（光学专业论文）时间延迟对非线性网络中动力学特性的影响.pdf

捕蛰 摘要 非线性动力学系统的研究被认为是上世纪未和本世纪扔科学界的 个重人突破。尤其是 对澎沌系统的研究。与其它科相比，菲线性学科还处于相对比鞍年青约阶段。但是她的重 要性在许多学科中得剑体现。本文主要研究混沌系统的延时信号对混沌系统动力学行为的影 响，着重对系统的同步进行研究，包括预测同步、完全周步、滞厉同步。论文主体分为两部 分： 第部分是研究延时反馈法对单个混沌系统的控制，将系统控制到荐种不同的惑。通过 调节延时反馈时问，可以将系统控制在脚定点、单倍周期态、多倍周期态、超混沌念等。 第二部分是对耦合非线性阵列纳动力学研究，着重研究了四炎单向耦台l o r e n z 阵列模 型：环形、链形、环链祸合、星形辐合模型，j ：且以混沌同步为研究的重中之重。( 1 ) 在 没有延时情形f 链形阵列中的同步是以“同步波”的形式沿着链的描台矗嘲连续传播高第 个驱动振子的何于越远，达剑同步所需要阳时问越长；加入延时j 嚣，会出现预测同步、完 全同步、滞后同步的现象。( 2 ) 环形阵列中，在没有延时项时，肖环中振于个数超过某 临界值时。将会出现混沌旋转波、周期旋转波等现象。加入延时后，系统原有状态变得更加 丰富。( 3 ) 嗣环形驱动链形阵列，在没有延时项时，当链上的两个振子如果其相差振予数 ( 空间周期距离) 是环上振子数的整数倍。那么这两个振子同步，印空间厨期性同步。加入 延时项君系统除有以上现象外，还出现周期性的空间预测、完全、滞后同步现象。( 4 ) 星形阵列中在没有延时项且全局振子相同时，会出现全岗振子同步并且层向同步出现在 纵向同步之前。若只有层向振子相同而纵向振子不同时，则只有层向同步出现：加入延时项 后，即使全局振子备参数相同，且耦合系数处于无延时的全局同步区域内时埘于定的延 时时间还会出现全局不同步的现象。 关键词：混沌：祸台非线性阵列：空间周期性混沌同步；控制：延时；预测：滞后 尔南大学坝i ：论文 a b s t r a c t t h ef i e l do fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sh a sb e e nc o n s i d e r e da so n eo ft h ei m o o r t a n t b r e a k t h r o u g h si ns c i e n c eb e t w e e nt h ee n do ft h el a s tc e n t u r ya n dt h eb e g i n n i n go ft h i s c e n t u r y ，e s p e c i a l l yi nt h es t u d yo fc h a o t i cs y s t e m s i nc o n t r a s tw i t ho t h e rd i s c i p l i n e s ，t h i s a r e ai ss t i l lr e l a t i v e l yy o u n g ，b u tt h e r ei sf i nq u e s t i o nt h a ti ti s b e c o m i n gm o r ea n dm o r e i m p o r t a n ti nav a r i e t yo fs c i e n t i f i cd i s c i p l i n e s t h i sp a p e rm a i n l yi n t r o d u c e st h ee f f e c to nt h e c h a o t i cd y n a m i c sd r i v e nb yt h ed e l a ys i g n a lo fi t s e l f , e s p e c i a l l yc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n i t i n c l u d e s a n t i c i p a t e ds y n c h r o n i z a t i o n c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n a n dr e t a r d e d s y n c h r o n i z a t i o n r e s e a r c hw o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o nh a st w om a i np a r t sa sf o i l o w s ： o n ep a r to ft h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt os h o wt h ec o n t r ojo ft h es i n g l ec h a o t i c s y s t e mw i t ht i m e - d e l a y e df e e d b a c ka n dc o n t r o lt h ec h a o t i cs y s t e mt od i f f e r e n ts t a t e s b y a d j