（应用数学专业论文）一类偶数阶非线性微分方程的正解的存在性.pdf

j1】l l1 u 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：& 匿立i 当日期：垫! 里：皇：p 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 击酗豳 指导教师签名：差鱼丝 日 期：竺里! 皇：丝 日 期：建望! ：查! 鎏 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： j 。一 卜r ， 妒 ，小 一 ， f 、 i 、 童 摘要 本文主要研究下面偶数阶非线性微分方程的正解的存在性问题，并且给出了在0 0 ，q ( t ) 是【0 ，) 一( 0 ，o o ) 的一个连续函数 关键词：非线性微分方程；最终正解；存在性 i 年 r 卜 ， 一 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h ee x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n sa n de s t a b l i s h e st h en e c e s s a r ya n d s u f l i c e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f e v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t0 0 ，q ( t ) 是 0 ，o o ) 一( o ，) 的一个连续函数 高阶非线性微分方程具有很大的实际背景，它来源于物理学，工程学等学科领域的数 学模型振动性理论作为非线性微分方程的重要分支之一，对其进行研究具有极大的理论 意义和实际价值本篇文章我们就对2 刀阶非线性微分方程的解进行研究 我们从方程( 1 1 ) 可以知道，如果甜( f ) 是方程( 1 1 ) 的实值解，那么u ( t ) c 1 乃，o o ) 且 ( 1 ”( f ) l 口- 1 材( ”( f ) ) 死，) ，并且对任意t 【咒，o o ) ，“( f ) 满足方程( 1 1 ) 如果“( f ) 是方程( 1 1 ) 的解，若存在一个序列 t 。o ：o l ，使得i i mt i = 0 0 且u ( t i ) = 0 ，那么我们 称这样的解是振动的 反之，如果“( r ) 是方程( 1 1 ) 的解，并且存在t 0 使得当t t 时，有 ( f ) 0 或者 z ，( r ) 0 人们已经对其做了系统的研究( 详见文献 1 1 2 】) ，并且给出了一般正解存在的充分必要条件 我们有下面的定理( 详见文献 1 - 5 】) ： 定理1 1 1 - 5 若甜( f ) 是方程( 1 2 ) 的一个最终正解，那么存在常数c 1 0 和c 2 0 ，使得 对充分大的t ，有c l u ( t ) c z t 定理1 2 1 - 5 ( f ) 方程( 1 2 ) 有一个最终正解“( 力，并且满足l i mu ( t ) = c ( o c o o ) 当且 仅当 f 旷如，叫= 疵 o o ( 1 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 ( i i ) 方程( 1 2 ) 有一个最终正解以f ) ，并且满足l i mu ( t ) t = c ( 0 c 0 0 ) 当且仅当 f 颤帆 ( 1 4 ) 定理1 3 1 - 5 ( 力若0 1 卢，则方程( 1 2 ) 有一个最终正解当且仅当( 1 3 ) 成立 ( i i ) 若0 0 ，使 得对充分大的 有c l 甜( f ) sc 2 t ：+ ： 定理1 5 1 3 1 ( j ) 方程( 1 5 ) 有一个最终正解( 力，并且满足1 i mu ( t ) = c ( o c o o ) 当且仅 当 f ，( 厂c 幽卜 o o 6 ， ( i i ) 4 j - 柱2 ( 1 5 ) 有一个最终正解”( 玑并且满足熙若= c ( o c o o ) 当且仅当 f 俨+ ( 1 r ) l a q ( t ) d t 0 0 ( 1 7 ) 对于四阶非线性微分方程的更一般的结论详见文献 1 4 - 2 2 其中比较好的结论在文献 1 4 中给出，它给出了一般正解存在的充分必要条件即下面的定理： 定理1 6 【1 4 1 ( f ) 假设0 口 卢那么方程( 1 5 ) 有一个最终正解当且仅当( 1 6 ) 成立 ( 豇) 假设0 o ，7 f l ， f = o ，1 ，七一1 ， ( 2 1 ) ( _ 1 ) i - k l i u ( t ) 0 ，t t l ， i = k ，k + 1 ，2 n 一1 我们用来表示方程( 1 1 ) 的正解的全体，用m 来表示方程( 1 1 ) 的满足( 2 1 ) 的所有正 