（计算数学专业论文）传输线模型法及其在对流扩散问题中的应用.pdf

摘要 对流扩散方程是描述流体流动和传质传热的基本模型方程，广泛的应用于计算流体力学的研 究当中传输线模型法( n et r a n s m i s s i o nl i n em o d e l l i n gm e t h o d ，简称t l m 法) 对于解决电磁学问 题和传热问题极具优势，并在近儿年延伸到流体力学的应用当中本文用传输线模型法解决对流 扩散问题，将其扩展到二维问题的数值模拟研究中 首先，详细的介绍了传输线基本理论以及传统的传输线模型法的基本概念传输线模型法实质 上是用传输线上电压的传播过程来刻画流体微粒的流动过程，节点处的电压值可近似代替宏观变 量的解为了验证算法的精确性和有效性，对一维对流扩散型问题进行了数值模拟研究其次，结 合算法处理一维问题的基本思想，将其推广到二维问题最后，考察了二维平面驱动方腔流问题，给 出了不同雷诺数( r e ) 下的数值计算结果，并与相关研究结果对照以说明算法对二维的可适性 在上述研究基础上，提出了下一步研究计划 关键词：传输线模型，传输线模型法，t l m 法，对流扩散问题 a b s t r a c t a st h eb a s i cm o d e le q u a l i o nd e s c r i b i n gf l u i df l o wa n dh e a tt r a n s f e r , c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u 撕 i sw i d e l yu s e di nc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s t h et r a d i t i o n a lt r a n s m i s s i o nl i n em o d e l l i n gm e t h o d ( r e - f e r r e dt oa st l m m e t h o d ) w h i c hi se x t e n d e dt ot h ef l u i dp r o b l e m sr e c e n t l yp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h e f i e l d sf r o me l e c t r o m a g n e t i c st oh e a tt r a n s f e r s o l v i n gc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m sw i t ht h et r a n s m i s - s i o nl i n em o d e l l i n gm e t h o di sh e l p f u l f i r s t l y , t h eb a s i ct h e o r yo ft r a n s m i s s i o nl i n ea n ds o m eb a s i cc o n c e p t so ft l m a l ei n t r o d u c e dc l e f - i n i t e l y t l mi sv i r t u a l l yad i s c r e t i z e dm e t h o dt h a tt h ev o l t a g et r a n s m i s s i o no nl i n ec o u l dd e p i c t st h e f l u i df l o w , v o l t a g eo fp i t c hp o i n tr e p l a c es o l u t i o nm a c r o s c o p i cv a r i a b l ea p p r o x i m a t e d o n ed i m e n s i o n a l c o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e mi si n v e s t i g a t e dt ov e r i f yt h ee f f i c i e n c y s e c o n d l y , t l mi se x t e n d e dt ot w o d i m e n s i o n a lp r o b l e m sb a s i n go nt h eb a s i ct l mt h e o r yf o ro n ed i m e n s i o n a tl a s t ，w eo b s e r v et w od i - m e n s i o n a ld r i v e nc a v i t yp r o b l e mu n d e rd i f f e r e n tr e y n o