（概率论与数理统计专业论文）复指数系统在l2空间中某些问题的研究.pdf

摘要 本文主要讨论了复数列复指数系统在上2 空间中的某些问题。全文分三个部 分：在第一部分中，绘出了复数列复指数系统成为p 一a ，彳) 上b e s s e t 序列的充 要条件，并因此得出：忙n k 。z 是b e s s e l 序列与忙“甜k ；z 是b e s s e l 序列等价；在 第二部分中，给出了复数列复指数系统成为r ( 一4 ，4 ) 上r i e s z f i s h e r 序列的一 个充分条件，并进一步证明了复数列复指数系统若是r i e s z f i s h e r 序列，则是 r i e s z 序列；在第三部分中，给出了复数列复指数系统成为卜一，4 ) 上框架的充 要条4 e l ，并举例说明了：每w l 。：是r ( - 4 爿) 上框架并不能够推出# “m k 。：也 是r ( 一a ，4 ) 上框架，但是可以证明：若忙也0 。：是r 一一，一) 上框架，则存在 a a ，使忙“ 。：是( 一彳，a ) 上框架。 关键字：复指数系统，可分序列，b e s s e l 序列，r i e s z f i s h e r 序列，r i e s z 序列 框架。 1 1 1t h i sp a p e r , w ef o c u so ns o m ep r o b l e m si nt h ec o m p l e xe x p o n e n t i a l ss y s t e mo f c o m p l e xs e q u e n c e t h e s ep r o b l e m sa r es t a t e di nt h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t w eg a v e as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fac o m p l e xe x p o n e n t i m ss y s t e mo fc o m p l e x s e q u e n c et ob eab e s s e ls e q u e n c ef o rr ( _ 爿，彳) f u r t h e rw eo b t a i n e dt h a t # n k 。z i sab e s s e ls e q u e n c ei fa n do n l yi f e “” 旭zi sab e s s e ls e q u e n c e ；i nt h es e c o n d p a r t ，w eg o tas u f f i c i e n tc o n d i t i o no fac o m p l e xe x p o n e n t i a l ss y s t e mo fc o m p l e x s e q u e n c et ob ea r i e s z - f i s h e rs e q u e n c ef o r l 2 ( - a ，4 ) a n dw ep r o v et h a ti f e wl e z i sar i e s z - f i s h e rs e q u e n c e ，t h e np w k zi sar i e s zs e q u e n c e ；i nt h el a s t p a r t w eg o tas u m c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fac o m p l e xe x p o n e n t i a l ss y s t e mo f c o m p l e xs e q u e n c et ob eaf r a m ef o rr 卜4 ，4 ) w eg a v eae x a m p l eo f t h a tk 以k 。z b e i n gaf r a m ef o rr ( _ 一，a ) d o n th i n tt h a t p d r e ，l 。z i sa l s oaf r a m ef o r r ( - 彳，爿) b u tw ep r o v e dt h a ti f 扛哪l 。zi saf l a m ef o rr 卜4 ，4 ) ，t h e nt h e r ei sa a o ，每w l 。：是r ( _ 4 ，一) 的曰p 甜p ，序列； ( f v ) 对任意有界区间，叠k 。：是r ( ，) 的b e 盯g ，序列。 2 将y o n g ，r 在 1 1 中给出的实数列复指数系统成为r i e s z f i s h e r 序列的 一个充分条件推广到复数列情形；并进一步证明了复数列复指数系统若是 r i e s z f i s h e r 序列，则是r i e s z 序列。 