（应用数学专业论文）形式背景横向合并概念生成.pdf

中文摘要 概念格理论是知识发现，知识处理和数据分析的有力工具，它是德国数学家w i l l e r 教授于1 9 8 2 年提出的它的产生激发了人们对概念数据分析和知识处理的数学思考，推 动了学科的交叉发展概念格已经成功应用于软件工程，数据挖掘，信息检索，模式识 别等领域 模糊概念格理论是经典概念格理论的推广它是将经典形式背景( g ，m ，) 的对象集 g ，属性集m 和关系集，g x m 都推广到模糊集上它更加符合现实生活，为研究现 实中模糊的、不确定的信息提供了新的有力工具 本文研究了多经典形式背景横向合并概念的生成；基于b e l o h l a v e k 等提出的模糊概 念格，研究了模糊形式背景横向合并生成模糊概念的方法主要研究成果如下： 1 得到了经典形式背景横向合并前后属性特征之间的关系；在此基础上得到了通过 判定属性特征获得横向合并形式背景属性约简的方法 2 研究多模糊形式背景横向合并前后模糊概念之间的关系得到了由子模糊形式 背景的概念生成横向合并模糊形式背景概念，由横向合并模糊形式背景的概念生成子模 糊形式背景概念的方法 关键词 形式背景；概念格；模糊概念格；横向合并 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h et h e o r yo fc o n c e p tl a t t i c e s ，p r o p o s e db yw i l l e ，ri n19 8 2 ，i sa l le f f i c i e n tt o o lf o r k n o w l e d g ed i s c o v e r y , k n o w l e d g er e p r e s e n t a t i o na n dd a t aa n a l y s i s i ta c t i v a t e sm a t h e m a t i c a l t h i n k i n gf o rc o n c e p t u a ld a t aa n a l y s i sa n dk n o w l e d g ep r o c e s s i n g ，a n dp r o m o t e st h ec r o s s d e v e l o p m e n to fd i s c i p l i n e s t h et h e o r yo fc o n c e p tl a t t i c e sh a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e dt o v a r i o u sf i e l d s ，s u c ha ss o f te n g i n e e r i n g ，d a t am i n i n g ，i n f o r m a t i o nr e t r i e v a la n dp a t t e r n r e c o g n i t i o n b e i n gag e n e r a l i z a t i o no ff c a ，t h et h e o r yo ff u z z yc o n c e p tl a t t i c e si sap o w e r f u l l yt o o l t od e a lw i t hu n c e r t a i nk n o w l e d g ei n0 1 1 1 l i f e i nf u z z yc o n c e p tl a t t i c e s ，t h eo b j e c t s ，a t t r i b u t e s a n dr e l a t i o n sa ren ol o n g e r 嘶s ps e t s ，t h e ya r ef u z z ys e t s t l l i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h e m e t h o do fa t t r i b u t er e d u c t i o no fc o m b i n e df o r m a lc o n t e x t ，a n da l s os t u d i e st h em e t h o dh o wt o p r o d u c et h ef u z z yc o n c e p t so ft h ec o m b i n e df u z z yf o r m a lc o n t e x tw h i c hw a sp r o p o s e db y b e l o h a v e k t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s 