（原子与分子物理专业论文）激光作用下囚禁离子在lambdicke区域精确的量子运动.pdf

激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动 i o 1 中文摘要 离子阱作为现代原子分子物理研究最具代表性的装置之一，目前已 经广泛地应用于科学技术研究的各个领域。特别是离子囚禁技术和激 光冷却的结合，使得离子阱有了更广阔的应用。它不仅作为一种强有力 的工具被用来检验量子力学的基本原理，而且在量子逻辑操作，量子计 算，量子信息和量子态的制备等高新技术领域的研究中，更是被大量地 应用，使得人们对离子阱中囚禁离子的动力学特征越来越感兴趣。但是 由于外在的环境参数和其本身的初始条件对囚禁离子有很大的影响，两 者的微小改变都可能导致离子运动轨迹发生较大的偏移，甚至会使离子 的运动出现混沌，从而导致难以控制离子的运动状态。所以，对囚禁离 子的动力学特征进行深入的研究也就显得尤为重要。本文共分四章，主 要内容如下： 第一章主要介绍了p a u l 阱的基本原理和囚禁少离子研究的历史和 现状。 在第二章中，研究驻波型激光脉冲作用下，囚禁于p a u l 阱中的单离 子在l a m b - d i c k e 区域的久期运动。不仅得出了系统有限形式的经典力 学精确解，还通过试探解方法，得到系统的量子力学精确解和不连续时 变能谱。基于精确解描述的几率波包串和能量期待值，我们发现：a ) 在 l a m b - d i c k e 区域，离子运动不会出现混沌状态b ) 波包串中心以及波包 串的高度和宽度受激光脉冲的强度和波矢控制，通过调节激光强度和波 矢可以控制波包串的形变和传播：c ) 在激光脉冲作用瞬间，离子的能 量期待值发生跳变，而在激光关闭时段，有窄的能带形成；d ) 存在一个 激光脉冲强度和波矢的临界值，在临界点附近，系统的稳定性会发生变 化。 在第三章中，研究激光驻波作用下，囚禁于p a u l 阱中的单离子在 l a m b - d i c k e 区域的久期运动。得出了系统无穷级数形式的经典力学精确 解，同样通过试探解方法，得到系统的量子力学精确解和连续时变能谱， 它与经典m a t h i e u 方程的解直接相关。取m a t h i e u 方程的近似解代入量 子力学精确解，我们分析了激光驻波对几率波包串的具体影响，得到如 下结论：a ) 波包串的高度和宽度函数在很小的范围内随时间周期性振 i i 硕士学位论文 荡，受激光的影响非常小，波包串在空间传播时，近似不发生形变。b ) 一级近似下波包串中心周期性振荡的幅度和频率都受激光场的控制，激 光的强度越大、频率越小，波包串的振荡幅度就越小，振荡频率就越大； 而当激光的强度越小、频率越大时，波包串的振荡幅度就越大，振荡频 率就越小。 第四章是对本论文研究工作的总结，并对p a u l 阱中囚禁离子的动力 学研究做了一个展望。 本文中，作者的主要工作集中在第二章和第三章。 解 关键词：囚禁离子，激光脉冲，激光驻波，l a m b d i c k e 近似，精确 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动i i i 0 2英文摘要 a b s t r a c t a so n eo ft h em o s tr e p r e s e n t a t i v ed e v i c et os t u d yt h em o d e r na t o m i ca n d m o l e c u l a r ，i o nt r a ph a sb e e nw i d e l yu s e di nr e s e a r c h e so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y e s p e c i a l l ya f t e rt h e c o m b i n a t i o nw i t hl a s e r - c o o l i n gt e c h n o l o g y , i o nt r a ph a saw i d e r a p p l i c a t i o n n o to n l yi t i sa p p l i e da sap o w e r f u lt o o lt op r o v et h ef u n d a m e n t a l t h e o r yo fq u a n t u mm e c h a n i c s ，m o r ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n so fi o nt r a pa r es t u d - i e di ns o m en e wt e c h n o l o g yf i e l d s ，s u c h 蠲t h eq u a n t u ml o g i co p e r a t i o n ，q u a n t u m c o m p u t a t i o n ，q u a n t u mi n f o r m a t i o na n dt h ep r e p