（电磁场与微波技术专业论文）广义chebyshev滤波器的分析与设计.pdf

摘要 摘要 随着移动通讯系统、微波通讯技术的飞速发展，频谱的日益拥挤，对滤波器 的性能指标提出了越来越高的要求，高选择性、小尺寸、通带内低插入损耗的射 频、微波带通滤波器变得十分重要。通常不相邻的谐振腔间引入交叉耦合，可以 在阻带产生有限传输零点，以此来增加截至频率的陡度，提高滤波器的优越性。 正因为这类交叉耦合谐振腔滤波器在现代无线通讯系统中的重要作用，其综合和 设计已经引起了大家广泛的研究。 本文以广义c h e b y s h e v 滤波器的综合与设计为主，着重研究了交叉耦合模型实 现的相关的理论和技术。首先，给出了传统滤波器的基本理论和设计方法作为本 文的理论基础；继而介绍了交叉耦合电路的传输零点特性，并在此基础上分析了 c q ，c t 带外传输零点的独立性；然后详细介绍了广义c h e b y s h e v 函数滤波器的传 输零点提取和如何利用优化算法求解耦合矩阵；最后给出了基于前面综合理论的 设计实例，仿真结果与理论结果吻合的较好，验证了这些综合方法的有效性。 关键词；传输零点交叉耦合广义c h e b y s h e v 函数 a b s t r a c t f i l t e ri so d eo f t h em o s ti m p o r t a n te q u i p m e n t si nt h ew i r e l e s st e c h n o l o g y , i tc a nb e u s e dt od i v i d eo ra s s e m b l ev a r i o u sf r e q u e n c i e s ，l i k et r a n s d u c e r , d i p l e x e re t c a st h e r a p i dd e v e l o p m e n to f w i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n s ，t h ef r e q u e n c ys p e c t r u mb e c o m e sm o r e c r o w e d , s p e c i f i c a t i o n sf o rf i l t e r sh a v et e n d e dt ob e c o m ev e r ym u c hm o r eb e v f f t o ，w h i c h a r ec o m m o n l ym o to n l yb yt h o s ef i l t e r sw i l hs t r i n g e n tf i - e q u e n c y - s e l e c t i v i t y , s m a l ls i z e a n ds h a r pc u t o f fs k i l 协f i l t e r sa r ed e s i g n e do n l yb yu s i n gc r e s s - c o u p l e d r e s o n a t o r st og e n e r a t ef i n i t et r a n s m i s s i o n7 - 部0 s t h es y n t h e s i sa n dd e s i g no fc o u p l e d n 嚣o n s t o rf i l t e r sw i t ha d d i t i o n a lc r o s s - c o u p l i n g sb e t w e e nn o n a d j a c e n tr e s o n a t o r sh a s b e e nt h es u b j e c to f i n t e n s er e s e a r c he f f o r t sd u et ot h e i ri m p o r t a n c e t h i st h e s i sg a v ee m p h a s i st ot h es y n t h e s i sa n dd e s i g no ft h eg e n e r a lc h e b y s h e v f i l t e r s ，a n da l s o ，e s p e c i a l l ys t u d i e dr e l a t e dt h e o r i e s a n dt e c h n o l o g i e sa b o u tt h e c r o s s c o u p l i n gm o d e l f i r s t l y ，t h es y n t h e s i s a n dd e s i g no ft h e c h e b y s h e vf i l t e r s a n df r e q u e n c y r a m s f o r m a t i o nw a sg i v e na st h eb a