（应用数学专业论文）随机环境中马氏链与单生链的性质.pdf

摘要 随机环境中马氏链是从2 0 世纪7 0 年代发展起来的随机过程的分支，具有 深刻的现实背景和广泛的应用在随机环境中马氏链一般理论的研究中，通常要 用到随机环境中马氏链与马氏双链间的相互关系本文在前人工作的基础上，主 要讨论了随机环境中马氏链、马氏双链及原过程间的相互关系，并借助此关系讨 论了马氏环境中单生链的灭绝概率及马氏环境中马氏链的若干强极限定理 全文共分四个章节，具体如下： 第一章介绍了随机环境中马氏链研究的学术背景与实际意义： 第二章比较圆满地解决了单无限和双无限环境及其对应的双链和原过程四 者间的相互关系特别地，澄清了一些误解，纠正了其中的错误结论，为进一步深 入研究随机环境中马氏链的性质提供了最基本、最明确的概念； 第三章利用算子讨论了马氏环境中单生链临界情形和非临界情形的灭绝概 率，给出了灭绝概率的一个上界，用一个反例说明了文献b o u r g i n ( 1 9 8 1 ) 定理5 证明中的错误 。 第四章利用分析方法研究了马氏环境中马氏链的若干强极限定理 关键词：马氏链：马氏双链：随机环境：马氏环境：单生链：灭绝概率：熵：强极限 a b s t r a c t a sb r a n c h e so fs t o c h a s t i cp r o c e s s ，m a r k e rc h a i n si nr a n d o me n v i r o n m e n t sw e r e d e v e l o p e d f r o m 1 9 7 0 s t h e yh a v ed e e pr e a l i s t i cb a c k g r o u n da n d i n t e n s i v e a p p l i c a t i o n i nt h es t u d yo fm a r k e rc h a i n si nr a n d o me n v i r o n m e n t s ，w eo f t e nt a k e u s eo ft h er e l a t i o n so fm a r k o vc h a i n si nr a n d o me n v i r o n m e n t sa n dj o i n t l ym a r k o v c h a i n s b a s e do nt h ep r e v i o u sw o r k s ，w es t u d yr e l a t i o n sa m o n gm a r k o vc h a i n si n r a n d o m e n v i r o n m e n t s ，j o i n t l y m a r k o vc h a i n sa n do r i g i n a lc o u r s e e x t i n c t i o n p r o b a b i l i t yo fs i n g - b i r t hc h a i n si nm a r k o v i a ne n v i r o n m e n t sa n ds o m es t r o n gl i m i t t h e o r e m so fm a r k o vc h a i ni nm a r k o v i a ne n v i r o n m e n t sa r ed i s c u s s e db yt h e s e r e l a t i o n s t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1a c a d e m i cb a c k g r o u n da n da c t u a l m e a n i n go fm a r k e rc h a i n si n r a n d o me n v i r o n m e n t sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2r e l a t i o n sa m o n gm a r k o vc h a i n si ni n f i n i t er a n d o me n v i r o n m e n t s ， m a r k o vc h a i n si nd o u b l e - i n f i n i t er a n d o me n v i r o n m e n t s ，j o i n t l ym a r k o vc h a i n sa n d o r i g i n a lc o u r s ea r es o l v e dm o r es a t i s f a c t o r i l y e s p e c i a l l y , s o m em