a r a t i o no fq u a n t u ms t a t e s ，w h i c h l e a d st om o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sf o c u s e do nt h ed y n a m i c so ft r a p p e di o n h o w - e v e r ，t h em o t i o no ft r a p p e di o ns e n s i t i v e l yd e p e n d so nt h ee x t e r n a le n v i r o n m e n t p a r a m e t e r sa n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n so fi t s e l f , v e r ys m a l lv a r i a t i o n so ft h e mc a n l e a dt ol a r g ed e v i a t i o n so ft h et r a j e c t o r yo ft h ei o n ，e v e nt ot h ec h a o t i cm o t i o n ， w h i c hm a k e st h em o t i o no ft h ei o nu n c o n t r o l l a b l e t h e r e f o r e ，m o r ee x t e n s i v e l y i n v e s t i g a t i o na b o u tt h ed y n a m i co ft r a p p e di o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u m - m e c h a n i c a lt r e a t m e n ta p p e a rp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n t t h i sp a p e ri so r g a n i z e da s t h ef o u rp a r t sa n dt h em a i nc o n t e n t si sp r e s e n t e da sf o l l o w s t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h eb a s i cp r i n c i p l eo ft h ep a u lt r a p ，a n dt h e h i s t o r ya n dp r o g r e s so nt h er e s e a r c h e so ff e wt r a p p e di o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h es e c u l a rm o t i o no fas i n g l ep a u l - t r a p p e di o ni nt h el a m b - d i c k er e g i m e ，w h i c hi n t e r a c t sw i t has e q u e n c eo fs t a n d i n g l a s e rp u l s e s w eg e ta nl i m i t e df o r m so fe x a c ts o l u t i o no ft h ec l a s s i c a lm e c h a n i c s ， a n da ne x a c tq u a n t u mm e c h a n i c ss o l u t i o no ft h es y s t e ma n dt h et i m e - v a r i e de n e r g y s p e c t r u mt h a ti sd i s c o n t i n u o u sb yu s i n gt h ea n s a t zm e t h o d b a s e do nt h ew a v e - p a c k e tt r a i n sa n de n e r g ye x p e c t a t i o nv a l u ed e s c r i b e db yt h ee x a c ts o l u t i o n ，w ef i n d t h a t ：a ) t h em o t i o no ft h ei o nw i l ln o tp r e s e n tc h a o si nt h el a m b - d i c k er e g i m e b ) t h e c e n t e r ，h e i g h ta n dw i d t ho ft h ew a v e - p a c k e tt r a i n sd e p e n do nt h es t