s i ct h e o r y f u r t h e rm o r e ，t h et h e o r i e so ft h eg e n e r a l c h e b y s h e vf i l t e r sw i t hr a n s m i s s i o nz e r o sw a si n t r e d u c e d , a n do nt h i sb a c k g r o u n d p r o v et h a tt h ep o s i t i o no fe a c ht r a n s m i s s i o nz e o rp a i ro f z e r d si ns t o pb a n do ft h e c h e b y s h e vf i l t e r sc o m p o s e do fc a s c a d e d - q u a d r u p l e t ( c q ) a n dc a s c a d e d - t r i p l e t ( c t ) i s i n d q 把o n d e n t l ym o d i f i e d ；t h e ns e v e r a lo p t i m i z i n gm e t h o d st og e tt h ec o u p l i n gm a t r i x ， n a m e l y , g aa n ds o l v o p te t c 1 a s t l ys o l n et y p i c a lf i l t e r sw e r ed e s i g n e db a s e d0 1 1t h e s y n t h e s i st h e o r yo ft h e f i l t e r s g i v e nb e f o r e , t h er e s u l t o ft h es i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n t a t i o nw f f om a t c h e dv e r yw e l l , s ot h ev a l i d a t i o na n de f f i c i e n c yo ft h e s y n t h e s i sm e t h o dw a sd e m o n s w a t e d k e y w o r d ：t r a n s m i s s i o nz 4 e r o sc r o s s - c o u p l i n gg e n e r a lc h e b y s h e vf u n c t i o n 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名日期 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名廊陵 日期 日期竺! ：! 三 第一章绪论 第一章绪论 现代微波通讯的迅速发展，对通道的选择性要求越来越高，不仅需要滤波器 的过渡带尽可能窄，还可能需要产生非对称的频率响应，这就需要高性能的选频 器件。传统滤波器如b u t t e r w o r t h 和c h e b y s h c v 滤波器只有依靠增加滤波器的阶数 才能满足要求，加工出来的滤波器重量和体积都非常大，不适合现代通讯的需求。 椭圆函数滤波器虽然具有很好的选择性，但不能产生非对称的频率响应。广义 c h e b y s h e v 函数滤波器能通过引入传输零点而不用增加滤波器阶数来提高通道的 选择性，并且它的任意零点特性能产生非对称的频率响应，相当于把滤波器的阻 带抑制能力都集中在所需要的一侧，从而可以用较少阶数的滤波器来实现很高的 选择性【1 l ，因此与传统滤波器相比，体积小、成本低且通道选择性更好，从而可以 减小系统的体积和重量，满足现代通信的需求。 广义c h e b y s h e v 函数滤波器一般都通过谐振腔交叉耦合的方式实现【2 】，由于 函数本身的复杂性，给滤波器设计和结构实现带来了困难。传统滤波器设计都是 先由技术指标确定传输函数的具体表达式，再综合出梯形电路及其元件值，最后 采用某种具体微波电路结构来实现。而广义c h e b y s h e v 滤波器由于传输零点的任 意性，导致其特性灵活的同时也变得难以估计，不能像传统滤波器设计那样根据 技术指标确定函数阶数即可。因此如何由技术指标确定广义c h e b y s h e v 滤波器的 传输函数表达式是一个难点。此外，由于广义c h c b y s h e v 滤波器用谐振腔交叉耦 合方式实现，交叉耦合电路的网络拓扑结构及其耦合矩阵的求解也是目前需要解 决的问题。