（电路与系统专业论文）一类混沌电路的设计及其硬件实现.pdf

ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt og u a n g d o n gu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g yf o r t h ed e g r e eo fm a s t e ro fe n g i n e e r i n gs c i e n c et h ed e s i g na n dh a r e w a r ei m p l e m e n t a t i o no fax y p eo fc h a o t i cc i r c u i t sm a s t e rc a n d i d a t e ：l i n gy o n g l i ns u p e r v i s o r ：p r o f y us i m i nm a y 2 0 1 0f a c u l t yo fa u t o m a t i o ng u a n g d o n gu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g yg u a n g z h o u ，g u a n g d o n g , p r c h i n a , 510 0 9 00舢a刖7，删5m 4m7，ii_哪y多研究混沌的专家、学者提出了多种产生混沌信号的新模型和硬件实现的新方法、新技术。本文在现有文献 3 5 基础上，进一步构造出一个与之对应的变形四阶混沌系统。该混沌方程是一个以符号函数为主要非线性函数的混沌系统，借助数学方法进行对该方程的平衡点、特征值、耗散性以及吸引子存在性等的分析，初步论证了该系统的混沌特性。并且进行一类混沌电路的设计与硬件电路实现深入研究。鉴于国际上基本采用电容、电感、电阻以及常用的非线性器件等来实现混沌电路，虽然电路设计简单，但存在参数调整不独立，不具有通用性的特点，而本文通过反相加法器、反相积分器、反相器和实现阶跃函数的非线性电路，然后采用模块化的设计方法构成混沌电路。整个电路只由反相加法器、反相积分器、反相器三大模块构成，电路结构对称。具有直观性强，各个电路参数独立可调，互相不影响以及方便实际应用的优点。并且对该混沌电路方程进行详细的参数分析，最后文中给出了该四阶混沌系统的电路实验结果，数值仿真与硬件电路实验结果完全一致。同时，本文通过构造多个阶跃函数系列的非线性函数，适当调整各项参数，实现在一个四阶混沌系统中产生多方向分布的网格状多涡卷混沌吸引子。基于硬件电路设计平台，通过双掷开关转换，并设计了相应的混沌电路来进行实验。文中给出了4 涡卷、6 涡卷、8 涡卷、1 0 涡卷、1 2 涡卷的网格状混沌吸引子的数值仿真与硬件电路实验结果。数值仿真与硬件电路实验结果完全一致，从而证实了此方法在混沌系统中产生网格状混沌吸引子的可行性。关键词：混沌吸引子，模块化设计，硬件实现，阶跃函数系列，e w b ，电路实验广s x i k 大学硕士学位论文a b s t r a c tc h a o t i ct h e o r yi so n l yd e v e l o p e dl e a d i n ga n dt h em o s ta c t i v ef f o m i e ri nr e c e n td e c a d e s ，w h i c hi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ft h en o n l i n e a rs c i e n c e r e l a t i v i t ya n dq u a n t u mp h y s i c st o g e t h e ri sk n o w sa st h r e ei m p o r t a n td i s c o v e r yi nt h et w e n t i e t hc e n t u r y o r d e rt od e t e r m i n et h ed i s o r d e ri ss i m i l a rt oar a n d o mp h e n o m e n o n t h es t u d yi so fg r e a ts i g n i f i c a n c ea n db r a n dp r o s p e c t s i n i t i a l l y , p e o p l es i m p l yu s em a t h e m a t i c a lm e t h o d st oa n a l y z ei t h o w e v e r , u s i n gc o m p u t e rs i m u l a t i o na n dc i r c u i te x p e r i m e n tt os t u d ya n do b s e r v et h ec h a o sb e g a ni nt h e8 0 so fl a s tc e n t u r y d o m e s t i ca n di n t e r n a t i o n a lr e s e a r c h e si nt h i sf i e l dh a v em a d em a n yi m p o r t a n ta c h i e v e m e n t s ，e s p e c i a