定理2 1 设) 。是复数序列，常数4 0 ，若存在常数埘 0 ，使x , i v nn z ) ， 确j i m 2 , , s m ，并且 r e 2 n + l - 弛以( + 1 6 mz 。一 则譬哪k ：是r ( 一4 ，a ) 的r i e s z f i s h e r 序列。 定理2 2 设协) 。是复数序列，常数肘 0 ，满足对v n 如z ) ，1 i m z n l o ，使扛l 。：是l z ( - a ，爿) 的r i e s z 一鼢 e r 序列，则# l 。：是 上2 ( _ a ，爿) 的r i e s z 序歹0 。 3 将j a f f a r d ，s 在 3 中给出的实数列复指数系统成为框架的充要条件推 广到复数列情形。 定理3 1 设a = 以。 。是复数序列，则以下命题等价： ( f ) 存在常数4 0 ，使忙“。l 。：是r 卜爿，4 ) 的框架； ( f f ) s u p l l m & i 0 ，使对w ，k o k ) ，有 h 一 i 5 ， 任何满足( 2 ) 式的常数艿被称为分离常数。 ( f f ) 。是相对可分序列，若轨 。可表示成有限个可分序列的并。 定义1 3 设) 。为实或复数列，称乩 。有一致密度d 0 o ) ，若饥 。是 可分序列，并且存在常数三 0 ，使对v 胛0 z ) ，有 卜一小工。 定义1 4 和命题1 1 是有关框架的，关于框架将在第3 节进一步讨论。但由 于本节引理的证明要用到框架的概念，因此提前给出。 定义1 4h i l b e r t 空间h * - - y i j 向量饥) 。被称为框架，若存在常数c 。 0 ， c 2 0 ，使对可h ，、有 c ，1 1 4 2 z l ( f ， 】2 c 2 1 1 4 2 ， ( 3 ) 任何满足( 3 ) 式的常数c l ，c ：分别被称为序列抗 。的框架上、下界。 命题1 1 ( 2 ) 设执 。是实或复可分序列，若乩 。：有一致密度d p o ) ，则 对w ，其中o o ) ，4 吏刘 v n 0 z ) ，有r i i m ；t 。l o ) ，使, w v z = x + y ，其中x r ，_ y r ，并且h 占，i y i 占， 有 b 驴卉j 2 圭。 用反证法。否则，对形如。儿i 拘区l e ，其中肌o 。) = 研u 。) = 2 c ， 。落 入区间，。，；中的元个数亦不是一致有界的，即存在复数列驰。j 。，其中 以= 坼+ 砂，以r ，y r ，f y f 吖，使区间g i 一岛 + 占) ( y 一y + s ) 中含 以) 。：中的元个数至少为k 。 对v 尼 n ) ，若存在玎0 z ) ，使以k 一坼+ 占) o 。一占，儿+ 占) ，则 l r o ( a 。- 2 1 0 ，取c ( c n ) ，使 c 詈且c n o ，则区间陋，k + 0 ( - m ，时) 中含记) 。中的元个数最多为c 个。 在区间k ，k + 1 ) ( m ，m ) 中取点插入序列 。组成新的可分序列协。 。t 使 对v 忙z ) ，区间弘，k + 1 ) x 卜m ，肘) 中含缸。k 。：中元个数刚好为c 个。再适当 排列序列缸。 。的顺序得到新序列，仍记为缸。 。，使得 卜剖c 沁2 + t r ( 排列方法是：对v k 以z ) ，将陋，k + 1 ) x ( _ m ，肘) 中c 个原 一) 。中的点重新 记为, c k t 西。，心m ) 。这样，序列“) 。有一致密度c ，由命题1 1 ，p “。l n 是r ( - 4 ，爿) 的框架，设其框架上界为c ：。由于) 。是 从l 。：的子列，则对 v ，r ( 一4 ，4 ) ，有 l ( ，) 2s j ( 厂s “】2 墨c 2 2 ， 即k 哪k 。：是r ( _ 爿，“) 的b e s s e l f 芋y c j 。 口 引理1 3 给出了名哪l 。：作为e ( - a ，爿) 的b p 鼬p ，序列的一个充分条件。今后 将看到，复数序列协) 。的可分性质在整个复指数系统的研究中扮演着重要的角 色。 定理1 1 设饥) 。是复数序列，则以等价： ( f ) 仉o z 是相对可分序列， 丑s u p i r a 2 。l 0 ，使扛w l 。：是r ( _ 4 ，4 ) 的b e s s e l 序列； ( i i i ) 对v a 0 ，k l 。z 是r ( - 4 ，彳) 的b e s s e l f 芋歹1 ； o ) 及盯三2 ( 一a ，a ) ，由引理1 3 t 对 v f ( 1 f o ) ，使 忱】2 sc , l l h 2 ， 厶e a 一 则 f 妻c i m l 2 ， i = 1 即k 以l 。