（概率论与数理统计专业论文）常利率风险模型的多个分布.pdf

摘要 摘要 本文主要研究常利率风险模型下破产前盈余、破产赤字及其两者的联合分 布，最后主要研究了此模型下的多个极值联合分布。在推导破产前盈余、破产赤字 的分布的过程中，我们主要运用了经典风险模型下，破产时刻只能发生在索赔发生 的时刻这一性质。将过程离散化，在此过程我们通过数学归纳法推导了关于破产 前盈余、破产赤字分布的级数表达式。并在级数表达式的基础上推导了分布应该 满足的积分微分方程。在求联合分布的过程中主要是运用了离散化的过程具有强 马氏性，推导了两者联合分布应该满足的积分微分方程。最后我们在假设( 亡) 是 强度是入的泊松过程的前提下，推导了关于s u p o t t o ( 亡) ，i n f o t ( 亡) 的多个 联合分布。 _ _ _ t o 关键词：破产前盈余；破产赤字；联合分布；强马氏性；积分微分方程；递归方法；破 产时；绝对破产时； a b s t r a c t 一 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e rt h ed i s t r i b u t i o np r o p e r t i e so fs u r p l u si m m e d i a t e l y p r i o rt or u i n 、d e f i c i ta tr u i nf o rt h ec l a s s i cr i s km o d e lu n d e rc o n s t a n t i n t e r e s tf o r c e i n d e r i v i n gt h ep r o t e r t i e s ，w em a i n l y u s et h ei d e at h a tr u i no n l yo c c u ra tc l a i mt i m e sh a d e r t h ec l a s s i cr i s km o d e l s ow em a i n l yc o n s i d e r t h ee m b e d d e dd i s c r e t et i m ep r o c e s s b a s e o nt h ee m b e d d e dd i s c r e t et i m ep r o c e s s ，w ed e r i v et h es e r i e se x p r e s s i o nf o r d i s t r i b u t i o n o fs u r p l u si m m e d i a t e l yp r i o rt or u i n 、d e f i c i ta tr u i nb yi n d u c t i o n o n t h es e n e se x p r e s s i o n , w ed e r i v et h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rd i s t r i b u t i o no fs u r p l u s i m m e d i a t e l y p r i o rt or u i n 、d e f i c i ta tr u i n b yu s e i n gt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yo f t h ee m b e d d e d d i s c r e t et i m ep r o c e s s ，w ed e r i v et h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h ej o i n td i s t r i b u - t i o no fs u r p l u si m m e d i a t e l yp r i o rt or u i n 、d e f i c i ta tr u i n a s s u m i n gn ( t ) i s t h ep o i s s o n c l a i m n 嘲b e rp r o c e s sw i t hi n t e n s i t y 入，w ed e r i v et h ej o i n td i s t r i b u t i o n so fs e v e r a ll m - p o r t a n ta c t u a r i a ld i a g n o s t i c si n c l u d i n gt h es u p o