i s u n d e f s t a n d i n g s a r ec l a r i f i e d ，a n dt h ew r o n gc o n c l u s i o n sa m o n gt h e ma r ec o r r e c t e d t h e s eo f f e r e d v e r yd i s t i n c tb a s i cc o n c e p t sf o rt h ef u r t h e rs t u d y i n go fm a r k o vc h a i n si nr a n d o m e n v i r o n m e n t s i nc h a p t e r3e x t i n c t i o np r o b a b i l i t yo fc r i t i c a la n dn o n c r i t i c a ls i n g b i r t hc h a i n s i nm a r k o v i a ne n v i r o n m e n t sa r ed i s c u s s e db yo p e r a t o f ，a n dt h eu p p e rb o u n do f e x t i n c t i o np r o b a b i l i t yo fs i n g l e b i r t hc h a i n si nr a n d o me n v i r o n m e n t sa r eg i v e n a n e r r o ro ft h ep r o o fo ft h e o r e m5i nb o u r g i n ( 1 9 8 1 ) i se x p l a i n e db ya ni n v e r s e e x a m p l e i nc h a p t e r4s o m es t r o n gl i m i tt h e o r e m so fm a r k o vc h a i n si nm a r k o v i a n e n v i r o n m e n t sa r es t u d i e db ya n a l y s i sm e t h o d k e yw o r d s ：m a r k o vc h a i n s ；j o i n t l ym a r k o vc h a i n s ；r a n d o me n v i r o n m e n t s ； m a r k o v i a n e n v i r o n m e n t s ； s i n g l e - b i r t h c h a i n s ； e x t i n c t i o n p r o b a b i l i t y ；e n t r o p y ；s t r o n gl i m i t 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：鼍罐曜日期：沙辞歹月铀日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密国。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：诋 导师签名弓0 贰 日期：加( 年岁月h 日 日期：一i 年f 月f 日 第一章前言 本章主要是简单介绍了本研究课题的学术背景及理论与实际意义；国内外文 献综述；本研究课题的来源及主要研究内容 1 1 学术背景及实际意义 随机环境中的马氏链是近年来发展起来的随机过程的一个新的分支， w l s m i t h z 在1 9 6 8 年研究分枝过程理论，首次提出了随机环境的概念随机环 境中的马氏链也具有深刻的现实背景和广泛的应用，例如：在汽车保险中，通常 用随机环境中p o i s s o n 过程作为保险户事故的数学模型，另在物理、气象、水文、 随机振动等方面都有重要应用从确定环境推广到随机环境，不仅由于一些结果 会遇到本质性的困难，还因为随机环境情形会出现许多新问题，需要许多新概念 和新方法，而这些正是随机环境中马氏链理论的精华所在 随机环境中马氏链一般理论的研究始于c o g b u r n 的系列论文，c o g b u r n ( 1 9 8 0 ) 引入了随机环境中马氏链的定义，并讨论了马氏环境中马氏链的状态分 类b o u r g i n 与c o g b u r n ( 1 9 8 1 ) 讨论了马氏环境中马氏链的确定吸收概率他们定 义的随机环境中马氏链实质上是有反馈的单无限环境中马氏链，并讨论了他们的 状态分类；c o g b u r n ( 1 9 8 4 ) 引入了双无限随机环境中马氏链的定义，由于通常都 认为单无限随机环境为双无限随机环境的特殊情形，在以后的随机环境中马氏链 一般理论的研究中，都是围绕着双无限环境情形进行的，讨论了被控制的马氏链 与环境过程的关系，特别地，讨论了反馈问题应用遍历理论给出了双无限平稳 环境中马氏链有限不变测度存在的条件引入了“初始事件”为原点的弱遍历性 概念，利用耦合方法，给出了随机环境中马氏链是弱遍历的一些条件，随机矩阵 乘积的收敛和尾盯一域的结构，讨论了状态的分类和连通性c o g b u r n ( 1 9 9 0 。