（一般力学与力学基础专业论文）几类非线性振动系统的同伦分析.pdf

上海大 除了 表或 任何 学校 校可 上海大学工学硕士学位论文 几类非线性振动系统的同伦分析 姓名：冯少东 导师：陈立群教授 学科专业：一般力学与力学基础 上海大学理学院力学所 2 0 10 年3 月 上海大学硕上学位论文 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t yf o r t h e d e g r e eo fm a s t e ri ne n g i n e e r i n g h o m o t o p ya n a l y s i st os e v e r a lt y p e s nl o ln o n l i n e a rv i b r a t i o ns y s t e m s m d c a n d i d a t e ：s h a o d o n gf e n g s u p e r v i s o r ：p r o f l i q u nc h e n m a j o r ：g e n e r a la n df u n d a m e n t a lme c h a n i c s s h a n g h a ii n s t i t u t eo fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s s h a n g h a iu n i v e r s i t y m a r c h ，2 0 1 0 i v 上海大学硕士学位论文 摘要 振动是自然界和工程技术中普遍存在的现象，且往往是非线性的，因此对 非线性问题的探索和研究越来越成为人们关注的焦点。随着科学的发展和社会 的进步，非线性方程的求解渐渐成为广大科学工作者必须面对的问题，寻找一 种一般的有效的求解非线性微分方程的方法就显得尤为重要。同伦分析方法是 今年来发展迅速的一种求解非线性方程级数解的近似解析方法，并已成功应用 于求解许多复杂的非线性微分问题，获得了不错的成果。作者在前人的基础上 求解了非线性振动系统中的一些典型问题，并分析了其在实际应用过程中出现 的新特点和新结论，不断发挥该方法的巨大潜力。 首先，本文简要回顾了非线性问题的几个近似解析方法，分析了他们的优 劣点，同时介绍了同伦分析方法的基本思想，与传统摄动法相比，同伦分析法 不依赖方程中存在小参数，通过构造零阶形变方程和高阶形变方程将原非线性 问题转化为多个线性子问题，不仅适用于弱非线性问题的求解，对强非线性问 题依然有效。 其次，应用同伦分析方法研究了d u f f i n g h a r m o n i c 振子，逻辑推导了辅助 线性算子l 的选取，分析了辅助参数h 对控制和调节级数解收敛区域和收敛速 度的影响，在有效区域内选取合适的h 值后，求得一族时间响应和频率的近似 周期解，与精确解的比较表明该级数解有很好的逼近效果。 再次，对非线性j e r k 方程进行了同伦分析，给出了辅助线性算子的选 取和r 川的理论推导，在两组不同参数条件下，通过绘制国嘞曲线得出了级数 解的收敛区域，该解与四阶龙哥库塔法计算所得的数值解的比较显示在强非线 性条件下同伦分析法依然有效。 最后，对本文所做的工作和得到的结果进行了总结，并且进一步展望了未 来需要研究的工作。 关键词：同伦分析法；非线性；d u f f i n g h a r m o n i c 方程；j e r k 方程； 近似级数解。 v 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t v i b r a t i o nw h i c hi sa l w a y sn o n l i n e a ri san a t u r a la n dc o m m o np h e n o m e n o ni nn a t u r e a n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y t h er e s e a r c ho nn o n - l i n e a rp r o b l e m sb e c o m e sah o t t o p i ci nm o d e r np h y s i c s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n ds o c i a lp r o g r e s s ， f i n d i n gt h es o l u t i o no fn o n - l i n e a re q u a t i o n sh a st h eg r e a tv a l u ei nm a t h e m a i c sa n d e n g i n e e r i n g t h ep r o b