l l yt h em u l t i - s c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r s m a n yo fc h a o t i ce x p e r t sa n ds c h o l a r sh a v ep r o p o s e dav a r i e t yo fc h a o t i cs i g n a lg e n e r a t e dn e wm o d e l sa n dh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o no ft h en e wm e t h o d s ，n e wt e c h n o l o g i e si nt h ef i e l do fn o n l i n e a rc h a o t i cc i r c u i t si nt h er e c e n t3 0 sy e a r s i nt h i sp a p e r , t h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e 3 5 ，b a s e do nf u r t h e rs t r u c t u r a ld e f o r m a t i o no faf o u r t h - o r d e rc h a o t i cs y s t e m t h ec h a o t i ce q u a t i o ni sas y m b o l i cf u n c t i o na st h em a i nn o n l i n e a rf u n c t i o no ft h ec h a o t i cs y s t e m i tw o u l du s em a t h e m a t i c a lm e t h o d st op r o v et h ee q u a t i o no fe q u i l i b r i u ma n de i g e n v a l u ea n dd i s s i p a t i o na n dt h ee x i s t e n c eo fa t t r a c t o r sa n a l y s i so ft h ec h a o t i cs y s t e m a n df o rac l a s so fc h a o t i cc i r c u i td e s i g na n dh a r d w a r ec i r c u i ti n - d e p t hs t u d y ，i nv i e wo ft h eb a s i cu s eo ft h ei n t e r n a t i o n a lc a p a c i t o r s 、i n d u c t o r s 、r e s i s t o r sa n do t h e rd e v i c e sc o m m o n l yu s e dt oa c h i e v en o n l i n e a rc h a o t i cc i r c u i t a l t h o u g ht h ec i r c u i td e s i g ni ss i m p l e ，b u tt h e r ei sn o ta ni n d e p e n d e n tp a r a m e t e ra d j u s t m e n t ，n o tu n i v e r s a lc h a r a c t e r i s t i c s t h ea r t i c l em a k e su s eo fa n t i a d d i t i v ei m p l e m e n t s 、i n v e r t i n gi n t e g r a t o r 、i n v e r t e ra n da c h i e v es t e pf u n c t i o no ft h en o n l i n e a rc i r c u i t t h ee n t i r ec i r c u i ti so n l ya d d e dt ob ya n t i - a d d i t i v ei m p l e m e n t ，r pi n t e g r a t o r , t h r e ei n v e r t e rm o d u l e ，t h ec i r c u i ti ss y m m e t r y s t r o n gi n t u i t i v ev a r i o u sc i r c u i tp a r a m e t e r sa d j u s t e ds e p a r a t e l yw i t h o u ta f f e c t i n ge a c ho t h e ra n dt of a c i l i t a t et h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no ft h em e r i t s a n da n a l y z et h ec h a o t i cp a r a m e t e r so ft h ec i r c u i te q u a t i o n i nt h i sp a