资料【l 】中介绍了一种利用不同支路的信号相位差来确定网络拓扑结构的 方法，但不能实现任意位置的传输零点，而交叉耦合矩阵一般都采用理论公式计 算，推导过程繁琐，只适用于精确计算规模较小的矩阵，当矩阵规模较大时，这 种方法便不可行本文首先基于广义c h e b y s h e v 滤波器带外等波纹特性最优的方 法提出一种提取传输零点的方法，得到滤波器传输函数的理论表达式，再利用三 腔结构为单元来确定网络拓扑结构，最后基于遗传算法和模拟退火算法求解网络 的交叉耦合矩阵，通过几个设计实例验证了这种方法的有效性。 本文分为六章。第二章简要介绍了传统滤波器的综合理论，第三章介绍交叉 耦合电路的传输零点特性和三腔、四腔结构的传输零点独立性，以及本文所使用 的遗传算法和模拟退火算法。第四章中，将重点讲述广义c h e b y s h e v 滤波器的综 合方法，先提取传输零点，再根据所提出的网络拓扑结构利用混合遗传算法求解 滤波器的耦合矩阵。在第五章中，通过设计几个具体指标的滤波器，验证了综合 方法的有效性。第六章中对本文所做的工作进行总结，并提出还存在哪些问题有 待进一步解决。 2 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 第二章滤波器的基本理论 2 1 传统滤波器设计理论 实际工作中常采用工作衰减来描述滤波器的幅值特性【3 l ，即 l = 1 0 1 9 瓮- ( d b ) ( 2 - 1 ) n 式中，昂和忍分别为输出端接匹配负载时滤波器输入功率和负载吸收功率， 根据衰减特性不同，滤波器通常可以大致分为四类：低通、高通、带通和带阻滤 波器。其理想的衰减特性如图2 1 所示。 阳 ( a ) 蕊通辞泣番 瞳d b a d 8 ( b ) 膏通蕾菠 ( c ) 蒂蠢蠢毪曩 ( d ) 督鱼蕾渡 图2 1 四种理想的基本滤波器 理想的低通滤波器的衰减特性如图2 1 ( a ) 所示，即在= 0 到啦的频率范围内， 衰减为零，称为通带，在。) 国的范围内衰减为晶，称为阻带。c o 表示角频率，q 称为截止频率。显然，这种理想的滤波特性，用有限个元件的电抗网络是无法实 现的，因为有限元件数的电抗网络的衰减特性一定是连续函数，不可能在某一频 率上突跳。因此，实际的滤波器只能逼近理想滤波器的衰减特性。在综合设计滤 波器时，首先要确定一个逼近理想衰减特性的衰减函数岛( ，然后再根据这个逼 近函数综合具体的电路结构来。这种方法包含三个步骤： 1 ) 规定一个理想的衰减特性； 2 ) 用一个可实现的有理函数来逼近这个特性； 3 ) 用网络综合理论，把这个函数综合成一个实际的网络。 按照这个方法设计的滤波器，其实际特性可以和预先规定的十分接近。根据网 络综合的方法有许多可能的解，它们有不同的网络结构和不同的元件值。因此， 第二章滤波器的基本理论 3 最后一步是根据各种准则，在设计到成本、性能、灵敏度、方便性和工程技术鉴 定等因素选择一个相对最佳的解，从许多可供选择的方案中选择一个方案也是工 程技术的一个组成部分。根据不同的逼近准则，可以采用不同的衰减特性，从而 形成不同类型的滤波器，最广泛使用的逼近函数有三种，相应的滤波器称为：最 平坦型( b u t t e r w o n h ) 、切比雪夫型( c h e b y s h e 、，) 和椭圆函数型 2 2 最平坦型滤波器的基本理论 最平坦型低通滤波器的衰减函数为h 厶( ) = 1 0 l g ( 1 + a “) d b 图2 2 最平坦型低通原型滤波器的频率响应 ( 2 - 2 ) 该函数的曲线如图2 2 所示，其特点是在。= 0 处的函数值、一阶导数、二阶导 数直至2 n 一1 阶导数均为零，低通滤波器的指标有四个参数：通带内最大衰减 “，截止频率q ，阻带最小衰减匕以及阻带边频q 对于最平坦型，“= 厶h ) 。 所以，低通滤波器的综合过程为：首先，根据给定的四个参数工山，鳓，“，q ，用式( 2 - 2 ) 确定常数s 和一，从而完全确定衰减函数( 2 2 ) 。其次，再根据衰减函数，利用网络 综合法确定低通滤波器原型的梯形电路构造和各元件值。 然而，低通滤波器的截止频率q 和阻带边频q 可以有不同的值，这样，利用 上述方法设计出来的梯形电路只能适用于某一组特定的q 和q ，换一组q 和q 新 值时，滤波器就必须重新进行综合设计。为了使所得到的梯形电路对各种0 8 和q 的 低通滤波器都能通用，可以采用归一化频率 。 2 署 ( 2 _ 3 ) 于是，衰减函数为 厶( ) = l o 】g ( 1 + a 护) ( 2 - 4 ) 在= o 时厶( ) = o ，其后随着增大而单调增大，在m 社等马( 2 1 9 w ) 】 ( 2 6 ) 式中， 表示对其中的数取整数。若磷”l 厶近似为 “* l o l g ( 叫“) = l o l g s + 2 0 n l g c o l( 2 7 ) 由此可见，在阻带某频率上，一越大，阻带衰减越大；s 越小，阻带衰减越小。 根据硝，如，“确定了s 和n 后，由双端口网络综合法，就可以综合出滤波器的 梯形电路。综合时，令s = ，为简单方便起见，取s = i ，则 厶= l o l g 1 + ( - s 2 ) 一】( 2 - 8 ) 进一步可以将s 扩展到复频率面a f l q ( 2 8 ) 得到 = 再两1 ，于是 | r | 2 = 可( - - s 万2 ) n ( 2 - 9 ) 按照前几讲介绍的方法，取尸0 ) = 矿，而由l + 一2 p = o 的左半平面的根求出。