的尺度( 或称为标度) ，这 就是“标度性 问题 在二十世纪七十年代，美籍法裔数学家曼德尔勃罗特( b b m a n d e l b r o t ) 提出 了英国的海岸线有多长? 这个问题及时依赖于测量时所用的尺度数学家科赫 ( k o c h ) 从一个正方形的“岛 出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线 变成 无限曲线，其长度也不断的增加，并趋向无穷大以后可以看到，分形维数才是 “科赫岛”海岸线的确定的特征量，即海岸线的分形维数均介于1 到2 之间这 些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系譬如：银河系中的若断若 续的星体分布就是具有分形维数的吸引子多孔介质中的流体运动和它产生的流 体模燃、1 8 2 7 年发现的布朗限b r o w n ) 运动的运动轨迹的复杂性、化学中酶的构 造、g ：物学中细胞的生长、非线性动力学中的奇怪吸引子以及工程技术中的信号 处理等等传统的经典几何学难以描述其复杂性，伴随着多个学科类似问题的出 现及研究，这就促使数学家进一步的研究，因而就诞生了一门新的学科分形 3 满足弱分离条件的测度 几何学 关于分形几何学的产生，一般认为：1 9 7 5 年，数学家曼德尔勃罗特 ( b b m a n d e l b r o t ) 的名著分形：形式，机遇和维数( f r a c t y a l ：f o r m ，c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) 的问世标志着一个崭新的数学分支分形几何学由此诞生 “分形 ( f r a c t a l ) 一词，也是曼德尔勃罗特提出来的，它源于拉丁语“f r a c t u s ，含有“不 规则”和“破碎 的意义实际上，分形的思想以及分形集在数学上的存在已逾 百年在十九世纪至二十世纪初，c a n t o r 三分集，k o c h 曲线以及w e i r s t r a s s 无处 可微连续函数等这些“病态 的曲线与集合已逐步为人们所了解许多学者开始 致力于构造类似地曲线与集合并研究它们的性质c a n t o r , w e i e r s t r a s s ，p e a n o ， h a u d o r f f , k o c h 等人的杰出工作为以后分形概念和分形理论的产生奠定了基础 2 2 分形理论的研究对象和分形的定义 “分形理论的研究对象主要是复杂的不规则几何形态它们在自然界无处不在， 因而分形被人们誉为大自然的几何学，分形处处可见 分形自创立以来，人们做了各种努力试图给分型一个确切的数学定义，但是 到目前为止所出现的这些定义都很难验证时适用于一般的情形在m a n d e l b r o t 的 论述中给出的分形的第一个定义1 1 ： 定义2 2 1 设集合ecr “，如果e 的h a u s d o r f f 维数严格大于它的拓扑维数， 即d i m h 但) d r 但) ，则称集合为分形集，简称为分形 显然，d r 仁) 和d i m 何( e ) 都大于等于0 而小于等于n ，前者总是一个整数，而 后者则不然，可以是分数，两个维数无须相同，它们只满足苏比尔拉( s z p i l r a j n ) 不等式： d i m h 但) d r 但) ( 2 2 1 ) 由此可知，每个具有非整数h a u s d o r f f 维数的集合一定是分形然而，分形的 h a u s d o r f f 维数也可以是一个整数，例如：布朗运动的轨迹是分形，它的h a u s d o r f f 维数d i m h 但) = 1 ，而它的拓扑维数d r 但) = 2 根据定义2 2 1 可知，只要计算出集合的h a u s d o r f f 维数和拓扑维数，就可以 判断出该集合是否为分形然而在实际应用中，一个集合h a u s d o r f f 测度和 h a u s d o r f f 维数的计算是非常复杂和困难的，这就给该定义的广泛使用带来了很大 4 江苏大学硕士学位论文 的影响 1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 