z 是r 卜4 ，彳) 的b e s s e l 序列。 ( f v ) 等( i i i ) ，显然a ( i i i ) ( f v ) ，从后面引理3 2 的证明中易见：当i tf 2 7 _ i ，若分盹l 。：是r ( ，) 的 b e s s e l ) 芋y u ，则p 哪l 。z 是：l 2 ( 1 1 ) f f j b e s s e l 序列。因此，对任意有界区间，适当 的选择a ，可使1 c 卜a ，a ) ，则( i i i ) j ( i v ) 很容易证明。 口 定理1 1 给出了k r l 。：作为r ( ，) 的b g 础p ，序列的充要条件。从中我们可以 看出，复指数系统作为l 2 ( 力的弧s g z 序列完全可以用复数序歹0 玩乙：的相对可 分性质来刻画。 由定理1 1 ，我们很容易得到以下推论。 推论1 1 设玩 。是复数序列，对任意常数a 0 ，以下等价： ( f ) 簪巩。l 。是三2 ( - 彳，一) 的& 糙e ? 序列； ( 打) s u p l l m 2 j m ，并且每忙 ”l 。：是r ( _ 彳，彳) 的占e 黜p ，序列。 证明：( f f ) j ( f ) ，由定理1 1 ，知 r e 。是相对可分序列，再由 一九l j r e 以一r e 以】， 易知 。亦是相对可分序列，再由定理1 1 ，知芒w l 。：是r ( _ a ，4 ) 的b e s s e l 序 列。 ( f ) j ( 哟，由定理1 1 ，有 。是相对可分序列，ns u p i m 2 。 o o 。易知： 若沁) 。是可分序列，且s u p l l m 。i 0 ，使对任意有限数列扛。) ，有 q ws 鼢六卜i ic ：驯2 。月 ” 月 命题2 1 ( 1 ) 设饥j m h i l b e r t 空间h 中一列向量，则以下等价： ( f ) 帆 。是h 的r i e s z 基； ( f f ) 阢 。是h 中完备的尺妇序列。 命题2 2 ( 1 1 ) 设饥 。是h i l b e r t 空间h 中一列向量，则 ( f ) 抚) 。是h 的b e s s e l 序y l j ，其b e s s e l 界c ( c o ) ，当且仅当对任意有限 数列e 。) ，有 i f 2 1 l c 。 1 | c 卅； ( f f ) 阮 。是h r i e s z - f i s h e r 序y l j ，当且仅当存在常数君 0 ，使对任意有限 数列 c 。) ，有 b 蚶b 硝。 n i ini i 定理2 1 设乩l 。：是复数序列，常数a 0 ，若存在常数m 0 ，使对v ”z ) ， 有l i m 以i m ，并且 r e 一黜 占 - 薯z + 1 6 m2 1 1 一 则譬w l 。z 是r ( _ 一，4 ) 的r i e s z f i s h e r ) 芋y l j 。 证明：任取有限数列 c 。 。 先考虑a = 石的情况，此时 占 + 1 6 m 2 廿g 1 。( 5 ) 由命题2 2 ，只须证明存在常数b 0 ，使对 c 。 ，有 b z 。i c i2|fy。cneatii i i i 月h 令 几) = 叩嘛a 若女e ) r ( - 。，。) ，对z c 设 足g ) = 广后( f k “d t ， 则 砸m 2 出= 聃i 莓蛳媾币p ，、，、 = 七o ) _ e 。k l 出 = c 。i 七o k 忆一- j 斫 若令 则 = 靠承k 一列。 尼o ) ：c o s 丢睢丌 【0 石 足0 ) = 。，r c o s ，- te 。出 = c 。s 三2 三i ze 。l + 三2s m 三2 土i z e “西 1 工4 ：上f rs i n 三p i z t d t 2 i z3 - x2 1 0 ( 6 ) = 斯n 圭驯二+ 7 1 。s 誊。叫 = 去卜仃“一i 1 胁出) = 专( c o s 窟一掣) ， 即 k g ) = i 4 c o 矿s z 。 因为k d l i ，并由( 6 ) 式则 因此 f 1 ：1 0 2 出e 女刚厂刚2 d t = 冰k 一万) n = h2 足k 一万) + 取k 一万) 由( 7 ) 式，有 e l c 1 2 k k 一万) 一b i 忙k 一万) 。 k k 一万)一4 c o s ，r 一九j 2 i i 荇万一4 阮一以r 2 ( e 2 “ + e - 2 ：r i m a , l ：= - l - - - - - - - - 一 1 + 4 ( 2 i m a ) 2 4 丽，6 1 + 1m 2 军h 2 足k 一万) 兰再杀矿莓川2 。 由( 4 ) 式，当m 行，有 k 一_ | l r e 2 , , 一r e 习 = i r e a 。一r e a 。