l e m sf a c e db ys c i e n t i s t st of i n dag e n e r a la n de f f e c t i v em e t h o d f o r s o l v i n g n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n b e c o m e s p a r t i c u l a r l yi m p o r t a n t h o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d ( h a m ) i sa na p p r o x i m a t ea n a l y t i c a lm e t h o df o rs o l v i n g n o n l i n e a re q u a t i o n s ，w h i c hd e v e l o p e dr a p i d l yt h e s ey e a r s i th a sb e e ns u c c e s s f u l l y a p p l i e dt os o l v et h em a n yc o m p l e xn o n - l i n e a rd i f f e r e n t i a lp r o b l e m ，a n do b t a i n e d g o o dr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea u t h o r sa p p l i e dt h eh a mt os o l v es o m et y p i c a l p r o b l e m si nn o n l i n e a rv i b r a t i o ns y s t e mw h i c ha r eo fb o t hp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a l i n t e r e s t f i r s t ，as i m p l er e v i e wo ns e v e r a la p p r o x i m a t ea n a l y t i c a lm e t h o d sf o rn o n l i n e a r p r o b l e m si sg i v e n a c c o r d i n gt ot h e i rw e a k n e s s e s ，w ei n t r o d u c e dt h eb a s i ci d e ao f t h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d d i f f e r e n tf r o mp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e s ，t h eh o m o t o p y a n a l y s i sm e t h o di si n d e p e n d e n to fa n ys m a l lp a r a m e t e r sa ta 1 1 b yc o n s t r u c t i n ga z e r o o r d e rd e f o r m a t i o ne q u a t i o na n dh i g h e r - o r d e rd e f o r m a t i o n e q u a t i o n ，h a m t r a n s f e rt h eo r i g i n a ln o n l i n e a rp r o b l e mi n t os e v e r a ll i n e a rs u b - p r o b l e m s ，n o to n l yf o r w e a k l yn o n - l i n e a rp r o b l e ms o l v i n g ，f o rs t r o n g l yn o n l i n e a rp r o b l e m si ss t i l lv a l i d s e c o n d ，h a mi sa p p l i e dt oa n a l y s i st h ed u f f i n g - h a r m o n i co s c i l l a t o r t h ea u x i l i a r y p a r a m e t e r shp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nc o n t r o l i n ga n da d j