（计算机科学与技术专业论文）网络混沌行为及其控制的研究.pdf

l 、 h0 l r e s e a r c ho nc h a o t i cb e h a v i o ra n dc h a o t i c c o n t r o lo fn e t w o r k s b y y a n gt a n ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f d o c t o ro fp h i l o s o p h y c o m p u t e rs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y s t a t ek e y l a b o r a t o r yo fn e t w o r k i n ga n ds w i t c h i n gt e c h n o l o g y b e u i n gu n i v e r s i t yo fp o s t sa n dt e l e c o m m u n i c a t l 0 n s b e i j i n g s u p e r v i s o r ：p r o f c h e n gs h i d u a n s p e c i a l t y ：c o m p u t e rs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y r e s e a r c ha r e a ：n e x tg e n e r a t i o ni n t e r n e tt h e o r ya n d t e c h n o l o g y o c t o b e r , 2 0 0 9 -，0 - ，j - 、 ( ， ， j 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的浣明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制 手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名：i 垒型筵s同期：兰咝：! ：三 导师签名：五垒盟蒸麴同期：墨塑2 ：! ： 二 烛 、j 摘要 网络混沌行为及其控制的研究 摘要 网络中存在着大量的混沌行为，对网络混沌行为及其控制的研究 有助于深入理解网络这个非线性动力系统的物理本质，以促进网络协 议设计、业务量预测、网络规划以及网络性能分析等多个领域的发展。 本文围绕网络中的混沌行为及混沌控制方法进行研究，侧重于流量的 混沌特性及其控制，基于混沌理论的网络流量性能评估，t c p r e d 离 散反馈系统中的混沌现象及其控制，以及网络中的混沌传播模型。论 文的主要工作包括： ( 1 ) 深入分析了自相似流量时间序列和流量混沌吸引子的关系，并指 出分形维数是联系流量白相似和混沌特征的纽带；同时，基于混 沌理论提出了一种使用最大l y a p u n o v 指数对网络性能进行刻画 的方法。 ( 2 ) 提出了一种网络流量混沌控制方法。该方法基于混沌预测值对系 统进行控制，将拥塞链路上呈现较强突发性的网络流量向指定的 平衡点或区间进行引导，从而减小系统中的最大l y a p u n o v 指数 值，降低流量的突发强度。通过对实际网络流量的控制验证了该 方法的有效性。 ( 3 ) 研究了t c p r e d 离散反馈系统中的边界碰撞分岔现象。通过范 式方法分析了该t c p r e d 系统中边界碰撞分岔的原因和种类， 并根据不动点的稳定条件提出了一种混沌控制的方法，通过对不 动点邻域内的状态变量进行扰动，将系统稳定在不动点，显著提 高系统性能和资源利用率。仿真验证了该控制方法的有效性。 ( 4 ) 讨论了网络中混沌现象的传播问题。建立了一个基于耦合映像格 子的混沌传播模型，同时鉴于i n t e r n e t 的网络拓扑具有小世界特 征且网络中节点的度服从幂率分布，故在本文中考虑了w s 小世 界网络和b a 无标度网络两种典型的复杂网络拓扑结构。研究表 明，若给定耦合强度，则在这两种网络中混沌节点数占总节点数 的初始比例对最终的比例曲线均具有两个相变过程。仿真结果验 播 证了分析结果。 关键词：混沌，混沌吸引子，网络性能评估，混沌控制，混沌传 俨 。 