（应用数学专业论文）一维动力系统的某些动力性质研究.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解有关保留、使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名 签字日期：年月 日 签字日期：年月 日 学位论文作者毕业去向 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 摘要 一维动力系统的某些动力性质研究 摘要 本文主要研究了华沙圈上连续自映射的一些不变集的拓扑结构、拓扑熵和 树上连续自映射的非稳定流形和拓扑熵等某些动力性质。 在第一章中，我们简单地介绍了拓扑动力系统的历史背景和一些基本概念 以及一维动力系统中的一些已知结果。 在连续统理论中，华沙圈作为类圈而非类弧的连续统的例子出现，它的拓 扑性质与线段或圆周的拓扑性质有着很大区别，华沙圈上的连续自映射与线段 上的连续自映射的动力性质存在本质不同，因此对于定义在华沙圈上的连续自 映射的动力性质研究具有一定的意义。在第二章中，我们讨论了华沙圈上连续 自映射的一些不变集的拓扑结构，得到 ( 1 ) p ( 厂) 一尸( 厂) 亡q ( 厂) 一g ( ，) ( 2 ) 壶；( 厂) c p 。( 厂) ( 3 ) q ( 厂) = p ，( 厂) ( 4 ) 硝( ，) = ( ，) 并证明了拓扑熵为零的两个充分条件。 曲面的自同胚的动力学性质与树映射的动力学性质有密切的联系，近年 来，人们在这方面取得了许多成果。在第三章中，我们讨论了树上连续自映射 的非稳定流形的一些性质，主要证明了： 树上连续自映射的拓扑熵大于零的充要条件是存在异状点。 关键词华沙圈树非游荡点集非稳定流形拓扑熵异状点 一维动力系统的某些动力性质研究 s t u d yo f s o m e d y n a m i c a lp r o p e l t i e s o n t o p o l o g i c a ls y s t e m si no n e d i m e n s i o n a b s t r c t i nt h i sp a p e rw es t u d ym a i n l yt h et o p o l o g i c a is t r u c t u r e so fs o m e i n v a r i 粕ts e t sa n d e n t m p yo fc o n t i n u o u ss e l f - m a p so nw a r s a w c i r c l ea n du n s t a b l em a i n i f o l d sa n de n t m p yo fc o n t i n u o u s l f - m a p s o na t r e e i nc h a p t e ro n ew ei n t r o d u c eb r i e n yt h eh i s t o r i cb a c k g r o u n da n d n o t i o n so f t o p o l o g i c a ls y s t e ma n ds o m el m o w nr e s u l t s a b o u t t o p o i o g i c a ls y s t e mi no n ed i m e n s i o n w a r s a wc i r c l eo f t e na p p e a 体a sa n 旺a m p i eo fc i r c l e m b u tn o t a r c 。m i nt h et h e o r yo fc o n t i n u u m t h e 代a nm a n yd i f f b r e n c e s b e 伽e e nt h et o p o l o 酉c a lp r o p e r t i e so fi ta n dt h a to fi n t e r v a lo rc i r c l e a n dt h e r ei s 鹪s e n t i a i l yd i f f e 代n c eb e t w e e nd y n a m i c a ip m p e r t i e