（运筹学与控制论专业论文）非完整系统的跟踪和高阶问题的研究.pdf

曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士q 论文非完整系统的跟踪和 高阶问题的研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士 嗵学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含他 人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 日期：a 。1 0 芗刁i 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“”) 非完整系统的跟踪和高阶问题的研究系本人在曲阜师范大学攻读博士口 硕士a 学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士日学位论文。本论文的 研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发 表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。 本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发 表论文的全部或部分内容。 作者签名：王遂迁 剔噬狲谬少弋屿 日期： a 。l o 芗钏 日期锄够r 。；l 摘要 最近几年来，非完整动态系统的设计已经引起研究人员足够的重视由于一些非线性机 械系统受n - - i i ! 完整或不可积分的限制而产生这类系统，已经不能用原来的研究方式进行 研究非完整系统是一类十分重要的机械系统，它具有广泛的应用背景，很多研究人员已经 对带有非完整限制的非线性机械系统的控制和稳定方面做了很多研究，也取得了丰硕的成 果众所周知，非完整系统比较难的原因在于：仅仅通过连续的状态反馈是不可能解决这一问 题的传统的非线性方法是不能够直接应用的，主要在于第一阶近似的的非完整系统是不可 控的，并且也不存在连续的反馈线性变换 尽管对于低阶非完整控制系统的稳定性问题已经被很好的解决了，但是跟踪控制和高阶 的非完整控制问题却很少有人去研究从实际应用的观点来看，无论跟踪问题还是高阶非完 整系统的稳定设计更具有实际意义的，因此需要引起我们的足够重视有些作者设计了以线 性化为基础的跟踪控制策略，解决了带有两个自由度的移动机器人的控制问题这种控制策 略最近被扩展应用简化了移动机器人的动态模型 对非完整系统的研究也取得了一些进展有很多受非完整限制的机械系统可以局部的或 全局的转化为扩展的链式系统和状态反馈系统 针对这类非完整系统，有的科研人员已经提出了一些新的方法来使得该类系统达到渐近 稳定方法主要有：光滑的时变反馈设计形式非连续反馈技术和光滑的时变一致反馈基于 这种非完整积分器，一类变结构指数稳定的链式系统也被深入研究 从系统的鲁棒性方面已经讲述了渐近指数稳定在一些论文中介绍了非线性不确定漂移 项的非完整链式系统和带有强线性漂移项的高阶非完整系统的自适应全局渐近稳定性 本文考虑的系统是非完整系统的跟踪问题和带有非线性漂移项和未知参数的高阶非完 整系统的设计设计的控制器保证了闭环系统的稳定性，收敛性尽管高阶非完整系统也应 用了状态模技术和强积分反步反步设计法但是设计过程更加复杂，特别是在处理非线性漂 移和位置参数在本文中，我们可以将这种方法来解决全局路径跟踪问题仿真算例验证 了所提方法的正确性 关键词：非完整系统，跟踪控制，链式系统，高阶系统，全局渐进稳定，积分回 归设计 i a b s tr a c t t h ec o n t r o lo fn o n h o l o n o m i cd y n a m i cs y s t e m sh a sr e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nd u r - i n gt h el a s tf e wy e a r s t h i sp a r t i c u l a r l yi n t e r e s t i n gc l a s so fn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e ma r i s e s f r o mc o n t r o lp r o b l e m sr e l a t e dt om e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hn o n h o l o m i co rn o n i n t e r g r a b l e c o n s t r a i n t s a m o n gs e v e r a lp r a c t i c a la n dt e c h n i c a lr e a s o n st os t u d yn o n h o l o m i cc