r e n g t ha n d w a v ev e c t o ro fl a s e rp u l s e s ，t h ed e f o r m a t i o na n ds p r e a do ft h ew a v e - p a c k e tt r a i n s c a l lb ec o n t r o l l e db ya d j u s t i n gt h es t r e n g t ho fl a s e r c ) e n e r g ye x p e c t a t i o nv a l u e s 硕士学位论文 o ft h ei o no c c d rj m a pa tt h ei n s t a n t a n e o u ss w i t c h i n go nt h el a s e rp u l s e s f o rt h e t i m ei n t e r v a l ss w i t c h i n go f ft h el a s e rp u l s e ss o m en a r r o wb a n d so ft h ee n e r g ya r e g e n e r a t e d d ) w h e nt h es t r e n g t ha n dt h ew a v ev e c t o ro fl a s e rp u l s e sr e a c hc r i t i c a l v a l u e ，t h es y s t e mc h a n g e si t ss t a b i l i t y i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h es e c u l a rm o t i o no fas i n g l ep a u l - t r a p p e d i o ni nt h el a m b - d i c k er e g i m e ，w h i c hi n t e r a c t sw i t ht h el a s e rs t a n d i n gw a v e w eg e t t h ei 曲1 1 i t es e r i e sf o r m so fe x a c ts o l u t i o no ft h ec l a s s i c a lm e c h a n i c s a n da ne x a c t q u a n t u mm e c h a n i c ss o l u t i o no ft h es y s t e ma n dt h et i m e - v a r i e de n e r g ys p e c t r u m t h a ti sc o n t i n u o u st h es a m eb yu s i n gt h ea n s a t zm e t h o d a n dt h ee x a c tq u a n t u m s o l u t i o no ft h es y s t e mb yu s i n gt h ea n s a t zm e t h o d u s i n gt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n o fm a t h i e ue q u a t i o n ，w ea n a l y z et h ei m p a c to fl a s e rs t a n d i n gw a v eo n w a v e - p a c k e t t r a i n s a ) t h eh e i g h ta n dw i d t ho ft h ew a v e - p a c k e tt r a i n sp e r i o d i c a l l yo s c i l l a t e i ns m a l lr a n g e ，t h ee f f e c to fl a s e ri sv e r ys m a l l ，t h es p r e a do ft h ew a v e - p a c k e t t i - g i n sa l m o s th a sn od e f o r m a t i o n b ) t h el a s e rf i e l dh a se f f e c to nt h ec e n t e r d rt h ew a v e - p a c k e tt r a i n s ，l a r g e ri n t e n s i t ya n ds m a l l e rf r e q u e n c yo fl a s e rl e a dt o s m a l l e ra m p l i t u d ea n dl a r g e rf r e q u e n c yo fw a v e - p a c k e tt r a i n s ，o nt h ec o n t r a r y , s m a l l e ri n t e n s i t