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许广元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究 摘要 玻色爱因斯坦凝聚( b e c ) 作为一类涉及物理学许多领域的物理现象，具有很 重要的基础研究意义和美好的应用前景。自从玻色爱因斯坦凝聚( b e c ) 在实验上 实现以后，b e c 就成为研究强关联系统的各种量子多体效应的平台，激发了许多 新的研究领域。2 0 0 4 年首次在实验上实现了玻色子的费米化( t 0 n k s g i 删旧e a ug a s 简称t g 气体) ，这引起了学者们的广泛关注，成为近几年来物理学研究的一个热 点。促进了量子信息、量子计算、量子相干以及强关联现象的研究。 目前，对于t g 气体的研究侧重于均匀的超冷玻色气体，采取的外部囚禁势多 数是谐振子势和光晶格势，在理论和实验上研究的也相对成熟了。但对于非均匀 的超冷玻色气体，目前研究的相对比较少。本文提出一个不均匀的漏斗势，将超 冷玻色气体装载到漏斗势中。我们使用变分的方法来研究漏斗势中超冷玻色子动 力学特征和费米化的条件。 本文包括四个部分：第一章中简单介绍了t g 气体这种新颖的量子态、t g 气 体的理论模型以及t g 气体的实验研究现状。第二章主要从理论和实验上阐述了在 谐振子势和光晶格势中超冷玻色气体的性质。第三章用变分的方法来研究漏斗势 中超冷玻色气体的性质。研究表明，随着纵横比增加，漏斗势中纵向的密度发生 了有趣的变化，超冷玻色气体经历了费米化。与细长的谐振子势比较，发现囚禁 于漏斗势中的超冷玻色气体很容易实现从三维的体系过渡到一维的体系。漏斗势 中的超冷玻色气体进入t g 区域，随着囚禁原子数的增加，动量分布的峰值变得越 尖。接着从三维的g r o s s p i t a e v s 婶方程出发，推导出一维的非线性薛定谔方程， 可以很好的描述漏斗势中超冷玻色气体的轴向动力学。最后讨论了在实验上实现 漏斗势中玻色子费米化的可行性。本文研究的结论可以为实验上的实现提供一定 扬州入学硕七学位论文 的理论依据。第四章我们对论文的工作做了一个简单的总结和对以后研究做个展 望。 关键词：费米化，漏斗势，超冷玻色气体，变分方法，玻色爱因斯坦凝聚 许广元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究 a b s t r a c t b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ( b e c ) i sap h e r l o m e n o nr e l a t e dt om a i l yf i e l d si i l p h y s i c s ni sv e 巧i m p o r t 趾tr 1 0 to i l l yf o rb a s i ct h e o r e t i c a lr e s e a r c hb u ta l s of o rt h e p r o m i s i n g 印p l i c a t i o n si nt e c h n i q u e s s i i l c eb e cw a sr e a l i z e di i le x p e r i m e n t s ，i th a s b e c o m ea ni n v e s t i g a t e dp l a t f o mf o rv a r i o u se 任e c t so fq m t u mm a n y - b o d yi n t e r a c t i o n i ns 仃o n 9 1 yc o r r e l a t e ds y s t e m sa n dh a ss t i m u l a t e dm 锄yn e wr e s e a r c hf i e l d s 1 1 12 0 0 4 ， t b r 出s - g i m r d e a u g a s w a u s f i r s t l y a c m e v e de x p e r i m e n t a l l y i th a sa 阻c t e d m a n y r e s e a r c h e r s a _ t t e n t i o n sa n dh a st 啪e di m oah o tt o p i ci nr e c e n tp h y s i c sf i e l d nh a sa l s o p r o m o t e dt l l e r e s e a r c ho fq 啦岫i n f o 加：l a t i o n ，q w m t 啪c a l c u l a t i o na i l dq m 咖 c o h e r e n c e ，a sw e ua st h er e s e a r c ho f 蛐r o n gc o r r e l a t e dp h e n o m e n a s o 矗玛t h er e s e a r c h e so ft gr e g i m eh a