o n t r o l p r o b l e m si st h ef a c tt h a ts u c hac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m sc o n n o tb ea s y m p t o t i cs t a b i l i z e d b yo n l yu s i n gc o n t i n u o u ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a w s t h er e s e a r c h e r sh a v ed o n em u c hw o r k a b o u tt h ec o n t r o la n ds t a b i l i z a t i o no fn o n - l i n e a rm e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hn o n h o l o n o m i c c o n s t r a i n t s t h i sp r o b l e mi sk n o w nt ob er a t h e rd i f f i c u l t ，l a r g e l yd u et ot h ei m p o s s i b i l i t yo f a s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i z i n gn o n o h o l o n o m i cs y s t e m sv i ao n l yc o n t i n u o u ss t a t e - d e p e n d e n tf e e d - b a c k t r a d i t i o n a ll i n e a rm e t h o d sa n de x i s t i n gn o n - l i n e a rc o n t r o ld e s i g n sa r en o ta p p l i c a b l e b e c a u s eo ft h eu n c o n t r o l l a b i l i t yo ft h e 丘r s t o r d e ra p p r o x i m a t i o no fan o n h o l o n o m i cs y s t e m a sw e l la st h en o n - e x i s t e n c eo faf e e d b a c kl i n e a r i z i n gt r a n s f o r m a t i o n a l t h o u g ht h es t a b i l i z a t i o np r o b l e mf o rl o wd e g r e en o n h o l o n o m i cc o n t r o ls y s t e m si sn o w w e l lu n d e r s t o o d ，t h et r a c k i n gc o n t r o lp r o b l e ma n dt h eh i g hd e g r e ec o n t r o lp r o b l e mh a v e r e c e i v e dl e s sa t t e n t i o n f r o ma p r a c t i c a lp o i n to fv i e w ，t h es t a b i l i z a t i o no ft r a j e c t o r i e sa n d t h eh i g hd e g r e ec o n t r o lp r o b l e m - t u r no u tt ob em o r em e a n i n gf u l la n dt h e r e f o r ed e s e r v e s o u rf u l la t t e n t i o n s o m ea u t h o r sd e s i g n e dal i n e a r i z a t i o n - b a s e dt r a c k i n gc o n t r o ls c h e m ef o r am o b i l er o b o tw i t ht w od e g r e e so ff r e e d o m t h es c h e m ew a sr e c e n t l ye x t e n dt oas i m p l i f i e d d y n a m i cm o d e lo ft h em o b i l er o b o t t h ec o n t r o lo fn o n h o l o n o m i cd y n a m i cs y s t e m sh a sa c h i e v e