（电磁场与微波技术专业论文）离散复镜像理论在电磁散射中的应用与研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文主要讨论了分层介质中的频域格林函数的简洁算法，以及如何根据前面 求得的频域格林函数和离散复镜像理论来求出空间域格林函数来。文中讨论了如 何将空间域格林函数和矩量法结合起来，即对于分层介质中的任意形状的理想电 表面体如何选取合适的积分方程形式，选取什么形式的展开函数，以及如何处理 求解阻抗矩阵元素时的奇异性问题。论文的最后部分讨论了均匀介质中柱形理想 电导体在轴向平面波入射的条件下求解表面感应电流的简洁算法。 关键词格林函数，离散复镜像，混合位积分方程，奇异积分 i v 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h es i m p l em e t h o dt oo b t a i nt h e g r e e nf u n c t i o ni ns p e c t r a ld o m a i ni nl a y e r e dm e d i a ，a n dh o wt og e tt h e s p a t i a lg r e e nf u n c t i o nb a s e do nt h eg r e e nf u n c t i o ni ns p e c t r a ld o m a i nb y u s i n gt h em e t h o do fd i s c r e t ec o m p l e xi m a g et h e o r y ( d c i m ) t h e n ，w e f o c u so u ra t t e n t i o nt ot h em e t h o do fm o m e n t ( m o m ) i n c o n j u n c t i o nw i t h t h eo b t a i n e ds p a t i a lg r e e nf u n c t i o n n a m e l y , w es h o u l dc h o o s et h ep r o p e r f o r mo ft h ei n t e g r a le q u a t i o na n de x p a n df u n c t i o n w h a t sm o r e ，w e d i s c u s s e dh o wt od e a lw i t ht h es i n g u l a r i t ya r i s e nf r o mt h em a t r i xo f i m p e d a n c e i nt h el a s tp a r to f t h ep a p e r , w ep r e s e n t e das i m p l ea r i t h m e t i c f o rt h ec o m p u t a t i o no fi n d u c e dc u r r e n to nt h ep e r f e c te l e c t r i cc o l u m ni n t h ep r e s e n c eo ft h ea x i a l l yp l a n a rw a v ei nh o m o g e n e o u sm e d i u m k e y w o r d s g r e e nf u n c t i o n ，d c i m ，m p i e ，s i n g u l a ri n t e g r a l s v 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得澎鎏盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：研砭 签字日期： 湖g 年石月胡 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解澎鎏盘堂有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝望盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) i 、 劣参。l 学位论文作者签名： 杉r 诿 导师签名： 多纱u 签字日期：撕年月i - z - f 签字日期：娜占年d g 月j 2 日 1 1 浙江大学硕士学位论文 致谢 在论文完成之际，我要感谢我的导师李凯研究员，无论是在专业理论学习， 还是在科研能力培养和研究工作等方面都给予了我悉心的指导和亲切的关怀。在 这两年的学习中，李老师严谨的治学态度，看待问题的大局观都给我留下了深刻 的印象。 在这里我还要感谢王浩刚副教授，杜阳副教授在学习和科研上的指导。感谢 赵鹏同学，闰文哲博士和徐益辉同学，在学习和科研过程中，都给予了我很多的 帮助。 我还要感谢我的父母，他们不仅仅辛苦的养育了我，还教会了我如何面对困 难，如何做一个有用的人。