v eb e e nf o c u s e do nt h eh o m o g e n e o u s u l t r a c 0 1 db o s eg a s ，e x t e m a lt r a p p e dp o t e m i a la r em a i l l l yh a n n o i l i co s c i l l a t o rp o t e n t i a l a n do p t i c a ll a n i c ep o t e n t i a l ，、) l ，! i l i c hh a v er e l a t i v e l ym a ：t i l r e di nm e o 巧a n de x p e r i m e n t h o w e v e r ，m ef e 肌i o i l i z a t i o no fi i l l l o m o g e n e o u su l t r c o l db o s eg a si sn o tn e a r l ys t u d i e d i nt l l i sp a p e r ，w ep r o p o s ea ni r l l l o m o g e n e o u s 如n n e lp o t e n t i a l ，a 1 1 du l t r a c o l db o s eg a si s l o a d e di i lm 1 1 1 1 e lp o t e n t i a l w ea p p l yt h ev a r i a t i o n a lm e t l l o dt os t u d yt h ed y n 锄i c a l f e 绷【1 1 e sa i l dc o n d i t i o i l so ff e m i o i l i z e db o s eg a u s t h em e s i si sc o n s i s t e do ff o u rc h a p t e r s c h a p t e ro n ei sb r i e n ya 1 1i 曲d u c t i o no f t h en o v e lq u a m m ns t a t e - t gg 嬲a n di t s 协e o r ym o d e la i l di t se x p e r i m e n t a lr e s e a r c h i i l c h 印t e rt w o ，w em a i n l yi m r o d u c e l en a t l l r eo fu l t r a c 0 1 db o s eg a si 1 1t h eh 锄l o i l i c o s c i l l a t o rp o t e n t i a la n do p t i c a ll a t t i c ep o t e n t i a lt h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e m a l l y i n c h 印t e rt l l r e e ，w es t u d yt 1 1 en a t u r eo fu l 舰c o l db o s eg a si nt l l e 向1 1 1 1 e lp o t e n t i a lt h r o u 曲 v a r i a t i o n 甜m e t h o d t h er e s u l t ss h o wt h a ta sa s p e c tr a t i oi i l c r e a l s e s ，t l l el o n g i t u d i i l a l d e n s i t ) ，h a sc h a n g e di n t e r e s t i n g l yi n 如r u l e lp o t e n t i a l ，a n du l t r a c 0 1 db o s eg a se x p e r i e n c e s t h ep r o c e s so f f e m l i o m z a t i o n c o m p a r e dw i t h1 1 i 曲l ye l o n g a t e dh a n n o i l i cp o t e m i a l ，i ti s e a s i e rt or e a l i z ec r o s s o v e rf 而mt h et h r e e - d i m e n s i o i l a lr e g i m et ot h eo n e - d i m e n s i o n a l r e g i m ef o ru l t r a c o l db o s eg a s i i lm r m e lp o t e n t i a l l u l 仃a c 0 1 db o s eg a se n t e rm et g r e g i o ni nm r u l e lp o t e n t i a l ，t h ep e a k so fm o m e