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l e v y 过程驱动的随机微分方程 的强解存在唯一性 专g k - 概率论与数理统计 硕士生：陈敏琼 指导教师：任佳刚教授 摘要 y a m a d a w a t a n a b e 关于随机微分方程的强解存在唯一性定理是随 机微分方程理论的一个基本定理，它描述了方程的强解与弱解之间的 相互关系，同时也给出了判断方程存在唯一强解的准则。由于l e v y 过程是包含布朗运动在内的更为广泛的一类过程，它所驱动的随机微 分方程应用性更广泛，因此本文想通过对l e v y 过程的性质分析，主 要是它的特征函数及分解公式的分析，运用投影方法推导出了l e v y 过程驱动的随机微分方程强解存在唯一性定理。 关键词：l e v y 过程随机微分方程弱解强解 e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fs t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd r i v e n b yl e w p r o c e s s e s m a j o r ： n a m e ： p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s c h e nm i n q i o n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rr e nj i a g a n g a b s t r a c t y a m a d a - w a t a n a b e st h e o r e mo i lt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n so fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nd r i v e nb yb r o w nm o t i o n p l a y sa f u n d a m e n t a lr o l ei ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nt h e o r y i t c l a r i f i e st h er e l a t i o nb e t w e e ns t r o n gs o l u t i o na n dw e a ks o l u t i o n ，a n d p r o v i d e sh sw i t ham l et oj u d g ew h e t h e rt h ee q u a t i o nh a sau n i q u es t r o n g s o l u t i o na sw e l l t h i sp a p e rt r i e st og e n e r a l i z ey a m a d a - w a t a n a b e sr e s u l tt os t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd r i v e nb yl e wp r o c e s s ，w h i c hi n c l u d e st h eb r o w n m o t i o na sas p e c i a lc a s e t ot h i sa i m ，w em a k eu s eo ft h ep r o j e c t i o n m e t h o d ，t h el e v y - k h i n t c h i n ef o r m u l aa n dt h el e v y i t od e c o m p o s i t i o n ， a n df i n a l l yo b t a i nar e s u l tc o m p a r a b l et ot h ec l a s s i cy a m a d a - w a t a n a b e k e y w o r d s ：l e v yp r o c e s s s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w e a ks o l u t i o n s t r o n gs o l u t i o n 尘些查主堡主兰笪堡皇 ! ! 