t 砰巩( 亡) ，i n f o t _ t o 阮( 1 ) k e vw o r d s ：s u r p l u si m m e d i a t e l yp r i o rt or u i n ；d e f i c i ta tr u i n ；s t r o n gm a r k o v ；i n t e g r o d i f f e r e n t i a l ；r e c u r s i v e ；r u i nt i m e ；t h et i m eo fa b s o l u t er u i n e q u a t i o n ； 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：彳宝选毛舞 二口莎年y 月；口日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时 间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：；，象嬗霹琴 沙g 年歹月7 。e t 第一章引言 第一章引言弟一早ji 苗 自从经典的g r a m e r - l u n d b e r g 风险模型建立以来，对它有许多推广。其中一种 推广考虑了利息因素，并将理赔过程从齐次的泊松过程推广到一般的更新过程，从 而引入了带利率的更新风险模型。该模型对现实有很强的描述能力，因此成为当 前保险理论界和实务界特别关注的研究对象。因此很多专家对此模型进行了深入 的研究。g e r b e r 在1 9 7 1 年就研究了常利率的古典模型，第一个给出了绝对破产概率 的定义，研究了盈余过程的折现的极限性质。从此带常利率的的古典风险模型越 来越重要。它比不带利率经典模型更具有实际意义，更能形象的描述保险公司盈 余的运行方式。b o o g a e r t ，h a w z e n d i n c k 和d e l b a e r t 在1 9 8 7 年利用鞅方法进一步研究 了带常利率盈余过程折现的极限性质，b o o g a e r t 矛1 c r t i n s 在1 9 8 7 年也是利用鞅方法 研究了常利率的模型破产函数的上界，s u n t 和t e u g e l s 在1 9 9 5 年通过解破产函数满 足的积分方程，得到了带常利率模型破产概率的表达式，h m l i a n g y a n g 和l i h o n g z h a n g 在2 0 0 1 年找到了c ( u ，y ) = p u ( t ，- - y u ( t ) o ) ，g ( u ，y ) = p ( t o 。，u ( t ) - y ) ，1 一g ( u ，可) 满足的方程，并给出了当初始准备金充分大时，c ( u ，y ) = p ( t c x 3 ，- y u ( t ) 0 ) 的近似。j u n c a i 和d i c k s o n 在2 0 0 2 年通过研究罚金函数 满足的积分方程，而得到了它的一些性质，进而得到了篇( u ( t 一) x ，l u ( t ) i 可，t o 。) 的表达式，以及用鞅和递归方法得到了前n 次索赔导致破产概率的上界 估计。吴荣教授在2 0 0 3 年研究了常利率模型下的破产前盈余，破产赤字，破产时 刻三者联合分布。 本篇文章的第一部分主要是基于破产发生的时刻只能出现在索赔发生的时 刻这一思想，把原来连续时间的风险模型离散化，又因为此处我们讨论的风险模 型是更新过程，一般以第一次索赔作条件概率，利用独立性推导一种计算破产赤 字分布的一种递推算法。第二部分破产前盈余的分布也是基于同样的思想。文 章的第三部分主要是基于离散后的过程具有马氏性，利用马氏过程的转移概率 来求破产赤字和破产前盈余的联合分布，并基于两者的联合分布的表达式求出 了联合分布满足的积分微分方程。文章第四部分主要是应用了常利率模型具有 强马氏性， o 。) 和p us u p “( s u p 。t 卵( 亡) a ，i n f o t 一b ，矸 ，i n f 0 _ 0 代表初始准备金，c 0 表示保费率，n ( t ) 表示到时刻t 为止索赔发 生的次数。它是一个更新计数过程。n ( t ) 发生跳跃的时间就是索赔发生的时刻， 我们记索赔发生的时刻为死， 死一瓦一1 ；n 1 ) 是- - y ui i d 的序列，即第n 次索 赔发生需等待的时间长度。 弱) n 1 是- - y ui i d 而且与n ( t ) 独立。n ( t ) 表示 第n 次索赔的大小，设它们的共同分布为f ( x ) = 尸( x z ) ，令f ( x ) 是f ( x ) 的 概率密度。肛是他们共同的期望。