1 9 9 1 ) 讨论了双无限平稳环境中马氏链的转移函数的收敛性、周期性及中心极限定理成 立的条件在随机环境中马氏链的研究中，在讨论单无限和双无限环境及其对应 的双链间的关系时，出现了一系列的误解甚至错误李应求( 1 9 9 9 ) 在此方面进行 了一些有益的尝试并纠正了其中的一些错误 随机环境中马氏链理论也是近年来国际上随机过程研究中最新的前沿课题 之一，取得了丰富的成果，尤其对随机环境中随机游动、分枝过程等具体模型的 研究已很深入国内，戴永隆、胡迪鹤、杨向群等教授为首的科研小组，在随机 环境中马氏链一般理论研究特别是其状态分类、不变测度的存在性方面，做了许 多有价值的工作国外的著名学者o r e y l 9 9 1 年在综述了已有研究成果的基础上， 提出了一系列开问题，引起了众多的概率论学者的广泛关注 1 2 国内外文献综述 t 随机环境中马氏链是马氏链的推广这一方面的研究工作主要沿着两条线索 展开一方面是将马氏链中已有的结论在某种意义下拓广到随机环境模型中去， 正如将一元函数的许多性质推广到多元函数一样，这种思路是非常自然的迄今 为止，许多随机环境中的研究成果就属于这一种类型另一方面是通过对非时齐 马氏链的研究来达到研究随机环境中马氏链的目的因为给定环境过程的一个现 实，随机环境中马氏链即变成了一个非时齐马氏链但从确定环境的研究推广到 随机环境，不是简单的将原有的结论平移就行了，研究中经常会遇到许多本质性 的困难，需要引进许多新概念和新方法一般来说。随机环境中马氏链当然不是普 通意义的马氏链，不具有马氏性因而对单无限随机环境中的马氏链，双无限随机 环境中的马氏链，对应马氏双链以及原过程四者间的相互关系的研究显得致为重 要。另外目前有关随机环境中马氏链的严格数学理论和成果还不是很多，绝大部 分的成果产生于研究具体的过程和模型 t o r r e z ( 1 9 7 8 ，1 9 7 9 ) 引入了状态0 为吸收壁的马氏环境中生灭链的概念，证 明了一致妒一常返环境中生灭链以概率1 不稳定，并计算了马氏环境中生灭链的 灭绝概率b o u r g i n 与c o g b u r n ( 1 9 8 1 ) 讨论了马氏环境中马氏链的确定吸收概率 c o r r e z ( 1 9 8 7 ) 引入了一种特殊的生灭链模型一具有反馈的随机环境中生灭 链，给出了此模型几乎处处灭绝或者以正概率非灭绝的充分条件李应求( 2 0 0 2 ) 利用确定环境中单生链常返的充要条件，通过研究其转移函数，讨论了其稳定性 和灭绝概率胡杨利，李应求( 2 0 0 2 ) 研究了状态空间为 o 1 ，肘 具有反射壁的随 机环境中单生链的灭绝概率，得到了关于灭绝概率的差分方程李应求( 1 9 9 9 ) 给 出了单无限随机环境中的马氏链，双无限随机环境中的马氏链，马氏双链三者之 问的部分关系；c o g b u r n ( 1 9 8 4 ，1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 构造了一h o p f 一链，利用h o p f 一链 理论深入研究了平稳环境中马氏链的遍历理论，中心极限定理、直接收敛 与转移函数的周期性关系以及不变概率测度的存在性郭明乐( 2 0 0 3 ) 利用 完善的鞅差理论来研究随机环境中的马氏链，在假设马氏双链遍历的条件 下，得到了随机环境中马氏链的强大数定律及中心极限定理成立的充分条 。件由于随机环境中马氏链的研究内容的丰富性，所以目前其一般理论并不完善 * 和系统对单无限随机环境中的马氏链，双无限随机环境中的马氏链，对应马氏 双链以及原过程四者间的相互关系；随机环境中单生链的灭绝概率及随机环境中 马氏链的极限理论仍有待进一步研究，对它们的研究将丰富和完善马氏过程的 整个理论体系 2 1 3 研究的主要内容 本文在前人工作的基础上，主要做了以下三方面的工作：1 第二章构造了9 个重要的例子，并详细讨论了这些例子中的环境过程、原过程、相应的双链及本 身的马氏性，从而比较圆满地解决了单无限和双无限环境及其对应的双链和原 过程四者问的相互关系特别地，澄清了一些误解，纠正了其中的错误结论，为进 一步深入研究随机环境中马氏链的性质提供了最基本、最明确的概念；2 第三章 利用算子讨论了马氏环境中单生链临界情形和非临界情形的灭绝概率，给出了灭 绝概率的一个上界，用一个反例说明了文献 1 定理5 证明中的一个错误3 第四章利用分析方法研究了马氏环境中马氏链的若干强极限定理，得到了 