感谢我的姐姐，在我的学习和生活中给我的极大的关 心与帮助。 浙江大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 概述 1 1 1 研究背景与意义 在微带天线和电路的严格的分析中，例如，在单片的微波集成电路( m m i c ) 的设计中经常出现印刷偶极子，微带贴片和微带问题，而这就需要处理索未菲积 分。直接的数值计算通常需要耗费大量的时间，而通过离散复镜像理论则可以大 大缩短计算所耗费的时间。例如，邵长金和李相方 1 将其运用于对分层地层来 进行井间的电磁成像。高巍，潘桃 2 】等人将其用于c m o s 电路的建模中，即随 着c m o s 集成电路的发展，人们对射频元件的建模的要求越来越高，高频时除 了要考虑到导体自身的趋肤效应外以及导体间的邻近效应外，还必须考虑到 c m o s 电路中的导电衬底和元件之间的耦合，而对于其中的感性耦合，即产生的 涡旋效应的分析采用离散复镜像理论可以大大的缩短其计算的时间。 1 1 2 研究现状 w a i t 3 4 最先在一个复深度上引入近似镜像解，然而这种近似仅仅适用于 低频或者是电导率很大的情况。尔后，更一般的镜像理论被引入。k u e s t e r 和 c h a n g 5 提出在求逆傅里叶变换的过程中，可以先通过l a p l a c e 变换将反射系数 变为一个函数的拉普拉斯的形式，然后通过交换积分次序，则我们先对尼。进行 积分，则我们可以得到： m 2 - 一等- 0 篙掣州伽t 。 t ， 式中 r l = ( z + h j t ) 2 + p 2( 1 2 ) r 。( k 。) = ff ( t ) e - k o z t d t ( 1 3 ) 而上面的r ( k 。：) 为频域反射系数。上述积分从物理上来理解就是：总场可以视为 由直射波和连续的线源镜像所产生的场的叠加。上面的方法虽然仍然是一重积 分，但是它将振荡的汉克尔函数去掉了。然而，如果上面的镜像位于实数空间中， 则其是指数发散的。为了克服上述问题，l i n d e l l 和a l a n c n 6 7 8 提出进行变 量代换，从物理上来解释就是，镜像位于复空间中，则这时可以求出当源置于空 浙江大学硕士学位论文 间任意高度，在任意频率下，任意场点的场量来。他们得出了半空间中的垂直磁 偶极子的精确镜像，垂直电偶极子的精确镜像以及半空间中的精确镜像的一般公 式。 虽然利用精确镜像理论求解一方面数值计算的时间大大缩短，另一方面其原 理简单。但是它的局限性也很明显，即对于多层介质的问题，其中的反射系数难 以表示为一个函数的拉普拉斯变换的形式。 但是，从上面的精确镜像理论的思路可以看到，实际上我们的目的是将反射 系数函数表示成为e 指数的形式，从而可以直接可以运用s o m m e r f e l d 定理求解。 f a n g ，y a n g 和d e l i s l e 9 用离散复镜像原理来处理分层介质中的水平电偶极子问 题，c h o w , y a n g ，f a n g ，和h o w a r d 1 0 用其来求解厚微带基底结构的闭解格林函 数，s b u b a i r 和c h o w 1 1 用d c i m 来求解水平和垂直电偶极子的空问域内的矢量 位并矢格林函数和标量位格林函数，即将反射系数函数在提取掉准静态，表面波 后，表示为有限个数的e 指数的和，从而上述的积分则可以直接求出，而无需要 进行数值积分。 显然，在上面的问题中，如何求出关于反射系数函数的有限个数的e 指数和 的一个良好近似来，直接关系到上述的积分的精度。在 1 2 中，作者使用的是 p r o n y 方法，这种方法的缺点是它的样本的个数是e 指数项数的两倍，因此，通 常情况下，它的项数比较少时，由于样本值少，则得到的结果不会很理想，需要 通过进一步的优化程序来进行计算。为了改善近似效果，有人采用最小平方 p r o n y 1 3 方法，g p o f 1 4 ，由于后面的方法所用的样值点数可以是任意个，因 此，当选择足够的近似e 指数项数时，并通过选取合适数目的样值点，经过一系 列的特殊处理，则一般可以得到满意的近似函数来。 上面提到要经过一系列的特殊处理是指：a k s u n 1 5 ， 1 6 指出在将反射系 数函数近似为一系列的e 指数的和的过程中，为了提高其近似的程度和减少运算 的时间，则将其中的近似分多段进行。这样，对于k 。较小的那一段，由于其中 的范围t t 曼d , ，而其中的抽样频率和一段近似相比较有很大的提高，因此，其近似 要比一段近似的效果要好。并且其可以大大的缩短近似运算所需要的时间。而 k i m ，l e e ，k o 和c h o 17 等人提出分三段进行近似，但是其提出为了对k 。较小的 那一段做较好的近似，则可以选取合适的t o 值，使得其中的路径对应于最陡下 浙江大学硕士学位论文 降法所对应的路径，这样其能够对反射系数函数最良好的近似。 