d i s t r i b u t i o nb e c o m es h a r p e rw i t l lt h e n u m b e ro fa t o m s i n c r e a s i n g b e s i d e s ，s t a 】t i n g f r o mt l l et 1 1 r e e - d i m e n s i o n 扬州人学硕士学位论文 g r o s s - p i t a e v s k i ie q u a t i o n ，w ef o u n do u tm eo n e d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rs c h 6 d i n g e r e q u a t i o n ，w h i c hc a i ld e s c r i b ed y n 锄i co fu l t r a c o l db o s eg a si nt h e 如r u l e lp o t e m i a l f i n a l l y ，w ed i s c u s st h ef e a s i b i l i 够t h a tf e n l l i o n i z a t i o no fu l t r a c o l db o s eg a si nf h n n e l p o t e n t i a lc a nb er e a l i z e de x p e r i m e n t a l l y t h ec o n c l u s i o n so ft h i sp a p e rc a j lp r o v i d ea t h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h ee x p e r i m e n t a lr e a l i z a t i o n i nc h a p t e rf o u r ，w em a k eas u m m a 巧 o fo u rw o r ka j l ds o m e p o s s i b l er e s e a r c h e sf o r 如t u r ei n “sf i e l d k e yw o r d s ：f e m l i o n i z a t i o n ，如n n e lp o t e m i a l ，u l t r a c o l db o s eg a s ，v 撕a t i o n a lm e t h o d ， b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) 扬州人学硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 、乃 、企 学位论文作者签名：御) 乙 ， 签字日期：p 学年6 月fj 厂日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名： 洲乏 i 签字日期： d g 年厶月f 厂日 导师躲芎是玖泵 签字日期： 啦年月c r 日 许广元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究 三 第一章绪论弟一早三百y 匕 1 1 引言 上世纪初，在黑体辐射和光电效应的研究中提出量子概念，光的量子被称为光 子。1 9 2 4 年，年青的印度物理学家玻色( s b o s e ) 提出黑体辐射是光子理想气体的 观点，人们可以不依赖经典电动力学而导出了普朗克黑体辐射定律【l 】，并将这一结 果寄给爱因斯坦( a e i n s t e i n ) 。爱因斯坦亲自把手稿译成德文送去发表，并在文末 中加注说明：“我以为对普朗克公式地推导乃是一项重大进步，所用方法也将导致 理想气体的量子理论，我将另行阐述”。爱因斯坦于1 9 2 4 年和1 9 2 5 年发表两篇文 章，将玻色对光子的统计方法推广到全同粒子理想气体，并预言当这类原子的温 度足够低时，那么所有无相互作用的玻色子会突然在最低能量量子态上聚集，在 这种状态下，所有的原子如同一个整体，具有完全相同的物理性质，物质的这一 状态后被称为玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，简写为b e c ) 【2 3 】。当 时相变也没有作为一类深刻的物理问题，人们自然未意识到b e c 首次由统计物理 学推导出的一个相变现象。研究b e c 的重大意义在于，由于所有凝聚体中的原子 严格保持行动上的一致，这使得原来单个原子所表现的难以被观察到的行为被放 大出来，这样在凝聚体上可以发现大量的新现象，引起原子物理、量子光学和多 体理论等领域的物理学家的极大关注。 事实上物理学家也不知道到哪罩去寻找这类凝聚现象，但是又由于这个理论预 言的奇妙性，引起了的实验物理学家的广泛兴趣，然而实现b e c 的条件极为苛刻， 一方面希望达到极低的温度，另一方面还要求原子体系处于气态。物理学家都希 望能够在实验上观察到这种物理现象，但是由于找不到合适的实验体系以及实验 技术的限制，大多数物质体系在达到b e c 之前就转变为液相或固相了。