so f i ta n dt h a to fi n t e r y a lo rc i r c l e s o ，i ti s w o r t h yo fd i s c u s s i gt h e d y n a m i c a lp r o p e r t i e so fac o n t i n u o u ss e l f l m a po nw a r s a wc i r c l e i n c h a p t e rt w ow ed i s c u ss o mt o p o l o g i c a ls t r u c t u 比so fs o mi n v a r i a n t s e t so fac o n t i n u o u ss e m m a po nw a r s a w c i r c l e i w eo b t a i nt h a t ( 1 ) p ( ，) 一尸7 ( 厂) c q ( 厂) 一q ；( ，) ( 2 ) 壶：( ，) c p ( ，) ( 3 ) 鸠( ，) = p ，( ，) ( 4 ) q ：( 厂) = ，( 厂) 2 a b s t r a c t a n dp r o v e dt h a tw h e nr ( 厂) o r 尹，) i sc i o s e d ，矗( 厂) = o i nr e c e n ty e a r sd y n a m i c a ip m p e r t i e sg e n e r a t e db yt r e em a p sh a v e a t t r a c t e de x t r e m ea t t e n t i o ns i n c et h e r ei sac l o s ec o n n e c t i o nb e 押e e n d y 舳m i c a lp r o p e r t i e s o fa u t o _ h o m e o m o r p h i s m so ns u r f a c e sa n d t h e s eo ft r e em a p s i nt h en e mo ft r e em a p s ，o n eh a sd o n em a n y 代s e a r c h e sa n do b t a i n e das e r i e so fr e m a r k a b l er e s u l t s i nc h a p t e r t h r e ew ed i s c u ss o m ep m p e r t i e so fu n s t a b l em a i n i f o 埘o fc o n t i n u o u s s e i f - m a p so nat r e e w em a i n l yp m v et h a tan e c e s s a r ya n ds u m c i e n t c o n d i t i o nt h a tt h et o p o l o g i c a le n t r o p yo fac o n t i n u o u ss e l f _ m a po na t r e ei sp o s i t i v ei st h a ti th a sah o m o c l i n i cp o i n t k e yw o r d s w a 礴a wc i r c l et 代e n o n w a n d e r i n gp o i ts e t u n s t a b l em a i n i f o l d t o p o l o g i c a le n t r o p y h o m o c h n i cp o i n t 3 第一章引言 第一章引言 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学，在牛顿的理论中，一个系统的运 动规律完全由一簇以时问为参数的微分方程所决定，但绝大多数微分方程不能 用已知函数的积分来表示其通解，这导致微分方程的定性理论的研究。十九世 纪八十年代h p o i n c a r e ( 1 8 5 4 1 9 1 2 ) 创立了微分方程的定性理论或称微分方程的 几何理论，其精神是不通过微分方程的显示解而直接研究解的几何和拓扑性质。 