1 t h er e l a t i o no fa t t r i b u t ec h a r a c t e r i s t i e sb e t w e e nt h ec o m b i n e df o r m a lc o n t e x ta n d p r i m a r yf o r m a lc o n t e x t sa r eo b t a i n e d a tar e s u l t ，b a s e do nt h er e l a t i o no fa t t r i b u t e s ，an e w m e t h o dt oo b t a i na t t r i b u t er e d u c t i o ni sp r o p o s e dt h r o u g ht h ea t t r i b u t ec h a r a c t e r i s t i c s 2 t h er e l a t i o nb e t w e e nt h ef u z z yc o n c e p t so ft h ec o m b i n e df u z z yf o r m a lc o n t e x ta n d t h a to ft h ep r i m a r yf u z z yf o r m a lc o n t e x t si ss t u d i e d t h em e t h o dw h i c hc a np r o d u c et h ef u z z y c o n c e p t so ft h ec o m b i n e df u z z yf o r m a lc o n t e x tf r o mt h ef u z z yc o n c e p t so fs u b f u z z yc o n t e x t s i so b t a i n e d ，a n dv i c ev e r s a k e y w o r d s f o r m a lc o n t e x t ；c o n c e p tl a t t i c e ；f u z z yc o n c e p tl a t t i c e ；h o r i z o n t a lu n i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权谚玎北入学n j 以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本! 学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所等机构将本学位论文收录剑中国学位论文全文数 据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：指二教师签名：趔 矽f 9 年占r 歹加f o 年sase l 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也小包含为获得两北大测- ，- 或j 它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者始叁艺、，镯 如f 口年占只r b 西北大学硕十毕业论文 1 1引言 第一章绪论 形式概念分析( f o r m a lc o n c e p ta n a l y s i s ) ，又称概念格( c o n c e p tl a t t i c e ，g a l o i sl a t t i c e ) ， 由德国w i l l e r 教授于1 9 8 2 年提出的【1 捌，它是一种概念层次结构，也是一种有效的数 据分析工具它的基础是形式背景( g ，m ，) ，一个由对象集g 以及属性集m 以及g 与 m 之间的二元关系j 构成的三元组，在形式背景基础上，获得形式概念( x ，b ) ，其中， x g 称为概念的外延，是属于这个概念的所有对象的集合而b m 称为内涵，是所 有这些对象所具有的属性集概念是外延与内涵的统一体，这种描述实现了对概念的哲 学理解的数学化，更好地反映了人的思维特征形式背景的所有概念同它们之间的泛化 和例化关系构成了一个完备格，称为概念格它本质上描述了实体与属性之间的联系， 同时通过h a s s e 图形象直观地将概念之间的这些关系描述出来概念格结构模型是形式 概念分析理论中的核心数据结构，它建立在分类基础上，但比分类具有更大的概括性， 它往往在归纳几个分类的基础上产生一个概念的 概念格在它被提出后的十多年里，从事其研究工作的人员主要是d a r m s t a d t 技术大 学的一个研究小组和w i l l e r 教授的学生随着一些有关概念格方面有影响的文章的发 表和出版，概念格理论引起了越来越多不同学科领域的学者的关注它是以数学化的概 