u s t i n gt h ed e l a yt i m e s ，w ec a nc o n t r o lt h es y s t e mt ot h es t a b l ep o i n t ，s i n g l ep e r i o ds t a t e ， m u l t i - p e r i o ds t a t e so re x c e e d e dc h a o t i cs t a t e t h eo t h e rp a r to ft h ep r e s e n tt h e s i ss h o w st h ed y n a m i cr e s e a r c ho nt h ec o u p l i n g n o n l i n e a ra r r a y , e s p e c i a l l yt b u rc a t e g o r i e so f s i n g l ec o u p l i n ga r r a y ：r i n ga r r a y s ，c h a i na r r a y s ， t h ec o u p l e d r i n ga n dl i n e a ra r r a y sa n ds t a ra r r a y s c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a sb e e n i n t e n s i v e l ys t u d i e di nt h i sp a p e r ( 1 ) f o ro p e nl i n e a rg e o m e t r i e s ( c h a i n ) ，t h ec h a o t i cc e l l sa r e s e e nt os y n c h r o n i z ec o n s e c u t i v e l ya sas y n c h r o n i z a t i o nw a v es p r e a dt h r o u g ht h ea r r a y s u n d e rn o t i m e d e l a yc o n d i t i o n s w h e n w ei n c r e a s et h e d e l a yt i m e m a n yd i f f e r e n t s y n c h r o n i z a t i o ns t a t e sh a v e b e e nf o u n d ，s u c ha sa n t i c i p a t e ds y n c h r o n i z a t i o n ，c o m p l e t e s y n c h r o n i z a t i o n ，r e t a r d e ds y n c h r o n i z a t i o n ( 2 ) f o rc i r c u l a rl o o p s ( r i n g ) ，w h e no u rs y s t e m h a sn od e l a yt i m e i ti sf o u n dt h a tt h e r ei sac r i t i c a in u m b e ro f c e l l sa b o v ew h i c ht h eu n i f o r m s y n c h r o n i z e ds t a t e i sn o ts t a b l ea n de x h i b i t sc h a o t i cr o t a t i n gw a v e so rp e r i o d i cr o t a t i n g w a v e s b u tw h e nw ei n cr e a s et h ed e l a yt i m e t h es t a t e so fc h a o t i cs y s t e m sc a ni e a dt or i c h d y n a m i c a lb e h a v i o r s ( 3 ) f o rt h ec o u p l e dr i n ga n dl i n e a ra r r a y s ，w h e no u rs y s t e mh a st t o d e l a yt i m e ，i ti sf o u n dt h a tt h ec h a o t i cr o t a t i n gw a v e sg e n e r a t e df r o mt h er i n gp r o p a g a t ew i t h s p a t i a lp e r i o d i cs y n o h r o n i z a t i o na l o n gt h ec h a i n ，t h a ti st os a y ，t w oc h a o t i co s c i l l a t o r si nt h e c h a i na r es y n c h r o n i z a t i o ni ft h en u m b e ro fo s c i l l a t o r s ( s p a t i a ld i s t a n c e ) b e t