直到上世纪初，g d b i r k l l o f r 在继承和发展p o i n c a r e 工作的基础上，为这一学 科建立了大范围的理论框架，将经典的微分方程所定义的动力系统抽象为拓扑 动力系统。使这一学科在理论上进一步发展并且动力系统一词首见于其专著 ( 1 ) 。近几十年来，动力系统的研究取得了令人瞩目的进展，新的研究方向 相继产生，如今的动力系统大致有微分动力系统、h 锄i l t o n 动力系统、拓扑动 力系统、复动力系统、遍历理论、随机动力系统等( 2 】) 。 拓扑动力系统研究一般的连续系统，一般而言，动力系统研究的主要问题 有：轨道长时间的渐近性质，如极限点集、非游荡点集、周期点集等；轨道在 相空间中的稠密性，如极小性、拓扑传递性和拓扑混合性等；动力系统的整体 性质，如全局吸引子等；动力系统的拓扑分类和结构稳定性，如双曲不动点和 双曲不变集的稳定性等；动力系统的复杂性及动力学复杂性，如拓扑熵、混沌、 分形等( 参见文献【3 】) 。 一维动力系统，如区间、圆周、树、图、华沙圈等，是拓扑动力系统研究 中的一个重要研究方向。一方面它为一般系统的研究提供了特例，如曲面自同 胚的动力学性质与树映射的动力学性质有着密切的联系；华沙圈作为连续统理 论中的类圈( c i r c l e - 1 i k e ) 而非类弧( a r c l i k e ) 的典型例子( 见文献【4 】) 。另一方 面由于其本身的特殊规律，其本身就是一个有趣的研究课题。1 9 6 4 年乌克兰数 学家s a r k o v s k i i 发现了一个关于区间自映射的周期轨道的周期序关系，即著名 的s a r k o v s k i i 定理，他将自然数按以下顺序排成一个序( 通常称为s a r k o v s l 【i i 序) 维动力系统的某些动力性质研究 3 睁5 睁7 p 2 3 睁2 5 睁2 7 p 2 2 3 2 。- 5 p 2 。7 p 睁2 3 2 2d p 2 l 并证明了下述定理 定理1 1 ( s a r k o v s k i i 定理) ( 【5 ) 设，：f o ，1 】斗 o ，l 】连续，如果，有m 一周期 点且研胛，那么有n 一周期点。 该定理揭示了区间上的一个美妙而深刻的规律，随后一维动力系统得到了蓬 勃发展。轨道的渐近行为是动力系统研究的核心问题之一，围绕着周期轨道、甜 极限集、非游荡点集等，人们在一维动力系统这一领域作了大量的研究工作， 得到了许多深刻而重要结果。熊金城对区问上的连续映射给出下述结果 定理1 2 ( 6 】) 设，： o ，l 】。【o ，l 】连续，则 ( 1 ) ，的每个孤立的周期点都是，的孤立的非游荡点，即 p ( ，) 一p ( 厂) c q ( ，) 一q ( 厂) ( 2 ) ，的无限轨道点的非游荡点的集合西( ，) 的每个聚点都是，的周期点 集p ( ) 的二阶聚点，即盎( 厂) cp ( ，) ( 3 ) ，的极限集a ( 厂) 的导集a ( 厂) 等于，的周期点集p ( _ 厂) 的导集 p ( 厂) ，即a ( ，) = p ( 厂) 。 ( 4 ) ，的非游荡点的集合q ( 厂) 的二阶聚点q ”( 厂) 等于的周期点集 p ( 厂) 的二阶聚点( ，) ，即q ”( 厂) = ( 厂) 顾荣宝将上述结论成功的推广到树上( 【7 】) 即有 定理1 3 设，：丁斗r 连续，则 ( 1 ) p ( 厂) 一p ( ，) c q ( ，) 一q ( 厂) ( 2 ) 盎( 厂) c ( 厂) ( 3 ) a 7 ( 厂) 2 尸，( 厂) ( 4 ) q ”( 厂) = ( 厂) 最近顾荣宝等研究了图上连续自映射的非游荡点集的拓扑结构，给出 6 第一章引言 定理1 4 ( 8 ) 设g 是一个图，：g _ g 连续，则 ( 1 ) 且( 厂) 一月( 厂) c q ( 厂) 一q ( 厂) ( 2 ) 西( ，) c 尺5 ( ，) ( 3 ) a ，( 厂) 2 胄( 厂) ( 4 ) q ”( 厂) 。r ”( ，) 华沙圈( w a r s a wc i r c l e ) w 是平面r 2 中以下五个集合之并 = ( z ，y ) e 月2f x = o ，一l y 1 啊= ( x ，y ) r 2 1x = o ，一3 蔓y o 当且仅当等于有异 状点。 