念和概念层次为基础的应用数学领域的一个分支，它激发了人们对概念数据分析和知识 处理的数学思考然而，经过二十多年的发展，概念格的定位发生了重大的变化，已经 从最初提出时的数学定位转移到计算机科学上【2 4 1 事实上，最初的十多年间所有有关概 念格的文章都发表在数学会议和期刊上但是，近年来有关概念格的研究工作却几乎全 部发表在与计算机科学相关的会议期刊上现在，形式概念分析更被认为是“概念化知 识处理”在数学方面的重要支柱定位于计算机科学之后的概念格，它的一个任务就是 为基于概念的知识处理提供方法和工具 自从概念格理论提出以来研究的主要问题是在单个形式背景下研究的，主要包含以 下几个方面： ( 1 ) 概念格的构造 从数据库中提取所有概念及结构关系的过程即为概念格的构造一般构造概念格 第一章绪论 有两种思路，一种是先找出概念格的所有概念，然后确定其结构这种思想的关键是概 念的生成目前，用于生成概念的方法有：自然算法【1 1 和基于闭包的有序子集法【2 5 】；另 一种则是同时考虑概念和结构这种思想通常是根据已知概念寻找它的临近概念或者 边，相应的算法有：批处理算法和增量算法【4 1 4 2 1 ( 2 ) 概念格模型推广 该方面研究主要涉及：模糊概念格与l 模糊概念格模型f 1 1 1 9 1 ，支持度概念格模型 1 3 】，一般对象形式概念分析模型【5 】，多值形式背景模型以及不完备形式背景模型【6 1 等 ( 3 ) 概念格的简化 概念格的简化有两种方法，一种是通过对概念格的修剪来控制概念格节点的增长，从而 实现概念格的简化g a n t e r 和w i l l e 【l 】从删减形式背景的行或列的角度对概念格进行简化 b e l o h l a v e k t l 4 】定义了约束属性一依赖公式来约简概念的数目b e l o h l a v e k 2 2 】还研究了模 糊概念格的简化问题，通过只保留“重要元”来达到简化的目的另一类简化概念格方法 则是由张文修等人提出的概念格的属性约简【7 2 9 1 ，这种属性约简的基本思想是在保持对 象集不变的条件下，寻找极小的属性集，它能够完全确定形式背景上的概念及其层次关 系这种属性约简的方法给出了概念内涵一种最简洁的表示方法，其好处是不仅易于概 念的理解，而且易于概念的运算及规则的提取 ( 4 ) 概念格的规则提取 由于形式概念分析以概念格的形式使数据有机的组织起来，概念格节点反映了概念 内涵与外延的统一，节点间的关系体现了概念之间的泛化和例化关系，因此非常适合用 来发现规则型知识g o d i nr 【4 2 1 等在其提出的增量式建格算法基础上给出了有概念格来 提取蕴含规则的算法h u 2 3 】提出了一种在概念格上提取分类和关联规则的集成法 p a s q u i e r 2 6 1 等研究了关联规则的提取问题 ( 5 ) 概念格的应用 概念格理论以其独特的优势赢得了越来越多不同领域学者的关注，并在许多领域得 到了成功的应用3 4 1 例如，概念格用于c e m 电子邮件管理系统，提高了电子邮件检索 功能的灵活性，用于数字图书馆及信息检索，取得了良好的经济效益和社会效益【1 7 2 6 1 ， 用于规则提取，与其他分类器相比具有更好的分类效果1 8 ，2 7 1 ，用于计算机网络，显示出 概念层次进行w e b 文档索引和导航能力【2 8 】，等等 ( 6 ) 概念格和其它理论的结合 概念格和其它理论的结合引起了许多研究者的重视b u r u s c o 1 8 , z 9 1 等人从l 模糊概 2 西北大学硕士毕业论文 念的定义出发，研究了l 模糊概念集的格结构文献【1 9 】从模糊集合理论中的三种不同的 蕴含算子出发，研究了与蕴含算子相关联的模糊概念以及它们所形成的格结构文献1 1 0 】 研究了模糊概念中的相似关系，同时给出了一种根据概念相似来对概念进行简化的方 法 文献例则把粗糙近似算子引入到概念格中研究了概念格中的粗糙近似文献3 2 ，3 5 1 利用 粗糙集的基本思想研究了概念格的约简问题 随着网络技术特别是互联网的飞速发展，数据分布存储与并行处理的需求越来越紧 迫概念格的分布处理【3 0 】，思想就是通过形式背景的拆分，形成分布存储的多个子背景， 然后通过讨论子形式背景的知识来刻化大背景的知识l i u 4 1 等研究了多概念格的合并 算法，简化了大概念格的建造为了使概念格的合并与拆分更加方便，所表达知识更加 准确，清楚，研究概念格的基础形式背景的合并前后概念、约简、知识之间的关系有 重要意义 最初的形式概念分析主要基于经典的形式背景来进行的，即形式背景中的对象和属 性的二元关系是经典的1 和0 关系，但是现实世界中的信息往往是模糊的，不确定的， 即概念内涵与外延的关系是不确定的模糊关系例如：“年轻人消费水平高”，这里的年 轻人作为对象是一个模糊集；消费水平高作为属性只能用隶属程度来描述，这样便产生 了描述对象与属性之间隶属程度的模糊形式背景，如模糊值、实数值、区间值等类型 