型塾墨矍垫盟堕! ! 塑坌查型塑塑堡壹垄堕：壁 引言 4 0 年代末以来兴起的随机微分方程，是数学中的一个非常活跃、引入瞩目 的领域，国际上许多著名的数学家投入这一领域研究并获得了辉煌的成果。通过 这些研究，人们对于自然界无处不在的随机现象和经济金融领域中的无处不在的 风险的本质和统计规律有了深刻的了解。其中著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价模 型就是用布朗运动驱动的随机微分方程来描述股票价格变化规律的。 股票的价格一般都围绕一个期望收益率在一个合理范围内做连续波动，这些 连续波动是由于金融市场中某些条件引起的，比如股票的供求关系、国家利率、 税收政策等，这时定价模型就是布朗运动驱动的随机微分方程。但股票的价格有 时也会受异常变化的影响，比如由一些时刻不确定的突发事件的影响，如突发的 战争，重大政治事件的发生等，这时用l e v y 过程驱动的随机微分方程来定价才 更确切。基于此本文探讨一般l e v y 过程驱动的随机微分方程的强解存在唯一性 问题。 y a m a d a w a t a n a b e 关于随机微分方程的强解存在唯一性定理是随机微分方程 理论的一个基本定理，它阐述了方程的强解与弱解之间的关系，同时也给出了判 断存在唯一强解的准则，关于它的具体证明可参见【2 ，它给出了全部细节的证 明。本文主要是参照【2 】的证明思想来将该定理推广到一般l e v y 过程驱动的情形， 将定义在不同概率空间上的解通过投影方法映到同一空间上来讨论。 本文第一章主要简单介绍y a m a d a - w a t a n a b e 定理内容，第2 章主要介绍l e v y 过程的概念及有关性质，其中重点介绍它的特征函数及l e v y i t o 分解公式，因为 这是下文进行论证的主要工具。第3 章将定理推广到l e v y 过程情形。首先利用 l e v y 1 t o 分解公式说明l e v y 过程驱动的随机微分方程定义的合理性。其次定义 弱解，强解、轨道唯一及存在唯一强解的概念。最后是主要证明过程。 ! ：些丕兰塑主堂焦堡壅 生! 型塾里塑垫盟堕垫垡坌查堡堕塑堡壹垄堕：焦 第1 章y a m a d a w a t a n a b e 定理简介 1 1 有关定义及基本符号 本文始终假设文中所提到的赋流概率空间都满足通常条件。 定义1 1 称r 维连续过程b = 旧( ) ) 吲为定义在( q ，p ，五，t 0 ) 上的r 维 ( 工) 一日r o 叫n 运动，若它是( 五) 适应的，且对v 玎r 及o s t ，有 e e x p ( i ) = e x p ( 一互1 ( 一s ) 1 7 71 2 ) 们 引进有关符号如下： 1 ) 令d 1 ， w 4 ：= c ( 0 ，o o 】斗r 4 ) 定义w 。上距离如下 p ( w l ，w 2 ) ：2 善2 “( f e 【s u 雌p j ) 一w 2 ( f ) i | 1 ) ，w l ，w 2 “ 则( w “，p ) 为完备可分距离空间。 2 ) 记 8 ( 。) = 盯( 刀。it 0 ) ，乃：w d 斗r d ，w _ w ( f ) ，f 0 则廖( 4 ) 为( dp ) 上的b o r e l 一盯代数。 3 ) v t 0 ，记毪( w “) 为由映射 n ：“斗w 4 ，n ( w ) ( s ) ；w ( s 0 ，s 0 ， 生成的廖( 。) 的子盯代数，即 岛( w 一) ：= 肛- 1 ( 联w ，d ) ) = o ( 瓦10 s 亡) 4 ) 令r 1 ，w o = c ( 【o ，叫斗rr ) i ，( o ) = o 类似地可定义嚣( w7 ) 及 琏( w o ) ，t 1 。 定义1 2设r 1 ，记a 4 ，7 = 口：【o ，o o x w 4 斗m ( d xr ，r ) ) 其中m ( d r ，r ) 为 ! 坐查主塑主堂堡鲨塞兰! 型蔓塑墨垫盟堕塑! 燮坌查型堕塑堡查垄堕二丝 d r 阶实数矩阵，函数口满足： ( i ) v i 1 ，d ) ，j l ，) ，晦，：1 0 ，。o x w 4 一r 为召( f o ，叫) o b ( w 。) 