p e r , t h ef o u r - o r d e rc h a o t i cs y s t e mo fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sw i t hl a b o r a t o r ye x p e r i m e n t ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dh a r d w a r ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sc o n s i s t e n t l y k e y w o r d s ：c h a o t i ca t t r a c t o r s ，m o d u l a rd e s i g n , h a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o n , t h es t e pf l l n c t i o ns e r i e s ，e w b ，c i r c u i te x p e r i m e n ti i i2 3 混沌信号的判别方法1 52 3 1 时域分析法152 3 2 相轨迹图法1 62 3 3 庞加莱截面法1 62 3 4 谱分析法l72 3 5 分维数法182 3 6k o l m o g o r o v ：墒182 3 7l y a p u n o v 指数法19、】广东工业大擘硕士学位论文2 4 直观分析法和定量分析法的比较2 l2 5 本章小结2 1第三章一个四阶混沌系统的分析2 23 1 引言2 23 2 四阶混沌系统的数值仿真2 23 3 四阶混沌系统的动力学分析2 33 3 1 方程的平衡点计算2 33 3 2 方程的特征值计算2 43 3 3 系统的耗散性和吸引子存在性2 53 4 四阶混沌系统基于e w b 的分析2 53 5 本章小结2 6第四章四阶混沌系统的电路设计与实现2 74 1 引言一2 74 2 混沌电路模块化设计方法：2 74 2 1 混沌电路的设计原理2 74 2 2 混沌电路的基本运算电路2 84 3 非线性函数的硬件实现方法二3l4 4 四阶混沌系统的电路设计3 64 5 四阶混沌系统的电路分析3 84 6 四阶混沌系统的电路实验结果3 84 7 本章小结3 9第五章网格状多涡卷混沌的研究及硬件实现4 05 1 引言一4 05 2 四阶混沌系统网格状吸引子的研究4 05 3 网格状多涡卷混沌吸引子的m a t l a b 仿真4 l5 4 产生网格状多涡卷混沌吸引子的电路设计4 45 5 网格状多涡卷混沌吸引子的电路实验结果4 65 6 本章小结4 8结束语4 9参考文献5 0v l攻独致v l i2 3c r i t e i o nf o rc h a o t i cs i g n a l s 152 3 1t i m ed o m a i n a la n a l y s i s 1 52 3 2p h a s el o c u sm e t h o d 1 62 3 3p o i n c a r es e c t i o nm e t h o d 162 3 4s p e c t r a la n a l y s i s 1 72 3 5f r a c t a ld i m e n s i o nm e n t h o d 182 3 6k o l m o g o r o ve n t r o p y 182 3 7l y p u n o ve x p o n e n t 1 92 4v i s u a la n a l y s i sa n dc o m p a r i s o no f q u a n t i t a t i v ea n a l y s i s 2 1v ! i i3 3 2e i g e n v a l u ec a l c u l a t i o n 2 43 3 3d i s s i p a t i v es y s t e ma n dt h ee x i s t e n c eo f a t t r a c t o r 2 53 4f o u r - o r d e rc h a o t i cs y s t e mi sb a s e do nt h ea n a l y s i so f e w b 2 53 5s u m m a r y ：z ( ；c h a p t e r4f o u r - o r d e rc h a o t i cc i r c u i td e s i g na n dr c l i z a t i o n 2 74 1i n t r o d u c t i o n 2 74 2m o d u l a rd e s i g nm e t h o do f c h a o t i cc k c u i t 2 74 2 1d e s i g nt h e o r yo f c h a o t i cc k c u i t 2 74 2 2t h eb a s i co p e r a t i o nc i r c u i t so f c h a o t i cc i r c u i t 2 84 3n o n l i n e a rf u n c t i o no f t h eh a r d w a r em e t h o d 3l4 4c i r c u i td e s i g no ff o