由 于根为 ：一( 2 k 。- i + 畦，t 乩乏，知( 2 1 0 ) 而左半平面的根为s t ( k = l2 ，功，如图2 3 所示，则 q o ) = 曼( s - s 3 ( 2 1 1 ) 于是，r = 嚣，如果取负号，则得到归一化输入导纳为 耻渊= 鬻= 篱 ，i l 。 利用辗转相除法，由上式可得到 蕊 三 弋一 v一 j 图2 3 左半平面的根 f 2 1 2 ) 磊= g t s + 上t 一 ( 2 1 3 ) 9 2 s + + 。： + 玄 可以证明，上式中归一化元件值为 第二章滤波器的基本理论 5 j g t = - ( s k + s a - k + i ) = 2 蝴一1 ) 云 k = 1 , 2 , - - - , nc 2 - 1 4 ) 【g i n * ! = 1 图2 4 ( b ) 示出了其梯形电路，可以看出缸仕= l 乏，帕为归一化电感或电容，g 。为 归一化负载电阻或电导。n 为滤波器元件数 如果在附式中取“+ ”号，则 毛= 器端( 2 - 1 5 ) 卫l蓦，磊 岛匝卫二 i 岛匠二 二强 上式与( 2 1 2 ) 具用相同的形式，所以具有与( 2 - 1 2 ) 相同的归一化元件值，这时 的电路如图2 4 ( a ) 所示。因此，单从衰减特性来设计滤波器而其他指标不作规定的 话，其所得电路结构有两种形式，一种是从无所给出来的图2 4 ( a ) 所示的电容输入 式梯形电路：另一种是由毛综合出来的如图所示的电感输入式梯形电路。它们的 归一化元件值g r l 2 , ，珥一+ 1 ) 一一对应相等。如果负载与函并联，则函+ ，表示负载 电阻，如果负载与蟊串联，则晶。表示负载电导。对于最平坦型滤波器，滤波器的 负载电阻( 或电导) 与信号源电阻( 或电导) 相等，这是因为= 0 处要徊 = 0 ，必须 全功率传输而此时串联支路为短路，并联支路为开路，负载与电源直接相连，所 以只有而；z ，时才能行成全功率传输。最平坦型还有一个特点就是元件值具有对称 性，即 g ，；g m l ，f = 垅，n 2 ( n 为偶数) 或( n + 1 ) 2 ( n 为奇数) 图2 4 ( a ) 与( b ) 互为对偶电路，电路中各元件值都是归一化值，g o 和函。是归一 化电阻或电导( 分别表示归一化源电阻或电导和负载电阻或电导) ，g l ，9 2 ，g a 是归 6 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 一化电感或电容。若9 1 是个电容( 电容输入) ，则g o 是归一化电阻，g f ( f 是偶数) 是 归一化电感，g l ( f 是奇数) 是归一化电容，岛“( ”是偶数) 是归一化电导，岛。( n 是 奇数) 是归一化电阻；若g l 是个电感( 电感输入) ，则g o 是归一化电导，g i ( f 是奇数) 是归一化电感，g i ( f 是偶数) 是归一化电容，g 。( 一是奇数) 是归一化电导，蠡。( 一 是偶数) 是归一化电阻。 当低通原型的归一化元件值己知后，则该对其源阻抗z o ( 纯阻抗) 和截止频率 q 进而反归一，求出滤波器的实际元件值。反归一方法如下： 对于电导 焉+ i = z o g 。 对于电阻 岛+ i = 岛+ 1 ，z o = k 岛+ l 对于电感 厶= z o g d e 对于电容 g = 毋( z o q ) = 而自，q 2 3 切比雪夫滤波器的基本理论 切比雪夫低通原型滤波器的衰减函数为【4 】 厶( = l o l g 1 + e 磊2 ( n 棚 式中，l ( 是n 阶第一类切比雪夫多项式，l i p 荆= 器筹粥 宙 ( 2 - 1 6 ) ( 2 1 7 ) 图2 5 切比雪夫低通原型滤波器的频率响应 其曲线如图2 5 所示，切比雪夫多项式五细 在o j = 0 。1 之间是个余弦函数，所以衰 减在= 0 1 之间呈现出等波纹变化，在= 1 时，露( 1 ) = 1 ，衰减达到最大值“， 即“= 1 0 1 9 ( 1 + ) ，于是 f ：1 0 铬一1 (2-18、 故“是波纹的幅度，s 是波纹因数，f 越小，波纹幅度越小。在通带内，最小衰减 为零。在，1 的阻带区域，五( 是一双曲线余弦函数，故衰减随增大而单调增 第二章滤波器的基本理论7 加设在阻带频率上，阻带衰减为二。，则有 l , o = l o l g 口+ 占砰( 吃) 】= 1 0 1 9 1 + 6 c h 2 ( n c h 一1 吐b ) 】 由此- - - 求得电抗元件数日n 为 。辱 当面 l 时，五 ) = 2 一- 1 喊) 一，故( 2 1 9 ) 变为 ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) z = 1 0 l g # 2 。1 ( 西p 】= l o l g e + 2 0 n l g 磷+ 6 + 1 ) ( 2 - 2 1 ) 比较可知，在相同的岛磁和一的条件，切比雪夫响应的阻带衰减要比最平坦型衰减 响应大，也就是说，切比雪夫响应的阻带衰减比最平坦型响应要陡。 