一j 北京邮电大学博：i 二论文 a b s t r a e t r e s e a r c h0 nc h a o t i cb e h a v l 0 ra n dc h a o t i c c o n t r o lo fn e t w o r k s a b s t r a c t t h e r ee x i s tal a r g en u m b e ro fc h a o t i cb e h a v i o r si nn e t w o r k t h es t u d y o fc h a o t i cb e h a v i o ra n dc h a o t i cc o n t r o lo nn e t w o r kc a nc o n t r i b u t et ob e t t e r u n d e r s t a n d i n gt h ep h y s i c a ln a t u r eo ft h i sn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ，a n d t h e r e f o r ep r o m o t en e t w o r kp r o t o c o ld e s i g n ，n e t w o r kt r a f f i cf o r e c a s t i n g ， n e t w o r k p l a n n i n g a n dn e t w o r k p e r f o r m a n c ee v a l u a t i o n ，e t c t h i s d i s s e r t a t i o nm a k e sa n i n v e s t i g a t i o ni n t o c h a o t i cb e h a v i o ra n dc h a o t i c c o n t r o lo nt h en e t w o r k i tf o c u s e so nc h a o t i cc h a r a c t i s t i c so fn e t w o r kt r a f f i c a n di t sc h a o t i cc o n t r o l ，p e r f o r m a n c ee v a l u a t i o no fn e t w o r kt r a f f i cb a s e do n c h a o st h e o r 5b o r d e rc o l l i s i o nb i f u r c a t i o na n dc h a o t i cc o n t r o lo nd i s c r e t e f e e d b a c kt c p r e ds y s t e ma n dp r o p a g a t i o no fc h a o si nn e t w o r k t h em a i n c o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ( 1 ) t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es e l f - s i m i l a rt i m es e r i e so fn e t w o r kt r a f f i c a n dt h et r a f f i cc h a o t i ca t t r a c t o ri sa n a l y z e di nd e p t ha n di ti sp o i n t e do u t t h a tt h ef r a c t a ld i m e n s i o ni st h ea s s o c i a t i o no ft h eb o t h ；a tt h es a m e t i m e ，ap e r f o r m a n c ee v a l u t i o nm e t h o du s i n gt h el a r g e s tl y a p u n o v e x p o n e tb a s e do nc h a o st h e o r yi sp r o p o s e d ( 2 ) am e t h o do fc h a o t i cc o n t r o lo nn e t w o r kt r a f f i c i sp r e s e n t e d b yt h i s m e t h o d ，t h ec h a o t i cn e t w o r kt r a f