u s t i n gt h ec o n v e r g e n c eo f t h es o l u t i o ns e r i e s b ym e a n so fc h o o s i n gap r o p e rv a l u eo fhi nt h ec o r r e s p o n d i n g v a l i dr e g i o n ，w eo b t a i n e dt h er e s p o n s ea n dt h ef r e q u e n c yo ft h ed u f f i n g - h a r m o n i c o s c i l l a t o r 上海大学硕十学位论文 t h i r d ，h a mi sa p p l i e dt os e e kp e r i o d i cs o l u t i o n so fan o n l i n e a rj e r ke q u a t i o n i n v o l v i n g t h et h i r d o r d e rt i m e - d e r i v a t i v e t h e p e r i o d i c s o l u t i o n sc a l lb e a p p r o x i m a t e dv i aa na n a l y t i c a ls e r i e s a na u x i l i a r yp a r a m e t e ri si n t r o d u c e dt oc o n t r o l t h ec o n v e r g e n c er e g i o no ft h es o l u t i o ns e r i e s t w ou m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d t od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so fh a m t h ee x a m p l e si n d i c a t et h a t ，b yc h o o s i n ga p r o p e rv a l u eo fh ，t h ef i r s tf e wt e r m si nt h es o l u t i o ns e r i e sy i e l de x c e l l e n tr e s u l t s f i n a l l y , t h er e s u l t so ft h et h e s i sa r es u m m a r i z e da n dt h ef u r t h e rw o r ki ss u g g e s t e d k e y w o r d s ：h o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d ；n o n - l i n e a r ；d u f f i n g - h a r r n o n i ce q u a t i o n ； j e r ke q u a t i o n ；a p p r o x i m a t es e r i e ss o l u t i o n v l l 上海大学硕士学位论文 目录 原创性声明i i 摘要v a b s t r a c t v i 第一章绪论1 1 1课题来源及研究背景1 1 1 1 课题来源1 1 1 2 研究背景1 1 2 国内外研究进展2 1 2 1 非线性振动研究方法进展2 1 2 2 同伦分析方法研究进展一3 1 3 研究意义一6 1 4 论文的主要内容和组织7 第二章同伦分析方法8 2 1同伦8 2 2 同伦分析方法9 2 2 1 零阶形变方程9 2 2 2 高阶形变方程1 0 2 2 3 收敛定理1 l 2 2 4 基本原则1 5 2 2 5 解收敛区域和收敛速度的控制1 6 2 3 同伦一帕德逼近1 8 第三章d u f f i n g - h a r m o n i c 振子同伦分析1 9 3 1 前言1 9 3 2 同伦分析解2 0 3 3辅助线性算子的选择2 3 3 4数值验证及结果分析2 4 v i i i 上海大学硕上学位论文 第四章j e r k 方程同伦分析2 8 4 1前言2 8 4 2 同伦分析2 8 4 3 辅助线性算子三的选择3 4 4 4数值验证及结果分析3 5 4 4 1 含速度立方项和速度、位移平方项的j e r k 方程3 5 4 4 2 一般的j e r k 方程3 7 第五章结论与展望4 0 5 1 结论4 0 5 2 展望一4 l 参考文献4 3 作者在攻读硕士学位期间公开发表的论文4 9 致 射5 0 i x 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题来源及研究背景 1 1 1 课题来源 本文得到国家杰出青年科学基金( 1 0 7 2 5 2 0 9 ) 、国家自然科学基金( 1 0 4 7 2 0 6 0 、 1 0 6 7 2 0 9 2 ) 、上海市自然科学基金( 0 4 z r l 4 0 5 8 ) 、上海市教委科研项目( 0 7 z z 0 7 ) 、 上海是重点学科建设项目( y o l 0 3 ) 资助。 