的模糊形式背景对这些类型概念格的研究更加符合实际需要，具有重要的理论意义和 应用价值近年来，一些学者对基于模糊值，实数值，区间值类型的形式概念分析进行 了一些推广研究，b u r u s c o 等人最早从模糊逻辑的观点把f c a 的模型推广到了模糊形式 背景上去【1 8 , 1 9 他们定义了基于t 模或蕴含算子的求导算子，通过计算求导算子的固定点 集可以得到模糊概念然而，这个求导算子不能构成伽罗瓦联络，经典形式概念的一些 基本性质不再成立b e l o h l a v k 基于隐含算子提出了由蕴含算子生成的l - 伽罗瓦联络， 并建立了模糊概念格，经典概念格的几乎所有的性质在这种意义下都成立，进而研究了 模糊形式背景的模糊概念【1 2 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 ；更进一步地，g e o r g e s e u 和p o p e s c u 对模糊形式背 景讨论了更一般的方法【1 3 捌 1 2 本文研究内容与安排 本文在单个形式背景概念的生成，概念格建造方法，属性约简与分类理论的基础上 第一章绪论 研究了多经典形式背景横向合并前后属性特征，约简之间的关系利用b e l o h l a v e k 等提 出从隐含算子角度研究l 模糊概念格理论的基础上研究多模糊形式背景横向合并前后 模糊概念之间的关系 本文共分三章，各章具体内容安排如下： 第一章概述了概念格理论的研究现状，介绍了相关研究工作；给出了与本文相关的 基本内容，阐述了本文的主要工作及内容安排 第二章基于单个经典形式背景概念生成，概念格的建造方法，属性约简与分类理论 研究了多经典形式背景横向合并前后属性特征的关系，并在此基础上给出了通过判定属 性特征来求横向合并经典形式背景属性约简的方法 第三章利用b e l o h l a v e k 等提出从隐含算子角度研究l 模糊概念格理论的基础上研 究多模糊形式背景横向合并前后模糊概念之间的关系，研究得到了由子模糊形式背景的 概念生成横向合并模糊形式背景概念，由横向合并模糊形式背景的概念生成子模糊形式 背景概念的方法 4 西北大学硕士毕业论文 第二章经典形式背景横向合并的属性特征与约简 本章研究经典形式背景的横向合并形式背景的属性特征与子形式背景的属性特征 之间的关系，并在此基础上给出了通过判定属性特征来求横向合并形式背景属性约简的 方法 2 1 经典概念格简介 定义2 1 1b i 称( g ，m ，d 为一个形式背景，其中g = 五9 o9 为对象集，每个 x i ( i 显然是b 上的等价关系 定理2 1 2 即设( g ，m ，) 是形式背景，c 和s 分别表示形式背景的核心属性和相对 必要属性集2 墨，是，& ) v d c m ，则 d 是( g ，m ，) 的属性约简集d = c u a ，口：，口。 ( 口，墨，f g ) 2 2 经典形式背景横向合并前后属性特征之间的关系 定义2 2 1 ( g ，m ，) ，( g ，m 。，1 ) 和( g ，m 2 ，厶) 都是形式背景，若满足m = m ，u 鸩， i = u 厶，则( g ，m ，) 称为形式背景( g ，m 。，厶) 和( g ，m 2 ，厶) 的横向合并形式背景 ( g ，m 。，) 和( g ，m ：，厶) 称为( g ，m ，) 的子形式背景 本节讨论在a m 。n m 2 及口m 1 一鸩两种情况下，横向合并前后口的属性类型的变 化情况，并且给出了取得每种属性特征的充分必要条件为进一步研究横向合并形式背 景的属性约简打下坚实的理论基础 记( g ，m i ，) 中的“ 运算为“”，晓= g i g m g z ) a 6 记( g ，m 2 ，厶) 中的“妒运算为“口”，= 堙l g 鸩g 。3 a n ) 记( g ，m ，) 中的“宰运算仍为“ ，瓯= 堙ige m g + 3 口) 引理2 2 1 设( g ，m ，) 是形式背景，v a m ，则( a ”一如 ) 2 a 证明：口。= 竹ih e m ，h 2 口 = 1 1 1 ，红，) ( 乃m 且乃2 口，j = l ，2 ，所) ( 口”一 扣”= 伽ih em ，h + 2a * r h 口 = 向，绣，吃 ( 玩m 且魄口+ ，魂a , k = 1 ，刀) 即有 耳三日+ ，绣2 口+ ，巧2 口，巧2 口所以0 ”一缸) ) = ( 扛u 吃u u 吃) = 群n h ；n n g2 a 特别地，当口在形式背景( g ，m ，) 中是核心属性时有( a ”一扣) ) 3a + 7 第二章经典形式背景横向合并的属性特征与约简 引理2 2 2 设( g ，m ，d 是形式背景，v a m ，记q = 位lg m ，g + e da + 则 q ( a 。一斜) + 。 证明：记g 4 = 9 1 ，岛) ( 劭m 联3 口+ ，i = 1 , - - 一，) 所以g l3 口，或3 口， ，g i z ) a 。