ds o m ea i m s i ti sw e l lk n o w n t h a tm a n ym e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hn o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t sc a nb el o c a l l y , o rg l o b a l l y , c o n v e r t e dt ot h ee x t e n dc h a i n e df o r mu n d e rc o o r d i n a t ec h a n g ea n ds t a t ef e e d b a c k s e v e r a ln o v e ln o n l i n e a rc o n t r o lf e e d b a c kd e s i g nh a v eb e e np r o p o s e di nt h el i t e r a t u r et o a c h i e v et h ea s y m p t o t i cs t a b i l i z a t i o nf o rs u c hn o n h o l o n o m i cs y s t e m s t h e s em e t h o d si n c l u d e t h eu s eo fs m o o t ht i m e - v a r y i n gf e e d b a c ko ft h ed i s c o n t i n u o u sf e e d b a c kt e c h n i q u e s ，a n dn o n s - m o o t ht i m e - v a r y i n gh o m o g e n e o u si 、弋i b a c k b a s e do nt h ee x t e n d e dn o n h o l o n o m i ci n t e g r a t o r ， av a r i a b l es t r u c t u r ee x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o no fc h a i n e ds y s t e m sw a sd e v e l o p e d t h er o b u s t n e s si s s u eh a sa d d r e s s e df o rt h ea s y m p t o t i ca n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yp r o p - e r t i e s an e wc l a s so fn o n h o l o n o m i cs y s t e m si np e r t u r b e dc h a i n e df o r ma n dw i t hd r i f 七 u n c e r t a i nn o n l i n e a r i t ya n da na d a p t i v eg l o b a ls t a b i l i z a t i o nc o n t r o l l e rw e r ei n t r o d u c e d i i t h i sp a p e rc o n s i d e rt h et r a c k i n gc o n t r o lo fn o n h o l o n o m i cs y s t e ma n dt h ed e s i g no fc o n - t r o l l e rf o rac l a s so fh i g ho r d e rn o n h o l o n o m i cs y s t e m sw i t hn o n - l i n e a rd r i f t sw h i c hg u a r a n t y s t h ec o n v e r g e n c eo ft h ec l o s e d - l o o ps y s t e m t h o u g h tt h ec o n t r o l l e rd e s i g ni sa l s ob a s e do na c o m b i n e da p p l i c a t i o no fas t a t es c a l i n gt e c h n i q u ea n dt h ea d d i n gap o w e ri n t e g r a t o rb a c k - s t e p p i n gm e t h o d ，t h ep r o c e d u r ei sm o r ec o m p l e xt od e a lw i t ht h en o n l i n e a rd r i f t s ae x a m p l