1 1 2 研究背景 振动是自然界、工程技术、日常生活和社会生活中普遍存在的现象，例如 大海的波涛欺负、花的同开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨 和萧条等形形色色的现象都具有明显的振动特性。工程技术所涉及的机械和结 构的振动称作机械振动，许多情况下，它被认为是消极因素，例如，振动会影 响精密仪器的性能，加剧构建疲劳和磨损，缩短机器和结构物的使用寿命，甚 至引起结构的破坏。典型的例子是1 9 4 0 年美国塔可马( t a c o m a ) r 吊桥因风载引起 振动而坍塌的事故( 图1 1 ) 。汽车和飞机的振动即使不破坏结构，也会引起强烈 的噪声振动，影响乘客的乘坐舒适度。然而，振动也有积极的一面，例如将振 动应用与生产工艺如振动传输、振动筛选、振动抛光、振动沉桩、振动消除内 应力等。振动理论的主要任务是研究和表征系统振动的规律性，从而有效地利 用或抑制振动，并由此带来巨大的社会和经济效益。 图1 1 塔口j 马( t a c o m a ) 吊桥坍塌事敝 上海大学硕士学位论文 1 8 世纪，早期的科学家欧拉、拉格朗同、达朗伯、伯努利等对线性振动理 论的发展做出了巨大贡献，形成了目前比较成熟的线性振动理论。在一些工程 问题中运用线性振动理论，我们的确能得到满意的结果，然而自然界的本质是 非线性的，它存在各种各样的非线性因素，包括几何非线性、材料非线性、结 构非线性以及边界条件非线性等。因此，从现实工程问题中建立起来的以常微 分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程或其组合等描述的动力学模型一般 是非线性的，并且是参数依赖的。尽管个别非线性振动问题能通过线性化进行 求解，大部分非线性问题是不能线性化的，因此对非线性振动问题的分析和计 算方法的研究，对世纪工程问题的解决显得尤为重要。 对非线性振动的研究方法大致有数值方法和解析方法两大类。数值方法将 非线性问题离散化并转化为求解线性代数方程( 组) 问题或特征值问题，在现 实工程中该法得到了广泛的应用。然而数值解不能帮助我们清楚得认识问题本 质，人们就期望得到解析解，一方面它提供了原问题解的现实表示，我们可以 直接讨论初始条件以及参数对解的影响；另一方面也可以借此判断数值结果的 正确合理性。由于非线性微分方程目前尚无有效的精确求解方法，因而一般只 能寻求解析逼近解。目前常用的解析逼近方法是摄动法 1 3 】，包括林滋泰德 庞加莱法( l p 法) 4 - 5 】，多尺度法 6 7 】，平均法 1 3 】，k b m 方法 8 9 】。另外， 谐波平衡法【1 4 、迭加法 1 0 1 4 最近也得到了广泛的应用。 1 2 国内外研究进展 1 2 1 非线性振动研究方法进展 非线性振动的研究开始于1 9 世纪后期。1 8 8 1 年至1 8 8 6 年期间，庞加莱 讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据， 定义了奇点和极限环的指数；此外还研究了分岔问题，奠定了非线性振动的理 论基础。1 8 7 9 年开尔文( l k e l v i n ) 和泰特( p g t a i t ) 考察了陀螺力和耗散力对保守 系统稳定性的影响，其结论后来由切塔耶夫给出严格证明。1 8 9 2 年李雅普诺夫 给出了稳定性的严格定义，并给出了研究稳定性问题的直接方法。在定量求解 非线性振动的近似解析方法方面，1 8 3 0 年泊松( s d p o i s s o n ) 研究单摆振动时提 2 上海人学硕t 学位论文 出摄动法的基本思想。1 8 8 3 年林滋泰德( a l i n d s t e d t ) 解决了摄动法的长期项问 题。1 9 1 8 年达芬( gd u f f i n g ) 在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡和逐次迭 代的方法。1 9 2 0 年范德波尔( v a nd e rp 0 1 ) 研究电子管非线性振荡时提出了慢变系 数法的基本思想，1 9 3 4 年克雷洛夫和博戈留博夫将其发展为适用于一般弱非线 性系统的平均法；1 9 4 7 年他们又提出一种可求任意阶近似解的渐近法，1 9 5 5 年 米特罗波尔斯基推广这种方法到非定常系统最终形成k b m 法。