内蒙古科技大学线性代数考试标准答案及评分标准.doc

内蒙古科技大学考试标准答案及评分标准内蒙古科技大学2006 /2007 学年第二学期课程名称：线性代数B卷 考试班级：06级(本科) 工科各专业课程号：10132105 考试方式： 闭卷考试时间：2007年 月 日 时 分至 时 分 标准制订人 :何林山一 填空（每空3分共24分）1若A，则行列式|A|= 12 ，|A|= 144 ； 2 向量组：，是线性 无 关的，而向量组：， 是线性 相 关的。3 设A=， ，如果行列式|A|，则秩R（A，b）= n ，并且非齐次线性方程组有 唯一 解（填唯一或无穷多）。4.设两向量：， 10 。二 选择题（共4题，每题4分，共16分）1 设A是可逆n阶方阵，： B 。A. 行列式 B. C. D. A的n个列向量线性无关2设A、B是已知的n 阶方矩阵，X是未知矩阵，且|A| ，则矩阵方程AX=B中的未知矩阵X= B 。A. B. C. D.3设齐次线性方程组 的基础解系含有2个向量，则秩R（A）= D 。A.0 B. 1 C.2 D .3 . 4设A是齐次线性方程组只有零解的充要条件是 A A A的n个列向量线性无关 B. A的n个列向量线性相关C. A的m个行向量线性无关 D. A的m个行向量线性相关 三 计算题（共2题，每题10分,共20分）1设A 求 A+AT , 。解 2 设 矩阵A由方程 四 解答题（共2题，每题10分,共20分）1 设向量组 ,问线性表示？若能，求出表示式。2 为何值时齐次线性方程组 有非零解，并且求全部解。其中c为任意常数。.10分五（本题（1）4分，（2）10分，共14分）设A= ，(2) 解 求A的特征值六（本题6分）n阶方阵A的特征值对应两个线性无关的特征向量是，证明是不同时为零的任意常数）也是对应的特征向量。内蒙古科技大学2007/2008学年第二学期线性代数考试试题课程号：10132105 考试方式：闭卷使用专业、年级：2007级工科各专业 任课教师：石萍，丁小丽，田红晓，张敏，张景，何莉敏，侯玉双,赵利云一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）1. 排列 的符号为 （ ）（A） （B） （C） （D） 2.如果已知矩阵，则下列（ ）运算结果不是阶矩阵.（A） （B） （C） （D）3. 向量组线性相关的充要条件是( )（A）中至少有一个零向量 （B）中至少有两个向量成比例（C）中至少有一个向量可用其余向量线性表示 （D）中至少有一部分线性相关4. 阶方阵可逆的充分必要条件是（ ）（A） （B） （C） （D）5. 设，是对称阵的两个特征值，是对应的特征向量，若（ ）时，则与正交 （A） （B） （C）为任意实数 （D）二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设为矩阵，为矩阵，且则_2. 设，则 _3. 已知四阶行列式中第三列元素依次为，他们的代数余子式依次为，则= 4. 已知4阶矩阵的秩,则齐次线性方程组的基础解系含_个线性无关的解向量；5. 二次型的矩阵是_三、计算题（共2题，每题6分，共12分）1. .2.已知行列式.计算：的值四、计算题（共2题，每题6分，共12分）1.已知,，求（1） （2）2. 求解矩阵方程五、计算题（8分）求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示 =,=,=, 六、计算题（14分）1求齐次线性方程组 的通解2a、b取什么值时，线性方程组 有解？对于有解的情形，求出它的全部解。七、计算题（10分）设,求正交矩阵P,使得八、证明题（4分） 证明：若为非奇异对称矩阵，则也为对称矩阵.内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准课程名称：线性代数(A卷)使用专业、年级：工科各专业，2007级考试时间：2008年7月11日 标准制订人：公共数学教学部一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下面结论一定正确的是( C )（A）若方阵的行列式，则（B）若，则（C）若为对称阵，则也是对称阵 （D）对于任意的同阶方阵有2.有矩阵,则下列运算可行的是（ D ）（A） （B） （C） （D） 3.设有个维向量构成向量组，下列叙述正确的是（ B ）（A）若，则向量组线性相关； （B）若对于任意一组不全为零的数，都有，则向量组线性无关；（C）若向量组线性无关，则对于任意一组不全为零的数，都有 ； （D）若，则向量组线性无关4. 阶矩阵与实对角阵相似的充要条件是（ B ）（A）为实对称矩阵 （B）有个线性无关的特征向量（C）有个特征值 （D）为零矩阵5. 