ya n dl a r g e rf r e q u e n c yo fl a s e rc a u s el a r g e ra m p l i t u d ea n ds m a l l e r f r e q u e n c yo fw a v e - p a c k e tt r a i n s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，s o m ec o n c l u s i v er e m a r k so nt h ew o r kp r e s e n t e di nt h i s t h e s i sa n dt h eo u t l o o ko nt h ep r o s p e c tf o rt h ed y n a m i c so ft r a p p e di o ni sg i v e n i nt h i sa r t i c l e ，t h ea u t h o rm a i n l yc o n c e n t r a t e di nc h a p t e r2a n d3 k e yw o r d s ：t r a p p e di o n ，l a s e rp u l s e ，l a s e rs t a n d i n gw a v e ，l a m b - d i c k e a p p r o x i m a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动4 9 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用 的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 ， 学位论文作者签名：芹妒象秀汐f 年易月3 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 湖南师范大学学位论文原创性声明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密既 ( 请在以上相应方框内打”4 ) 作者签名：种类磐 日期：刃j 口年钥鑫日 导师签名：( ，易a 哞 日期：加f p 年多月g 日 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动1 第一章绪论 1 1引言 自原子的发现以来，人们就一直非常渴望观测到单个粒子的行为， 探索物质的基本结构和运动规律。为了探索分子，原子和离子等微观粒 子的内部结构和运动规律，这需要一个与外界隔绝的环境，以使微观粒 子的运动不受任何外来影响，操纵和控制单个微观粒子( 分子，原子或 离子) 成了物理学家长期以来追求的目标。随着用于粒子囚禁的离子阱 和激光冷却技术的不断发展，使实现这种隔离环境成为可能。而激光冷 却和离子囚禁技术的结合，更是开辟了离子阱应用的新篇章。在众多的 离子阱中，p a u l 阱【1 】由于其优良的特性和先进的功能，在科学和技术 研究的各个领域得到了广泛的应用，极大的促进了相关学科的发展。囚 禁于p a u l 阱中的离子是一种有趣的非线性系统，囚禁离子的运动对外 加参数和初始条件有很强的敏感性，两者的微小改变都可导致离子运动 轨迹发生较大的偏移，从而使离子呈现混沌的运动，难以控制其运动状 态，因而囚禁于p a u l 阱中的离子动力学特征广受关注。 同时，p a u l 阱为微观领域的研究开辟了一条崭新的道路，成为了研 究量子物理学的一个强有力的工具。目前利用p a u l 阱在量子逻辑操作 【2 ，3 ，4 1 ，量子计算【5 ，6 】，量子信息1 7 ，8 1 ，量子态的制备【9 ，1 0 ，1 1 和原子 精确谱【1 2 ，1 3 ，1 4 j 等方面的研究都取得了巨大的成功，极大地促进了这 些领域的研究。p a u l 阱在今后的科学研究中必将发挥更大的作用。 1 2 p a u l 阱的原理 p a u l 阱是利用电荷与电磁场区的相互作用力来控制带电粒子，以使 其局限在某个小的范围内运动。p a u l 阱的外观和结构分别如图1 1 和图 1 2 所示。典型的p a u l 阱阱体主要是由内表面为旋转对称的共轭双曲面 所构成的一个环电极和上下两片圆盖状电极( 冒极) 组成。 2 硕士学位论立 图1 l ：h 。i m * 目 母 图12 川m 构目( & ) m # # n i 意目( # ) ，一十p “1 * 剖目c t 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动3 在p a u l 阱中，环极上加直流电压u ，冒极上加交流电压v c o s ( w t ) ， 这样在p a u l 阱中就产生了一个随时间快速振荡的含时周期四极电势 1 1 圣= 一u + 琚v + c 2 0 瑶s ( w t ) 、( x 2 + y 2 2 2 2 ) ( 1 1 ) 其中，u 为交流电压角频率，r o 为p a u l 阱环极最小半径，2 缅为p a u l 阱两冒极间的最短距离，离子在空间的坐标为( z ，y ，名) 。