可测 ( i i ) v i 1 ，田，j 1 ，r ) 及t 0 ，t x i j ( t ，) 为鼠( “) 可测的 其中 对于随机微分方程 d x i ( t ) = 口i ，j ( t ，x ) d b j ( t ) + f l i ( t ，x ) d t ，扛1 ，d ( 1 _ 1 ) 1 = 1 b ( t ) ，t o 为r 维b r o w n 运_ 动 ( 叫嚣矿，( 铂蜓d 我们给出f 面的定义： 定义1 3 称d 维连续过程x ( o ，t o 为定义在( q ，p ，五，t 0 ) 上方程( 1 - 1 ) 的 一个弱解( 简称解) ，若 ( i ) 存在，一维( 五) 一b r o w n 运动b ( ) ，t o 满足b ( o ) = 0 ，p 日置； ( i i ) x ( t ) ，t 0 为( 五) 适应的； ( i i i ) v i 1 ，d ) ，je 1 ，r ) ，口。( ，z ) ，t o 属于集合 c 2 k = ( 中： o ，】q 斗rm 为嚣( 【o ，m 】) o 厂可测 ( 工) 适应的，且有r 中( s ，- ) 2 d s c o ，p - - a , s ，f o ) ( i v ) v i 1 ，d ) ，屈( f ，) ，f 0 属于集合 c 1 = ： o ，o 。】q 斗r i 西为日( 0 ，】) 厂可测， ( 五) 适应的，且有j ：l 西( s ，) 咖 m ，p 一日，s ，f o ) ( v ) x ，b 满足方程( 1 1 ) p - a 置即 x ，( f ) 一x ，( o ) = 杰j ：q ，( s ，x ) d b 弘) + j = 。( s ，x ) d s ， j = l i = 1 ，d ，p 一盘s v t 0 注：一般称二元组( x ，b ) 为方程( 1 - 1 ) 的解。 ! 些丕堂塑主堂焦堡皇 生! ! 塾塑望垫塑堕垫垡坌复壁鲤塑坚查垄堕二丝 定义1 4 设( x ，b ) 为方程( 1 - 1 ) 的一个解，称它为方程的强解当且仅当存在映 射f ：r 4 啄斗w 4 ，使得 x = f ( z ( 0 ) ，b ) p 一日息 定义1 5 设( z ，b ) ，( ，b ) 为定义在通常空间( r 2 ，p ，z ，f 0 ) 上方程( 1 - 1 ) 的 两个解，b 为其上的r 维( 正) 一b r o w n 运动。若由x ( o ) = x ( o ) 可推出x 与x 无区别即p ( x ( t ) = x ( f ) ，v t 0 ) = l ，则称方程( 1 - 1 ) 的解具有轨道唯一性。 定义1 6 称映射：r 4 吩斗。属于占类，若对于r 。空间上的任一概率测度 都存在映射o 。：r “町斗w “满足： ( i )，为万耳巧丽”。，b ( w 一) 可测的 ( i i ) 一a 8 ， 协r 4 有巾( x ，) = 巾。( x ，) ，p ”一。点( p ”为维纳测度) 定义1 7 称方程( 1 1 ) 存在唯一强解，若存在映射f s 满足 ( i ) e q = r 4 上任一概率测度，n v t 0 ，e ：附斗矽“为 币啄面同剐7 局( 矿一) 可测 ( i i ) 对于概率空间( q ，厂，p ，z ，t 0 ) 上的，维( 五) 一维b r o w n 运动b 及取值于 r 4 上的五可测随机变量r ，过程z ：= f ( r ，b ) 为方程( 1 1 ) 的解，且 x ( o ) = 玎，p a 矗 ( i i i ) 方程( 卜1 ) 的任一解z 都满足x = f ( x ( o ) ，b ) ，p a s 1 2 y a m a d a w a t a n a b e 定理表述 定理1 1 ：令口a 4 ”，a 4 ”，方程( 卜1 ) 存在唯一强解当且仅当以下条件 成立： 主坐丕兰塑主芏焦堡塞 兰! 型堇坚墅垫煦堕盟燮坌塑塑塑塑堡查垄堕二丝 ( 1 ) 对于( r db ( r 4 ) ) 空间上任一概率测度，方程( 卜1 ) 存在以为初始分布 的解肖，即p 。x ( o ) = 。 ( 2 ) 方程( 卜1 ) 的解具有轨道唯一性。 ! 坐盔堂堡主竺堡堡塞 ! 型! 堇壁塑垫塑堕! ! 塑坌立型盟塑坚查垄堕：二焦 第2 章l e v y 过程简介 2 。1 l e v y 过程定义及性质 定义2 1 称= ( l ：。