l d sn u m b e r , a n dc o m p a r i n gw i t hn u m e r i c a lr e s u l t s o fo t h e ra l g o r i t h m s b a s i n go na b o v er e s e a r c h ，t h en e x tr e s e a r c hp l a ni sp r e s e n t e d k e yw o r d s ：t r a n s m i s s i o nl i n e ，t r a n s m i s s i o nl i n em o d e l l i n gm e t h o d ，t l mm e t h o d ，c o n v e c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n s 主要符号对照表 r e y n o l d s 数 p e a ：l e t 数 无量纲流函数 无量纲涡量函数 无量纲时间 时间步长 x ( 水平) 方向空间步长 y ( 竖直) 方向空间步长 单位长度电阻 单位长度电感 单位长度外接电流 单位长度电容 单位长度阻抗 i v e e t 2 9 d d 0 d d n u o出血衄吼如厶q玩 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：塑坌嚣1 时 间：训6 年明茹日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时 间：冽7 年朗茹日 时间：9 年阴垆 鸶&全一匦 爨 宁曩j 、挪l ! 卜 f j i i 仑上铣锗沦 1 1 对流扩散方程 第一章绪论 计算流体力学( c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ，简称c f d ) 是利用高速计算机求解流体流动的 偏微分方程的科学，它从定性和定量的角度上更好的了解了流体流动的物理现象二十世纪六十年 代以米，随着计算机技术的飞速发展和各种算法的出现，计算流体力学得到了迅速发展，逐渐形成 一门独立的学科，现在己深入到与流动有关的各个技术领域，显示出解决科学理论和工程实际问题 的巨大潜力如船舶在水中航行时，如何减小水的阻力，波浪运动等对船舶结构的影响：又如飞机 航行时，如何提高飞机的升力，如何控制匕行高度、方向；还有钻井平台在海洋中作业时，如何减 小粘性阻力和涡激振动的影响等等 这些基本的流动问题并不如我们想象的那样容易解决比如流体力学方程组( 如n a v i e r - s t o k e s 方程，简称n s 方程) 是一个非线性偏微分方程组，只有在极其理想的条件卜才可能得到一些简单 的解析解，对于真实的工程流动问题儿乎是无能为力如果用实验方法去研究一些j f 程流体力学 问题，总是要对实际问题进行一定的缩小，再进行实验，这有很大的局限性，在推广应用到原型生产 时不能保证完全没有问题而且实验周期长，使得相应的研制周期加长因此如何能摆脱理论求解 的复杂性和实验研究的局限性，近而有效地解决t 程流体力学问题，已成为生产实践中的一个迫切 需要计算流体力学以流体力学理论为基础，以数值方法为手段，通过计算机模拟可以有效地解决 工程中的许多实际问题 对流扩散方程，是双曲抛物型方程，描述了物理问题的对流与扩散的综合过程【l 】因此，对 流扩散方程的数值方法研究一直受到研究者的重视发展精确、稳定和有效的求解对流扩散方程 的差分格式尤为重要【2 】 1 2 传输线模型方法综述 传输线模型法( t h et r a n s m i s s i o nl i n em o d e l l i n gm e t h o d ，简称t l m 法) 是由j o h n s 和b e u r l e 于上世纪七十年代初提出并由j o h n s 、h o e f e r 、c h r i s t o p o u l o s 、c o g a n 、0 c o n n o r 、g u i 等逐步加 以完善的一种数值方法 j o h n s 和b e u d e 在1 9 7 1 年介绍的解决二维散射问题的t l m 方法基于h u g e n s 的波传播模型 他们是从早期的网络仿真技术中得剑了灵感，使用两条传输线组成的笛卡儿网格来模拟三角函数 脉冲的二维传播整个模拟的场空间布满了犬量的传输线网格，边界由恰当的反射系数模拟这种 算法一出现，就引起了浓厚的兴趣，出现了一系列的发展【4 】 j o h n s 和a k h t a r z a d 在2 d - t i m 方法提出后不久，通过将两个串联的节点用一个并联的节点联 结起来以及将两个并联的节点用一个串联的节点联结起来的办法，将二维的网格结构推广到三维 的网格结构，这样很快得剑了三维的t l m 方法从而使t l m 方法的应用范嗣迅速扩大 为了克服t l m 方法占用计算机内存过火的缺点，以便使t l m 方法能够在微机上应用，d