u r - o r d e rc h a o t i cs y s t e m s ：；64 5c i r c u i ta n a l y s i so ff o u r - o r d e rc h a o t i cs y s t e m s 3 84 6c i r c u i tr e s u l t so ff o u r - o r d e rc h a o t i cs y s t e m s 3 84 7s u m m a r y 3 9c h a p t e r5t h er e s e a r c ha n dh a r d w a r er e l i z a t i o no fg r i d - m u t i ls c r o l lc h a o s 4 05 1i n t r o d u c t i o n 4 05 2t h er e s e a r c ho ff o u r - o r d e rg r i d l i k ec h a o t i ca t t r a c t o r s 4 05 3g r i d m u t i ls c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r sm a t l a bs i m u l a t i o n 4 15 4t 1 1 ec k c u rd e s i g no f m a k i n gg r i d m u t i ls c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r s 4 45 5t h ec k c u i tr e s u l t so f g r i d m u t i ls c r o l lc h a o t i ca t t r a c t o r s 4 65 6s u m m a r y 4 8c o n c l u s i o n 4 9r e f e r e n c e 5 0p u b i l i s h e dp a p e 聃s t u d y i n g 5 4i x广东工业大学硕士学位论文a n n o u n c eo fo r i g i n a lc r e a t i o n 5 5a c k n o w l e d g e m e n t 5 6x第一章绪论1 1 引言第一章绪论2 0 世纪6 0 年代，大西洋彼岸的美国麻省理工学院气象学家洛伦兹( l o r e n z ) 对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶微分方程组进行数值模拟时，偶然发现了一个新现象：在此三阶微分方程中，小小误差就可引起灾难性的后果，即初始值十分接近的两条曲线的最终结果相差可能会惊人的大。这表明确定论的系统表现出随机行为，洛伦兹称之为：决定论非周期流。这一论点打破了拉普拉斯决定论的经典理论，这种新现象也是以前的科学家所无法解释的。后来洛伦兹又首先提出了“蝴蝶效应 的理论，即一种对初始条件的极其敏感性依赖性。洛伦兹揭示了该现象的真实意义，道出了它的本质。当年在他的一次演讲中第一次用到了“混沌”一词。由于他的开创性研究成果和对混沌学所做出了卓越的贡献，而被誉为混沌学之父后来人们认识到，当时洛伦兹提出的决定论非周期流现象其实就是一种混沌现象。从此就诞生了一门崭新的科学，这就是混沌学【一z 1 。几十年来，混沌学涉及的范围已经从最开始的气象学扩展到物理学、化学、生物学、天文学等等几乎所有的科学领域。混沌学如此深刻地改变了人们对世界的认识，以至于它被称为继相对论和量子力学以来二十世纪发现的最重要的三大科学。混沌( c h a o s ) 在辞典中的本意是“秩序形成以前一种极端无序的状态”。混沌并没有获得科学上公认的、完整、精确的定义，不过这并不影响科学家对其进行研究。一个较有影响力的描述是“数学上指在确定性系统中出现的随机性态。这句描述在某种程度上是一个悖论，因为确定性系统受精确的定律控制，而随机性态却被不规则的偶然性支配。最开始接触到混沌现象是在研究超长期天气预报可能性的时候。在解某些方程组时，人们发现，极微小的初始条件差距会在很短时间内导致完全不同的结果，但在貌似无规则的曲线中却隐含了许多确定性的规律。这逐渐加速了人们分别从数学理论上和其他学科实际中寻找混沌的研究。奇异吸引子( s t r a n g ea t t r a c t o r ) ，分俞( b i f u r c a t i o n ) ，分形( f r a c t a l ) ，分数维( f r a c t i o n a ld i m e n s i o n ) ，费根鲍姆常数( f e i g e n b a u m sc o n s t a n t ) 等等混沌学中的重要现象和规律逐一浮上台面，而令人兴奋的是混沌远不止存在于物理学中，诸如心脏脉搏的规律、海岸线和雪花的形状、股市涨落的周期、化学反应的机理都蕴含广东工业大学硕士学位论文着混沌。这使得人类对自然的认识产生了一次革命性的飞跃：自然并不是由机械决定论控制着。相反，它充满了不确定性和随机现象，混沌就是其中的代表。经过数代人不懈的探索与发现，如今，混沌的诞生已被认为是2 0 世纪物理学的三大成就之一，可以说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想：量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦：而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想 。