（光学专业论文）小波变换在图像去噪中的应用研究.pdf

摘要 在图像处理中，图像通常都存在着各种不易消除的噪声。寻求一种既能有效 地减小噪声、又能很好地保留图像边缘倍息的方法，一直是人们努力追求的目标。 传统的去噪方法很难同时兼顾这两个方筒。而小波分析由于在时域频城同时具有 良好的局部化性质和多分辨率分析等优点，不仅能满足各种去噪要求，如低通、 商通、陷波、随机噪音的去除等，而且与传统的去噪方法相比较，有着无w 比拟 的其他优点，成为信号分析的一个强有力的工具，被誉为分析傣号的”数学显微镜”。 本文的工作主要包括以下三个方面的内襻： ( 1 ) 本文酋先总结了各荦中图像去噪方法，并对其进行了总结与对比，提出了各 自的优缺点，着重阐述了小波变换的基础理论，给出了小波交换的基本概念、基 本思想、发展历瑕和小波去噪的基本方法。 ( 2 ) 对小波系数进行统计建模可以进一步提高图像去噪效聚，本文定量的给出 了模型约建立过穰，分析了小波系数间的相关特性，在此基础上，提出了三种新 约算法：基予局域特燃的囊适嶷算法，基予邻域特性的囊适戍算法以及多方向多 尺度的是适应算法，实验终果袭明，这几秽算法比传统算法有更好的去噪效果。 ( 3 ) 小波交换暇其嶷好孵频爨域特性釉多分辨率特性，在蹦像处理中褥到了很 婷豹应蹋。德由予它不县鸯类锻人黢兹方淘特性，黠具毒线状奄异豹特性，小波变 换懿闰像表承粼不再稀蘸。l 。c 8 珏d e s 等久提氆豹c 娃f 谨l e 、糙d g 。l e l 、c o 哟鼎髓 等交换掇供了多尺度a 侮分辑躯a ) 靛思想，它锻不仅具蠢夸没豹孵簇羯域特性秘 多分辨特性，还其有方淘靛帮番自异性。本论文薅擎墟奔缓了c o 豳娃交换，舞 将，l 、波去嗓方法萼l 入刭e o 蓍拄o w l e t 交换去潆。实验结莱表弱，痰矮c o n 幻穗艇交换 的图像去嗓算法畿获得禳好酶去磲效栗，尤其是潞边缘信息丰富韵銎像。 关键谰：小波变按，嬲像去噪，小波系数的相关性，e o n t o u ri e t 变换 i i l a b s t r a c t t h en o i g ee x i s t s 抽c v i 诅b l yi l ld i g i t a li m a g es s e a r c l l i n gam e t l l o do fd e n o i s i i l g e & c t i v e l ya i l dk e e p i i l gt h ee d g ei n f o 加a t i o ns i m u l t a l l e o u s l yi sag o a lp e o p l ep u r s u e da l l 也et i m e t t a d m o n a lm 劬o d sa r eh a r dt 0g i v ea t c e m i o nt 0 “m b u tw a v e l c tl l a sg o o d l o c a l i z i n g ( 叫i t ya tt l l et i m ed o m a i l l 醐dt l l e 丘q u e n c yd o 忸a i l ls i m l l l 锄e o u s l ya n dt h e c h 踊c t c r i s t i co fm l l l t n s o l u t i o na l l a l y s i s ，i tc a nf h l 删d i 脑r e n t 虹n d so ff i l t e r i n gn e e d s s u c ha s1 0 、v - p a s s ，h i 曲p 鹅s ，s i n kw a v e ，r 卸n d o mn o i s ed e n o i s m g c o m p 盯c d 谢m 位i d j t i o n a ld e n o i s i n gm e m o d s ，啪v e l e th a si n c o m 】m b l ea d v 趾t a g e i t 王l a sb e c o m e e 虢c t i v ea i l a l y s i st o o l 趾di sk n o w n 船胧曲m i c m s c o p eo fs i 弘a la i l a l y s i s t h er e s e 盯c hc o n t e n to f t h i sd i s s e 衄d o nc o n s i s 乜o f t 圭1 r e ea s p e c t s ： 1 1 l i sp a p e rs l l n l m a r i z e dd i 虢r e n tk i n d so fi m a 萨d 咖i s i n gm e t t m d s ，c 0 1 1 廿a s t e d t l l e i ra d v a n 诅g e sa n dd i s a d m 诅g e s ，e d l l c e dt h ew a v e l e t 仃 m s f 0 肌，a i l dr e v i s 协gm e 愀k 仃a n s f b 衄m l 吼w a v e l e td e i l o i s i n gd e v e l o p i n g1 i i l e 趾dt l l e m e 血。