w e e nt h e mi sa m u l t i p l eo fo s c i l l a t o rn u m b e ri nt h er i n g b u tw h e ni n c r e a s i n gt h ed e l a yt i m e ，o u rs y s t e m a l s oe x h i b i ts p a t i a lp e r i o d i ca n t i c i p a t e d ，c o m p l e t e ，a n dr e t a r d e dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ( 4 】 f o rs t a ra r r a y ，w h e nt h es y s t e mh a sn od e l a yt i m ea n dp a r a m e t e r so ft h eo s c i l l a t o r sa r ea l l s a m e ，i ti sf o u n dt h a tt h eo s c i l l a t o r sa r es y n c h r o n o u s a n dt h ei a y e r e dc h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o nw l l b ee a r l i e ra p p e a r e dt h a nt h ev e r t i c a ic h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n j ft h e l a y e r e do s c i l l a t o r sa r es a m ea n dt h ev e r t i c a lo s c i l l a t o r sa r ed i f f e r e n t t h e r ew i ! lb eo n l yt h e l a y e r e dc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o no c c u r r i n g w h e nw ei n c r e a s et h ed e l a yt i m ei nt h es t a ra r r a y s y s t e m ，e v e ni f t h ep a r a m e t e ro f a l lo s c i l l a t o r sa r ea l ls a m e a n dt h ec o u p l i n gc o e f f i c i e n t sa r e i nt h ea r e ai nw h i c ha l lo s c i l l a t o r sa r es y n c h r o n i z a t i o nw i t h o u tt i m e d e l a y , t h e r em a yb e u n - s y n c h r o n o u si nt h ea l io s c i l l a t o r sw i t hd e l a y e dt i m ei nc e r t a i nr e g i o n k e y w o r d s ：c h a o s ；c o u p l i n ga r r a y s ；s p a t i a lp e r i o d i c c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n ；c o n t m t i m e - d e l a y ；a n t i c i p a t e ds y n c h r o n i z a t i o n ；r e t a r d e ds y n c h r o n i z a t i o n i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究t 作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文一f - 特别加以标注和致谢的地方外，论文t fr 不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育 机构的学位或证书而使_ | 】过的材料。与我。同t 作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文t f 一作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 一一日期：2 0 0 5 3 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、i i ，国科学技术信息研究所、国家幽书馆有权保留本人所送交学 位论文的复印件和电子文档，可以采川影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本人电子文档的内容和纸质论文的内容柏敛。除在保密朗内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。