它在整个科学中所引起的作用相当于微分学在1 8 世纪对数理科学的影响。混沌学的创立，将在确定论和概率论这两个科学体系之间架起桥梁，它将揭开物理学、数学乃至现代科学发展的新篇章。对混沌现象的认识，是非线性科学最重要的成就之一。它是当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大开拓了人们的视野，加深了对世界的认识。它在自然科学和社会科学领域中。覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强，发展前景及影响之深远都是空前的。国际上誉称混沌的发现，乃是二十世纪中继相对论与量子力学问世以来的第三次物理学大革命，这场革命正在冲击和改变着几乎所有科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战。1 2 混沌研究的发展历程混沌运动是一种貌似无规则的运动，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式。一般而言，混沌( c h a o s ) 是指在确定性的非线性系统中不需要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的行为。在自然界，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等领域中都存在着混沌现象。在现代科学文献中，首次提出“混沌一词的是华人数学家李天岩及其导师一美国数学和物理学家j y o r k e ，他们给予了混沌概念的数学描述。他们在1 9 7 5 年共同发表了一篇著名论文：“周期3 蕴含着混沌，或用李天岩的通俗说法：“周期三则乱七八糟”。实际上，有关耗散系统中混沌现象的研究始于2 0 世纪6 0 年代初，美国气象学家l o r e n z 在描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值模拟时，发现在某些条件下可出现非周期的无规则行为。这一结果解释了长期天气预报始终没有获得过成功的内在机理是因为确定性动力系统中存在着混沌运动。洛伦兹揭示了一系列混沌运动的基本特征，如确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可2第一章绪论预测性等，他还在混沌研究中发现了第一个奇怪吸引子b r e l l z 吸引子，为混沌研究提供了一个重要模型，并最初在计算机上采用数值计算方法进行具体研究，从而为以后的混沌研究开辟了道路。2 0 世纪7 0 年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。1 9 7 1 年，法国的数学物理学家茹厄勒( d r u e l l e ) 和荷兰的数学家塔肯斯( e t a k e n s ) 联名发表了著名论文论湍流的本质在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。1 9 7 5 年，中国学者李天岩和美国数学家j y o r k e 在( a m e r i c am a t h e m a t i c s ) ) 杂志上发表了“周其三意味着混沌的著名文章，给出了闭区间上连续自映射的混沌定义，揭示了从有序到混沌的演化过程。也正是在这篇论文中，首先提到了“c h a o s 这一名词，并被后来的学者所普遍接受。1 9 7 6 年，美国生物学家梅( r m a y ) 在n a t u r e ) ) 杂志上发表的“具有极其复杂的动力学的简单数学模型”一文中，指出简单的确定性数学模型也可以产生看似随机的行为。1 9 7 7 年，标志着混沌研究在国际科学界正式起步的第一次国际混沌会议在意大利召开。1 9 7 8 年，日本著名统计学家久保指出：在非平衡非线性系统的研究中，混沌问题揭开了新的一页。同年，美国物理学家费根鲍姆在( j o u m a lo ft h es t a t i s t i c a lp h y s i c s ) ) 上发表了“一类非线性变换的定量的普适性”的文章，一时轰动了世界。之后，费根鲍姆等人在梅的基础上独立的发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中奠定了坚实的理论基础。2 0 世纪8 0 年代，混沌科学又得到了进一步的发展，人们也更注重研究系统如何从有序进入新的混沌及其混沌的性质和特点。1 9 8 0 年，法国数学家戴布洛特( b m a n d e l b r o t )用计算机绘出了第一张分形几何学的图像1 3 1 ，这是一张五彩缤纷、绚丽无比的混沌图像。也是从那时起，分形几何学集成是混沌的一种公认标志。1 9 8 1 年，意大利科学家v f r a n c e s c h i n i 利用计算机研究流体从平流过度到湍流时，发现周期现象，验证了费根包姆常数。1 9 8 3 年，加拿大物理学家e g r a s s b e r g e r 在( ( p h y s i c s ) ) 杂志上发表了“计算奇异吸引子的奇异程度”的著名文章，并开创了全世界计算时间序列维数的热潮。1 9 8 4年，中国著名的混沌科学家郝柏林在新加坡编辑出版了( ( c h a o s ) ) 一书。