（运筹学与控制论专业论文）有交易费的美式未定权益的套期保值.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 在时间连续的市场模型中考虑交易费，这在金融理论和实践上都是非常重要的本文 主要研究在时间连续的市场模型中，有交易费的美式未定权益的套期保值问题我们以鞅 方法和d o o b - m e y e r 分懈为主要工具，得到了美式未定权益的上套期保值k 。和下套期保值 价格h2 。的表达式并进一步证明了美式未定权益的所有无套利价格的集合是一个区间 本文分三章在第一章中介绍了研究未定权益定价问题的一些历史和现状 在第二章中讨论在有比例交易费的时间连续的市场模型中，美式未定权益( p 。( ，) ，r l ( - ) ) 的套期保值问题我们用鞅方法得到了美式未定权益( f o ( ) ，r 1 ( ) ) 的上套期保值价格h 。p ( p o ，f 。) 和下套期保值价格 f 。( r o ，r 1 ) 的表达式进一步我们证明了区间 h t 。( r o ，r 1 ) ，h 。p ( r o ，r 1 ) 】 是美式未定权益( r 0 ( t ) ，r l ( ) ) 的无套利区间 在第三章中，我们考虑一个有特殊交易费的市场模型这个有特殊交易费的模型已经 被b e n s o u s s a n 和j u l i e n 3 考虑过，但他们考虑的是股票价值过程的系数为马尔科夫情形 的欧式未定权益的套期保值问题而我们在这里考虑的是股票价值过程的系数为非马尔科 夫情形的美式未定权益的套期保值问题我们得到了美式未定权益的上套期保值价格矗。 和下套期保值价格 f 。的表达式，并且对一类相当广泛的美式未定权益，证明了最优的上 ( 下) 套期保值策略是存在的 关键词：套期保值美式未定权益交易费无套利区间 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t t r a n s a c t i o nc o s t sa r ec o n s i d e r e di nac o n t i n u o u s - t i m em a r k e t ，w h i c hi ss i g n i f i c a n ti n b o t hf i n a n c i a lt h e o r ya n d p r a c t i c e i nt h e t h e s i sw ed i s c u s st h ep r o b l e mo f h e d g i n ga m e r i c a n c o n t i n g e n tc l a i m si n ac o n t i n u o u s - t i m em a r k e ti n c o r p o r a t i n gt r a n s a c t i o nc o s t s u s i n ga m a r t i n g a l ea p p r o a c ha n dt h ed o o b - m e y e rd e c o m p o s i t i o n ，w eg i v ear e p r e s e n t a t i o nf o rt h e u p p e rh e d g i n gp r i c e a n dt h el o w e rh e d g i n gp r i c e l o fa m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m s f u r t h e r m o r e ，w es h o wt h a th ， ”】i st h es e to fa l lt h ea r b i t r a g e - f l e ep r i c e s t t mt h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w er e c a l ls o m e e x i s t i n gw o r k s c o n c e r n i n gt h ep r i c i n go fc o n t i n g e n tc l a i m s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rac o n t i n u o u s t i m em a r k e tm o d e lw i t hp r o p o r t i o n