e i sp r o v i d e dt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s sa n da p p l i c a b i l i t yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m s k e y w o r d s ：n o n h o l o n o m i cs y s t e m ，t r a c k i n gc o n t r o l ，c h a i n e ds y s t e m ，h i g h d e g r e es y s t e m ，g l o b a la s y m p t o t i c a ls t a b i l i z a t i o n ，t h ea d d i n gap o w e ri n t e - g r a t o rb a c k s t e p p i n gm e t h o d i l l 3 4仿真举例3 1 3 5结论3 2 结束语3 4 参考文献3 5 致谢4 0 i v v 第一章绪论弟一早珀t 匕 1 1非完整系统的研究概述 非完整系统起源于非完整分析力学是指典型的受非完整约束( 非完整约束是指含有系统 广义坐标导数且不可积的约束) 系统包括自行车，汽车和飞机起落架的运动，移动机器人，某 些空间机器人，水下机器人，欠驱动机器人和运动受限机器人等经过了百余年的研究表明， 非完整系统在理论和实际应用两方面都具有重要的价值 1 9 世纪末2 0 世纪初在经典力学中已对非完整系统做了基础性研究国内外对非完整系统 的研究非常活跃，自2 0 世纪5 0 年代以来，科技发展和生产实际的需要促使非完整系统的基础 和应用研究都有了进一步发展在8 0 年代末起，由于机器人及车辆控制发展的需要，国外对 非完整系统的控制问题进行了较为深入的研究由于非完整约束是对系统广义坐标导数的 约束，它不减少系统的位形自由度，这使得系统的独立控制个数少于系统的位行自由度，给 其控制设计带来很大困难另外，利用非线性控制系统理论的微分几何方法已证明：非完整 系统不能用连续的状态反馈镇定因此以研究连续状态反馈为主的现代控制理论中大量成 熟的结果无法直接用于非完整系统的镇定控制研究 那么在实际的现实世界有都有哪些是非完整系统呢? 我们归类如下： 1 最经典的非完整控制系统主要包括移动机器人，智能车辆，空间机器人等 2 机械系统中如果控制数目不足，并且广义速度或者加速度满足某种约束，则这类系统可 以看做是一阶不可积或者是二阶不可积的非完整系统 3 同时具有运动的对称性和非完整约束的系统例如滑雪板，轮式蛇形板等具有非完整约 束和角动量守恒 科研人员对非完整系统热衷的原因可以归结如下：在自然界中大多数的系统都是非线性 的系统，而很多实际应用的系统还带有非完整的约束以往的任何线性系统的研究方法不能 直接应用到非完整系统上，也就是这个原因非完整系统发展还很不完善因此，应用现代控制 理论去解决非完整系统的控制和跟踪问题是一个很具有挑战性的课题 1 2 非完整跟踪系统的研究现状 由于非完整系统的镇定已经是非常具有挑战性的工作了，那么对于非完整系统的跟踪问 题就更复杂了下面我们简要介绍一下非完整跟踪问题的研究现状，跟踪主要分为：位置跟踪 1 和位姿跟踪两种，目前研究最多的是位置跟踪，主要是因为位置跟踪与镇定很类似可以采用 反馈线性化等非线性的控制方法进行控制位姿跟踪又可以根据其轨迹是否为时间函数分 为路径跟踪和轨迹跟踪路径跟踪是不考虑时间的几何位置跟踪，而位姿跟踪是希望在规定 的时间内到达指定位置的跟踪一般说来，路径跟踪要简单一些【1 1 】，而轨迹跟踪则更加复杂 困难一些 前面已经说到非完整系统已经非常具有挑战性了，那么自然对于非完整系统的跟踪问题 就研究的较少其中的跟踪问题大都是集中研究非完整移动机器人( 包括链式模型) 的跟踪 控制方面这种轨迹跟踪大都是先给定一个轨迹模型，然后设计系统使得系统跟踪给定的期 望模型尽管非完整控制系统的稳定性问题已经被很好的解决了，但是跟踪控制问题却很少 有人去研究 从实际应用的观点来看，跟踪问题还是更具有实际意义的，因此需要引起我们的足够重 视在1 5 1 中，作者设计了以线性化为基础的跟踪控制策略，解决了带有两个自由度的移动机 器人的控制问题这种控制策略最近被扩展到了文章 8 1 中，简化了移动机器人的动态模型 在论文9 】中，通过一种平滑的微分方法，解决了跟踪控制问题上面提到的这些文章都是解 决了一些非完整系统的局部跟踪问题我们都知道，s a m s o n 在文章 3 0 】中第一次对带有非完 整限制的两轮的机器人做了研究，并且设计出了全局的跟踪控制器积分反步设计法被用来 处理一些带有非完整限制的机械系统，并且都能达到全局渐进稳定例如文章【1 0 】， 1 3 】， 1 4 1 3 高阶非完整系统的研究现状 前面已经提到低阶非完整控制系统的稳定性问题已经很复杂了，那么高阶的非完整控制 问题更是很少有人去研究从实际应用的观点来看，高阶非完整系统的稳定设计更具有实际 