l 再由 并且由( 5 ) 式，对固定的h ， k k 有 m - h i ， l c o s z j p l l ， _ 】= m n 4 1 c o s 如一万 l t a 0 。一万) 2 4 e , 4 j 1 k + “ f 4 k 一万卜1 ( 9 ) 4 p 2 “ l 4 ( m 一力1 2 万2 1 。，+ 22 此时，“一l 。：是r ( - 曩丌) 的r i e s z f i s h e r 序列。 再考虑对任意固定的常数0 o ) 。如果对v h o z ) ，有| i m 以i ( - 碧2 + 1 6 m 2 卜 则 雌一】 m 纠卜， 即；昭屯 。：是r ( - 石，石) 的r i e s z 一而矗e r 序列。 由命题2 2 ，存在常数b 佃 o ) ，使 b 卅1 l 印帆 n i i n l f 工2 ( 一一z ) = 啦印惋j 2 出 = 三a 防伊j 击 工“l 一” = 耱叫l 川， 圳拿“。 即备哪l 。：p 芒l 2 ( - a ，a ) 的r i e s z - f i s h e ，序列。 口 对于本定理，若将条件中的“复数序列”改为“实数序列”，其结论与 1 1 由的结论相同 定理2 2 设l 。：是复数序列，常数m 0 ，满足对v hn z ) ，l i m 九 0 ，使哪l 。：是r ( _ 4 ，4 ) 的r i e s z f i s h e r 序列，则哪 。是 r ( _ 4 ，爿) 的r i e s z 序列。 证明：由命题2 2 ，存在常数b p 0 ) ，使对任意有限数列 c 。 ，有 曰蚶l i 巳e i a t 月l i 考虑以，乃，其中k _ ，由式， 2 b = , , 1 1 1 2 + 卜1 1 2j 当= c ，由 则 1 r p n ，8 2 ：r1 1 - - e t ( 2 t t 弦叫出 上a l g wr1 1 一p 。k 一 1 2 d t 。 ( 1 3 ) p 。：y 二， 磊州 卜州喜警掣f 喜崆掣 ：p h 一山i 。一1 ， 由式，有 2 b 2 a p 吖p k 一 卜一1 2 ， 则 k 一乃 2 去，n f ，+ ( 鲁e m ) 5 。， 这样，协 。是可分序列。由定理1 1 ，# 哪l 。：是r ( - 爿，爿) 的b e 时“序列。再 由命题2 2 ，存在常数c ( c o ) ，使对任意有限数列 c 。j ，有 nc n e i 2 n t 卜c 驯2 ， 综合式和0 4 ) 式，即譬i o 。：是三2 ( _ 4 ，一) 的r i e s z 序列。 口 3 f o u r i e r 框架 给定有界区间，和复数序列 。，若k 帅l 。：是r ( ，) 的框架，则称# w 。 为指数型框架或，d “r i s r 框架a 研究而“r i e ，框架p 哪l 。：，主要是研究序列饥) 。 的情况。在 3 中给出了) 。是实数序列时，l 。：作为f o u r i e r 框架的等价 条件，本节中将此等价条件推广到复数序列情况。 定义3 1 设a = 阮k 。：是实或复数列，定义a 的框架半径为 r ( a ) = s u p l 尺i 啡l 。：是l 2 ( - r ，r ) 白勺框架 。 由引理3 2 易知，若a = 阮l 。：的框架半径为矗“) ，则对制，o 彳 七“) 有名蛳l 。：是上2 ( - 彳，爿) 的框架。 定义3 2 设a = k 。：是实可分序列，则a 的低一致密度定义为 d 一( a ) ：胁型， r 其中n - o ) 表示l 。：落入所有长度为，的区间中的元个数的最小值。 命题3 1 ( 4 ) 若a = 以) 。是实可分序列，n a 的框架半径尺( a ) 0 ，满足w l 。是三2 ( - a ，4 ) 的框架， 则对任意开区间，其中m 0 ) = 2 a ，有t 哪l 。是2 ( ，) 的框架。 证明：设p l 。：作为e ( - a ，4 ) 的框架的框架界为c ( c ， o ) ，巴( g o ) ； 九= 矗+ 弧，r ，y 。r 。由引理1 i ，存在m ( m 0 ) ，使对v 0 z ) ， 有帆l 0 ) ，c 2 ( c ： o ) 。由 于 仆1 2 d tsl j 2 d t 0 ，满足量哪l 。：是r ( - 爿，4 ) 的框架。 由引理1 1 ，存在吖似 0 ) ，使对0 z ) ，有1 i m 2 f 0 ) 为常数。 对v 七( k z ) ，考虑区间陆一士，i + ) ( - 吖，m ) ，若存在一0 z ) ，使 九【一 ，k + ) 卜m ，m ) ，贝0 k 一托i = i q 。n k ) + ( k - x 。】 f a ，n 一尼f 一去a 另外，由引理1 2 ，存在c ( c n ) ，使对垤 z ) ，区间k 一圭，t + 吉) ( - 吖，m ) 含最多c 个协o z 中的元。 当n 4 ，且i d 。n k i 0 ，使k 吨。