a l t r a n s a c t i o nc o s t s u s i n gam a r t i n g a l ea p p r o a c h w eg i v ea r e p r e s e n t a t i o nf o rt h eu p p e rh e d g - i n gp r i c e u p ( r o ，p 1 ) a n dt h el o w e rh e d g i n gp r i c e 1 w ( r o ，r 1 ) o fa m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m s ( r e ( ) ，r l ( ) ) ，f u r t h e r m o r e ，w ec a np r o v et h a tf h f 。w ( r o ，r 1 ) ，h t p ( f o ，r 1 ) 】i st h ea r b i t r a g e - f l e e i n t e r v a lo fa m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m s ( t o ( - ) ，r l ( ) ) f i n a l l yi nt h et h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rac o n t i n u o u s - t i m em a r k e tm o d e lw i t had i f - f e r e n tt y p eo fp r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t s t h i st y p eo fp r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t s h a sb e e nc o n s i d e r e db yb e n s o u s s a na n dj u l i e n 【3 】b u tb e n s o u s s a na n d j u l i e n 3 】c o n s i d e r e d t h ep r o b l e mo fp r i c i n ge u r o p e a n c o n t i n g e n tc l a i m si nam a r k o v i a nc o n t e x t h e r ew ec o n - s i d e rt h ep r o b l e mo fh e d g i n ga m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m si nt h em o r e g e n e r a ln o n m a r k o v i a n s i t u a t i o n w eg i v ear e p r e s e n t a t i o nf o rt h eu p p e rh e d g i n gp r i c e a n dt h el o w e rh e d g i n g p r i c e l o fa m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m s m o r e o v e r ，w es h o wt h a tt h eo p t i m a lu p p e r ( 1 0 w e r ) h e d g i n gp o l i c ye x i s t sf o rac l a s so fr a t h e re x t e n s i v ea m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m s k e y w o r d s ：h e d i n g ，a m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m ，t r a n s a c t i o nc o s t s ，t h ea r b i t r a g e - f r e ei n t e r v a l ， 2 第一章引言 未定权益定价问题研究由来已久，现在已成为数学金融的一个重要分支对未定权益 定价问题的研究，使我们发展了许多金融理论和意义非常重大的方法，这些方法反过来促 