已知s 和一后，应用与最平坦型网络类似的方法，可以综合出梯形电路及其归 一化的值，综合结果如下 式中 l g t5 2 4 i ， g i = 也_ g ( b t - l g t - i ) i f l ( 为奇数) g * 2 协：，4 勋为偶数) 户= l n ( c 咖籀| 5 ，= s 伊，知) 以：。j n ( 掣力 以”力 以= ，2 + 咖z ( 与 - 2 3 山 ( 2 - 2 2 ) 衅1 五，曲( 2 2 3 ) 2 4 椭圆函数滤波器的基本理论 图2 6 椭圆函数低通原型滤波器 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 b u t t c r w o r t h 响应特性在通带和阻带中部是最平坦形式的，而c h e b y s h e v 响应 特性在通带呈现等波纹形式，在阻带为最平坦形式。而另有一种通带和阻带都具 有等波纹型特性的滤波器，因为这种滤波器是用椭圆函数来实现，故称为椭圆函 数型滤波器。图2 6 示出这种滤被器的频率响应。由图可见，由于这种滤波器的阻 带衰减极点不全在无限远处，因而用这种滤波器可得到很陡的截止率。图中“是 通带最大衰减，乩是阻带最小衰减，曲是通带带边频率，纯是阻带带边频率。考 虑n 阶椭圆函数型低通变换器衰减特性 4 1 ： l a ( t o ) = l o l o g x ol + s 2 砰( ) ) ( 2 2 4 ) 式中当n 为奇数时 e ( ) = m 降一( 删，司( 2 - 2 5 ) 当n 为偶数时 最( ) = 期i 墨+ 警m 一( 吐) ，赶i ( 2 - 2 6 ) 其中 局；量他)(2-27) k = r ( k ) 分别是模为岛和t 的全椭圆积分。符号盯t 以，助表示反椭圆函数，其定义是：如果 y = s n ( u ，幻，则“= 盯t 似。实参数s ，i 和岛之值介于0 和1 之间，它们由技术指 标决定。s ，t 和岛三个量不完全独立，而是由方程联系起来的。 每= 警( 2 - 2 8 ) 式中 曼“( 婴 ( 2 - 2 9 ) k = x ( k 7 、 、。 同时 竺= ( 1 - 蹴k 2 恤 分别是岛和t 的补模。( 2 2 8 ) 式这条限制是为了使得到的公式简单以及这些公式在 通带与阻带都呈现等波纹特性的要求而设立的。 2 5 频率变换 在低通原型中频率是关于截止频率q 归一的，而元件值是关于源内电阻归一 的，所以低通原型可以完成截止频率为1 ，源内阻也为l 的低通滤波器。实际的滤 第二章滤波器的基本理论9 波器不仅截止频率和源内阻不一定为1 ，通带特性也不一样。除了低通外，还有高 通、带通和带阻。不过，利用频率变换和阻抗变换可以从低通源型的元件值得到 任何一种实际的滤波器的结构和原件值f 5 】。 2 5 1 低通滤波器频率变换 为了从低通滤波器变换成低通原型的衰减特性，可以采用频率变换函数 = 署 ( 2 - 3 1 ) 低通原型中的元件值是关于q 的归一化的。实际低通滤波器与低通原型在各 自的频率下具有相同的衰减特性。因此，在各自频率下，各元件的阻抗应对应相 等，即 磊( 功= 五( c o ) ( 2 3 2 ) 上式称为等衰减条件。根据等衰减条件就可以求得实际滤波器元件的归一化值。 设缸和舒分别表示电感和电容元件的低通原型值，g n ( 2 3 2 ) 有 j 也= j m g k = j 五c og t j 最：j d g 。：j 丢甄 q 所以实际滤波器的元件归一化值为 五：盈 乙：盈 ( 2 3 4 ) 叻 设信号源内阻为z o ，实际滤波器元件真实值为厶( 电感) 、q ( 电容) 、负载真实 值电阻甩和电导皖，则由 正= 鲁，鸸= z o 码，g n + l - - - - z 等( 电阻) ，g n + l = - 案- = z o g , ( 电导) 可得 厶= z , z 0 2 鲁z o g = q 去= 惫 凡= g n + l z 0 g 工= g n + l 7 o ( 2 3 5 ) 2 5 2 高通滤波器频率变换 为了从高通滤波器变换成低通原型的衰减特性，可以采用频率变换函 d ：堕 数 ( 2 3 6 ) 1 0 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 实际滤波器的元件归一值分别为 串联支路 2 r ( c o ) = ，赢= - j 鲁g k = 西1 ( 2 3 7 ) 栅姗 融2 两1 2 毒叫去 所以串联支路为电容，归一化值为 2 壶 ( 2 - 3 9 ) 并联支路为电感归一值为 厶2 壶 ( 2 。4 0 ) 所以低通原型中的电感变换为高通滤波器的电容，低通原型中的电容变换为 高通滤波器的电感。 设源阻抗为z o ，由 面2譬，厩=zoa,ck，=叁阻)=-簧-=z0000 瓯 导) 一 - 于是实际滤波器的电路元件的真实值为 l ；鱼 q 舒 一 】 。