二次型的矩阵是（C ） （A） （B） （C） （D）二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 已知是五阶行列式中带正号的项，则 3 ， 5 2. 设为三阶行列式且，则其伴随矩阵 4 . 3. 已知，且满足，则4.若且，则 3 .5.设是阶矩阵的特征值，则三、计算题（共2题，每题6分，共12分）1. 解： 6分2. 已知行列式.计算：的值解： 6分四、计算题（共2题，每题6分，共12分）1. 已知求（1） （2） 解：(1) 3分(2) 3分2. 已知，其中，求解：由知：又且所以 故= 6分五、计算题（8分）求下面向量组的秩及其一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 解：令 从行阶梯形中知向量组的秩且其一个最大无关组为 （答案不唯一） 5分把行阶梯形进一步化为行最简形得 由行最简形知（不唯一） 3分六、计算题（共2题，每题7分，共14分） 1求齐次线性方程组 的通解解：1.由系数矩阵 知，所以齐次线性方程组有无穷多解。选择自由未知量得同解方程组 令得通解： （答案不唯一） 7分2已知向量组，及向量 问向量能否由向量组线性表示？若能，求出其表达式解： 由于所以，向量能否由向量组线性表示； 假设存在一组数使得由于，从而此方程组有唯一解；即 7分七、计算题（10分）设矩阵，求：（1）的特征值及特征向量； （2）求相似变换矩阵，使得（3）求解：（1）令得特征值为 3分当时，解齐次线性方程，由 得对应的特征向量 （答案不唯一） 当时，解齐次线性方程，由 得对应特征向量 （答案不唯一）3分（2）构造相似变换矩阵使得 （答案不唯一） 2分（3）由（2）的结果知：且 所以，故 2分 八、证明题（4分） 设方阵满足，证明可逆并求. 证明：从而可逆且 内蒙古科技大学2007/2008学年第二学期线性代数考试试题课程号：10132105 考试方式：闭卷使用专业、年级：2007级工科各专业 任课教师：石萍，丁小丽，田红晓，张敏，何莉敏，侯玉双一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下面结论一定正确的是( )（A）若方阵的行列式，则 （B）若，则（C）若为对称阵，则也是对称阵 （D）对于任意的同阶方阵有2.有矩阵,则下列运算可行的是（ ）（A） （B） （C） （D） 3.设有个维向量构成向量组，下列叙述正确的是（ ）（A）若，则向量组线性相关； （B）若对于任意一组不全为零的数，都有，则向量组线性无关；（C）若向量组线性无关，则对于任意一组不全为零的数，都有 ； （D）若，则向量组线性无关4. 阶矩阵与实对角阵相似的充要条件是（ ）（A）为实对称矩阵 （B）有个线性无关的特征向量（C）有个特征值 （D）为零矩阵5. 二次型的矩阵是（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 已知是五阶行列式中带正号的项，则 ， 2. 设为三阶行列式且，则其伴随矩阵 .3. 已知，且满足，则 .4.若且，则 .5.设是阶矩阵的特征值，则 .三、计算题（共2题，每题6分，共12分）1.2.已知行列式.计算：的值四、计算题（共2题，每题6分，共12分）1.已知，求（1） （2）2. 已知，其中，求五、计算题（8分）求下面向量组的秩及其一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 六、计算题（共2题，每题7分，共14分） 1求齐次线性方程组 的通解2已知向量组，及向量，问向量能否由向量组线性表示？若能，求出其表达式七、计算题（10分）设矩阵，求：（1）的特征值及特征向量； （2）求相似变换矩阵，使得，（3）求八、证明题（4分）设方阵满足，证明可逆并求. 内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准课程名称：线性代数(B卷)使用专业、年级：工科各专业，2007级考试时间：2008年月日 标准制订人：公共数学教学部一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）1. 排列 的符号为 （ D ）（A） （B） （C） （D） 2.如果已知矩阵，则下列（B ）运算结果不是阶矩阵.（A） （B） （C） （D）3. 向量组线性相关的充要条件是( C )（A）中至少有一个零向量 （B）中至少有两个向量成比例（C）中至少有一个向量可用其余向量线性表示 （D）中至少有一部分线性相关4. 阶方阵可逆的充分必要条件是（ A ）（A） （B） （C） （D）5. 设，是对称阵的两个特征值，是对应的特征向量，若（ A ）时，则与正交 （A） （B） （C）为任意实数 （D）二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设为矩阵，为矩阵，且则_8_2. 