为定义在( q ，p ) 上的r 维l e v y 过程，若 1 ) 0 _ t o t 2 0 , 1 i r a p ( 1 点一善p s ) = 0 ，即f 为随机连续的 4 ) ( 点( ) ) 。的轨道属于集合 d = 厂= ( z ) 。，= ( z 1 ，z 2 ，z 7 ) l f = ( ，。) 。，i = 1 ，2 ，为右连续，左极限 存在的函数1 概括来说l e v y 过程即具有独立平稳增量、轨道右连左极的随机连续过程。 注 b r o w n 运动跟p o s s i o n 过程为最典型的l e v y 过程。 定理2 1 ( l e v y - k h i n t c h i n e ，见【5 】) ：设f = ( 点x ：。为r 维l e v y 过程，当且仅当 v t 0 ，置的特征函数有如下形式： 仍( ”) = e x p i ) = e x p i 一 轨d ，+ ，( e “ 一l f 玑夕，矗堆- ( 痧) ) = e x p 砸 一： 仉d _ ，+ 胁”+ ，y ，曲v ( 圳 v n r 其中 表示r 空间中的内积 c f = f c ，口= t d ，u ( 咖) = t v ( a y ) ，c 胄，d 为r r 阶正定矩阵 v 为定义在r 上的非负测度满足；v ( o ) ) = o ，及t ，( i y l 2 1 ) v ( 咖) o 。， 主! l ! 点堂堡主堂壁丝塞! ! 型丝矍塑塾盟堕墨堂坌立堡鲤塑堡童垄堕：壁 称v = v ( a y ) 为l e v y 测度且称此l e v y 过程由三元组( c ，d ，v ) 参数确定。 定理2 2 ( l e v y 一肋公式，见【5 1 ) 设r 维l e v y 过程f 由三元组( c ，d ，y ) 参数确定， 则f 有如下分解形式： ? = c t + d b l + j t + m t v t 2 0 其中 b ( t ) ，0 为r 维口r d 叫n 运动 = 战l ) ，m ，= 鲥圳i 邶) j 口 j 容易看出，r 0 为简单增过程，且可证明 m ，t o 为鞅，参数c ，d ，v 分别确 定如下： c t = e 。 d t 为春分解中西o ”n 运动部分的方差 v t 为毒分解中跳部分的频率及大小 2 2 l e v y 过程的例子 例2 1 ：对于一维口r 0 运动 e ，o ) 满足旦一( o ，d 2 t ) 有 c f = 0 ，口= 口2 t ，u = 0 ， 将其代入l e v y k h i n t c h i n e 公式得： 够( 刁) ：e x p - l o - 2 f 2 _ 2 ) 倒2 2 ：参数为旯的p o s s i o r t 过程( p ，r o ) 满足： 以- 0 ，邶卅= 掣小o l ， 对于此情形，我们有 c = m ( = e 只) ，d ，= 0 山盔堂堡主堂丝丝塞! ! 型堕矍墅塑塑堕垫堂坌直望盐塑塑查垄壁：丝 及 嵋( 奶= 2 t l l lj c d y ) 因为l e v y 测度集中在一点y = 1 处 将各参数代l e v y k h i n t c h i n e 公式得： 竹( _ ) = e x p i ”( a t ) + i r ( e 4 y - 1 一i r l y l ( h 1 ) ) u ( 妙) = e 印仰( m ) + o ”一i i 口y z , 州】) 2 t f l ( 咖) ) = e x p 2 t ( e ”- 1 ) 1 9 ! 些查堂堕主芏焦笙奎 ! ! 型垫矍型塾堕堕垫塑坌立堡笪塑坚壹壅堕二壁 第3 章y a m a d a w a t a n a b e 定理的推广 3 1 基本概念及定理 定义3 1 称一随机过程为右连左极过程，若它的一切样本函数( 即轨道) 右连 续且存在有限左极限。 定义3 2 称，维随机连续的右连左极过程f = 偕 l 印川为r 维( 巧) 一l e v y 过程， 若它是( z ) 适应的，且存在c e 掣，r r 阶实数正定矩阵d ，及r 7 上满足 l o y 2 i ) v ( 咖) 。，y ( ( o ”= o 的非负测度p ，使得对v 口r 7 及o s ) v ( 咖) 】) 引理3 1 令善= g ( 力) 州为r 维( 五) 一三s 叫过程，则它必为r 维三e 叫过程。 证： e e x p ( i ) i 正】 = e x p f 。