又给出了自相似分形的定义： 定义2 2 2 局部与整体以某种方式相似的集合称为分形 这一定义体现了大多数奇异集合的特征，尤其反映了自然界中广泛一类物质的基 本性质：局部与局部、局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有 统计意义上的自相似性但是定义2 2 2 只强调了自相似特性，具有相当的局限性， 而定义2 2 1 比定义2 2 2 的内涵要丰富得多 可以说如何定义分形至今尚无定论，无论应用何种方法来定义分形都会遗留 掉一些分形思想的精髓而且人们对分形的定义有不同的要求，数学家要求“严 密 和“公理化”，物理学家要求“简洁 ，工程师们要求“简单适用因此如何 定义分形已经成为了一个重要的科学问题 针对以上问题，f a l c o n e r 2 ，3 】对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是某 些性质的集合，而不去寻求它的精确定义他提出一个分形可以描述如下： 定义2 2 3 考虑e u c l i d 空间中的集合e ，如果它具有下面所有的或是大部分 的性质，它就是分形： ( 1 ) e 具有精细结构，即有任意小比例的不规则细节 ( 2 ) 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用微积分的或传统的几何 语言来描述 ( 3 ) 通常e 具有某种自相似或者自仿射性质，可能是近似的或者是统计意义上 的 ( 4 ) 一般地，的“分形维数( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，e 以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生 ( 6 ) 通常e 有“自然”的外貌 类似地，e d g a r 4 ，5 1 在1 9 9 0 年对分形给出了一个更加粗略的定义 定义2 2 4 分形集就是比在经典几何考虑的集合更加不规则的集合这个集 合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到 定义2 2 3 和定义2 2 4 尽管不严格，但确实使人们( 特别是工程师们) 很容 易去理解什么是分形粗略地说，分形几何就是不规则形状的几何，而且这种不 5 满足弱分离条件的测度 规则性( 粗糙性) 具有层次性，即在不同的层次( 尺度) 下均能观察到 不规则几何的抽象化经常比在经典几何中光滑曲线和光滑曲面的规整几 确地拟合自然世界正如m a n d e l b r o t 1 所说：“云彩不是球面，山峰不是 岸线不是圆周，闪电也不是以直线传播”它们都可能是分形 2 3h a u s d o r f f 测度及其维数 h a u s d o r f f 测度是分形几何中最基本的概念之一h a u s d o r f f 澳0 度将传统几何( 例 如：e u c l i d 几何、r i e m a n n 几何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概念，以 及整数维空间中呦e s q u e 测度的概念和计算方法推广到非整数维空间中首先回顾 一下定义 如果砂，) 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖f 的集类，即 fc u u ，且对每一个i 都有0 q u ，i 0 ，定义 r 1 日；陋) = i i l f iu ，1 5 ：妙，) 为f 的万一覆盖 ( 2 3 1 ) l i = 1j 当万减小时，式( 2 3 1 ) 中能覆盖f 的集类是减少的，从而下确界h ；陋) 随着增 加，且当万j0 时趋于一个极限( 可能为有限，也可能为无穷) ，记 h 3 陋) = f i m h ；p )( 2 3 2 ) 对r “中的任何子集f 这个极限都存在( 极限值可以是0 或) ，我们称h5 陋) 为 f 的s 一维h a u s d o r f f 测度 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念f a l c o n e r 3 】证明尺”中任何 l e b e s q u e 可测集的n 维h a u s d o r f f 测度与n 维l e b e s q u e 测度( 即通常的n 维体积) 相差一个常数倍更精确地，若f 是n 维e u c l i d 空间中的b o r e l 子集，则 f 但) = c n h “)( 2 3 3 ) 这里常数c 。