（计算数学专业论文）基于高阶紧致格式的自然对流问题数值研究.pdf

宁夏大学硕士学位论文 摘要 摘要 不可压n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程组因其广泛的应用而受到科研工作者的普遍关注，特别 是在流体流动和传热领域，不可压n s 方程组的数值计算在计算流体力学数值模拟中扮演 着非常重要的角色，寻求其精确而稳定的数值方法一直足科研工作者追求的一个目标 本文在已有求解定常对流扩散方程高阶紧致格式的基础上，发展了求解定常涡量一流函 数形式n s b o u s s i n e s q 方程组的指数型和多项式型高阶紧致算法，导出了边界条件的同阶离 散格式为了验证本文的高阶紧致差分方法的有效性和可靠性，我们针对典型的封闭方腔自 然对流换热问题进行了数值实验，数值实验结果表明，本文的高精度紧致格式是精确有效的 对重力场作用下与倾斜角度有关的自然对流换热问题也进行了高精度模拟研究，探讨了腔体 倾斜角度矽、瑞利数r a 、边界条件对腔内流体流动状态转变及热量传递变化规律的影响， 并获得了一些有用的结果 关键词：不可压n a v i e r - s t o k e s 方程组，指数型紧致差分格式，涡量流函数方法，自然对流换 热：数值模拟 宁夏大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t t h ei n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e s ( n s 1e q u a t i o n sa l eu s e dw i d e l y , e s p e c i a l l yi nt h ef i e l d s o ff l u i df l o wa n dh e a tt r a n s f e r , s ot h e ya r ef o c u s e d0 1 1b ym a n yr e s e a r c h e r s n u m e r i c a lm e t h o d s f o rt h ei n c o m p r e s s i b l en se q u a t i o n sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h ec o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s l o o k i n gf o ra c c u r a t ea n ds t a b l en u m e r i c a lm e t h o di so b j e c t i v ef o rm a n yr e s e a r c h e r s f i r s t l y ，t w oh i g h o r d e rc o m p a c t ( h o c ) d i f f e r e n c em e t h o d sa r ed e v e l o p e df o rs o l v i n gs t e a d y s t r e a mf u n c t i o n - v o r t i c i t yf o r m u l a t i o no ft w o d i m e n s i o n a li n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s t h ep r e s e n tm e t h o d sa r eb a s e no i lt h eh o ce x p o n e n t i a la n dh o cp o l y n o m i a ls c h e m e sp r o p o s e d b yo t h e ra u t h o r s ，a n di n c l u d et h ef o u r t h - o r d e ra c c u r a c ys c h e m e sd e v e l o p e df o rb o u n d a r y c o n d i t i o n s s e c o n d l y ，i no r d e rt op r o v et h ee f f e c t i o na n dr e l i a b i l i t yo ft h ep r e s e n tm e t h o d s ，n a t u r a l c o n v e c t i o nf l o wi nas q u a r ec a v i t yi ss o l v e db yu s i n gh o ce x p o n e n t i a la n dh o cp o l y n o m i a l m e t h o d s n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r