进了金融工具的更大发展早在1 9 0 0 年， b a c h e l i e r 【1 就开始对欧式期权的定价进行研 究，但直到1 9 7 3 年，才由b l a c k 及s c h o l e s 4 】和m e r t o n 1 6 】将这个问题的研究推向了一 个理想的地步，他们给出了期权定价中具有基础地位的b l a c k - s c h o l e s 公式，也给出了定价 理论中的复制策略和无套利原则进一步， e 1k a r o u i 及q u e n e zf 8 1 和k a r a t a z a s 及k o u 【1 0 】用随机控制的方法解决了在不完备市场中的欧式未定权益的套期保值问题 到目前为止，对美式未定权益定价问题的研究也不少，也得到了不少的好结果，但还没 有达到一个理想的地步 m c k e a n 1 5 】很早就较深入地分析了美式期权，他把未定权益的 定价问题转换为自由边界问题，把美式期权的价格同最优停止边界联系起来。b e n s o u s s a n 【2 1 和k a r a t z a s 【9 1 用套期保值和等价鞅测度的理论得到了在完备市场下的美式未定权益的 价格进一步k a r a t z a s 及k o u 1 1 】用d o o b - m e y e r 分解和随机控制的方法解决了投资策略 有限制的美式未定权益的套期保值问题 交易费在经济领域是常见的，对于有交易费的欧式未定权益的定价问题已经有很多人 研究了d a v i s 和p a n a s 【7 】用随机控制中的极大化期望效应的方法考虑了有交易费的欧 式期权的定价问题 c v i t a n i c 及k a r a t z a s 【6 】用鞅的方法讨论了有交易费的欧式未定权益 的套期保值问题，得到了上下套期保值价格，并进一步得到无套利区间但是有交易费的 美式未定权益的套期保值问题还很少有人讨论p r a s a d 和s o m e s h 1 8 】用线性规划的方法 得到了离散时间市场中有交易费的美式未定权益的上( 下) 套期保值价格 在第二章里我们考虑一个一般的有交易费的连续金融市场，在市场中有一种债券和一 种股票股票价格过程满足 jd p ( t ) = p ( t ) b ( t ) d t + 盯( t ) d o ) l ，0 t t ， p ( o ) ：p ( o ，o 。) 并且在市场里，由一种资产转移到另一种资产都要交纳比例交易费设初始财富为( x , y ) ， 则过程x ( ) 兰x x , l , m ( - ) 和y ( ) 兰y “，m ( ) 分别是投资者拥有债券和股票的价值，它们 4 复旦大学硕士学位论文 满足的方程分别是 以 x ( 。) = z 一( 1 + a ) l ( 。) + ( 1 一肛) m ( ) + 上x ( 钍) r ( u ) d u ，0 t r 和 一 y ( ) = y + l ( ) 一m ( 。) + 上y ( 让) 6 ( ) d u + 仃( “) 抛( ) 】，0 t r 其中a 和“分别是由债券转移到股票和由股票转移到债券所要交纳的交易费的比例，l ( t ) 和m ( t ) 分别表示从初始时刻到t 时刻由债券转移到股票和由股票转移到债券上的总资金 数我们用鞅的方法得到了美式未定权益( r 0 ( ) ，r l ( ) ) 的上套期保值价格h 。p ( r o ，f ，) 和下 套期保值价格 i 。( f o ，r 1 ) 的表达式并且证明了 f 。( r o ，r 1 ) ，h 。( r o ，r 1 ) 】是美式未定权益 ( t o ( ) ，r - ( ) ) 的无套利区间 在第三章，我们考虑了一个b e n s o u s s a n 和j u l i e n 3 1 考虑过的交易费模型。在这个模型 中拥有或借入某种股票都要交纳比例的费用，我们也把这个费用看作特殊的交易费在市 场中有一种债券和d 种股票，债券的利率为r ( ) ，股票价值过程满足 ，d id s d t ) = s , ( t ) b i ( t ) d t + o , j ( t ) d w j ( t ) 】 j = 1 ls ( o ) = s 。