解的集合，由引理2 1 可知 n = n 1u n 3u u n 2 ”一1 则若( f ) 是方程( 1 1 ) 的任意正解，那么存在一个奇数k ，使得甜( f ) 地 对于方程( 1 1 ) 的一类特殊正解存在的充分必要条件在文献【2 3 中已经进行了详细的介 绍下面我们给出其主要部分 首先定义函数c j ( t ) u = 0 ，1 ，2 胛一1 ) ： 则我们可以把分为： ”( f ) = t j ， 竹( f ) = 尸+ j 百- n ， j = 0 ，1 ，以一1 ， j = 胛， + 1 ，2 n 一1 ( d = ( 如) u n ( 1 1 ) k j t 3 n f f 2 一1 ) ， 其中 删= u en ：熙筹= 洲) 那么方程( 1 1 ) 的 r 类正解存在的充分必要条件可以给出，见如下定理( 详见文献 2 3 】) ： 3 东北师范大学硕士学位论文 或 定理2 1 【2 3 】令i o ，1 ，2 n l 方程( 1 1 ) 有一个n ( i j ) 类正解当且仅当 f f ( s - t y - q ( s ) 啪舳卜 o o 一叭，扩t ， f p 十1 q ( t ) ( i ，o y ( t ) ) a d t ，= 胛，肝+ 1 ，2 n 一1 ，口 特别的，当j = 0 时，方程( 1 - 1 ) 有一个) 类正解当且仅当 r n 叫如卜 o o 4 东北师范大学硕士学位论文 3 一般正解存在性定理 在这部分我们给出方程( 1 1 ) 的一般正解存在的充分必要条件 定理3 1 假设0 口 卢，那么方程( 1 1 ) 有一个最终正解当且仅当 e it s ( s - t ) n - | q ( s ) d s 、认o o 为了证明定理3 1 我们先给出下面的引理： ( 3 1 ) 引理3 1 如果z ，( f ) 是方程( 1 1 ) 的一个最终正解，且l i m l k - l u ( t ) = ，其中k 为奇数则 t - - o o u ( t ) t 一蝴是一个单调增函数 其中 彳：p _ 1 ， 【胛， 3 豇胛+ 1 ， 。 占2 胛+ 1 0 ，l k 一】“( f ) 0 ，从而l 甜( f ) 单调递增 则对于( 3 1 ) 可以得到 整理得 l k 一2 u ( t ) sl k 一2 u ( t ) + 女一1 “( f ) ( f r ) ，t t t l k l “( 力一l k 一2 u ( t ) 2 。z t lz ，( f ) 一l k 一2 u ( t ) 由于l i ml k - l u ( t ) = o o ，所以当t 一时，有 l - - o o 则对充分大的t ，有 儿女一1 u ( t ) 一l k 一2 u ( t ) 一 t l k i “力一l k 一2 u ( t ) r l 女一lu ( t ) 一l k 一2 u ( t ) 1 5 堕) ( 3 2 ) 东北师范大学硕士学位论文 又因为 则有 ， ( t l k 一2 “( 力一2 上t 一3 ( f ) ) = t 己七一lu ( t ) 一l k z u ( t ) ， ( 儿女一2 ( f ) 一2 l 女一3z ，( 力) 7 1 对上面不等式从r 到f 进行积分，得 t l k - 2 u ( t ) 一2 l k - 3 u ( t ) 芝2 乙女2 材( 丁) 一2 l k 一3 u ( t ) + t l t t 由于当t _ 时，有 则对充分大的f ，有 故 丁工女一2 u ( t ) 一2 三 一3 u ( t ) + t t _ o o ， t l k - 2 u ( t ) 一2 l k 一3 u ( t ) 1 0 ( 半) ，_ 塑半地 其次，可证得 ( 警) 。，1 l k - i + 1 u 叫一l 龇似，7 _ 3 4 ， ( 3 3 ) 事实上，由归纳法：当，= 3 时，( 3 3 ) 式成立( 上面已证得) 假设当，= 珂时成立，即 当，= n + 1 时，有 因为 由( 3 4 ) 式可知 ( l k 一- , u ( t ) 。， i l k - n + 1u 咱一l 皿椭删 1 ( 1 l k - ( n + 一1 ) u ( t ) ) = 些警磐型 ( t z 女 “( f ) 一n l 女一伽+ 1 ) “( f ) ) 7 = 圮 卅+ 1z ，( 力一( 胛一1 ) l k 一。甜( 功， ( 纪女一”“( ，) 一n l k 一伽+ 1 ) “( ，) ) 21 对上面不等式从r _ t 进行积分，得 t l k 一 u ( t ) 一n l k 一+ 1 ) 甜( 力t l k 一”u ( t ) 一n l k 一( + l j u ( t ) + ，一t ，t t 由于当t - 0 0 时，有 丁l “嘶“( 丁) 一，比一阳+ 1 ) u ( t ) + t t ， 6 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 。 