e s e n t e dh o cm e t h o d sa r ea c c u r a t ea n de f f e c t i v e f i n a l l y , n a t u r a lc o n v e c t i o ni ni n c l i n e de n c l o s u r e si sn u m e r i c a l l ys t u d i e db yu s i n gt h ed e v e l o p e d h o ce x p o n e n t i a lm e t h o d c o m p u t a t i o n sh a v e b e e np e r f o r m e df o rr a = 1 0 3 - 1 07 ，a n g l eo f i n c l i n a t i o nv a r y i n gf r o m15 0t o9 0 。i ns t e p so f15 0 s o m eu s e f u lr e s u l t sa leo b t a i n e d k e y w o r d s ：i n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ，e x p o n e n t i a lh i g ho r d e rc o m p a c td i f f e r e n c e s c h e m e ，s t r e a mf u n c t i o n - v o r t i c i t ym e t h o d ，n a t u r a lc o n v e c t i o nh e a tt r a n s f e r , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 宁夏大学硕士学位论文 主要符号对照表 主要符号对照表 瑞利数 普朗特数 努赛尔数 平均努赛尔数 平均努赛尔数分布函数 无量纲温度函数 无量纲流函数 无量纲涡量函数 压力 x 方向无量纲速度 y 方向无量纲速度 腔体倾斜角度 重力加速度 x 方向空间步长 y 方向窄间步长 空间步长 x ，y 方向的网格点的索引值 c i i n m m m 丁y 缈 p y矽bo止妙蛐一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名： 动秀良时间：锣p 穸年多月少日 关于论文使用授权的说明 本人完伞了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 时间：年月日 时间：年 宁夏大学硕士学位论文第章引言 1 1 研究背景和意义 第一章引言 流体的流动现象大量的存在于自然界及多种工程领域中，如激波、水波运动、水击流动、 有湍流的流动、各种设备中存在的绕钝体的分离流动等等，对其进行数学描述的方程均可以 归结为f i 可压的n s 方程组因此不可压n s 方程组有着广泛的应用从而受到科研工作者的 普遍关注，特别是在计算流体力学领域不可压n s 方程组的数值计算对流体流动和传热问题 的数值模拟中扮演着一个非常重要的角色 国内外对不可压n s 方程组的数值求解的研究取得了很大的成绩，其数值方法实质卜均 为离散近似目前在流体的流动和传热模拟中的数值方法主要有有限差分法、有限元法、有 限体积法、边界元法、有限分析法等依据所需变量，不可压n s 方程组解法通常可分为原 始变量法和非原始变量法其中原始变量法有压力p o i s s o n 方程方法和s i m p l e 等方法，非原 始变量方法有涡量流函数法和涡量一速度法他1 等 但是利用原始变量法求解方程时由于出现如下的困难：动量方程中的对流项包含非线性 的量以及由于每个速度分量既 h 现在连续方程中又出现在动量方程中，导致了各方程错综复 杂地耦合在一起，同时更为复杂的足压力项的处理，它 h 现在两个动量方程中，但却没有可 用以直接求解压力的方程对于问题前者，我们可以通过迭代的办法加以解决，从。个估计 的速度场开始我们可以迭代求解动量方程从而得到速度分量的收敛解：对于问题后者，如果 压力梯度已知就可按标准过程依据动量方程生成速度分量的离散方程但一般情况下压力场 也足有待求的未知量 为了克服压力所带来的流场求解的困难，人们提 b 了若干从控制方程中消去压力的方 法非原始变量法涡量- 流函数法和涡量- 速度法就是两种典型的非原始变量法这两种方 法都不直接求解流场原始变量，涡量- 流函数方法求解涡量和流函数，而涡一速度法是求解 涡量和速度，这两种方法的本质、求解过程以及特征基本上一致涡量流函数方法是非原 始变量法中应用较广的一种方法，这种方法以涡量和流函数作为基本求解变量，特别适合二 维流场的计算 两种方法的共同的优点是方程中不出现压力项，无需处理连续性方程和两个动量方程， 