k 。：是l z ( - a ，爿) 的框架； ( f f ) s u p i m 2 。i o 。，并且人= 人。u a ；，其中a 。n a 。= ，a 。有一致密度，a l 是 月 相对可分序列。 此外，若( i i ) 成立，设人。有一致密度d ，则对任意区间，其中m ( ，) 2 耐，有 叠“。i 。是l z c ，) 的框架。 证明：( i ) j ( i i ) ，由引理1 1 ，s u p l l m 五。1 。 由引理3 3 ， 存在o ( “n ) ，使对v k z ) ， 区间 帆一孚，砜+ 譬) x ( _ m ，m ) 中至少包含一个 乃 。中的元。在区间 童时 ”卅 商 舭 2 k n o 一下n o ，2 k n o + 孚) x ( _ m ，m ) 中取玩l 。：中一元，i g n , u t ，则弘。 。是可分 序列，并且 k t , - 2 n o n l 叫i ， 即缸。) 。有一致密度击，记a o = 协。 。 由定理1 1 ，a 相对可分。设a l = a a 。，易知，a i 亦相对可分。， ( f f ) j ( f ) ，设a 。有一致密度d 。由命题1 1 ，取爿满足o o ) ，使对可l z ( - a ，a ) ，有 c 1 i t f l 2 l ( ，e 哪】2 c 2 1 1 ：- 1 1 2 。 q 毋 再由定理1 t ，有譬哪k 矾是r ( d ，4 ) 的b 邪j p ，序列，即存在c 。( c 。 o ) ，使对 v ，r ( _ 一，a ) ，有 l ( ，】2 c o l l 1 1 2 。 n 。 综合0 5 ) 式和。回式，对v f r ( _ 4 ，a ) ，有 n 】2 = 哪】2 + “】2 屯e o e a t ( c ：+ c 。) i l s l l 2 ， 即t 淼絮毖：1 裟3 。2 瑚意啪谢批2 a f t ，舻般此外，由引理3 和引理，对任意区间，其中m 【，j 0 ，满足k 忡l 。是r ( 一a ，4 ) 的框架。 则存在a ，其中0 爿 a ，使l o l “ l 。z 是r 卜硝，a ) 的框架。 证明：由定理3 。1 ， 力 。：是相对可分序列，并且s u p f l n 厶 * 。再由推论1 1 的证明知 r e 一) 。亦是相对可分序列。由定理3 1 ( f ) j ( i f ) n i 正_ g q 中可知，按其 取法所得到的序列a 。= 。 。，由 i r e a 。一2 n o 叫_ z * 0 ， 知 r e a 。 。亦有一致密度彘。而 r e 无 帕 r e , u 。 。是相对可分序列，则对 v a ，其中0 彘 a ，有每僻i 。：是r 卜川，a ) 的框架。 口 儿 1 2 参考文献 c h r i s t e r s e n ，o ：a ni n t r o d u c t i o nt o f r a m e sa n d r i e s zb a s e s b i r k h i t u s e r , b o s t o n ，2 0 0 2 d u m n ，r j a n ds c h a e f f e r , a c ：ac l a s so f n o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s ，t r a r t s a m e r m a t h s o c 7 2f 1 9 5 2 ) 3 4 1 3 6 6 j a f f a r d ，s ：ad e n s i t yc r i t e r i o n f o r f r a m e so f c o m p l e xe x p o n e n t i a l s m i c h i g a nj m a t h 3 8 ( 1 9 9 1 ) ，3 3 9 3 4 8 l a n d a u ，h j ：n e c e s s a r yd e n s 印c o n d i t i o n sf o rs a m p l i n ga n di n t e r p o l a t i o no 厂c e r t a i n e n t i r e f u n c t i o n s a c t am a t h 11 7f 1 9 6 7 ) ，3 7 s 2 l i n d n e r , a ：o nl o w e rb o u n d sf o re x p o n e n t i a l f r a m e s j f o u r i e r a n a l a p p l 5 ( 1 9 9 9 ) ， 1 8 7 1 9 4 o r t e g a - c e r d h ，j a n ds e i p ，k ：f o u r i e r f r a m e s a n n m