凼o f d e n o i s i n gw i t hw a v e l e t 仃a n s f o r m t h ep e r f o n n a i l c e0 fi m 刮g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m su s i i l gw a v e l c ts h r i m ( a g ec a i lb e i m p m v e ds i g i l i f i c 趿廿yb yt a 虹n gi n t oa c c o u mm es 协n s t i c a ld 印e n d e n c i e s 锄o n g w a v e l e tc o e m c i e m s 1 1 1 i sp 印e re s t a b l i s h e dt l l ew a v e l e tc o e m c i e n 俘m o d e l ，锄a l y z e d m e i rd e p e n d e n c i e sa i l dp r o p o s e dt l l i 优n e wa l g o r i t h i n s ：t h ea d a p 廿v et 1 1 i 弓s h o l d i l l gb a s e d o nl o c a lc h 啪c t e r i s t i c ，m ea d a p t i v et l l | 甘s h o l d i n gb a s c do nn e i g h b o r h o o dc h a r a c t e r i s t i c ， a n dt l l em l l l t i s c a l e ，m u m d i r e c t i o nd e i l o i s 协ga l g o r i m m t h ee x p e r i m e n tr e s u n ss h o w t l l en e wa l g o r i m mi sm o r ee 丘阮t i v et l l a nc l 髂s i c a la l g o 巾：h 脚 b e c a u s eo fg o o dl o c a l i z i n g 小l a l 畸砒t h et i m ed o m a i n 锄dm e 丘蜘u e n c yd o l a i n s i m u l t a o u s l ya i l dt h ec h a m c t e r i s t i co fm u m r c s o l u t i o n 锄a l y s i s ，w a v e l e t 协m s f o m a p p l i e du i l i v c 渤l l yi nt h ei m a g ed e n o i s i n g ，b u td u et on l el e s so fc h a r a c t c r i s t i co f a 1 1 i s o 仃o p y ，i ti sn d ts p a r s e 讪e ni tc 锄e st ot h er e p r e s e m 撕o no fs i n 鲫a d t yo fl i e an e wi m a g er 印r e s e n t a t i o nm e m o d ，c o n t o l l r l e t 仃眦s f b n n ，i sp m p o s e d t h ec o n t o u r l e t 咖s f o 册p o s s sn o to n l ys p a t i a l 髓d 缸q u e n c yl o c a l 蚵a n dm l l l t i 吡s o l u t i o nb u ta l s o d i r e c t i o n a l i t ya n da n i s o t r o p y it l l i sp 印e rw ei n 仃o d u c e dc o n t o u d e ts i i n p l ya n d 印p l i e di t t 0 i m a g ed e n o i s i n g t h er e s l l l t ss h o w 也ed e n o i s i n gi n e m o db 鹤e do nc o n t o u r l e t 锄s f o m li s 沈t t e rm 趾w a v e l e t 蛔n s f o n n ，e s p e c i a l l yt ot h ei m a g c s 、v ! i l i c hc o n s i s to f a b l l i l d a me d g e k e yw o r d s ：w 如c l e t 仃a n s f 咖1 ，h n a g ed o i s i n g ，w h v e l e tc o e m c i e n td 印e n d e n c i e s ， c o n t o u d e t 缸彻s f 0 r m 小波变换在嗣像去噪中的应用研究 第一章绪论 1 。 图像去潦 人类获取乡 晃信息莓糖熬、孵觉、触觉、味觉等多秘方法瞧绝大部分( 约8 0 ) 是来自视觉所接收的图像信息，即所谓“百阚不如一见”。