而只需通过求解流函数方程和涡运输方程得到流函数值和涡量值，将包括能量方程存内的三 个方程联立求解，大大减少了计算量同时方程的阶数没有增o h ( 最高为二阶) ，而涡量输运 方程足典型对流扩散方程，流函数或速度满足经典的p o i s s o n 方程，因而求解比较容易 一般用来椭述流体流动的基本方程都足n s 方程组，它们实际卜都足由一系列的非线性 的对流扩散方程所构成的如原始变量形式n s 方程组中的动量方程( 速度方程) ，涡量 流函数形式或涡量速度形式的n s 方程中的涡量运输方程以及f i 可压流体流动的能量方程 ( 温度方程) 等都是对流扩散方程式，因此说对流扩散方程是小可压n s 方程组的一个简单 的模型迄今为止，对于很多稳态的流动问题，已经存在了相应的较为成熟和完善的商精度 宁夏大学硕士学位论文第章引言 紧致差分格式对于非稳态的流体流动问题，各种数值方法都1 i 同程度地存在着计算的稳定 性、收敛性、精度以及收敛速度等问题因此，发展高精度、稳定性好、高效的、通用性好 的数值求解方法就显的颇为重要，这正是本文研究的意义所在，立足点和出发点所在 本文选取封闭腔内自然对流换热问题作为数值实验模型，封闭腔内的自然对流换热在热 机工程中有着广泛的应用，例如太阳能吸热器、微电子设备的冷却、封闭核反应堆核心的气 体腔、建筑物隔热、室内火焰及烟雾的扩散、动力电站封闭母线及旋转电机的散热等该问 题同样引起地球物理学家的注意，因为在许多自然现象中流体的运动都是由温度梯度产生的 浮力引起的另外，由于涉及到流体流动与能量传递的耦合，具有很高的理论研究价值，而 且也是检验算法精度和求解稳定性的典型算例因而得到数学工作者i ：t 益广泛的滓意 1 2 数值方法综述 利用涡量一流函数方法求解n s 方程组时，需要求解的控制方程组包括一个涡量输运方 程和一个流函数方程一般有两种方法，一种是基于泊松方程，利用四阶紧致差分算予推导 出泊松方程的四阶紧致差分格式，把涡量输运方程和流函数方程看作形式上的泊松方程，从 而得到两方程的四阶紧致差分格式，给定适合的边界条件的离散格式，这样可以求解出涡函 数和流函数的值，从而得到其它变量的值；另一种是基于对流扩散方程，利用对流扩散方程 的指数型高阶紧致格式或多项式型高阶紧致格式，涡量输运方程和流函数方程可以看作形式 上的对流扩散方程，从而得到两方程的四阶紧致差分格式，配合相应的边界离散格式，就可 以求解出涡函数和流函数的值，从而得到其它变量的值 本文主要通过上述第二种方法求解n s 方程组，而这种方法首先就是要对模型方程对流 扩散方程做高阶紧致离散近年来，对流扩散方程对流扩散问题的高阶紧致有限差分方法引 起人们的广泛兴趣，各种技术应运而生【3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 1 0 , 1 1 】对于一维问题，d e k e m a 和s c h u l t z 1 2 l 利 用t a y l o r 级数展开和截断误差中高阶导数用原始微分方程替代的技术，推 h 了对流扩散方程 的三点高阶紧致格式对于二维对流扩散方程，g u p t ae ta l 哺1 利用微分方程的t a l o r 级数展开 建立了九点四阶紧致差分格式其他作者也建立一些相似的高阶紧致格式，并应用到4 i 可压 缩n s 方程的求解中这蝗方法的基本技巧就是把原始微分方程作为一种辅助关系，用其将 截断误差主项中高阶导数替代为能够在紧致模板上离散的低阶导数d e n n i s 和h u d s o n i t 3 】使 用n u m e r o v 逼近发展了与文献p j 相同的格式 a l l e n 和s o u t h w e l l t l 4 1 首先提出求解控制涡输运的二阶偏徽分方程的一种指数型格式， r a d h a k r i s h n ap i l l a i ；q ，对，维和二维对流扩散方程提出了一类四阶紧致指数型有限差分格 式，但这螳格式的系数矩阵对于变对流系数问题不能保证对角占优这样，如果对流速度很 大或网格尺寸不细密，非物理振荡就可能产生c h e n 等人d 】提出了一种摄动四阶指数型格式， 其系数矩阵具有无条件对角占优的特点，但容易发现，随着网格r e y n o l d s 数p e 的增大，源项 的影响越来越小，甚争在p e 非常大的情况下源项的贡献几乎4 i 复存在这表明对于对流占优 的含源汇项问题，摄动指数型四阶紧致格式存在着较大缺陷最近，t i a n 等人【8 j 利用修正偏 微分方程( m p d e ) 分析的思想，首先建立维常系数对流扩散方程的指数型高阶格式，并在 此基础卜提h 二维常系数对流扩散方程的指数型高阶格式其次，基于常系数问题的指数型 2 宁夏大学硕士学位论文第一章引言 高阶紧致格式和余项修正技术【1 6 1 ，建立变系数对流扩散方程的指数型高阶格式并通过数值 算例验证和考察了其指数型高阶紧致格式e h o c 格式具有较高分辨率、高精度和数值稳定性 等优点 对涡量流函数形式的n s 