链四元函数一类平均值的一个极限定理：链中信息成立的几个极限性质及 链相对熵密度的几个极限性质：将s h a n n o n 定理推广到了马氏环境中马氏链 的情况 3 第二章随机环境中马氏链与马氏双链问的 2 1 引言与定义 相互关系 随机环境中马氏链的研究始于s m i t h ( 1 9 6 8 ) 对随机环境中分枝过程的研究， 这是一类单无限环境中马氏链在随机环境中马氏链研究的初期，考虑的都是单 无限环境情形，并且充分利用了单无限环境中马氏链与对应的双链之间间的关 系仉她叫c o g b u r n ( 1 9 8 4 ) 首次引入了双无限的概念和无反馈的条件，利用h o p f 马 氏链理论研究双无限环境中马氏链1 3 由于通常都认为单无限随机环境为双无 限随机环境的特殊情形，在以后的随机环境中马氏链一般理论的研究中，都是围 绕着双无限环境情形进行【3 6 t 7 1 在讨论单无限和双无限环境及其对应的双链间 的关系时，出现了一系列的误解甚至错误l 坩朋李应求( 1 9 9 9 ) 在此方面进行了一 些有益的尝试并纠正了其中的一些错误 本文在第2 2 节给出了9 个重要的例子，详细讨论了这些例子中的环境过程、 原过程、相应的双链及本身的马氏性通过这9 个例子和后面3 节的讨论，我们比 较圆满地解决了单无限环境情形和双无限环境情形及其对应的双链和原过程四 者问的相互关系特别地，澄清了一些误解，纠正了其中的错误结论0 1 ，为进一步 研究深入随机环境中马氏链提供了非常明晰的基本概念 设表示整数集，巩表示非负整数集( q ，3 ，p ) 是一概率空间， c t 月) 、( o ，圆) 为任意二可测空间，手- 六，n - ，- 1 01 和j 一 x ，n - o ， 1 ，2 ， 分别是( q ，3 ，p ) 上取值于o 和x 的随机序列， p ( 日) ，0 s o 是( l 月) 上 的转移函数族，且假设对任意a 月，p ( ；，彳) 是圆月可测的，俾( ，) ，是( 0 ，圆) 上 的转移函数族对任一序列厅一切。) ，记旌- 切。，ks n r ，一m 墨k ，s m 定义2 1 1 吣惦8 1 如果对任意a ，b 月，n ，有 e ( x o 爿l 等) 。e ( x 。4l 氛) ， ( 2 1 ) p ( 以+ 。e b1 2 0 ，穿) 一p ( ；z 。，曰) ， ( 2 2 ) 则称2 为单无限随机环境穿中马氏链，穿为单无限随机环境序列；若穿是 一马氏序列，则称j 是单无限马氏环境嚣中马氏链 4 定义2 1 2 。4 6 ”如果对任意互b e a ，n e n ，有 v ( x 。e al 手) 一p ( 蜀e a 殴) ， e ( x 。e bi j ；，手) p ( ；z 。，口) ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) 则称j 为双无限随机环境手中马氏链，手为双无限随机环境序列着手是一 马氏序列，则称j 是双无限马氏环境事中马氏链 显然，式( 2 4 ) 成立一定有式( 2 2 ) 成立 2 2 基本例子 设叩是一随机变量，且叩“( 暴赫 例2 2 1 和2 2 2 说明：对随机环境中马氏链，如环境过程不是马氏链， 则相应的双链和原过程可以是马氏链，可以不是马氏链 例2 2 1 设，7 、；独立同分布，x 。一町，x l ，x 2 ，x 。，恒为1 ， 蔓：1 l1 毛1 易- 岛1 叩，身1 考，则 1 ) 穿不是马氏链，于是手亦不是马氏链 2 ) j 是随机环境爵( 或手) 中的马氏链，p ( b ；x ，y ) - i 。o ) ，其中l 为集a 的示性函数 3 ) ( x 。，毛) ，辟之0 ) 不是马氏双链 4 ) 重是马氏链 证1 ) 由于 p ( 岛- q 岛，氛) 1 p 研t q ；，7 ) - p ( 叩一1 l 考) = p ( 邑- 蟾) ， 所以嚣不是马氏链 2 ) 因为对任意的口 一珥，p ( o ；x ，y ) 1 ， 1 ( ) ，) 显然是转移函数， 且对任意的y 一1 册， 巩，有 e ( x 。一) ，l j ；，手) - v ( x 。+ - y ) - p ( x 。一y i 以，色) - p ( ；以，y ) ， 即式( 2 4 ) 成立。从而式( 2 2 ) 成立； 又 e ( x 。- y l 手) - p 一y 陪，叩) p ( 叼。y l ，7 ) - v ( x 。一y l 言o ) ， 故式( 2 1 ) 成立： 5 又 e ( x 。_ ，声) t p 伪一y 悟，叩) 一p o 一_ ) ，h ) p ( x 。- ) ，l 巳) ， 故式( 2 3 ) 成立：所以j 是随机环境窜( 或手) 中的马氏链 3 ) 因为 p ( x ：- 1 ，邑- l j ：，昴) 一p ( 叩- 1 i ，7 ，；) 一尸国- q 亭) = p ( x ：一1 邑- q 石。，岛) ， 所以 ( x 。