( 0 ，o 。) ， i = 1 ，d 但是在b e n s o u s s a n 和j u l i e n 3 】所讨论的金融市场模型里r ( - ) ，6 ( ) = ( b l ( - ) ，b ( - ) ) 和 a ( ) 都是确定性系数，他们用随机控制和h j b 方程的知识解决了欧式未定权益的套期保值 问题而我们在这里考虑了r ( ) ，6 ( - ) = ( b l ( ) ，6 d ( ) ) 和a ( ) 可为随机系数的情形设 佻和m 分别是拥有第i 种股票和借入第i 种股票所要交纳的费用的比例，则对给定的投 资消费策略( ”，e ) 和初始财富x ( o ) = z ，相对应的价值过程x ( ) = x ”，g ( - ) 满足 dd d a x ( t ) = ( x ( 砖一r ( t 冲+ m ( ) 瞰t ) + 口玎d ( t ) 】 i = 1i = l j = l d 一( m ；” ) + n ”f ( ) ) d t d c ( t ) = 1 我们用等价鞅测度和d o o b - m e y e r 分解定理，得到了美式未定权益的上套期保值价格 。 h u p = s u ps u pe “归( r ) b ( r ) 】 5 复旦大学硕士学位论文 和下套期保值价格 f 。 i 。= 嘁s u p e “归( t ) b ( r ) _ p r e l 这里卢( ) 是贴现过程我们证明了上下套期保值价格形成的区间 z 。， 。】就是无套利区 间上套期保值价格实际上就是卖方能接受的最小的无风险价格，下套期保值价格就是买 方能接受的最大的无风险价格，且这个无套利区间具有下列性质： ( 1 ) 在这个区间之外的任意一个价格都能导致套利； ( 2 ) 这个区间内部的任意一个价格都无套利 我们还证明了，对一类相当广泛的美式未定权益，最优的上( 下) 套期保值策略是存在的 6 第二章有交易费的美式未定权益的套期保值 2 1 市场模型 我们考虑一个金融市场，市场中包含一种债券和一种股票，债券的价格过程口( ) 满 足： id b ( t ) = b ( t ) r ( t ) d t ，0 t r lb ( o ) = 1 股票的价格过程p ( ) 满足： fd p ( t ) = p ( t ) b ( t ) d t + 盯( t ) d w ( ) 】， o f t ， i 尸( o ) = p ( o ，o 。) w = w ( 味0 t 丁 是在完备概率空间( n ，f ，p ) 上的一维标准布朗运动 f= ，( t ) ，0 t 丁) 是由w 生成的p 扩大的自然盯一代数流r ( ) ，b ( ) 和口( ) 在( t ，u ) 0 ，t 】xq 上都是一致有界的，且关于f 是循序可测的。进一步，假定o ( t ) 0 在( t ，“) 【0 ，t 1 f t 上是一致有界的远离0 现在考虑一个投资者，设他每次把资金由一种资产转移到另一种资产都要交纳比例交 易费让x 和y 分别表示在初始时刻拥有债券和股票的价值令l ( t ) 和m ( t ) 分别表示从 初始时刻到t 时刻由债券转移到股票和由股票转移到债券上的总资金数 定义2 1 一个交易策略( l ，m ) 是一对f 适应的，增的，左连续的过程，且满 足l ( o ) = m ( o ) = 0 和l ( t ) + m ( t ) o 。a 8 过程x ( ，) 三x x , l , m ( ) 和y ( ) 三y y ，m ( - ) 分别是投资者拥有债券和股票的价值，它 们满足的方程分别是 x o ) = 。一( 1 + a ) l ( ) + ( 1 一肛) m ( ) + ，。x ( 乱) ，( 让) d u ，0 t z( 2 1 ) 和 y ( ) = y + 三( 。) 一m ( 。) + 上y ) b ( “) d u + 矿( u ) 扎o ) t 0 t r( 2 2 7 复旦大学硕士学位论文 其中 和p 分别是由债券转移到股票和由股票转移到债券所要趸纳的趸易贾的比例- ( 2 1 ) 和( 2 2 ) 可以分别被等价地写成 fd ( 甜) = 南 ( 1 一芦) 删( t ) 一( 1 + a ) 乩( t ) 】， ix ( o ) = z ， 和 d ( 器) = 南阻( t ) 一d m ( ) 】， iy ( o ) = y 定义2 2 定义d 是满足下面三个条件的严格正的f - 鞅( z o ，z 1 ) 的全体， 俐( 而，z 1 ) 具有指数表示 五( ) = z d o ) e x p 卜j ( 。哦( s ) d ”( s ) 一互1j ( 。砖( s ) d s ) ，。s 墨t ， ( 2 ，3 ) 这里哦( ) 是f - 循序可测的过程，且有j 孑毋( 5 ) 出 。， d s 一= 口，j j i 一订。