，g ；3 口口”= | li 五m ，h 口+ ) = 扛，呜，吒) ( 嘭m 且吩。2 口+ ，后= l ，肌) 所以碍2 a 。，绣d a ，巧2 口，吃d a ( 口。一 口) ) = h l h m ， h 2d 且五d ) = 啊，吃，吃) ( 魂m 且魂2 口，噍a , k 一 1 99 ，1 ) 薪n g ；n n 西= ( & u g ：u u 岛) = g ：巧n 绣n n 磁= ( 7 l lu 吃u u 吃) + = ( 口。一 口) ) ( 扛u 吃u u 吃) 2 ( 蜀ug ：u u ) ( g lu g ：u u g ，) + 2 ( 囊u u u 吃) 即证g ：20 ”- l a d 特别地，当口在( g ，m ，) 中是核心属性或绝对不必要属性时有q = ( 口”一和) ) + 引理2 2 3 设( g ，m ，d 是形式背景，v a m ，则q2 以 证明：由引理1 和引理2 易证 定理2 2 1v a m ln 鸩，若口在( g ，m ，) 中是核心属性，在( g ，m 2 ，：) 中也是核 心属性，则当晓n 口a 4 时，口在( g ，m ，) 中是核心属性否则口在( g ，m ，) 中是绝 对不必要属性 证明：由a m lf i 9 2 知：a = 口= 口。，a ”= ( 口) = ( 口+ ) 6u ( a + ) 。= a “u a ，0 。一 口) ) + = ( a “u a 叩一 口) ) = ( ( 口“一 乜) ) u ( 口一 口) ) ) + = ( 口“一 口 ) 4c l ( a 田一 口) ) 。又因，a 在 ( g ，m ，厶) ，( g ，m ：，：) 中都是核心属性由引理2 可知：q 4 = ( 口“一 口) ) 4 ， q 凸= 0 叩一 口 ) 口所以0 ”一 口) ) = 似“一 口 ) 4c l ( a 。一缸) ) 。= q 6n 晓。a 即证a 在( g ，m ，) 中是核心属性否则，有( 口”一伽) ) = ( 口“一如) ) 6n ( a 一缸 ) 口= q nq 。= 口+ = n 。= 口6n a 口- - a 。所以口在( g ，m ，) 中是绝对不必要属性 定理2 2 2v a m 。e l m ：，若口在( g ，m 。，厶) 中是核心属性，在( g ，m ：，1 2 ) 中是相对 必要属性，则当瓯4n 。a 时，口在( g ，m ，) 中是相对必要属性。否则口在( g ，m ，) 中 是绝对不必要属性 西北大学硕士毕业论文 证明：由a m 。r i m ：易知： ( 口”一 口 ) = ( 口6 u a 一 口) ) = ( ( 口6 一 口 ) u ( 口。一 口) ) ) = ( 口“一和) ) 6n ( a 一 口) ) 。 又因 口在( g ，m 。，厶) 中是核心属性，由引理1 有 ( 口“一和) ) 43n = a 口在( g ，m ：，j ：) 中是相对必要属性有( 口由一 以) ) 。= 口4 = a 所以 0 ”一 口) ) = a = q 6n q 。a 4 = a 所以a 在( g ，m ，) 中是相对必要属性否则 o a = g 0 4n 。= 口4 = 口a t 在( g ，m ，) 中是绝对不必要属性 定理2 2 3v a m 。n m 2 ，若a 在( g ，m 。，1 ) 中是核心属性，在( g ，m 2 ，j 2 ) 中是绝对 不必要属性，贝, l j a 在( g ，m ，i ) 中是绝对不必要属性 证明：因为a 在( g ，m ，厶) 中是核心属性( 口“一 口) ) 4da 4 ，6d a 6 ，a 在 ( g ，m ：，厶) 中是绝对不必要属性 。一和 ) 。 - a 口且q 。- - - a 口所以， ( a ”一 a ) ) = ( 口“u a 田一 口 ) + = ( ( 口“一 口) ) u ( 口。一 口) ) ) = ( 口“一 口) ) 6 n ( 口。一 口) ) 。= 以+ 即a 在( g ，m ，d 中是不必要属性 下面再证q = a 由于= ( 晓u 瓯) = g 0 4n 。= 晓6n a 口= g a 6n a ，而由引理3 知，a = 口6 量q 6 所以q = a + 定理2 2 4v a m ln m ：，若a 在( g ，m 。，) 中是相对必要属性，在( g ，m ：，1 2 ) 中也 是相对必要属性，则当c a 6n 。a 时，口在( g ，m ，) 中是相对必要属性否则a 在 ( g ，m ，) 中是绝对不必要属性 证明：易知( 口”一 口) ) + = ( 口“一 口) ) 6n ( a 一和) ) 。- - - a 6n a 。- a g 二= 晓6n 晓。a 4 即ae ( g ，m ，) 中是相对必要属性否则g 二= q 6n 。