本文在第二章讨论了华沙圈上的连续映射的拓扑熵为零的两个充分条件：在 第三章我们讨论了树上连续自映射的非稳定流形的性质并证明拓扑熵为正的一 个充要条件，即 定理1 7 设厂：r - + r 连续，则| i z ( 厂) o 当且仅当有异状点。 下面我们给出一些记号和一些基本概念 表示自然数集，z + = u o ) 设( 丑，) 一个动力系统，对任意x x ，记d 柏( 五，) = ，o ) ：七z + 为点 算在，下的轨道。如果存在”e ，使得，”( x ) = x 且对任意o f ”，厂( x ) 工， 则称x 为的一个珂一周期点，厂的周期点的全体称为，的周期点集，记为 p ( 厂) 。特别地的一个1 一周期点称为，的不动点，的所有不动点的集合记 为f ( ，) 。 对x ，如果存在一斗。，使得，1 ( x ) 一y ，则y 称为x 的一个珊一极限点。x 的所有的m 一极限点的集合称为x 的一极限集，记为( z ，) 。又记 ( ，) = u ( x ，厂) a 如果石国( x ，) 则称x 为，的回复点，的所有回复点的 j 集合称为厂的回复点集，记为r ( 厂) 。x e 称为厂的非游荡点，如果对x 的任 意邻域u ，都存在行，使得- 厂”( u ) n u o 。的非游荡点的全体称为_ 厂的非 游荡点集，记为q ( ，) ，又记q 。( ，) = q ( 厂j q 拈) ) ，a 。( 厂) = a ( 厂j ( ，】) ， 第一章引言 q ，( ，) = q ( 厂) ， 2 如果爿c x ，记爿，分别表示的聚点集和二阶聚点集。 j 表示爿中在下的轨道为无限的点构成的集合。撑4 表示4 的基数。，的拓扑 熵记为 ( 厂) 。 设j 是一个区间，：，斗，是连续映射，称，是一个正型区间，如果任何 的正整数胛和任何x ，只要，”( x ) ，便有，“( z ) 1 ，则存在j ，o 而( z ，厂) n c 及正整数疗 o 使得厂”o ) c 由于q ，( ，) 为f 的不变集，所以 y 噙( 厂) 一砑，由引理2 1 玉歹= 妒。1 ( y ) q ( n 又妒( p ( 纠= p ( 班 妒 p ( 矧c 砑，c 亡矽一研， p 。( c ) c 【0 ，1 ) 可j ( 砑) c o ，1 ) 一p ( ” 因此。( c ) 必包含在【o ，1 ) 一p ( ，) 的某个连通分支之中，又 夕，“( 歹) 妒。1 ( c ) ，这与y e q ( ，) 矛盾。所以( 1 ) 成立。 ( 2 ) 设 f ( 自，( ，) n c ) 1 ，则有两点x ，y q ，( ) n c ，x 弘进而 x ，q ，( ，) 一p ( 厂) ，由弓l 理2 1 2 女，x ，y 令膏= 妒“( 工) ，歹= 伊。1 ( y ) ，贝0 膏，j q ( 夕) 由于p 。1 ( c ) 必包含在【o ，1 ) 一p ( ，) 的某个连通分支之e 中。故置歹 在 o ，1 ) 一p ( 于) 的某个连通分支之中，由伊为单射，所以牙歹，于是 # ( n ( 夕) n e ) 1 这与文【1 4 】矛盾。( 2 ) 得证。 引理2 1 4设，：矿斗矿为华沙圈上的连续映射，如果 焉，乇，而e q ( ，) 一p ( 门为互不相同的点且存在正整数，m 2 ，使得 ，”( 五) = 厂4 ( 屯) = 厂( ) ，则置，屿，而至少于矽一p ( ，) 的两个连通分支。 证明假设x 。，x ：，屯含于一p ( ) 的某个连通分支c 中。由引理2 1 2 知，存 在墨，i ：，墨e q ( 夕) ，使得伊( 置) = _ ，由于厂”( 五) = 厂4 ( ) = _ 厂”k ) ，且妒为双 射，我们有 够( 歹叶( 毫) ) = 肌( 驴( 墨) ) = 帆( 五) ( i = l ，2 ，3 )， 即于n ( 葺) = 于”2 ( 墨) = ，( 焉) ，注意到，暑，五，墨妒。( c ) ，并且妒一1 ( c ) 包含在 第二章华沙圈上连续臼映射的某些动力性质 【o ，1 ) p ( 夕) 的某个连通分支之中，这与文( 【1 4 】) 相矛盾。故引理2 1 4 成立。 定理2 1 5 设厂：缈呻为华沙圈上的连续映射，则 p ( 厂) 一p ( 厂) 亡q ( 厂) 一n ；( ，) 。 