而图像处理就是对图像 信患滋孬趣王处理，毅潢是入的程懿心理亵实际应耀豹要袋。霆鼗，图像愁理技 术的广泛研究和应用烃必然的趋势。 农分援帮使霆圈豫之蘩，嚣要瓣强像蕊号送费一系甓悠理。魄螽诱整灏像赛 储所需的格式，对图像进行去噪等等。图像处理是针对性很强的技术，根据不同 应焉、不强要求采霭不离蠡孽鲶理方法。采蕉豹方法憝综台务学辩较先进静戒果嚣 成的，如数学、物理学、心理学、生理学、暇学、计算机科学、通信理论、信号 分析、控期论程系统工程等。各学科稽互斡究、禧甄渗透才使数字陶像楚瑷技术 飞速发展。根据本文研究的内容，我们只探讨图像去噪这一图像预处理技术。 一般来说，在图像采集、编码、传输、恢复的几个基本疹骤中，影响图像质量 的因素很多。例如：现实图像中无用的信息对我们蕊言就是噪声，设备、环境、 方法等因素也会引进许多噪声干扰。如电磁干扰、相片颗粒噪声、采集图像信号 的传感嚣噪声、信道噪声、旗至滤波器产生的噪声等等。魇以，为了提嵩嬲豫懿 质量以及后续愿高层次的处理，对图像进行去噪处理是不可缺少的嫩要环节。而 寻求一静行之蠢效数去噪方浚也是人键一壹掘进行黪王终。 2 潦声图像模鳖及噪声特滢 ，2 。 舍噪横型 现实中的数字图像在数字化和传输过程中。常受剐成像设备与外部环境噪声 干扰释影确，成为含嗓图像。去踩或减轻在获淑数字图像中的噪声称为图像去噤f 1 ，2 】 穰图像去噪之前我们先要建立一个图像禽噪声的模型，为了篾便，我们研究 如下的加性噪声模型，即含嗓图像仅囱原始豳像叠加上一个随机噪声形成： g ( x ，y 净融，y p v ( x ，y ) ( 1 一1 ) 船，y ) 表示图像，v ( x ，y ) 为噪声，含嗓豳像记为g ( x ，y ) 。 小波变换在圈像击噪中的应用研究 1 2 2 噪声特性， 猩对这个含嗓模溅进行研究之前，我们有必要了解下噪声的一些特性，经 常影响图像威量的噪声源可分为三类。人们对其生成原因及相应的模型作了大量 研究：秘1 l 、电子啜声。谯阻性嚣传中虫予电子夔枧热运动嚣造威豹电予噪声是三静模 型中缀简单的，一般常用零均值高斯白噪声作为其模型，它可用其标准差米完全 表援。 2 、光电子噪声。由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起，狂弱光 爨豹辚凌下常惩其毒泊橙努奄懿隧梳变囊箨为毙电螓声韵模羹，奁光照较强薅， 泊松分布趋向于更易描述的商斯分布。 3 、感光菏颥粒礤声。由子陲光过程中懑笼颓粒强有帮势被曝巍，丽箕涂部分 则未曝光，底片的密度变化就由曝光后的颗粒密集穰度变化所决定，丽算曝光颗 粒的分布星瑰一种随机牲，在太多数情况下，颗粒噪声可弼商斯自爆声作为有效 模型。 通过以上分析可以看出，绝大多数的常见图像噤声都可用均值为零，方差不 同的赢魉白噪声作为蒸模型，因藤为了楚便秘一般化，我们采用零均值的藏巅皂 噪声作为噪声源。 1 3 圈像质蠢的评价 如薄译价一令图豫经过去嗓薤毽露所还绦蘑像熬菝量，对于我们翔断去磉方 法的优劣有缀震要的意义。现有的评价方法一般分为童瘸和客观两种： 1 3 1 主观评价 主褒评玲逶豢毒耨穆溺：一耱是终必蒺察纛懿主骥评徐，这是交迭定懿一缀大 对图像直接用肉眼进行观察，然后分别给出其对所观察的图像的质嫩作好或坏的 评价，再综合全组入的意觅给出一个练合绪论。它必是一种邀性豹方法，没有定 量的标准，而晟受到瓣察者的主观因素的影响，评价缱果有定的誉确定性。另 一种魑随着模糊数学的发展，可以用模糊综裔评判方法来尽麓减少奎观因素的影 嚷，实瑷黠匿稼震量邂镁定量瓣浮馀，不过宅爨然没骞完全漶踩主瓣不凑定瞧翡 影响，其定量计算公式中的参数往往要依赖专家经验确定。 2 小波变换在图像去噪中的应用研究 1 3 2 客观评价 常使用的所谓的逼真度羽i 量。对于彩色图像逼真度的定量表示是一个十分复杂的 问题【4 】。目前应用得较多的是对黑白图像逼真度的定量表示。合理的测量方法应和 主观实验结果一致，而且要求简单易行。 对于连续图像场合，设厂k y ) 为一定义在矩形区域一上，x 三，一三，) ， 的连续图像，其降质图像为夕0 ，) ，) ，它们之间的逼真度可用归一化的互相关函数足 k ：垒皇尘塑：些 。，之， 丘丘，2 k y 毋 一 对于数字图像场合，设，( ，七) 为原参考图像，夕( ，| i ) 为其降质图像，逼真度可 芝窆拓l 厂( ，七) 】一q 【尹( ，七疳妇l 厂( ，七) 】一q 扩( ，七强 m 瑚= 盟型矗而一 ( 1 3 ) 龇c ，| j 2 j = 0 t z 0 其中，运算符q 【】表示在计算逼真度前，为使测量值与主观评价的结果一致而进 行的某种预处理。如对数处理、幂处理等，常用的q 【】为墨l o k + 羁d ，七， 墨、k 2 、足3 、6 均为常数。 另外一种常用的峰值均方误差p 搬踞： 艺窆缸( ，七) 】一q 眵( ，_ | ) 1 2 酬( ，七) 】一q 扩( ，_ | 脚= 型生面而厅- ( 1 4 ) 膨一2 、 式中，a 为出( ，j 】 ) 】的最大值。实用中还常采用简单的形式q l 厂】= ，。此时， 对于8 比特精度的图像，4 = 2 5 5 ，肘、为图像尺寸。 峰值均方误差朋d 骝也被表示成等效的峰值信噪比p s 碾： 船瑚一一1 0 l 0 9 1 0 c p 嘏姬)( 1 5 ) 主观评价和客观评价这两种图像质量评价标准有各自的优缺点。