= n - ：( 2 4 1 1 ( 吉以+ 1 ) ) ，即直径为1 的n 维球的体积类似地，对于尺“中 “好的 低维子集，h o 伊) 是f 中点的个数：h 1 ( f ) 给出了光滑曲线f 的长度； 若f 为光滑曲面，则h 2 但) = 4 。xa r e a ( f ) ；而h3 陋) = xv o i ( f ) 6 江苏大学硕士学位论文 根据h a u s d o r f f 测度的定义( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 可知，对于任意给定的集 e 和 0 万 1 ，h j ( e ) 是s 的减函数，从而h a u s d o r f f 测度h5 但) 也是s 的减函政进 一步证明可以得到结论【2 】：若ecr 4 ，则存在唯一的一个实数【0 ，n 】，使得 日5 c e ，= 苫耋；三未筹 q 3 4 ， 图2 1 集e 的h5 ( e ) 对s 的图h a u s d o r f f 维数d i m ( e ) 是使得从0 0 “跳跃”到0 发生的s 的数值 由此可知，h5 陋) 关于s 的图( 图1 1 ) 表明，存在s 的一个临界点使得h5 但) 从o o “跳跃”到0 这一临界值称为的h a u s d o r f f 维数，记为d i m ，( e ) 精确地 d i m j f ，怛) = i n f s ：h 5 ( e ) = 吣= s u p s ：h 5 陋) = o o ( 2 3 5 ) 当s = d i m he 时，即当s 取e 的h a u s d o r f f 维数时，e 的h a u s d o r f f 测度日5 仁) 可以为零或者无穷或者满足： 0 h 5 但) 0 0( 2 3 6 ) 满足不等式( 2 3 6 ) 的集合e 称为s 一集 h a u s d o r f f 维数具有以下性质： + ( 1 ) 若ecr “为开集，则d i m ，e = n ( 2 )若为尺“中的光滑( 即连续可微) m 维流形( 即m 维曲面) ，则 d i m e = m 特别地，光滑曲线的维数为1 ，光滑曲面的维数为2 ( 3 ) ( 单调性) 若ec f ，则d i m ，e d i m ，f ( 4 ) ( 可数稳定性) 若巨，易，为一列( 可数) 集合列，则 d i m _ 巨= s u p d i m 巨) ( 2 3 7 ) 7 满足弱分离条件的测度 ( 5 )设ecr “，并且厂：e 一尺“满足h i j i d e r 条件，即 if ( x ) - f ( y ) i c i x y l 瑾( x 9 y e ) 1 则d h n hf ( e ) 二d i n l h e ( 6 )设ec r “，并且厂：j 尺”是一个l i p s c h i t z 映射，则 d i m hf 姬、) d i m he ( 7 )设ec r “，并且，：e 一尺“是一个双向l i p s c h i t z 映射，即 c 1l x y i 马f ( x ) - f ( y ) i c 2i x - y i ( 工，y e )( 2 3 1 1 ) 其中0 c l c ， o o ，则有 d i m 月厂陋) = d i m ，e ( 2 3 1 2 ) 性质( 1 ) - - - - ( 4 ) 是对任何合理的维数定义所期望成立的性质( 5 广( 7 ) 是h a u s d o r f f 维数所特有的变换性质，事实上，性质( 6 ) ( 7 ) 是性质( 5 ) 的推论而且性质( 7 ) 揭示了 h a u s d o r f f 维数的一个基本性质：h a u s d o r f f 维数是双向l i p s c h i t z 变换下的不变量因 此，若两集之间存在双向l i p s c h i t z 映射，则在h a u s d o r f