方程组，文献【9 】利用二阶导数算子作用于泊松方程，得到四阶 离散格式，并用p s o r 方法求解，文献【1 8 】利用指数型差分格式，采用交替方向隐式方法( a d i ) 迭代求解，文献f 1 9 】利用有限差分格式，采用a d i 和s o r 方法求解，文献利用多项式型差分 格式，采用b i c g s t a b 算法求解；对原始变量形式的n s 方程组，文献【z o 】采用有限体积法和 s i m p l e c 群l s e m i i m p l i c i tm e t h o df o rp r e s s u r el i n k e de q u a t i o n s - c o n s i s t e n t 算法，文献【z l l 采用 控制体积法和s i m p l e r 即s i m p l er e v i s e d 算法获得收敛解等等 目前已有许多学者开展了腔内自然对流换热规律的数值模拟与实验研究工作蚪引其中 大部分的数值模拟研究工作是在窄腔处于水平和竖直情况下进行的，而实际应用中腔体有时 会处于倾斜放置状态，对此问题的研究相对较少，本文选取封闭腔内自然对流换热问题作为 数值实验模型，用来检验我们算法的精度以及稳定性等 b a t c h e l o r 2 6 1 足给出自然对流换热问题的数学公式和粗略解法的第一人p o o t s 2 7 1 通过 手工计算给出了封闭腔内的等温线和流线的第一副图形h e l l u m s 和c h u r c h i l l l 2 8 】成功地进行 了数值计算并把他们的计算结果与m a n i n i 和c l l u r c h i l l 【2 9 】在柱_ i f i i 腔里的自然对流实验结果进 行了比较o s t r a c h 3 0 l 对高r a 数、高p r 数且设定g r 数为定值的情况进行了计算( r a = p r g r ) w i l k e s 和c h u r c h i l l 3 1 】和g i l l 3 2 】给出了封闭腔边界条件的粗略算法e l d e r1 3 3 , 3 4 1 使用5 方程模式进行计算，然而，一些有关稳定性的问题随之出现，因此，他作出了在封闭腔内的 水平边界层速度梯度为0 的假设a z i z 和h e l l u m s m 首先对从封闭腔底部加热的二维和j 维工 况进行了计算这个问题的最终形式是由d ev a h ld a v i s1 3 6 j 定义的，d ev a h ld a v i s 同时给出 了p r 数变化的情况r a 数直到1 0 6 的计算结果 m a c g r e g o r 和e m e r y t 3 7 】给出了封闭腔内p r 数存很大范围变化的层流情况r a 数直歪1 0 5 下 的实验结果在他们的论文中还给出了许多与实验结果有关的n u 数和r a 数的关系j a l u r i a 和g e b h a r t 3 8 】在竖直的自然对流方嘶做了大量的工作他们的工作揭示了在竖直，f 板表碡f 流 动为定常的情况下从层流到湍流的过渡过程，并分析了在过渡过程中速度场与温度场的相互 作用以及对n u 数的影响m a l l i n s o n 和d ev a h ld a v i s1 3 9 j 对三维的层流情况进行了详细的计 算，对不同的p r 数以及不同的方腔尺寸纵横比给出了相应的结果 m a r k a t o s 和p 嘶c l e o u s 【4 0 】在计算中首先引入了湍流模型他们计算了r a 数直到1 0 1 6 的二维 情况，并给出了一系列不同r a 数的等温线图、流线图以及速度场图形( p r = o 7 1 ) 同时给出了 r a 数与n u 数的关系他们的结果与m a c g r e g o r 和e m e r y 的实验结果吻合得很好o z o ee ta l 【4 u 用同样的模型k - e 计算了纵横l t a = 2 的二维情况，他运用k e 模型给出了流场及温度场的图形， 由于在i 音j r a 数情况下的流体质点的强相互作用而出现了不稳定的现象 h e n k e se ta l 4 2 】等运用几种彳i 同的湍流模型计算二维方腔的情况这些模型包括标准k e 模型和低雷诺数k e 模型他们的结果毖伞对r a 数直牟1 0 1 4 都足稳定的，这与m a r k a t o s 和 p e r i c l e o u s 的结果足致的他们把水和窄气分别作为进行数值模拟的介质，并计算m 相应 的n u 数数值结果他们指出低雷诺数k e 模型对于同样的r a 数并非唯一的模型，但和实验结 果比较就会发现，低雷诺数k e 模型优于标准的k e 模型史重要的足，他们对这个问题给出 3 一 宁夏大学硕士学位论文第章引言 了一个精确的定义并尝试规定许多参数( 几何图形，k - e 常数项，网格划分) 以便对不同的研究 者得到的结果有个直接的比较 f u s e g ie ta 