我们称u ( t ) 是经典的风险盈余过程。 我们看到上面的模型不受利率的影响，而实际上保险公司会把盈余用来投资 或存入银行，当资产是负的时候可以从银行借款继续经营，这时它受到利率影响， 而且8 时刻的收入也要受到利率的作用。所以，我们可以对模型做一些改进使之 更符合实际情况。这时假设利率是一个常数6 0 我们就可以把上面的模型改造 成一个如下带常利率的古典风险模型： u 6 ( 亡) ，l ud 2 8 一 占 e + 6 eu 第二章风险模型理论 = u e 乳+ j f o te 6 ( t - s ) d s _ z 0 t e s ( t - s ) 如( s ) 亡。 这就是带常利率的古典风险模型，其中x ( 亡) = 骂k ，从而： t e 6 ( t - 8 ) d x = 喜秽吲 其中正是第i 次索赔发生的时刻，令比表示第i 次索赔发生需等待的时间间隔， 由模型的假设 以；i 1 ) 是i i d 令其共同分布是：k ) = p ( 彤 一；时，玩( 亡) 0 ，公司盈余( 亡) 在没有索赔 的情况下严格递增，还是有可能恢复为正值；当( 亡) 一；时，职( 亡) 0 ，保险 公司盈余( 芒) 递减，不会超过一；，这种情况下就可以定义保险公司的绝对破产， 在这种情况下保险公司的盈余不会恢复正值，盈余将会趋于一，一；就是此模型 的绝对破产界 3 第二章风险模型理论 2 2 基本定义 定义1 ：对于盈余过程 ( t ) ，t o ) 定义： t 2 渺i n f 馔嘉鐾 这处t 是破产时刻。定义2 ： 死： 砻亡础责i ， 为绝对破产时刻，即一旦盈余掉到一i 向下，就不可能恢复到正值。 定义3 ： 霹= 丞亡主羹警雾 为盈余首次恢复为零的时刻。 定义4 ：对于破产时刻t ，定义 吹( u ) = p u ( t ) 为破产概率。 向= 1 一圣( 札) = p u ( 丁= o 。) 为生存概率。 4 第二章破产赤字的分布 第三章破产赤字的分布 自从g e r b e r , g o o v a e r t s 和k a s sz j 入描述破产赤字的分布状况的函数；有关问题 立即成为破产理论研究的重要课题，因为它不仅关系到保险公司的利益，而且与 保户的利益密切相关。 由于破产时刻只能发生在索赔发生的时刻瓦，从而把_ ( 亡) ) 离散为 ( ) ) 只 需讨论 玩( 瓦) ) 的分布状况。 通过离散后得到 ( 死) ) 特别当t = 时有 一t + c 丁e 6 t - 1 一篓秽删 ( 死) = 舻+ c 竿一， 矾一磐一c 竿矽圳 呓函毗一郭一c 竿矽擘 下面引入函数： h ( u ，z ) = p ( i ( t ) i z ，t 2 5 第三章破产赤字的分布 其中& = 后e 知d v 证明：由于破产时刻只能发生在死时刻，则根据全概率公式有 h ( u ，x ) = p ( i ( t ) i z ，t o 。1 ( o ) = u ) = p ( u 6 ( t ) i 0 ，一z 0 ，一z ( 死) o l u , ) = 乱) 表示破产发生在第n 次索赔时的分布函数。 现在最关键的问题是求 ( u ，z ) 的分布函数，这里主要是通过归纳递推的方 法。有定义得： f x ( u ，x ) = p ( - x u 6 ( t 1 ) 0 ，t = 乃i ( o ) = u ) = p ( 一x u e 6 乃一m o l u , ) = 乱) ：p ( - z u e 肌一( x 。一c 尝 0 ，- - x 玩( 死) o l u 6 ( o ) = “) ： p ( 钆e 饥一m 0 ，一z ”e 踢一e 6 ( 死一乃) m 一蚝 0 ) ： p ( 一z u e 6 ( 抖w 2 ) 一e s w 2 一m o ) d f ( s + c s t d k ( t ) ) j o j - - c s t p o op u e o + 峨 ： p ( 一x ( 札e 乳+ c 魂一s ) e 6 讹一m o ) d f ( s ) d k ( t ) 3 qj 0 ，o op 牡e s t 4 - c k t = f l ( u e 疣+ c 瓦一s ，x ) d f ( s ) d k ( t ) 6 第三章破产赤字的分布 由归纳假设，当n 2 时 ( u ，x ) = p ( ( 丑) 0 ，阮( 瓦一1 0 ，- - x ( 已) 0 ) 其中 ：p ( u e 6 w 1 一m 0 ，钆e 6 ( 肌+ ) 一e 5 w 2 y 1 一y 2 0 ，u e 6 j n = - - 1 1 n - - 1n 一y e a 吕n = - - 1 0 ，一z u e 6 e = ，一y i e 6 e = i = 1i = 1 r o or u e , j | | 0 l ，一c 瓦 0 ) p ( ( u e 乳一s ) e 6 一k 0 ，( 钆e 础一s ) e 6 j n = - - 2 1 一e 6 赫，0 ，一z ( 饥e 乳一s ) e y = 。 