a 1 m o k h t a r 等将均匀划分的网格结构推广到非均匀划分的网格结构对于场量变化剧烈的区域采用 精细的网格划分，而在场量变化平缓的区域则采用较粗的网格划分，由此大大地减少了计算机内存 的t 宁用 j o h n s 和a k h t a r z a d 开始提出的三维t l m 方法中，六个场分量分别定义在不同的网格节点上， 此时的节点称为扩展节点( e x p a n d e dn o d e ) ，这种节点难以精确地描述边界条件，而且所求的场解 也很粗糙，误著较大为克服这一缺点，j o h n s 又先后提出了非对称压缩节点和对称压缩节点所谓 压缩节点就是将六个场分量压缩在一个节点上压缩节点的提出不仅克服了上述缺点而且还改善 了网格中的速度误差 宁嗄人。f l ! j ! i 。# f jr 沦z第 x 绱论 m u e l l e r 和h o e f f e r 等通过对t l m 方法中描述电乐和电流的微分方稃进行递归处理，引入一个 位置参数得剑新的入射电压与反射电压的递归计算公式并用z 变换讨论了这一递归公式数 值的稳定性：当七 0 时是稳定的在t l m 方法的迭代计算中，如果k 是一个随时间变化的量，实 质上就是边界位置的移动只要每一a t 内位置变化量是小的，那么相应的递归关系就成立，于是 朋方法便可以处理移动边界的问题 a l z e b e n 【1 3 】等在运用t l m 方法分析半导体中的电子扩散、漂移以及电子空穴对的复合等 间题中，利用电压控制电流元件模拟了对流项，从而为解决非定常对流扩散问题提供了新的思路 x i a n gg u i 【1 5 1 等推广到了二维情况 近年来，a l a nk e n n e d y 【5 墙】发表了一系列文章，通过把传输线的参数看作随空间变化的函数， 研究了定常对流扩散方程，并且与二阶精度的有限差分格式进行比较，得到了更准确的结果由于 在模拟对流扩散方程的过程中，没有引入额外的源，故而保持了t l m 方法固有的无条件稳定性 总之，t l m 方法的应用是及其广泛的它不仅在电磁学中，还应用于，天线，雷达，微波，电磁学 和热学的混和问题，热力学，光学，机械学，化学和声学等各个领域它不仅仅是一个强人和通埘的 模拟过程，因为它和h u y g e n s 波传播模型的密切关系，使得它能够为波的物理特性和表现提供 新的视角 1 3 本文的主要工作 本文首先对应用t l m 方法模拟波动方程，热传导方程，以及对流扩散方程的过程，进行详细的 介绍和说明，并且将模拟定常对流扩散方程的t l m 方法推广到二维情况其次，对于一些有精确 解的一维和二维情况的对流扩散方程进行了数值模拟，其中包括b u r g e r s 方程等，分析了结果，同 时计算了数值精度最后，对顶盖驱动方腔进行了数值模拟 2 j ：堰j j j ：；ir o ti 。：。f ji 仑上算一于f ? 蔓髓叫法 第二章传输线模型法 为了区别传输线理论与传输线模型方法，这里将传输线理论中的传输线参数用岛，岛，g o 等表示，而在传输线模型方法中用r d ，比，c d ，g d 等表示 2 1 均匀传输线基本理论 2 1 1 均匀传输线及其方程 最典型的传输线是平行双导线如图2 1 传输线的原始参数是以每单位长度的电路参数来表示的单位长度线段上的电阻岛，是反映 电流流过金属导体而引发热损耗大小的一个电路参数，其量纲为q m 单位长度线段上的电感 l o ，是反映传输线周闱空间的磁场储能特性的一个电路参数，其量纲为h m 一单位长度线段的两 导线间的漏电导g o ，是反映因绝缘不完善而引起线间电流泄漏的一个电路参数，其量纲为s m 单位长度线段的两导线间的电容岛，是反映传输线周围空间的电场储能特性的一个电路参数，其 量纲为f m 一1 如果传输线原始参数处处相等，则称为均匀传输线当然实际的传输线不可能是均匀的，如在 平行双导线在有支架处和没有支架处是不一样的，因而漏电的情况是不同的在架空线的每一跨 度之间，由于导线的白重引起的下垂情况也改变了传输线对地面的电容的分布均匀性但是为了 便于分析起见，通常忽略所有造成不均匀性的因素而把传输线当作均匀传输线考虑 因此，传输线的各电路参数均匀地分布于传输线的全线上传输线上的电压和电流既是时间t 的函数，又是距离z 的函数，即 ? 。鼍z ： ( 2 1 ) i = ( z ，t ) ”一7 设电压和电流的参考方向如图2 2 ( o ) 所示 为了研究均匀传输线上各电压、电流随时间变化的规律和在指定时刻电压、电流的沿线分布 规律，首先需要建立在任意丁作状态下线上电压、电流满足的偏微分方程为此在距传输线z 处 取一长度为z 的微段来研究，当z 足够小时，可以忽略该微段上电路参数的分布性。而用图2 2 ( b ) 所示的集中参数电路来等效代替这样，整个均匀传输线可以视为由一系列这样的微段级联而 成 基尔霍犬定律指出：“在电路的任节点上，流入( 或流出) 节点的电流的代数和为零；沿 回路循环一周时，电压升之和等于电压降之和” 从而，有 v谁(zt),t)l(-v一(x+axh,t)=(roi(x卅,t)+l割axax t g o uc o a x 亿2 ， ，t ) 一t + ，) = ( ( z ，t ) + 掣) 。 