o 垒z o ( o ) = l ，z ，垒z 1 ( o ) ( 1 一p ) ，p ( 1 十a ) 】， 知 一训对【0 ，t j 都有 ，一卢蚓庐鬻器 1 + 矗 ( 2 a ) 对任意的( 疡，z 1 ) d ，由i t 6 公式，我们有 础) 器+ z l 器= 一- 7 “一l 鬻( ，小删酬 豁- ( 1 训螂) ( 2 5 ) 一z 2 豁瞰蛐+ 脚) m ) 蹦剜幽( s ) ，。t g 定义概率测度r ： p o ( a ) 垒e z o ( t ) i ，a 而， ( 2 6 ) 和过程w 0 ： w o ( t ) 垒w ( ) + z 8 0 ( s ) d 5 ，0 一t 一 t ( 2 7 ) 复旦大学硕士学位论文 则由g i r s a n o v 定理知，w o ( ) 是一个尸0 标准布朗运动 则( 2 5 ) 等价地可以写成 迎萧巡川j o 朋等酬+ f j i o c )b ( t ) ，c )b ( s ) ” ，e )坠) 二牟型a m ( 。) b (s ) = 。+ 了y z l 一上。笔铲帆( s ) 叫圳吣g 舛 ( 2 8 ) 由( 2 4 ) 定义的r ( ) 满足的线性方程为 d r ( t ) = 兄( o ) p 2 ( ) + r ( t ) 一6 ( t ) 一( o o ( t ) 一0 1 ( ) ) ( 口( ) 一o o ( t ) ) d t + r ( t ) ( o o ( t ) 一口( t ) 一0 1 ( t ) ) c “口0 ) ， ( 2 9 ) r ( o ) = 詈 下面我们取一对特殊的( o o ( - ) ，0 1 ( ) ) ，使尺( ) 满足的线性方程( 2 9 ) 中的波动项为0 ，即 注记2 1 对任意的z ：【( 1 一p ) p ，( 1 + a ) 刘，( o o ( ) ，p 1 ( ) ) 的定义如下： 酷( ) 垒堕兰；丢产，舛( t ) 垒( t ) 一一( t ) ，o r 取。j = 1 ，用( z ；，孵) 代替俾剀中的( z i ，( i = 0 ，1 ) ，那么我们定义了一对特殊的 ( 召，互) d 使彤( ) iz ；p _ 1 是一个在【1 一以l + 州中的常数在p 彰和俜刀中，令 蜀( ) = 召( - ) ，o o ( - ) = 铝( ) ，我们得到了概率测度昂和布朗运动喵 定义2 3 我们说一个投资策略弘，冽对初始财富伍称为可行的，若对任意的 ( 玩，z 1 ) d 。竺 ( z o ，z 1 ) di磊( 丁) ( 蜀( 丁) ) - 1 是本质有界的) ， 过程( x ( - ) + r ( ) y ( ) ) b ( 一) _ 1 是岛上款 记4 ( x 】y ) 为对初始财富( x ，y ) 可行的投资测略的全体 2 2 美式未定权益 定义2 4 一个美式未定权益是其持有者有权在购买日和到期日之间的任意时刻都可 以执行的未定权益 9 复旦大学硕士学位论文 我们用二维过程( t o ( ) ，r t ( ) ) 来表示一个美式未定权益，其中t o ( ) 表示未定权益在债 券上占有的价值，r t ( ) 表示未定权益在股票上占有的价值，例如对敲定价格为k 的美式 看涨期权( p ( ，) 一k ) + ，t o ( ) ，工1 1 ( - ) 分别为r l ( ) = p ( ) l p c ) ! ，t o ( ) = - k 1 p ( 】耳 下面我们设在初始时刻不拥有股票，即= o 那么我们给出以下定义 定义2 5 设美式未定权益( t o ( - ) ，r l ( ) ) 是一个适应的随机过程 俐我们称( l ，m ) 一4 ( z ，0 ) 是以初始财富向缈套期保值未定权益( t o ( ) ，f 1 ( 一) ) 的 上套期保值菱略，若满足 x x , l , m ( 7 - ) + ( 1 一卢) y o , l , m ( 下) f o p ) + ( 1 一芦) r 1 ( r ) ， 和 x w , l , m p ) + ( 1 + a ) y o , l , m p ) r 。( ，) + ( 1 + ：g r l ( 7 - ) ， v r f8 s ， 这里r 是f _ 停时r ：q 一 0 ，t 】的全体令h ( f o ，f 1 ；z ，0 ) 是以初始财富似卅套期保值 未定权益一o ( - ) ，r 1 ( - ) j 的上套期保值策略的全体，这里h ( r o ，f t ；z ，0 ) 可能是空集 一i ，我们说( l ，m ) a ( 曩0 ) 是以初始财富扛，纠套期保值未定权益( v o ( - ) ，r l ( ) ) 的 下套期保值策略，若存在t o f 使 x - x , l , m ( t o ) + ( 1 一p ) y o , l , m ( 伯) + f o ( t o ) + ( 1 一) r l ( t o ) 0 ， 釉 x - x , l , m ( t o ) + ( 1 + a ) y o , l m ( ) + f o ( 丁b ) + ( 1 + a ) r 1 ( 伯) 0 我们令l ( r o ，r ，；。