i = 2 一y j e y = 件， o ) d f ( s + c 瓦) d 忌( 亡) i 味1 吨 j 0 j c 虱 厶u ，z ) = e 以i n 一1u e 乳一8 ，x ) d f ( s + c & ) d k ( t ) = 咒一c 睨一1 o 。o e 6 j + c 碗厶一，( “e 研jc s t - - 8 ，x ) d f ( s ) d 尼( 亡) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 由以上的关系，则由 ( 乱，z ) 的表达式，我们可以得到厶( 札，z ) 的表达式，从而得到 破产赤字的分布函数： h ( u ，z ) = o o ( 钆，z ) n = l 定理3 2 破产赤字的分布函数h ( 钆，z ) 满足一下的积分方程： ( 3 6 ) 日( 钆，z ) = 7 0 u e t t + c & + x 日( u e 6 t + c & - s , x ) d f ( s ) d 后( 亡) ( 3 7 ) 证明：由( 3 6 ) 可得： 0 0 h ( u ，z ) = 厶( 钆，z ) n = l 7 第三章破产赤字的分布 = ( 钆，z ) + 厶( 乱，z ) n - - - 2 f l ( u ，x = f lu z = ( 乱，x = ( 钆，z 0 o 。 e e ：j i ：? 二三一z t + c 魂 乳+ 嘶 乳+ 峨 乳+ 畹 厶一1u e 乳+ c 瓦一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) 厶一1 ( j u e 尻+ 瓯一s ，x ) d f ( s ) d k ( t ) n = 2 厶( u e 乳+ c 瓦一s ，x ) d f ( s ) d k ( t ) h ( u e & + c 瓦一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) d f ( s ) d k ( t ) +o 。o u e 以+ c 磊 h ( u e 乳+ c 鼠一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) 又因为当一z y o 时，h ( y ，z ) = 1 从而 日( “，z ) = ee ：m 上o 。o u e 磊 o 。o u e 6 + c 瓦+ z h ( u e & + c 瓯一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) h ( u e 以+ c 瓦一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) 8 ( 3 8 ) 厂f f f + + + + 、l，、，、l，、l， 、l ， ， 七d 、1 ， s ， fd 、l ， zs 一 一鼠 c + 乳 eu ，l h 第四章破产前瞬间盈余的分布函数 第四章破产前瞬间盈余的分布函数 d u f r e n s e 矛 i g e r b e r 在g o o v a e r t 和k a s s 工作的基础上引入描述破产前瞬间盈余 的分布状况的函数： r ( 乱，x ) = p ( 0 ( t 一) z ，t 0 0 1 ( o ) = u ) ( 4 1 ) 它是初始盈余为乱时的破产前瞬i b q 盈余的分布函数 定理4 1r ( u ，z ) 如( 4 1 ) 式定义，则r ( u ，z ) = 墨1 凰( u ，z ) ，其中 ，z)：广游n1-ue5trl(u 1 f ( u e + c g t ) d k ( t )，z ) = + ) r ( u ，z ) = o 。f o 懈风一。