f i cc a nb ec o n t r o l l e dt op r e a s s i g n e d e q u i l i b r i u mp o i n ta c c o r d i n gt o c h a o t i c p r e d i c t i o n a n dt h e l a r g e s t l y a p u n o ve x p o n e n t ( l l e ) o ft h et r a f f i co nc o n g e s t e dl i n ki sr e d u c e d ， t h e r e b yt h ep r o b a b i l i t yo ft r a f f i cb u r s ta n dn e t w o r kc o n g e s t i o nc a nb e r e d u c e d n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h i sm e t h o di se f f e c t i v e ( 3 ) b o r d e rc o l l i s i o nb i f u r c a t i o n so c c u r r e di nd i s c r e t ef e e d b a c kt c p r e d s y s t e m i ss t u d i e d t h ec a u s e sa n d t y p e s o ft h eb o r d e rc o l l i s i o n b i f u r c a t i o n sa r e a n a l y z e db a s e do n t h en o r m a lf o r mm e t h o d a n d i i i 北京邮也人学博j j 论文a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h el i n e a rs t a b i l i t yc o n d i t i o no ff i x e dp o i n t am e t h o do f c h a o t i cc o n t r o li sp r e s e n t e d w i t ht h i sm e t h o d t h es y s t e mc a nb e s t a b i l i z e dt ot h ef i x e dp o i n tb y p e r t u r b i n gt h es t a t ev a r i a b l e i nt h e n e i g h b o r h o o do ft h ef i x e dp o i n t t h i sm e t h o dc a ns i g n i f i c a n t l yi m p r o v e t h ep e r f o r m a n c ea n dr e s o u r c eu t i l i z a t i o no ft c p r e ds y s t e m ，a n d s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a ti ti se f f e c t i v e ( 4 ) p r o p a g a t i o no fc h a o si nt h en e t w o r ki sd i s c u s s e d ad y n a m i c a lm o d e lo f c h a o s p r o p a g a t i o n b a s e do n c o u p l e dm a pl a t t i c e s i s e s t a b l i s h e d ， m e a n w h i l ea st h es m a l l w o r l dc h a r a c t e r i s t i c so ft h ei n t e r n e ta n dt h e d e g r e e o fn e t w o r kn o d e s o b e y sp o w e r 。