，) ，一o ) 不是马氏双链 4 ) 任意的y e 一坍，以 0 ，有 p ( x 。+ 。一_ ) ，i x ：) 一e ( x 。一) ，) 一p ( x 。+ 。一_ ) ，l x 。) ， 所以j 是马氏链 例2 2 2 设叩、毒独立同分布，x o - ；， 盖：。售刀n 。= 2 ：七k + + ，2 ，七- 。，l 2 ， ；：萎+ 1 ，七- ，一l 。，卫 则1 ) 菇不是马氏链，于是亭亦不是马氏链 2 ) 耍是随机环境穿( 或手) 中马氏链，p ( o ；x ，y ) - i ( ) ，) 3 ) ( x 。，) ，n 苫0 是马氏双链，且其一步转移函数为 鲫州- 。霉嬲x ： s ， 4 ) j 不是马氏链 证1 ) 由于 尸( 岛一1 岛，身) - p ( 考- 1 i ；，7 ) 一p ( 毒- 咖) 一p ( 邑一1 陆) ， 所以昴不是马氏链 2 ) 对任意的口 一珥，p ( o ；x ，y ) 一，( ) ，) 显然是转移函数， 且对任意的y e 一1 1 ，n e s v + ，有 e ( x o - y l 芋) - p ( 耋一_ ) ，l ，7 ，；) = p ( x o y 匦) ， 即式( 2 3 ) 成立： 当n 为奇数时， e ( x 。一y l j ：，手) - p ( , 7 - y l z ，；) 一p ( 以。- y l x ，邑) 一p ( 磊；以，y ) ， 当n 为偶数时， 6 p ( x 。一) ，i j ：，手) 一p ( 耋- y , 1 ，耋) - p ( x 。一y i 以，) 一p ( 皇；以，y ) ， 即式( 2 4 ) 成立，从而式( 2 2 ) 成立 又 e ( x 。- y 弦) - p ( ；- ) ，每，7 ) 一p ( 考一) ，l 毒) - p ( x 。- ) ，陆) ， 即式( 2 1 ) 成立，所以j 是随机环境爵( 或芋 中的马氏链 3 ) 因为任意的_ ) ， 一1 m ，a m 一埘，n 0 ， 当弗为奇数时， p ( x 。- y ，。一a 陋；，爵) = p 国- y ，考- a l ，7 ，；) = e ( x 。- y ，+ l 一口i j 。，) ： 当弹为偶数时， p ( z 。- y ，矗+ 。- 口陋：，爵) = p ( 亭ty ，叩- a b ，；) = p ( x 。i _ ) ，邑+ 。一a l x 。，色) 所以 ( x 。，) ，胛乏o ) 是马氏双链，通过直接计算可知其一步转移函数为 ( 2 5 ) 4 ) 因为 e ( x 。一 j ；) 一p 国- 1 l ，7 ，考) 一p 铆- 1 l 毒) - p ( 工- 1 i x ，) ， 所以j 不是马氏链 例2 2 3 说明：对双无限环境中马氏链，即使其相应的双链是马氏链， 也不一定是单无限环境中马氏链，其环境过程和原过程也不一定是马氏链 例2 2 3 设町、当独立同分布， x 。- 器：篓+ 。, k - 0 , 1 , 2 , - - , 邑。器：薹+ 1 ，t - ，一l 。工， 则1 ) 爵不是马氏链，于是手亦不是马氏链 4 一2 ) 4 j 是随机环境手中的马氏链，p ( o ；x ，y ) 一，o ) 但式( 2 1 ) 不成立，即 j 不是随机环境穿中的马氏链 3 ) ( x 。，邑) ，n 乏o ) 是马氏双链，且其一步转移函数为 q ，o ；y ，口) 一，“a ) 7 o ) ( 2 6 ) 4 ) j 不是马氏链 7 证1 ) 参见例2 2 2 的1 ) 2 ) a 因为 e ( x 。一4 窜) 一黝- 书，7 ) - p 铆一啦) 邓。- 概) ， 所以夏不是随机环境穿中的马氏链 b 对任意的o e - u ，p ( o ；x ，y ) 一l l s ( ) ，) 显然是转移函数 对任意的r e 一1 , 1 1 - ，n ，有 e ( x 。- y l 手) - e ( n - y 悟，卵) = p ( x e - ) ，殴) ， 即式( 2 3 ) 成立： 当t z 为奇数时， e ( x 。一) ，k ：，手) - p ( r - 3 1 , 7 ，言) p ( 以。- y l x ，邑) 一尸( 邑；以，) ，) ， 当n 为偶数时， p ( x 。一y k ：，手) - p ( 耋- ) i n ，亭) - p ( 瓦。- y l 。k ，磊) - p ( 磊；z 。，y ) ， 即式( 2 4 ) 成立所以j 为随机环境手中的马氏链 3 ) 参见例2 2 2 的3 ) 通过直接计算可知其一步转移函数为式 ( 2 6 ) 4 ) 因为 p ( x ：- 1 i j ：) e o 一1 | ，7 ， ) ，p 0 7 - 考) p ( 工：一q x ，) ， 所以萱不是马氏链 例2 2 4 说明：对马氏环境中马氏链，其原过程不一定是马氏链 例2 2 4 设r l 、亭独立同分布， x - 偿：- 洲2 k 小。