3 i 二呸j 、。l ；州! l + j f i i i 卫 z ；jf 0 i ：，k fc _ ! f 弘法 ，( x ，f )，( r + e f ) 矿“+ f ) ( a ) 传输线线上电压电流的参考方向( ”一徽元段传输线的电路模型 图2 2均匀传输线的电路模型 进而，得到 甏= 一岛f 一三。爰 叠= 一g o u c o 贯o v 这就是均匀传输线上关于电压、电流的偏微分方程，又称为电报方程 2 1 2 均匀传输线的稳态正弦解 设传输线匕的电压、电流为正弦交流电压、电流，则可取 ( 2 3 ) _ ( z ：) 2 一? ) = 。 ( 2 4 ) i ( z ，) = ，( z ) 讲 、 其中j 为虚数单位，u 为角频率 代入式( 2 3 ) ，整理可得 毵(ro+jwlo)i：=一-zgo j w c ou y j u ( 2 5 ) 鬈= 一( + ) = 一 、 其中z = j b + j w l o 为单位长度的复阻抗，其量纲为q ，y = g o + 歹u c o 为单位长度的复导纳，其 量纲为q 将式( 2 5 ) 两边对z 求导数，则可得 d 籍2 u _ _ _ ：f n 2 u 1 ( 2 6 ) 2 口玉一6 、 d 。j t 1 2r 、一v 7 鬲一i 1 其中r = 何。称为传播常数，为无量纲的复数 式( 2 6 ) 的通解为 式( 2 7 ) 称为传输线的稳态正弦解其中a 1 、b l 是由边界条件决定的复常数 zo=等=叠g业，称为特征复阻抗，简称特征阻抗，其量纲为qo+iwco 特征阻抗不仅是传输线理论的重要概念，在传输线模型方法中也有非常重要的作用，它可以产 生电压波传播的延迟但是当电阻岛0 或电导g o 0 时，玩为复数，这就给应用带来了不便， 故在传输线模型方法中，把每一段的电阻和电导集总出去，这样玩= 艇，从而整个传输线上由 一系列的电阻、电导和特征阻抗为实数的一段传输线组成 4 乃q 刁 ，冀 + f h 妒 r 似 a 上 | i = 搿 与：嘘人。“01i 。f t 沦上锄_ f c4 ：k 侵，p i ，： 、匕 z 图2 3接有负载的传输线 2 1 3 均匀传输线上的反射 重写电报方程稳态形式的解如下 u 2 ，n c + r 珥e ， ( 2 8 ) 1 = 厶n c 一厶。， 一7 其中下标i n c 表示“入射”( i n c i d e n t ) ，r e f 表示“入射”( r e f l e c t i o n ) ，则有 阢竹c u , e y 五n c i r e | ( 2 9 ) 在传输线理论及传输线模型方法中，反射系数也是很重要的概念它可以按电压、电流、功率 而定义，实际上用得最多的是电压反射系数，并简称为反射系数，其定义如下： p t r = 万u r e f ( 2 1 0 ) u i n c 即反射电压与入射电压之比 可以推导出终端接有负载时的反射系数表达式，如下所示 设传输线终端负载阻抗为玩，如图2 3 ，观是玩的端电压，屯是流过玩的电流根据式 ( 2 7 ) ，当z = z 时，有 又由反射系数的定义( 2 1 0 ) ，有 故得 同理可得 观= a l e 一兀+ b 1 e 兀( 2 11 ) b 1 2 i l 儿2 石e 观= a 1 e r ( 1 + 儿) 屯= 等( 1 - - p l ) 5 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) tl以l上 。j ：、。；j f 【；! i f ? i 沦之 并：f ? e f 唾p r 。 ，：。k 量曼! ! 曼苎! 曼寡o mm_ _im l 曼曼曼皇曼曼曼曼! 曼曼曼! ! ! ! 鼍曼曼曼! ! 曼! ! ! ! ! ! ! 曼! ! 曼! ! ! ! ! ! 曼! ! 曼 z玎z”+ 1z 卜1 f 刊 图2 4波动方程传输线模型 从而有 笔= z o 畿= 玩 ( 2 1 5 ) 故德 = 丝z l - 二_ i - z 鱼0 p l ( 2 1 6 ) 2 ) 这就是负载端反射系数的表达式这个表达式可以表示电压波在传输线的传播的过程中，遇到特 征阻抗间断时反射的比例 把反射系数7 1 入电压、电流的一般表达式之后，可以进一步得出电压波是在传输线上来回反 射的这也是传输线模型方法的理论基础 2 2 一维传输线模型法 2 - 2 1 传统传输线模型法 从上面可知，电报方程为 瓦o v = 一黝一l 7 d 呈t t t i 一2 一砌0 一= 口z 差= - g d 铲c o v ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 其中冠d ，玩，q ，g d 为常数消去电流对时间的导数，可得 器咄c w c 9 2 v + ( r d c d 地g d ) 酉o v + r d g d y ( 2 1 9 ) 可以看出，此式既可以模拟波动方程，也可以模拟扩散方程，以及扩散反应方程等 电压在传输线上的传播过程可以描述如下。