1 9 5 7 年斯特罗 克在研究电等离子体非线性效应时用两个不同尺度描述系统的解而提出多尺度 法。 对d u f f i n g h a r m o n i c 振子进行的研究是从2 0 0 1 年开始的，r e m i c k e n s 1 5 】 首先运用谐波平衡法给出了它频率的解析估计；2 0 0 3 年，l i r a 和w u 1 6 结合线 性化和谐波平衡法得到了频率和周期响应的近似表达式；2 0 0 5 年，t i w a r i ， r a o ，s w a m y 1 7 等也求得了同样的频率解，并且基于谐波平衡法和r i t z 方法计 算了该振子的响应；2 0 0 6 年，h u 和t a n g 1 8 通过一阶谐波平衡法的首项系数得 到同样的频率解，l i m ，w u 和s u n 1 9 用牛顿谐波法构造了其高阶近似解，h u 2 0 】 运用迭代法确定了其频率和周期响应的近似解析解。 s c h o t 最早对j e r k 方程进行了研究，并解释了他反常的几何意义， g o t t l i e b 2 1 2 4 1 应用低阶谐波平衡法求解了初始速度振幅下j e r k 方程的近似解 析周期解，遗憾的是该周期解不够精确，之后w u 2 5 改进了谐波平衡法，并在 大初始速度振幅条件下给出了二阶、三阶的近似解，h u 2 6 应用l p 摄动法成功 的获得了j e r k 方程的近似周期解，与精确解符合良好。 1 2 2 同伦分析方法研究进展 1 9 9 2 年，基于数学拓扑理论中的同伦思想，廖世俊在博士论文 2 7 】中首次 提出了同伦分析方法的初步框架，提出了零阶形变方程和高阶形变方程的基本 形式，1 9 9 6 年，廖世俊 2 8 】在此基础上对零阶形变方程进一步一般化，从而提 供了直接选择初始猜测解的自由，避免了之前计算初始猜测解的复杂运算。此 时的同伦分析方法本质上是将个非线性问题转化为无穷多个线性问题，与传 统摄动方法不同，这种转化不需要任何小参数，也就是说，无论非线性问题是 否含有小参数，同伦分析方法都适用。但将其运用到求解实际非线性问题时发 上海大学硕十学位论文 现，一旦辅助线性算子选定，泰勒级数的收敛性就完全确定，因此不存在有效 简便的途径去控制和调节级数的收敛性，因此，早期的同伦分析方法依然只适 用于求解弱非线性问题。 1 9 9 7 年，廖世俊 2 9 为了保证级数的收敛性，在原零阶形变方程中引入非 零辅助参数h ，构造了双参数微分方程组，并称其为广义同伦，辅助参数的值 对级数解的收敛有决定性意义，通过调节该辅助参数的值，可以有效地控制级 数解的收敛区域和收敛速度，从而提供了一条确保级数解收敛的简便途径。自 此，同伦分析法彻底摆脱了小参数的束缚，不仅适用于弱非线性问题，同时也 能求解强非线性问题。2 0 0 3 年，廖世俊 3 0 在原有基础上又引入非零辅助函数 月纠，进一步完善了同伦分析法，使其为更多的强非线性问题所用。 之后，廖世俊系统地回顾并总结了同伦分析法，提出了解表达原则、解存 在原则、完备性( 系数遍历性) 原贝j j 3 0 ，以指导初始猜测解、辅助线性算子 和辅助函数的选取。2 0 0 3 年，廖世俊 3 0 】研究了同伦分析法与传统非摄动法的 关系，指出同伦分析法在逻辑上包含了l y a p u n o v 人工小参数法，6 展开法和 a d o m i a n 分解法，并从数学角度严格证明了同伦分析方法所得级数解的收敛性 定理，即若由同伦分析方法得到的级数解收敛，则其必为原始非线性方程的一 个解。根据上述定理，仅需确保同伦分析方法得到的级数解收敛即可。 同伦分析法经过大量的验证而不断完善，越来越受到国内外学术界的关注， 并已被成功应用于各种类型的常微分方程和偏微分方程。廖世俊在其著作 3 0 ，31 】 中应用同伦分析法讨论了托马斯一费米( t h o m a s f e r m i ) 原子模型、布拉休斯 ( b l a s i u s ) 黏性流、封闭系统内种群数量变化的v o l t e r r a 生态学模型、呈指数衰 减的边界层流动问题、深水中的非线性前进波等问题；李水才等 3 2 】应用同伦 分析方法求解了具有多解的g e l f a n d 方程，成钧等 3 3 】求解了具有无限多个极限 环的非线性振动方程：徐伟等 3 4 】应用同伦分析方法求解了一个强非线性随机 动力系统；王骥等 3 5 1 求解了集中载荷作用下悬臂梁的大变形问题；邹丽等 3 6 】 求解了离散的、微分一差分k d v 方程；l i u 等 3 7 】求解了改进的k d v 方程； s o n g 等 3 8 】求解了分数维的k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程；m u s t a f a 3 9 求解了 d i r i c h l e t 边界条件和n e u m