跏- ，宇n - r + ；”一，一1 ，蜘协 1 ) 手是马氏链，于是靠是马氏链，其一步转移函数为x ( o ，口) 一， ) 2 ) i 是随机环境穿( 或手) 中马氏链，p ( o ；x ，) ，) - l l s _ = ( ) ，) 3 ) ( x 。，邑) n2o 是马氏双链，且其一步转移函数为 o ( x ，o ；y ，口) 一，缸) ， o - z ，( ) ，) 4 ) j 不是马氏链 证i ) 因为对任意的n e y , ，口e - 2 , o ，2 有， 8 p ( 毛。- a l 包) 一p 幻+ ；o h + ；) 一p ( 磊。一口i ) ， 所以手是马氏链通过直接计算知其一步转移函数为r ( o ，a ) - i 柳 ) 2 ) a 对任意的0 e - 2 , 0 , 2 ，p ( o ；x ，) ，) 一l o - x l ( ) ，) 显然是转移函数， 且对任意的y 一埔，以+ ，有 e ( x 0 - y l 手) - p 伪- y l , 7 + 考) - p ( 工。- y l 巴) ， 即式( 2 3 ) 成立： 当玎为奇数时， ， p ( 盖j 。- y i 盖：，手) - p ( 叩- y l o ，考，叩+ 考) - e ( , 7 - y i 考，7 + ；) 一p ( 以。- y l x ，邑) - p ( ；以，y ) ， 当n 为偶数时， p ( 以+ ，一y i 戤，手) 一尸( ；- y , 7 ，t 7 + ；) f f i p ( x + ，一y i 以，) - p ( 邑；以，y ) ， 即式( 2 4 ) 成立，所以j 为随机环境手中的马氏链 b 由定理2 5 1 中1 ) 知j 是马氏环境宫中的马氏链 3 ) 由结论2 3 1 可得 4 ) 参见例2 2 3 中的4 ) 例2 2 5 说明：对单无限马氏环境中马氏链，即使原过程是马氏链，也 不一定是双无限环境中马氏链，其双无限环境过程也不一定是马氏链 例2 2 5 令叩、；独立同分布，x o - 叩，袅i 邑m - 考，b - 乒2 - 印+ ；，昴，x 。，x 2 ，恒为1 贝 1 ) 等是非齐次的马氏链，且其一步转移函数 醐川i 般：。 ， 但手不是马氏链 2 ) j 为随机环境静中的马氏链，p ( o ；x ，y ) - 1 0 ( ) ，) 但式( 2 3 ) 不成立，即 j 不为随机环境手中的马氏链 3 ) ( j 。，) ，n zo ) 是马氏双链，其一步转移函数 鲫棚i f 裟譬 9 4 ) 耍是马氏链 证1 ) 由文献 4 知芋不是马氏链，但窜是马氏链通过直接计算可知 其一步转移函数为( 2 7 ) 2 ) 式( 2 3 ) 不成立参见文献 4 ，下证j 为随机环境穿中的马氏链显 然，对任意的一 一珥，p ( o ；x ，y ) 一，( ) ，) 是转移函数族，且对任意的y e 一1 ，1 ， n 札，有 p ( - y i 穿) - _ p 卿- y l t ) - p ( x 。- y i 岛) ， p ( x 。+ 。一) ，i x ：，菇) 一p ( 以+ 。一y l 叩，；) 一p ( 以。一y l x ，) 一尸( 磊；工j ，_ ) ，) 3 ) 由结论2 3 1 可得 4 ) 参见例2 2 1 的4 ) 例2 2 6 说明：即使原过程、环境过程都是马氏链，且式( 2 4 ) 成立。于 是式( 2 2 ) 成立，相应的双链亦不一定是马氏链，随机环境中马氏链定义中 的式( 2 1 ) 和式( 2 3 ) 也可能不满足 于是我们有：“若穿是马氏链，且式( 2 2 ) 满足，则 僻。，) ，n 毫o ) 是马氏 双链” 1 1 的结论不成立 例2 2 6 设r 、；独立同分布，蜀。叩，x ，x 2 , - - - , 置。，为恒为1 ， 复：- 亭。- 岛一岛一；，邑- 邑- 一r ，贝u 1 ) 宇是马氏链，于是菇亦是马氏链，其一步转移函数为 矾叫羔，三 s ， 2 ) 式( 2 4 ) 成立，于是式( 2 2 ) 成立，p ( o ；x ，y ) 一1 1 1 ( ) ，) 但式( 2 1 ) 和式 ( 2 3 ) 不满足 3 ) ( 工。，) ，弗之o ) 不是马氏双链 4 ) j 是马氏链 证1 ) 因为对任意的，l ，a 一珥， 当弹t 1 时，p ( 毛+ 。- 口l 主= ) 一p ( ；- 口l 参) - p ( g 。a l 邑) ： 当厅- l 薛j ，尸( 邑+ ，i 口i 主二) l 尸( 叩- 口l ) _ p ( + ，口i ) 当h ，1 时，尸( 磊+ 。一口i 包) 一p 仍- , r g - ，材) - p ( 。- 口i ) 1 0 所以手是马氏链，通过直接计算知其一步转移函数为( 2 8 2 ) a 因为 p ( x 。1 l 穿) 一确聒，7 ) 一p 国一啦) 一p 仁。一懈) ， 故( 2 1 ) 式不成立： 又 p ( x 。