一 东北师范大学硕士学位论文 则有 儿h u ( t ) 一n l k 一( 肿i ) u ( t ) 1 0 由( 3 5 ) 证得 ( 掣) 。，t l k - ( n + 1 ) + 1 1 1 c 州n + l - 1 岫川肿 所以( 3 3 ) 成立特别的，当，= k 时，有 ( t ) t k - 1 ) 7 0 当, + 1 廖 o 综上引理得证 引理3 2 假设0 a 卢如果“( f ) 是方程( 1 1 ) 的一个最终正解，并且“( 力n 1 则有 f 一 f 。( s - t ) - l q ( s ) d s 古出 c - ( s - t ) n - 2 【厂”矿似帕卜 其中c ，= 禹则有 州力c ( 删厂t ( s - - t ) n - 2 厂( r - s ) n - l q ( r ) d r 幽 即 揣蝈厂”矿之i s 叫川咖，叫：出 ( z f ( 聊： j flj 对上面不等式两边从f 到o o 进行积分，得 厂器q s - t ) - l d t叫川咖，咖卜j r ( “( f ) ) ； l sj 7 l 东北师范大学硕士学位论文 其中c 2 ：由于o a 1 因此不等式左边积分收敛则有 刀一l口 即( 3 1 ) 成立 , j _ ( s - t ) - ln 叫川咖，叫出 口 引理3 3 假设0 ( 2 z 卢如果“( 力是方程( 1 1 ) 的一个最终正解，且l i r al k u ( t ) = o o ，其中 l - - * o o k 为奇数，并且1 k 胛则有( 3 1 ) 成立 证明：由上节可知，若甜( f ) 是方程( 1 1 ) 的任意正解，那么有( f ) 坼，其中| | 是奇数 由于1 k 竹，我们根据引理2 1 对方程( 1 1 ) 进行积分 首先从f 到0 0 积分肝次，得 其中c o = ( 刀一1 ) ! 。 绷) c o j ：o o ( 川) n - l q 似s ) ) b d s ， 再次对上式从f 到o o 积分”一j j 次，得 l k u ( t ) c i( 川) “， l 其中c = 万对上式从丁到f 积分，得 址似蛇c t f ，r 驴一j ) ”咄- 1l l 再次对上式从丁到t 积分k 一2 次，得 伽q j = r ( 卜2 其中c 2 = 舞则有 ( r - - s ) 柑一，f 【 伽( 力c 2 t ( 卜越幽 i ”矿一尸叫出， c 刁一力”一lg c 叩，c c 吁，卢砌】吉咖 d s c 叩一力”一1 9 c 刀，c 甜c 叩，卢咖 寺咖 d j ， r f p f ) ”一一1 眺叼厂卜矿小l f c 叩一，”一i g c 叩，c 甜c 刁，卢咖】丢咖l c ，一s ，”一，g c r ，c 甜c r ，卢咖1 d s 叼厂沪似劝：( f ”s ) n - l qc3(tt ) n - k - 1 ( r ) d r ) ；d s t 一丁) 。一1 f ( s 一 ( 甜( s ) ) 导lf ( ，一s )( r i j、j， c 3 ( t - t 广- 厂c 洲小k 筹( 8 ( 广1 咖) d 幽， ， 一 ， 东北师范大学硕士学位论文 其中c 3 = 瓦c 了2 则由引理3 1 得 从而 上1 对上面不等式两 肿，c 尸辩厂c 丽l l u ( t ) c 3 厂卜旷2 ( 甜( f ) 吉 j ，、 边从t 到o o 进行积分，得 j 羔q 厂”旷1 f 了l 4i u f ， j r ( 材( f ) ) 吾 j r 其中c 4 ：；由于o 口 1 因此上面不等式的左边积分收敛则有 ( s - t ) 川f l”蚋咖卜 魁 口 引理3 4 假设0 口 卢如果( f ) 是方程( 1 1 ) 的一个最终正解设h l i r a 。l k l u ( t ) = c ( 0 c 0 0 ) ，其中k 为奇数，并且1 k n 则有( 3 1 ) 成立 证明：若“( f ) 是方程( 1 1 ) 的任意正解，那么有材( 力n k ，其中| j 是奇数由于1 0 ，使得 f ，： 厂( s - - t ) n - i q ( s ) d s 吉西s 脑 又由引理2 1 可知l k u ( t ) 0 ，所以存在b 0 ，使得l 扣lz ，( f ) b 对这个不等式积分k 一1 次， 可得 伽= 砸) 志一 则存在m 2 0 ，使得 f 舯f ( s - t ) n - i q ( s ) d s 卜尬 由于0 口 卢，从而有 一 f ( s - t ) n - l q ( s ) d s 。酞 即( 3 i ) 成立 口 引理3 5 假设0 0 ，使得 甜m ip - 1 r - t ) n - l q ( r ) ( u ( r ) 严小 由于“( f ) 是单调递增的，从而有 材7 ( 力锄广b ( f ) ) ： f ( r - t ) - l q ( r ) d r r 、 ， 东北师范大学硕士学位论文 则有 淼芝矿1n l j r 卅( 叫古( 甜( f ) ) 言 j 由于星 l ，从而对上面不等式从丁到进行积分，可得不等式左边积分收敛则有 即( 3 1 ) 式成立 一 i f ( r - t ) n - l q ( r ) d r t 认 口 引理3 6 假设0 a 卢如果“( f ) 是方程( 1 1 ) 的一个最终正解，且。