l a wd i s t r i b u t i o n ，t h ew s s m a l l w o r l dn e t w o r ka n db as c a l e f r e en e t w o r ka r ec o n s i d e r dh e r e i n t h er e s e a r c hs u g g e s t st h a ti nt h et w od i f i e r e n tn e t w o r k s a st h ei n i t i a l p r o p o r t i o n o fc h a o t i cn o d e si n c r e a s e s ，t h e r ea r et w op h a s ec h a n g e p r o c e s so ft h ef i n a lp r o p o r t i o no fc h a o t i cn o d ef o rag i v e nc o u p l i n g s t r e n g t h n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sv e r i f yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s k e y w o r d s ：c h a o s ，c h a o t i ca t t r a c t o r , n e t w o r kp e r f o r m a n c ee v a l u a t i o n ， c h a o t i cc o n t r o l ，p r o p a g a t i o no fc h a o s i v 北京邮电大学博十论文目录 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景1 1 2 混沌的基本概念一2 1 2 1 混沌的定义和性质2 1 2 2 分分与混沌4 1 2 3 混沌预测5 1 2 4 混沌控制和混沌同步6 1 2 5 相空间重构理论7 1 3 国内外研究现状1 1 1 4 本文的主要贡献1 3 1 5 本文的结构和安排1 4 1 6 参考文献1 5 第二章基于混沌理论的网络流量刻画2 0 2 1 引言2 0 2 2 网络流量的相空间重构2 1 2 3 网络流量的混沌特征与自相似性2 6 2 3 1 网络流量的相似性2 6 2 3 2 网络流量的混沌宏观特征量2 7 2 3 3 自相似流量时问序列与流量混沌吸引子3 1 2 4 l y a p u n o v 指数对网络性能的刻画一3 2 2 4 1 性能评估问题描述3 4 2 4 2 基于混沌理论的网络流量性能评估方法3 5 2 4 3 方法验证3 6 2 5 本章小结3 8 2 6 参考文献3 9 一v 北京邮l 【1 人学博l ：论文 目录 第三章网络流量的混沌控制4 2 3 1 引言4 2 3 2 流量的混沌预测方法4 3 3 3 基于混沌预测的网络流量混沌控制方法4 5 3 4 实验验证4 9 3 4 1h 6 n o n 系统的混沌控制结果4 9 3 4 2 网络流量的混沌控制结果5 1 3 5 本章小结5 3 3 6 参考文献5 3 第四章t c p r e d 离散反馈系统中的混沌分岔及混沌控制5 6 4 1 引。言5 6 4 2t c p r e d 离散反馈系统5 7 4 3t c p r e d 离散反馈系统中的边界碰撞分贫现象6 0 4 4t c p r e d 系统中混沌控制的研究6 6 4 4 1 数值仿真结果6 8 4 4 2n s 2 仿真结果。7 0 4 5 本章小结7 5 4 6 参考文献7 5 第五章网络中混沌现象的传播7 8 5 1 引言7 8 5 2 基于耦合映象格子的混沌传播模型8 0 5 3 典型复杂网络中混沌现象的传播8 1 5 3 1w s 小世界c m l 中混沌现象的传播8 2 5 3 2b a 无标度c m l 中混沌现象的传播8 5 5 4 本章小结8 7 5 5 参考文献8 7 第六章结束语9 0 ， 一 j 北京邮电大学博：l ：论文 目录 9 付j 录9 ：i i 符号表9 3 至定 谢。9 6 个人简历及参加的科研工作9 7 攻读博士期间已发表和已录用的文章目录。9 8 - v i i - 北京邮i 乜人学博i ：论文图日录 图目录 图2 1a b i l e n e 网络拓扑2 1 图2 2 i n d i a n a p o l i s k a n s a sc i t y 链路利用率2 2 图2 3 使用互信息法确定i n d i a n a p o l i s k a n s a sc i t y 上流量的时间延迟2 3 图2 _ 4 使用虚假最近邻点法确定i n d i a n a p o l i s o k a n s a sc i t y 上流量的嵌入维 ； 5 ( 2 z i 图2 5i n d i a n a p o l i s k a n s a sc i t y 上流量的混沌吸引子在二维平面上的投影 ：! ! ； 图2 - 6 i n d i a n a p o l i s k a n s a sc i t y 链路流量时间序列的盒维数计算。