因此，早 期玻色爱因斯坦凝聚的实验研究十分缓慢，并主要集中在实验物质的选择上。1 9 3 8 年，伦敦( l l o n d o n ) 提出超导和超流现象可能是b e c 的表现【4 5 】，这时玻色爱因 斯坦凝聚才引起物理学界的重视，然而这两类现象都发生在强相互作用体系中， 由于粒子间的强相互作用而导致b e c 相变的纯量子统计特性复杂化，很难看成是 扬州大学硕十学位论文 纯的b e c ，从而促使人们去寻求在稀薄的、弱相互作用下的玻色气体中实现b e c 。 1 9 5 9 年芝加哥大学的h e c h t 提出用白旋极化的氢原子气体作为玻色爱因斯坦凝聚 体系1 6 】，因为这是最简单的稀薄的、弱相互作用下的玻色原子气体，但是在实验上 一直进展不大。1 9 8 0 年法国巴黎的h u l i n 提出用氧化亚铜中的激子进行玻色爱因 斯坦凝聚实验【7 】。经过1 0 多年的努力，1 9 9 3 年美国伊利诺斯州立大学的研究小组 报道了有关的实验结果【8 】，可是由于复杂的相互作用过程，b e c 特性仍然得不到 很好的研究。但是在以上的玻色爱因斯坦凝聚体中，由于相互作用太强，或是强 关联，在理论上不容易处理。而气态原子b e c 属于弱相互作用玻色气体，相互作 用在理论上较容易处理，物理学家把注意力放在利用碱金属气体原子实现b e c 。 对于碱金属原子而言，如果要使其原子间的相互作用很弱，那么原子的密度必须 很小，温度必须足够低，这就需要寻求一种新的冷却方法。 随着实验技术取得长足的进步，特别是激光冷却和束缚中性原子技术( s c h u ， c c o h e n t a n n o u 蛳和w d p h i l l i p s 因此分享了1 9 9 7 年诺贝尔物理学奖) 及蒸发冷 却技术的发展，为玻色爱因斯坦凝聚的实验研究提供了成功的条件。几个研究小 组提出了冷却的碱金属原子可以形成只有很弱相互作用的b e c ，在不断解决实现 b e c 的一系列技术难题后，1 9 9 5 年6 月，美国科罗拉多大学实验天体物理联合研 究所( j i l a ) 和国家标准技术研究所( n i s t ) 的c e w i e m a n 和e a c o m e l l 的研究小 组在磁光势阱( 如图1 1 所示) 中，首次直接观测到铷( 彤7 r b ) 原子蒸汽的玻色爱因斯 坦凝聚，如图1 2 所示【9 】。实现b e c 的实验步骤大体如下：首先利用激光冷却和 囚禁技术获得大数目、高密度的超冷玻色原子气体；然后将样品装入静磁阱中； 在利用射频蒸发冷却技术进一步冷却原子团；最后利用光学手段检测是否形成 b e c 。由上述过程可知实现b e c 有四种重要的实验技术，激光冷却和囚禁技术、 静磁阱技术、蒸发冷却技术和共振吸收成像技术。1 9 9 5 年1 1 月麻省理工学院的 k e t t e r l e 研究组在钠( 2 3 n a ) 原子蒸汽中实现了b e c 【10 1 。由于b e c 实验的成功实现， 美国科学家e a c o m e l l 、美国科学家c e w i e m a n 和德国科学家w k e t t e r l e 分 享了2 0 0 1 年的诺贝尔物理学奖。1 9 9 8 年自旋极化氢原子气体的b e c 也被观察到 ，这使物理学家们对量子简并气体的b e c 研究进入一个全新的阶段。随着在实 许j 一元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究三 图1 1 ：玻色爱冈斯坦凝聚磁光势阱的装置示意图，入束直径为1 5 c 聊的激光相交于室中心， 气室外沿z 轴方向有两个线圈，线圈中通有方向相反的电流产生火小与坐标位置相关的1 f 均 匀磁场。 图1 2 ：1 9 9 5 年，c o n e l l 和w i e m a n 领导的小组在玻色爱冈斯坦凝聚实验中h j 吸收成像法测得 的8 7 r b 原子的速度分布图。最左边的对应丁凝聚体形成前，原子为均匀球对称分布；中间的 是凝聚体形成以后，中心突出部分为b e c ，由丁i 磁阱的不对称性，b e c 成压扁状，其边缘为 对称分布的热原子；最右边的是进一步蒸发冷却后留卜的纯粹的凝聚体幽，边缘儿乎没有热原 子。 4 一 扬州大学硕+ 学位论文 验上实现玻色爱因斯坦凝聚方面取得了突破，这个领域经历着爆发性的发展。越 来越多的研究小组在稀薄的碱金属原子气中实现了玻色爱因斯坦凝聚。同时我国 中科院上海光机所量子光学重点实验室王育竹院士率领的课题组经过三年的艰苦 努力，终于在2 0 0 2 年成功地观察到了铷原子的玻色爱因斯坦凝聚现象【l2 1 ，成为 国内首次实现玻色爱因斯坦凝聚的实验室，接着北京大学和台湾中正大学相继实 现了b e c ，表明我国的激光冷却原子实验物理研究已跨入国际先进行列。 碱金属原子气体玻色爱因斯坦凝聚在实验上具有很强的可操控性，很快就成 为实验和理论物理学家们关注的研究对象，并作为研究各种物理现象的理想载体， 激发了许多新的研究领域( 量子多体理论、量子计算、非线性物理等) ，超冷量子气 体就从理论研究发展成为一个成熟的实验领域，大量的b e c 实验用不同种类的原 子和外部束缚完成。