1 2 课题的研究对象 本论文主要讨论分层介质中如何由d c i m 将求得到的频域格林函数转化为 空间域格林函数，以及讨论如何由求得的空间域格林函数与矩量法相结合来求解 分层介质中的散射问题。论文中着重讨论了求阻抗矩阵时的奇异性问题的处理。 1 3 论文结构 本论文共分为7 章，其中第一章为绪论，主要描述了d c i m 的实际应用， 讨论了d c i m 的研究现状。 第二章比较了各种求解分层介质中的频域格林函数的方法，并提出了一种简 洁的计算方法。 第三章主要讨论如何将频域格林函数较简洁的得到空间域格林函数，并分析 和比较了几种特殊的方法。 第四章主要讨论如何根据已经得到的空间格林函数与矩量法相结合，即选取 何种形式的积分方程和基函数来求解分层介质中的散射问题。 第五章主要提出了一种新的处理2 维奇异点的方法。 第六章主要针对第四章的通法，对于均匀介质中轴向平面波入射到理想柱形 电导体上时，在求解表面感应电流时的简洁算法。 第七章对本论文进行了总结 浙江大学硕士学位论文 第2 章分层介质中的频域格林函数 2 1 引言 在前面的问题中，我们讨论了偶极子所产生的场的解析的表达式，然而，在 求解平面波入射条件下理想电导体( p e c ) 的表面所产生的表面感应电流时，用 解析的方法是难以得出的，或者说能够求解的仅仅限于一些特殊的情形，对于一 般的情况的求解，则有赖于下面的提到的数值方法来求解另一方面，为了在用 m o m ( 矩量法) 时提高计算的效率，其中的频域格林函数的的表达形式也与前 面介绍的解析方法有所不同。对于分层介质中的偶极子的的频域格林函数的求 解，限于篇幅，这里不予给出，具体可以参考【3 4 】，在下面的推导中，我们所采 用的时谐因子是g 埘。 2 1 1 均匀介质和非均匀介质的矢量位的区别 我们知道，场量可以用矢量位和标量位来进行表示，在均匀介质中，我们容 易得到矢量位的亥姆赫兹方程如下所示： v 2 j + 尼2 j = 一歹( 2 1 ) 我们将其分解为直角坐标系的三个分量，则容易得出，在均匀介质中，其格林函 数矢量位仅仅由三个分量构成。然而，在非均匀介质中，若我们仍然假设其仅仅 由三个分量构成。即当其有岩方向的单位源时仅仅产生曼方向的矢量位，同理夕方 向和三方向，则由于是方向和夕方向的分析是相同的，因此，在下面的讨论中， 我们仅仅讨论曼方向的单位源所产生的场云和其矢量位j ，两者之间的关系。则由 西= - j 彩j + _ 一v v j ( 2 2 ) ) c o , u 6 我们可以得出： e 叫吣去等 ( 2 3 ) 髟= 去嚣 ( 2 4 ) 根据上面的表达式子可以知道，上面的式子恒不能同时满足边界条件，除非是相 4 浙江大学硕士学位论文 同的介质。因为，实际上，电场的切向分量连续，实际上是要求下面的式子成立： 4 ，b = 4 ，k ( 2 5 ) 上4 ，b ：j l 4 ，b ( 2 6 ) 一毛2 乞 而对于三方向的单位源所产生的场云和其矢量位a ，的关系可以表示为： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 对于一般的非理想导体边界而言，容易得出边界条件的连续性即等价于下面的式 子： 士丝i z = z i = 1 丝i鱼b a 2 - - a - z (29)0 朋毛 z i z = z 。 2 岛 o z z = z i “k 一1 2 i z = z , p “7 因此它的边界条件是可以满足的，因此，对于三方向的单位源而言，其可以仅仅 有三方向的矢量位。通过前面的讨论，我们知道对于分层介质而言，其中的格林 函数的矢量位不再由三个分量构成，通过进一步的分析我们可以得出：垂直方向 的偶极子其仅仅产生垂直方向的矢量位，然而，对于水平的偶极子而言，其矢量 位有两个方向。即，在分层介质中，格林函数可以表示为矢量位的形式如下面的 式子所示： =12 瓯= 一q + _ l v v g a( 2 1 0 ) j t o _ ，u g - 其中式子中的e 可以表示为： g a = ( 戤+ 谬) 瓯+ 巍吃+ 秒吒+ 笼吃 ( 2 1 1 ) 或者表示为下面的形式： q = 赫吒+ 谬g 。+ ( 黟+ 弦) 瓯+ 笼吃( 2 1 2 ) 容易验证，上面的两者形式是完全可以满足分层介质的边界条件的。 丛驰 一一 呻 一知 一 一 = t h 萨一缸 乙， ： r嵩嚣 浙江大学硕士学位论文 ， - 姆 y - 它，r ： l一 阻i e i i a i 已i l a ：t ： 图2 1 分层介质中的偶极子示意图 我们讨论的问题的示意图如上面的图形所示，即源位于介质体的中间，对于那种 源位于最上面或者是源位于最下面的问题是很容易求得的，因此，在这里不予以 叙述。 2 1 2 求解矢量位的意义 在这里我们需要强调的是：与我们通常的用解析的方法求场的表达式的方法 不同在于，在那种方法中，我们强调的是根据其中的源的分布来求出它的场来， 而在这里所讨论的问题中，这里我们需要求解的量不是其中的场，而是其中的场 所对应的矢量位，这样的处理主要是基于所处理的对象通常是源的分布需要根据 边界条件来确定时，即例如在入射波的条件下，求p e c ( 理想电导体) 几何体上 产生的表面电流分布或进而求其散射场，其它重要参数如雷达截面等问题时，则 通常需要用这种方法，在这种情况下，我们通过求解矢量位( 修正的矢量格林函 数) 来建立其混合位积分方程( m p i e ) ，从而适合运用矩量法来求解。