a n n 边界条件l a p l a c e 方程；b a t a i n e h 等求解了非线 4 上海大学硕上学位论文 性常微分方程组 4 0 】和非定常e m d e n f o w l e r 方程 4 1 】；f a k h a r i 等 4 2 】求解了 b e n j a m i n b o n a - m a h o n y - b u r g e r s 方程；b o u r e m e l 4 3 】求解了黏性射流问题； a b b a s b a n d y 4 4 应用同伦分析方法求解了可渗透催化剂扩散和反应的非线性模 型方程；a b b a s b a n d y 等 4 5 1 应用同伦分析方法提出一个求解非线性代数方程的 高阶迭代公式，该公式包含著名的传统n e w t o n 迭代公式，具有更好的收敛性 值得注意的是，我们可以应用同伦分析方法求解一些流体力学中的经典问 题。廖世俊求解了f a l k n e r - s k a n 平板流动问题 4 6 ，4 7 ，并应用同伦分析方法求 解了描述均匀来流中圆球黏性流动的n a v i e r - s t o k e s 方程，给出了l o 阶圆球黏 性阻力公式，是近1 5 0 以来与实验结果最吻合的理论公式；廖世俊 4 8 】应用同 伦分析方法发现无限伸展变形可渗透平板导致的边界层流动问题的一类全新的 解，该解从未被其他解析近似方法甚至数值方法获得；徐航等成功求解了非定 常v o nk a r m o n 三维流动问题 4 9 】，微极性流体非定常前驻点流动问题 5 0 】，以 及突然伸展变形的无限平板所导致的电磁流体之三维非定常流动和热传导问题 5 l 】；宋毅，郑连存和张欣欣求解了具有抽吸喷注的运动延伸表面上的流动问题 5 2 】；徐航等 5 3 求解了突然伸展变形的无限平板所导致的非牛顿流体之非定常 流动，非牛顿流体非定常前驻点流动 5 4 】，非牛顿电磁流体非定常前驻点流动 5 5 ，廖世俊、s u 和章梓雄求解了非定常的非线性热传导问题 5 6 1 ：h a y a t 等 5 7 】 应用同伦分析方法求解了伸展变形的无限平板导致的非牛顿流体流动和热传导 问题、可渗透无限伸展平板导致的m a x w e l l 流体之边界层流动问题 5 8 】、求解 了一个4 阶非牛顿流体流动问题 5 9 】，研究了2 阶非牛顿流体电磁流动的热辐 射问题 6 0 ，以及3 阶非牛顿流体在多孔介质内的旋转流动问题 6 1 】；a b b a s 等 6 2 】 求解了电磁m a x w e l l 流体在多孔介质管道中的流动，s a j i d 等 6 3 求解了4 阶非 牛顿流体在可渗透平板上的边界层流动问题，t a o 等【6 4 】求解了有限水深中的非 线性行进波问题；s o n g 等 6 5 】求解了多孔介质中非定常地下水流动的非线性模 型；c a i 6 6 在博士论文中对压力驱动管道流动问题进行了同伦分析； 近些年来，同伦分析方法也被应用于经济学领域，并得到了很好的效果。 z h u 6 7 求解了经济学中著名的美式期权方程b l a c k k u z n e t s o v 方程，首次给出了 显式表达的级数解，并在整个时间段内有效，与数值解精确吻合。同时，z h u 6 8 】 上海大学硕十学位论文 还求解了恒定红利收益条件下自由兑换债券问题，取得了不错的效果。同伦分 析方法再一次展示了其求解强非线性问题的巨大潜力。 1 3 研究意义 随着工程技术的发展，振动问题已成为各个工程领域内经常提出的重要问 题。例如在机械、电机工程中，振动部件和整机的强度和刚度问题，联轴节和 回转轴的扭振分析，大型机械的故障诊断，精密仪器设备的防噪和减振等。在 交通运输、航空航天工程中，车辆舒适性、操控性和稳定性问题，海浪作用下 船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。在电子电讯、 轻工工程中，通讯器材的频率特性，音响器件的振动分析等。在土建、地质工 程中，建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震引起结构物的动态响应，矿床探 查、爆破技术的研究等。在医学、生物工程中，脑电波、心电波、脉搏波动等 信号的分析处理等。现代工程技术对振动问题的解决提出了更高、更严格的要 求，电子计算机的广泛使用和动态测量技术的进步也为复杂振动问题的解决提 供了有力的工具。 自高性能超级计算机问世以来，线性问题的求解变得非常容易求解，然而， 对于一些非线性问题尤其是强非线性问题仍然很难求得其精确解，而数值解通 常给出的是解曲线上的一些不连续点，而想得到解饿一条完整曲线往往费时费 力，因此求非线性问题的解析方法显得尤为重要。