由于人眼视觉 小波变换在图像去噪中的应用研究 特性的准确模型还没有完全建立起来，因此主观评价标准还只是一个定性的描述 方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的视觉特性。峰值信噪比p s 喂能够对图 像质量给出定量的描述。它是一种数学上统计的处理方法，其缺点是它并不是总 能反映人眼的真实感觉。一种折衷的方法是在衡量图像“去噪”算法的优劣时， 将主观与客观两种标准结合起来考虑。 1 4 本文组织安排 本文以图像去噪方法为研究对象，以小波图像去噪为研究方向，对比了传统去 噪方法与小波去噪方法，比较深入地研究了基于小波系数模型的图像去噪。同时， 介绍了一种新的图像表示方法c o m o 硼e t 变换，并对其在图像去噪中的应用做了 进一步的探讨。全文安排具体如下： 第一章为绪论，首先简单介绍了图像去噪的意义，噪声的特性和噪声模型，图 像质量的评价方法。然后，介绍全文的结构安排和本文所取得的研究成果。 第二章主要对传统的去噪方法进行了总结和对比，指出其去噪的不足，介绍小 波变换，综述了小波去噪的发展历程和小波去噪的分类。 第三章主要介绍连续小波变换、离散小波变换、小波变换性质和多分辨分析。 并介绍了图像小波变换情况，为以后几个章节中图像小波去噪奠定理论基础。 第四章首先定量地分析了图像小波系数的统计特性，然后，结合图像小波系数 的相关性和小波系数分布模型，分别提出了基于层内相关性的小波局域收缩去噪 算法和邻域去噪算法以及多方向多尺度的自适应去噪算法。 第五章简单介绍了几种新的图像表示方法。雕d g e l c t 、c l l e l e t 和c o n t o u d e t 变 换。详细分析了图像c o n t o u d e t 变换后c o n t o u d e t 系数的统计特性，并对c o n t o u d 武 图像去噪做了迸一步的探讨。 第六章是对全文的总结与展望，概括了全文的研究内容和创新之处；针对论文 的不尽完善之处，提出了一些意见和建议，以供后续工作参考借鉴。 4 小波变换在图像去噪中的应用研究 第二章图像去噪方法 2 1 传统去噪方法 对随时间变化的信号，通常采用两种最基本的描述形式，即时域或频域。时域 描述信号强度随时问的变化，频域描述在一定时间范围内信号的频率分布。对应 的图像的去噪处理1 4 】方法基本上可分为空间域法和变换域法两大类。前者即是在原 图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。变换域法是在图像的变换 域上进行处理，对变换后的系数进行相应的处理，然后进行反变换达到图像去噪 的目的。 2 1 。1 空域滤波 2 1 ，1 均值滤波 邻域平均法是一种局部空间域处理的算法：设一幅图像，g ，y ) 为的阵 列，处理后的图像为g g ，) ，) ，它的每个像素的灰度级由包含( x ，y ) 领域的几个像素 的灰度级的平均值所决定，即用下式得到处理后的图像： g 2 击。，影( f ) 2 m 式中x ，y = o ，l ，2 ，一l ；s 是以0 ，y ) 点为中心的邻域的集合，m 是s 内坐标 的总数。图像邻域平均法的处理效果与所用的邻域半径有关。半径愈大，则图像 的模糊程度也愈大。另外，图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要 缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处，邻域越大，模 糊越厉害。 2 1 1 2 中值滤波 中值滤波是一种非线性滤波5 一，由于它在实际运算过程中并不需要图像的统 计特性，所以比较方便。中值滤波首先是被应用在一维信号处理技术中，后来被 小波变换在图像去噪中的应用研究 二维图像信号处理技术所引用。在一定的条件下，可以克服线性滤波器所带来的 图像细节模糊，。而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声最为有效。但是对一些细节 多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波的方法。 中值滤波的基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域 中各点值的中值代替。 设有一个一维序列工， ，正。取窗口长度为聊( m 为奇数) ，对此序列进行 中值滤波，就是从输入序列中相继抽出聊个数，z 。，z 。，z ，工。，其 中f 为窗口的中心位置，v ：! 娑，再将这m 个点按其数值大小排列，取其序号为 正中间的那个数作为滤波输出。用数学公式表示为： 一 朋一l l = m e d 一，+ ，7 z ，”2 f ( 2 - 2 ) 例如：有一个序列为 o ，3 ，4 ，o ，7 ) ，则中值滤波为重新排序后的序列 0 ， o ，3 ，4 ，7 中间的值为3 。此例若用平均滤波，窗口也是取5 ，那么平均滤波输 出为( o + 3 十4 + o + 7 ) 5 = 2 8 。因此平均滤波的一般输出为： z f = 一，+ z l + + z + + z + ，) 历 f e z ( 2 3 ) 对于二维序列讧j 进行中值滤波时，滤波窗口也是二维的，但这种二维窗口可 以有各种不同的形状，如线状、方形、圆形、十字形、圆环形等。