这样在一定条 件下，这个势场就可以束缚住离子。 假设离子带电荷+ q ，质量为m ，则离子在囚禁势场即方程( 1 1 ) 中 的运动方程【1 5 】为 m ( 耋) = _ 毒v 圣毫( 三罄) 引进无量纲参数 丁2 i 。， 。z = 一2 = 一2 。= 而- 丽1 6 q u ， q z = 一2 = 一2 劬= 一8 q y m ( r 3 + 2 2 3 ) ) c 0 2 由方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 可以得到标准的m a t h i e u 方程1 1 ，1 6 ，1 7 t ) + 【a u + 2 吼c o s ( 2 r ) v = 0 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 方程中的v 代表z ，y 或名。根据f l o q u e t 定理，方程( 1 4 ) 具有如下形 式的解 + o o+ u ( 丁) = a e 心r q n e 渤r + b e 哨f q 馆e 一2 竹 ( 1 5 ) i r t , - - 2 一n = 一o o 上式中，仡的值取决于参数和铷。( 1 4 ) 是三个非耦合的m a t h i e u 方 程，从数学中关于微分方程的讨论我们知道这样的运动有稳定区和不稳 硕士学位论文 定区【17 】，k 的取值将决定方程( 1 5 ) 的解是否稳定，即决定囚禁离子的运 动是否稳定。只有当a 和口处于稳定区域时，粒子才能被囚禁于阱中。 文献【l ，1 6 ，1 7 ，t 8 】详细地研究了( 1 5 ) 式的稳定性与参数k 的关系 1 当心的值是不为0 的实数时，u 随时间的增大而增大，解是不稳 定的。 2 当k 的值是实部不为0 的复数时，解是不稳定的。 3 当k ：i z ，z ；整数时，v 具有周期性，但解仍然不稳定。 4 当心：i z ，z 是不为整数的实数时，u 具有周期性且是稳定的。 为了能长时间的研究囚禁于p a u l 阱中的离子，就必须使离子做稳 定的运动，即m a t h i e u 方程的解( 1 5 ) 式必须是第四种情况，即取如下形 式： + + o o u ( r ) = a q 棚s ( 2 佗+ p ) 丁+ b 6 2 ns i n ( 2 n + j 3 ) r ( 1 6 ) n = 一n = 一 其中，p 是不为整数的实数。为了使大家对( 1 6 ) 式有一个更清晰的认 识，我们把( 1 6 ) 式中物理量的量纲转换为原来的量纲，则有 + o o+ u ( 7 - ) = a q nc o s ( r w + w o ) t + b 6 2 ns i n ( n w + w o ) t ( 1 7 ) n = - - 0 0l r l - - 一o o 上式中 8 w o5 百u z ( 1 8 ) 被称为离子运动的久期频率。 通常囚禁离子的运动都被分为两部分来研究： 以交流电频率 w 为振动频率的很快的微运动。 以久期频率w o 为振动频率的慢运 动，通常被称久期运动。微运动由加在p a u l 阱两个冒极上的交流电压决 定，是阱本身固有的。久期运动才反映了离子在阱中运动的主要特征。 因此到目前为止，大多数的研究工作都是针对久期运动的。为了方便的 研究久期运动，却又不被微运动影响，研究者通常采用赝势阱方法。赝 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动5 势模型的基本思想就是把微运动“平均掉 ，用一个三维轴对称的谐振 势作为含时周期囚禁场的近似在赝势模型下，p a u l 阱的囚禁场赝势为 西= 耐m 2 2 2 + u | ，2 _ 2 十：2 2 2 ) ( 1 9 ) 其中 8 u 2 百u 庞：+ 霎 二 ( 1 1 0 ) 用“赝势模型 的方法来代替原来的囚禁势又常常被称为赝势近似。对 于研究p a u l 阱中囚禁离子的运动，这是一种非常有效的方法，因此被广 泛的应用于研究中。 1 3p a u l 阱中囚禁单离子研究的历史与现状 囚禁于离子阱的离子，由于不与其它粒子碰撞而成为孤立的体系， 能长时间地囚禁于阱中，通过施加外场与离子相互作用，可以探索系统 各种有趣的物理性质，因而在过去数十年里，世界上有多个小组在从事 对p a u l 阱中单离子系统的研究，取得了巨大的成功。 1 9 7 3 年，著名物理学家d e h m e l t 教授就提出把单个t l + 离子作为超 高精密光谱的研究对象，进而用于频标【1 9 】。1 9 8 0 年，n e u h a u s e r 等人在 室温下实现了单个b a + 离子在p a u l 阱中的囚禁【2 0 】，这是历史上首次实 现单离子囚禁的实验，是离子阱物理研究的一个重大突破。此后，囚禁 离子系统的研究收到了广泛的关注，相关的实验与理论研究报道越来越 多。其中，1 9 8 6 年，有三个研究小组分别报道了在试验中观察到的量子 跃迁现象是又一个重大突破 2 1 ，2 2 ，2 3 。一原子体系由基态1 分别跃迁 到共振态2 和非常弱的跃迁到亚稳态3 。