2 8 图2 7i n d i a n a p o l i s k a n s a sc i t y 链路上流量混沌吸引子的盒维数计算2 9 图2 _ 8 w b l f 方法中最大l y a p u n o v 指数计算示意图3 0 图2 - 9w b l f 方法中次大l y a p u n o v 指数计算示意图3 1 图2 1 0 流量时间序列h u r s t 参数的计算3 2 图2 1 1 2 0 0 4 年6 月2 1 日w a s h i n g t o nd c a t l a n t a 链路利用率3 3 图2 1 22 0 0 4 年9 月l o 日w a s h i n g t o nd a t l a n t a 链路利用率3 4 图2 1 3 链路利用率数据功率谱3 6 图2 1 4 最大l y a p u n o v 指数反映的网络性能趋势3 7 图2 1 5 l n d i a n a p o l i s k a n s a sc i t y 链路利用率3 8 图3 1 使用局部平均预测法的流量预测结果4 4 图3 2h 6 n o n 系统混沌吸引子5 0 图3 3h 6 n o n 系统原状态5 0 图3 4 受控h 6 n o n 系统状念5 1 图3 5原链路利用率5 2 图3 - 6 控制结果5 3 v i t i r 一 北京邮电人学博j j 论文图目录 图4 1网络拓扑。5 7 图4 2t c p r e d 反馈控制机制5 8 图4 - 3 t c p - r e d 系统玩的分岔图6 1 图4 - 4 t c p - r e d 系统q 。的分岔图6 3 图4 5 ， ，肛) 一厂” ，i c l ) 示例6 3 图4 - 6 局部线性化边界邻域内的分段映射6 4 图4 - 7 放大的玩分俞图6 5 图4 8 范式示意图6 6 图4 - 9 数值仿真中玩的控制结果图6 9 图4 - 1 0 实施控制前w 变化时玩和吼的n s 2 仿真结果7 2 图4 - 1 1 实施控制后w 变化时玩和q 。的n s 2 仿真结果7 3 图4 1 2 实施控制前d 变化时玩和q k 的n s 2 仿真结果7 4 图4 - 1 3 实施控制后d 变化时玩和吼的n s 2 仿真结果7 5 图5 1串联网络拓扑7 8 图5 2 两条链路平均队列长度的混沌分俞图一7 9 图5 3w s 小世界c m l 中混沌节点数占总节点数的初始比例p 与最终比例 凡的关系图8 3 图5 4w s 小世界c m l 中混沌节点数占总节点数的初始比例在混沌传播过 程的临界值：8 5 图5 5b a 无标度c m l 中混沌节点数占总节点数的初始比例p 与最终比例 p 。的关系图8 6 图5 - 6b a 无标度c m l 中混沌节点数占总节点数的初始比例在混沌传播过程 北京邮i u 人学博i ：论文图日录 的临界值8 7 一x 一 北京邮电人学博l ：论文第一章绪论 第一章绪论 本章首先介绍本文的研究背景。然后总结和归纳混沌理论的一些基本概念和 研究领域，并对网络混沌现象及混沌控制的研究现状进行了总结。最后介绍本论 文的研究内容和结构安排。 1 1 研究背景 网络性能参数建模是网络通信领域重要的研究领域之一，目前主要集中在网 络流量模型的研究上。网络流量模型的研究是网络性能分析和网络舰划设计的基 础，准确的描述网络流量组成的动力系统特征，对设计高性能网络协议、业务量 预测、网络规划、网络性能分析及流量拥塞管理与流量均衡等都有重要意义。 目前流量建模集中在基于统计模型对测量得到的链路网络流量或源端( 如 w w w ) 流量进行的建模。常用的流量分析和建模包括短相关建模和长相关( 自相 似) 建模两类方法。早期的流量建模研究主要是基于短相关特征的，其中包括泊 松模型、马尔可夫模型和回归模型等。由于i n t e r n e t 的异构性和网络行为的突发性 等，经典的马尔科夫模型和泊松模型并不适用于i n t e r n e t 的流量描述和预测。l e l a n d 等l l j 在早先的工作中提出了t c p i p 流量的分形特征，在此基础上研究人员广泛应 用分形理论对自相似流量加以描述1 2 3 l 。