传统的摄动方法本质是依赖 于小( 大) 参数或所谓的摄动变量的存在，简而言之，摄动方法是应用摄动变 量将一个非线性问题转化为无穷多个线性子问题，并用前几个线性子问题的解 之和来逼近该非线性问题的解，显然，摄动变量的存在是摄动方法的基础，也 正因为如此，它给摄动法带来了一些严重的局限性，因为不是每个非线性问题 都带有这种摄动变量的，另外当方程的非线性增强时，摄动法得到的近似解往 往失效，也就是说摄动法通常只能应用于求解弱非线性问题。 同伦分析方法出现近二十年，作为一种新的求解非线性问题的解析方法， 从探索、起步、发展、成熟需要经历很长的过程，也需要来自不同领域、不同 背景的实例束加以验证，虽然之前的学者已经在这条路上做出了许多工作，也 6 上海大学硕士学位论文 取得了很多喜人的成绩，在实际科学和工程领域解决了很多非线性问题，但是 这并不意味着同伦分析法已经发展的非常完美了，因此，为了进一步研究和完 善该方法，必须还要将其应用与更复杂的非线性问题中去。例如，至今还缺乏 一个严密的数学理论来指导初始猜测解、辅助函数、辅助线性算子和辅助参数 的选取，如何有效的选择长期项，能不能找出针对同一类非线性问题提出统一 的解决方案等等。因此，探索和深入研究同伦分析方法在实际应用中的新特点 和新思路，进一步发掘其在解决强非线性问题的潜力成为当前非常重要的研究 方向，同时，还要将非线性问题中的重要物理性质和同伦分析方法结合起来， 充分体现该方法的有效性和实用性，丰富求解非线性问题的途径。 1 4 论文的主要内容和组织 本论文是以作者攻读硕士学位期间承担课题的工作为基础，主要对同伦分 析方法的理论分析和应用进行了研究，选取了非线性振动系统中的几个典型例 子作为研究对象，进行了同伦分析，论文的主要内容和组织如下： 第一章，绪论部分给出了本文的研究背景、研究现状以及该课题的主要 内容和意义； 第二章，阐述了同伦分析的一般过程，给出了级数解收敛定理的证明和 三个指导原则，并讨论了辅助参数h 的选取，分析其对于控制 和调节级数解收敛区域和收敛速度的重要作用； 第三章，研究了d u f f i n g h a r m o n i c 振子，通过同伦分析求得一族时间响 应和频率的近似周期解，在有效区域内选取合适的h 值后，其 与精确解的比较表明该级数解有很好的逼近效果； 第四章，对非线性j e r k 方程进行了同伦分析，给出了辅助线性算子的 选取和勘的理论推导，对于两组不同参数，通过绘制缈嘲曲 线得出了级数解的收敛区域，与精确解的比较显示在强非线性 条件下同伦分析法依然有效； 第五章，总结和展望。 7 上海人学硕上学位论文 2 1 同伦 第二章同伦分析方法 同伦( h o m o t o p y ) 是代数拓扑学中的一个基本概念。 设x 和y 是拓扑空间，所谓两个连续映射兀办：x 一】，是同伦的，是指可以 在y 中将而连续地形变成力，更确切地讲： 定义：设尼五：x 一】，是连续映射，仁 o ，1 。如果存在连续映射所x m 一】， 使得对于所有z x ，h ( x , o ) = f o 俐，h ( x , 1 ) = f l 似则称 乃是同伦的，记作f o = 石：x 一】，日称为连接如和五的一个同伦。当要指明这同伦时，也常记作日，f o = 力。 7 0 】 对于g 日( 竹n y i q 日) 是依赖于实参数g 的一族映射，当g 从0 变 到1 时，功免砂= f o 连续地形变成瞰矽书。 考虑一个一般形式的非线性方程 “( 圳) = o ( 2 1 ) 其中，是非线性算子，u ( r , o 为未知函数，r 和t 分别代表空间和时间变量。 设q 印，口作为嵌入变量，构造如下同伦 h ( ，f ；g ) ；u o ( ，f ) ；g = ( 1 一g ) 三 ( ，f ；g ) 一( ，f ) + m ( ，f ；g ) ( 2 2 ) 其中u o ( r , o 表示精确解“仉砂的初始猜测解，l 是线性算子，该算子具有如下性 质 l f ( r ，f ) = o ，若厂( 厂，f ) = o ( 2 3 ) 令同伦( 2 2 ) 为零，即 h ( ，钾) ；r ，f ) ；g = o ( 2 4 ) 我们有 ( 卜g ) l g p ( r , t ；q ) - u o ( ，f ) = g ( r ，f ；g ) ( 2 5 ) 当q = 0 时，有 上海人学硕士学位论文 h ( ，f ；g ) ；“。( 厂，f ) ；g i 。：。= 三 m ( ，t ；0 ) - u o ( ，f ) ( 2 6 ) 当q = l 时，有 h ( 啊；g ) ；( 啊) ；g l 口= l = ( ， , 0 - - 0 ( 2 7 ) 由性质( 2 3 ) 易知 ( ，t ；0 ) = ( ，t ) ( 2 8 ) 是方程 h ( 州；g ) ；“。( 州) ；g n 。= o ( 2 9 ) 之解，同时 ( ，t ；1 ) = u ( r ，t ) ( 2 1 0 ) 是方程 h ( 彬；g ) ；材。( 彬) ；g 弘= o ( 2 1 1 ) 之解。