设，则3. 已知四阶行列式中第三列元素依次为，他们的代数余子式依次为，则= -15 4. 已知4阶矩阵的秩,则齐次线性方程组的基础解系含_1_个线性无关的解向量；5. 二次型的矩阵是三、计算题（共2题，每题6分，共12分）1. .解：原式 6分2.已知行列式.计算：的值解： 6分四、计算题（共2题，每题6分，共12分）1.已知,求（1） （2）解：(1) 3分(2) 3分2. 求解矩阵方程解： 4分 2分五、计算题（8分）求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示 =,=,=, 解：令从行阶梯形中知向量组的秩且其一个最大无关组为 （答案不唯一） 5分把行阶梯形进一步化为行最简形得 由行最简形知 （答案不唯一） 3分六、计算题（共2题，每题7分，共14分）1求齐次线性方程组 的通解解：由系数矩阵 知，所以齐次线性方程组有无穷多解。选择自由未知量得同解方程组 令得通解： （答案不唯一） 7分2a、b取什么值时，线性方程组 有解？对于有解的情形，求出它的全部解。解： 由于线性方程组有解的充要条件为，所以，必有此时知，所以齐次线性方程组有无穷多解。选择作为自由未知量得同解方程组 令得通解： 7分七、计算题（10分）设,求正交矩阵P,使得解：令得特征值为 4分当时，解齐次线性方程，由 得对应的特征向量 单位化得 （答案不唯一） 当时，解齐次线性方程，由 得对应特征向量 显然 正交，将其单位化得 （答案不唯一） 4分构造正交变换矩阵使得 （答案不唯一） 2分 八、证明题（4分） 证明：若为非奇异对称矩阵，则也为对称矩阵.证明：.故为对称矩阵.故为对称矩阵. 4分内蒙古科技大学2008/2009学年第二学期线性代数(工科)考试试题课程号：68132105考试方式：闭卷使用专业、年级：工科08各专业任课教师：考试时间：备 注：一、选择题，每题5分，共6题，30分。(1)、设为n阶方阵，下面结论正确的是：( )A、 B、如果 均可逆,则C、若,则 D、若则必有或(2)、若均为方阵，则必有（ ）A、 B、 C、 D、(3)、n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ ）A、 B、 C、 D、(4)、n阶方阵A不可逆，则下列结果正确的是 ( )A、A的特征值全不为0 B、C、 D、A为非奇异矩阵。(5)、的列向量组线性无关，且则下面结果不正确的是 ( )A、行向量组的秩为m B、矩阵A的秩为mC、线性方程组有非零解；D、行向量组线性相关(6)、向量组 线性相关的充分必要条件是( )A、 中至少有一个零向量B、其中至少有一个向量是其余个向量的线性组合C、中至少有两个向量成比例D、都不是零向量二、填空题，每空3分，共10空，30分。(1)、设,则( ), A的逆矩阵为（ ）。(2)、设是已知的n阶方阵，且,则矩阵方程 中的未知矩阵X为（ ）。(3)写出二维单位向量（ ）;二维向量将表示为的线性组合（ ）。(4)、阶线性方程组,分别为系数矩阵的秩及增广矩阵的秩，则当（ ）无解，当（ ）有唯一解 ，当（ ）有无穷多解(5)、已知，则（ ）。(6)、三阶方阵A的特征值为，则 为（ ）。三、计算题（每题10分，共40分）(1)、设矩阵, 求（1）、;（2）、（2）线性方程组：,取取何值时方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。（3）设 证明（1）证明此向量组线性相关；（2）、求其秩，并找出一个最大线性无关组，把其余向量用此最大线性无关组表示。（4）设 ,求正交阵， 使A对角化。线性代数B卷参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1、C 2、D 3、A 4、C 5、C 6、B二、填空题（每题3分，共30分）（1）1，； （2）; (3) （4）， ；（5）-3；（6）6.二、计算题（共3题，共40分，前两题各10分，最后一题20分）1、解： ,则.2、解： 因系数矩阵A为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是而 因此，当且时，方程组有唯一解。当时 知，故方程组无解当时知，故方程组有无穷多个解，且通解为 3、解：由于成比例，则此向量组必线性相关。将向量组所对应矩阵，经过初等行变换化为行最简行则线性无关，且有。4、解：求A的特征多项式,则A的特征根为（二重），。对，,可得它的一个基础解系为,将其正交单位化后得，对，可得它的一个基础解系为，单位化后得则所求正交阵为。内蒙古科技大学2008/2009学年第二学期线性代数(工科)考试试题课程号：68132105考试方式：闭卷使用专业、年级：工科