从那时起，b e c 就成为研究强关联系统的各种量子多体效应 的平台。许多科学家通过一个或两个方向上把原子约束到只有零点振动，从而制 备了准二维和准一维束缚气体【1 3 ，l4 1 ，这样的气体同真正的二维或一维气体的区别 仅限于前者的原子间相互作用是同外部束缚势有关的。当在其它方向上加上束缚 势时，我们可以研究二维或一维束缚气体。最近几个组通过把量子气体装载到光 晶格中或者改变势阱的束缚强度实现一维t o n k s g i r a r d e a u 气体【1 5 16 1 ，对于不同的 实验参数原子会发生凝聚或者处于t o n k s g i r a r d e a u 区域。 在高温超导机理的研究中，a n d e r s o npw 曾提出过所谓l u 仕i n g e r 液体理论。 该理论基于早年l 眦i n g e r 研究过的“一位精确可解玻色子系统”。在这一理论中， 元激发谱与高维系统有本质差别，并且与玻色子之间的相互作用密切相关。这样 一个系统的实验模型是在上个世纪6 0 年代，由l e w it o i l l ( s 和m a r v i nd g i r a r d e a u 两位物理学家提出【1 7 ，18 1 ，该模型以两位物理学家名字命名，被称为 t o n k s g i r a r d e a u ( 简写t g ) 气体模型，它是最简单的强关联量子系统，在这个一维 的系统中玻色子表现出费米子的行为，即玻色子的费米化( f e 肌i o n i z a t i o n ) 。这引起 了理论物理学家和实验物理学家极大的兴趣。l i e b 和l i n i g e r 首先得到了万一相互 作用的玻色气体的精确解，他们研究的模型是周期边界条件下【1 9 】，而开边界条件 的精确解由m g a u d i n 给出【2 0 1 。之后，c n y 抽g 等研究了排斥相互作用的一维玻 许广元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究三 色系统的热力学性质以及自旋1 2 的费米子系统【2 1 2 2 1 。在实验上实现b e c 之后， 许多理论开始关注低维玻色气体，m o l s a l l i i 计算了一维玻色气体在外势中的散射 问题 2 3 】，m g i 捌r d e 籼运用b o s e f e m im a p p i n g 技术对处于强相互作用区域的玻 色气体和费米气体进行了系统的研究【2 4 】。近期，m 鼬g o l 等用精确的数值方法研 究一维原子气体的相变、基态性质和硬核玻色气体的费米化等各种物理性质【2 5 乏7 】。 t g 气体模型指出，相互排斥的超冷玻色原子气( 密度充分稀) 被限制在一维运动， 原子的相互作用可由外加电磁场参数调节，从弱相互作用区域发展到强关联区域。 尽管理论上研究已经相当成熟，但是t g 气体模型一直未能在在实验上得以实现。 2 0 0 4 年德国马克斯普朗克量子光学研究所的b p a r e d e s 博士等人对于让玻色 子具有费米子的行为提出两个设想，第一个设想是将玻色爱因斯坦凝聚体( b e c ) 做旋转运动，由于各个原子具有各种不同的角动量，因此b e c 就有了不同的低能 态，将对b e c 旋转的速率控制在一个适当的数值上，使得由角动量带来的能量盈 余正好与旋转相互抵消，而使所有原子都处于相同的低能态，这时原子间将不得 不减少相互排斥，并接受角动量的微小差异，就像费米子一样。在这个设想中， 利用激光或力学装置来旋转b e c 并不困难，但要观察到玻色体系的费米化却有一 定的困难，因为这时系统只能保持少量原子，例如5 个左右，而不是常规的1 0 0 0 0 个原子，所以要完成这个设想是很困难的。他的第二个设想是旋转一个光学点阵， 即利用光学网络构成一个原子阱，每个阱内只含有5 个原子，这种状态在实验上 是可以实现的，同时旋转光学点阵后将会发出比旋转b e c 要强得多的信号。他们 首次在实验上成功地实现了t g 气体。 专家学者认为，b p a r e d e s 等制备t g 气体的实验所展示的一维量子控制将能 促进量子信息、量子计算、量子相干以及强关联现象的研究。 t g 气体在实验上的成功实现，再次激发了学者们的研究兴趣。无论是理论还 是实验上的研究，t g 气体都是当前一个重要的研究热点。 1 2t o n k s g i r a r d e a u 气体一新颖的量子态 在微观世界中，粒子按统计性质可分为两类；一类是玻色( b o s e ) 子，另一类是 6 一 扬州人学硕七学位论文 费米( f e 肌i ) 子。在“基本粒子中，自旋量子数是整数的粒子，例如光子、兀介子 和0 【粒子是玻色子；自旋量子数为半整数的粒子，例如电子、子、质子、中子等 自旋量子数都是1 2 ，是费米子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是由玻 色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子，由 奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。