意义的，因此需要引起我们的足够重视 对高阶的非完整系统的研究也取得了一些进展有很多受非完整限制的高阶系统甚至 是含有漂移项的系统其稳定性已经被解决了f 4 8 】 针对这类非完整系统，有的科研人员已经提出了一些新的方法来该类系统达到渐近稳 定方法主要有：光滑的时变反馈设计形式非连续反馈技术和光滑的时变一致反馈基于这 种非完整积分器，一类变结构指数稳定的链式系统被深入研究 很多文章从系统的鲁棒性方面已经讲述了渐近指数稳定在一些论文中介绍了非线性 不确定漂移项的非完整链式系统和带有强线性漂移项的高阶非完整系统的自适应全局渐进 稳定性 2 本文考虑的系统是带有非线性漂移项和未知参数的高阶非完整系统的设计设计的控 制器保证了闭环系统的稳定性，收敛性尽管高阶非完整系统应用了状态模技术和强积分反 步反步设计法但是设计过程更加复杂，特别是在处理非线性漂移和位置参数 1 4 本文解决的主要问题 本文主要针对两类带有非完整限制系统研究了以下两个问题： 1 考虑了如下具有多个输入的非完整系统的跟踪问题 x o 2u o 也1 = 圣1 2 2x i l u o ： x 。i l i = x i ( n 一1 ) u o ，( 1 4 1 ) 其中z = ( x 0 ，x l ，z m ) 形，x i = ( x i l ，x i 2 ，x i n t ) 1 i m 他= l + 銎1 是状态，并 且u o 和分别为输入 下面给出我们需要被跟踪的轨迹方程x d = ( z l d i 一，z 利) 血l d = 咖d 也1 d = u i d j h 2 a = = x i l d u o d ： 圣讥t d = x i ( m d d u o d( 1 4 2 ) 2 考虑了带有未知参数的高阶非完整系统的稳定问题 x o = 钟 z 1 = ( 驾1 + 9 r 五( z o ，x 1 ) ) 瞎+ 西1 ( z o ，u o ，x 1 ) 叠t =( z 尊l + 口r 五( z o ，z 1 ，z i ) ) 诏+ 西i ( z o ，u o ，x 1 ，x 1 ) 唬= u p ”+ 俨五( 加，x l ，z n ) + 无( z o ，u o ，z 1 ，z n ) ( 1 4 3 ) 其e e z o r 是状态向量，z = p 1 ，x 2 ，x n 】形，和钍为控制输入，0 t r m 1 为未知参 数设计出自适应状态反馈控制器，使得闭环系统是渐近稳定的 3 本章的内容安排如下：第一部分是引言，第二部分给出了问题的描述，第三部分是给出 了解决跟踪问题的设计过程，第四部分给出了一种特殊情况下的跟踪控制，第五部分通过 仿真验证了该设计方法的正确性，第六部分对本章作了一个小结 2 1引 言 非完整系统是一类十分重要的机械系统，它具有广泛的应用背景，近年来，很多研究人 员已经对带有非完整限制的非线性机械系统的控制和稳定方面做了很多研究，也取得了丰 硕的成果众所周知，非完整系统比较难的原因在于：仅仅通过连续的状态反馈是不可能解决 这一问题的传统的非线性方法是不能够直接应用的，主要在于第一阶近似的的非完整系统 是不可控的，并且也不存在连续的反馈线性变换 尽管非完整控制系统的稳定性问题已经被很好的解决了，但是跟踪控制问题却很少有 人去研究从实际应用的观点来看，跟踪问题还是更具有实际意义的，因此需要引起我们的 足够重视在 1 5 】中，作者设计了以线性化为基础的跟踪控制策略，解决了带有两个自由度的 移动机器人的控制问题这种控制策略最近被扩展到了文章 8 中，简化了移动机器人的动 态模型在论文 9 】中，通过一种平滑的微分方法，解决了跟踪控制问题上面提到的这些文 章都是解决了一些非完整系统的局部跟踪问题我们都知道，s a m s o n 在文章 3 0 】中第一次 对带有非完整限制的两轮的机器人做了研究，并且设计出了全局的跟踪控制器积分反步 设计法被用来处理一些带有非完整限制的机械系统，并且都能达到全局渐进稳定例如文 章f 1 0 1 ，f 1 3 1 ，1 4 1 在这篇文章中，我们继续应用以反步设计法为基础的控制设计来研究具有多个输 入的非完整链式系统类似的系统已经被很多研究人员当做标准的例子来研究了，例如 ( 【2 2 】， 2 6 】， 2 9 】， 3 2 ， 3 3 】， 4 】和 1 0 ) 在本文中，我们扩展了文章 1 1 】中的反步设计法，这种方法 可以应用到更广发的非完整系统中去当然对于参考轨迹的限制也更加严格了 路径跟踪问题也已经有很多研究人员在研究了，例如( 2 4 ， 2 s 2 9 】和【3 1 】) 对于轮式的 机器人，在 2 8 】， 2 9 中应用的是光滑的反馈控制律完成路径跟踪设计，与此同时在 3 1 中是采 用的非连续控制器来达到指数收敛在本文中，我们可以将这种方法来解决全局路径跟踪问 题 4 2 2问题描述 考虑如下非完整链式系统： z 0 2u o s c n = u i 圣t 2 = x i l u o 圣讥t = x i ( n t d u o ， ( 2 2 1 ) 其中z = ( z 0 ，x l ，z m ) 形，x i = ( x i l ，x i 2 ，z 溉) 1 i mn = l + z i 坠1 是状态，并 且铷和讹分别为输入 下面给出我们需要的轨迹方程x d = ( x l d ，z 利) 圣0 d 。