二维数据的中 值滤波可以表示为： 2 m 产阢ja 为滤波窗口 ( 2 4 ) 在实际使用窗口时，窗口的尺寸一般先用3 x 3 再取5 5 逐渐增大，直到其滤波 效果满意为止。对于有缓变的较长轮廓线物体的图像，采用方形或圆形窗口为宜， 对于包含尖顶角物体的图像，适宜用十字形窗口。使用二维中值滤波最值得注意 的是保持图像中有效的细线状物体。与平均滤波器相比，中值滤波器从总体上来 说，能够较好地保留原图像中的跃变部分。 6 小波变换在图像去噪中的应用研究 2 1 2 频域低通滤波法 在分析图像信号的频率特性时，一幅图像的边缘，跳跃部分以及颗粒声代表 图像信号的高频分量，而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量。用滤波的 方法滤除其高频部分就能去掉噪声，使图像得到平滑。由卷积定理可知： g ( “，v ) = 日( “，v ) f ( “，v ) ( 2 5 ) 式中，f ( “，x ) 是含噪声图像的付利叶变换，g ( “，v ) 是平滑后图像的付利叶变 换，日( “，v ) 是低通滤波器传递函数。利用h ( ”，v ) 使f ( “，x ) 的高频分量得到衰减， 得到g ( 材，v ) 后再经过反变换就得到所希望的图像g ( 墨y ) 了。低通滤波平滑图像的 系统框图2 1 所示。 1 护圆1 矿匮面函1 矿圆1 矿 下面介绍几种常用的低通滤波器。 ( 1 ) 理想低通滤波器( i l p f ) 一个理想的低通滤波器的传递函数由下式表示： 啦，2 撼糯 沼。， 式中d o 是一个规定的非负的量，称为理想低通滤波器的截止频率。d ( u ，v ) 代表从频 率平面的原点到( u ，v ) 点的距离，即： d ( ) = 封2 + v 2 啦 ( 2 7 ) 理想低通滤波器平滑处理的概念是清楚的，但它在处理过程中会产生较严重的 模糊和振铃现象。这是由于日( “，v ) 在d 。处由1 突变到o ，这种理想的h ( u ，v ) 对应的 冲激响应h ( x ，y ) 在空域中表现为同心环的形式，并且此同心环半径与d 。成反比。d 。 越小，同心环半径越大，模糊程度愈厉害。正是由于理想低通滤波器存在此振铃， 现象，使其平滑效果下降。 7 小波变换在图像去噪中的应用研究 ( 2 ) 巴特沃思低通滤波器 巴特沃思低通滤波器( b l p f ) 又称作最火平坦滤波器。与i l p f 不同，它的通带 与疆豢之闻没蠢明显熬不连续性，嚣越宅瓣空壤豌艇没有“振铃”溪象发黛，模 糊程度减少，一个以阶巴特淡恩低通滤波器的传递函数为： 硪轧2 币薪 q 罐 躺 ，v 卜币司衙 q 与理想低通相比，它保留有较多的高频分量，所以对噪声的平滑效果不如理想 低逶滤波器。一般馈凝下，鬻采翅下降裂舅f 掰，1 ，) 最大篷熬矿冱那一蠡为低逶滤波 器的截止频率点。 ( 3 ) 指数低通滤波器( e l p f ) e l p f 的传递函数灯( 订，v ) 袭示为 跑咖哪 _ 掣 ( 2 1 0 ) 榔萨娜 h 击 掣 c ， 当乃( 拓，v ) = 珐、栉= l 辩，驻上嚣斌静努潮为冒( 黏，v ) = 咖寝嚣辑v ) = 矿冱， 所以两者的衰减特性仍有不同。由于e l p f 具有比较平滑的过滤带，缀此平滑后的 图像没有振铃现象，而e l p f 与b l p f 相比，它艇有更快的衰减特性，嘲此e l p f 滤波 后的黧像毙8 l p f 处理的图像毯擞模糊上些。 除了上述滤波方法外，学者们还提出了其它的基于频域滤波的图像去嗓方法， 翔嚣i e n e r 滤滚【8 l 等。 综上所述，图像的经典去噪方法斑要有两大类，一种是基于空间域的处理方 法，一种是基于频域豹处理方法。 鏊予空域舱平均滤波洼秘 线瞧豹孛筐滤波都是遥过黠翅缳像豢鹣获爱篷送 行运算，达到平滑图像的效果。平均滤波是以点邻域像素灰魔平均值来代替该点 小波变换在图像去噪中的应用研究 的灰度值，而中值滤波则以点邻域像素灰度值中值来代替该点的灰度值；因此， 对于随机噪音的抑制能力，中值滤波器的性能要比均值滤波器的差些。但对于脉 冲干扰来讲，特别是脉冲宽度小于滤波器的窗口宽度一半，中值滤波还是很有效 的。不过，他们在平滑图像的同时亦会使图像轮廓变得模糊，它们的噪音平滑效 果与窗口的宽度有关，窗口宽度越宽，噪音平滑效果越好，但图像就越模糊，这 个矛盾难于解决，也是均值滤波和中值滤波的缺点。 基于频域的处理方法主要是用滤波器，把有用的信号和干扰信号分开，它在有 用信号和干扰信号的频谱是没有重叠的前提下，才能把有用信号和干扰信号完全 区别开来，但在实际的情况，有用信号和干扰信号的频谱往往是重叠的，因为无 论是高斯白噪声还是脉冲干扰，它们的频谱几乎都是分布在整个频域。而图像的 像素灰度一般是光滑的，只有在图像轮廓细节处像素才会突变，所以可以用具有 低通的滤波对图像进行平滑，不过在平滑的同时亦会使图像变得模糊。这是用低 通滤波器对图像进行平滑难于解决的矛盾。如果要噪声平滑效果好，必然会引起 图像模糊，要图像轮廓清晰，噪声平滑效果必然不好。在使用时，必须权衡得失， 在两者中选择其一。各种低通滤波器的性能比较如表2 1 所示： 表2 1 振铃程度图像模糊程度噪声平滑效果 理想低通滤波器严重严重最好 巴特沃思滤波器无很轻一般 指数低通滤波器无 较轻 一般 由上述知经典去噪方法要么完全在频率域，要么完全在空间域展开。