例如1 h 原子、2 h 核、4 h e 核、4 h e 原子 等是玻色子，2 h 原子、3 h 核等是费米子。由费米子组成的系统称为费米子系统， 遵从泡利不相容原理，如果将许多费米子放入一个体系内，那些处于其中的费米 子必须具有不同的位置或量子态，即两个费米子不能有完全相同的量子态。由玻 色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束。因此由多个全同近 费米子玻色子 独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一体量子态的玻色子数目是不受限制的。 在物理世界中已经有大量实例证明，可以使费米子具有玻色子的行为，即费米子 的玻色化，例如在超导与超流实验中，让费米子配对后就能使它具有玻色子的行 为特征。但是还没有反过来的实例，即让具有不可分辨性的玻色子具有好挑剔的 费米子的行为特征。其实这个理论模型早在上个世纪六十年代就已经提出，对具 有接触相互作用的玻色子组成的一维均匀( 没有外部势) 多体系统的l i e b l i n i g e r 模 型，其精确解由“e b 和l i n i g e r 用b e t h ea n s a t z 方法给出【1 9 】，发现均匀玻色气体的 物理性质由一个无量纲参数y = ，馏肪2 来控制，其中g 是粒子间的相互作用强度， 聊和p 分别是原子的质量和线密度。当y 1 ，系统为弱相互作用的玻色气体( ) ，= o 表示无相互作用的玻色气体) ，虽然在一维不会发生玻色凝聚，其元激发性质仍然 和b e c 类似，甚至也预言其超流性质。当，1 ，系统进入强相互作用区域，而 y = o 。，此系统由难以渗透玻色子组成的t o n k s g i r a u r d e a u ( t g ) 体系【1 7 ，18 1 。在此区域 许广元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究 z 玻色子间短程的强排斥相互作用有着和费米子泡利不相容原理同样的效果，即阻 止两个玻色子占据相同的量子态。在一维情况下可以严格证明强相互作用的玻色 子和费米子多体系统之间存在一一对应的对偶关系。随着b e c 的实现和实验技术 的发展，在2 0 0 4 年德国马克斯普朗克量子光学研究所i b l o c k 小组和美国d s w 萌s s 小组在实验上先后用二维的光晶格实现了一维玻色系统，并在实验上观察到 t g 气体费米化的玻色原子气体，使我们可以对一维系统做更为细致的研究并 对理论进行验证。费米化的玻色子与无相互作用的费米具有相同的能量本征值、 密度分布，但是它们具有不同的动量分布，由这种费米化的玻色子所组成 t 0 n k s g i r a r d e a u 气体是一个新颖的量子态。 1 3t o n l s g i r a r d e a u 气体的理论模型 在低温下，一维玻色系统会展现出完全不同于二维和三维系统的性质。一个 显著的例子就是在有限温度时，均匀的一维玻色气体不会发生玻色爱因斯坦凝聚。 另一个显著而且与直觉相违背的特性是，在一维玻色气体中，随着气体密度的降 低，相互作用越来越重要，并且系统的性质与高维气体相比会有明显的不同，特 别是当玻色气体的密度比较低或者原子间的相互作用强度比较大的时候，系统将 类似于无自旋费米气体的性质。其理论的模型在上个世纪六十年代就已提出，该 理论模型以提出者l t 0 n k s 和m g i r a r d e a u 而命名为t o n k s g i 砌r d e a u ( t g ) 气体 费米化的玻色气体，它是一维系统中强相互作用的玻色原子气体。下面将介绍关 于t o n k s g i r a r d e a u 气体有关理论模型。 1 3 1l i e b l i i g e r 模型 二十世纪六十年代，在l e 谢t o n k s 和m a i nd 。g i r a r d e a u 提出t g 气体模型 后，e h l i e b 和w l i n i g e r 研究了万相互作用的玻色子组成的一维均匀的多体系 统【1 9 】，运用b e t h e a n s a t z 方法，得到这个系统在周期边界条件下基态的精确解。 这样的系统模型被称为l i e b l i n 逸e r 模型，此模型系统的哈密顿量为： 一篆喜叫) ， 2 聊智i 簖j 川 、7 扬州人学硕士学位论文 其中第一项是动能项，第二项是相互作用项，薯和一为两个粒子的位置。我们知 道原子间的相互作用势是原子间距离的复杂函数，原子间距离小时，电子云迭加 而产生强烈排斥力。当距离增大时则会产生由v 抽d e rw 如l s 相互作用引起的吸引 力。但是对于低温低密度的稀薄原子气体来说，三体碰撞的几率很小，原子间的 散射可以看作两体散射。在低温低密度极限下，只有在零轨道角动量态( ，- o ) 原子 散射才对整个散射振幅有贡献。在卢o 态上的原子散射称为s 波散射，其散射势可 以用一个等效的接触势来表示： 矿( x ，一o ) = g ，。万( 一x 。) ( 1 2 ) 其中g 。