如果激光对准强跃迁，可观察 到2 _ 1 的共振荧光信号出现“亮 周期：一旦弱激发使离子激发到亚 稳态3 ，共振态2 _ 基态1 的荧光就消失了，从而出现一个暗周期，此 硕士学位论文 现象一直到离子由亚稳态3 通过自发辐射回到基态1 时才结束。在这样 的情况下观察到的现象包含了交替的“暗 和“亮 周期，分别反映了 离子进入和跃出亚稳态的量子跃迁( 见图1 3 ) 。量子跃迁实验为研究囚禁 离子与辐射场( 电磁场或激光) 的相互作用提供了一种可靠的方法。 图1 3 ：描述量子跃迁的原子三能级示意图 1 9 8 8 年，d i e d r i c h 等人利用量子跃迁成功的测定了囚禁单离子的一 系列超精细结构【2 4 】，这为单离子频标的研究打下了坚实的基础：囚禁单 离子还是一个非常理想的量子光学系统，它为量子光学研究提供了一个 很好的实验例证。在量子光学中，如果是单模辐射与一个两能级原子体 系的互相耦合，可用著名的j a y n e s - c u m m i n g s 模型的哈密顿描述【2 5 ，2 6 】： 日= w s a + a + 互1 u 。a z + g ( 。+ 口+ 口+ 盯一) ( 1 1 2 ) 其中，口+ ，o 分别为辐射场光子的产生和湮灭算符，u ，为光子频率， 盯士与盯一为p a u l i 矩阵，w 0 为两能级间的跃迁频率，g 为耦合因子。如 果该囚禁离子处于一个谐振势阱中，并且是与激光驻波相互作用，则其 哈密顿变换为 日= 。+ n + 三吒+ 詈7 7 ( 。+ 口+ n + 盯一) ( 1 1 3 ) 其中，为p a u l 阱频率，是激光频率与跃迁频率之差，q 是激光的 r a b i 频率，卵是l a m b - d i c k e 参数。 1 9 9 6 年，m e c k h o f 等人率先利用p a u l 阱中的囚禁单离子对各种非经 典态进行了研究【2 7 ，2 8 】，通过不同的方法分别获得了一系列f o c k 态，相 干态，压缩真空态以及s c h r s d i n g e r 猫态。从这些态入手，m e c k h o f 等人研 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动7 究了非经典态的特点以及演化动力学过程。此后，众多的物理学家对囚 禁单离子系统的各种量子态进行了广泛而深入的研究，取得了一系列令 人瞩目的成果【2 9 ，3 0 j3 1 】。对量子态的研究有助于揭示光场的量子本质， 并且有可能在光通讯，微信号检测等方面获得重大应用。 近年，囚禁离子又被广泛的应用于量子计算机的研究。如果量子计 算机研制成功，那么现在的计算机无法解决的许多难题都将迎刃而解。 因此，1 9 9 5 年，c i r a c 和z o l l e r 提出了利用囚禁离子系统进行量子计算的 方案后【3 2 】，这一领域的研究立即引起了广泛的关注。此后不久，m o n r o e 等人利用冷却到零点能的单个囚禁离子b a + 成功地演示了量子逻辑门 的实验 3 3 】，为量子计算机的研究展示了美好前景。 1 9 9 9 年，s c o t t 等人分别从经典和量子力学两个方面研究了赝势近 似条件下单个囚禁离子的动力学特征，发现在高斯型激光脉冲作用下囚 禁离子在一定的参数范围内存在经典混沌和量子混的性质【15 】。 2 0 0 0 年，q a t u r c h e t t e 等人研究了激光冷却的囚禁b e + 离子的运 动加热，他们在多种不同的几何形状，电极材料和特性的阱中测量加热 率。结果表明加热是由于来自阱电极的电场噪音施加在离子上的随机波 动力而造成的。 2 0 0 4 年，p a v e lb u s h e v ，d a n i e lr o t t e r 等人研究了单个囚禁b a + 离子 在多普勒极限下的通过零差式的反馈控制的机电冷却，演示了单个囚禁 离子运动的实时反馈冷却。囚禁冷离子被认定为是实现量子态可控制操 作最有可能的系统，有必要对囚禁冷离子系统的动力学特征做进一步的 研究。 本文用两章来讨论外加激光驻波和囚禁单离子相互作用的系统，分 析离子处于l a m b - d i c k e 这一特殊区域的运动情况。在第二章中，周期性 的开关激光驻波源，使得对离子近似是一种不连续的激光脉冲的作用， 来分析在这种激光脉冲的作用下离子运动的情况。在第三章中，将激光 对离子系统的影响由不连续的作用变成连续的影响，分析这种情况下， 离子运动所呈现的性质。 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动9 第二章激光脉冲作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域 精确的量子运动 2 1 引言 离子阱作为现代原子分子物理研究最具代表性的装置之一，由于它 能为囚禁的离子提供近乎与外界隔绝的空间，能使离子体系的量子特征 明显的显示出来，并在较长时间内得以保持，目前已经广泛地应用于科 学技术研究的各个领域尤其是近年来，随着量子逻辑操作【2 ，3 ，4 j ，量子 计算【5 ，6 1 ，量子信息【7 ，8 1 和量子态的制备e 9 ，1 0 ，1 1 1 等方面大量地应用离 子阱这一工具进行研究，人们对离子阱中囚禁离子的动力学特征越来越 感兴趣。