1 9 8 6 年，中国在桂林召开的第一届混沌会议，为我国广泛开展混沌科学的研究起到了促进作用。同年，中国学者徐京华在世界上第一个提出了三种神经细胞的复合网络，并证明了其中混沌的存在。1 9 8 7 年，h u b l e r 和l u s c h e r 发现在呈现混沌的不稳定系统的驱动力上加一个合适的动量项，就可以使系统行为变成稳定的周期轨道，但所得的运动不一定是由时一篇1 9 9 0制混以往轨道及神经网络等领域的应用展现了美好的前景。随后混沌控制【4 】与混沌同步 5 4 的研究迅速成了混沌研究领域的重要热点。1 9 9 8 年，我国学者胡岗等人以藕合振子为研究对象，当各个振子的运动状态处于同步流形时对混沌同步态进行了线性稳定性分析，并用钉扎法( 简称p i n n i n g 法) 实现了对混沌同步态的控制川，更将此法引申用于通讯加密，获得了很好的效果。进入2 l 世纪，混沌研究呈现出新的趋势。国际上混沌控制方法及其实验的研究迅速发展，无论是在生物学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。混沌科学更是与其他科学互相渗透、相互促进、广泛应用，如混沌同步、超混沌、混沌保密通信、混沌神经网络、混沌经济学等都取得了可喜的成果。混沌学犹如一场世界性科学革命一样，正在猛烈冲击着当今几乎所有的自然科学，它已经拓广到技术科学，甚至是社会科学和人文科学的领域。1 3 混沌的基本定义及特征1 3 1 混沌的基本定义对于混沌，由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，一般认为，混沌就是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的，类似随机的现象。对于确定性的非线性系统中出现的具有内在随机性的解，就称为混沌解。混沌不是简单的无序而是没有明显的周期和对称，但却是具有丰富的内部层次的有序结构，是非线性系统中的一种新的存在形式( 己有的存在形式是平衡态、周期解和拟周期解) 。从数学上讲，4第一章绪论对于确定的初始值，由动力系统就可以推知该系统的长期行为甚至追溯其过去的性态。但大量实例表明，很多系统对初值的依赖十分敏感，即所谓的“蝴蝶效应 。这正是系统内在的固有的随机性引起的，它只可能发生在非线性系统中，因此至今混沌尚无一个通用、统一、严格的定义。目前主要有：( 1 ) 排除法定义混沌，( 2 ) l i - y o r k e 【s l 意义下的混沌，( 3 ) d e v a n e y 意义下的混沌。下面主要介绍一下l i y o r k e 意义下的混沌。混沌的l i y o r k e 定义 9 1 ：设f ( x ) 是k ，6 】上的连续自映射，若f ( x ) 存在3 周期点，则对任何正整数咒，f ( x )有栉周期点。混沌定义：闭区间，上的连续自映射厂( x ) ，如果满足下列条件，即可确定它有混沌现象：1 ) f ( x ) 周期点的周期无上界；2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足( a ) 对任意z ，y s ，当x y 时，则有：( b ) 对任意工，y s ，则有：1 i m s u p f ”( 力一厂“( y ) i 0摊 l i m i n f l f ”( x ) 一厂”( y ) i = 0疗t q( c ) 对任意x s 和厂( 功的任一周期点y ，则有：l i m s u p f 4 ( x ) - f “( y ) i 0 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数厂( x ) ，如果存在一个周期为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征：( 1 ) 系统存在可数无穷多个稳定的周期轨迹；( 2 ) 系统存在不可数无穷多个稳定的非周期轨迹；( 3 ) 系统至少存在一个不稳定的非周期轨迹，即混沌运动；( 4 ) 系统在混沌区域内，存在一个逆分岔序列，其中出现非周期带。上述数学定理告诉我们：在区间映射中，对于集合s 中的任意两个初值，经过迭代，两序列之间距离的上限可以为大于零的正数，下限等于零。即迭代次数趋于无穷时，序列间的距离可以在某个j 下数和零之问“漂荡”，这表明系统的长期行为具有不确定但是定理本身并没有的非周期有界动态行混沌是产生于确定性主要有以下几点：( 1 ) 混沌现象具有对初值的敏感依赖性，只要初始条件稍有差别或有微小扰动就会使系统的最终状态出现巨大的差异。这种对初始条件的敏感依赖性称为初态敏感性。( 2 ) 混沌具有内在随机性，是确定性系统内部随机性的反映，它不同于外在的随机性。系统是由完全确定性的方程描述，无需附加任何随机因素，但系统仍会表现出类似随机性的行为。( 3 ) 混沌具有分形的性质，各种奇怪吸引子都具有分形结构，由分维数来描述其特征。( 4 ) 混沌的长期预测是不可能的，这有别于完全不可预测的随机过程。现实中的任何量都只能有有限【1 0 】精度，无穷高精度在物理世界中是不存在的，因而初值中存在不确定性因素。具有初态敏感性的系统对于初值误差的作用不断放大，随时间的流逝，初始值中的不确定的因素越来越起着作用。一段时间以后决定运动的己不是初始条件中的有限精度给定的部分，而是在精度以外无法确定的而又必然存在的误差，运动的预测便不可能了。( 5 ) 混沌吸引子在相空间整体上是有界的，但在吸引子内相轨迹具有高度不稳定性，除了最大的李雅普诺夫指数大于零外，还具有限值的拓扑熵与测度熵。