证明：假设存在p q ；( ，) n ( 尸( ，) 一( 厂) ) ，令胛 o 为p 的周期，下面分 两种情形证明。 ( 1 ) 若p g 。那么存在一个开弧u c 矽，使得u n p ( ) = ，) ，易知u 至 多与矿一p ( ，) 的两个连通分支相交，由厂”和，2 ”的连续性，可取开弧矿c u 使 得p 矿及厂”( 矿) c u 和厂2 ”( 矿) c u ，对任意的了y n q ，( ，) ，我们有 x ，”o ) ，厂2 ”o ) e u ，如果，2 “( x ) p ，则”o ) p ，由引理2 1 - 3 知u 与 一p ( ) 的三个连通分支相交，这与u 的取法矛盾，故厂2 ”0 ) = p 。幽于 p s g ( 厂) ，我们可取不同的五个点一，而，而，- ，鼍矿n q ，( ，) 一 p ，那么 葺，工z ，屯，- ，墨 至少有三个点位于一p ( 厂) 的同一个连通分支之中，且它们在 厂2 ”下的像均为p ，这与引理2 1 4 矛盾! ( 2 ) 若p 矾，选取p 的一个开邻域u 使得u n 尸( 厂) = ， ，记三为矿的 包含p 的连通分支且u n = c ，则三是中的一个开弧并且三n p ( ，) = p 易知至多与一p ( ) 的两个连通分支相交。 由厂”和，2 ”的连续性，可取开邻域矿c u ，使得p 矿及 ”( y ) c 盯栅“( 矿) 亡u ， 对于任意的x n 矿n q ，) ， 我们有 t - 厂“( z ) ，2 ” ) 己，。由引理2 1 2 知，”( x ) ，2 “( x ) l 如果，2 “( x ) p ，那么 厂” ) p ，由引理2 1 - 3 知，u 与矿一及刁的至少三个连通分支相交，这与u 的取法矛盾，故，2 ”( 工) = p 。由于p q ，( ) ，我们又可取不同的五个点 _ ，屯，屯，砖三n q ，( 厂) 一 p ，那么“，恐，墨，_ ，鼍 中又至少有三个点位于 一维动力系统的某些动力性质研究 肜一p ( 厂) 的同一个连通分支之中，且它们在，“下的像均也为p ，这与引理2 1 4 矛盾! 定理2 1 ，5 证完。 引理2 1 6 ( 【1 5 引理4 ) 设，：k k 为区间上的连续映射，又设置c k 只有有限个连通分支并且，( k ) c 墨，则q ( 厂) n ( 丘一墨) 中的每点的轨道均是 有限的 引理2 1 7 设厂： o ，1 ) 斗 o ，1 ) 上的连续映射，c 为【o ，1 ) 一p ( 厂) 的一个连通分 支，若c n q ( ，) a ，则e n 尸( 厂) a 。 证明不失一般性，设c 为正型区间，令x c n q ( 厂) ，因此可取正整数序 列聊，寸m ，及点列一斗x ，使得，”( 薯) = x ，( f _ l ，2 ，) 。不妨设一c ，由 于c 为正型区间，故一 x 且_ 厂”( x ) g c ，故存在口，6 o ，1 ) 使 得c = 【o ，6 ) ，或c = ( 口，6 ) ，6 e 万丽。考虑集合墨= u ，”( ( x ，6 】) ，假设6 的 h = 0 轨道为有限的，则e 只有有限个连通分支。又，( 墨) ck 。，由引理2 1 6 知 q ( 厂) n ( 墨一k ) 中的每个点的轨道有限的。 显然x 蜀，下证x g 墨。否则存在，? o ，“( x ，6 】，使得厂”( “) = x ，若“= 6 ， 则x 的轨道为有限的，矛盾! 若“6 ，与正型区间矛盾! 由此可得x 豆一墨， 而x 壶( ，) 的轨道无限的，矛盾! 所以6 的轨道是无限的，故6 sp r ( ) ，从而 0 n 尸( ，) o 引理2 1 8 设厂：缈斗肜为华沙圈上的连续映射，c 为矿一p ( 厂) 的连通分 支，若c n 而，( 厂) o ，贝0 e n p ( 厂) o 。 证明设x c n 壶，( 厂) ，则x e q ，( 厂) 一万巧巧，由引理2 1 2 知工e 妒( q ( ，) ) ， 使得p ( 归腑妒丽) c 砑删锄( 妒丽设e 为吣丽 第二章华沙圈上连续白映射的某些动力性质 包含j 的连通分支。则c c 伊( e ) ，假如c 的两端点口和6 均为厂的周期点，由于 妒( p ( 尹) ) = p ( 厂) ，我们有则妒一1 ( 口) ，伊一1 ( 6 ) e 并且均为，的周期点，这与 e n p ( 夕) = 彩矛盾! 