沦文 的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究牛院办理。 研究生签名：导师签名：日期：2 0 0 5 二呈 第一争绪论 第一章绪论 1 1 论文的选题背景和研究意义 自1 9 6 3 年美国著名的气象学家洛伦旌( l o r e n zen ) 发表决定论非周别流论文 以来，混沌科学获得了迅猛的发展。混沌科学更是与其他科学相互渗透使得它不仅在生物 学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、气象学、宇宙学、地质学以及经济学、人脑 科学，挟至音乐、美术等多个领域出现”得到广泛地运h j 。比如，在化学反应过剃中、心脏 搏动中、细胞问信息的传递中、人脑的脑电波中、城【l j 车辆的拥挤过私! 中、非线性电路q t 部 出现了棍沌现象。混沌理论指出确定论的方枞可以得出不确定的结果。这干j 破了确定论和随 机论之问f 自鸿沟，给传统科学以很人冲击必将促进其它科学的发展。混沌的发现被、认为是 一十世纪物i l 学三个成就之。正如混沌科学的倡导者之 ，荚国i 句= 军部心员s c h l e s i n g e r 所说【2 的那样“2 0 世多己科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论，景子力学和混沌”。 可以说相对论粉碎了牛顿力学的绝对时空观，寿t 子力学消除了关于测最过羁! 可控的幻想，而 混沌动力学摒弃了牛顿和拉普拉斯决定论可预测的梦想。 混沌运动j f 不总是对宏观秩序起消极和破坏作蹦，在淀条作f 它能产生相干运动，在 建立“序”上起着积极f 冉创造性作阁。肉此，研究非线性条件f 混沌产生的各种效麻进而 研究混沌运动产生的条件机制及其麻朋便成为当前非线性科学发展的个重要任务。作为 门新兴的突义学科，近儿年来混沌科学在科学和t 柙领域中的应州研究发展迅速。在非线 性电流系统中，混沌信号由于具有内在柏随机行为，它f 非周期、连续。特宽频谱及类似f 噪 音等特性很使脚于保密通信系统。特剐是混沌同步的发现使得以混沌理论为基础的保密通 信领域步入了实际的应用阶段。当然非线性系统中的混沌行为，还有许多未知的问题和领域 有待深入研究，还有大量的工作要做。总之，这是+ 个重要的、富有挑战性的课题，更有广 阔的应用发展前景。 1 2 本文主要研究工作及安排 本文工作主要分为两部分：第一部分是对单个的非线性系统加入延时反馈项后对系统动 力学行为的研究：第部分是对些耦台的混沌系统模型加入延时项”且对其系统的动力 学行为进行研究。具体章节安排如r ： 东南大学碘 ：论义 第章：提出论文的研究背景及现状。非线性动力学是门变义学科，是近十年束发展尤其 迅速的学科，越来越吸b 1 人们的注意力。在各个科学领域得剑发展和应h j 。 第二章：简要介绍混沌及其基本概念， 且给出了定量描述l 观沌的基本方法l y a p u n o v 指数。该方法是用来判断混沌、混沌同步的稳定性的土要t 具在本论文t 作中占 有举足轻重的地位。 第三章：本文上体之：_ 【 j 延时反馈们方法柬控制l o r e n z 混沌系统使系统到达再种不同的 状态。通过嗽t l a b 软件对其进行仿真研究得到了较好的结果。 第四章：本文主体之_ ：耦合非线性动力学的研究，着重研究了四类单向耦台l o r e n z 阵列模 犁：环形，链形，环链耦台和星形耦合模型，并且混沌同步为研究的重中之重。 第五章：对全文进行总结。 2 第争混沌殷其定量描述 第二章混沌及其定量描述 2 1 混沌概述 我们用“混沌”来翻泽”c h a o s ”。国内外古时候的“混沌”含义都是。种“混乱无序” 自然状态的意思。在我们中国。“混沌”这。词是盘古开辟天地之i i i 。t 廿= 界处于的原始状态 我国的些神话：“浑沌未分天地乱，茫茫渺渺无人见”。“天地浑沌如鸡子t 盘古生其中”。 西方神话：“起初神创造天地，地是空虚混沌”。说明了混沌是1 团腺胧不清的混乱状态。 2 1 1 混沌定义3 i 1 l i y o f k e 的混沌定义 l 1 、，0 r k e 定义是影响较人的混沌的数- 定义它是从瞬问映射出发进行定义的该定义 描述如卜。 l i y o r k e 定理：设f i x ) 有3 个周期点。则对任何正整数n 域x ) 有n 个周期点 混沌定义( l i y o r k e ) ：区间i 上的连续自映射f i x ) ，如果满足下面条件便可确定它有 混沌现象： ( 1 )f 的周期点的周期无上界： ( 2 )闭区问i 上存在不可数子集s ，满足 ( - ) 对任意x , y s x y 时胜! s u p l f 4 ( x ) 一f ”( y ) l o ( i i ) 对任意x t y s ，! i m i n f l ，“( z ) 一f ”( y j = o ( i i i ) 埘任意x s 和f 的任意周剃点y - 有l i r as u p l f “( j ) 一f ”( y ) o 该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征： ( 1 )存在可数无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道： ( 3 ) 至少存在个不稳定的非周期轨道。 