目前流量建模的研究集中在自相似流量模 型上，主要包括分形自回归求和滑动平均模型、分形布朗模型等。虽然这些模型 对流量的自相似过程进行了较精确的数学描述，但其通常忽略了源端和网络中自 治节点的控制机制，而i n t e r n e n t 中大量的t c p 控制和传输操作，以及业务源竞争 网络资源时表现出来的非线性相互作用，均会改变链路上流量的统计特征；且从 本质上来说，这些数学模型并不具有任何的物理意义，不能很好的揭示流量自相 似特征形成的原因。 1 9 9 4 年e r r a m i l l i 掣4 j 首次将混沌方法引入分组网的流量研究中，提出了一个 用分段( 两段) 式混沌映射对流量进行建模的方法，为流量特性的研究丌辟了新 的途径。同时除了对流量混沌特性的建模以外，研究人员开始关注流量自相似混 沌特性产生的内在机制。v e r e s 等【5 j 基于混沌理论讨论了源端机制对网络流量的影 响。他们发现t c p 的拥塞控制行为序列实质上组成了个混沌动力系统，这是导 北京邮1 1 1 人学博i j 论文第一章绪论 致流量自相似的重要原因。 从本质上来说，混沌理论与自相似分形是密切相关的，混沌是产生时空结构 的非线性物质运动，而这种具有自相似特性的时空结构本身就是分形1 6 j 。混沌是指 一个确定系统对它的初始状态具有敏感的依赖性，从而在系统中出现一种内在的 随机性。混沌理论揭示了一类确定性复杂系统中具有的不确定行为的本质。混沌 是耗散和非线性相互作用的结果，由于耗散的作用，混沌系统在整体上和大范围 内表现为稳定和相体积的收缩，而非线性作用的结果使轨道局部不稳定，这种不 稳定性又使轨道局部分离，整体的稳定和局部的不稳定形成了混沌系统的奇异行 为，从而最终表现出复杂的运动形态和无穷层次的自相似结构。 网络系统中存在着丰富的非线性动力学特性和自组织时空有序形态。作为一 个高度非线性、开放的、耗散与非平衡的复杂系统，网络实质上是一个耗散系统， 从理论上来说网络环境下的海量信息组成的动力系统应该具有混沌系统的特征。 从混沌动力学角度对网络系统中的行为和现象进行尝试研究将是一个富有挑战性 的课题。 下文将从混沌的基本概念出发，明确网络混沌行为与控制的研究内容以及该 领域的研究现状，探讨该领域的发展趋势和存在的问题，从而阐述本论文的选题 依据。 1 2 混沌的基本概念 本节中简单介绍了沦文中所涉及到的混沌及其相关理论的基本概念和定义， 包括混沌的定义和性质、分岔与混沌、混沌预测、混沌控制和混沌同步，以及混 沌时间序列分析方法中的相空问重构理论。 1 2 1 混沌的定义和性质 混沌是指确定性非线性动力复杂系统中存在着内在随机性的现象。作为物质 科学和数学科学两栖的边缘学科，混沌被认为是2 0 世纪物理学第三次大革命，前 两次是量子力学和相对论。 混沌的数学定义最早是由李天岩和j a m e sa y o r k e 于1 9 7 5 年周期3 意味着 混沌一文提出的f 饥。 定义1 ( l i y o r k e 混沌) 闭区间，观上的连续映射f 是混沌的，若其满足 如下条件： 北京邮电人学博l 论文第一章绪论 ( 1 ) 对于任意自然数k ，映射，具有周期为k 的周期点； ( 2 ) 存在一个不包含映射，的周期点的不可数集合sc ，使得 ( a ) 对任意的p ，qe s ，p q ，有 l i ms u pi ，”( p ) 一f “( q ) i 0 ，l i mi n fif ”( p ) 一f “( q ) i = 0( 1 - 1 ) 月“ ( b ) 对任意p e s 和任意周期点q e l ，有 l i ms u p l f ”0 ) - f “( g ) i = 0( 1 - 2 ) 月- 其中若q 为，的n 周期点，则f “( 口) = q 且f ( q ) 事q ，1 sk 0 ，使得对于任何x z 与石的任何一个邻 域b ，存在y e b 和自然数k ，满足 i ，( 石) 一f 2 ( y ) i 6 ( 1 3 ) ( 2 ) 拓扑传递性：即对任何一对丌集u ，ycz ，存在自然数k ，使得 f o ( u ) n v a ( 1 4 ) ( 3 ) f 在z 中有稠密的周期轨道。 其中，初值敏感性即著名的“蝴蝶效应 ；拓扑传递性说明混沌系统不能被细分 为或不能被分解为两个在f 下相互影响的子系统：而条件( 3 ) 说明混沌映射的不 可分解性，即混沌行为具有稠密的周期轨道，其运动最终要落在混沌吸引子之中， 使其呈现出多种看似混乱无序却又颇具规则的自相似图像1 1 0 】。 