因此，根据( 2 8 ) 和( 2 1 0 ) ，当嵌入变量q 从0 增大到1 时，方程 h ( 厂，f ；g ) ；u o ( ，f ) ；g = o ( 2 1 2 ) 的解函仉力砂从初始猜测解“d 仉砂连续变化到精确解u ( r , o 。在拓扑学中，这种连 续变化叫做形变。 2 2 同伦分析方法 2 2 1 零阶形变方程 以上述同伦理论为基础，廖世俊 3 0 】教授首次引入了辅助函数日化砂和辅 助参数h ，构造如下同伦 hcb刊(r,tq；q)卟；uo(，r-(1，：劣笺薄1 q h h ( r 力嘶朋) 亿1 3 )一g ) ( ，f ；g ) 一( ，_ ，f ) 一 ，f ) ( ，f ；g ) 、 同样，令 h ( ，t ；q ) ；u o ( ，f ) ，日( ，f ) ，7 2 ，g = o ( 2 1 4 ) 得零阶形变方程 9 上海人学硕上学位论文 ( 1 一q ) 三 ( ，- ，t ；q ) - u o ( ，f ) = g 桕( ，f ) 中( 厂，f ；g ) ( 2 1 5 ) 兵中，o n 0 为上述万栏的精确解，它刁、仅依赖于初始猜测解u o ( r , 0 、辅助线 性算子三、辅助函数职砂和辅助参数意，而且也依赖于嵌入变量g 以口。 现在定义m 阶形变导数 批，f ) r aw 嵩。型l ( 2 1 6 ) 将驴以0 泰勒展开成g 的幂级数 咿；g ) = 咿；。) + 薹掣g “ ( 2 1 7 ) 令 “州) = 掣= 矿1am中矿(r,t；q)m ( 2 1 8 ) ，n ! ! c 讶 因此，幂级数( 2 1 7 1 可表示成 ( ，f ；g ) = ( ，f ) + “，( ，f ) g ” ( 2 19 ) 在这罩，同伦分析法给了我们很大自由去选择初始猜测解u o ( r , o 、辅助线性算 子、辅助函数眺0 和辅助参数h 。如果他们都选取合适，则 1 ) 对所有qe f o , u ，零阶形变方程的解函仍0 砂都存在； 2 ) 对m = l ，2 ，i ：+ 吧形变导数“州以砂都存在； 3 )函仉0 的幂级数( 2 1 9 ) 在q = l 时收敛。 由此，我们得到原方程之级数解 ( ，f ) = “。r ，f ) + “。( ，t ) ( 2 2 0 ) m = l 2 2 2 高阶形变方程 为简便，定义向量 u n - - u o ( r ，f ) ，( 彬) ，“：r ，f ) ，r ，f ) ) ( 2 2 1 ) 将零阶形变方程( 2 1 5 ) 对嵌入变量q 求导m 次，随后两边同除以研，最后令q = o ， l o 上海大学硕士学位论文 我们得到m 阶形变方程 3 0 】 l u 。( ，f ) 一z u 。一i ( ，f ) = h h ( r ，f ) 吃( “。i ，t )( 2 2 2 ) 舯= 住且 也( u r n _ 1 ，p , t ) = 志 ( 2 2 3 ) 将式( 2 19 ) 代入上式 帆力= 丽1 矿a m - 1 融叫矽l ( 2 2 4 ) 由于所有高阶形变方程具有相同的线性算子三，且如 n 砂对任何给定非线性 算子都可以有定义( 2 2 3 ) 导出，因此，利用诸如m a p l e 、m a t h e m a t i c a 等符号 运算软件，我们可以很容易求解线性的高阶形变方程，并得到u l 仉砂，u 2 ( r , 班_ 则“仉0 ，的m 阶近似为 u ( r ，f ) ( ，t ) ( 2 2 5 ) 同伦分析方法给我们提供了极大的自由去选择初始猜测解、辅助线性算子、 非零辅助参数和辅助函数的形式，来确保最后的级数解收敛，同时也从根本上 突破了摄动法关于控制方程或边界条件( 初始条件) 中必须存在小( 大) 参数 的限制，正是这种自由和灵活性为同伦分析法的应用创造了广大的发展空间。 2 2 3 收敛定理 前一节我们讨论了同伦分析方法的一般过程，并得到了方程的m 阶近似级 数解( 2 2 0 ) ，在这里，级数的收敛性非常重要，怎样可以得到较大区域的收敛范 围就显得尤为重要。众所周知，一个级数即使收敛，也并非一定收敛到原始方 程的解，但在这里我们可以证明，一旦同伦分析方法给出的级数解收敛，它必 定是该问题的解。 为证明该收敛定理，设么例、b 俐为在igi ，内解析的嵌入函数，满足 彳( 0 ) = b ( o ) = 0 ，a o ) = b ( 1 ) = 1( 2 2 6 ) 上海人学硕上学位论文 令 a ( q ) = a t k q ，b ( g ) = 屈g ( 2 2 7 ) k = l k = i 由于彳俐，b 例在lgi j 内解析，且( 2 2 6 ) h - 挝，则 + 0 0 4 - o o = 1 ，展= 1 t = l k = l 从而零阶形变方程可以采用更一般的形式，如下 ( 2 2 8 ) ( 1 一b ( g ) ) ( 厂，f ；g ) 一( ，f ) = 么(