2 z o a 】l g k ( 2 - 4 1 ) r z = g z o g 上= 岛+ 1 z o 2 5 3 带通滤波器频率变换 为了从带通滤波器变换成低通原型的衰减特性，可以采用频率变换函数 国= ( 嚣一等) = 专( 蔷一i 6 0 0 ) q 一铊， 式中，卿= 丽称为中心频率，矿= 丝称为相对带宽 首先应用等衰减条件于串联支路，得 磊2 ，以t = ，古( 嚣一等) 缸= 徊彘一，羽1 2 m 瓦一去 ( 2 4 s ) 可见，低通原型中的串联支路变换到带通滤波器中为电感磊和磊相串联的谐振电 路，且 第二章滤波器的基本理论 睾 降去 、 私2 志2 高 狲南叫忙一划 ) 可见，低通原型中的并联支路变换到带通滤波器中为电感亏和己相并联的谐振电 p 毒 p 蒜 。 根据正：字，正：z o o j c 。, g m 。- - 孚值阻) ，g 舯：瓯z o 俺罚，得串联支路和并联支 卜z o = 霉z o卜z o 一罴 卜磊，z o ；去卜西，z o = 彘 。 负载阻抗和导纳为 当2 ( 2 - 4 s ) 【g 工= g l “磊 出窿j ( 2 - 4 9 ) i 铀l 1 2 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 式中，缅= 鬲称为中心频率，= 掣称为相对带宽。 鼬咖矿q 悟斟，陋一壶) i 西= 丽1 卜等 谐振频率为：“：毒，：曲。把衰减条件用于并联支路，得 酗古十( 甜卦( 岵 降而i 睁鲁 ( 2 - 5 0 ) 其归一化 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 - 5 3 ) 其谐振频率为：蔬= ：；= 嘞。于是得到实际滤波其归一化电路如图2 8 所示。 q 仿前述方法，得带阻滤波器的电路中旱联支路兀仵具实值为 厶= 鲁z o ，q = 雨蕊1 并联支路元件真实值为 q = 岳，厶= 而1 z o 负载为 r ，= g 。z 。 阻) ，g l = g 。“z o 吨导) 图2 8 带阻滤波器的归一化电路 ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 佗- 5 6 ) 第二章滤波器的基本理论 2 6 变形低通原型 利用频率变换可以从低通原型得到带通滤波器，如图2 7 所示，其串联支路为 串联谐振回路，并联支路为并联谐振回路。这样的电路在低频实现没有太大问题， 但在微波频段却难以实现。因为许多工c 电路聚集在一起，且l c 元件值相差较大。 微波结构不易实现。为了解决这一问题，通常把l c 低通原型变换成只有一种电感 元件或只有一种电容元件的低通原型，称之为变形低通原型。变换的办法是在l c 梯形低通原型的各元件间加入k 变换器或j 变换器，以便把电感变换成电容，和 电容变换成电感，最后得到只有一种电抗元件的低通原型。 p ，g 匠 图2 9 只含电感的变形低通原型 自乳 龊 i 上。 i s j h皇龟毛 c hj 量 t 吻j 山 illi 图2 1 0 只含电容的变形低通原型 图2 9 中的l c 低通原型转换为只含有串联电感时各k 变换器的设计公式为【目 1 4 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 斩墙 l - 传辫扣骖加1 ( 2 5 7 ) “= 熙 图2 1 0 中的l c 低通原型转换为只含有并联电容时各j 变换器的设计公式为 如愿 j k , k + l = j 警吼2 加l ( 2 5 8 ) = j 鲁鲁 式中，g f ( i = o , l 2 n ) 是已知量，如，岛，k ( f = l 工n ) 根据需要预先选定。 利用频率变换，由图2 9 和图2 1 0 便可得到只含有串联谐振回路或并联谐振 回路的带通滤波器，称之为耦合谐振器带通滤波器。分另l i 如图2 1 1 和图2 1 2 所示。 、芝一卢砌降、忽一f 专 r - o s岛 焉】+ l 图2 1 1 只含串联谐振回路的带通滤波器 l l 一 冉 屯 廿锄 五 + l l t j l 幽2 1 2 只管并联谮振i 里j 鼯阴常迥据 圾器 图2 1 1 和图2 1 2 中的k 、j 变换器的设计公式分别为 斩愿扣船 瓯m l j 加o - o = w 怖 z j z g j i + ：1j 忒m = w 滁( 2 - 5 9 ) - = j 辫钿= 藤 式中乃为图2 1 1 中第，个串联谐振回路的电抗斜率岛为图2 1 2 中第j 个并联谐 振回路的电纳斜率。 习惯e 设计耦合谐振器带通滤波器不是用k 变换或j 变换，而是采用两终端 第二章滤波器的基本理论 的外界q 值和谐振器之间的耦合系数。图2 1 1 和图2 1 2 所示的耦合谐振器带通滤 波器，两终端的外界q 值( 幺l 、( g ) 。和中间任意两个相邻谐振器间的耦合系数 “铘为 ( 包l = 铲 慨k = 学 ( 2 6 0 ) 。 。屯川矿赤 应当注意采用k 变换器时谐振器一定是串联谐振的，而用j 变换器时谐振器 一定是并联谐振的。 