u o a 圣n d 2u i d 圣e 2 d 2x i l d u o d 圣魄d = x i ( n i 一1 ) d u o d( 2 2 2 ) 其中u o a ，u 诅为时变的参考输入 我们定义跟踪误差为z 。全z 一黝可以直接得到满足如下的微分方程 圣o e = u o 一咖d 魂l e = 地一地d 圣i 2 e = ? 比o d x i l e + x i l ( u o u o d ) ： x 。i n i e = u o d x i ( n 一1 ) e + x i ( n t a ) ( u o u o d ) ( 2 2 3 ) 在本文中我们将使用反步设计方法来解决跟踪控制问题 定义1 ：如果给定包含原点的任意紧集s 舻，可以设计连续的时变的状态反馈控制器 u o = u o ( t ，z ) ，讹= m ( 亡，z )( 2 2 4 ) ，且任意的初值误差z 。( o ) = z ( o ) 一x a ( o ) s ，闭环系统( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 的信号在 o ，。) 是一 致有界的且满足 。l i ml x e ( 亡) i = 0 t - 5 ( 2 2 5 ) ，则称跟踪问题对于系统( 2 2 1 ) 是半全局可解的 进一步，如果对于任意的初值跟踪误差z 。( o ) r n ，都是成立的，则称跟踪问题对于系 统( 2 2 1 ) 是全局可解的 2 3 主要结果 本节给出我们研究的主要结论从现在开始，我们将要一些条件限制下研究上面的问 题，后面我们将会给出系统的稳定性分析为了后面应用的方便我们我们先介绍一种变换将 系统( 2 2 3 ) 转化为类三角结构，只有这样我们才能应用反步设计方法 其中锄全( 婉1 d ，兢n ；d ) ，里1 ( ；锄) ：i y _ 舻为定义的变换关系， 玑七 = x i ( n i - - 七+ 1 ) e 一( x i ( n i 一七) e + x i ( 啦一k ) d ) x o e ，1 k 扎i 一1 y i n t = x i l e ，1 i m = z o e( 2 3 1 ) 直接运算可知，皿l ( ；锄) 对于钆形一2 是微分同胚的并且它的逆皿f 1 ( ；钆) 为 z o e2 鲰 x i l e2 玑n k - 2七一1 。= 州) 旗+ y i ( 铲奄柳) 疗1 ，2 k n j = lj = 1 在新的坐标y = ( y l ，) ，系统( 2 2 3 ) 被转化为 ( 2 3 2 ) 犰1 = u o d y i 2 一x i ( 毗一2 ) ( u o 一咖d ) 执2 = u o d y l 3 一戤( n 一3 ) ( u o 一d ) 执七= u o d y i ( k + a ) 一x i ( t l b 一七一1 ) ( 咖一妣) ： 1 7 i ( m 一1 ) 2l l , 0 d y i n t 一牡e 矾t l = 一讹d 彘= u o 一呦d ( 2 3 3 ) 6 从现在开始，我们将研究系统( 2 3 3 ) 并且积分反步设计方法将会被应用到新的系统中 笫f 步：从( 2 3 3 ) 的子系统玑1 一子系统开始研究 执1 = u o d y i 2 一x i ( n t 一2 ) ( u o 一d ) 我们将y i 2 看做一个虚拟的控制输入，变量u o d 和鲰是时变函数 使得玩1 = 轨1 我们选择一个平方的李亚普诺夫函数 v i l ( o i 。) = 主菇 这样我们就可以的到k 1 沿着( 2 3 。4 ) 的导数满足 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 谚1 = u o d * k 1 y i 2 一甄1 戤( n t 一2 ) ( 咖一u o d ) y , , ( 2 3 6 ) q n 1 ) = 0 对于系统( 2 3 4 ) 来说是一个稳定，函数其中y n = 0 我们可以选择一个新的变 量甄2 如下： ( 2 3 6 ) 将被转换为 9 i 2 = y i 2 一q i l ( y i l ) ( 2 3 7 ) v i i = u o d y i l y i 2 一玩1 戤( t l t 一2 ) ( 咖一铂o d ) ( 2 3 8 ) 7 第p ( 2 p 吼一2 ) 步：假设第0 1 ) 步，对( 2 3 3 ) 的子系统z = ( y i l ，y i ( p 一1 ) ) 被看做一个虚拟控制器，我们可以设计光滑的虚拟控制函数口巧( 1 j p 一1 ) 使正定 的李亚普诺夫函数 满足 p 一1 ) k 一1 ) ( 玩1 ，矾一1 ) ) = ( 2 3 9 ) 岫蛐一( 蕃p - 1 蜘一一p 例- 2 j 场o o l ee l , o o q j x 铷咖) 岫矾( p - 1 ) 一( z n 一一1 一。