一5 ) 一了1 + ，( e q 扣一l 一， ；”妒( 砂) 】 = e e x p f ( f s ) 【 一 + l ( b 哪p l f i 川鲫) p ( 砂) 】) 】 = e e e x p ( i ) l z 】 = e e x p ( i ) = e x p i ( f s ) f 一i 1 + e 口 r - 1 - i 如m ) ( ) 】 从而可知幺。一矢! 量一彘，且由单调类定理知 v ，e 岛( r ，) ，f f ，( 点一戋) f 只l = e ，( 袅一点) 】 从而有 曩氧一氙s 4 ，氧一氧。s4 l j = 兀p c 一氙，e4 ) ，v 4 ，4 。e 日( 兄巧， 因为当n = 1 时显然成立，假设上等式对n 一1 成立，则对n 有 ! 些堕兰堡主兰篁堡! l ! ! 型蕉垂壁垫塑堕! ! 堂坌直理盟堡竖童垄堕二壁 p ( 皇量。a 1 ，茧。一点。a 。) = f 兀1 矗，j = b i b 兀1 嗡屯叫】f 气一】 1 2j = e 【( 兀1 。吼 ) 矾”6 。“ 恢一， 1 = e i ( n 1 。一屯一。 1 ) e 【1 f 。一f 。一，；。 】 2 尸( 民一氢e ，点。一- 4 。4 。) p ( 炙一点。e4 。) = 兀p ( 点。一文一ea 。) p ( 点。一点。) = 丌尸( 茧。一彘一，e a ) 1 0 1 即氧，氧一气，彘一炙，相互独立，从而f = ( f ( ) ) 。印，) 为r 维l e 叫过程。 结论3 1 任一r 维工e 哪过程f = ( f ( z ) ) 州为r 维( 五) 一l 8 叼过程，若 五2 旦a ( 引。s t + s ) ) 命题3 1 设p 与p 为完备可分空间( q ，a ) 上的两个概率铡度，满足 p o p ( g ) = 1 ，其中g = f ( q 蚶) t ) q ，则存在5 q ，使得p = p k 瓯。 即乘积测度若集中在“对角线”上，则必然集中于某个单点。 定义3 3 设( q ，p ) 为一概率空间，口为厂的子口一代数，定义在n ，上的 二元函数p ( w ，4 ) 称为p 关于蛋的正则条件概率，若它是从( q ，g ) 到( q ，) 的核 即满足： ( 1 ) v w q ，p ( w ，) 为( n ，f ) 上的概率测度 ( 2 ) v a ，p ( ，4 ) q - - r 为蛋可钡蚴 ( 3 ) v 4 ，b g ，j d ( 4 n 励= p ( ) p ( 删 命题3 , 2 若( q ，p ) 为完备可分距离空间，9 为，的子口一代数，则必存在p ! 生查堂塑主堂丝堡塞生! 望塑墨塑盟堕垫壁坌立堡盟塑坚查垄堕二丝 关于9 的正则条件概率。 定义3 4 设( q ，) 为可测空间，称，为可数确定的，若存在一可数子集五cf 使得空间上任意两个概率测度尸与p ，p ( a ) = p ( 4 ) ，v a 五jp = p 。 命题3 3 设( q ，8 ( q ) ，p ) 为完备可分概率空间9 为8 ( q ) 的子口一代数，p 为p 关于g 的正则条件概率，( s ，日) 为可数确定的可测空间，满足扛) 日，v x s ，若 玎：q 斗s 为g b 可测，则p ( w ，仰= 叩( w ) ) ) = 1 ，尸一o e w q 。 现引进如下符号： 1 ) 设r 1 ，记 3 , 4 ：= ，： o ，叫_ 彤i ，( o ) = 0 ，且，在每点右连续并存在有限左极限) 则 m ；c d ( r 7 ) ：= ，： o ，叫_ r i ，为c a d l a g 函数) 设j 为m ；的s k o r o k h o d 距离，则( m ；，j ) 为完备可分距离空间- 2 1 记 鼠( 蝣) ：= 仃( 以l0 ss t ) ，( = w ( f ) ，v w “ 8 q 坼) ：= v 。艿! ( 螺) 则日( 虻) 为( 嘣，j ) 上的b o r e l 一口代数。 3 ) 由于4 c ( 0 ，叫_ r 4 ) 为特殊的c n 珊叼函数空间，故以上定义对。空问同 样适用，即可类似定义嚣( 。) 及琏( 。) 。 注：c a d l a g 空问且y _ e s k o r o k h o d 距离构造过程如下 定义a = = 研五： o ，o o ) 也，2 ( o ) = 0 ，五为严格单调增函数且丑( t ) ，t 争o 。 2v n n ，定义函数蜓如下 ! 些盔堂堡主堂堡堡苎 望型堇塑矍垫塑堕垫堂坌互堡鲍塑堡查垄堕二丝 e c 。