但是由于外在的环境参数和其本身的初始条件对囚禁离子有很 大的影响，两者的微小改变都可能导致离子运动轨迹发生较大的偏移， 甚至会使离子的运动出现混沌，从而导致难以控制离子的运动状态。所 以，对囚禁离子的运动学特征进行深入的研究也就显得尤为重要。 目前已有很多文献对离子体系的动力学特征进行了研究f 3 4 ，3 5 】，而 且由于囚禁单离子的系统比较简单，由于不与其它粒子碰撞而成为孤立 的系统，能长时间的囚禁于阱中，通过施加外场与离子系统相互作用， 可以探索系统的各种有趣性质，相关的研究结果也比较多，单离子与激 光之间的相互作用更是受到了广泛的关注【3 6 ，3 7 】。当激光强度很小时， 激光的作用相当于对系统的微扰，运动方程中的线性项起主导作用，离 子做规则运动；随着激光强度的不断增大，非线性效应增强，离子运动 变得越来越复杂；当激光强度增大到某一临界值时，离子运动开始进入 混沌状态【3 8 3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 。近年来，由于整形激光技术的发展和超短激 光脉冲对控制微观系统的有效性【4 3 ，蛐，利用超短激光脉冲控制囚禁离 子的量子运动态已引起研究者广泛的兴趣。对于谐振势阱中囚禁离子 的久期运动，考虑高斯型激光脉冲的作用，文献 4 5 】从经典和量子力学 两方面研究离子，得到数值结果发现离子在一定参数范围内存在经典 混沌和量子混沌的性质。文献 4 6 、【4 7 】、f 4 8 】分别考虑不同形式的驻波型 激光脉冲对囚禁离子的作用，从经典的角度出发，通过分析和数值计算 1 0 硕士学位论文 相结合的方法，研究系统的规则和混沌运动特性。文献 4 5 】和【4 9 ，5 0 从量 子力学的角度研究驻波型激光脉冲作用下的囚禁离子系统，发现系统的 量子混沌运动和能级跳变等性质。但因周期势的存在，人们只能得到该 系统的量子微扰解和数值解。然而，当离子运动的几率密度波包的宽度 远远小于激光的波长时，离子运动范围将较好地定域在l a m b - d i c k e 区 域【5 1 ，5 2 ，1 5 1 。在l a m b - d i c k e 区域，驻波型激光形成的周期势能很好地用 一个谐振子势来近似。从而可望得到系统在该区域的量子力学精确解。 当周期性的开关激光驻波源时，可以将激光近似为一种激光脉冲， 本章就是考虑在驻波型激光脉冲作用下囚禁单离子系统在l a m b - d i c k e 区域的量子运动，通过求试探解的方法，得到系统的量子力学精确解和 不连续时变能谱。从精确解出发，绘出离子运动几率波包的中心位置、 波包的高度和宽度以及平均能量随时间的演化图。分析发现，首先，由 于l a m b - d i c k e 近似将非线性势近变成了线性势，离子运动不会出现混 沌状态。其次，波包串中心以及波包串的高度和宽度受激光脉冲的强度 和波矢控制。通过调节激光脉冲强度和波矢可以控制波包串的形变和传 播。还通过能量期待值的时间演化显示，发现在激光脉冲作用瞬间，离 子的平均能量发生跳变，而在激光关闭的不同时段，都有类似的窄能带 形成。同时还发现，波包串中心，波包的高度和宽度函数以及能量的期 待值在激光脉冲强度和波矢较小时，它们都是随时间周期性的变化的； 而在激光脉冲强度和波矢达到一定值之后，它们不再是周期性变化，而 是随着时间而不断增大的，系统失去稳定性。也就是说，存在着激光脉 冲强度和波矢的临界值，使得在临界值附近，系统的稳定性会发生变 化， 2 2 有限形式的经典力学精确解 考虑囚禁于p a u l 阱中的一个单离子系统，该离子受到沿z 方向的激 光驻波作用。以t 为时间间隔周期性的开关激光源，则得到其t a b 频 率q 与时间的关系【4 9 ，5 0 ，5 3 】 a ( 0 2 = q ；e 邓叩) n o - 2 ，_ ，= 1 ，2 o i 3 ( 2 1 ) j = l 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动1 1 这些高斯脉冲的宽度仃非常小，为了便于数学处理，人们选取口_ 0 ， 从而( 2 1 ) 式近似为j 脉冲【4 9 ，5 0 o o q ( 亡) 2 = 盯诉q ：j - i t ) j = i ( 2 2 ) 若只考虑在z 轴上的久期运动，从而在一维情况下囚禁于p a u l 阱中的 单离子系统的哈密顿量为【4 9 5 0 】 日= 2 m + 矿1w 22 + y 酬2 耋毗叩) j 3 - - - - i ( 2 3 ) 其中m 为离子质量，u o 为阱频，它由加在p a u l 阱上的直流电压u 和交 流电压y oc o s ( w 7 t ) 来调制【1 5 】。k 为激光波矢，v = 簪，其中取为足 够大的失谐量，以避免内态共振跃迁对激光操控运动态的复杂影响，为 了方便计算，我们已经取定激光初相位为零【4 9 ，5 0 ，5 3 】。 考虑离子处在l a m b - d i c k e 区域的情况：采用l a m b - d i c k e 近似妇1 ，有c o s ( 2 k x ) = 1 2 s i n 2 ( k z ) 圭1 2 k 2 x 2 。