1 6 广义c h e b y s h c v 滤波器的分析与设计 第三章交叉耦合原理及优化算法介绍 3 1 交叉耦合基本理论 3 1 1 耦合谐振电路基本分析 随着滤波器的指标要求越来越高，高选择性、小尺寸的滤波器变得十分重要。 通常在不相邻的谐振腔之间引入额外的交叉耦合，在阻带产生有限传输零点，以 此来增加截止频率的陡度，提高滤波器的优越性。这种耦合谐振滤波器的综合和 设计已得到广泛的研究【6 l 。 r ，c 。 三一 原理图 图3 1 表不谐派腔祸苗型常堰耀汲器阴电跆图，共甲，之是各个_ l 旨搌 回路的电流，由电流环路定理，得到 ( 且+ 徊+ 志 卜触：铲一，帆= 岛 。鸣- t + ( ，鸡+ 壶卜一鹏驴。( 3 - i ) 碱，卜鹏：妒+ 卜+ ，鸲+ 志卜。 简写成 焉+ 鹏+ 志。码： 。鸠。 - j o ) 岛1 j 必+ 两1 。鸣一 iii； 。嘞 - j o ，l , ：焉+ 鹏+ 志 e = 丑 对于同步调谐的情况，各个谐振腔谐振频率相同，嘞= 南，其中 、，山l 工= 上1 = 上2 = = 厶，c = q = g = = c l 阻抗矩阵可以改写为 ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 第三章交叉耦合原理及优化算法介绍 1 7 z = w o l f b w z( 3 - 5 ) 式中，f b w ：丝，表示相对滤波器带宽，牙是归一化阻抗矩阵，为 钆 z = 岛+ p 。睾击告击 。睾击 p 。睾击 ； ； 一，血上一，血上j l + p 。砒f b w 。工f b w嘞工f b w 。 其中，p 表示低通滤波器的复频率变量 注意到。源和负载耦合的谐振腔的有载q 值为q , 1 和包：， 毒= 西1 户l 一 此时，可以定义耦合系数为 m = 等 对于窄带滤波器，有旦* 1 ，归一化阻抗矩阵可以写作 z = 1 一十p 砖2 1 ”k 锄 慨lp 一，他。 ；i； 一j m n m 1 2 五1 + p ( 3 _ 7 ) ( 3 一l o ) 其中 q a = 翰f b w ，f = l ( 3 一1 1 ) ：祟(312)m#- 2 高 p 分别称作放大的外部q 值( s c a l e de x t e r n a lq u a l i t yf a c t o r s ) 和归一化耦合系数 ( n o r m a l i z e dc o u p l i n gc o e f f i c i e n t ) 对于异步调谐的情况，各个谐振腔谐振频率不同，= 1 ，以鬲，不同谐振频 率谐振腔间耦合系数为 m ，。善 0 k l j ( 3 - 1 3 ) 一m 口一 南 = p 广义c h e b y s h c v 滤波器的分析与设计 此时，归一化阻抗矩阵为 z = 石1 + p 一觎- 嘲：咖。 一舰lp 慨。 ；i； 一j m dj m n l + p j m m 兵中，为归一化自祸合系数，同样的，有为自祸合系数 ：竽 = 蔷 自耦合系数表示谐振腔相对中心频率的频偏，有 五。丽 厶2 司露1 盖露2 司耳1 吾雨露5 舞番正 得到 上l + m u = ( 甜小l 五j “ 即 坼小( 鲁) 2 = 警* 萼笋 注意，对于更一般的讨论，厶= ( 1 + a ) 岛，q = ( 1 + 卢) c o 式中 f 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 i 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) 南。司1 蓿2 南矗2 击矗( 3 - 2 1 ) m 镕= a + 8 + a 8c 3 - 2 2 ) 当采用腔间电容耦合时，该式同样表示频率偏差( 如果忽略高次的叩，就是 电感和电流共同变化的影响) 。采用电路节点电压方程，类似地可以得到同样的结 果。也有把耦合矩阵写为 + j w + j m n j m 2 l j m d_ 黜 埘0 l f b k + 形+ 埘。沁。 ( 3 - 2 3 ) 尊此 第三章交叉耦合原理及优化算法介绍 1 9 显然 马= 1 = l 一 ( 3 。刎 矿= 一正f b 肌f b l _ w 曙一詈j 2 - m q ( 3 之5 ) i j 帆一掣( 3 - 2 6 ) 其中，t l 为归一化低通滤波器频率参量( 上式化简已应用喃= l 和l = c = i ) 。注意 到，当 如和 如( f j ) 同时取反的时候，波形不变，所以说采用上式的形式，可以 忽略耦合系数前的负号 焉2 1 = l n ( 3 乞7 ) 矿；a m q ( 3 2 8 ) 坞；掣( 3 - 2 9 ) 显然该方程与归一化低通滤波器增益函数g ( q 2 ) 对应时，取代换 。卜旦( 3 3 0 ) a 以保证两式相等。计算得到耦合矩阵后，由低通到带通的变换为( ：1 ) 矿_ 旦一堡 ( 3 3 0 曲国 3 1 2 具有传输零点滤波器的交叉耦合电路分析 具有带外有限传输零点的滤波器，常常采用谐振腔多耦合的形式实现 2 1 。该 形式的特点是在谐振腔级联的基础上，单腔可以同时与多腔耦合具有有限传输 零点的滤波器，一般采用谐振腔交叉耦合的方式实现，如图3 2 所示。 