因此，c 的端点中至少有一个不是，的周期点，它必是 j d ( 厂) 的极限点，即0 n p ( 厂) o 。引理2 1 8 证完。 定理2 1 9 设- 厂：矿一为华沙圈上连续映射，则矗，( 厂) c ( l 厂) 证明首先证明( 叠，( _ 厂) 一f i 7 j ) c ( ，) 设x ( 函，( ，) 一万丽) ，由引理2 1 2 知，z e ，记贾= 妒一1 卜) ，对x 的任一 个开邻域u ，选取一个开区间三c 。丢 ，使得上= 妒( 三) c u ，再取x 的一个开 邻域矿 u ，使得矿n = e ，因为x ( 盎，( ，) 一万丽7 ，所以可在矿中选取不 同的三个点_ ，x ：，巧西，( ，) 一万丽，由引理2 1 2 知，五，t ，屯三，根据引理 2 1 3 知五，x ：，恐属于一砑的三个不同的连通分支，于是其中至少有一个连 通分支c ，使得e c 三c 矿，由引理2 1 6 知e n 一( 厂) a ，从而u n p ( ，) g ， 由邻域u 的任意性，我们有x s p ”( 厂) ，因此，( 包( ，) 一万丽) c ( 厂) 。 其次，显然有 龟( ，) n 砑c 砑一尸( 厂) c p ( ，) 所以，( 壶，( ，) n f 7 j ) 亡p ( 厂) ，于是 避( 厂) = ( ( 壶，( 矿砑) u ( 壳，( 厂) n 砑) ) = ( 矗，( ，) 一万两) u ( 壶，( ，) n f 历) c p ”( 厂) 。定理2 1 9 证完 引理2 1 1 0 ( 【6 】命题1 )设，：，斗，为闭区间上连续映射，如果 z a ( ，) 一f 两则x 的轨道。巾( x ，) 是无限集。 引理2 1 1 1 设世为一个区间，厂：k 寸足连续，如果x a ( 厂) 一可万，则x 一维动力系统的某些动力性质研究 的轨道o ，6 【x ，厂) 是无限集 证明设对某个x a ( ，) 一p ( ，) 有o r 6 ( x ，) 为有限集，令，= 【，6 】为包含 o r 6 ( x ，) 的最小连通子集，令，：k 斗，为收缩映射，即，l 为恒同映射且如果 y 矗，则y ( y ) = 口；y 6 ，则，( y ) = 6 ，令苫= ，。，：i ，寸，则g 为连续映射， 易见， o 柏( z ，g ) = 。，6 ( x ，) 并且有x a ( g ) 一万两。这与引理2 1 1 0 矛盾! 引理2 1 1 2 设厂：呻为华沙圈上连续映射，如果x a 3 ( ，) 一取刁， 则x 的轨道o r 6 ( x ，) 为无限集 证明由于z e a ，( ) 一万历c q ，( 厂) 一万丽，由引理2 1 2 知并e 呒，令 拈p 。( 础选取埔叶开邻域u 满足u n 砑观取三c k 为区间，使 得叠三，令三= 妒( z ) c u ，那么存在z 的一个开邻域矿仁，使得矿n ：三， 因为x e a ，( ，) ，故存在：q ：( 厂) 及正整数序列 吩) ? ，使得* ( z ) 哼x ，而 q z ( ，) 为厂的不变集，故对v f l ，1 ( z ) q 2 ( ，) ，又存在，当，时， 厂竹( = ) 矿，故当f 时有：，1 ( 2 ) q ：( 厂) 一丽 又由引理2 - l 2 知，当f 时，1 ( z ) e ，于是_ 厂一( z ) 上，令j = 妒一1 ( z ) 。 所以当，时，夕( z ) = 伊。( 厂1 0 ) ) 三，厂* 0 ) 一x ，从而量e a f ，) ，又由 于妒( p ( ，) ) c 石历，故i 仨p ( ，) ，因此i a ( 夕) 一i 两，由引理2 1 1 0 知 。而( 葺，) 为无限集。又p ( 。柏( 膏，) ) = o ，6 ( t 厂) 及缈为双射，因此舶( 墨厂) 为 无限集。引理2 1 1 2 证完。 仿照文【1 3 】中的第四章的命题6 可以证得下面引理 引理2 1 1 3 设厂：k 斗丘为区间上的连续映射，如果对于以x 为左( 或右) 端点的任意开区间都包含某轨道中的至少两个点，则工 ( ，) ，从而 1 6 第二章华沙圈上连续自映射的某些动力性质 【2 ，【) a ( 门。 引理2 1 1 4 设，：斗形为华沙圈上连续映射，则q ；( ，) 一f 丽c 而。( 厂) 。 证明设x e q ；( ，) 一可刁，则存在点列 ic q ，( ，) 一可7 j ，使得一x ， 由于q ，( ，) 为闭集，故x e q ，( ，) 一f 丽，由引理2 1 2 知，x e p ( q ( 于) ) n 令毛2 妒。