= 口6 = a ，所以口在( g ，m ，) 中 是绝对不必要属性 定理2 2 5v a m 1a m ：，若a 在( g ，m 。，厶) 中是不必要属性，在( g ，m ：，2 ) 中是绝 对不必要属性，则a 在( g ，m ，) 中是绝对不必要属性 证明：显然有( a ”一p ) ) = ( a “一和 ) 6n ( a 。一徊) ) 。= a 6n a 。= a 且 第二章经典形式背景横向合并的属性特征与约简 = q 4nq 。= a 4 = n + f f fp aae ( g ，m ，) 中是绝对不必要属性 定理2 2 6v a m ，一m z ，口在( g ，m 。，厶) 中是相对必要属性，则当q 4n q 口口 时，口在( g ，m ，d 中是相对必要属性否则a 在( g ，m ，i ) 中是绝对不必要属性 证明：由a m l 一鸠可知，a + = 口4 a ”= ( 口6 ) = ( 口) 6u ( a 6 ) 。= 口“u a 加，( 口。一) = “口“- a ) u a 4 ) + = 似“一如 ) 6 n a 一a 在( g ，肘。，厶) 中是绝对不必要属性 ( a “一 口) ) 6 = a 且q 6 a ，又因a 一a 4 ，所以( a ”一) = a 6n a 一= a 4 = a 晓= 晓6n 。a 4 = a + 所以a 在( g ，m ，) 中是相对必要属性否则 嘭= q 6n 瓯。= 口= 口口在( g ，m ，j ) 中是绝对不必要属性 定理2 2 7vaem 。- m ：，口在( g ，m ，) 中是绝对不必要属性，na 在( g ，m ，d 中 是绝对不必要属性 证明：由a m 。一心易知，0 ”一如 ) + = ( ( 口“一缸) ) u 口4 ) = ( 口“一缸) ) 6n a 一 口在 ( g ，m 。，厶) 中是绝对不必要属性营( 口“一 口 ) 6 = 口6 且q 6 = 口6 ，而口堋2a 6 ，所以 ( a ”一缸) ) = 口6n 口棚= a 6 = a 即口在( g ，必，d 中是不必要属性 下面只需证q = 口= ( qu ) = o 0 6n 。= 口6n o ；。= 口no ；。， 而由引理3 知，。_ d a 口= a + 综上= t 虽口证a e ( g ，m ，) 中是绝对不必要属性 定理2 2 8v a m m z ，口在( g ，m ，) 中是核心属性，当q 6n 口衄ca 时，a 在( g ，m ，) 中是核心属性再若q 6n q 。口时，ae ( g ，m ，) 中是相对必要属性否则 a 在( g ，m ，1 ) 中是绝对不必要属性 证明： 由a 在( g ，m 。，。) 中是核心属性，有( 口“一缸) ) 4 = o o ( n ”一如) ) = ( a “一 口) ) 4n 口衄= q 6n a 皿a 6 = a 即a 在( g ，m ，1 ) 中是核心属性否则， 0 ”一徊 ) = 口，且= o 0 4n o a 口a 4 = 口即ae ( g ，m ，j ) 中是相对必要属性否则，d 在( g ，m ，1 ) 中是绝对不必要属性 1 0 两北大学硕士毕业论文 2 3 经典形式背景横向合并的属性约简 基于定理2 1 2 ，要求形式背景( g ，m ，i ) 的属性约简集，只需找出它的核心属性集c 和相对必要属性集s ，然后按定理2 1 2 中的方法直接得到形式背景( g ，m ，i ) 的属性约 简集其任务主要在于求核心属性集c 和相对必要属性集s 又由以上横向合并形式背 景( g ，m ，i ) 与其子形式背景( g ，m 。，i i ) 和( g ，m ：，i ：) 属性特征之间的关系，可以通过对 ( g ，m 。，1 1 ) 和( g ，m ：，i ：) 中满足条件的属性进行判定来求( g ，m ，i ) 中的核心属性c 和相 对必要属性s 再按定理2 1 2 中的方法直接得到形式背景( g ，m ，) 的属性约简集 为了描述方便，记( g ，m 。，厶) 的核心属性集和相对必要属性集分别为c 1 ，墨， ( g ，m ：，i ：) 的核心属性和相对必要属性分别为g ，是，k = m 1a m ：具体步骤如下： 1 先求核心属性集c v a l c , n c 2 ，若g f a l 4no 口o a ，na l c v a 2 q k ，若g 二，6n a 2 一口2 6 ，na 2 c v a 3 q - k ，若g 2 。n a 3 。4 6 口3 。，贝, ua 3 c 2 再求相对必要属性s v a 。qn 足n k ，若吒。n 吒6 口。，则口。s v a 5 c 2n s , n k ，若嚷。ng a 5 以5 。，na 5 s v a 。墨n 足，若g ；6 。n 瓯6 口6 6 ，na 。s v a ，墨一k ，若吒。n 吒a 7 ，na ，as v a 。是一k ，若嚷。n 嚷6ca 。，则口。s v a ，c l k ，若瓯。