同时，b a n k s l l l 】等研究了d e v a n e y 混沌e e - 个条件之间的内在关系，证明了条 件( 1 ) 和( 2 ) 可以推出条件( 3 ) 。同时h u a n g 1 2 l 等验证了d e v a n e y 混池定义强 于l i y o r k e 混沌定义。 北京i u 人学博l ：论文 第一章绪论 总的来说，混沌运动是指确定性系统中局限于有限状态空问的高度不稳定的 运动，混沌系统是具有初值敏感性和内在随机性的确定性非线性系统。虽然以上 的混沌定义有所区别，但混沌的本质特征是相同的，总结起来包括如下几点： ( 1 ) 内在随机性：混沌的内在随机性是确定性系统的内部随机性的反映，它 不同于外在的随机性。混沌系统可由完全确定性的方程描述，无需附加任何随机 因素，但系统仍会表现出类似随机性的行为。这种确定性非线性系统的固有特征 被称为内在随机性。 ( 2 ) 初值敏感性：系统演化轨迹的初值敏感性，即“蝴蝶效应”。混沌系统 中两个相邻的初值演化出来的轨道会产生很大的偏离，初值的微小改变会导致很 靠近的轨道随时问推移按指数速度偏离( 描述该指数速度的l y a p u n o v 指数是混沌 系统中一项重要的宏观特征值，具体将在2 3 2 节中进行介绍) 。由于具有初值敏 感性，混沌系统的长期行为是不确定且随机的。 ( 3 ) 无序中的有序：混沌系统中在其相空问( 即状态空阃) 中经过一定时间 的演化后，最终会产生规则有形的运动轨迹，我们称之为混沌吸引子。混沌吸引 子是系统状态点在相空间中的集合，它具有固定的复杂几何结构，经过拉伸扭曲 操作后，在时序上表现出无序和自相似的特点。混沌吸引子中的运动能在一定范 围内按其自身的规律遍历每一条轨道，既不自我重复又不自我交叉。混沌吸引子 体现了混沌系统的规律性，揭示了混沌运动的无序中的有序特征。 混沌吸引子与经典动力学系统中的平庸吸引子( 包括稳定不动点、稳定环面 等) 的区别主要在于：从整体上来看混沌吸引子是稳定的，即吸引子外的一 切运动都要收缩到吸引子上；但从局部来看，吸引子内部的运动又是不稳定 的，相邻轨道相互排斥且按指数速度分离，因而不存在周期性，其结果使吸 引子遍历各种可能的状态，即吸引子具有遍历特性；同时，混沌吸引子具有 分形结构和分维数。 ( 4 ) 长期不可测性：混沌运动具有对初始条件的敏感依赖性，初始条件的微 小扰动会导致系统的最终状态出现巨大的差异，故虽然混沌系统在短期内可预测， 但其长期演化行为是不可预测的。 1 2 2 分岔与混沌 分龠是非线性系统中特有的现象，它与混沌现象密切相关。在混沌理论的研 究中，分岔与混沌现象经常是相继出现的。“分岔”原为微分方程理论中的一个名 词，其最初含义为“一分为二”。后来推广到动力系统中，指当控制变量发生变化 北京邮电人学博十论文第一章绪论 时其相图结构的突然变化。分岔理论是研究非线性方程解的定性行为的数学理论， 其研究内容包括分岔点的位置、分岔解的方向与数目、分俞解的稳定性、分龠的 类型以及分翁的过程与终态( 混沌吸引子) 等。分俞理论除了涉及非线性稳定理 论外，也和突变以及混沌理论等息息相关。从分俞过程来看，失稳是发生分岔的 物理前提。分俞发生后，系统不同状态问便产生了不连续的过渡，这就是突变； 然后经过不断的分岔，最后系统将到达混沌态。在许多非线性现象中，分岔在稳 态和混沌态二者间起着桥梁和纽带的作用。 1 2 3 混沌预测 混沌是确定论系统的内在随机性1 13 1 ，在不同的实际网络中，混沌流量系统的 动力学行为( 方程) 是千变万化且未知的。混沌理论认为相邻的两条混沌轨道会 随着时间的推移迅速分离，故混沌系统的长期行为是不可预测的；但在有限短的 演化时问内，只要两条轨道的距离充分近，则系统轨道问的发散较小，则系统行 为是可预测的，这就是局部模型用于短期预测的基本思想。同时，最大l y a p u n o v 指数的倒数正是混沌系统长期演化的可预测时问长度的界限。 混沌动力系统的预测通常从观测到的时问序列着手。时间序列是指动力系统 中的某个变量或指标的数值或观测值，按照其出现时间的先后次序，以相同或不 同的时间间隔排列的一组数值。时间序列反映了系统的现象以及现象之间关系的 变化规律。混沌预测是指在系统相空间中找到一个非线性模型去逼近系统的动态 特性，以实现一定时期内的预测。相空间即混沌系统的状态空间，相空间可通过 重构时间序列得到，具体将在1 2 5 节中进行介绍。 混沌时间序列的常用预测方法包括全域法、局域法和自适应预测法等。 全域预测法是指使用合适的函数拟合轨迹中的所有点的方法。