( u e 6 t + c s t - - 8 , x ) d f ( s ) 哪) m 2 ) i l i a 与定理( 3 1 ) 的证明类似，有 r ( u ，z ) = p ( u 6 ( t 一) x ，t i ( o ) = u ) = p ( ( 巧) z ，t = 死i 巩( o ) = 钆) n = 1 = 尸( o ( 瓦一) z ，( 死) o ，t = 死i 巩( o ) = u ) n = l = p ( u 6 ( t o 0 ，u 6 ( t 竹一1 ) o ，0 ( 已一) z ， 礼= 1 阮( 死) 0 ，t = 瓦i 巩( o ) 一“) = r ( u ，z ) ( 4 2 ) 其中r ( 乱，z ) = p ( u 6 ( t z ) 0 ，( 死一1 ) 0 ，0 巩( 瓦一) z ，( 死) o ，t = 瓦1 ( o ) = u ) 是第n 次索赔导致破产时破产时破产前瞬间盈余的分布函数， 显然： r z ( u ，z ) = p ( u 6 ( t - ) z ，t i ( o ) = 乱) 9 第四章破产前瞬间盈余的分布函数 = p ( u 6 ( 乃) z ，t = t z i ( 0 ) = u ) = 尸( ( 五) z ，巩( 五) 0 ，t = 乃1 ( o ) = u ) p ( u e 6 w 1 + o w l x ，乱e 6 肌 p ( u e 6 嘶+ c 厩z ，u e 6 阢 一m o l 巩( o ) = u ) 一( x ，一c 笠；) o i ( o ) ：钆) 一( x 1 一c 手) o i ( o ) = 钆 ，o 。 p ( u e 以+ c g tsz ，u e 一m o l 胍= 亡1 ，m = y ) j 0 d k ( t ) d f ( c g t + y ) ： z 业f u 二d f ( 秒+ 瓯) d 七( 亡) ：广h 群肿f ( c g t + u e 乳) d k ( t ) = + 酏 ) ，0 其中f ( z ) = 1 一f ( x ) r 2 ( u ，z ) = p ( 巩( 五) 20 ，u 6 ( t 2 ) x ，u 6 ( 死) 0 ，t = t 2 i 阮( o ) = u ) p ( u e 艿肌一h 0 ，u e 6 ( w 1 + w 2 ) 一e 5 m + c e s w 2 1 6 u e 6 ( w 1 + w 2 ) 一e 5 m k o ，7 r e 5 ( w a + w 2 ) - - e 6 w 2 h + c u e 6 ( 肌+ ) 一e 姗，2 m k z ， c s w 2 1 ( 4 7 3 ) z ， 0 1 m = t ，m = s ) d f ( s + c g t ) d k ( t ) z 0 。仁州u e 5 t - - 8 矽耽+ c e s w 2 1 6 z ( u e 乳一s ) e 6 耽一k o ) d f ( s + c g t ) d k ( t ) = o 。o 舻+ 碗 由归纳方法得： r 1 ( 乱e 乳+ c 玩一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) r ( 乱，。) = p ( ( 丑) 0 ，( 瓦一1 ) 0 ，u 6 ( 瓦一) z ，u 6 ( 死) 0 ， t = 已i 观( o ) = u ) = p ( u e 6 研一y 1 0 ，u e 6 ( w 1 + w 2 ) 一e 5 一e 5 m y 2 0 ， 竹一1 钆e 6 倒n - - 1w j f e 6 倒n - - 1 + 1 j 二- - j i = 1 + c e 6 w n 1 n 一1 o ，u e 占z t = 一m e 6 凳 i - - - - 1 z ，u e 占各1 w 3 一 1 0 ( 4 4 ) 件警 一 k n 僦 第四章破产前瞬间盈余的分布函数 + c p ( ( 乱e 乳一8 ) e 6 w 2 一y 2 0 ，u et s ) e j j n = - - 2 i n - - 1 细n - - 1 + ，w j 0 ，u e 淝一s ) e 6 e ；= 。一y i e 6 e ； = + 1 啊 i = 2 z ，( 钆e 一s ) e 6 ：一k e 6 冬 = 2 d f ( s + c 亘t ) d k ( t ) ，o o，- u e 乳 l | j oj 一喊 ，o oi , u e 5 t | | j oj o 鼠一1u e 巩一8 ，x ) d f ( s + c g t ) d k ( t ) + c 瓯 r 一1u e 乳+ c 瓦一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) 定理4 2 破产前瞬间盈余的分布函数r ( “，z ) 满足如下积分方程 r ( u ，z ) = j 广o 1 n 麓】+ f ( c g t + u e s t 眦) 0 ) ( 4 5 ) + f o o of u e , t + c 磊r ( c g t + u e a t - - s , x ) d f ( s ) d 七( 亡) ( 4 6 ) 证明：由( 4 2 ) ( 4 5 ) 得： r ( u ，z ) o o ( u ，z ) n = 1 = r 1 ( u ，z ) + ( u ，z ) n = 2 酏卅薹。 