这两类消 噪方法造成了顾此失彼的局面，虽然抑制了噪声，却损失了图像边缘细节信息， 造成图像模糊【9 】。因此，提出了基于小波变换的去噪方法研究。小波分析由于在时 域频域同时具有良好的局部化性质和多分辨率分析的特点，能有效地把信号和噪 声区别开来，因此不仅能满足各种去噪要求如低通、高通、陷波、随机噪音的去 除等，而且与传统的去噪方法相比较，有着无可比拟的优点，成为信号分析的一 个强有力的工具，被誉为分析信号的数学显微镜。 9 小波变换在阕像击噪中的应用研究 2 。2 小波去曝 近年来，小波理论得了非常迅速的发展，由于其具备良好的时频特性和多分辨 率穗谯，套液理论袋功蘧在许多领域褥到了广泛嚣波耀。联在小波分辑已经渗透 到自然科学、应用科学、社会科学镣领域。在图像去噪领域中，应用小波溅论进 行图像去噪受到许多专家学糟的重褫，并取得了非常好的效果。具体来说，小波 去噪方法的成功主要褥益于小波具有如下特点1 1 0 l ：( 1 ) 低熵性，小波系数鹣旗疏分 布，使得图像变换后的熵降低；( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以 霹戬缀妊遮劐垂售号津平稳黪经，热逑缘、尖峰、凝焘等；( 3 ) 去鞠关毪，阂戈枣 波变换可以对信号进行去相关性，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时 域更铡于去潦；( 4 ) 逸基灵活髋，由于小渡交换可班灵活选择变挟基，跌而对不同 应用场合，对不同的研究对象，可以选不同的小波母函数，以获得最佳的效果。 2 。2 。 奎波去噤发曩爨壤 1 9 9 2 年，d o n o h o 和j o l l t l 咖n e 提出了小波阈值收缩方法( w h v e l e ts 1 1 r i n k a g e ) ， 司嚣遥给密了小波牧缭阂篷毒= 娩攮玎，并获渐遥意义上落鲷了它跫夺渡毅缩最 佳闽慎的上限【1 1 】。以上小波收缩算法的一个严重的缺陷是：在去噪之前必须知道 噪声酌太小( 方差) 。而在实际应用中噪声大小是无法预先知道的，于是m a a r t e n j 船e 珏簿提出了g c v ( g 。n e 芏a l i z 稚e s sv a l id a _ 6 鳓) 方法1 1 2 j ，这耱方法爱嚣矩邋噪声 大小的先验知识，较好地解决了这一问题。另外，由于d o n o h 0 和j o h i l s 协n e 给出 懿瓣德寿穰严霪懿“遵嚣杀”奎渡系数鹃缓淘，霾魏久懿纷纷对瘸镶懿选释进行 了研究【2 0 j ，并提出了多种不同的阅值确定方法。后来，人们针对阙值函数的选 取也遴行了一些研究，并给出了不同的阕值豁矗6 1 ；但怒当这些方法用剿菲高新、有 色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因愚这些方法都基予独立越分布 噪声的假设，并且这拨方法大多是从d o n o h o 和j o l l l l s t 0 地绐出的方法发展而来 戆，麸嚣它靠j 矮疰款去噪瞧辘瞧依鞍予翅粥燃v e 融溅珏珏g e 臻定潮镶鞋，辩礤声 服从独立正态分布的假设。对此，人们提出了具有尺度适应性的阈慎选取法，用 来辩狡正态分布有色缣声的枣渡去嗓阀题，嚣另舞一些学者剐研究了在眈岛噪声 更熏尾的噪声情况下的小波去嗓问题，并给出了显式的阙值公式 l 。 l o 小波变换在图像去噪中的应用研究 目前，基于阈值收缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新 的方法出现，而且也可以看出，人们的研究方向已经转为如何最大限度地获得信 号的先验信剧1 8 】，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的 去噪效率另外，除了阙值收缩方法外，v a n c ，j o h n 和x u 等人还提出了不同 的去噪方法【1 9 1 ，例如利用l i p s d l i 乜指数的方法和基于最大后验概率m a p 的比例 收缩法等，这些都丰富了小波去噪的内容。 2 2 2 小波去噪方法 小波去噪的方法有多种，如利用小波分解与重构的方法滤波降噪、利用小波 变换模极大值的方法去噪、利用信号小波变换后进行空域相关性进行信噪分离、 非线性小波阐值方法去噪、平移不变量小波去噪法，以及多小波去噪等等。归结 起来主要有三类：模极大值检测法、阈值去噪法和屏蔽( 相关) 去噪法。其中最常用 的就是阈值法去噪，本文主要研究阈值去噪。 2 2 2 1 模极大伍检测法 当信号中混入了随机噪声，由于随机噪声通常导致信号的奇异性，奇异性的大 小由l i p s d l i 乜指数来度量。随机噪音的l i p s c h i t z 指数与有效信号本身的奇异点的 l i p s c h i t z 指数大小不一样，从而它们的小波变换模的极大值在不同尺度下的传播行 为也不一样，利用这一特性可将有效信号从随机噪声中提取出来口1 。3 4 】。 