一1 手) 一砌- 书，叶) - 确- 母) - p ( x o = 怛) 。 故( 2 3 ) 式不成立 对任意的口 一1 ，1 ) 。e ( e ；x ，) ，) - ( y ) 显然是转移函数，且对任意的 y 一1 ，1 ，n e n ，有 e ( x 。- y 防：，手) 一e o - y ) - p ( x , 。- y l x 。，) - 尸( 邑；以，y ) ， 即式( 2 4 ) 成立，从而式( 2 2 ) 成立 3 ) 因为 e ( x ：- 1 ，言：# ：，爵) - p 聊一1 | ，7 ，；) 一黝- 啦) 一即：一1 ，邑牡- ，氧) ， 所以 ( x ，邑) ，n 乏田不是马氏双链 4 ) 参见例2 2 1 的4 ) 虽然以上6 个例子足以讨论单无限情形、双无限情形、对应双链及原 过程间的马氏性，但以下3 个例子在随机环境中马氏链的研究中仍具有十 分重要的意义 例2 2 7 设亭一，一氧- 邑一一，7 ，岛，邑：，舅，为非随机变量且恒 1 ，x - 一1 ，n 之0 贝0 1 ) 器是非齐次的马氏链，且其一步转移函数为 m 叫= 。 但芋不是马氏链 一2 ) j 为随机环境手中的马氏链，其中p ( o ；x ，y ) 一，( ) ，) 但式( 2 1 ) 不成立， 即j 不是随机环境穿中的马氏链 3 ) ( z 。，邑) ，n 苫o ) 是马氏双链且其一步转移函数为 f l ， ) 1 1 1 ) ( y ) ， 刀- 0 绒似p ；y ，口) - l 口 ) l 口( ) ，) ， 刀一1 i l e o ) i 。( y ) i 。 ) n ，1 4 ) j 不是马氏链 证1 ) 第1 部分结论见例2 2 5 中的1 ) ，下证手不是马氏链因为 p ( 磊；1 i 曼) = p ( 叩i l i ，7 ) u , i p 铆一l 阮) 一e ( g - 1 | 岛) 2 ) 参见文献 4 其中p ( o ；x ，_ ) ，) 一，( ) ，) 3 ) v y ( 一，a 一1 册，以 o 有 p ( 以+ 。- y ，。一a l 贾：，爵) 一p 铆- ) ，7 - 口b ) = p + ，i y ，+ 。- a i x ，色) 所以 皤。，) ，厅田是马氏双链通过直接计算可得其一步转移函数为 fi x q ) 1 t l ( y ) ， 万一0 幺0 ，o ；y ，口) 一 l 。似) i 。( y ) ， 以- 1 【l o ) i 一【y ) i 一( a ) 刀，1 4 ) 因为 p ( x 2 - 1 l 夏：) 一p ( 叩1 1 1 叩) 一p ( ，7 1 1 1 言o ) - , p ( x ：；l l x l ) ， 所以j 不是马氏链 例2 2 8 设q ， 独立同分布，令蜀- 7 1 ，置，噩，以为非随机变量且 恒为1 ，磊i 毒，晶为非随机变量且恒为1 ，莹：i 莹，= 岛一岛一叩则 1 ) 穿是马氏链，且其一步转移函数为 p 1 ( ，雄- 0 玉0 ( 8 ，口) - ， 以1 i ，科以) ，厅 1 但亭不是马氏链 2 ) j 为随机环境手中的马氏链，其中p ( o ；x ，y ) 一1 0 ( y ) 但j 不是随机环 境窜中的马氏链 3 ) 伍。，邑) ，行20 ) 不是马氏双链 4 ) j 是马氏链 证1 ) a 因为v n 0 ，口 一1 山，有 当n - l 时，| p ( 岛- , f l 蓦d ) - p 仍- 口i ；) 一p ( ，7 一a l 轰) p ( 邑- 口i 岛) 当一，1 时，尸( 色+ 。一口i 爵) - p 国一口悟，n ) - p 铆一口h ) - p ( 毛+ ，一口j 毛) 于是我们证明了窜是马氏链，通过直接计算可得其一步转移函数为 啪小舻x ： h ( a ) ，开，l b 因为p ( 岛一1 | 己) - 确- 1 陪，t 7 ) 一p ( 叩f f i l l 亭1 ) 一p ( 岛- 1 | 轰) ，即手不是马氏 链 2 ) a v o - u ，p ( 8 ；x ，y ) 一， l j ( ) ，) 显然是转移函数且坳 一i 丹，n 以， p ( x o - y 手) = ，( 叩一y l 亭，町) = p ( 盖i j ，f 童生) ， e p 式( 2 ，3 ) 成立： | p ( 以+ ，一y 1 日，手) 2p ( 乃。一y ) = p ( 瓦+ ，一y 以，磊) = p ( 量；置，) ，) 即式( 2 4 ) 成立所以j 为随机环境芋中的马氏链 b 因为 p ( x 。一1 | 爵) - p ( n 一帖，7 ) 一p o - 啦) - p ( x 。- 幅) 所以j 不是随机环境靠中的马氏链 3 ) 由于 p ( x 2 1 邑一1 j 夏：，爵) 一p ( 工j - 1 ，玎- 1 l 耋，叩) - p ( 工：一1 ，7 - 1 i x , ，) ：p ( x ：一1 岛- i x ，矗) 所以 瞄。