i , u e 5 t + 啦 。l 、 r 一1 ( u e 品+ c 瓦一8 ，x ) d f ( s ) d k ( t ) ，o oi , u e 6 t + c 磊 蜀( 卅z 上 三昧( 雠q 瓯_ s ) d f ( s 眦) r li n z 6 + e f l + f ( c 瓦+u e 乳) d k ( t ) + 0 0 雠以槭r ( c s t + u e 6 t - - s , x 肌d f m 这是满足的方程。 l l 第五章破产前和破产瞬间余额的联合分布 第五章破产前和破产瞬间余额的联合分布 在d u f r e s e n 和g e r b e r 的基础上，d i c k s i o n 并i d o s ，r e i s 又引入了联合分布函数： 毋u ，z ，y ) = p ( t o o ，0 既( t - ) x ，i 阮( t ) l 剪l 玩( o ) = u ) ( 5 1 ) 这一节的主要思想是首先证明( 巩( 死) ，n = 1 ，2 ，) 是齐次马氏链，再利用转移 概率求破产前和破产瞬间余额的联合分布。 定理5 1 ( 玩( ) ) 是一个齐次马氏链，有转移概率q ( x ，b ) = p p e 踊+ c s t r ，一 x 1 b ) 证明：令玩表示( ( 瓦) ，k 礼) 产生的盯代数， p ( u 6 ( t n ) b i 玩一1 ) ：p ( e 6 ( r 靠，) ( 瓦一1 ) + c 坚掣一 k b i 磊一1 ) 又因为噩，乃一乃，瓦一死一，相互独立，且已一e l 和相互独立。 尸( ( b ) b i 玩一。) ：p ( e 占陬一死- 1 ) 以( b 一1 ) + c 竺兰一k b i 玩一。) ( 5 2 ) 即得马氏性：p ( ( 瓦) b i 玩一1 ) = p ( u 6 ( 咒) b i u ( t n 一1 ) 其转移概率记 为q ( n 一1 ，z ；n ，b ) 又因为是齐次的所以记一步转移概率为q ( x ，b ) 定理5 2 破产前和破产瞬间余额的联合分布毋u ，z ，秒) 有如下展示： 川 i n 黯】+厂u e 6 t - t - c g t - l - y f 6 ( 札，z ，y ) = ，( 让 z ) d k ( t ) d f ( z ) + r ”i 一 z 小兼1 + + ，oq ( u , d x a ) j oq ( x n _ 2 , d x n _ z ) o 6 十“ ，i z n l e 乳+ c g t + y d k ( t ) d f ( z ) 证明：破产时刻只能发生在( 已) 时刻，所以只需考虑( 巩( 死) ) 的分布。 乃u ，z ，y ) = p “( t o o ，0 u 6 ( t - ) z ，l u 6 ( t ) l y ) 1 2 第五章破产前和破产瞬间余额的联合分布 p u ( t = 咒，0 阮( 巧) z ，i u a ( t n ) l ) n = l p “( t = 五，0 ( 五一) z ，i u a ( 五) i 可j ( o ) = u ) p ( t = 死，0 u a ( 已一) z ，i ( 咒) l 可i u a ( o ) = u ) z ) p u ( t = 五，0 u a ( 五一) z ，1 ( 五) i 0 ，0 ( 咒一1 ) z ， n = 2 0 ( 死一) x ，- y ( 已) 0 ) ：讹 z ) 广1 一x 6 + a 】+ 州亡)e ? d f ( z ) + 薹。删，和x n - 2 , d x n - 1 ) o 皓h 翻+ ，z n 一1 e d t + c 瓯+ 暑， d k ( t ) d f ( z ) z 礼一l e 乳+ 嘶 ( 5 3 ) 定理5 3 破产前和破产时瞬间盈余的联合分布乃( 乱，z ，) 满足如下的方程： 乃u ，z ，y ) = f o 。d k 厂懈 + ，( 让 x ) 证明：由( 5 3 ) 式的后一项得： 争r z n 一= 2j o ：厂zq j o q ( u , d x l ) ，i o z q ( z 脚， 咖) 扣垛 f 6 ( u e 乳+ c 鼠一z ，z ，y ) d f ( z ) i n 镌 d x n 一1 ) d k ( t )睽_d f ( z ) 广h 靠】+ 删厂e 6 t - k c k t - k yd f ( z ) j o ，z n - - l e s t + c g t f x l e 乳+ c 瓯+ ! ， d k ( t ) d f ( z ) j x l e 6 t + c & + 薹小州训7 0 0 ，。