，0 ) 是以初始财富向砂套期保值未定权益伊o ( ) ，r 1 ( ) j 的下套期保值 策略的全体，这里l ( r o ，r l ；z ，0 ) 可能是空集 下面给出了定义2 5 的一些经济意义在t = 0 时刻，买卖双方达成协议，卖出方许诺 在买方选定的时刻t = r ( r f ) 支付给买方价值为r 0 ( r ) 的债券和价值为r - ( r ) 的股票 从卖出方考虑，他以价格x 卖出未定权益，为了使自己不亏本，那么他就要求能以x 构造 一个投资策略，使他能在买方选定的任意时刻t = r ( r f ) 无风险的执行对买方的义务， 这就是上套期保值的经济意义从买方来考虑，他借x 来购买未定权益，为了使自己不亏 本，那么他就要求髓够找到一个时刻t = 丁b ( t o r ) 让未定权益卖出者支付给自己价值为 f o ( r o ) 的债券和价值为f ( r o ) 的股票，使他能无风险的偿还自己的债务，这就是下套期保 值的经济意义 1 0 复旦大学硕士学位论文 定义上套期保值价格 h 。p ( r o ，r 1 ) 兰i n f z rj3 ( l ，m ) ( r d ，r l ；。，0 ) ) 和下套期保值价格 2 。( r o ，f 1 ) 兰s u p z r 13 ( l ，m ) l ( f o ，r l ；x ，o ) 这里 ，( f o ，r 1 ) 表示卖出方可以接受的最小的无风险价格， f 。( r 0 ，r 1 ) 表示买方可以接 受的最大的无风险价格 u p ( r o ，r 1 ) 可能是+ 。，h l 。( r 0 ，f ) 可能是一。 在下面两节，我们分别给出 。( r o ，r ，) 和h j 。( r 。，r 1 ) 的表达式 2 3 上套期保值价格 我们首先给出一些假设 假设2 1 存在非负实数，使对任意的r r ，有f o ( t ) 十( 1 一p ) r l ( t ) - k ， f 0 ( t ) + ( 1 + a ) r l ( r ) - k a 8 假设2 , 2 瑞 r 0 2 ( t ) + 瑶( t ) 】 。o ，这里瑞表示在概率测度昂下的数学期望 注记2 2 我们有如下结论，设z + ( 1 一p ) 舶+ ( 1 一肛) 7 l ，z + ( 1 + a ) g 7 0 + ( 1 + a ) ，y 1 那么对任意的r 1 一肛，1 + a 】，有z + r y 1 b + r 7 1 引理2 1 设( r o ，r 1 ) 是一个美式未定权益，则上套期保值价格满足 ( r o , r t ) 2 s v e tr 昂瀑e 【粥( r 0 ( r ) + 靳) r l ( 栅 ( 面，盈) 口舶口l r ， 证明：不失一般性，假设h 。p ( r o ，r 1 ) o o ，定义 u ( r o ，f 1 ) 竺x r 3 ( l ，m ) eh ( r o ，f 1 ；z ，o ) ) 易证“( r 。，r 1 ) o 则对任意的盘甜( r 。，f z ) 和( 面，z i ) d 。，由定义2 3 和定义2 5 以及注记2 2 ，我们有 z 蜀【型铲】 岛 型铲】 复旦大学硕士学位论文 = 叫嚣( r o ( r ) + 聊) r 0 ( ) ) ，v r p 左右两边分别对r 和( z o ，z 1 ) 取上确界可得 一s 村u p ( 郡s u l ) p 。e 【粥( r 。( 卅附) r l ( 砒v z u ( r 0 ，叫， 由x 的任意性，得到引理2 1 口 引理2 2 设( f 0 ，r 1 ) 是一个美式未定权益，且假设2 满足，那么有 s 懈u p ( 删s u p e 粥( r 0 州咿小) ) s ，u e r ( p 鼎。e 粥( r o 州r ) r 1 ) 证明：对任意的( z o ，而) d ，我们分别定义停时 垒i n 眯| o t it 丽z o ( t ) n ? ； 以及正鞅 碰n ，( f ) 垒f 氓( ) ，。 