d 是与s 一波散射长度嘎有关的一维非线性关联常数，它表示原子间相互作用 强度。当q o 表示原子间的相互作用是排斥力；在相反的情况下( q 0 ) ，原子 间的相互作用是吸引力。在零温度，系统基态的单粒子的能量密度为： s ( p ) = 等p ( 7 ) ( 1 3 ) 其中无量纲参数y = ，增。d 肪2 ，p = 三是一维均匀系统的密度。在热力学极限 下p ( ) 由下面的积分式决定 吨) 2 南j = l g ( 小p 2 幽 ( 1 4 ) 上式中被积函数g ( xi ) 以及允( 7 ) 满足方程 咖一托糟= 去 n 5 ， 五( 7 ) = 7 上。g ( xy ) 出 其中参数y 表示玻色原子气体所处于不同的区域，当y 1 时，系统处于弱相互作 用区域，p ( 厂) 厂，适用b o g o l i u b o v 的平均场理论；而当厂1 ，系统处于强相互作 用的t o n k s g i r a r d e a u 区域，p ( 7 ) 万2 3 趋于常数，此时b o g o l i u b o v 的理论不在适 用。随着y 的增加，系统从弱关联体系过渡到强关联体系。从图1 3 可以看出上面 的性质。从而得到两个极限下原子气体的能量密度为： 许广元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究 ! y l( 1 6 ) 图1 3 ：po ) 与) ，的变化关系曲线，曲线是数值的结果；是直线p ( ) ，) = r ，是零级近似的结 果；曲线是b o g o l i u b o v 理论得到的结果。当舻1 时，曲线的渐进线是p ( 痧济3 。 图1 4 ：一维的原子分布图，在三个不同的) ，区域：上图表示原子的相干长度，和原子问的距 离，；下图表示一维原子气体的密度分布。 p ：申 d g ，一向扣譬 一 卜 、 ， 力 p 1 0 _ 一 扬州人学硕士学位论文 从上式可以看出，在强相互作用区域，玻色气体的能量密度与原子间的相互作用 常数无关。 在不同的区域，原子气体具有完全不同的性质，如图1 4 所示【1 6 】，随着y 的增 加，原子的相干长度z 变小而原子间的距离，- 变大，在强相互作用区域，玻色子与 无相互作用的费米子有很多相同之处，包括空间分布和能量，在空间上完全可以 区分，出现了玻色子的费米化，空间波函数分离；在弱相互作用区域， ，原 子气体如同量子流体一样具有长程位相相干性。实验上，可以调整原子间相互作 用强度或者原子气体的密度，从而使原子气体处于不同的区域。 1 3 2b o s e f e r m i 对应理论 m g i r a r d e a u 在1 9 6 0 年提出，在一维难以渗透的玻色子与无自旋的费米子之 间存在着严格的一一对应关系，即一维的硬核玻色子等价于无相互作用的费米子 1 8 】。这里的硬核是指当原子间的距离小于某一距离时，原子间之间存在很强的相 互作用阻止原子相互靠拢，可以很方便地用波函数所满足的一个边界条件来表示： ( x 。，x 。) = o ，如果l 五，l 口，1 _ i s g n ( x ) 是x 的代数符号，h = 1 ，这种对应关系只在一维系统成立。通过这一对应 关系可以知道，缈f 和y 8 具有相同的能量本征值，满足相同的边界条件和正规条件 许广元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究旦 ( 单值、可微、连续、有限) ，一维硬核玻色子系统不仅能谱与无相互作用的费米子 相同，而且空间密度分布也是一样的，因为密度分布只与波函数的平方有关系。 但是玻色系统的动量分布与费米子系统又不完全相同，这是因为包含的动量波函 数与傅立叶变换有关，而傅立叶变换的结果依赖于波函数的相对符号在位置空间 的不同区域。 动量分布是t o n k s g i r a r d e a u 气体的一个特征量，对于动量分布物理学家们做了 大量研究，m p t o s i 等利用t o n k s g i r a r d e a u 气体的玻色费米的对应关系，把 t o l l l ( s g i 珈d e a u 气体波函数作傅立叶变换，得出在简谐场中动量p 在较大值的分布 呈p 。4 衰减的规律，并用m o m e c a r l o 数值方法计算了两个硬核玻色子和两个无相互 作用的费米子在一维简谐势场中的动量分布，如图1 5 所示，圆圈标记玻色子的动 量分布，方块标记费米子的动量分布口8 1 。v a 坷ad u i l j k o 等对l i e b l i i l i g e r 模型研究， 动量p 在较大值的分布满足o cp 。是一个普适规律【2 9 1 ，不依赖于l i e b l i n i g e r 模型 名 0 = e o c 图1 5 ：两个硬核玻色子和两个无相互作用的费米子在一维简谐势场中的动量分布。 中的参数y ，而t g 气体( 参数y 一) 的大动量分布只是一个特例，并且与粒子是 自由的还是在简谐场中无关。对于t g 气体动量较小部分的密度分布，则具有1 万 的峰尖特征【2 9 鲫，如图1 6 所示。 1 2 一 扬州人学硕士学位论文 k z ，kf e n n l 图1 6 ：硬核玻色子与无相互作用的费米子在零温时的动量分布。 