+ 1 ) 踟。铷一蚍) j = 1歹= 1 七= 1 。“。 ( 2 3 1 0 ) 其中玩1 = y i l 和奶= 物一c t i t 一1 ) 慨1 ，犰u 一1 ) ) 对于任意的2 j p 都成立 我们将要证明对于( 2 3 3 ) 的子系统( y i l ，蜘) 也是成立的其中y i ( p + 1 ) 被看做是虚 拟的输入考虑正定合适的李亚普诺夫函数 ( 虢1 ，) = k 一1 ( 吼1 ，蟊( p 1 ) ) + 击毙 1 沿着系统( 2 3 3 ) 的导数满足 我们可以得到 ( 2 3 1 1 ) 一c 薹p - - i z m 十- 一蔷p - - 2 苫j 虢，象小以u o - - u 0 4 ， + 阻0 d 矾( p _ 1 ) + z $ o d y i ( p + 1 ) 一鼢( 礼p p 一1 ) ( z 幻一u o d ) y 一薹等( u o d y i ( k + 1 ) - - x i ( n 。- k - 1 ) ( 删 ( 2 3 舶) 8 2 塘 一y 1 2 州脯 选择 p = 一( 9 0 z 州一 j = l p 一1j ff ：一t ：一 j = lk = l + u o a g t p 【犰( p 一1 ) + 玑( p + 1 ) 一 玑_ 。+ 1 ) o n a ，i j n。一七一1)(uo-uod-,tx) 玑。+ 1 ) 否玑七n t 一七一1 ) a 纫( 犰1 ，) = 一玩( p 一1 ) + 从( 2 3 1 3 ) ，我们可以得到 y i c k + 1 ) 】 玩1 ) = 犰( 升1 ) 一o e i p ( y i l ，) p = u o d 鳓吼1 ) 一( 勤z 铲 j = l p 一1 j = l y i ( 七+ 1 ) 擎j _ ，瓦o a 0 x n i - k - 1 ) ( u 0 - - ? l , o d ) 蜘 从构建的步骤来看，中间稳定函数( 2 3 1 4 ) 是光滑的 第啦一1 步：在这一步，我们选择下面的李亚普诺夫函数： k 一1 ) ( 玩1 ，乳。一1 ) = 一2 ( 甄1 ，甄。一2 ) + 互1 _ 2 ；一1 对k ( n r l ) 关于时间求导，我们可以得到 9 ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) l知堡魄 a 一 柚 i七坠妣 a 一 脚 ( n 。- 1 ) 磊，象小州咖一u 面 2 ) 玩( m - 1 ) 一( 勤手1 一磊) 蔫小1 ) ( 咖一u o d ) j 2 lj 2 1 尼= l 。 + 甄( m 一1 ) + 玩( n t 一1 ) u o d 玩n i + 钍i 进一步，我们能够得到 选取 一1 ) ( u o d y ( k + 1 ) 一z i ( n 一七一1 ) ( 铷一咖d ) ) 】 一( h 善i - - 2 十，一n 善l - - 2 善j 玩，o 薏o g i 七jx 铲) 一铷d ) 铷 一( z 眦。一1 一玩1 ) - d 。m n ；一j c 一1 ) ( 伽一铷d ) 铷 j = 1，= 1 七= 1 。 + u o d g q n i 一1 ) ( 矾一2 ) + y i n i a i ( m 一1 ) ( 玑1 ，犰( 啦一2 ) ) = 一玩( m 一2 ) - i - 玩，l i = 犰m q t ( n 一1 ) ( 玑1 ，y i ( f l 一1 ) ) 从( 2 3 1 9 ) ，我们可以得到： k ( t l 一1 ) = u o d g t ( n 一1 ) 玩n 一u i 玩( 毗一1 ) 妙i ( k - i - 1 ) ) 一玩一1 ) 一c n 善i - 2 十。一n 善i - - 2 蚤j 玩，甏小以咖一咖d ) u - 一( 十- 一玩) 蔫小，) ( 咖一 j = 1j = 1k = 1 。“。 系统( 2 3 3 ) 中定义的a i ( n ；一1 ) 是光滑的中间控制函数 第n 一1 步：从( 2 3 3 ) 和( 2 3 2 2 ) ，下面函数关于时间亡的导数为 1 0 ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) ( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) ( 2 3 2 2 ) 筹 川随 动一 筹 a 一 峭脯 纵 等 哪m 满足 k 佻 k m ( 虢1 ，虢m ) = k ( n 。一1 ) ( 玩1 ，玩( 竹；一1 ) ) + 互1 玑_ 2 n ； ( 2 3 2 3 ) u o d 玩( 晒旷贴1 ) u 州喜一喜磐川缸c o q j 小叭旷训 1 ) 甄n ；一玩( 妒 l 鲰一( 叻z m 手1 一磊。+ 1 ) 蕊正啦小叭乱。一u o d ) + 妣t 一乱记一 ( 2 o d 犰( 七+ 1 ) 一z t ( n k 一一1 ) ( 让。