在每一时刻，对于每一节点都存在两个入射的电压 波，一个来自左边( v i i ) 的传输线部分，另一个来自右边( v i r ) 的传输线部分，它们可以在节点处 瞬间产生节点电压( v n ) ，从而在连接节点的左右两边产生电压差，进而产生左右两边的反射，分 别记为v r l 和v r r 节点处的电压值k 代表了方程的解【5 】 当吼= 0 ，g d = 0 时，有 等地q 警 ( 2 2 0 ) 这是一维波动方程，可以看出在传输线节点间有电压波传播，并且传播速度为、啬万从而可以用 式( 2 2 0 ) 来模拟一维波动方程波动方程传输线模型如图2 4 所示，其中z = 岳为传输线的特 征阻抗，在传输线上特征阻抗没有间断，故电压波的反射只发生在边界处 6 。j ：qj 、。埘! 卜”论上饱。pf i ：j 蔓f l ：! 吵i ： r7 ：nzr rz n + l 7 r 卜五叫 图2 5扩散方程传输线模型 入射电压与反射电压满足的关系如下【3 7 】： y r 磺= v i 砖 y r r ：= y i 唆 增= 耽准+ v i 砖 ( 2 2 1 ) v i l k n + 1 = y r r ：一l y 噱+ 1 = y 7 i l ：+ l 其中他表示节点，k 表不时刻 当r a l a 时，式( 2 1 9 ) 可以近似为 丽0 2 v = 玩q 罾怕g d y ( 2 2 2 ) 这是一维扩散反应方程，可以看出扩散系数为、壶当g a = 0 时，上式可以进一步简化为扩散 方程 扩散方程传输线模型如图2 5 所示，z 为传输线的特征阻抗，r = r d 譬为传输线的两节点间 电阻的一半，两节点间由两段传输线与两个电阻组成，并假设电阻不占空问在这种情况下，传输线 上特征阻抗存在间断，因此在两节点的中点会产生电压波的反射与传输，且反射系数为p = 丽r ， 传输系数为7 = ，岛 3 5 - 3 7 此时入射电压与反射电压满足的关系如下： y r 睃= v i 鹕 y r 壕= y 雠 璐= y i 竣+ v i 呜 ( 2 2 3 ) v i l ：+ 1 = p v r l ：+ r v r r ：一l 耽砖+ 1 = p v 哦+ r v r l k + l 2 2 2 对流扩散问题的传输线模型法 对流扩散方程为 o v 疣= 杀( 嗟) 一口警一k y + s 亿拼， 其中d 为扩散系数，秒为对流系数，k 为反应项，s 为源项，这些参数可以是常数，也可以是函数 重新描述电路模型如图2 6 所示其中r a = r a ( z ) 表示单位长度的电阻函数，c a = c d 向) 表 示单位长度的电容函数，l a = l d ( z ) 表示单位长度的电感函数，厶= 白( z ) 表示单位长度的外接 电流函数。 由基尔霍夫定律，有 鼍+ i 凡= l 。o 瓦i 塞= 如一c o v 7 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) i ! 丛人了：f ，贝i 。f ? i 论之；if i i ，蔓f t ，i 上 图2 6电路模型 将( 2 2 5 ) 两边i 一除风c d 司得 1 o v1 厶f 翻 r d c d 如- 4 1 - qr d q 疣一一2 一= 同时由( 2 2 5 ) 可得 1o v l d 反 川2 瓦瓦+ 瓦瓦 联立式( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 和2 2 8 ) ，得 o v0 厂1 o v h l a ，1 、a y 厶l da 2 v 酉。瓦r d c da z ) 一瓦瓦历夕瓦十瓦一瓦一o g t 2 + 犹如 觑如仍如。q 凰 未( 彘) 一未( 壶) 笔 塞 其中爱的系数可以简化为 丕( 茏) 一j o ( 1 ) l d l = ( 1 ) 0 ( l d - ) 号( 壶) 未( 善) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) f 2 3 0 ) 其中d = 嘉南为对流扩散方程的扩散系数，t = 茅弦，为传播速度 儿d 、一d v l d o d 故当传播系数和扩散系数为常数或为分段常数时，式2 2 9 中爱的系数为0 更进一步当求解 定常解时，有 未( 志尝) 一一1o ( 1 ) a v r dr d+ 麦= 。 亿3 - ， 如q 如q 。p 7 与式( 2 2 4 ) 对比，可得 8 ( 2 3 2 ) q 岛篷 宁疆j ：。；坝i 。? ：伊论乏筇争f j ：，k k ，土 其中p e 为p e c l e t 数即 血* l h 卜h 刀力+ 1 图2 7对流扩散问题的传输线模型 ( 2 3 3 ) 由此可知，可以用变化参数的传输线模拟对流扩散方程 2 2 3 模型参数的表达式 对流扩散方程的传输线模型如图2 7 所示文献【5 】建议模型参数取积分平均因此图中z 表示z n l 与z n 之间的阻抗的积分平均值，足。