1 4t o n k s g i r a r d e a u 气体的实验研究现状 二十世纪六十年代，l e w i t o n k s 和m a i nd g i r a r d e a u 提出t g 气体理论模 型后，理论物理学家发展了许多新的理论工具对其研究，并提出在实验上实现t g 气体的各种方法。而对于实验物理学家来说，t g 气体只是理论物理学家的“玩具” 模型，一直都没能在实验上实现。随着实验技术取得长足的进步，特别是激光冷 却、束缚中性原子技术和蒸发冷却技术的发展，美国科罗拉多大学j i l a 实验室的 w i e m a n 和c o m e u 小组于1 9 9 5 年6 月在铷( 8 7 r b ) 原子蒸汽中首次观测到了b e c 【9 1 。 8 月底，美国硒c e 大学的h u l e t 小组在锂( 7 l i ) 原子蒸汽中看到b e c 。同年1 1 月， 麻省理工学院的k e t t e r l e 小组在钠( 2 3 n a ) 原子蒸汽中也观测到了b e c 【1 0 】。从这以后， 实验物理学家就以b e c 为研究强关联系统的各种量子多体效应的平台，开始致力 于t g 气体的实验研究。 在2 0 0 1 年，k e t t e r l e 小组在实验上率先实现了各向异性的超冷玻色气体【3 1 ，3 2 1 ， 即雪茄形玻色爱因斯坦凝聚。在轴对称形势阱中，发生凝聚的稀薄气体的长度标 度可以由四个物理量完全描述：径向半径r ，轴向半宽足，散射长度口，以及消 扫i s c o q e暑coeo至 许j “元：漏斗势中超冷玻色子动力学行为及其费米化的研究 旦 退长度( h e a l i n gl e n 舀h ) f = 1 4 万口。，2 。在通常的b e c 实验中，q ，尺：，孝都是由 原子间的相互作用决定的，满足关系：r i ，r ，孝口。在这个区域，b e c 是三 维的。如果调节势阱，使得系统满足尺 f r i ，即可得到雪茄形b e c 。这个实 验可以在一个i o 虢p r i t c h a r d t y p e 磁阱中完成，通过改变径向束缚频率缈和轴向束 缚频率的大小，纵横比可以达到1 0 2 个数量级。自然地，一维凝聚中的原子数 目要比三维玻色爱因斯坦凝聚低。这样的量子气体虽然在几何上实现一维凝聚， 但是它的性质仍和三维b e c 相同，依然可以用g r o s s p i t a e v s k i i 平均场理论描述。 该实验没有观察到一维t o n k s g i r a r d e a u 气体，即强相互作用的一维量子气体，它 需要很强的径向束缚势或特别大的原子间的散射强度，目前的实验技术很难达到 这样的条件。 图1 7 ：a 图表示正交的两束光学驻波形成二维的光晶格，由这二维的光格子构成b 图所示的 一系列紧束缚的管状势阱。 用两束正交的光学驻波可以形成二维的周期格子，构成一系列紧束缚的管状 势阱。如果把凝聚气体装载到这样的二维的光格子中，则在每个管状势阱中都可 以形成一维量子气体。一维气体的原子在径向受到很强的束缚，只有零点振动， 横向激发则被抑制。通过调节二维的光格子的强度可以改变相邻格点的一维气体 之间的耦合强弱，当二维的光格子很强时，一维气体之问互相独立。激光对原子 的束缚势f 比于激光的强度，通过调节激光的强度来改变二维的光格子的强度使 得相互作用的强度改变。2 0 0 4 年，i b l o c h 小组和d s w b i s s 小组先后用二维光格 i 了 1 4 _ 一 扬州人学硕士学位论文 子实现了一维玻色系统，观察到一维的t o n k s g i r a r d e a u 气体费米化的玻色原 子气体”，1 6 】。对于均匀的玻色气体，y 表示为y = ，馏屈2 ，z ，其中g 表示一维的相互 作用强度，聊为单个原子的质量，咒是玻色气体密度。要使玻色量子气体进入 t o n k s g i r a r d e a u 体系，必须提高，= 馏肪2 忍，可以通过三种途径来增加y ：一是减 小玻色量子气体的密度；二是增加粒子间有效相互作用强度；还可以通过增加原 子的有效质量。在i b l o c h 小组的试验中，他们提出一个实现t o n k s g i r a r d e a u 气 体的新颖方法，将玻色爱因斯坦凝聚的8 7 r b 原子处于一个馏平面的二维的光晶 格中，使原子分布于与弦平面垂直的一根根“光管”内，然后沿着一维玻色气体 的x 轴向加一个周期的光学势，增加原子的有效质量，从而使得= ，馏( 7 1 2 p ) 得 到很大的提高，展现出强关联量子行为，在试验中，y 5 2 0 0 。在相互作用较弱 图1 8 ：观测到地一维t o n l ( s g i r a r d e a u 气体的动量分布的三维图，此i 劐是将一维的量子气体从 一根根光管中释放出来，通过吸收成像技术拍摄气体的自由扩散的照片。 时，即7 1 ，位于一维“光管中的8 7 r b 玻色原子可以相互穿越；随着y 增加， 相互作用也在不断的增强，限制在一维“光管”中玻色原子表现出费米化，即不 可能有两个8 7 i 曲占据同一位置，并且它们之间也不可能相互交换位置，这满足费 米子的泡利不相容原理，使玻色子表现