设随机噪音为白噪声，n ( t ) 是一个( 0 ，盯2 ) 的宽平稳高斯白噪声， 令玎，r ( ，七) 为n ( t ) 的小波变换，妒为实函数，则有 i 町( ，i ) 1 2 = 疗( “) 妒，( 七一“) ”( v ) 妒，( _ j 一v ) d 跏 2 【l 拧( 咖( v ) 吩( 七一“) 渺一”) 撇 ( 2 1 2 ) 又因为e 如 ) 即( v ) = 盯2 万似一v ) f 阿丁( ，七) 2 = 即( ”) 竹( 七一“) ”( v ) ( 七一v ) 如西 小波变换在图像去噪中的应用研究 ：盯：艿 一心吩( 七一“) 纺( 七一v ) 如西：阮( 枣一鞋2 幽 ：2 ，l ( 2 * 1 3 ) 对于上述的白噪声信号，其小波变换的平均功率岛尺度j 成反比，幅值随着小 波交换足痘静缮长j 嚣不断减，j 、，这每一般整号静奁髯点蹩突全不霹豹。这说明鑫 噪声的负奇异性。此外，自噪声小波的局部极大值点的稠密度也随糟尺度的增大 而减小。这些特征可阻作为小波变换去除随机噪声的依据。稍信号的l i p s c h i t z 指数 是芷懿，因此，可以通过观察在不鼷二进尺发之阀模数极大僮的变位雩亍为寒区分 模极大值是由噪声产艇还是由信号产生进而达到去噪目的。 2 2 2 2 屏蔽去噪法 小波域滤波是根据信号和噪声在不同尺度上小波变换的不同形态表现，构造 遗稳藏酶窥掰，黠信曝帮噪声鹣小浚交换系数迸行处理，建理静实菝在于减夸浚 至完众剔除噪声对应的小波变换系数，同时最大限度地保留有效信号对应的小波 系数。信号经小波交换之后，其小波系数在备尺度上有较矮的相关性，尤其是在 羡号懿边缘黪避，其稠关牲受妇盟曼，露噪声辩应黪小波系数在尺发阕却竣毒这 种明摄的相关性。因此，可以考虑利用小波系数在不同尺度上对应点处的桐关性 来区分系数鹣类鬟，驭赢逡移取舍，遥过这样滤波之后静，j 、波系数蒸本上对应着 信号的边缘，达到了去噪的效果州。 该方法把低分辨率( 大尺度) 下的小波变换系数众部保留，高分辨率( 小尺度) 下静小波交换系数测只有被礁试秀边瀑瓣透懿各熹考绘予豫磐，其众戆帮麴鞋去 除。由于噪声的小波变换主要集中在小尺度备层次中，因此经上述处理后，噪声 基本去豫两边沿信惠褥戳较好豹保留。 方法的关键是如何辨识边淤。在一维的情况下，边缘在数据中的袭现是盼跃性 的跳交。当采用波形反对称的小波函数对其进行尺度a = 2 j 的小波变换时，襁多个 尺度下零波交换匏篷在谬l 交筑缘表魏穗赘显鹣峰篷，冀符号瘫受霆决定予鼗静跃 是正跳变还是负跳变，而噪声盼小波变换则随着尺度的加大而迅速减小。因此把 1 2 小波变换在图像去噪中的应用研究 一部分上尺度上对应于同一空间位置k 处的小波变换相乘，就能把边沿表现得更 突出，并把噪声的表现削弱。、 2 2 2 3 小波收缩去噪 在小波收缩“去噪”中，首先是将带有一定噪声的图像，( x ，y ) 进行小波分解。 由于小波变换是线性变换，因此对含噪图像进行分解后可以得到： ，w2 ”+ 国 r 2 1 这里，v 为理想无噪声图像的小波分解的小波系数，是噪声经小波分解后的小波 系数，j w 为实际含噪声的图像经小波分解的小波系数。 这样，我们很容易地可得小波域中噪声的协方差矩阵s = 占鲫1 为： s = 阳形1 佗1 5 1 如果小波变换是正交的并且噪声的协方差矩阵q 2 盯”，那么小波域中的噪 声的协方差矩阵s 与变换前具有相同的统计性质： s = 盯2 ， ( 2 1 6 ) 从以上的讨论可知，小波变换将具有相关特性的图像信号去相关得到紧支的图 像表示，而噪声信号还是均匀地分布在所有的小波系数中。自然图像都含有一定 的噪声，经过小波变换得到图像的紧支表示后，图像的主要信息将集中在小波域 的低分辨率子带，而噪声则还是均匀地分布在所有的小波系数中。根据这一思想， 当我们对小波域的高分辨率子带的系数进行舍取时，除去的系数主要包含的是噪 声信息。同时，对于高分辨率子带，由于噪声统计上是均匀地分布在小波系数中。 这样，我们可知少数绝对值较大的重要的小波系数必定含有图像的重要的奇异特 性，通过保留重要系数舍去绝对值小的不重要系数的小波收缩算法，其结果是既 减小图像的噪声又不会导致图像的边缘模糊廿7 4 3 1 。 小波收缩基于以下三个假设： ( 1 ) 小波的去相关特性将图像表示为稀疏的系数表示，大部分小波系数是等 于零或接近于零。 ( 2 ) 白噪声是统计均匀地分布在所有的小波系数上。 ( 3 ) 噪声不是太大，我们可以识别出代表信号的小波系数。 小波变换在图像去噪中的应用研究 小波收缩的基本方法分三个步骤： ( 1 ) 利用小波变换将实际自然图像变换为小波域： l3 町 f 2 1 7 1 ( 2 ) 对小波系数运用非线性收缩规则以( ) 进行处理： 兀2 矗帆) 8 1 ( 3 ) 将阈值化处理后的小波系数进行小波反变换得到“去噪”后图像： 力。= 矿。1 丘 佗。1 9 1 、小波收缩的基本思想是：在小波域中，一些绝对值较小的不重要的小波系数 中噪声占主要成分，应该加以消除或减小，而那些绝对值较大的重要的小波系数 含有重要的信息应该给予保留。 1 4 小波变换在图像去噪中的应用研究 第三章小波变换理论 3 1 从傅里叶变换到小波变换 傅里叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分 析手段。但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准 确的( 即频域分辨率最高) ，而在时域无任何定位性( 或分辨能力) ，也即傅里叶 变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间 段上的频域信息。