矗； l 彤( ) ，t t 曩“0 ) 垒五( o ) e x p 一j ；碰”0 ) d w ( s ) 一 露( 毹”( s ) ) z d 司，0 t 丁，i = 0 ，1 由注记2 ，1 ，我们有 桃) 垒鬻器叫) 【1 - 弘, i + a ，v n 6 n , 那么( 吞，z “) d 因为篙鲁na - s ，我们有( 蔬，嗣”) ed o o - 记l s ，u ；p ，两k 可 的一个上界，由假设2 1 和f a t o u 引理，我们有 吲粥( r 0 州丁) r 小) ) + l = 啦 业铲埘 e i 0 证明：对t 【0 ，t 】和一个有界的，( t ) 可测的随机变量：q + 【0 ，。o ) 考虑投资 策略( ，m ) ，且( 小，m e ) 满足m ( 5 ) 三0 及小( 5 ) = 尸( t ) x ( t ，研( s ) ，5 【o ，t ，也就是 说在 0 ，t ) 时刻不拥有任何股票和债券，只在s = t 时刻买份股票，并在t 到t 时刻一直 持有这些股票那么我们有 x o ，小，m 5 ( 5 ) = 一( 1 + a ) p ( ) x ( ，r l ( s ) ， 及 y o ，岳m ( s ) = f p ( 5 ) x ( t ，卅( s ) ，0 s t 定义 x ( s ) = ax o ，小，m ( s ) ， 及 y ( s ) = ay o ，群，m ( 5 ) 对t 0 和e l o l p ( 丁) 】 0 口 引理2 5 设( r 0 ，r 1 ) 是一个美式未定权益，且假设2 2 满足。那么 s ，u r p ( 玩s ，z u 。p ) 。e z d o ( ( r r ) ( r 。( r ) + 尺( r ) r l ( r ) ) 】 ( r 。，r 1 ) 证明： 不失一般性，取p = 1 和r ( ) = 0 对引理2 3 中的c i 和圆，由引理2 3 和凸集分离定理，存在一对随机变量( 砖，p i ) ( l 2 ( n ，户，昂) ) 2 ( o ，o ) ) 满足 e ； p * o v o ( t ) + 硝( 丁) = e p o v o ( t ) + 尸1 m ( 丁) s0 ，v ( ( 丁) ，k ( t ) ) a ， ( 2 ，1 1 ) 和 e ； p g ( r o ( t ) 一6 ) + 户：r l ( ? ) = e p o ( f o ( t ) 一6 ) + p i p l ( 丁) 】0( 2 1 2 ) 由于e p o 0 ，不妨取e p o = 1 由引理24 和( 2 1 2 ) ，我们有 e p o f o ( t ) + f l l f l ( 丁) 】b 1 5 ( 2 1 3 ) 复旦大学硕士学位论文 对仕葸的l z o ，z i ) d 希口e 【0 ，lj ，亏朦正鞅 丽( t ) 垒5 面( ) + ( 1 一e ) e p o i ，( t ) 】， 及 z ( t ) 垒z l ( t ) + ( 1 一e ) e 跏1 p ( 7 ) 1 j r ( f ) 】，t l o ，了1 因为 础) = 篇器和即) _ ， 我们有 ( 1 一卢) 面( ) 两z l ( 百t ) ( 1 - f 入) 玩( t ) ， o t r ( 2 1 4 ) 不等式( 2 ，1 4 ) 的左右两边分别乘以s 后得到的式子与不等式( 2 1 0 ) 的左右两边分别乘以 1 一e 后得到的式子相加得 ( 1 刊黜) 鬻 一，定义 a 2 = a ( 一r o ( ) + b ，一r 1 ( 勺) ) ) 我们可以类似于引理2 3 和引理2 4 的证明，得到a 1 和a 2 满足引理2 , 3 和引理2 4 那么 由引理2 5 的证明，我们有 ( 酬s u p 印e 一粼( r 0 ( 小) r 1 ( 训由( 1 叫瑚【- z o r 0 ( 小z 1 ( ) 粥 - 粥印e 【瑞( r 0 ( 功) + 晰) r l ( 训纠1 叫+ 倒疡( 枷瓶) 蝎( ) 湍 令e l0 和b lh t o 。( f o ，f 1 ) ，我们得到引理2 7 口 定理2 2 设rr o ，r l ，是一个美式未定权益，且假设2 j 和假设2 3 满足，那么我们 得到下套期保值价格 ( r 0 1 r 1 ) = s ，u 削p 酃i n l ) f 。e ( 粥( f 0 ( r ) + r ( 皿 = s ，u 削p 玩鹅。e 【鬻( 酬州帆( r ) ) 1 、 1 8 复旦大学硕士学位论文 证明：由引理2 2 ，我们有 ( 诽s u p 。e 一粥( f 0 圳小时) ) 】( 蒜。即粥( r 0 州r ) r l ) ? 