一u o d ) = 鼬毗叫+ 一n 荟- - i 警u o d y i ( k + 1 ) ) - ( y i ( n i - - 1 ) - - y i n , o 啪o q ( n i 叫- 1 ) ) u t 一c n 萎i - - 2 勤。一t h ；i - - 2 喜j 吼，象书一n l - - 2 笼泸小州铷一咖d ，鼽 控制选取如下： ( 2 3 2 4 ) 酏d c i n i 雪i 旷u o d g i ( 咿。，+ 董k = l 警删 仁3 筋，= 蚴一 n ；一 n 一) + 弓岩咖硼m ) ( 2 3 2 5 ) 。口n 全q i n t ( 玑1 ，y ( n t 一1 ) ，咖) 其中q m 0 ，从( 2 3 2 2 ) ，我t f 耻a 得到 n 。 一q n 。珑- 2 n 。一慨( n ；一) 一矾n ；舞) 一“玑，犰n 。，氟) ( 铷一d ) ( 2 3 2 6 ) 很容易确定1 是一个光滑的函数 1 1 旅 1 一0 4 m 脚 = 等 呻脚 龇 ，= n 萎l - - 2 c 蜘一一砉咖o o l i jx 。o o l i ( n 玎i - - 1 ) 。x i ( n j - - j - 1 ) 心3 2 7 ， 我们定义犰全( 觚1 ，y i n ；) 和磊全( x i l ，x i ( n ；一2 ) ) 第佗步：最后，让我们一起看整个扩系统( 2 3 3 ) 和备选的李亚普诺夫函数k 是 一 仃t k ( 雪) = i = 1 t n ：r 厶 i - - - - 1 其中入 0 是一个设计参数并且9 = ( 9 1 ，骱) ，玩= 慨1 ，玩n ；) 1 i m 在定义( 2 3 2 7 ) ，k 沿着( 2 3 3 ) 的导数为 ( 2 3 2 8 ) k = 一喜魂。+ 鲰盼一喜锄c 玑矗小u o - - u o d ，一姜c 蟊c 啦叫一鬻m ( 2 3 2 9 ) 最后，控制输入咖如下： 呦州一砉锄( 蚓) 1 【一+ 委( 聃m m 瓣川2 3 3 。) 全o t n ( 雪，u d ，奎记) 其中c n 0 ，将( 2 3 3 0 ) 代入( 2 3 2 9 ) ，我们能够得到 k ( 雪) = m 一魂；一醒 i = 1 ( 2 3 3 1 ) 在这一部分，在关于控制输入缸0 d 和u 以，初值跟踪误差z 。( 0 ) 的限制下，我们将会展现主要的 1 2 弘 入一2 +玩 镌 ， 入一2 + h 磊 锄 一拶 1 2 m k 、1 d毗脚 结果( 2 3 3 0 ) 中的控制律u o 选择满足闭环系统的每一个解( 2 3 3 ) ，( 2 3 2 5 ) 和( 2 3 3 0 ) 当然， 合理的选择入是必须的 为了后面使用方便，定义f l = 魄，妣，) r 玩= ( 玩1 ，玩n ；) 1 i m 和圣2 为映射圣2 ( 耖) = f 很容易确定虫2 是全局微分同胚的，从形到钟 在新的坐标变换雪，扩系统被转变为 蟊1 = u o d f l t = 一x i ( 竹t 一2 ) ( u o z l , o d ) y n y i 2 = 一t 幻d 吼1 + u o d y i 3 一x i ( 竹t 一3 ) ( u o 一缸o d ) y n 氨一慨) 慨脚) 一( x i ( n * _ k _ 1 ) - - 善p g - - i 等x n j - j - 1 ) ( u 0 - - 7 1 0 d ) 珏) 一蚍聃2 一以旷蛳+ 蕃等双州1 ) ( u o - - u o d 概 孰= 瓣圹蚶糕让甜h 萎i - - 2 警双一爪咖， 如 =( a 一萎锄( 删) - l h + 萎( 聃t m n t 丽o o f i ( n i - - 1 ) h 】 ( 2 3 3 2 ) 注1 ：利用和( 2 3 3 ) 相似的构造方法，很多其他的系统可以应用上面的反步设计方法 在 1 2 】，在关于参考输入u d 合理的假设条件下，选择时变得或者非线性函数啦可以使得闭 环系统稳定 b 稳定性分析 现在我们将给出系统( 2 2 1 ) 半全局跟踪的主要结果 定理j ：假设，u d 和d 在 o ，o o ) 是有界的，则系统( 2 2 1 ) 半全局的跟踪控制是有解 的特别的，应用坐标变换( 2 3 1 ) 和对系统( 2 3 3 ) 利用上面的设计步骤，在口中给定任意的紧 集s ，我们可以找到充分大的a 0 使得，在s 中给定任意的初值跟踪误差z 。( 0 ) ，闭环系 统( 2 3 2 ) ，( 2 3 2 5 ) ，( 2 3 3 0 ) 所有的解是一致有界的进一步，如果u o d 不收敛到零，则 1 i mi x 。( 亡) i = 0 $ - - 0 0 在我们证明定理1 之前，我们介绍一个在 2 9 d p f 玺：常使用的引理 1 3 ( 2 3 3 3 ) 引理j 胆彰二对于任意的可微函数，：r + 一r + ，如果，( 亡) 收敛到零，当t _ o o ，并且它的导 数满足 f ( t ) = y o ( 芒) + 叩( ) ，v t 0 ( 2 3 3 4 ) 其中f o 是一个一致连续函数，并且叼( ) 趋于零，当t 一+ o o ，则，( 亡) 和y o ( t )