，表示z 住一1 与z n 之间总电阻的一半，厶表示z n l 与x n + l 之间流向z 。的源电流总和 磊= 击( ：。狮肛竺掣 亿弘， =三(：，凰(z)如=可epex(1-e-peax) ( 2 3 5 ) 厶= 瓦1 f x o 。狮，汇孙_ 出+ 瓦1f f ，1 狮，( 厂狮，如) 如 亿3 6 ， 2 2 4 电压波的传播 本小节主要讨论模拟对流扩散方程时电压波在传输线上传播的过程【5 】，如图2 8 所示假设 电压波为d i r a e 电压波，它在连接两节点间的两个传输线部分传播在每个部分上的传播时间为 a t ，从而电压波从一节点传播到相邻节点的时间为a t 可以由两个原理得到，并用v i l 和v i r 来表示首先，在任意节点处电流的流入与流出值相 9 贵m 甜 = 五r 彘 = = i | = q 砌玩矗 j ：f 。fj j 。fr i ! i 。# f j 论之讹jf ：j t f - 。叫j 、 嘲吲喊。嗽， h一+一+ rz 。z ，l 尽。lr + l 么，l么。2 k 2 力力+ l ( a ) 七时刻的反射 班芒“衍c “阳材班搿 +41-卜4 1 - - - r么。 么，lr + tr 肿l 么，l 乡，2k 2 n力+ l ( b ) 七+ i 时刻的入射 嘲“吲+ 1 玢材v j r 甲，k + 1 一 一+ rz 。z ，lk - r 肿- z ，l 孑。2k 2 玎力+ l ( c ) 七+ 1 时刻的反射 图2 8电压波在传输线上的传播 等，即 筹+ 等+ 砖= 訾+ 瓦v r r 七n 亿3 7 ， 其次，对于连接节点的每个传输线部分而言，反射电压是节点电压与该传输线上的入射电压之差， 即 v r t k = y 佗：一y 磕 y r 砖= y 他：一y i 心 将式( 2 3 8 ) 、( 2 3 9 ) 代入式( 2 3 7 ) 后，整理可得 y 啦型鼍掣 其中，r = 兰z n 且_ + l ，是节点两边特征阻抗的比例 与扩散方程类似，后+ 1 时刻的入射电压和反射电压分别为 y z ：+ 1 = 耽y r 堆+ y r 砖一l y i r 妻+ 1 = p v r r 轰+ r n v r l k n + l 其中风= 盘，= 上面各式，同时说明了用传输线模型方法模拟对流扩散方程时的计算过程 ( 2 3 8 ) f 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 2 3 二维对流扩散方程的传输线模型 二维传输线等价电路【1 7 】如图2 1 2 ，其中也= 兄( z ，秒) ，如= 局( z ，耖) ，q = q ( z ，y ) ， 1 0 。j ：辽j 、；。f 1 1 j ! f j j f 一论乏算)? ，f i ：? e 证，i 上 图2 9二维传输线等价电路 白= 豇( z ，耖) ，根据基尔霍夫定律( 这里忽略了后面的项) ，有 整理后，得 j = 2 越c 。o 优v 一厶) 坠牟垫：一三 缸劬 z ， 2 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) a ya ，1a y 、a ，1a y 、 一= = =一i + - 一_ 一 。t 鼬2 c d p k8 z ) lo yk 2 c d 如o y j 1 0 ( 1 ) 0 v j lo(1i)面ovoy+ 老 ( 2 舶) ll ：d ) a 譬j2 c d ”一j 二维对流扩散方程为 罾= 岳( 。- 尝) + 南( 晚鼍) 一 ，尝一忱茜+ s c 2 朋， 对l t 后，得 从而有 d 1 = 丽蕊1 d 22 = ，= _ 1 2 c , d l l - 。f y p e p e 2 1 三萋墓喜 妻；= 赘岛南( 古) 忍= i 丽1 吼= i 葡1 医 q = c o e - p e l 霉 2 v ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) l 毛 如 一 一 = = 一钯一曲 宁丛人。j ：埘! f ”f 下i 沦上 钙 ( tf i ：? k 修7 2 ： 图2 1 0二维的传输线模型 巧! 阱 r 一 。_ 。 、。：吲 边界 图2 1 l第一类边界 二维的传输线模型如图2 1 2 所示，由在任意节点处流入电流等于流出电流，有 等+ 警+ 警+ 警+ 砖= 咝z l + 警+ 警+ 警 仁5 又由反射电压是节点电压与该传输线上的入射电压之差，有 y r l ：= y 佗：一v i l k n y r 2 ：= y n ：一y i 2 ： y 3 嚣= y n 袅一y i 3 ： v r 4 k n = y n ：一y 诅： ( 2 5 1 ) 从而节点处的电压为， 嗽= 塑翘篇等筹等黧等燮型 ( 2 5 2 ， 其中 2 4 边界处理 第一类边界条件的处理相对简单，边界处的电压是边界入射电压与反射电压之和，即 ( 2 5 3 ) l互忍互忍盈孔 | | = = = 1 2 3 4 佗 n 死 协 p p p p i ：遐j 、- 彳f 贝l 。