2 m e l n i k o vf n 混沌定义 在一维系统中，最具有丌创性肿研究是s m a l e 马蹄理论。弓蹄映射f 定义于平面犀域d 上，f ( d 1cd 其中d 由甲何正方形s 和两边各个半圆构成。映射舰! j | j 是不断把s 一 爪南大学坝1 沦史 纵向压缩( 压缩比小于l 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ，再弯曲成马蹄形后放同d 中。 h e n o n 映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集之交， 映射在这个不变集上呈棍沌态。冈此如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意昧着系统具有 混沌。 由h o l m e s 转引的m e l n i k o v 方法是对混沌的另种严格描述。概括起来可表述为：如果 存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形横截相交，则必存在混沌。m e l n i k o v 给出了判定 稳定流形和不稳定流形横截相交的方法但这种方法只适台近可积h a m i l t o n 系统。 3 d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑意义下j ，混沌定义( d e v a n e y ) 为：蹬v 是惶罐空间，映射f ( v ) 斗v 如 果满足f 面3 个条件，便称f 在v 上是混沌【1 f j 。 ( 1 ) 对初始敏感依赖。存在j 0 。埘任意f 目s 0 和任意的x v ，在x 的i 邻域内 存在y 和自然数n ，使得d ( f ”“) ，f ”( y ) ) j 。 ( 2 ) 拓扑传递性。对v 上的任意对开集x 、y ，存在k 0 ，f ( ) n y ( 如 映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递阳) 。 ( 3 ) f i l l 用州点集在v 中稠密。 2 1 2 混沌运动的基本特征1 3 与其他复杂现象相反别，浞沌运动有着自己独有的特征，土要有： ( i ) 有界性。混沌是有界的它的运动轨线始终局限于个确定的区域这个区域称 为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整 体上来说混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的。即在有限时间内混沌轨道经 过混沌医内每1 个状态点。 ( 3 ) 内随机性。 定条件f ，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现该系统 被任为具有随机性。 ( 4 ) 分维性。是指混沌的运动轨线在相空问中的行为特征。分维性表示混沌运动状态 具有多f f 、多层结构且1 1 1 层越分越细表现为无限层次的白相似结构。 ( 5 ) 标度性。是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或实验 第：牵混沌及其定量描述 设箨精度足够岛，总可以在小尺度的混沌的混沌区内看到其中有序的运动花样。 ( 6 ) 普适性。所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的粜些共同特征， 它不依具体的系统方程或参数而变。 ( 7 ) 统计特祉，正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谐等。对于非线性映射而击，l y a p u n o v 指数表示n 维相空问中运动轨迹沿各基向芾的平均指数发敞率，当l y a p u n o v 指数小于零时， 轨道间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点：当l y a p u n o v 指数人于 零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动状态对应于混沌状态；当l y a p u n o v 指数等于零时，再轨道问的距离不变，迭代产生f n 点对应分岔点( 即周j l l j 加倍的佗置) 。 2 1 3 通向混沌的道路1 3 目前研究发现通向混沌的道路有4 种：倍周期分叉道路、阵发( 间歇) 道路、准周期道 路以及k a m 环面破裂。 1 倍用划分义道路 这条道路是由分形理论创始人bbm a n d e l b r o t 和r m y r b e r g 等批科学家共同努力发 现的。 2 阵发( 间歇) 道路 这是由法国科学家y , p o m e a u 和e m a n n e v i l l e 于1 9 8 0 年提出的条通向混沌的道路， 故又称p m 类间歇道路。 阵法混沌的产生机制与切分岔密切相关。阵发混沌发生于切分岔起点之前，表现在时间 行为的忽而周期、忽而混沌，随机地在者之间跳跃。当系统的某渗数r 低于( 或高于) 某一值r 。