至于这一 部分内容，我们将在后面的章节中做详细的讨论。 2 2 频域格林函数 2 2 1 频域解的纵向解的表达式推导方法的比较 由于推导殳方向的水平偶极子和推导夕方向是类似的，因此，在这里较详细 的说明殳方向的水平偶极子的g 硝纠和g “的推导过程。在推导上面的几何结构 的频域格林函数时，主要包括下面的几种推导方法： 1 直接方法：在我们得到各个介质层所满足的微分方程后，在源所在介质层其 解由齐次解加上特解构成，从波的角度来理解，即源所在介质层的解是由源在均 匀介质中的波( 直射波) 和介质影响下的波( 即反射波，反射波是指的上述多层 介质的反射波，而非单纯的指源所在介质层的上下两个界面的反射波) 两者构成， 6 浙江大学硕士学位论文 前者对应的是特解，而后者对应的是齐次解。而在其它的介质层，则由于没有源， 因此，其解仅仅由齐次解构成。必须注意的是，除了最上面的一层介质仅仅有向 y 正轴传播的波和最下面的一层介质内仅仅有向y 负轴方向传播的波外，其它层 的波则既有正方向又有负方向传播的波。上述的结论也可以由有耗介质中的场在 无穷远处的有限性来得出。在得到各层介质内的微分方程的解后，我们再根据各 个边界上的电场和磁场的切向连续性( 非理想导体界面) 来确定各个未知系数。 毫无疑问，上面的方法对于介质的层数比较多时，其求解是非常复杂的，因此， 实际上层数比较多时，仅仅存在理论上可以求解的可能。 2 k o n g 2 0 的书中给出的方法是：我们在源所在层的上面的那个边界以及这个边界 以上的所有边界上运用边界条件，若我们在各层定义一个参量为向下传播的波的 系数和向上传播的波的系数之比，其中在源所在介质层的这个参数记为尺+ ，则根 据边界条件，则我们可以得出下面的一层介质的这个参数可以用上面的那一层介 质的这个参数表示，从而可以构成一个递推关系式，并且由于在最上面的那个边 界上，这个参数值为o ，因此，综上可以知道，我们实际上可以推得在源所在介 质层的上界面上的向下传播的波和向上传播的波的未知系数的比值，对于源所在 介质层的下界面以及它下面的所有界面，根据边界条件，则类似的可以得到在源 所在介质层的下界面上的向上传播的波和向下传播的波的系数之比，则根据这两 个参数和均匀介质中的度，a ，表达式则可以得出其中的源所在介质层的齐次解的 未知系数来。( 介质层影响而得到的反射波) 。从上述过程可以看出，上面的求解 过程仍然是根据边界条件得出的，不同的是，这个求解过程是根据两个比值得到 的，而比值之间代换的时候有一定的规律性可言，因此，在某种程度上化简了其 中的求解过程，然而，对于多层介质的频域解，按照上述的方法仍然有较大的计 算量。 3 c h o w , 方大刚和杨建军 1 0 】等人常使用的波矩阵的方法。这种方法是将各个分 层介质看为二端口网络来处理的。 4 m i c h a l s k i 和郑大连 t s l 等人运用的方法是将介质等效为传输线来求解的，其 需要运用电路理论。这种方法来前面的波矩阵的方法实际上是比较类似的。 5 s t o y e r 1 9 在推导分层介质中的电磁场的表达式的问题中，其是运用传输线来 求解时，即对于源所在的介质层以上的所有介质以及在源所在的介质层以下的所 7 浙江大学硕士学位论文 有介质层均可以用传输线来进行等效。即多次的利用公式因此所讨论的问题可以 转化为三层介质的问题，这就将问题简化了不少，如下图所示意，在图中的“，q 和雎。，。均是经过传输线等效后的参量。要指出的是，我们不能够将这个问题进 一步的用传输线来等效而必须通过边界条件来求解，这在于在源所在层介质层， 不同于其它的介质层，其受上下两个界面的影响。而在求解时，他采取的方法也 是直接的根据边界条件来求解的，由于他所讨论的问题是求场的表达式，而非我 们这里的求矢量位的表达式，因此，其将波分解为t e ，t m 波后，根据边界条 件则可根据两个独立的4 元方程组而求解。 e 1 “1 lni , t o 气 i t _ l 图2 2 具有上f 两个基底的偶极子 然而，在求矢量位时，根据边界条件来直接求解涉及到g “一，g “的八个方程， 因此，要求解其也绝非易事。这里要说明的是，g “，g “一不能够分别的单独 满足边界条件，因此，它们的求解是耦合在一起的，这可以从下面的边界条件可 以看出。在下面的讨论中，我们将考虑傅立叶变换来得到其频域解形式表达式： g “= 南! 扫石z ，) p _ f ( 聃训蛾略 亿柳 容易 。i 一一一“x x ，6 嚣所满足的微分方程为： 等w 翔 ( 2 1 4 ) 等搿拙 ( 2 1 5 ) 浙江大学硕士学位论文 式中i = l 或者1 而在介质0 中，则微分方程为如下的表达式： 而其对应的边界条件为： 以及 争蛾既= w 卜z ) ( 2 1 6 ) 孥2 “z 3 + 七z ：。6 琵：o 昆2 “” 瓯b = g 品b g ：一b = g 品b 。 