了f j i 沦之j ，f ：? t 奠1 r , j ；上 嗡 砖e 型z 图2 1 2第二类边界 y l r + v r r k l = 向对于弟一英边界杀仟，j f 甘珂夏尔【18 】 利用 凳一玩也爰 忽略右端第二项，则有 尝一凰 设边界条件为 d = o v 一：q y + p o x 而由式( 2 5 6 ) 有 d 警刊d r d = - i u z = 碴扎z 这里碹= - i ，故代入式( 2 5 7 ) 有 赡u z = q 咭+ 卢 令 啦警= 鼎 则 r = p b v i r = 端耽r 联立式( 2 6 0 ) ，( 2 61 ) ，( 2 6 2 ) ，得 垤= y i r + v r r k l 咭= _ 2 u v i i r f - f 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) 弓：夏j 、。z f ，9i f j i i 乏；+ jf i j ? t f 江， i 左 曼! 曼! ! 烹曼! ! 鼍! 曼鼍曼! 曼! ! 曼曼曼曼曼曼罡i ii i _i i 一一i i _i 皇曼曼鼍曼! 曼! 鼍曼曼! 曼! 曼曼! 曼苎曼 进而 2 5 本章小结 m = 让u + - a o v t r 一熹 t i + a 1 札+ q f 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) 均匀传输线不仅是传输线理论的基础，更是传输线模型方法的重要基础，冈此本章首先介绍了 均匀传输线的基本理论包括传输线方程的得出，稳态正弦解以及一些重要的参数，特征阻抗、反 射系数等接着介绍了一维波动方程、扩散方程以及对流扩散方程的传输线模型方法，并推广到 了二维情况最后讨论了边界的处理，其中包括第一类边界及第二类边界 1 4 坐邗鬻 璐 弓：爱j 、 f j 9i 。j i f j 沦乏 ji0 2 f i i f i - i - 炝 第三章数值试验弟二早鳅但饥妞 为了验证本文提出方法的精确性和可靠性，本章对一些有精确解的问题进行了数值试验首先 对一维非定常线性对流扩散方程进行计算并检验了数值精度，其次模拟了非线性b u r g e r s 方程最 后求解了p o s s i o n 方程，以及二维的对流扩散方程 3 1 一维对流扩散方程 3 1 1 非定常线性对流扩散方程 下面是两个非定常线性对流扩散方程的例子例l 、例2 分别是对流项占优，扩散项占优的例 子，p e c l e t 数分别为1 0 、0 5 这两个算例表明，在p e c l e t 数不大的时候，算法具有二二阶数值精度 例l o v 疣= o o l 丽0 2 v o 1 尝，o z l ，亡o ( 3 1 ) 其精确解为v ( z ，t ) = e x p ( 5 x 一( 0 2 5 + 0 0 1 1 r 2 ) ) s i n ( 7 r z ) 例2 罾一o 2 嚣- o 1 鼍胚吲舵o 2 ， 其精确解为v ( z ，t ) = e x p ( 0 2 5 x 一( 0 0 1 2 5 + 0 2 7 r 2 ) t ) s i n ( 7 r z ) 这里取t = a x 2 ，且算到t = 0 5 时刻，有 表3 1 数值精度检验 3 1 2 非线性b u r g e r s 万程 b u r g e r s 方程是n s 方程很好的模型方程，有着广泛的应用 b u r g e r s 方程为 a y ，a y 1a 2 y 一- - 4 - l ，一= 一一 挑o xr eo z 2 取其定常特解为 y t ( 警z ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 它可以作为一个定常一维有激波流动的模拟解图3 1 分别给出了r e 为1 0 0 、2 0 0 、1 0 0 0 、2 0 0 0 时的解，其中空间步长为1 5 0 ，时间步长为0 0 0 1 从图中可知，数值解与精确解吻合的较好，且没 有出现非无力震荡，说明了算法是可靠的 1 5 l i ：辽j 、。“贝i 。f j 论殳筑：? _ t “l i t g 盒 ( a ) 忍= 1 0 0 p = 圈 _ h h 0 h “日月u 口，一 巨二圈 c o ) 血= 2 0 0 p = 四 ( c ) r e = 1 0 0 0( d ) r e = 2 0 0 0 图3 1 b u r g e r s 方程 3 2 二维对流扩散方程 3 2 1p o i s s o n 方程 p o i s s o n 方程为 警+ 等：， ( 3 5 ) 如2 动2 。