( 6 ) 混沌吸引子具有遍历性。基于混沌的特性，混沌信号是非周期的、有界的信号。对不同的初值得到的混沌信号也不同，基于相同的初值得到的信号也相同。混沌信号遍布于整个运动轨迹内。混沌数值识别是非线性动力学数值研究的重要方面。混沌的识别问题，是指对于给定的系统动力学行为判断它是否为混沌运动。在实践中人们发现系统运动的数值特征可用于识别混沌，主要指李雅普诺夫指数、分形维数、功率谱、熵等。当系统运动的上述数值特征中的一种或数种满足特定的条件时，便可断定系统出现混沌运动。混沌运动具有多方面的含义。为刻画混沌的初态敏感性，可以引入李6第一章绪论雅普诺夫指数；为刻画混沌的往复非周期运动，可以定义各种维数；为刻画混沌的随机性，可以采用功率谱密度函数。为刻画混沌的不可预测性，可以利用熵的概念。( 7 ) 统计特性，正的李氏指数以及连续功率谱等。李氏指数是对非线性映射产生的运动轨道相互趋近或分离的整体效果进行的定量描述。对于非线性映射而言，李氏指数表示刀维相空间中运动轨迹沿各向量的平均指数发散率，当李氏指数小于零时，轨道间的距离按指数减小，系统运动状态对应于周期运动或不动点；当李氏指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动对应于混沌状态；当李氏指数等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对应分叉点( 即周期加倍的位置) 。1 4 混沌的应用及通向混沌的途径1 4 1 混沌的应用混沌在最近2 0 年中得到了广泛的应用，几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域。混沌的应用可分为混沌分析与混沌综合。混沌分析对由复杂的人工和自然系统中获得的混沌信号进行分析并寻找混沌现象背后的确定性规则，如混沌时间序列的预测等；混沌综合则利用人工产生的混沌从混沌动力系统口1 获得可能的功能，如人工神经网络的联想记忆功能等。混沌在工程上的潜在应用可以概括如下：( 1 ) 混沌通信。，与保密通信n 3 川：混沌信号是由确定性系统产生的，具有非周期性宽频谱，万一形状的自相关性，而且易于实现。这使得混沌在通信工程中极具应用潜力，探讨在通信工程中的应用已经成为混沌研究的最大的热点。( 2 ) 系统优化：利用混沌运动的随机性、遍历性和规律性来寻找最优点，可用于系统辨识，系统参数优化n 5 ，设计等方面。( 3 ) 混沌控制：混沌的一系列特征使得混沌控制成为迅速发展的一个研究领域。利用混沌系统对初始值敏感的特点，通过精心选择小的控制量”，可产生显著的控制效果n 7 驯；混沌系统的运动最终落在奇异吸引子中，而奇异吸引子又包含稠密的轨道，因而混沌吸引子可以作为潜在的信息源，并通过控制，使得系统处于不同的状态。( 4 ) 图像数据压缩：把复杂的图像数据用一组能产生混吸引子的简单动力学方程代替，这样只需要记忆存储这一组动力学方程的参数，其数据量比原始图像大大减少，7广东工业大学硕士学位论文从而实现图像数据压缩。( 5 ) 非线性时间序列的预测：任何一个时间序列汹1 都可以看成是一个由非线性机制确定的输入输出系统，如果不规则的运动现象是一种混沌现象，则通过利用混沌现象的决策论，非线性技术就能高精度的进行短期预测。( 6 ) 混沌神经网络：将混沌与神经网络相融合，使神经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网络，利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网络逃离局部极小点，从而保证全局最优，可用于联想记忆、机器人的路径规划等。( 7 ) 高速检索：利用混沌的遍历性可以进行检索，即在改变初始值的同时，将要检索的数据和刚进入混沌状态的值进行比较，检索出接近于待检索数据的状态。这种方法比随机检索或遗传算法具有更高的检索速度。( 8 ) 模式识别：利用混沌轨道对初始条件的敏感性，有可能使系统识别出只有微小区别的不同模式。( 9 ) 故障诊断：根据时间序列的重构的混沌吸引子的集合特征和采样时间序列数据相比较，可以进行故障诊断。混沌在众多领域中的研究表明混沌应用很可能成为一个新兴的产业并显示出巨大的经济效益和技术的先进性。混沌科学还可用在其它方面，如在语言加工信息、对人脑功能以及处理信息的机理方面等，具有重要的研究价值和应用前景。1 4 2 通向混沌的途径对于一个确定的非线性动力学系统，当参数处于某一个范围时，它才表现为混沌运动，其他情况下表现为确定性运动，这是系统如何从确定性运动( 规则运动) 过渡到混沌运动，是混沌研究的一个重大理论课题，目前国际上仍然在研究之中，有待于作进一步的探讨和发展。至今研究发现从规则运动通向混沌的道路主要有4 种：倍周期分叉道路，问歇振荡( 阵发) 道路，准周期道路以及k a m 环面破裂。( 1 ) 倍周期分叉道路进入混沌这是研究混沌应用最多的路线，最早由费根包姆在研究了很大一类单峰映射的分叉和混沌结构后提出的，同时还研究了这类单峰映射通过倍周期分叉产生混沌的若干普适性质。倍周期分叉道路是从周期不断加倍最终产生混沌，其具体过程是：不动点一两周期一四周期- - - j k 周期一一无限倍周期凝聚( 极限点) 一混沌( 奇怪混沌吸引子) 。