上盟i ：上篮l “瑟k 2 1 风 瑟。1 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 亟i 。_ l _ 一1 0 盟i (221)z 从l。“一1 0 o z 1 2 = z _ i 、7 去龟l 刁= 石1 晚l a“1 胁 瓦1 吲一。= 瓦1 _ l g o ai 一。 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 一1 ( 一j k x g l a + 譬) k 上( 一j k x g o a + 箪) b “q d 2 1 声岛岛 o z 去( _ 成瓯+ 争k f 去( _ 邸藐+ 譬儿铂 由上述的边界条件可以看出，上面的o x _ s ，g 荔并不能像t e ，t m 波那样独立的满 足边界条件。因此，我们不能够将其分开来予以求解。 2 2 2 新的推导方法 在前面的推导过程中，我们提到，要运用传输线的理论来求解，则必须将波 分解为t e ，t m 波，从而可以得到源所在介质层以上和源所在介质层以下部分的 介质的等效阻抗来，也就是可以得出等效的介电常数和等效磁导率来。但是我们 从前面推导的边界条件可以看出，6 嚣，g 蓦并不分别对应着t e ，t m 波部分。因 9 浙江大学硕士学位论文 此，在这里，我们为了运用传输线理论来化何运算，我们口 以先将坡分解为t e ， t m 波，然后视g 嚣，g 荔为未知量，通过建立起它们与t e ，t m 的一个方程组， 从而根据t e ，t m 的表达式而求得6 嚣，g 荔的表达式。同时在下面的推导中，我 们在求解t e ，t m 波的过程中，为了避免直接利用边界条件，即通过求解两个四 元方程组来求解的复杂运算，这里我们采用叠加的方法来求解。具体的求解过程 如下，根据s o m m e r f e l d 积分定理 2 0 】 孚豢h 2 0 ( 晦 ( 2 2 6 ) 式中： 孵= 足= 缈2 肛痧i = ， ( 2 2 7 ) 对于殳方向的水平偶极子而言，则其电场的z 分量为： 纠一j c o f l o ( 于+ 1 ：v v m 等】： ( 2 2 8 ) 注意到 1 8 】： f = 去夏f e , o ( 杉力嘭= 南! ! 凫由峨7 戤略 ( 2 伪) 上面的式子中的p 是f 的傅立叶变换。结合s o m m e r f e l d 定理，则有： t 。= 击! ! 裹芋卜成h 一以一饥p 璁。纸辑 c 2 3 0 ， 上述的表达式的含义即为：丘的傅立叶e ：变换形式。即 豆= 嘉半( _ 蚶h ( 2 3 1 ) 同理我们可以得到： 疗：要风： ( 2 3 2 ) ： 2 j k o z 、 至此，a , f r 已经求得磁导率为, u o ，介电常数为岛的空间中的t m 波的电场的纵 向分量和t e 波的纵向分量的傅立叶变换的形式。而根据傅立叶i 煎变换的式- 7 ， 1 0 浙江大学硕士学位论文 我们可以将其理解为将一个球面波分解为传播方向为矿豫”以y 的平面波的叠加， 因此，我们可以直接的根据t m 平面波，t e 波的反射与透射来求出分层介质中 息，疗：表达式来。不同在于这里所考虑的情况有两个反射面，而非一个，并且 有多次反射的现象发生。则有如下图所示意： j 二却气：。产j 毪 ( d 0 z 。 弋乒、妙一 ( 0 0 0 ) e p 巾z ) 图2 3 坡的叠加不恿图 如图所示，坐标为( p ，矽，z ) 的场点的波由从源点的直射波，源点的发出的波经过上 界面的一次反射直接传播到场点，源点的发出的波经过下界面的一次反射后直接 传播到场点，源点发出的波先经过上界面的一次反射再经过下界面的一次反射后 传播到场点，源点发出的波先经过下界面的一次反射后再经过上界面的一次反射 后传播到场点，还有的是经过上下界面的反射后重复前面的过程的波。因此， 在这个分层介质中的波的磁场的纵向分量可以表示为： 恿毒芦轺捌啦硅删 佻 书孽萨婶峙p 西燮匹秒浆茁燮噼萨h 砬如莎辑秒 2 3 3 砬露k 沙卜】 从上面容易看出，实际上上面的式子是一个级数，其中公比为 r o ，腰掣 i t e 矿确，上述式子中的第一项是直射波，而第二项是经过上界面 的反射后传播到场点的波，其中r0 1 您是这个界面的t e 波的反射系数，其中的 介质1 是通过传输线理论等效的介质，式子中的e - 以o ( 2 d o ”。表示的是从源点传播 到场点的相位滞后，式子中的玩表示的是介质0 的厚度，而z 7 是源偶极子所放 浙江大学硕士学位论文 置的高度。：是纵向传播常数。注意的是这里的相位滞后仅仅与其纵向位移有 关，这在于在频域，其波是沿着z 传播的。因此，我们可以求得： 息= 刃j k y l e _ 风= 嘲+ 坠竿鬟瓮一 + 型匹：生：j 堂三竺! 匹：生竺1 丝：、l 2 3 4 1 一殿1 腰帮腰一2 如 j 在上式中，若令 a 。 = r o l r e e 一风= 而一。“【p 一风：而一一+ r r e 。 - l e 一凡：如+ ， m 疆 ( 2 3 5 ) c 。 = r o , - i 疆p 一一：。2 【p 一盹z ，+ r o ”弛p 一必。2 如一一】m 掰 ( 2 3 6 ) m 厄= 【l r o ，硒r o l r z e 一2 岛：如】一1 ( 2 3 7 ) 则可以将( 2 3 3 ) 写为： 丘2 甍( e - j k o = l z - z l + a e h e # 。= z + c e h e - j = z ) ( 2 38 ) 类似我们可以得到： 丘2 晋( - 鼢( 讽) 去( e - j k o = l z - z l + b e h e j 女。：z + d e h e - j k 。 z ) ( 2 3 9 ) 其中 既= 沙而帮”瞳母舶吒“一帮一舻隅舶杉 ( 2 4 0 ) d 。 = e 一风z 7 r o 珊卜e 一风z 27 + r o ”埘p 一炖z 2 d 0 2 】m 删( 2 4 1 ) m 聊= 1 一r o , - l r e r o , l r e e 一7 2 b z 如】一1 ( 2 4 2 ) 必须指出的是上述的a 8 。，c 8 。中的正号和b 8 。，d 。中的负号是由于偶极子在无 限区间内辐射时e ，卫的相位所决定的 9 。而根据关系式( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 以及当讨 论的是曼方向的偶极子时，有 = 错g 科一+ 鼓g “一 ( 2 4 3 ) 1 2 浙江大学硕士学位论文 啦育1 气掣一矿k 2 z o z x 一 仁4 4 ， 丘：堕g 鳓 通过解上面的方程组可以得到： ( 2 4 5 ) g 函= 彘。( e - j k o = l z - z 1 + a e h e j k o = z + c e h e - j k 。= z ) ( 2 4 6 ) 珏瓦1 0 陪( 矽+ 警供一c 。庸讥矿j ( 2 4 7 ) 根据矢量位和标量位的关系： 矿g q 1 五 ( 2 4 8 ) 则可以得到 皓去。降瓦1 譬 仁4 9 ， 弘o j k x晓) 即得： g o q ，- 训1 忑。 e - & , i z - z l 1 。半沙。竿p 讽小2 s o ， 同理可以得出夕方向的水平偶极子的矢量位为： 盘o o a = 瓦4 除( 印妒+ 等慨f 叫仁5 ， 皓磊1 e - j , i z - z lq 。学沙。半p 哦， ( 2 5 2 ， 同理，对于三方向的偶极子而言，其仅仅有t m 波，则可以得到其均匀介质中的 电场的三分量为： 昏气竽意 亿5 3 ， 浙江大学硕士学位论文 据夭糸式 f z = - j o 箬g 乙 ( 2 5 4 ) 从而可以得到分层介质中的表达式为： g o a = 瓦1 ( p 似l + 舡眦+ 即鼬) ( 2 5 5 ) 其中 彳8 v = p 一：，r o 一掰 p 一风= ，+ r o l r m e - 风z 2 如一。 - m 珊( 2 5 6 ) b 8 ，= e - j a o - z ) r o ”聊 p 一炖：而一。+ r o 一1 t m e - j k 。：( a 。+ z ) m 刑 ( 2 5 7 ) 根据 吒= 菥1 象 ( 2 5 8 ) 则可以得到 吒= 丽1 眇卜胡+ c 。腑+ 球肌】 ( 2 5 9 ) 式中 c 。，= p 一坞：2 r o 掰卜e 一炖：。+ r 。1 1 , m e 一风：2 如) 】朋掰 ( 2 6 0 ) d 。p = p 风= 如2 “r o ”跏 一p 一风：如一。+ r o ，一1 - m e 一风：如+ ：7 】m 珊( 2 。6 1 ) 在上面的推导过程中，r0 表示的是介质0 和介质1 的t m 波的反射系数，其 中的介质一1 是经过传输线等效的介质r0 硒则表示的是介质0 与介质- 1 的t e 波的反射系数。同理其它的反射系数的含义，即上标表示的是哪几个界面问的反 射系数，而下标表示的是波的类型。其中的1 层的等效阳抗的计算公式是： n e f f t e = z t e _ i 驴z l + i z r 瓦g _ l 丽jta面n k id _ l ( 2 6 2 ) 其中的z r z _ ，表示的是- 1 层介质的t e 波的阻抗，有严- l - 眷，而式子中的以 是- 1 层介质的厚度。红。：是一1 层介质的纵向传播常数。乙是- 1 层介质以下的所 1 4 浙江大学硕士学位论文 有介质的等效阻抗，即通过多次运用上述公式而计算得到。对于t m 波的情形， 则将上述的公式中的t e 换为t m 臣l jn - j ，并且注意到：z 珊一，：生即可。 彩l 2 3 本章小结 在这一章中，我们分析了均匀介质与分层介质中的矢量位的区别，并且比较 了各种求解频域格林函数的方法。本文中通过运用传输线的理论以及平面波的叠 加思想，并通过一个在频域内的方程组的变换，较易的得出了任意层介质中频域 格林函数的一般形式。从上面的求解过程看出，在上述的求解过程相对运用直接 的边界条件法或者是方法2 都要相对的简单，并且上述的求解具有明显的物理意 义，容易理解。