由于实际问题 中数据有限，故通常都是利用有限数据来构造近似函数，其中包括多项式逼近预 测法、神经网络预测法等。多项式逼近预测法使用多项式拟合动力系统，多项式 系数由最小二乘法确定，适用于系统维度较低的情况。而神经网络预测法包括前 馈型神经网络1 1 4 j 7 】、小波神经网络f 1 8 】、模糊神经网络预测法1 1 9 l 等。全局预测法在 系统的映射关系复杂或噪声干扰较大时，实施起来比较困难。 相对全域预测法，局域预测法只利用被预测点领域内其他点的信息来拟合不 同预测函数。常用局域预测法包括局部平均预测法【2 0 , 2 1 】、局部线性预测法【2 2 】、局 部多项式预测澍2 3 ，矧、基于最大l y a p u n o v 指数预测法【2 5 ，2 6 1 、线性内捅法【2 7 ，冽和局 域超平面近似法【2 7 , 2 9 j 等。局域预测法简单可行，而且只要能够实时的拟合局部模 北京邮i u 人学博j ：论义第一章绪论 型的系数，就能够精确的反映整个系统的演化特征；但这种方法只反映了系统的 局部特征，一旦超出相应的区域范围，局部模型的精度就会下降。 自适应混沌预测【3 0 。3 3 j 是指在预测过程中，始终根据当前的预测误差来调整预 测模型中的有关参数，使之在下一次预测中的误差最小。白适应预测法能自适应 的跟踪混沌系统的运动轨迹，但对算法的跟踪辨识和实时递推能力要求较高。 1 2 4 混沌控制和混沌同步 非线性动力系统的混沌现象是由系统中某些参数的变化引起的，故通过参数 扰动等方法控制或调整这些参数以降低或消除系统中的混沌性，控制与诱导混沌， 这就是混沌控制。 从实现控制的目标划分，混沌控制可归纳为两人类。第一类是基于在混沌吸 引子闭包中存在着无穷多不稳定的周期轨道，控制的目标即是在这些轨道中选择 一条满足要求的周期轨道并通过对某参数进行微扰反馈，若干次反复调整后实现 对特定所需轨道的稳定控制。该类控制的优点是可以把系统从混沌状态控制在任 意指定的周期轨道上，而且不改变系统的结构；缺点是给定轨迹( 目标函数) 实 现起来比较困难。较之第一类控制，第二类控制没有具体的控制目标，也不关心 被控系统的终态是否为周期运动，只是通过合适的策略和方法来有效抑制混沌行 为，使系统l y a p u n o v 指数下降进而抑制或消除混沌。此类控制给系统直接加上一 个微弱的外部扰动来消除混沌，易于实现；但系统受控后可能产生新的动力学行 为，且无法保证控制过程的稳定性。 而从控制实现的原理上来看，混沌控制可分为反馈控制和无反馈控制两类。 反馈控制包括参数微扰o g y 方法【3 4 1 及其改进方法、偶然证比技术( o p f ) 法【3 5 , 3 6 1 、 v f c l 3 7 l 及自适应控制方法【3 8 】等；无反馈控制包括周期参数扰动法【3 9 j 、周期激振力 法1 4 0 l 及传递和转移控制法【4 1 】等。 混沌同步也是目前混沌理论研究中的一个重要领域，从广义上来说混沌同步 属于混沌控制的范畴。由于混沌系统的初值敏感性，两个完全相同的自治混沌系 统在同一相空问中也难以同步。1 9 8 9 年p e c o r a 等1 4 2 i 发现一个混沌系统中的某些相 同的子系统在特定条件下可以达到同步。混沌同步即是指为实现两个混沌系统的 同步，由其中一个系统( 称为驱动系统) 去驱动另一个系统( 称为响应系统) ，即 两个系统耦合起来，最终使响应系统的轨道收敛于驱动系统轨道的同一值，系统 之间始终保持步调一致，且这种同步结构稳定。混沌同步的机理与混沌中非周期 轨道的控制方法有关，它与协同学中的使役原理具有类似性。 一 ， 北京邮电大学博l ：论义 第一章绪论 1 2 5 相空间重构理论m 1 实际应用中大量的非线性系统的动力方程是未知的，通常只能通过观测得到 系统中的时问序列来对其进行分析。而由于测量精度的实际限制、计算的复杂性， 以及可能存在的本质上的非确定性因素等多方面的原因，严重制约了人们对时间 序列内在机制的理解。 相空间重构技术在混沌时间序列的分析和处理中得到了广泛应用，相空间重 构技术最早由y u i e 于1 9 2 7 年在统计学领域提出，2 0 世纪8 0 年代p a c k a r d l 4 4 1 ， t a k e n s l 4 5 l 和m a n e l 4 6 1 等将其先后引入动力学体系中，从理论上为时问序列的相空间 重构奠定了可靠基础，使得深入分析时间序列的动力学机制成为可能。相空问重 构法是指对于实际测得的一维时问序列，将其扩展到系统的高维度的状态空间中 去，以便把时间序列中蕴藏的信息充分的揭示出来，即在高维相空间中恢复