n 一1 e 乳+ c 尻+ ! ， d k ( t ) d f ( z ) ，z n - - l e 6 t - - e 蝠t 又因为， j o z q ( u ， q ( x n - - 2 酬广鞠+ d x l ) 厂吾1 n 业d l z l + e 砒( ) 厂z l e a t + c 啪d f ( z ) j o j x l e 6 t + e & 1 3 脚以 - ，i l _ 1 ， 1 i 厂，加 第五章破产前和破产瞬间余额的联合分布 z ) q ( u , d x l ) j 。1 n 业5 x 1 + c 删z l e 6 t 蝌掣d f ( z ) j o ，z l e s t + c 氧t 叫扣嵘州亡_ = 枷蜊 q ( u , d x l ) ，o zq ( z 删， f x n - 1e 6 t + c g t + y d k ( t ) d f ( z ) ，z n 一1 e 乳+ c 瓦 e d x n 一1 )广卷】+ o 。q i d x 。) ，霉q ( x j 0 脚， z 1 ， 2 ) ， 扎一2 ， ，z n l e 乳+ c 瓦+ ! ， d k ( t ) d f ( z ) l ，i 一1 e 6 。+ 嘶 由( 5 3 ) ，( 5 4 ) ，( 5 5 ) 式可得： 酏删) 一厂51 n 糯删 j o 又因为 乃z ，壬，y ) q ( u ，d z ) 从而得证。 如扎一1 )o 。 ( 5 4 ) ( 5 5 ) 乃z ，z ，剪) q ( 钆，d z ) ( 5 6 ) f o 。d k 厂慨f 6 ( u e 6 t + c g t - z , x , y 肌d f ) ( 5 7 ) 1 4 z z ， f r l i = 瞄 脚 、l ， l zd 0q 第六章极值的联合分布 第六章极值的联合分布 前面几节中，假设( 亡) 是一般的更新过程。这一节我们假设n ( t ) p a 强度为入 的泊松过程。从而模型就变成带常利率的复合泊松模型： 玩( 亡)= e 乳( 钆+ c t e - 6 s d s _ te - s s 出( s ) ) x ( 8 ) = 骘k ，( s ) 是强度为入的齐次泊松过程。x ，( i = 1 n ) 是i i d 非负 随机变量序列，有共同的分布f ( z ) 我们知道常利率模型当盈余( 亡) 0 ：( 亡) = z ) 定义：对于破产时刻t ， ( 札) = 尸u ( 丁 o o ) 为破产概率。 垒三j 一西( 札) = p 让( t = ) 为生存概率。 定义：海移算子巩使玑( 仇u ) = 以+ 。) ；对于有限停时丁有o t ( w ) = 巩( u ) 如 果t ) = t i 3 _ 样有阢8 t = u t + t 令h ( u ，y ) d y = p “( i u ( t ) i d y ，t 0 ，0 b ；时，则 p w 。骣pu 6 ( t ) 。6 ，砰 o 。) 0 t u ；则? p ( s u p ( 亡) 一b ，碍 。o ) o t 砰o t 础 = 詈p ( 碍 0 ，0 b ；时，因为。( 亡) 过程具有强马氏性，则有： p w 。 s 。u p 砰( 亡) - 6 ，砰 ) = e “ 尸w 芝墨( 亡) 口，t 一6 ，砰 ) 。幻i 所) 】 = 掣 尸w 。曩娶( t ) a , t 山，霹 o 。) o e r l 阮( t ) ) 2 上尸叫( 。 i n - 6 ，霹 o o ) 尸u ( i 现( t ) j 咖，t t a ，t ) ( 6 2 下面求p 吖i 巩f t l i 咖，t t a ，t ) 又因为 p 仳( i u 6 ( t ) i d y ，t t a ，t o o ) = p l u ( 丁) l d y ，t ) 一p u ( i 阮( 丁) l d y ，l t ，t ) = h ( u ，y ) d y p ( i u 6 ( t ) i d y ，t a t ，t o o ) ( 6 3 ) p “( i u 6 ( t ) i d y ，l t ，t o 。) = e “ p t “巩( t ) l d y ，t a t ，t i 既) 】 1 6 第六章极值的联合分布 = e u i f u ( 死 t ，( 1 巩( t ) i d y ，t o 。) o i 既) = p u ( 瓦 t ) p 口( 1 u ( t ) l d y ，t o o ) = p u ( 咒 t ) h ( a ，y ) ( 6 4 ) 下面求p ( 瓦 t ) p u ( 咒 t ) = p u ( 瓦 t ，t ) + p “( 死 t ，t = o 