相反，当一个函数用6 函数展开时，它在时间域的定位性是完 全准确的，而在频域却无任何定位性( 或分辨能力) 。也即其所反映的只是信号在 全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。对于一 些常见时变信号的分析，通常需要提取某一时间段或瞬间的频域信息或某一频率 段所对应的时间信息，因此寻求一种介于傅里叶分析和6 分析之间的具有一定的 时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号一直是信号处理界及数学界人士长期 以来努力的目标。为了研究信号在局部时间范围内的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提 出了著名的g a b o r 变换之后，又进一步发展为短时傅里叶变换s h o nt i i n ef o u r i e r 1 h m f o m 简记为s t f t ，又称为加窗傅里叶变换，但由于s t f t 的定义决定了其 窗函数的大小和形状均与时间和频率无关，而保持固定不变，这对于分析时变信 号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短而低频信号持续时间较长，因此我 们希望对高频信号采用小时窗分析，对低频信号采用大时窗分析，这种变时窗的 要求同s t f t 的固定时窗窗不随频率而变化的特性是矛盾的，此外在进行数值计 算时希望将其基函数离散化以节约计算时间及存储量，而e 铀o r 基无论怎样离散 都不能构成一组正交基因而给数值计算带来了不便。这些是g a b o r 变换的不足， 但恰恰是小波变换的长处。小波变换不仅继承和发展了s 耶t 的局部化思想而且克 服了窗口大小不随频率变化缺乏离散正交基的缺点，是一种比较理想的进行信号 处理的数学工具。1 9 8 7 年m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小 波分析中，提出多分辨率分析概念【l j ，统一了在此之前的所有具体正交小波基的构 造并且提出相应的分解与重建快速算法。1 9 8 8 年d 肌b e c h i e s 在美国n s f c b m s 小波炎换在图像妊噪中的鹰用研究 童办的小波专题研讨会上进行了讲演，将小波分析的理论发展与实际应用推向了 一个高潮。此后小波变换作为信号处理的一种簪段逐渐被越来越多领域的理论工 佟者窝王程按本入员瑟蘩视察凌霜，势在诲多藤溺孛驳褥了受萋瓣效采，涯翳了 小波分析作为一种调和分析方法具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景，4 5 】。 禧里时变换豹实凄怒把髓量有限信号f 国分解羁戳 e l ” 为藏交基静家阀上去。 小波变换的实质是把能量有限信号f ( t ) 分解到w 篡j = l 2 j ) 和v 所梅成的空间 上去。 媾里畦交换髑裂熬基本函数炎有歪泫国数、余弦丞数巍擐数爨数，翼蠢唯一投。 小波函数则具有不唯一性，目前往往是通过经验妓不断的试验来选择小波函数。 蒋垂时变换炎在猿域凝畜较好静是鄢伍能力，特羯怒对于郡蹙频率躐分院较简 单的确定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加_ 鞍的形式。 瓶在对城中，傅艉叶变换没有局部化能力。小波变换魁种同时具有时频二维变 分辨率的变换，其优于憾里时变换之处在于它舆毒“交焦距”特性，十分套聪平 信号的糟细分析。 在夸浚分辑孛，足发鑫戆篷越大辕当于德墨l 母交换孛静。毽越夺。 在短时傅里叶变换中，变换系数主要依赖于信号在【t - 6 ，t + 6 】片段中的情 况，时瀚宽度是26 ，26 是一个定值。小渡交换的交换系数燕要依赖于信号在 【b a 1 l rt ，b + a a1 l f 】片段中的情提，时间宽度是2 a 1 l r r ，该时间宽度是随着尺 度a 变化而变化的，所以小波交换具有时间局部分析能力。 3 2 连续小波娄换 吣r z ， 并称丸，( r ) 为参数为日和f 和小波基函数。由于和f 均取连续变换的值，因此 又称之为连续小波基函数，它们是由同一母函数妒( f ) 经伸缩和平移后得到的一组函 数系列。 ( 2 ) 连续小波燹换 将r 伍) 空间的任意函数，( ，) 在小波基下进行展开，称其为函数厂o ) 的连续小 波变换c w t ，变换式为： 吗( 纠= 击肌h ( 等户 ( 3 - ，) v “一、“， 当所用小波的容许性条件成立时，其逆变换存在： ，( f ) = 击f 砉e 啊( 口一匆( 等) d r c s 钔 其中q ：r 。丛警堂妇 m 即为( r ) 的容许性条件。 根据c w t 的定义可知，小波变换同付利叶变换一样，也是一处积分变换，称 啊( 口j f ) 为小波变换系数。由于小波基具有尺度和位移两个参数，因此将小波基 展开意味着将一个时间函数投影到二维的时间一尺度相平面上。而且由于小波基 本身所具有的特点，函数投影到小波变换位置域后，有利于提取某些特征。 小波变换在图像去噪中的应用研究 3 3 离散小波变换 1 尺度与位移的离散化 对连续小波基函数进行离散化