n 瓯6 口，4 吒4n a ，一= a 9 4 ，则c 1 9 s v a l 。c 2 一k ，若吒。n a l 。口4 4 ：g ：a l o 口g q 。an a l 。= q 。口，则q 。s 例2 1 形式背景( g ，m ，厶) 的约简为( 口，b ，c ，d ) 和( 6 ，c ，d ，p ) ，q = ( 6 ，c ，d ) ，墨= ( 口，力形 式背景( g ，m ：，i ：) 的约简为( d ，e ，f ，g ) ，c 2 = ( d ，p ，厂，g ) ，是= a k = ( d ，e ) 1 1 第二章经典形式背景横向合并的属性特征与约简 表2 - 1 例2 1 形式背景( g ，m l ，)表2 2 例2 1 形式背景( g ，m 2 ，1 2 ) 表2 - 3 例1 形式背景( g ，m ，) 按照上述步骤： 1 求( g ，m ，) 的核心属性集c d gnq ，嘭6n 嘭。= “，x 2 ，为 d 6 = 识，毛) ，则d c ( 萤 b c l k ，瓯6n b 6 = g b 4 = “，x 2 ，恐，毛 ，则b c c c l k ，q 6n c 6 = a c 4 = ，恐，毛，_ ，则ce c f e c 2 一k ，嘭。n f = 厂口= 瓴，屯，屯) ，则f ec 再者q 4n 嘭a = 五，恐，而) = 厂口 则萑s g q - k ，nn g “6 = g cg 。= 瓴，x 4 ，毛) ，则gec 则c = 6 ，c ，d ，g 1 2 西北大学硕士毕业论文 2 求( g ，m ，) 的相对必要属性集s e e k n c 2 n 墨，晓4 n 口= o e o = 瓴，_ ， e e s a 墨- k ，q 6n 。= 囝a = 瓴，x 4 ， a 6s s = 缸，p ) 直接可得形式背景( g ，m ，) 的约简为 6 ，c ，d ，g ，e ， a , b ，c ，d ，g ) 第二章经典形式背景横向合并的属性特征与约简 第三章模糊形式背景横向合并的概念生成 本章基于b e l o h l a v e k 等1 1 7 i 提出从隐含算子角度研究模糊概念格理论的基础上研究 多模糊形式背景横向合并前后模糊概念之间的关系，得到了由子模糊形式背景的概念生 成横向合并模糊形式背景概念，由横向合并模糊形式背景的概念生成子模糊形式背景概 念的方法 3 1 模糊概念格理论简介 定义3 1 i t 9 1 设( l ，a ，v ，0 ，1 ) 是一个带有逆序对合的有界格0 和1 分别是最小元 和最大元，如果映射- - ：l x l 专l 对任意的x ，y ，z l ；满足下列条件： ( 1 ) x 一( y z ) = y - - o 专z ) ( 2 ) x 专x = 1 ( 3 ) x 专y = y 专x ( 4 ) x 专j ，= y x = 1 贝0 x = y ( 5 ) o y ) _ y = ( y 专曲_ x ( 6 ) ( x v y ) 专z = o 专z ) a ( y 专z ) ( 7 ) o a y ) 一z = o 专z ) v ( y _ z ) 则称( l ，a ，v ，一，0 ，1 ) 为格蕴涵代数 若按标准方式在格蕴涵代数l 上定义偏序，x y x v y = y 则易证x y 当且 仅当x 专少= 1 设l 是格蕴涵代数，对任意毛y ，z l ，令x p y = ( x 寸j ，) 则有： ( 1 ) ( 厶p ，i ) 是以i 为单位元的交换半群 ( 2 ) 若x y 贝0 x o z y 圆z ( 3 ) x p y z 当且仅当x y j z 1 4 西北大学硕士毕业论文 _ l l i - _ _ _ - - l - - l - _ - i _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 一一_ ( 4 ) 工o ( 工y ) y ( 5 ) y x ( x y ) ； x y 争( x p y ) ( 6 ) 工p y x y ( 7 ) o v z ) o ( y v z ) z v ( x o y ) ( 8 ) x y x 圆z y o z j z 专x z 哼y ( 9 ) x y j x 专z y 寸z 定义3 1 2 1 2 1 完备剩余格是一个代数系统( 厶a ，v ，o ，岭，0 1 ) ，满足： ( 1 ) ( 厶a ，v ，0 ，1 ) 是具有最大元1 和最小元0 的格 ( 2 ) ( 厶o ，1 ) 是具有交换律，结合律和单位元的幺半群 ( 3 ) 对所有a ，b ，c l ，a b j c 当且仅当口 6 c 命题3 1 1r l o i 完备剩余格具有如下性质： ( 1 ) a = 1 一a ( 2 ) 口( 口争6 ) 专6 ( 3 ) a 固( a - - - b ) l ，彳( d 可以解释 为“x 属于么的真值程度”用表示g 上的所有一集，对呱，五产，五s 五当 且仅当 墨( x ) 置( z ) ( v x g ) 庐上的算子x 和 定义如下： 第三章经典形式背景横向合并的属性特征与约简 ( 五vx o ( x ) = 五( x ) v 置( 石) ，( 五 置) ( z ) = 五( 功 蔓( x ) ，哺，五， 定义3 1 3 。