8第一章绪论( 2 ) 间歇振荡( 阵发) 道路进入混沌间歇振荡( 阵发) 过渡到混沌的理论由y p o m c a u 和p m a n e v i l l e 建立，间歇振荡( 阵发) 走向混沌意味着动力学系统行为出现在长期的规则行为和短期的不规则行为之间随机地波动，直到波动频繁到长期的规则行为不能够维持而出现混沌，也就是说，动力学系统的状态从周期解开始着一个参数的变化而变化，随着参数的不断变化，这种长的周期行为愈来愈频繁地被短期的不规则脉冲所中断直到呈现出混沌行为，这个过程是一个连续地渐变的过程。间歇振荡( 阵发) 与鞍点分叉有关系，根据鞍点分叉的不同类型而分为三种不同的过渡类型，间歇振荡( 阵发) 过渡到混沌也呈现出一些普适的性质。( 3 ) 准周期分叉产生混沌准周期分叉道路与前面的倍周期分叉和间歇性道路相比较，规律性知道的更加少，但是近年来已经引起了人们的注意。朗道( l a n d u ) 和霍普夫( h o p l e i 曾经猜测湍流的发生是经过无穷次数准周期分叉的。：，准周期分叉可以用环面分叉来描述，将不动点，极限环分别看作0 环面，1 环面，表示为1 r o ，t 1 ，则上述通往混沌( 相应于湍流) 的转变可以表示为t 1 一一r 一一混沌，而且每一次分叉可以看作是一次霍普夫分又，分又出一个新的不可约的频率。( 4 ) k a d 环面破裂产生混沌k a m 定理指出，近视可积h a m i l t o n 系统的轨线分布在一些环面( 称k a m 环面) 上，它们一个套在另外一个外面，而且两个环面之内充满着混沌区，它在法向平面上的截线称k a m 曲线。在接近可积分h a m i l t o n 系统，例如单摆的相图是椭圆点和双曲点交替出现，相平面被鞍点连续分割，相空间中的部分的运动互相不混在一起，在不可以积分的情况下，只在鞍点附近发生一些变化，鞍点连线破断并且在鞍点附近产生剧烈振荡。这种振荡导致等价于马蹄( s m a l e ) 的结构，从而引起混沌运动，相应的区域称为混沌区域。1 5 混沌电路在国内外的研究现状在电路中发现混沌，是在1 9 2 7 年。由丹麦工程师范德波( v a n d e rp 0 1 ) 当时在进行正弦电压源驱动的氖灯r c 张驰振荡器实验时，采用一个与实验系统相互非正常藕合的电话作为检测工具，在实验时，电话耳机传来某种不规则的噪声。这种奇特的噪声现9从此，c h u a 电路的研究非常活跃。大量的研究论文和成果以专刊、专利和专著的形式被报道，出现了c h u a 电路的集成芯片。同时，非线性混沌电路研究也在蓬勃展开，至今仍是最为活跃的实验研究领域。进入9 0 年代以后，特别是近年来，随着电子技术和电子器件的不断进步，计算机仿真给电路混沌技术研究带来便利，促进混沌电路研究。神经网络混沌、时间序列构造的状态空间重构、混沌信号的值域特性分析、数字混沌系统等新型混沌电路和混沌模拟仿真分析方法不断涌现。1 9 9 8 年至2 0 0 0 年混沌电路出现了计算机参与的混沌芯片，混沌加密软件，计算机混沌系统的新热点在军事研究上，又出现跳频( f h f r e q u e n c yh o p p i l l g ) 通信的混沌扩频序列产生器件，用m c s 5 1 单片机实现f h 序列产生器，进行毛+ 。= l 一2 , x 2 的混沌迭代运算，利用计算机编程的优化高效算法，使得混沌扩频序列的产生变得轻而易举一些关于神经网络电路混沌和安全保密通信的混沌密码学也在世纪之交有所突破。总之，电路混沌研究目前已经发展到同趋成熟阶段，硬件设计与软件技术的相互融合，产生出大量的研究课题，使混沌研究领域不断扩大和深入，成果不断涌现。而国内在这方面仍处在不断提出方法和和底层次的实验水平。国内学者在进行混沌理论分析和应用研究时虽然提出了各种混沌电路的实现方法但是很少对混沌电路进行过完整而深入的研究。大多数仅依赖计算机软件仿真。但软件仿真仅仅能作为研究实际电路的辅助方法，实际电路中存在的许多随机因素( 如元件精度问题和干扰问题)是很难进行模拟的，因此混沌电路具有的复杂性和随机性等优势得不多充分利用，其结果的可信度也不高。而且电路实验研究的落后必将限制混沌理论向实用化方向发展，所以混沌电路研究是混沌学研究中不可绕过的一个重要环节。i o第一章绪论1 6 本文的主要内容和结构安排本文一共分为五章，其结构安排如下：第一章是绪论，简要去介绍了混沌学研究的发展历程，详细介绍了l i - y o r k 下的混沌定义，混沌的相关基本特征。介绍了混沌在可能的工程领域上的应用，同时介绍了从规则运动通向混沌的四种途径；最后还介绍了混沌电路在国内外的研究现状。第二章介绍了混沌的动力学分析方法和混沌信号的判别方法。详细介绍了混沌系统的相平面以及平衡态的概念，介绍了混沌系统的雅可比( j a c o b i ) 矩阵以及方程特征值的计算方法。最后重点介绍了几种混沌信号的直观分析法和定量分析法。直观分析法主要有时域分析法、相轨迹图法、庞加莱截面法、谱分析法。定量分析法主要讲述了分维数法、k o l m o g o r o v 熵 法和l y a p u n o v 特性指数法，定量分析法重点说明l y a p u n 0 卅寺性指数法。最后，再对直观法分析法和定量分析法进行简单比较。第三章详细介绍了一个四阶混沌系统的分析，主要借助计算机m a t l a b 软件进行数值仿真，计算了方程的平衡点、特征值，以及分析了系统的耗散性和吸引子存在性。最后借助现代电子仿真软件e w b ( e l e c t r o n i c sw o r k b e n c h ) ，对该混沌系统进行实际的电路仿真，为下一步进行搭建硬件电路做好准备。第四章介绍了四阶混沌系统的分析及电路设计，详细说明了混沌电路的设计原理、同时介绍了混沌电路中的基本加减法电路、积分器电路、乘法器电路的实现方法以及能产生蔡氏二极管、