f 维数的意义下可以认为两 集为“同一的 h a u s d o r f f 维数是一个严格的数学概念，它在分形理论的建立和推导过程中起 着十分重要的作用然而，对于具体的分形结构来说，要确定其h a u s d o r f f 维数却 非常艰难，即使是一些经典的规则分形结构，对于其h a u s d o r f f 维数的计算至今人 们仍然无能为力因此，在实际应用中人们很少讨论其h a u s d o r f f 维数，而是讨论 其计盒维数 2 4 迭代函数系( 1f s ) 和开集条件 设( x ，d ) 为度量空间，d 为x 的闭子集，对于映射s ：dj x ，如果存在正常 故0 c 1 ，使得对任意的x 9 y d ， d ( s ( x ) ，s ( y ) ) c d ( x ，y ) 则称s 为d 上的压缩映射( 简称为压缩) 一个迭代函数系( i f s ) 由一族x 上的压缩映射 e ，f 2 ，f m 】组成，这里 m 2 对于迭代函数系 e ，f 2 ，f m 】，存在唯一的非空紧集e ，满足 8 论文 设映射s ：jr d 对任意z ，y r d 满足 s ( x ) 一s ( y ) i = cx - y l ， ( 2 4 1 ) 和一个集口口1 j 1 砜早t 觑，阔n 联 的支撑为k 的概率测度满 ( 2 4 2 ) 其中o c 1 ，则称s 为压缩比为c 的相似压缩显然，相似压缩为压缩映射设s 为一族相似压缩，1 f 小，存在唯一的不变集使得e = u s 但) ，不变集e 称为 i = 1 对于相似压缩族s ：的自相似集 如果式( 2 4 1 ) 右边的并是一个不交并，则我们说迭代函数系 e ，最， 满足 强分离条件( s s o ，比如康托三分集的迭代函数系满足强分离条件实际上强分离 条件是一个非常强的条件，我们经常研究的分形都不满足比强分离条件弱的通 常有下列几种情形 1 开集条件( o s o 称迭代函数系 e ，e ，吒 满足开集条件是指存在一个非空有界开集y 使得 u e ) c y 且这个并集为不交并比如生成科赫曲线的迭代函数系满足开集 i = l 条件 2 强开集条件( s o s c ) 称迭代函数系 互，e ，巴 满足强开集条件指满足开集条件，同时满足 y n e a 3 有重叠结构 9 满足弱分离条件的测度 2 5自共形测度和l q 谱 自从2 0 世纪早些时候，不规则集最初吸引了数学工作者的注意以来，测度已 成为研究这些现在称之为“分形 集的基本工具测度的维数研究实际上是研究本 身作为分形实体的测度，以及与它们相联系的那些集合的相关性质设是r 4 上 的有限b o r e l 规则测度，我们希望知道的质量是如何分布的，支撑它的集合的几 何性质如何影响质量的分布反之，给定一个集合，它能支撑什么样的测度要给 出这些问题的一般回答比较困难，事实上，它们本身是分形几何的基本问题 近年来，许多作者【6 - 8 】已经研究了关于测度的分形性质，并解决了一系列难 题。在本文中，费们研究了弱分离条件下的自共形测度的一些性质和混合的口 谱对于自共形迭代函数系，称( 2 4 1 ) 中的不变集为自共形集，( 2 4 2 ) 中的测度为 自共形测度 设k 是r 4 空间上的一个紧子集，我们把k 的，邻域记为b ( k ，1 ，例如， b ( x , r ) = y r d | i y - x i 0 ，q r ，记 l u ( 唧) = p ( b ( v ) ) 旷1 批( x ) 则上、下口一谱定义为 五( g ) = u 翟p 笋r ， r _ ol u 譬 的) 1 t 哗笋 研究口谱的主要意义在于其与测度的多重分形谱之间的联系那么我们将关于 测度的局部维数的水平集的h a u s d o r f f 维数定义为关于测度的h a u s d o r f f 多重分形谱函数，记为= ，即 厶c 口，= d i m n x 尺4l i m 警= 口) ，口。 回忆一下函数缈：j r 一尺的l e g e n d r e 变换可定义为妒+ ( x ) = i n f r ( 砂+ 缈( y ) ) 在2 0 l i r a8 0 年代，物理学著作【9 】，【l o l d p 作出了这样的一个猜想：对一些”好”的测度，其 和 旦。