时，系统早规则的周期运动；而当参数r 逐渐增加( 或减少) 时，系统在长时间 内仍然表现出明显的近似周期运动形式，但这种近似的周删运动形式将被短暂的突发混乱运 动所打乱，突发之f 斤义是周期运动这种情况不断重复，显示出阵周删、阵混沌的阵发 运动；随着r 的进步增加( 或减少) ，突发现象出现得越来越频繁，近似的周划运动几乎 完全消失，最后系统完全进入混沌状态。 3 准周期道路。 4 k a m 环面破裂 k a m 定理指出，近h a m i l t o n 系统的轨线分布在。些环面( 称为k a m 环面) 上，它们 一个套在另一个外面而两个环面之内允满着混沌区。它在法向平面上的截面称为k a m 曲 5 尔南大学j ! i 。沦史 线。 2 1 4 混沌的分类4 从混沌的类型上散可以分为四人类：第类时间混沌。只存在与时问演化有关的混沌： 第_ 类空间混沌只存在与空问位置变化有关的混沌：第三类时空混沌，同时在时间上与空 间上都呈现混沌还可以包括生物体内产生的功能混沌；第四类超混沌，往往与时空混沌相 关。 2 2 常见的几种研究混沌的方法 本节将给出几种分析系统混沌运动的定性和定量的方法即从定性和定带的角厦柬刻画 混沌的方法。这里主要介绍李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数方法。 混沌对初值极端敏感，相邻近的两条轨道会按指数分离，可看成两条轨迹之问的“距离” 被“拉长”。由于奇怪吸引子为有限相空间，相轨迹问的距离也会被“压缩”，l y a p u n o v 指 数就是长时间计算相空间相邻两轨道的拉长和压缩的平均速率。 假定在初值为i ( 0 ) 的条件下，沿相轨迹经时间t 运动至i 。( f ) 。当初值为 艺( 0 ) = i ( 0 ) + a ( o ) 时系统将沿另 条相轨迹运动- 经时问t 运动剑 j 2 ( f ) = 曩( f ) + ( f ) 。在t = o 时t 相空间的两条轨迹相距很近，即i ( o ) 很小在t 时刻 两轨迹相距i 五( 蚓，两条轨迹按指数分离例即 五( f ) f = f 五( o ) ie x p 厶 ( 2 1 ) l a y p u n o v 指数为 ：! l n 魁( 2 2 ) t l ( 0 ) l 式中冈子i ，t 有平均速率的意义。墩足够长的时问，沿着整个相轨迹考察，在0 和t 之 间的时间顺序划分为t o = o ，t l ，f 2 ，t ，t 。，n 足够大相麻的得到两轨迹之间距离演化的 时间序列 a ( t o ) ，z x ( t i ) ，a ( t 2 ) ，( f “) ，a ( t 。) ( 2 3 ) 第二章混沌及奠定量描述 对应的模为 a ( t o ) ，a ( t 【) ，4 ( t 2 ) ，4 ( t h ) ，4 ( t 。) 其中( 。o ) = ( 0 ) 。( 0 ) = ( f ) 。将( 23 ) 简记为 ( o ) ，4 ( o ) ，2 ( o ) ，4 。( o ) ，a 。( o ) 于是 可以改写为,ixc)l f ( u 川 堂：垒：垒生生垒 4 ( 0 ) a oa oa l4 。一2a 。一l 将f 26 ) 式代入( 2 2 ) 式，对昭个相轨迹墩f - - i f , 的极限可得 ：l 。1 1 。竺型 1 l a ( 0 ) l ( 2 4 ) ( 2 6 ) = l i r a i ，一 al 百a 2 4 。a 瓮a 丧j “”f im j 地斟 。， 般柬说，系统在相空间中有n 个独立变情。可以求出相应的n 个l y a p u n o v 指数，按 数值大小排列l i l 2 l 2l 其中，l i 称为最人的l y a p u n o v 指数。 按上述的基本方法我们可以汁算差分力秤组，微分方程组和时间序列的l y a p u n o v 指数 【6 1 。l y a p u n o v 的指数的枸号在区分吸日f 子的性质很有用以3 维动力学为例。对稳定不动 点，3 个l y a o u n o v 指数都是负的，即l y a p u n o v 指数的符号为( 一，一一) ，表示在三千 方向上都收敛：对于极限环，l y a p u n o v 指数的符号为( 0 0 一) 表示沿极限环方向轨 道既不收敛也不发敞，而在其它两个横截极限环方i 句轨道收敛到极限环上：对于极限环面 l y a p u n o v 指数为( 0 ，一，一) ，两个l y a p u n o v 指数为0 表示两个频率i - 2 的准周期运动。 而对于混沌运动至少有个l y a o u n o v 指数人子零。如l o r e n z 混沌系统在参数为 盯= 1 6 ，= 4 5 9 2 ，b = 4 0 时通过实际计算的l y a p u n o v 指数为( 2 1 6 ，o 0 0 3 2 4 ) 。而 r o s s l e r 混沌系统在参数为a = 0 1 5 ，b = 0 。2 ，c = 1 0 0 时，l y a p u n o v 指数为( 0 1 3 ，0 , 0 0 ，一1 4 4 ) 。 其它常用的从定性和定量的角度来刻画混沌的方法还有：直接观测法，分频采烊法，庞 卡莱截面法，分形维数，功率谱分析k s 熵( 7 等等。它们从不同的侧面描绘了吸引子的特 4 、南大学f f | j l i | 仑t 征。而在什么情况f 出现混沌返动( 即通往混沌坦动的道路问题。叫也是甲 j 混沌理论l 】f h 个中心问题。