魄厶一1 吠f ) = o o ，其中 k 为奇数，并且聆 k 2 n 则有( 3 1 ) 成立 证明：由于玎 k 0 ( ，= 0 ，1 ，动，且已知疗 口 0 ，则存在 则有 k 一0 + 1 ) s ，使得卢一口 s 0 并且由引理3 1 ，我们得到 l ，“c 力c 5 ( t - t ) 譬+ 加一t ，：( r - t ) 2 - k - 1 喇a + b ) q ( r ) d r ( 兼冯c 户沪1 卜和叫 从丁到0 0 积分上面不等式，可得 f ”矿m 1 ) 剿叫j rl 从而存在m 0 ，使得 f c 一砂叫晋印 则存在尬 0 ，使得 u f t ) ( t 一丁) 彳+ 口厂 c r 一矿小坝a + s ) q ( r ) d r 。 卜垆小训+ b ) q ( r ) d r 卜， c r s ，z 一一t 一十觑爿+ 口，g c 一咖】：d s f ， ”庐一和叫j 卜舻叫吉m 整理上面不等式，有 ， fp f ) 2 ”一1 + 觑a + b ) q ( r ) d r m 2 ( t 一丁) 一。+ ”+ ( 。+ 8 ) 叫+ 占) 一”， f 其中尬= 哞则存在尬 0 ，使得 ，m ( f 一丁) 2 ”一一1 + 觑a + b fq ( r ) d r g a ( t t ) - k + ”+ ( 口+ 砷+ 口) 一彻， f 整理上面不等式，得 ， fq ( r ) d r m 3 ( t 一丁) ”+ 1 + 叶嘲似+ 动嘲 f 对上面不等式积分胛一1 次，则存在m 4 0 ，使得 f ( ，卅_ 咖) 办尬( 卜州叶洲柑卜彻， 1 2 东北师范大学硕士学位论文 f ( r - t ) n - ! q ( r ) d r 古蝴砷咧枷h ， 其中m 5 = 鸩对上面不等式两边同时乘以o r ) 川，并从t 到0 0 进行积分， 使得 f f ( t - t ) - 1 i f ( r - t ) - lq ( r ) d r ；i 坊舰。一乃丢c 口+ 嘲c 彳+ 扪 由前面我们知道卢一a s 0 ，则l ( t r + 一卢) 似+ b ) 0 从而有 f c 一广1 f ( r - t ) - 1 q ( r ) d r 吉出坛 即 t - t ) - ii f ( r - t ) n - l q ( r ) d r 仍 0 ， 口 引理3 7 假设o 口 卢如果“( 力是方程( 1 1 ) 的一个最终正解，设。l i m 。l k - 1 u ( t ) = c ( o c o o ) ，其中k 为奇数，并且胛 k 2 n 则有( 3 1 ) 成立 证明：由于刀 豇 0 ，使得l “( f ) b 对上面不等式积分| j 一刀一1 次，得 圳眇b - 户一，其中b 严志 根据引理2 1 可知l j u ( t ) 0u = 0 ，1 ，动，又已知胛 占，等 甜( 力 b 2f 学一，其中b 2 ： 1 3 上 b ； ( 学+ 1 ) 、k - 口n - i + 玎) 东北师范大学硕士学位论文 从而有 对上面不等式进行整理，得 则有 则存在m 0 ，使得 对上面不等式进行整理，得 ， f ( r f ) 2 ”靠g ( ，) p 一垆字+ n ) d r o o t j t 厂( ，叫2 p 州警圳拈砂 o o ， f 喇挚峒d r 0 ，使得 j ( 川n - l q 咖尬t - n + k - i - 3 ( 争， 所以有 j _ ( r - t ) n - i q ( r ) d r 孑1 讲r 叫半 对上面不等式两边同时乘以( t r ) ”1 ，有 c ，一丁，川 f ( r - t ) n - l q ( r ) d r 讲，毕一t 由于竺兰二l 笠竺= ! 业+ 刀一1 0 ，所以l i ml u ( t ) = 或l i ml k l u ( t ) = c ( i ) 当七= 1 时，即“( 力n 】由引理3 2 可知，( 3 1 ) 成立 ( i i ) 当1 k 胛时， 若“( f ) n k 且l i m l k - l u ( t ) = 由引理3 3 可知，( 3 1 ) 成立 若z ，( f ) n k 且l i m 三扣1 ( 力= c 由引理3 4 可知，( 3 1 ) 成立 ( i i i ) 当k = ，z ，即聆为奇数时由引理3 5 可知，( 3 1 ) 式成立 ( i v ) 当刀 k 2 n 时， 若“( f ) 肌且l i ml 扣1 u ( t ) = o o 由引理3 6 可知，( 3 1 ) 成立 若( f ) n k 且l i ml k - 1 u ( t ) = c 由引理3 7 可知，( 3 1 ) 成立 综上，定理得证 由定理3 1 我们可以得到下面的推论： 