；f i + - 一t 誊三。+ ， 圳l ：= s 。p l o g 幽i + 点t ( 卢) ：2 嫩( + - - | j q h i ( 疋口。 ) 一致卢 占( a ，) ：= 2 ”( 1n 点( 口，卢) ) 设 为 中子列，拉 ，称k 。 收敛于a 当且仅当存在a 中子副 a 。) 满足 ( i ) s u p l 九( s ) 一5 卜0 ，n _ c 。 ( i i ) s u p i q 。 0 ) 一口( s ) l - 0 ，n - 0 。，v s n s e s 则( 螺，为完备可分距离空问，证明详见【4 】a 考虑三e 坩过程点o 0 ) 驱动的随机微分方程 d 五( t ) = 呸，( t ，x ) d ( t ) + 屈( t ，x ) d t ，i = 1 ，d ( 3 1 ) 其中 ( q ，) ；d 4 7 ，( 屈) 。d a 1 f ( 1 ) ，t 0 为r 维l e v y 过程，由( c ，d ，v ) 参数确定，即v f 0 ，f ( ) 的特征 函数有如下形式： 吼( 口) = e x p i ) = e x p 一i 1 ”，即+ l ( p q ”- 】- f ) v ( 棚 v r r 立坐立兰型堕曼笙堕受二一 生! 型堕型墅弛塑堕垫塑坌复竖塑塑塑查垄i 堡二挂 同样我们给出以下定义： 定义3 5 称d 维连续过程x ( ) ，t o 为定义在( q ，p ，正，f o ) 上方程( 3 1 ) 的 一个弱解( 简称解) ，若 ( i ) 存在r 一维( 五) 一l e 叫过程喜( t ) ，t o 满足f ( o ) = 0 ，p 一“； ( i i ) x ( f ) ，t 0 为( 五) 适应的： ( i i i ) v 2 l ，d ) ，j l ，r ) ，q ，( ，z ) ，0 属于以下集合： 2 船= 中： 0 ，。】x q 斗r i 西为廖( f o ，0 。】) o ，可测， ( 五) 适应的，且有r 巾( ”) 2 如 m ，p d ，s ， o ) ( i v ) v i 1 ，d ) ，屈( ，) ，0 属于以下集合： c 1 ，坩= m ：【0 ， q r l 巾为b ( 0 ，】) 0 厂可钡4 ( 五) 适应的，且有r j m ( s ，) b 一l f ( 卵，y 饥，) ) y ( ) 即要证 e e e x p ( i ) i 五1 】 = 耳b x p ( i ) 】 = e ， e x p ( i ) 1 即要证兀：( 一n 文s ) 与五1 独立a s t e p l 、兀，( t ) 一兀：o ) 与琏( 。) o 晟( 螈) v 独立。 因为 酸( 。) = 口( 以l0 s ) 5 生坐丕堂堕主堂笪堡塞 ! 型堇墨塑垫堕堕型! 堂坌直矍鲍塑坚查垄堕二壁 所以有 琏( ) 0 强( g ) = 盯( a l ，一，凡6 10 气 t 岛4 8 ( 。) ，1 i n ，v n ) ) o 盯( ( 完 且，务b k0 3 1 - & s ，ee 层( r 7 ) ，1 i 七，v k ) ) = 口( 岛岛) ( 务m = ri 埘) 由于q 、岛关于交封闭，所以根据独立性的定义只需证v ee t ，i = 1 ，2 及 a s ( r 7 1 有 p ( 兀。( ) 一兀：( s ) e a ) n c ，c 2 ) = p ( n 。( ) 一兀：( s ) 4 ) p ( e ，g ) 而 p ( 兀。( ) 一兀。( s ) a n c 。g ) = p ( f ( ) 一手( s ) e 爿) n ( 置q ) ( 点e q ) ) = p 。( f ( ) 一手( s ) e 爿) ) p ( 置e c l ) x 茧q ) ) = p ( ( 兀。( t ) 一兀。( s ) a p ( c l q ) 因此兀。( t ) 一兀：( 5 ) 与鼠( w 。) o e ( ) 独立，从而与鼠( w “) o 最( m j ) v 独立。 s l e p 2 、n 。( ) 一n 。( s ) 与五：= n e ( 。) o 琶( 嘣) v 独立。 令 h ：= f ：月_ rj ，有界且满足 e p 【，( 兀：( f ) 一兀。( s ) ) 1 。】= e ，【，( n ：( ) 一兀。( s ) ) 】p ( g ) ，v c f ) 则h 为单调类，且b ，a ：= e ( 置_ r ) 有： e ，【，( n 。