r l 图3 2 多耦合器滤波器结构示意图 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 晰+ 爹1 。受；粕+ 缌删z ， 其中， 、屯是各个谐振回路的电流，q 是激励电压源，矿= 佃一1 国) ，对于 窄带情况，y a m 近似等于嘶盯。上式也可简记为 f = z 1 0 3 3 ) 负载回路的电流为 帮( 3 - 3 4 ) 那么，这个电路的带通增益的频响特性可以写为： 洲舭盼。i 等引 p 。；， 3 2c t c q 交叉耦合模型传输零点独立性分析 通常在不相邻的谐振腔间引入额外的交叉耦合，在阻带产生有限传输零点， 以此来增加截止频率的陡度，提高滤波器的通道选择性。这种耦合谐振滤波器的 综合和设计已得到了广泛的研究( 7 1 。但是这种交叉耦合滤波器的调节通常是个非 常困难而重要的过程。特别是带外有传输零点个数及在复频率面的位置，其决定 了滤波器的矩形系数，并且直接与耦合网络的原型相关i q 。如果把四腔交叉( c q ) 耦合或三腔交叉( c t ) 耦合看成一个单元的话，本节重点研究了滤波器传输零点 与谐振腔间耦合系数的关系，证明了针对c q 和c t 结构传输零点位置的独立性， 这样可以方便我们在各个结构互不影响的情况下单独进行谐振腔调节，使得各个 零点的位置只与相应的单元有关。 3 2 1 三腔四腔交叉耦合模型 一般把原型看成一个半集总二端口网络，设源阻抗和负载阻抗相等。由于耦 合矩阵形式与网络拓扑结构原型直接相关，而目前还没有方法得到任意矩阵形式 之间的转换，因此确定网络拓扑结构非常重要。三腔交叉和四腔交叉耦合结构是 交叉耦合原型中比较常见而且应用广泛的两种结构 9 1 ，见图3 3 和图3 4 。三腔交 叉耦合结构如图3 3 所示，是有三个结点组成的单元，每个结点代表一个谐振腔或 者看成相互耦合的非同步调协并联l c 谐振器，届表示自频偏。每个单元对应产 生一个有限传输零点。 第三章交叉耦合原理及优化算法介绍2 1 ： = ： 图3 3 三腔交叉耦合低通原型 图3 4 三腔交叉耦合级联网络 同样，一个四腔交叉结构由一组四个同步调谐的并联l c 谐振器构成，同时在第一 个和第四个谐振腔之间引入交叉耦合。 图3 5 四腔交叉耩合低通原型结构 t 甑t 4 口虬 m 蕾 3 2 虬3 6 7 图3 6 四腔交叉耦合级联网络 首先研究具有n 个四腔单元的交叉耦合滤波器，其中包括n ( n = 4 n ) 个谐振 腔。通常都令耦合系数 l ，：- - m + i 很容易得到( 3 3 5 ) 式的分子为 广义c h e b y s h e v 滤波器的分析与设计 4 r 2x ( 3 3 6 ) 应用简单的线性代数知识，将矩阵分解为四个子矩阵，从( 3 - 3 6 ) 式得到 。r 2 l 肋 。三乏：钉 1 2 = 。置2 b h 小腑 c o - 习 n - s ) 1 2 ( 3 - 3 7 ) 其中o ( 州) 。表示一个( n 一5 ) 行4 列的零矩阵，皿 呐表示一个4 行( n 一5 ) 列 的零矩阵，以下同此解释。 将c 矩阵按照同样的方法继续分解，得到4 ， ，4 一，佧= 1 ，2 ，n ) 等矩阵，进 一步有 4 r 2 x f d 甜【彳l 4 - d 甜【4 】4 4 d 甜【呜】4 - 4 d 鲥【4 一i 】33 = 4 r 2 n 懈叫( 州2 ( 4 k _ 3 x 们) 肘m - 2 ) ( 4 t - d - w 2 m ( 4 k _ 3 x 4 k ) + m 2 ( 4 k - 2 x 4 t - d m ( t - 3 x 4 的) l ( 3 - 3 8 ) 则( 3 3 8 ) 式的根即为有限零点 取=叫mf4t-j)4tm2(4,-2。4k-1瓯)-m丽2(4t_3x4k_2)m(4t_2x4k_i)，=协-， 每个矩阵行列式d 四阻1 ，d 甜1 d 坷【4 一，1 的根就是一个四腔结构单元的零点， 并且与其他单元耦合系数及单元之间的耦合系数无关，于是整个滤波器的零点就 是每个四腔单元零点的总和，因此只需要用子矩阵地耦合系数分别计算每个单元 的零点就可以得到所有n 对传输零点，而不需要考虑单元间的耦合。可见四腔结 构滤波器的这一优点是由其自身结构特点决定的。 3 2 2 传输零点独立性验证 为了说明上述证明及结论的正确性，举一个具有两个四腔结构即8 个谐振腔 的滤波器的例子，推广到1 2 个、1 6 个以及更高阶也能说明问题。对于8 腔耦合滤 波器，有两个交叉耦合，如图3 6 所示，传输函数的分子为 胁 州 1ll，l_=i 铲 一 ：肌 2 1 4 o o o 缈m o。缈。讹警；：阮。：。 o。：o o 第三章交叉耦合原理及优化算法介绍 j m l 2 0 j m 、2 0 0 0 0 j w j m t a 0 0 。 0 0 o j m l 2 j w j m l 2 0 0 0 0 0 i m x 2 j w j m l 2 0 0 0 0 0 j m l 2 j 矿 j m u 0 j m l 2