。) = p u ( l t ) p n ( t o 。) + p u ( t = ) = 尸u ( t a t ) ( o ) + 1 一( u ) ( 6 5 ) 从而p ( l t ) = 器 则可得： p ( i u 6 ( t ) i d y ，t 死，t ) = 眦螂) 一器am 川 ( 6 6 ) 9 【j 此联合分布最关键的问题是求解尸( i n f o 一b ，卵 ) 引理6 2 当 6 时，p - 掣( i n f 0 t 一6 ，矸 y = 等铲 当6 时，p ( i n f o 一b ，矸 ) = 0 证明：令 m = m a x i u 6 ( t ) l ：t t 厨= m a x i u 6 ( t ) i ：u 6 ( t ) 0 p ( 庇 b l u 6 ( o ) = 一y ) = p ( t t b ，t , o o o l u , ，( o ) = 一y ) + p ( 财 b ，矸i u 6 ( o ) = 一y ) 而6 ；时， 又因为： p ( a t b ，矸i u 6 ( o ) = 一y ) = 0 p ( 厨 b ，矸 o o l u 6 ( o ) = 一y ) = p ( m b ，霹 i ( o ) = 一可) ( 1 一( 6 ) ) ( 6 7 ) 1 7 第六章极值的联合分布 此处主要是应用了马氏过程的条件独立性质。 而 p ( m h i u 6 ( o ) = - - y ) = 1 一( 6 一y ) 从而由( 6 7 ) ，( 6 8 ) 可得： 则： ( 6 8 ) 删 旧 o o 删一) = 帮 ( 6 9 ) 由( 6 2 ) 、( 6 6 ) 、( 6 9 ) 可得： 尸w 。曩岛( 亡) 。，o i t n r 一6 ，霹 ) o ；时，因为当矸 时，此模型在砰之前不会发生绝对破产 p u ( s u p ( 亡) 一b ，碍 ) 0 t 钾0 t t o = p u ( s u p 巩( 亡) a ，砰 ) 0 t t ? l = p u ( t t a ，矸 ) = p 乱( 矸 ( 3 0 ) 一p 让( l t ，矸 o o ) ( 6 1 0 ) p 让( e t ，掣 ) = e u p u ( l t ，( 矸 o o ) e 2 - ol 既) = p ( 瓦 t ) p ( 霹 ) ( 6 11 ) 其中p u ( 死 t ) = 糕 下面求p 。( 卵 。) p 0 ( 矸 ) ： 詈p 一可( 矸 ) p 札( i u ( t ) i 咖，t ) j 0 = 詈尸叫( 四 ) ( 钆，可) 咖 ( 6 1 2 ) 第六章极值的联合分布 由( 6 5 ) ( 6 1 2 ) 可得： p w 州s u p 矸u z ( 亡) 山，霹 ) = z 吾p ( 碍 0 ，0 b ；，y ；时，则 尸u ( u ( 丁一) d x ，i u ( t ) i d y , n 三。u ，p 唧( 亡) 一6 ，霹 ) 0 ；，y ；则? p 札( u ( t 一) d x ，i u ( t ) i d y , 一s 。u ，p 0丁。( 亡) 一6 ，霹 ) 丁甲 u 、1 = 帮叭郴m 一糕m 川叻 其中石( 6 ) 的求解过程请参照周明2 0 0 5 年应用数学学报 证明：1 1 由过程的强马氏性可得： p ( 矿( t 一) 如，i u ( t ) i d y , s oud一巩(亡)-6，霹oo)tto u f = e u i f u ( u ( t - ) d x ，i u ( t ) i d y ，s u p 巩( 亡) a ，t o 。， o t 一b ，t 1 0 o o ) o 幻l 舀) 】 u 1 r = e u i f u ( u ( t - ) d x ，i u ( t ) i d y ，s u p 巩( 亡) a ，t o 。， o t 一b ，四 ) o 钟i ( t ) ) 】 = p ( u ( t 一) 如，i u ( t ) i d y , 。嬲既( 亡) n ，t 山，霹 o 。) 0 t tu t r 其中： p “( u ( t 一) d x ，l 矿( t ) i d y ，s u p ( 亡) a ，t 。) 0 t t = 尸u ( u ( t 一) d x ，i 矿( t ) l d y ，t 死，t o o ) = p ( u ( t 一) d x ，i u ( t ) i d y ，t c c ) 一p u ( u ( t - ) d x ，i u ( 丁) i d y ，l t ，t o 。) ( 6 1 4 ) 1 9 第人章极值的联合分布 而 尸“( u ( 11 - - ) d x ，l u ( ) l d y