( t ) 一：( s ) ) l 。1 21 受b ，( 兀z ( t ) 一兀z o + 去) ) l c 】由，的连续性及兀。的右连续性知 f + i 1 = j 骢乜v ( n 。( t ) 一兀：扣十) ) p ( e ) ( 由s t e p i 己证n 。( f ) 一兀z ( s + 与 n ：“ 只j ( 。) 。鼍+ ! ( 峨) v 独立及c z c 毽+ ! ( 。) 。只+ ! ( 蟛) v 得 = 鹭i f ( 1 。 ) 一n ：( s ) ) 】p 够) 生山丕主壁主堂焦望童坚望望型翌塑盟堕型! 丝坌直堡塑塑鲤查垄堕二壁 即a h ，则强( ) = 盯( 4 ) 。c h ，特别地v 爿b ( r 7 ) ，1 。硝从而有 p 1 ( 兀( t ) 一n 2 ( s ) a l - i c ) = e p 【1 f 一。m l c 】 = 耳+ 1 f 几( 。h l ( ，】e a ll p ( g ) = p ( n ： ) 一兀。0 ) e | 4 ) ) p ( a ) u l j h 。( t ) 一n 。( s ) 与五1 ：= n 最( 。) o 鼠( 蠕) v 独立，从而( 1 ) 得证。 ( 2 ) 因为 吒，( s ，n 1 ) e 龟，v 1 z d ，1 茎j 7 所以存在停时序列k ，ne n ，满足f 。to 。，n 专0 0 ，且有 、n h 】( ) 啦，( ，兀i ) c ，v 1 。d , 1 j r 及 f 哆，( s n ，) d n ：。( s ) = 基器f 1 。o ) q ，o ，n 、) d n ：。o ) 尸l 。置 定义 o - n ：= f 。( x ，毋，r t n 贝l jc r 。为( 五) 停时，旦吒个0 0 。n ，及 b 【f l h 引( s ) q ，( s ，x ) 2 d s 】- e p f l 州( s ) q ，( s ，) 2 如 ) d q = k 。 唧“h ) c 口，c 一；c 玑却， + l ( e “”一1 一i ) ) v ( 咖) 】) 固 而 。 ， e x p o ) d q = p 州1 ( n ：4 l l ( a ( , 4 ) e x p ( i 玑7 t 。n 3 一以。兀3 ) a o = l 。 岫e x p ( i c 口，巧( w 3 ) 一以( 屿) ) 足( 嵋，d w , ) k ( w 3 ，d w , ) p ( 妣) 旦些盔堂堡主堂堕堡! l 一一 圣! 望墼塑型垫堑堕垫堂坌立壹塑塑坚壹查堕二壁 2 l 臣( w 3 ，a o k ( w 3 ，a z ) e x p ( i ) ( 毗) = 1 芷( w 3 ，4 ) 世x w 3 ，4 ) e x p ( j ) 】 2 ， 略 1 k ( w 3 ，4 ) k ( 叱，a ：) e x p ( i ) l 五】 2 一f 1 4 目码，4 ) 丘i 嵋，4 ) e x p f f _ ，_ ( m ) 一以( ) ) i 正】 ( 1 k ( w 3 ，4 ) k 、w 3 ，4 ) 为五可测的) = e 一【l 焉k ( w 3 ，a 1 ) k i 也，a 2 ) e x p i ( t s ) 【 一圭 + l ( 俨9 1 - i - l 7 + l ( 伊”一i f 钟) p ( 们】) 也 即n 3 为( q ，q ，z ，0 ) 上m r 维( 正) 一l e v y 过程，引理3 6 证完。 类似命题3 ，4 的证明过程可证得( n 。，1 7 。) 与( n 。，兀。) 为定义在同概率空间 ( g ，q ，再，兰o ) 上方程( 3 1 ) 的解，且具有相同的初始值兀( o ) = 1 7 ：( o ) = r 。 从而由( 3 1 ) 的解具有轨道唯一性知。= r l 。，印一口 即 1 = g ( r 1 1 = n 2 ) = q ( ，心，w 3w l = ) ) = f k ( 嵋，) o k l w 3 ，) ( w l = w 2 ) ( 毗) 而0 芷( u ，) 0 k i m ，) 1 从而有 世( 叱，) o 世i 心，- ) ( = 雌) = l p 一a s 从而当w 螺固定时，对于概率空间 ( 矽4 x “，8 ( 矽。) 圆b ( 4 ) ，x ( w ，) o j ( xw 概率测度船，- ) o k yw ，) 满足 足( 毗t ) 0 w ，一) ( ( ，h ) f m 缈“) ) = 1 ! 