，邑) ，n o ) 不是马氏双链 例2 2 9 设，7 ，；独立同分布，令以- 叮，x 。一x 2 一一以- ， 舅：- 复，i 岛t 最- 邑一言，则 1 ) 手是马氏链，于是穿是马氏链，且其一步转移函数为k ( o ，口) i ， ) 2 ) j 是随机环境窜中的马氏链，其中p ( 以工，y ) 一i ，( 口) ；且耍是随机环m 境手中的马氏链，其中p ( o ；x ，y ) i i ，p ) 3 ) ( z 。，) 露苫毋是马氏双链，且其一步转移函数为 q o ，o ；y ，口) 。i o ) i 。( ) ，) 4 ) z 是马氏链 证1 ) 先证亭是马氏链，因为对任意的n ，0 ，a 一珥 p ( 量+ ，一口l 曼) - p ( ；一口悟) t p ( 。一口l 磊) 所以手是马氏链又 p ( 磊+ 1 m 口l 爵) 一尸( p ( 量+ ，- 口1 0 二) l 嚣) = _ p ( 邑+ ，一口障) 所以穿是马氏链 2 ) a 显然，v p 一坍，p ( o ；x ，y ) - i ， ( p ) 是转移函数，且砂 一坍，厅+ ， 有 尸( 丑j t y l 手) 一p ( ，7 - ) ，j 考) - e ( x o y l 亭名) ， p ( 以。- y l 霖，手) 一尸g - y l , 7 ，考) - p ( 以。- y i x ，毛) = p ( ；邑，y ) 所以j 是马氏环境手中的马氏链 b 由定理2 5 1 知j 是马氏环境穿中的马氏链 3 ) 由结论2 3 1 可得 4 ) 砂 一坍，n 0 ，有 p ( x 。+ 。一y l j ；) 一p ( ；一) ，l ，7 ，；) p ( x 。一y l 丑j ) 所以j 是马氏链 2 3 单无限情形与马氏双链之间的关系 对单无限随机环境中的马氏链与马氏双链间的关系，由文献 5 有以下结 论： 结论2 ，3 1 吲如果x 是马氏环境穿中的马氏链，则 ( x 。，) ，玎2 田是马 氏双链：特别的，若窜的一步转移函数为k ( 8 ，口) ，则 僻。，邑) ，胛0 ) 的一步转 移函数为 q o ，o ；a b ) 一e ( 口，b ) p ( o ；x ，爿) ( 2 9 ) 若进一步穿是时齐的，则 ( x 。，邑) ，甩土田也是时齐的 结论2 3 1 给出了单无限随机环境中的马氏链在其环境序列为马氏序列的 1 4 条件下，它与对应双链之问的关系；现在的问题是若其环境序列不是马氏序列， 是否还有如上的关系，从例2 2 1 和例2 2 2 可得以下定理： 定理2 3 2 如果环境序列嚣不是马氏链，则 ( z 。，) ， 0 ) 可以是马氏 链，可以不是马氏链 结论2 3 3 习若 ( x 。，邑) ，n 2o ) 是马氏双链且其一步转移函数满足式 ( 2 9 ) ，则x 是马氏环境穿中的马氏链，且穿是一步转移函数为蚝p ，曰) 的 马氏链，其中x 在马氏环境穿中的一步转移函数为p ( o ；x ，4 ) 结论2 ，3 3 给出了马氏双链 ( 石，邑) ，阼o ) 在其一步转移函数存在且满 足式( 2 9 ) 的条件下，它与单无限随机环境中的马氏链的关系；现在的问题是 若其一步转移函数不满足式( 2 9 ) ，它们之间的关系如何，从例2 2 4 和例2 2 3 可得以下定理： 定理2 3 4 若 ( z 。，) ，n o ) 是马氏双链，其一步转移函数不满足式( 2 9 ) ， 则膏可以是随机环境穿中的马氏链，也可以不是随机环境穿中的马氏链 对单无限随机环境中的马氏链与原过程之间的关系，从例2 2 4 和例2 2 5 可得下面定理： 定理2 3 5 若j 为马氏环境器中的马氏链，则j 可以是马氏链，也可以 不是马氏链但若j 为独立环境窜中的马氏链，则j 是马氏链，其转移函数 是关于环境平均的转移函数 证 设石。p ) 1 尸( e b ) ，石一丌帆，a 似) 1p ( 邑e a ) ，则对任意的 4 皿，七1 0 ，以，有 p ( 蜀4 ，以4 ) - e f a ( d x o ) f p ( 言o ；x o ，电) _ f p ( 邑2 ；毛一咄t ) p ( 邑- - ；- l ，4 ) 1 ，a ( d ) 屈p ( 岛；而，d 而) 传p ( 一2 ；2 ，d k t ) 以p ( 磊1 ；毛m 4 ) -， 最后一等式由紊的独立性推出，此即表明j 为马氏链，且时刻以至时刻h + 1 的转移函数是色p ( 氦；。) 。c r - t 一 一”r t 一 对相应双链的马氏性与原过程的马氏性之间的关系，从例2 2 1 、例2 2 2 和例2 2 5 可得下面定理： 定理2 3 6 若 ( x 。，) ，厅= o 为马氏双链，则j 可以是马氏链，也可以不 是马氏链若j 是马氏链，则 ( x 。，邑) ，尼z0 ，可以是马氏链，也可以不是马氏 链 2 4 双无限情形与马氏双链之间的关系 对双无限随机环境中的马氏链与马氏双链之间的关系，我们有如