竹 因此 s 哪u p ( 硎i n f 吼e 【粥( 州+ r ( r ) 州) 】 0 是美式未定权益( r o ，r 1 ) 在= 0 时刻的一个的市场价格我们 说市场中存在套利，若下列两者之一成立 对某个z ( 0 ，u ) ，存在一对( 厶m ) a ( z ，0 ) ，有 x 。，厶，m ( 7 - ) + ( 1 一p ) y o m ( 7 i ) 一f o ( r ) 一( 1 一p ) r l ( 丁) 0 及 x z , l , m ( r ) + ( 1 + a ) y o , l , m ( 7 - ) 一f o ( r ) 一( 1 + a ) r l ( r ) 0 ， v r f 扣妙对某个。 m ，存在停时r 和一对( 三，m ) a ( z ，0 ) 有 x - x , l , m ( 丁o ) + ( 1 一p ) y o , l , m ( t b ) + f o ( r o ) + ( 1 一弘) r l ( ) 0 及 x - x , l , m ( 码) + ( 1 + a ) y o m ( 勺) + r o ( - o ) + ( 1 + 为i 、l ( 匈) 0 定义2 6 的( i ) 和( i i ) 的经济意义是非常清楚的对定义2 6 的( i ) ，一个代理人可以 在t = 0 时刻以价格u ( u 霉) 卖出未定权益，那么卖出者可以用价值z 构造一个投资策 略，使他能够无风险的履行对买方的义务因此他可以得到t 一。的无风险收入，这是一 个套利机会对定义2 6 的( i i ) ，买方可以借x ( z u ) 。仅仅用来买未定权益，自己得 到无风险收入z 一札，用x 来构造一个投资策略，使他能在选定的丁- 时刻来偿还他的债务， 这又导致了一个套利 由定义2 6 ，我们很容易得到一个与c v i t a n i c 和k a r a t z a s 6 】的第3 3 3 页的引理类似 地结果 1 9 复旦大学硕士学位论文 引理2 8 设u 0 ，则有- y ，1 两条成立 若u u ( r o ，f 1 ) r “的定义见引理2 j ，对任意的y u ，有y u ( r o ，r 1 ) 一印若札c ( r 。，r 1 ) 仁的定义见引理2 ，剀，对y f 0 ，“】，有y ( r o ，r 1 ) 证明：我们先来证明( i ) 若u u ( r o ，f 1 ) ，则存在投资策略( l ，m ) 上套期保值未定权益( r o ，r 1 ) ，对任意的u ， 我们可以初始财富y 建立一个投资策略，即用其中的价值为u 的资产以投资策略( l ，m ) 来 投资，剩余的蓼一u 我们存入银行获得无风险收入，我们以这种方式建立的投资策略上套 期保值( 1 1 0 ，r 1 ) ，所以y u ( r o ，f i ) 同样我们可以证明( i i ) 口 由引理2 8 ，我们得到如下定理 定理2 3 设u 0 是美式未定权益( r o ，r 1 ) 在t = 0 时刻的一个的市场价格则当 “毛 f 。， 。】时，市场中存在套利；当t f 。， 。】时，市场无套利 证明：若 q ，对任意的y 属于( & ，) ，由引理2 8 ，我们有# “，且定义 2 6 的( i ) 是成立的因此存在套利同样地，若乱 h t 。，对任意的y 属于( u ， 。) ，我 们有g c ，且定义2 6 的( i i ) 是成立的因此也存在套利 现在我们假设九! 。u h 。，若定义2 6 的( i ) 是成立的，则由九。的定义，我们有 。y u ，矛盾若定义2 6 的( i i ) 是成立的，我们用类似地方法可以得到矛盾所以 当“m 。， 。爿时，市场元套利 口 由定理2 3 知道，当价格u 属于。，h 】时，市场无套利当价格u 不属于 f 。，f l 。一 时，市场中存在套利，所以我们称h 。， 。 是无套利区间 第三章有特殊交易费的美式未定权益的套期保值 3 1 市场模型 我们考虑一个有d + 1 种资产的金融市场 满足： l d s o ( t ) = s o ( t ) r ( t ) d t i 岛( o ) = 1 其中一种资产称为债券，其价格过程岛( - ) 0 t z 一一1 ( 3 1 ) 剩余的d 种资产为风险资产，称为股票设第i 种股票每股股票的价格最( ) 满足的方程 为： r d j 幽( f ) = s l ( 。陬。瑚+ 吾o ) d 。) 】( 3 _ 2 ) i & ( o ) = s ；( 0 ，o 。) ， = 1 ，dw = ( w ，1 ( t ) ，w j ( t ) ) + ，0 t t ) 是完备概率空间( n ，p ) 上的d 维标 准布朗运动