v “7 取其精确解为v ( z ，y ) = e 缸c o s y 计算结果如表3 2 所示，其中验证了算法是二阶精度的 表3 2p o s s i o n 数值精度检验 3 2 2 二维定常对流扩散方程 对流扩散方程 a 2 ya 2 y a vo v 否万+ 否矿一乱否；+ 口否歹2 o 取其精确解为y 扛，秒) = 曼苎! 竺熹学 1 6 ( 3 6 ) 一? 7 l j 目3 2对疏扩散方程 这是有边界层的对漉扩散问题，圈3 2 给出了r e 为1 、1 0 的计算结果并在表3 3 中验证了数 值精度从而也说明了算法的有救性 3 3 对流扩散方程戢值精度检验 33 本章小结 本章针对一维以及_ = 维对流扩散方程进行了骑t f 说明了算法的有效性 宁避人。帧卜。# f ? i 沦上撕川t i 瑚j 力乃。【一邛t j 也们数们拟 4 1 物理模型 第四章平面驱动方腔问题的数值模拟 假设一个宽度为l 的正方形腔室，如图4 i ，里面充满粘性不可压缩流体，左右壁和底面固定， 上壁面已切向速度为l 移动，要寻求不同雷诺数下的定常解 i 嘲v l - 0 图4 1驱动方腔物理模型 本文采用二维涡量流函数形式的n - s 方程作为此问题模型方程进行计算针对二维不可压 n - s 方程，引入流函数西和涡量0 2 - t ：譬舻一娑 ) 忙瓦忙一蒜 ( 4 j ) 跏钆 u 2 瓦一万 显然上式自动满足连续性方程，进一步化简得到： 害+ u 筹+ 钉筹= 去v 2 u疣a z 。鼬 r e 一 将式( 4 1 ) 代入( 4 2 ) 可得到流函数的泊松方程： 0 2 4 , a 2 西 否十否5 一u 方程( 4 3 ) 和( 4 4 ) 就构成了涡量一流函数型的n s 方程。 1 8 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 与二堰，、7 f p ! l 位沦乏 奠j l l | _ i l f i h j j ，【 l ，j ? ! j t i h t c ! 拟 本文用时问推进得剑定常解，计算区域为0 z ，y l ，边界条f ：，| = 为： l 牡= 1 ， = 0 ，妒= 0 ，y = l t i = 0 ，t ，= 0 ，妒= 0 ，y = 0 ( 4 5 ) ll , = 0 ，v = 0 ，妒= 0 ，z = 0 ，1 本文在计算过程中z 、y 方向均采用等距网格，即z = a y = h 从上个世纪六十年代初被提出以来，驱动方腔问题被广泛用作标准算例来验证不可压粘性流 动数值方法的正确性。该模型问题通过假定流体四周均为同体壁面而避免了物理上的复杂的进口 和出口以及非物理的周期性边界条件，成为验证数值方法对封闭区域内流体流动精确性和稳定性 一个理想算例其中文献【4 5 给出了该问题所谓的”标准解” 4 2 算法流程 为了得到驱动方腔问题的稳态解，我们采用时间相关法，以非定常流动涡量流函数方程( 4 3 ) 和( 4 - 4 ) 为模型方程，具体算法如下： 1 给定t ，t ，砂的初始条件和边界条件 2 通( 过4 2 ) 式计算u 的初始条件和边界条件。 3 由4 3 式计算新时刻的u 值。 4 由( 4 4 ) 式求解新时刻的咖值。 5 由( 4 i ) 式计算新时刻的速度u 、t ，值。 6 计算新时刻的u 边界值。 7 如未达到预先设定的定常解条件，则更新所有值返同第3 步继续新一轮的计算，直到满足要 求。 4 3 边界处理 为了避免边界条件的处理对内点计算精度的影响，对涡量边界条件的离散，本文采用文献【2 】 中引用的四阶涡量数值边界条件 丢( 6 白+ 4 。+ 1 一白+ 2 ) + d ( 酽) = 面1 ( 1 5 札一1 6 钆+ 1 + 札+ 2 ) 士屹 ( 4 6 ) 其中，亿为壁面的切向速度 4 4 计算结果 当相应网格点上相邻两个时间曾上涡量值和流函数值的最火误差同时小于控制收敛准则 e ( 取1 0 ( 一7 ) ) 时，认为计算已经收敛 图4 2 中分别给出了雷诺数为1 0 0 时流函数、涡量的等值线，其中时间步长a t = 0 0 0 1 ，空间 网格为6 5 6 5 图4 3 和图4 4 和中分别给出了雷诺数为4 0 0 时流函数、涡量的等值线，其中时间 步长a t = 0 0 0 0 1 ，空间网格分别为为6 5x6 5 和1 2 9x1 2 9 图4 5 中分别给出了雷诺数为1 0 0 0 时 流函数、涡量的等值线，其中时间步长a t = 0 0 0 0 0 1 ，空间网格为2 5 7 2 5 7 图4 6 中分别给出了 不同雷诺数下方腔水平中心线上的u 速度值和垂直中心线上的t l 速度值 1 9 寸二复j 、j j f f ! l 。一f i 仑殳并：17 ) 。i i f f f t5 i ? 力，虮：l ，】也f l j 敌f f l f c ：! 拟 ( a ) 彻 图4 2 r e = 1 0 0 时的流函数等值线( a ) 和涡量等值线( b x 6 5 幸6 5 a t = 0 0 0 1 ) (a)(b) 图4 3 r e = 4 0 0 时的流函数等值线( a ) 和涡量等值线( b ) ( 6 5 6 5 a t =