推论3 1假设0 口 卢若 一 厂t ( s - t ) n - l q ( s ) d s td t 一 则方程( 1 1 ) 的解是振动的 1 5 参考文献 【1 】e l b e r ta o r d i n a r ya n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m n e wy o r k ：s p r i n g e rb e r l i n h e i d e l b e r g ，1 9 8 2 ，9 6 4 ： 1 8 7 2 1 2 【2 】m i r z o vdd o s c i l l a t o r yp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fas y s t e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，19 7 3 ，9 ：4 4 7 4 4 9 3 3m i r z o vdd a b i l i t yo f t h es o l u t i o n so f as y s t e mo f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oo s c i l l a t e j m a t hn o t e s ， 19 7 4 ，16 ( 4 ) ：9 3 2 - 9 3 5 【4 】i z y u m o r advm i r z o vdd o s c i l l a t i o np r o p e r t i e so fs o l u t i o n so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，1 9 7 6 ，1 2 ：8 3 8 8 4 2 【5 】e l b e r ta ，k u s a n ot o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rac l a s so fs e c o n do r d e r q u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j a c t am a t hh u n g a r , 1 9 9 0 ，5 6 ( 3 - 4 ) ：3 2 5 3 3 6 【6 】b h a t i anp s o m eo s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t ha n a la p p l , 1 9 6 6 1 5 ： 4 4 2 - 4 4 6 【7 】m a c k ijw ，w o n gjsw o s c i l l a t i o no fs o l u t i o n st os e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j p a c i f i cd m a t h ，1 9 6 8 ，2 4 ( 1 ) ：111 - i1 7 【8 r a n k i nsmw o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rs e c o n do r d e rn o n h o m o g e n e o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 7 6 ，5 3 ：5 5 0 - 5 5 3 【9 k a m e n e viva ni n t e r g r a lc r i t e r i o nf o ro s c i l l a t i o no fl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r j m a t e z a m e t k i ，1 9 7 8 ，2 3 ( 2 ) ：2 4 9 2 51 【l o 】w o n gjsw r e m a r k so nn o n o s e i l l a t i o nt h e o r e m sf o ras e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n j p r o c a m e rm a t hs o c ，1 9 8 1 ，8 3 ( 3 ) ：5 4 1 - 5 4 6 【1 1 e r b elh ，m u l d o w n e yjs n o n o s c i l l a t i o nr e s u l t sf o rs e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j r o c k y m o u n t a i nm a