1 0 1 设( 厶a ，v ，0 ，一，0 ，1 ) 是完备剩余格，称( g ，m ，7 ) 为模糊形式背景， 其中g = 五，j c 2 ，) 是非空的有限对象集，m = q ，a 2 ，) 是非空的有限属性集， j 产枷为从g 至：i jm 的三一模糊关系，即7 ：g 圆m - - - l i ( x ，y ) l 可以解释为“对象集中的对象x g 具有属性a m ”的真值精度若上述 l = “，s ：，& ) ，a 庐可以表示为一个n 维向量彳= “，屯，j 。) ，其中 s i = 彳( 葺) el ( i = l ，2 ，1 ) ；同样的b 可以表示为一个m 维向量彳= “，屯， ， 其中s i = b ( a i ) l ( i = 1 ，2 ，班) 定义外延内涵算子个：寸与内涵外延算子山：_ 分别为： a t ( 岔) = 金( g ( z ) 专j ( 工，口”，v a 产 ( 力= 。色( b ( 口) 一7 ( x ，口) ) ，v b 显然，当l = o ，1 ) 时，模糊形式背景( g ，m ，j ) 即为一个经典的形式背景 设( g ，m ，j ) 为模糊形式背景，弘，4 ，彳，屯，色，房，有以下基本性质【l l 】： ( 1 ) 4 4j 彳24 ，e 垦j 群2 硝 ( 2 ) aca t * ，bcb + t ( 3 ) ( 4u4 ) t = 4nz ，( 且u 吃) 上= 科n 硝 ( 4 ) ( 4n 4 ) t2 彳nz ，( en 吃) 2 辟n 霹 ( 5 ) a t = a ”，b 山付= b 上 ( 6 ) acbj ，bca t 定义3 1 4 1 1 0 i 设( g ，m ，7 ) 为模糊形式背景，称( 么，b ) 产为模糊概念，若 a = b ，b 。= a 其中a 称为概念的外延，b 称为概念的内涵 显然，( d 1 4 , a ) ，( 曰上，b ) 都是模糊概念 1 6 西北大学硕士毕业论文 用( g ，m ，7 ) 表示( g ，m ，? ) 的所有模糊概念全体，用l o ( g ，m ，7 ) 表示所有模糊概念 的外延集合，用k ( g ，m ，7 ) 表示所有模糊概念的内涵集合 ： 模糊形式背景( g ，m ，) 的所有概念之间定义偏序关系： ( 4 ，骂) ( 4 ，垦) 4 4 营骂垦， 若( 4 ，骂) 和( 4 ，趁) 都是形式背景( g ，m ，) 的概念，则其有上，下确界v ，a ， ( 4 ，蜀) 人( 4 ，垦) = ( 4n 4 ，( b 。u b d # ) ， ( 1 ) ( 4 ，墨) v ( 4 ，色) = ( ( 4u 4 ) ，er i b d ( 2 ) 也都是模糊概念，则g ，m ，j 的所有概念( g ，m ，7 ) 可形成一个完各格，称为模糊概念格 3 2 子模糊形式背景的概念到横向合并模糊形式背景的概念 本小节通过分析模糊合并背景概念与其子模糊背景的概念之间的关系，得到了由子 模糊背景概念生成模糊合并背景概念的方法 定义3 2 1( g ，m ，? ) ，( g ，m ，j - ) 和( g ，鸩，7 ：) 都是模糊形式背景，若满足 m = m 。u m ：，7 = ，- u 7 ：，则( g ，m ，7 ) 称为模糊形式背景( g ，m ，7 - ) 和( g ，鸩，7 z ) 的横向 合并形式背景( g ，m ，7 - ) 和( g ，鸩，f 2 ) 称为( g ，m ，7 ) 的子形式背景记为 ( g ，m ，7 ) = ( g ，m ，j 卜( g ，鸩，j z ) 为了方便，记模糊形式背景( g ，m ，7 ) ，( g ，m ，7 - ) 和( g ，m ：，7 z ) 的概念格分别为三，厶 和厶；个算子分别为个，个。和个：；上”算子分别为上，山。和上：显然有下面结论： 引理3 2 1 若( g ，m ，) = ( g ，m 。，i i ) + ( g ，m 2 ，1 2 ) ，则有 1 ) v a i l g ，a = a t iu a ：；堆l u l , e = 尽k ；v b 2l u 2 , 岛山= 垦l 2 ) v b l u ，b = b - n 曰l 定理3 2 1v a ，a n a = a 营( 彳，a - u 彳z ) l 证明： a = a t lua t ， ( 彳个lu 么：) 山= ( 4 t 1 ) 上n ( 彳：) 善= a “- na ：l ，所以， 1 7 第三章经典形式背景横向合并的属性特征与约简 ( 彳，彳t lu 彳个z ) l c - - ( 爿，a t lu 彳z ) ，则彳= ( 彳t iu 么z )