此时( 3 ) 式的哈密顿量可变为 日= 妄+ 圭【嘣一4 y 七。妻一j 列z 2 y 妻酢一歹t ) ( 2 4 ) j = ij = i 利用( 2 4 ) 式以及正则方程圣= 筹= 羔，少= m 岔= 一面o h ，得到离子 在阱中受到激光脉冲作用下的经典运动方程 抖翻z = 百4 v k 2 z 妻子( 刃 4 - - - - 1 ( 2 5 ) 分几种情形对( 2 5 ) 式的解进行讨论。 情形1 ：当时间t j t 时，( 2 5 ) 式因右边为0 ，而成为谐振子方程 童+ 瑶z 兰0 ( 2 6 ) 1 2 硕士学位论文 在时间区间0 1 ) t t j t ，该谐振子方程的解设为 z=ajc o s ( w o t ) + b js i i l ( 蛐t ) ， 圣= 一蛐如s i n ( w o t ) + 蛐岛c o s ( w o t ) ，( 2 7 ) 鸟，岛是由初始条件决定的积分常数，、句+ 碍正比于离子运动振 幅。( 2 7 ) 式表明，当t j t 时，离子做频率为w o 的周期运动，但是对 应于不同的时间区间，( 2 7 ) 式有不同的待定积分常数。 情形2 ：当时间t = i t 时，设x ( j t ) = x j ，圣0 t ) = 弓，0 1 ， 1 ) 当t = j t 一时，有 z j = a jc o s ( w o j t 、) + b js i n ( w o j t ) ， 专= 一蛐山s i n ( w o j t ) + 岫马c o s ( w o j t ) ，( 2 8 ) 2 ) 当t = o + 1 ) t 一时，有 + 1 = 4 + 1c o s w 0 0 + 1 ) 明+ 马+ 1s i nw o o + 1 ) 卅， 奶+ 1 = 一如+ 1s i n w o ( j + 1 ) 卅+ w o b j + 1c o s p o o + 1 ) 卅， ( 2 9 ) 4 + - ，马+ 是由初始条件决定的积分常数。( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 式给出了 囚禁离子在受到激光脉冲作用瞬间的位置和速度。因离子的位置z 具 有连续的性质，即在_ 0 时，碰撞前后离子的位置相同。根据( 2 7 ) 式 我们还能得到 z = 坞c o s ( w o t ) + 马s i n ( w o t ) t = j t 一。 = 【4 j + 1c o s ( w o t ) + s j + 1s i n ( w o t ) t = j t + e ( 2 1 0 ) 下面利用文献 5 4 ，5 5 】提出的解积分方程的方法，求在给定a 。为初始 位置坐标，b 。w 0 为初始速度时( 2 5 ) 式的精确解。 令( 2 5 ) 式右边等于0 ，得到它的两线形无关解 皿l = s i n ( w o t ) ， 皿2 = 皿z 盱出= 一石1c o s ( 州 ( 2 1 1 ) 激光作用下囚禁离子在l a m b d i c k e 区域精确的量子运动1 3 布i j 用( 2 1 1 ) 式把( 2 5 ) 式化成一积分方程，在时间区i 司0 t j t 内 z = 佃c 删+ b 1 s i n c + 等皿。仁。吣酗一，如 一警皿，仁5 蚴擎一渺 仁 对( 2 1 2 ) 式积分，得到单离子系统在时刻t j t 的精确解 z = ”篙毗蛔( 州 邶。+ 筹差c o s ( 哪k 】s i n ( 州 ( 2 1 3 ) 根据( 2 7 ) 式和( 2 1 3 ) 式相等，我们可以得到a j ，岛与a 。，b ，的关系 4 ：n 篙萎s 毗棚 岛：计篙釜c o s 唧 ( 2 1 4 ) 若设( 2 1 2 ) 式中的积分上限为d 十1 ) t 一，进而得出4 + 。，岛+ 。与如 ，岛的关系 + - = 今一筹s i n ( w o j t 烁 b + l = 岛+ 而4 v k 2 c 。s ( u o j t ) x j ，( 2 1 5 ) 将( 2 1 5 ) 式代入( 2 9 ) 式，并利用( 2 8 ) 式得出q + 。，奶+ 1 与巧，奶的关 系 ( 耄：) 专，( 一蛐c o s s ( 试w 。o 。t 。) 力葛s s i n ( w o t ( 针q ) 仫 ( 2 1 6 ) 式是一个两维映射，通过j 丁时刻离子的位置和速度给出了( 歹+ 1 ) t 时刻离子的位置和速度。从给定的初始条件出发，由( 2 1 6 ) 式可以得到 任意歹t 时刻离子的状态。 1 4 硕士学位论文 2 3量子力学精确解与不连续时变能谱 现在将单离子系统的哈密顿量( 2 4 ) 量子化0 = 一i 危岳) ，并代入含 时的薛定谔方程得： z 危筹= 一罴嚣+ 睦碱一2 y 七2 妻m 一棚妒妒+ y 妻一棚妒 j = lj = l ( 2 1 7 ) 以1 w o ：为单位归一化时间t 以及周期t ，分别以砜赢面和它的倒数 、伤历砺归一化空间坐标z 和几率密度2 。这样方程无量纲化后的形 式为 i 瓦0 砂一互1 丽0 2 矽吲1 1 4 v k 峰2。m 叩2 妒+ 普薹