1 ( ) ，聋= p 1 ( x ) ，j ，叠q ( ，) 且元，膏 。，丢 ，于是，由于 卟北，小u 彬为隰故磊一又妒( 砑) c 砑，从而协 因而由引理2 1 1 3 知，孟e 人( 夕) 一p ( ，) ，再由引理2 1 1 2 ，。而( 膏，) 为无限 集，由于伊为双射，并且妒( 。，6 ( 孟，夕) ) = w 6 ( x ，) ，因此。而( x ，厂) 无限集，故 x e 龟( 厂) 。 定理2 1 1 5 设，：矿斗为华沙圈上连续映射，则 ( 1 ) q ( 厂) = ( 厂) ( 2 ) q ；( 厂) = p ( i 厂) 证明( 1 ) 由引理2 1 1 2 可得，a ，( 厂) 一p ( 厂) c q ，( 厂) 。故 a ：( ，) = ( ( a ，( ，) 一砑) u ( a ，( ，) n 砑) ) c ( 人。( ，) 一f 历) u ( f 丽) 7c 鸹( ) u f 两，又由定理2 1 9 得 囝；( ，) u 砑匕尸”( ，) u p ( ，) ：p ( ，) 于是a ；( 厂) c ( ) 另一方面，显然尸( ，) c a ，( ，) ，从而p ( 厂) c a ；( 厂) 。所以a ；( 厂) = p ( 厂) ， ( 1 ) 式成立。 ( 2 ) 由引理2 1 1 4 和定理2 1 9 得 q ；= ( ( g ( ，) _ 而) u ( q n 砑) ) 亡( 龟( ，) u p ( ，) ) 一维动力系统的某些动力性质研究 = q ；( ，) u p ”【- ，) = p ”( l ，) 。 又显然有p ( ，) cq ：( 厂) 。 所以。 ( 2 ) 式成立。 引理2 1 1 6 ( 【1 5 】) 设厂：世_ 丘上的连续映射其中k 为一个区间，则 q ( ) 一万丽为足中无处稠密的可数集 定理2 1 1 7 设，：_ 为华沙圈上的连续映射，则q ，( 厂) 一万丽为矽中 的稠密的可数集 证明 设x q ，( 厂) 一万丽，由引理2 1 2 知，z 妒( q ( ，) ) n 记 脚1 ( 扎，则湖( 圳。，扎且i 诺砑，娠q ( ，) 一砑| 理 2 1 6 ，q ( 于) 一万丽为可数集，故q ，( ，) 一万丽为可数集 下面证明q ，( ，) 一万丽是无处稠密的。设工s g ( ，) 一f 历，选取z 的一个 开邻域m ，使得m n f 丽= o ，设c 为m 中包含x 的连通分支，令 哥= 矿- 1 ( x ) ，三c 【o ，1 ) 为开区间且膏三，使得三= 妒( z ) c c ，由于q ( 于) 一p ( ，) 为无处稠密的，故存在开区间三lc 三使得三。n q ( 于) 一p ( ，) ) - 。，又 伊( 厶) c p ( 三) c c ，从而存在开邻域y ，使得矿匕m ，矿n = p ( 丘) a 如果矿n ( g ( 厂) 一f 丽) a ，那么有z 矿n ( q ，( ，) 一万历) 由引理2 1 2 知， 存在j q ( ，) ，使得伊( i ) = z ，所以j 由于伊( p ( 夕) ) c 及刁，所以 稚砑于是 ；e 训q ( 鲈砑) 艄训q ( 于) 一砑) = 。相矛盾0 于 是y n ( q ，( ，) 一f 历) = o ，故q ，( ，) 一f 历为无处稠密的。定理2 1 1 7 证完。 第二章华沙圈上连续白映射的某些动力性质 2 2 华沙圈上连续映射的拓扑熵 我们在华沙圈上引入一个全序 如下：x y 当且仅当i 夕，其中 i ，萝e o ，1 ) 且x = 妒( 孟) ，y = 妒( 歹) ，易知伊相应于这个全序为保向映射，用f x ，y 】表 示矿中端点为x ，y 的弧，且z y 。( tj ，】_ 工，y 】_ z ) ， x ，y ) = 【x ，y 一 y ， ( x ，y ) = x ，y 】一 x ，y 。 引理2 2 1 ( 1 4 】) 设厂：斗为华沙圈上连续映射，则i 历= 万丽。 引理2 2 2 ( 【4 】) 设厂：斗为华沙圈上连续映射，则 ( ，) = o 当且仅当厂 的周期点的周期均为2 的方幂。 引理2 2 3 设，：矿一形为华沙圈上连续映射，则如果，有3 - 周期点，则 月( ，) 或p ( 厂) 不是闭集 证明如果厂有一个3 周期点x ，则曼= 妒。