比较上面推导得到的公式和 2 1 可以知道，上述的结果完全与 2 l 】 所给的公式相同。综上可知，我们得到了任意层介质中的矢量位和标量位的频域 表达式。 浙江大学硕士学位论文 第3 章空间格林函数 3 1 引言 在我们求解分层介质中的一个天线辐射所产生的场时，则通常是先通过求出 其频域表达式来，即通过做傅立叶变换，将其分解为平面波。而要得出它的场的 表达式来，则必须对频域表达式做逆傅立叶变换来得到，在本章中，详细讨论了 如何由频域表达式来较易的得到空间域的表达式来。 3 2 求解空间域格林函数的一般方法 在下面的讨论中，我们以g i 为例来说明求解过程，其它的量类似可以得 到。即我们要得到： g “一= 击! ! 。和哦p 助啦啦= 去! g 芋剧孙。( p ) k p d k p ( 3 1 ) 我们将在前面一节中求得的6 芋代入上述的逆变换的表达中，则可以得到： g “爿2 去- j 彘【p _ 盹卜胡硝一伊彤炖1 日( 2 ) o ( k p 眺吨( 3 2 ) 注意到s o m m e r f e l d 定理 孚嘉矾( 乃嘭 ( 3 3 ) 式中的a 8 。，c 8 。的表达式如( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) 所示。( 3 2 ) 中的第一项可以直接根据 s o m m e r f e l d 积分定理而直接积分得出。即有： 瓯删= 去! 舞e - f l ：l z - z 1 h ( z ) 。c p ) k p d k p = 等 b 4 ， 式中： = 痧而，k 。= 厨 ( 3 5 ) 因此我们的中心任务是计算下面的表达式的积分： g 25 去一琢, i 1 0 a e h 。e j t o , , z + c ee - t k o z z 妒。( 杉p ) 嘶( 3 6 ) 1 6 浙江大学硕士学位论文 为了求出上面的积分的表达式，我们可以。和c 。都用ya i e 一岛z 和y 口i e 一岛：来 ” “一一_一 进行近似，这样我们就可以直接的运用s o m m e r f e l d 积分而求解。为了得到一个 近似良好的e 指数函数，则按照下面的方法来进行处理。3 2 。1 提取静动态 我们将a 8 。e j k o z 。+ c e h 矿：7 的准静态项提取出来，即令所有介质的纵向传播 常数都和介质0 的纵向传播常数均相同的条件下得到的一个指数函数的近似表 达式子，对这一部分，同样可以由s o m m e r f e l d 定理直接计算出来。实际上准静 态也可以不予以提出来，他们实际上包含在复镜像里面。 3 2 2 提取表面波 a e h 和c 8 。实际上是一个关于：的一个函数，但是其沿着屯平面的实轴的积 分是一个s o m m e r f e l d 积分，它们在k 的实轴上有极点存在。在些极点的存在给 e 指数的近似带来了困难。因此，在处理时，通常要先将这些极点项先提取出来。 则g 2 可以化为： g 2 _ 吒删0 肌+ 钏毒。“妒2 旧( 2 “馋 7 ， + 鲁杀。爪砂嗍 孙。( 杉吃 式中的g “船。，g = a , s w ：是表面波，其具体表达式如下所示： g 崩月，删，= 鲁( 一2 万) r e 而日( 2 ) 。( t p p ) t p ( 3 8 ) g x x a , s w 2 篆十2 硼，r e ”h ( z o ( k p p p ) t p ( 3 9 ) 嘲= 磊，【嘉k w l i m 。( t 嘞m ( 3 1 0 ) 胁：= 磊，瓦e - j k o z z 怫l i m ( 一钞c 。 彳。沪彳8 一一乒2 k p p 可r e s l 2 风：矿眦 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 浙江大学硕士学位论文 c8一。=c8一2j；k：wpp r e s z 2 ：p o ：。 ( 3 1 3 ) 在提取掉表面波以后，式子中将不再含有极点，为了对上述的函数做一个良好的 逼近，我们通过运用留数定理，不再沿着s o m m e r f e l d 积分路径( s o m m e r f e l d i n t e g r a n dp a t h ) 进行积分，积分路径如下图所示： 图3 1 在复平面上的积分路径 ju m ”o z 】 彳呱k 二 誓 1f 2 图3 2 在k 复平面上的积分路径 即积分路径在k ：复平面内的上述路径和在平面的路径两者是等价的。这我们 可以从下面的表达式可以看出。由k = j 丽， 并且由于在：复平面内沿 着c l 路径积分时，即此时路径为： ：= 姒一+ ( 1 一寺) 】o - t 2 t o ( 3 1 4 ) 浙江大学硕士学位论文 将上述的表达式代入九的表达式，我们可以得到 七。= ( 3 1 5 ) 从上面可以看出，当t = o 时或t _ 不时，则七。