t h 以1 9 8 2 ，1 2 ：6 3 5 - 6 4 2 【12 】k w o n gmk ，w o n gjsw l i n e a r i z a t i o no fs e c o n do r d e rn o n l i n e a ro s c i l l a t i o nt h e o r e m s j t r a n sa m e rm a t h s o c ，19 8 3 ，2 7 9 ( 2 ) ：7 0 5 - 7 2 2 13 】w uf n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so ff o u r t ho r d e rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j f u n k c i a l e k v a c 2 0 0 2 4 5 ： 7 1 8 8 【1 4 n a t i om ，w uf o nt h ee x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so ff o u r t h - o r d e rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j n o n l i n e a r a n a l y s i s 2 0 0 4 ，5 7 ( 2 ) ：2 5 3 2 6 3 1 5 】k u s a n ot ，n a t i om n o n l i n e a ro s c i l l a t i o no ff o u r t ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】c a n ，m a t h ，1 9 7 6 ，2 8 ( 4 ) ： 8 4 0 8 5 2 16 n a i t om o np o s i t i v es o l u t i o n so ff o u r t ho r d e rq u a s i l i n e a rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s j a n nm a tp u r aa p p l , 19 7 8 1 1 7 ：7 9 1 1 3 17 】k i t a m u r ay u i e h i ，k u s a n ot a k a s i o nt h eo s c i l l a t i o no fac l a s so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hd e v i a t i n g a r g u m e n t j j o u r n a l o f m a t h e m a t i c a l a n a l y s i sa n d a p p l i c a t i o n s ，1 9 7 8 ，6 6 ：2 0 3 6 1 6 18 】e l e n ab e r e t t a ，m i c h i e lb e r t s c h ，r o b e r t ad a lp a s s 0 1 n o n n e g a t i v es o l u t i o n so f af o u r t h o r d e r n o n l i n e a rd e g e n e r - a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n j a r c h i v e f o r r a 矗o n a l m e c h a n i c s a n d a n a l y s i s ，1 9 9 5 ，1 2 9 ( 2 ) ：1 7 5 2 0 0 【1 9 e r b elh ，t a n gm u n i q u e n e s st h e o r e m sf o rp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n so f q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si nab a l l j d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 7 ，1 3 8 ( 2 ) ：3 5 1 - 3 7 9 2 0 】k a m ok i ，u s a m ih o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rf o u r t h o r d e rq u a s i l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u