1 【4 3 ，删进行了r a 数直到1 0 1 0 的三维情况计算，所得到的结果图形表明了三维情 况的流场特征他们还把三维与两维情况的n u 数与r a 数的不同关系进行了比较 随着计算机技术的高速发展，数值求解微分方程的能力也越来越强就流动问题而言， 其数值模拟中可靠性和有效性的提高都将对微分方程的求解方法提出更高的要求，这当中高 精度和高分辨率已成为衡量一种计算方法好坏的重要标志传统的高精度格式使用的网格基 架点较多，导致计算量加大，并且边界点不易处理而高精度紧致格式通过相对较少的网格 点就能达到高精度计算，既降低了计算成本，而且对边界单元的处理也不存在特别的困难因 此应用高精度紧致差分格式是对流体流动数值模拟很好的选择 1 3 本文主要研究内容 考虑到高精度紧致差分格式的优越性，本文研究了二维定常不可压涡量一流函数形式的 n s b o u s s i n e s q 方程组的高阶紧致差分格式，首先给出了对流扩散方程的指数型高阶紧致 ( e h o c ) 差分方法以及多项式型高阶紧致( p h o c ) 差分方法其次，基于对流扩散方程的e h o c 以及p h o c 格式，构造求解涡量流函数形式的n s b o u s s i n e s q 方程的高阶紧致差分格式和算 法，通过直接数值模拟封闭方腔自然对流换热问题，将所得结果与精细网格上的“标准解” 比较，验证了本文所构造的两种高阶紧致方法的有效性和可靠性最后，对重力场作用下的 与倾斜角度有关的封闭方腔自然对流换热问题进行了直接数值模拟，分析了腔体倾斜角度 痧、瑞利数r a 、边界条件对腔内流体流动状态转变及热量传递变化规律的影响，具体分为 以下几方面的工作： 1 给出了二维定常不可压涡量一流函数形式n s b o u s s i n e s q 方程组的指数型与多项式 型高阶紧致差分格式，并凡给出了边界条件的同阶离散格式 2 为了验证两种高精度紧致差分格式对计算复杂流动问题的可靠性和有效性，对封闭 腔内自然对流换热问题进行了数值模拟重点研究不同瑞利数下，腔体内能量传递的影响以 及整个流场的变化情况，并与已有文献结果进行了比较 3 进一步利用指数型高阶紧致差分格式对带倾角封闭腔内自然对流换热问题进行了 直接数值模拟，分析了腔体倾斜角度矽、瑞利数鼬、边界条件对腔内流体流动状态转变及 热量传递变化规律的影响 一4 - 宁夏大学硕士学位论文第二章对流扩散方程的四阶紧敏筹分办法 第二章对流扩散方程的四阶紧致差分方法 作为计算流体力学的模型方程，对流扩散方程的数值方法研究一直受到研究者的重视， 发展精确、稳定和有效的求解对流扩散方程的差分格式尤为重要本章将重复文献1 8 1 0 2 5 1 中 对流扩散方程的指数型高阶紧致( e h o c ) 差分格式以及多项式型高阶紧致( p h o c ) 差分格式 的推导，从而为以后章节讨论二维定常涡量一流函数形式n s 方程组的高精度紧致差分格式 奠定理论基础 2 1 对流扩散方程的指数型高阶紧致差分方法 2 1 1 一维定常对流扩散方程的指数型高阶紧致差分方法 考虑一维定常对流扩散模型问题 一a u x x + p ( x ) u ，= f ( x ) x o ，1 ( 2 1 1 ) 其中a 是常扩散系数，p 是对流速度，f 是源汇项( 小失一般性，假定是x 的充分光滑函 数) ，u 是未知量，可以代表温度、速度和涡量等当a 足小参数时，这个方程足奇异摄动 问题 为了建立方程( 2 1 1 ) 的差分格式，我们将 o ，1 】划分为等分，即薯= 以， 麓, , = l ( 篓2 n + 1 ) i x u i ， 仁m ， 扰埘2 吩一善韶”2 “， 其中疋“f = ( 甜f + l - - u f - 1 ) ( 2 h x ) ，万2 x u i = ( 吩+ l - 2 u j + ”f 1 ) 砖，磁是，l 阶精确的导数算 子 在本节中，我们将为对流扩散方程( 2 1 1 ) 建立指数型高阶紧致差分格式在子区问 葺1 + l 】上，方程( 2 1 1 ) 可以写成 旦兰型 一a e “( e 4u x ) ，= z 即 型 一型 - 口p4 “，) 。= f i e 。( 2 1 3 ) - 5 宁夏大学硕士学位论文 第二章对流扩散办程的四阶紧敛差分方法 其中，在子区间【毛- l h l 】上，假定p2 p , 暑, l l f = z 是常数对方程( 2 1 3 ) 从一 到h 积 分，得 一旦生选一旦生旦生 b k2 “( 咋) f + 一p2 4 ( 虬) f 一 】= 0 2 4 一p2 4 ) z ( 2 l 4 ) 利用中心差分逼近，可得 ：挚+o(huxi 2 ) 2 上一+ 一j 这样，我们有 一o t i 万2 u f + p a x u f = z ( 2 1 5 ) 其中 ：j 譬c 州普地到 亿。