( q ) = d u ( q ) d 妇 z kl i r a 警= 口) = 旦：c 口，= 石：c 口， 此结论被称为m u l t i f r a c t a lf o r m a l i s m 2 0 世纪9 0 年代数学界掀起了一股验证 m u l t i f r a c t a lf o r m a l i s m 和计算测度的多重分形谱的热潮，并在后来的八、九年期间， 计算出了能够说明欧几里德空间r d 上各类测度的许多自相似性的多重分形谱【2 】 满足弱分离条件的测度 3 1介绍 第三章满足弱分离条件的自共形测度 在分形几何中，人们对分形维数已经产生了一些兴趣尹兆新等【1 1 】研究了 一类与累积点有关的分形，并且计算了在开集条件下他们的豪斯道夫维数其他 人讨论了有重叠结构的分形维数( 看【1 2 ，1 3 1 ) 在这章中，我们研究了在弱分离条件 下维数的一些性质设x 是尺d 的一个非空紧子集，并hs ，：x x ，i = 1 ，n 是映 射我们称 墨) ：。是在x 上的迭代函数系( i f s ) 显然如果 s ) 竺。是压缩映射，那么 存在一个x 的唯一的非空紧子集k ，使得 。 k = o s ( k ) ( 3 1 1 ) ( 【4 】) 我们称k 是不变集或者是i f s 的吸引子如果我们把i f s 和一个集合的概率 a ) 兰。联系在一起，对于所有的波雷尔集合a x ，有一个唯一的支撑为k 的概率 测度u 满足 p ( 么) = p i p 。墨1 ( 彳) ( 3 1 2 ) 我们称肛为i f s 带有概率 既) 兰。的不变测度显然不变测度关于勒贝格测度不是绝 对连续的就是单个连续的 回顾如果存在一个非空有界开集u r d ，称为开集条件集合，使得对于所有 的i ：l ：j ，有u ns ( u ) u 和s ( u ) n 邑( u ) = a ，则称i f s s i 兰满足开集条件 ( o s c ) 我们在符号空间中来研究测度，迭代函数系不满足开集条件的就有重 叠l a u 和n g a i 在【1 4 】中介绍了弱分离条件州s c ) 在这里的迭代中允许重叠，见 【1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】 本章中，我们将主要考虑自共形测度我们假设w s s ， 墨。中的压缩映射s l ： y 专y ，其中y 是x 上的一固定连通开邻域，我们用到下面的指标集： = 1 ，) ，。= 1 ，r ，以及。= u 脚。( o o ) 对于，= ( ) 。，用，表示j 中去掉最后一个字母所得，s = & 。& 以及 1 2 江苏大学硕士学位论文 _ = 翳i d e t 研( 石) 一卢m i n r ， r = s 刊u p ， d e t s j ( z ) 一g = m 凶a ；x r ( 3 1 3 ) z e y 3 ” 对0 b 1 ，e x ，令 i 。= ，。：马6 吩】， a 。= s ：，ib 】- ， i 。陋) = ，i6 - k , n e g 】i ，s b 陋) = s ：，i6 俾) ( 3 1 4 ) 注意对f 不同的，i 。，等式s = 砩可能成立，对于a 。中这样的s 和s ， 我们不加区分，认为他们是一致的 3 2 定义和符号 定义3 2 1 1 钔我们称 s ，搀。满足弱分离条件( w s c ) ，如果存在一个常数厂口满足 s u p 舞& 但) 厂 0 0 ( 3 2 1 ) 为方便起见，令u o 是( 3 2 1 ) 式的上确界y 的集合，即：撑& 。) = 厂 易知开集条件意味着w s c ( 见l a u 和n g a i 1 5 ) 映射s ：v y 是v 上的共形映射，如果对于每一个z v ，s 7 ( x ) 是一个相似矩阵， 例如，一个正交矩阵在这个假设下，得到i d e t s ) i = 炒o ) 旷 其中 0 s ( 工) 0 = s u p s ( 石) y f ：l y i = q 是矩阵s ( 石) 的算子范数在本章中，我们仅仅考虑i f s 上的c 1 自共形压缩映射首先，我们引入下面的定义 定义3 2 2 口町 s f 兰称为紧子集x 尺d 上i f s 的一个自共形压缩映射，如果s 可 以扩充到x 上的开连通域y 中的自共形压缩映射且o i n fs ； s 刎u ps ； 1 使得对任意指标 脚所有x , y e v 有：踹科 易知如果每个1 0 9 l d e t ( x ) i 是脚拗连续的，则饩】兰。