1 ( x ) 为，的一个3 一周期点，不 妨设 a ，p ：，a ) 为歹的一个3 - 周期轨且霸 17 夕( 觅) 屯，故于( ) 厶从而厂。( z ) 【见，岛】。 1 0 一维动力系统的某些动力性质研究 矛盾! 故对f o 有岛 o ，使得厂“( z ) p ( 厂) 。 定理2 2 9 设厂：_ 形为华沙圈上连续映射，如果对垤p ( 厂) 一p ( 厂) 及 v ”e 有”( z ) e p ( 厂) ，则 ( 厂) = o 。 证明设 ( ，) o ，则由引理2 2 2 知，有一个3 2 一周期点，故，有3 周期点，又由引理2 2 8 ，存在j e 尸( ，) 一p ( ，) 及” o ，使得于”( j ) e p ( 夕) 。 则z = 伊( f ) e p ( 厂) 一p ( ，) 且厂”( 。) p ( ，) 与己知矛盾! 故矗( 厂) = o 。 第三章树上连续映射的拓扑熵 第三章树上连续映射的拓扑熵 我们记丁为树( t k e ) 即不含圈的一维紧致连通分支流形。c ( r ，丁) 表示丁 上的所有连续自映射的全体。设，e c ( 丁，丁) ，对任意的z r ，令： r z = t ( 1 ) u 正( 2 ) u u t ( 州) ，m o 这里t ( f ) ( j _ 1 ，2 ，m ) 为r ： 的连通分支 如果矿为z 的一个邻域，我们记t ( f ) = 矿n 正( f ) ( f = l ，2 ，m ) 。 设丁b = u ，其中b 为r 的分支点集，在丁上引进偏序 ，。关于丁的分 支点及r 上引进偏序 o ) p f ( ，) ，则对每个f1 f s 历，( n ，易( f ) ) 为连通的。 引理3 3 ( 【1 7 ) 设厂c ( 丁，) ，p f ( 厂) ，令，= ( p ，) ，那么： ( 1 ) 厂( j ) = l ，( 2 ) 了i ，c 尸( ，) 引理3 4 ( 1 8 】) 设，c ( 丁，丁) ，则 ( _ 厂) = o 当且仅当对觇q ( ) 尸( ) ( x ，) n 尸( 厂) = g ，特别地，当p ( ，) 为闭集时，有q ( ，) = p ( ，) 。此时有 厅( - 厂) = o 。 引理3 5 ( 【1 9 ) 设厂c ( 丁，r ) ，r b = u ，如果z ，y e h ；弘】c ，且 x o ) ， 矗( 厂) = o ， 如果x ( p ，厂) 且有某个，：1 ，m ，工乙( ，) ，那么 x ( p ， 弓( 川。 证明 不妨假设_ ，= 1 ，由( 1 ) 和( 2 ) 知矿( p ，) = u 矽( p ，乙( f ) ) 。假设 有1 七 o ，使得厂4 ( 一) = j ，由u ，矿选法知，一芒，一1 ( 亏) 。 对于每个f ： 七+ 1 ，s 掰， 我们可以取到点列 只”，咒”，m 厂一1 ( i ) n 乙( f ) o ) 为最接近咒( + 1 f ) 的点且使 咒e 一；p “= i ，每) ，对所有的f 将所取的一“( f f ：l ，鼻，扛七+ 1 ，聊1 重 新排序记为y o ，_ y 2 ，y p ) ，fs = 兰暑】，5 1 则由，的连续性及少( ，：1 ，2 ，s ) f = i + i 的取法知，l 厂( y = p 对每个l ，j 均成立。对每个，取q ，。e f y f ) ；p ) 满足 q ，”寸y ”( n 斗o 。) 且对每个n e ，( y 色q ，。) n 曰= a 。记f y ( ) ；q 。 ：4 ，由y f f j 的取法知，存在t + 1 f o m 及岛，。弓“) n 矿使得( 4 。) 。 6 ， 因为 x 矽【p ，乃( f ) ) ，】 + l 蔓f m ，所以对每个，都存在够。使得 x 厂蝎“( 彭4 ，。 ) ，我们取毛，。e ( 历岛，。) 使得厂m 一( 而，。) ：r ，那么我们可选到 川，”：o o 使得z e 广( 矿n ( 1 ) ) ，故z e ，“( 【6 】) 第三章树上连续映射的拓扑熵 那么，”( 【d ；z 】) 3 厂“( 【p ；6 】) ，【p ；z 】 【盯；z 】，由口的任意性知，对于z 的任何 邻域u ，都存在斤 o ，使得厂”p ) n u o ，因而z q ( ，) ，由，( z ) = p 知 z