回 【a ，p i = 0 称( 2 1 5 ) 式为对流扩散模型问题( 2 1 1 ) 的指数型二阶紧致差分格式该格式产生的方程 组是对角占优的，且对无源汇项常系数对流扩散方程而言，格式( 2 1 5 ) 在节点上精确成立格 式( 2 1 5 ) 和它的几种变形t zf a - - 些作者利用不同的方法提出 容易发现，二阶格式( 2 1 5 ) 应用于方程( 2 1 1 ) 等价于标准二阶中心差分公式应用到如下 方程： 一李c o t h ( 譬) u = + p u x = f ( 2 1 7 ) 2、2 以7 、 方程( 2 1 7 ) 也表明，当对方程( 2 1 1 ) 应用指数型格式( 2 1 5 ) 时，相当于引入一个人工耗 散系数吐告洲尝h 瑚2 删馓系数受到黝 i 一维常系数问题的指数型四阶紧致差分方法 假定常系数方程( 2 1 1 ) 有如下差分格式： 一口吩+ p d 。u f = z + q 厶+ 厶 ( 2 1 8 ) 其中 口：丛2 酬务p 划 亿1 9 )口= 、2 口 ( 2 9 ) 【a ，p = 0 和正前边已经定义为了确定参数，q 和吃，方程( 2 1 8 ) 可写为 ：- a 6 2 x u i 。+ + p 6 , , u ，i a o ( a np u ) f + q ( 一a u 。+ p u ，) 新+ 口2 ( 一a n 。+ p u ，) 删( 2 1 1 。) = 一 。+，) f + q ( 一。+，) 新+ 口2 ( 一。+，) 删 一6 - 宁夏大学硕士学位论文第二章对流扩散办程的四阶紧敛差分办法 直接计算方程( 2 1 1 0 ) 右端，并将( 2 1 2 ) 代入( 2 1 1 0 ) ，整理后，可得格式( 2 1 1 0 ) 的修j 下微分 方程如下： 一a u x x + p = z + ( 一1 ) p u 一+ ( 一口+ a l p + a t ) u , , , , i 令 求解上面导出的 + ( - 0 r l a + 0 c 2 p p h 6 2 , l d 3 u i + ( 篙口一口) d 4 u ，+ 0 ) 纠即r ( 2 1 11 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) 该格式构成的代数方程组是对角占优的，而且通过t a y l o r 级数的截断误差分析表明，求解 模型问题( 2 1 1 ) 的格式( 2 i 8 ) 足一个d ( 碟) 紧致差分格式，在( 2 1 8 ) 中，如果f 的一阶和二 阶导数用二阶中心差分替代，则格式在三个网格点上仍保持d ( 群) 精度 实际上，模型方程( 2 1 1 ) 的指数型四阶紧致差分格式( 2 1 8 ) 就是如下方程： 一口甜。+ p u ，= f + a l 正+ 厶 ( 2 1 1 4 ) 的标准二阶中心差分格式不难发现，方程( 2 1 1 4 ) 就是y y 程( 2 1 1 ) 的一个摄动，即理解为一 个肛撒系数口f 丝2 a 砌( 寺一卜个肛源瓢六+ 乞枞耵碉2 川) 中 一维变系数问题的指数型四阶紧致差分方法 考虑变系数方程( 2 1 1 ) 有如下差分格式： - - g i ( 罗2 u j + p i 6 。u i = z + q 厶+ 厶 ( 2 1 1 5 ) _ 竽c o t h c 套例即 【a ，髟= 0 7 - ( 2 1 1 6 ) o = 以卜。 一 p 口+口口一0 = 口+ p 口+口 一o l l 0 ” 得 一 组 程 ( 方 铲一， 坐 堡他 砖一6 铲一， 坐 笙抡 宁夏大学硕士学位论文第二章对流扩散力程的四阶紧致著分办法 利用t a y l o r 展开和原始微分方程( 2 1 1 ) ，我们可获得格式( 2 1 1 5 ) 的修正微分方程为 一口“崩+ p u ，- 2 a 2 p , , u 。一( q 见+ p 。) “，+ d ( 群) = 厂 ( 2 1 1 7 ) 其中和由( 2 1 1 6 ) 给出，而q = 一警+ 。( 砖) ，口：= 鲁+ 。( 碟) 式( 2 1 1 7 ) - 表i t f j ，格式( 2 1 1 5 ) 的局部截断误差只有d ( 圮) 欲获得四阶格式，我们只需 加项2 哆段+ ( q 以+ a 2 p = ) u ，到方程( 2 1 1 ) 左端，忽略d ( 碟) 项，可得 一a r u 。+ c f t l x = f ( 2 1 1 8 ) 这里么厂= 口一2 a 2 p , , ，c r = p + a l p 。+ ，而和由方程( 2 1 1 6 ) 给出事实上，为 了推导对流扩散方程的高阶有限差分格式，这种技术已经有一些作者采用过1 7 ，l6 1 ，在文献【1 6 j 中称此方法为余项修正技术 方程( 2 1 1 8 ) 和( 2 1 1 ) 具有相同的形式类似于格式( 2 1 8 ) ，可获得一种求解对流扩散方 程( 2 1 1 ) 的指数型四阶紧致差分格式 一人j 万2 x g i + c 疗正咋= z + c , a + c 2 z 丽 ( 2 1 1 9 ) 其中 妒 丛2c 。t h ( 豺刎， 人，= i2 j 一。 ， i 如，= 0 q ： ia 生g - _ _ a i 。，g 划， ( 2 圳 【0 ，g = 0 以( 如一人，) 印扩 这里，4 和c ，已由前边给出 该格= l = l = 构成的代数方程组是对角占优的，并且由t a y l o r 级数截断误差分析得知具有四 阶精度同样，如果利用标准的二阶中心差分逼近p 和厂的阶和二阶导数，该格式在三 个 c ) 9 个点卜仍然保持四阶精度 易知将指数型四阶紧致格式( 2 1 1 9 ) 应用到方程( 2 1 1 ) 等价于二阶中心差分格式应用到 下谢的方程： 8 0 0 = 疗 鼻 g 砖一6 宁夏大学硕士学位论文第二章对流扩散力程的四阶紧致莠分，j 法 一a “。+ c _ u ，= 厂+ c j 六+ c 2 厶 ( 2 1 2 1 ) 如此，当采用d ( 碟) 格式( 2 1 1 9 ) 时，y y 程( 2 1 1 ) 就被人工摄动为上述方程中这可理解为方 砌m 籼了一口 警c o t h 斗人 工源项c 1 六+ c 2 厶 2 1 2 二维定常对流扩散方程的指数型高阶紧致差分方法 本节我们将一维定常问题的指数型四阶紧致差分格式和方法推广应用到二维定常问 题考虑的二维定常对流扩散模型问题是 一a u x x b u + p ( x ，y ) u ，+ g ( x ，y ) u ，= f ( x ，y ) ， ( x ，y ) 【o ，1 o ，1 ( 2 1 2 2 ) 其中，a 和b 是扩散系数，p 和q 是对流速度，是源汇项，它足关于x 和y 的充分光滑 的函数这个方程常作为- 维定常一s 方程的模型方程分别令纹= 1 n 和 ，= 1 m 为石 方向和少方向的步长，其中n 和m 分别足求解域在x 和y 方向的网格节点数 按照文献【4 8 】，二维对流扩散方程( 2 1 2 2 ) 能够写成下嘶两个类一维方程： r - a u 一, + p ( 、x , y ) g “：j ： ( 2 1 2 3 ) i 石= f ( x ，少) + b u 拶一q ( x ，y ) ， p 和 j _ 6 甜+ g ( x ，少) 甜y2 石( x ，y )( 2 1 2 4 ) 【厶= f ( x ，y ) + a u 肛一p ( x ，y ) 蚝 、7 将( 2 1 5 ) 分别应用到类一维方程( 2 1 2 3 ) 和( 2 1 2 4 ) 中，我们有 一a 6 ：u 口+ p 口6 x 口= 氕镕 q 1 2 5 ) 和 一p 6 j h 口七q 庐口= 疋口 q 1 2 6 ) 其中，哦= ( 吩+ 1 ，一“h ，) ( 2 吃) ，霹= f + l 。，- 2 u ，+ “，) 群， = ( “+ l b l i y - i ) ( 2 h y ) 7 0 6 2 u f = ( “+ i 一2 + 吩_ 1 ) h i 分别足关于x 和少的。阶和 _ 阶导数的中心差分逼近式 将式( 2 1 2 5 ) _ ； 1 1 ( 2 1 2 6 ) 相加，并利用( 2 1 2 2 ) ，i 叮得 一口一届彩+ 岛正+ = 乃 ( 2 1 2 7 ) 其中 口 宁夏大学硕士学位论文 第二章对流扩散方程的四阶紧致差分方法 口： 警c o t h ( 警) ，岛刘肛 警c o t h ( 警卜划仁心8 ， l 口，岛= 0l b ，g i f = 0 方程( 2 1 2 7 ) 就是二维定常对流扩散方程( 2 1 2 2 ) 在点( 薯，y j ) 处的五点指数型d ( 砖+ 髟) 阶 紧致差分格式 容易验证，d ( 绣+ j l l ：) 阶格式( 2 1 2 7 ) 应用到方程( 2 1 2 2 ) 等价于标准二阶中心差分公式 应用到下面的偏微分方程： 一a t l 。一| b u 眄+ p u x + q u y = f q 1 2 9 ) 方程( 2 1 2 9 ) 也表明，当采用指数型二阶格式( 2 1 2 7 ) 时，方程( 2 1 2 2 ) 被摄动成上述方程 亿- 砩相当于人工扩散系数口 尝c 砒( 尝) 一t 和6 鲁c 。m ( 尝) 一t 加到方程 ( 2 1 2 2 ) 的对应项中 在上节为一维常系数问题建立的格式( 2 1 8 ) ，可以推广n - - 维情况在本节中，我们使 用上面的方法推导二维常系数对流扩散模型问题( 2 1 2 2 ) 的指数型d ( 碟+ j l ：) 紧致差分格 式 i i 维常系数问题的两类指数型四阶紧致差分方法 1 二维常系数问题的第一类指数型四阶紧致( e h o c - i ) 差分格式 对类一维方程( 2 1 2 3 ) 和( 2 1 2 4 ) 分别应用( 2 1 8 ) ，得 一口2 + p t = e 盯 ( 2 1 3 0 ) 一膨“矿+ q 6 y u 口= e 驴 ( 2 1 3 1 ) 其中，正l = 彳i ，+ ( z ，) + ( 石。) 扩，e = 厶扩+ 层( 正y ) + 屐( 五) ， 直接计算石，彳。