旦竖羔堕堡芏焦堡! l 一 ! 型丝塑塑垫煎堕盟塑坌壹壁塑塑竖安垄堕二丝 由命题3 , 1 知存在w 0 4 使得丘( 叱= k i 嵋= 氏，于是便建立了映射： c ：懈。矿4 ，w + 它与x 有关，若考虑v x r 4 则得到了映射： f ：纸斗矿4 ，( x ，w ) + w 0 使得 弧r “，k ( w ，- ) = k ( w ，r ) = 毋( ) - 一a 8 下证f s ( 此处占如定义1 6 中所述) 即对于月4 空间上的任一概率测度都存在映射兄：胄。a _ 缈“，满足 ( i ) 为石i f 乒碉坤”b ( w 一) 可铡的 ( i i ) u a 8 帆e r 4 ，有f ( x ，) = ( x ，) ，p 一n s 引理3 4 设尸为( 4 肘；，8 ( 8 ) o 嚣( m ；) ) 的概率测度，为( ，舀( 月“) ) 的概 率测度，bc 日( 虻) 为子口代数，则存在从( ；，蓐( ) 圆舀) 到( 。，8 。) ) 的概率核世“ew ) ，a ) ，使得 1 ) v ( x ，w ) r 。x m ；，k ( ( x ，”，_ ) 为( ，日( 6 ) ) 上的概率测度， 2 ) v a e ( w “) ，足( ，爿) ：尺“m ：_ 限1 1 ，( x ，w ) 呻墨( ( x ，w ) ，爿) 为取) 0 8 可 测的。 3 ) v 4 肟( “) ，4e 日有 尸( 爿，。爿z ) 2k ，。石( ( x ，w ) ，4 ) p 。n ：( d w ) ( 曲f ) 证明过程与引理3 2 类似，略， 设为伸。，8 ( r 4 ) ) 上的概率测度，( x ，f ) 、伍，f 。) 分别为定义在概率空间 ( q ，p ，五，o ) 、( q ：，p ，互。，t 0 ) 上方程( 3 - 1 ) 的解，且x 、x 都以z 为 初始分布，即p 。x ( o ) = p 。x 。( o ) 一= 卢。则由引理3 4 知分别存在概率核耳k t 从( 峨，8 ( ) o g ( m ；) ) 到( 4 ，8 ( 。) ) ，使得v eu ( w “) ， 召( m j ) 有 2 5 坐点兰堡主兰丝堡皇兰! 型丝壁矍垫丝堕垫堂坌壹堡堕塑塑立查型 p “x ，孝) a lx 4 ) = l 吼k ( ( w ) ，一) ( 娴芦( 蠢o p “z ，f ，4 4 ) = l 。k i ( x ，川，4 ) ( d ( 出) 定义新的概率空间( 矗尹q 芽，t o ) 如下： 矗：= w “x w 。m ： q ( 4 以) = 0l k ( ( w ) 4 ) k k ( 墨w ) ，4 ) ( d w 她( 出) v a ，如z 3 ( w 。) ， e 嚣( 心：) 于：8 ( 。) o 且( 矽。) 0 b ( ；) 0 。 _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ r 一 聋：= n ( 题( “) z 3 。( w 。) o 照i m ：) v 厂) ，a c 为，的q # n 集- 1 1 。：w “w “蜗寸。，i = 1 ，2 n 3 ：w “w 4x 蟛_ 蝎 n ( n 。，n 。) 与( x ，) 同分布，( 兀。，r i 。) 与僻，f ) 同分布。 因为v 4 苴( 8 ) ，4 联蟛) 有 q ( ( n ，r 1 3 ) 4 a 2 ) = 烈4 矿。a 2 = 。，k ( ( 五w ) ，a ，) k ( ( 墨w ) ，4 ) p ( 州( 出) = ll 足( ( x ，w ) 4 ) ( 咖跏( 出) = | p ( ( x ，f ) 4 鸣) 即 i i ，f i 。) 与伍， ) 同分布，同理可证得( n 。，n 。) 与( x t f ) 同分布。 t i 正( n 。，1 1 。) 与( 。，n 。) 为定义在同一概率空间每，q ，芽，f 0 ) 上方程 ( 3 - 1 ) 的解。 引理3 5 设a 珏( w ) ，则( x ，w ) 斗蜀( ( x ，计，a ) t ( x ，1 _ 石骶z ，w ) ，彳) 都为 可可面霸面j 可测的。 证明参见 2 f j i 理3 6 。 定理3 7n 。为( 磊，尹，q ，芽，f 2 0 ) 上的r 维( 尹。) 一l e 叫过程。 ! 些茎羔塑主堂壁堡塞 垦! 型塾壁登塾盟