为一个实数，而在这个区间内，其 是一个虚数，并且在o _ t = t o 区间内，其中的开根号的这个数字的实部和虚部 均是为正的，因此，这对应这k 的两个根在第一和第三象限，并且易知，随着t 的增大，其中的屯的实部的绝对值是逐渐增大的，而其虚部的绝对值则是先增 大后减小，这正好对应这在心复平面内的曲线c 1 ，同理可以知道在：复平面的 曲线c 2 和k 复平面的曲线c 2 是对应的。正是因为我们提取表面波后的积分中不 含有任何的奇点，因此，选取上述的积分路径是不改变积分结果的。然而，将函 数近似为一系列的e 指数的和的过程中，我们要求其中的变量是实的变量，为此， 我们将：做一个变量代换，从而将一个复变量转化为一个实变量来进行处理。 即我们做变量代换： c l 路径上 c 2 ： 则有沿着c l 时 ：= 【一，+ ( 1 一) 】 o = t = t o 彳8 矿叩喃k = c i e 即 f 1f = l 则代入：的表达式，则我们可以得到参数间的关系来 10 】。 吐 q = q p l + 炳， 睁器 而沿着e 时，则其中的关系式显然为 a f = q ，b f = 一j d i ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 在实际的求解中，当我们选取合适的乃值时，则可以不考虑其中沿着c 2 路径的 9 浙江大学硕士学位论文 近似，因为当t o 足够大的时候，a 。在这么一段的值已经趋于零。另一方面，由 于近似的e 指数实际上是衰减的函数，因此，对于：的虚部较小的时候能够对 么。做良好近似的e 指数，则它在k o ：的虚部较大的情况下，实际上由于它的衰 减性，其在这个区间内的函数值已经近似为零。当然，在这里的参数t o 的选取是 很重要的，首先应该选择合适的r o ，使得其奇点较远。另外，为了使得求出的空 间格林函数在运用矩量法时不需要再次做近似，g e 和e s s e l l e 2 2 提出了在求解 的时候应该不通过s o m m e r f e l d 积分来求解其逆变换，而应该通过将汉克尔函数 化为贝塞尔函数，并且利用下面的积分来求解出逆变换 p 。厶( 力晦2 舞奔( 3 2 1 ) 使用这样的一个式子的好处是，我们在求解阻抗矩阵时，则可以直接解析的得出 阻抗矩阵元素来，而不需要再对格林函数通过取泰勒级数的前几项来得出其中的 阻抗元素的解析的表达式来，因此，其精度也较后则要高。至于这一点的理解我 们将在第六章中体会到。在那一章中，讨论的是将其中的均匀介质中的格林函数 用泰勒级数来近似后，来解析的得到其中的阻抗元素的表达式。在此基础上，为 了提高近似的精度，k i m 1 3 等人提出了应该分多段来对函数做近似，并且在选 择其中的参数时，使得其积分路径在后。复平面内是沿着其最陡下降法的积分路 径来进行。 3 3 近似为e 指数的方法 3 3 1p r o n y 方法1 1 2 】 p r o n y 方法能够用一系列的e 指数来对一个己知的函数近似，它运用的条 件是要作近似的已知函数是一个有限区间内的实变量的函数。前面我们已经提 到，对于要近似的函数彳8 。和c 。而言，虽然它们是一个积分区间为一个半无限 区间上的复变量的函数，因此，为了运用上述的方法来近似，则首先应该前述 的变量代换将其变成一个实变量t 的函数，这个条件我们可以通过变量代换 ( 3 1 6 ) 较易的满足。另一方面，实际上彳。和c 。在提取掉它的准静态项后是一 2 0 浙江大学硕士学位论文 个有限区间上的函数，因此它们完全满足p r o n y 方法运用的条件，因此，在下 面的讨论中，完全以有限区间上的实变量的函数来说明。即设函数f ( t ) 是一个 定义在 0 ，t 0 上的函数。并设 若令 饨) = q e 即= c o e 印+ c l 一+ c 2 e 印+ + 一l p 札 ( 3 2 2 ) f = l g t = p7 了q 严p ? = e 拍( 3 2 3 ) 这里的i ，j 表示的是一个整数，而非单位虚数。则必定存在一系列的未知系数 c o ，c 1 c 州使得下面的方程成立。 y ( j + n ) + g l y ( + n 一1 ) + g 一2 y ( + n 一2 ) + + c o y ( ) = 0 ( 3 2 4 ) 式子中的j = 1 ，2 n 这是因为可以将上述的g 视为未知量，则不论d i 为何值，总 是存在这样的c f 使得上面的式子是满足的。因为上述方程组的系数矩阵为： 局一1 岛一2 岛岛 岛v 一1 岛1 一2 岛一岛 岛一1 岛一2 岛一岛 p n p p qp n , o n 1 兀( 乃一辟) o ( 3 2 5 ) l f = 因为乃岛，它们相等的时候则近似的时候会予以合并，因此可以知道恒存在c 使其满足关系式在这个式子中，对于任意个j ，均使得其满足 c o + c l p i + c 2 p j + + c n 2 p ? 2 + c n p ? 1 + p ? = 0 2 6 ) 故可以得出肛是特征方程的 c ：+ g p + c 2 p 2 + + g 一2 p 一2 + g l p - 1 + 户= 0 ( 3 2 7 ) 的n 个根。另一方面，由于在( 3 2 6 ) 6 7 令i _ 1 ，并在方程的两侧同时乘以c o 得到：