所有这些较详细f 目讨论可以参考任何本混沌参考书以及期的经婀文献。 2 3 常见的几种混沌模型 1 l o g i s t i c 映象 1 9 7 6 年英国数学生态学家梅( m a yr ) 发现了个简单的离散动力学系统： + f = a x ( i x 。) ( 28 ) 其中d 是系统参数( 0 口4 ) 。这模型可以用来描绘昆虫的数董随时问的变化 考虑的重要冈素是成虫的繁殖和虫f 之问的竞争l 。对于这样个简单映射我们关心其 最终状态是什么。在剧2 1 ( a ) 。我们给出了l o g i s t i c 映象随参数( 7 1 的改变分义| 墨| 。很显然 在图【 l 从左剑右。随着a 的增加系统的状态由周期+ ( 不动点) 周期，通过倍用划分 叉向周期2 “逐渐变化。直至到非周期的混沌解。而在图中从右到左随着a 的减少，系 统状态可以由+ 个混沌带，两个混沌带，向2 ”个混沌带变化。最终，这两种变化趋势( 向 右的倍周划分叉和向左的混沌带倍周期分义) 将交汇于某个参数值。在混沌带中。我们也 能够观察到周期运动，其中最明显的是周期三窗口。物理学家f e i g e n b a u m 利用重整化群的 思想。仔细研究了这一动力学系统”】，发现了其中很好的标度规律，找到了普适常数： f e i g e n b a u m 常数。 这模犁对于捅示混沌运动f 由特点有其普适性。另外，比较典型的混沌映象模犁，还 有：帐篷映射( t e n tm a p ) ，h e n o n 映射等等。 粥 幽2 - l l o g i s t i c 分岔l 茎| 及其迭代时问序列图e 2 l o r e n z 模型 在这节中。我们将用l o r e n z 模型作为我们研究混沌同步的主要动力学模璋f 。 1 9 6 3 年气象学家l o r e n z 通过埘流体模型的简化，提出了个完全确定性的三阶常 一枞蚴孤 删一嘞 iimmj f ，撼 1i刑“#il i川川_4j ，。川啪m一_i 第i 鼋_ ) f 己沌及其定量描述 微分方程： f j = a ( y z ) ，= r r y 一 ( 29 ) 2 = x y 一6 z 其中的三个参数分5 ! i 是。盯一p r a n d t l 常数，r 一瑞利常数，b 一方向比。如今这模 型已经成为混沌运动领域的经典模型。l o r e n z 通过计算机的数值模拟发现。这模掣能出 现规则运动，但是在某些参数条件f ，同一系统也能出现非周期运动，这其实就是混沌运动。 他的论文确定性非周期流【1 很好地揭示了混沌运动f n 些基本规律，如混沌系统的非周 期性，混沌运动的初值敏感性以及由此带柬的长期返动无法预测等等。l o r e n z 的混沌吸 引子形状可参看圈2 2 。 ( a ) 幽2 - 2l o r e n zx y - z 相幽及其x 变节时问序州。 l o r e n z 通过求解l o r e n z 模型发现韧始条件的微小误差竟然会导致系统的面目全二| # 。 这一惊人的发现使他创造了著名的“蝴蝶效应”名言：今天单个蝴蝶的翅膀有可能带来一个 月后的龙卷风。值得提出的是直到目前为止人们还没有给出混沌的确切定义。人们普遍 接受的观点就是把混沌的典型性质蝴蝶效应，作为混沌的定义，即混沌运动是非线性系 统中的内在随机性，它的运动轨道对初始条件极端敏感。 3 r o s s l e r 模犁 r o s s l e r 方科! 是1 9 7 6 年r o s s l e r 在研究具有中间产物的化学反府问题时。通过适当的 标度变换，所给出的个很简单的非线性方i - ! 组【”1 ： 1 - 1 x 2 一w y z 1 1 少2 眦+ a y( 2 1 0 ) i 三= b + z ( x c ) 其中w ，a ，b 和c 是系统的参数，它的混沌吸引子形状可参看图2 - 3 ，r o s s l e r 振子只有 东南大学坝卜硷史 个非线性项，即第三个力柙中m “黜”项除此以外均为线性项。由此我们可以估计 它会是个比较弱混沌振子。r o s s l e r 振子具有混沌运动的般特祉，但是形式麓甲只有 个旋转中，己类似于午个极限环，控制参数w f 门人小儿乎决定了这渡沌扳子i h 旋转快 慢，计算相何比较力便。兰j 初r o s s l e r 征构造这方群时就曾指出仅仅足人为构造，没有“ 接的物理灯麻。但这模犁由于其拓扑结构上的简单性在人们研究耦合系统中被厂泛使硝。 。l ! ：i ! 1 i ；i i o ： ”l i ：i ，h “1 ： 。垮潜麟茅渺 。 2 f i fi ”f 。f 卜? i 芏2 3 ：r o s s l e r 振子x y - z 相图及其x 变景时问序列。 除此之外。比较j l 犁f 阿混沌振子模型6 】还有：r o s s l e r 超混沌振子，蔡氏电路非自 治的d u f t 2 n g 方程，神经元中的h i n d m a r s h - r o s e 模型等所有这些振子均具有混沌系统的 最基本特征。 i o 第三章州延时反馈法对单个混沌系统拄制 第三章用延时反馈法对单个混沌系统控制 最近十多年来由于混沌的奇异特性，特别是对初始条件极其微小变化的商度敏感性及 不稳定性，所谓“筹之毫厘，失之千里”的缘故使得混沌控制举步维耀，人们在生产、实 验中都尽氘避免混沌的出现。般情况r ，混沌的无舰州性是人们不需要那么。