，石，和五，并代入( 2 1 3 0 ) 和( 2 1 3 1 ) 右端，然后联立( 2 1 3 0 ) 年1 1 ( 2 1 3 1 ) 并经整理，可得 卜o c 6 ：一p 6 j + p 6 l + q 6 y + e 6 y + g 6 3 6 x + h 6 ：6 y + k 6 x 2 0 y 27 m 口= f 镕q 1 3 2 ) 其中 口： 和h 2 ajp 0 一： 【a ，p = 0 1 0 - 砖一6 铲一， 坐 笙坦 口 l i p p 竺p 口一 q 宁夏大学硕士学位论文 =三c。th呈2笠b、1jqg：o。，届 第二章对流扩散办程的凹阶紧敛莠分斤法 半。黔 g ，腹= 0 ，q = 0 t b ( b - f 1 ) q + 笠6 。 - g = 0 e p = ，q + 1 8 1 p , g = ，f l z p 。- rb , h 。= ，c t z q 一层口，k = 一6 一屐口， ( 2 1 3 3 ) f = 七仪l f x 七o 己 。9 l ，七6 1 w ” 方程( 2 1 3 2 ) 是_ 维常系数对流扩散模型问题( 2 1 2 2 ) 的一种九点指数型o ( 群+ 衫) 紧敛 格式我们称格式( 2 1 3 2 ) 为模型方程( 2 1 2 2 ) 的第一类指数型四阶紧致( e h o c - i ) 差分格 式 2 二维常系数问题的第二类指数型四阶紧致( e h o c 一) 差分格式 对类一维方程( 2 1 2 3 ) 和( 2 1 2 4 ) 分别应用( 2 1 8 ) ，得 一口“ ，+ p 6 x u f f = 石矿+ q ( 石，) 扩+ ( z 。) 驴 一膨”l + q s y u f = 五驴+ 屈( 五j ，) + 屈( 厶) 扩 方程( 2 1 3 4 ) 和( 2 1 3 5 ) 能农示成用下_ i f i i 的符号形式： ( 1 + q t + 哆) - 1 ( 一口+ p 坑) = 彳扩 ( 1 + 局+ p l y ) 一( 一膨+ q c 罗y ) u 驴= 正矿 ( 2 1 3 4 ) ( 2 1 3 5 ) ( 2 1 3 6 ) ( 2 1 3 7 ) 注意到，上式已经使用了= a ，+ d ( 群) ，= a ：+ d ( 贸) ，= a ，+ d ( 彬) 和 霹= a ；+ d ( 砖) 将上述两式相加，注意利用( 2 1 2 3 ) ； 1 1 ( 2 1 2 4 ) 后，两端i 一时乘以差分算子 ( 1 + o t l 正+ 口2 ) ( 1 + 局+ 屈彩) ，并经整理，可得 其中 卜仅6 ：一p 6 j + p 6 x + q 6 + e 6 y + g 6 y 2 0 ；十no x 2 6 y + k 6 ：6 j 沁4 = f 镕 q 1 3 8 ) 口= p ( 尝) 心= 三 ：降t h 阱删肝睁删，屈 【b ，q = 0 【0 ， q = 0 一 鱼学q + 笪6 ，留。 q = 0 蟛一挖 ，。j、l = o 0 l l p p 口一 l p 口一 q ，j，il = 口 0 o i i p p 侈一他 宁夏大学硕士学位论文第二章对流扩散办程的四阶紧致差分方法 e = o c l q + f l l p ，g = p 2 p o c i p ，h = a 2 q p i a ，k = 一a 2 , a p ， f = ( 1 + a ，+ 口2 a 2 a ( 1 + a a ，+ 屈a ；) 厂 ( 2 1 3 9 ) = f + a i f ，+ 吃厶+ 屈+ 殷厶+ d ( 霹+ 彬) 方程( 2 1 3 8 ) 及( 2 1 3 9 ) 足二维常系数对流扩散模型问题( 2 1 2 2 ) 的一种九点指数型 d ( 硭+ j j l ：) 紧致格式我们称格式( 2 1 3 8 ) 为模型方程( 2 1 2 2 ) 的第二类指数型四阶紧致 ( e h o c 一口) 差分格式 很容易发现，指数型o ( 霹+ j l ：) 紧致格式( 2 1 3 2 ) 或( 2 1 3 8 ) 应用到方程( 2 1 2 2 ) 等价于标 准二阶中心差分公式应用到下面的偏微分方程： 一口一p u 刀+ 删，+ q u j ，= f e u 耖一伽聊一胁w 一 ( 2 1 4 0 ) 不难发现，当采用指数型四阶紧致差分格式( 2 1 3 2 ) 或( 2 1 3 8 ) 时，方程( 2 1 2 2 ) 被人工摄动到 上述方却 4 。卜人工扩散系数口 告c 劬( 尝) 一， ，6 鲁c 。t n ( 等 一t 和人工源 汇项( f 一厂) 一e u 叫一g l l 训一砌埘一胁聊分别增加到对应项中这里，对应于格式( 2 1 3 2 ) 和( 2 1 3 8 ) 的盯，t 2 1 ，届，屐，e ，g ，日，k 和f 分别由( 2 1 3 3 ) 和( 2 1 3 9 ) 给出 i i 二维变系数问题的两类指数型四阶紧致差分方法 ( 一磷一砩+ p # 6 x + q 0 6 e + 礁+ 矽疋+ 磁+ 矽彩) = 歹扩 (