具有有界变差性质 满足弱分离条件的测度 3 3 有界变差性质 引理3 3 1 【1 们令 s 芒是具有有界变差性质的自共形i f s ，则对于所有，。以及 x ，y x 存在常数c 2 1 满足： c 2 1 r ii x - y i 兰。是具有有界变差性质的自共形i f s ，对于所有j 。以及 b x ，有 c 2 - 1 r d i a m b d i a m s ，俾) c 2 r d i a m b ( 3 3 2 ) 性质3 3 3 假设k 不是一个单元集，饿摧。是具有有界变差性质的自共形i f s ， 是相应的自共形测度，则存在常数c l ，c 2 ，艿和0 s ： s 1 使得对所有x k ， 0 b 万满足 c l b 岛( b ( x ，6 ) ) c 2 b 证明：因为k 不是一个单元集，存在o 7 7 1 ，j ，j ：i 。使得巧。n q ：= f 2 j ，所 以存在万( 0 ，) 对任意x y ，b ( 工，万) 至多与巧。和巧：中之一相交对于o 6 万， 定义 矽( 6 ) = s u pp ( b ( x ，6 ) ) = s u p 4 b ( s ；1 ( x ) ，6 ) ) ( 3 3 3 ) x e vx e v ，l e i4 则对于x y ，o 6 万有b ( x ，6 ) nb = o 或曰( 工，6 ) n 巧：= a 由( 3 3 2 ) ，对任意 i 。，有 d i a m s ，( b ( s i l ( x ) ，b c 2 ，) ) 1 9 , d i a , n ( s ( s ；1 ( 工) ，6 c j ，” 丐1 ，2 b c 2 r = 2 b = d i a m b ( x ，6 ) 所以我们得到 s ，( b ( 筇1 ) ，6 c 2 ，) ) 三s ( x ，b ) ， b ( 西1 ( 石) ，6 c 2 r ) 2 1 ( b ( z ，6 ) ) 由( 3 3 3 ) 中矽( 6 ) 的定义，有 矽( 6 c ：r ) ( s i l ( 曰( 工，6 ) ” ( 3 3 4 ) 如果b ( x ，6 ) n q = a ，则由( 3 1 2 ) 和( 3 3 4 ) ，我们有 1 4 ( 石，6 ) ( 1 一p j ：) 矽( 堕) 所以 ( x ，6 ) f 矽( 堕) ：t ( b c ) ， 其中f = m a x 1 一口，1 ，1 一p j 2 】，c = r 1 ，j 恻；t - o b 8 ，矽( 6 ) f 矽( 6 c ) 特别地，对于厅口，令0 o ，g 口， 其中上确界取遍u 内所有不相交的闭球族垆( 毛，6 ) k ，鼍s u p p ( 2 ) u 上的 口谱r u ( q ) 定义为： ” 讹l i 呀mn f 等笋- 对于凹函数r u ( q ) ，我们定义它的勒让德变换 ) 为： 。 ( 口) = i n f o t q - z u ( q ) ：q 口d 】( 3 4 1 ) 此外，如果呓 ) = 口存在，贝l j ( 3 4 1 ) 在q 达到下确界且 ) = a q r u ( q ) 性质3 4 1 与性质3 3 3 假设相同，是相应的自共形测度，令 ：l i m 趔，：l i m r v ( q ) ( 3 4 2 ) o q o7 ”q 则0 口m i n 口一 0 和足够小的b ，有 ( c l b 两) 4 o ，( 删( 口；6 ) n b 僻) ( c 2 b 屯) 9 其中6 ( k ) 是表示在v 中，中心在k 中，半径为b 的不相交球的最大个数，我们有 r v ( q ) s 2 q - - d i a m 口衅) ，所以 o s ：l 啦地：口m i n 。q _ ”口 江苏大学硕士学位论文 对于q 0 ，我们有 ( c 2 b 是) 0 ，( q ；6 ) ( g ；6 ) m 倦) ( c 1 垆) g ， 类似地i 叮得到口一& 0 ，以及任意q 口，有0 y ( q ；6 ) j u ( a ( x ，6 ) ) 9 ，由此得到对于任 意q e ，有f v ( q ) q