如何将 混沌运动控制到规则运动就成为混沌应_ j 需要解决的问题之。自从1 9 9 0 年，m a r y l a n d 人 学的o t t ，g r e b o g i 并l j y o r k e 阿次提出0 g y 控制力法以后i 控制混沌很快成为人们研究的 热点问题。人们提出了各种备样的混沌控制力法。”且已经出现有关混沌控制方面f 综述性 文章”。总旧柬说可以分成两类：反馈控制和非反馈控制方法。反馈控制。般以原系统f 固有志( 在非控制系统中它们是非稳定的) 为控制的目标态，通过改变其稳定性实现控制 而当实现以斤，控制项的影响消失。然而对非反馈控制。人们散对混沌系统注入个与系 统无卣接关联的作刚力因而无需对原系统数据采样方便实崩，但坏处在于。它的作刖在 实现控制后必须始终保持冈而最终实现的态通常不再是非控制系统原有的念随后混沌控 制又出现许多新理论与新力法。 法如f 。 3 1 混沌控制的几种方法 针对不同的任务目标，发展不同的控制策略和方法，迄今已经提出各种控制方法。上耍 有参数小微扰法、变量反馈法、相互耦合法、噪声控制法、传输一迁移法、非线性控制法、 最小能量法等。这里本论文主要是使用延时反馈控制的方法来讨论l o r e n z 混沌系统。 这里介绍的延时反馈控制方法【 9 - 2 6 1 的基本思想是1 9 9 2 年k p y r a g a s 【2 7 】提出的两种反馈 镇定方法之一其是将目标输出信号与当前输出信号之差作为反馈信号的来源，这个目标 输出信号往往是周期信号这种方法被称为扩展驱动控制( e f c ，e x t e n d e df o r c ec o n t r 0 1 ) 被认为是o g r 方法的南接推广。另种方法就是著名的时滞反馈控制方法( d f c ，d e l a y e d f e e d b a c kc o n t r 0 1 ) ，取当前信号与t 时闻以前的输出信号之著作为反馈信号的来源。其中 滞后时问是t 目标周期轨道呐周期。 延时反馈控制万法原理幽如图3 一i 所示，该思想是心两个不同延时的输出信号之筹来作 为扰动项，该扰动项可以用来控制该系统在不同的状态， 尔南大学坝l 沧义 图3 - l ：延时反馈控制方法原理方块图( d l ，d 2 是延迟器) 3 2 用延时反馈的控制方法对l o r e n z 系统的研究 f i = 盯( y x ) 岁= r x y 一+ r a ( x ( t r 1 ) 一x ( t r 2 ) ) ( 3 - 1 ) 【j = x y b z t 、tz 为延时时间，这里可以通过凋节- 。、t 。和a 束控制系统轨道( 般混沌 超混沌，极限环面，中、上、f 周划，多单倍周期，上、下固定点) ，下面用几个不同值来 演示。以f 各态参数p ，r ，6 ) = ( 2 0 ，3 5 ，2 5 ) 都相同，其它参数分别为 当( f i ，r 2 ，r a ) = ( o 0 0 3 ，0 0 0 5 ，1 7 ) 时- 系统被控制在一般混沌态与无延时反馈系统 的状态相似，其时序图和相图如图3 - 1 和图3 2 中的( 1 ) 例所示 当( r ，f ：，r a ) = ( 8 ，3 ，1 7 ) 时，系统被控制在超混沌态，随时问演化后，系统围绕嘲定 点0 作振动，其时序图和相图如图3 一l 和图3 - 2 中的( 2 ) 图所示 当( f ，f ：，j r 口) = ( 2 ，1 ，l7 ) 时，系统被控制在极限环面，其时序图和相图如图3 - l 和图 3 - 2 中的( 3 ) 幽所示： 当( r i f 2 ，re x ) = ( o 5 ，03 ，1 7 ) 时，系统被控制在，丽绕着吲定点( o ，0 ，6 2 ) 的周期 态，其时序图和相i 墨| 如图3 一l 和幽3 - 2 中的( 4 ) 斟所示 当( r 1 ，r 2 ，r 晓) = ( o 8 9 ，0 9 1 、1 2 ) 时，系统被控制在围绕着蚓定点( 9 2 2 t9 ，2 2 ，3 4 ) 的周期念其时序图和相图如圈3 - 1 和图3 2 中的( 5 ) 图所示 当( f l ，f 2 ，j r 口) = ( o 8 7 ，0 9 ，1 0 ) 时，系统被控制在围绕着吲定点( 。9 2 2 9 2 2 ，3 4 ) 第二葶m 延时反馈沾对单个混沌系统控制 的周期态，其时序图和相| 墨i 如蚓3 1 和图3 2 中的( 6 ) 图所示 当( ，r 2 ，尺口) = ( 0 ，9 1 ，0 9 ，1 0 ) 时系统被控制在四倍周期态， 其时序图和相图如图 3 1 和图3 - 2 中的( 7 ) 图所示 当( r ，r 2 ，j r 口) = ( 0 8 9 ，0 9 ，1 0 ) 时系统被控制在二倍周期态，其时序l 笙| 和相圈如图 3 1 和图3 - 2 中的( 8 ) 图所示 当( f 。，r 2 ，尺口) = ( 0 0 5 ，0 0 3 ，1 7 ) 时系统被控制在尉定点为( 9 2 2 ，9 2 2 ，3 4 ) 的态上 其时序目和相图如图3 1 和| 墨| 3 - 2 中的( 9 ) 圈所示 当( f 1 ，7 2 ，r c z ) = ( o 0 5 ，0 0 4 ，1 7 ) 时，系统被控制在【古j 定点为( - 9 2 2 一9 2 2 ，3 4 ) 的 态上，其时序圈和相图如图3 - 1 和图3 2 中的( 1 0 ) 图所示