稳健估计在测量平差中的数学模型综述.doc

稳健估计在测量平差中的数学模型综述摘要：随着测量科学技术的发展，采集数据越来越现代化、快速化、自动化、大规模化，粗差已经不可能再以传统方式剔除了，因此，在平差时同时考虑偶然误差和粗差就成了测量界的一个研究方向。本文主要解释了稳健估计中的M估计方法，进一步推到了M估计在测量平差领域的应用模型，介绍了现有的函数定义方法。关键字： 粗差；测量；M估计；函数1 引言现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理时可将粗差归为函数模型或归为随机模型。将粗差归为函数模型，可解释为均值漂移模型，粗差即表现为观测误差绝对值较大且偏离群体，其处理的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，以便符合最小二乘平差只含有偶然误差的条件；将粗差归为随机模型，可解释为方差膨胀模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型差异过大，其处理的思想是根据逐次迭代平差的结果来逐渐改变观测值的权或方差，最终使粗差观测值的权趋于零或方差趋于无穷大，这种方法可以保证所估计的参数少受模型误差，特别是粗差的影响。 将粗差归为随机模型后使用的平差方法就是通常所说的稳健估计方法。2 稳健估计经典的估计方法，是建立在观测数据来源于某一特定分布的母体基础上，按这一特定分布模式做出相应的估计。例如测量平差中采用的最小二乘估计，其观测值的特定分布为正态分布。在观测值服从正态分布情况下，最小二乘估计是最优线性无偏估计，具有最优统计性质。但当观测值中含有粗差时，观测值来源于特定的正态分布母体这一假设前提不成立，最小二乘估计自然就不再具有最优估计的性质，参数估计也往往被少数几个粗差所破坏。 严格而言，符合某一特定分布的观测数据是不存在的，如果有一种估计方法，其分布模式是建立在符合观测数据的实际情况的基础上，并给出相应的估计准则，那当然是一种最好的估计方法了，但这仅是一种理想的估计方法。因为实际情况的严格分布模式是未知的。稳健估计理论的提出，正是按照这一要求的方向考虑的，这是与经典估计理论的根本区别。 所谓稳健估计，是在粗差干扰不可避免情况下，选择适当估计方法，使参数估值尽可能减免其影响，得出正常模式下的最优或接近最优的参数估值。2.1稳健估计目标测量数据受误差干扰是不可避免的，视其误差大小可分为有效数据、有用数据和有害数据三类，能正确揭示其分布模式的为有效数据，虽不是有效数据，但却能反映分布基本特征，对提高参数估值有用，称为有用数据，有害数据指含有粗差的数据。稳健估计原则是充分利用有效数据，限制利用有用数据和排除有害数据。 一个好的稳健估计应该具备的性质是1： （1）在采用的假定模型下，所估计的参数对于经典的假定模型而言应是合理的，即使不是最优也是接近最优的； （2）如果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对应的参数估计受到的影响应比较小； （3）即使实际模型与假定模型有较大偏差，参数估计性能也不应太差，亦即不至于对参数估计值造成灾难性的后果。 这个目标说明，当观测仅存在随机误差时，其估值应与经典估计的相同，或有微小的差别；当观测大量是随机误差，少量是粗差时，其估值仍应是接近最优的；即使实际模型与假定模型有较大偏差，通过一定的估计准则，对应的参数估值也是可用的。因此，稳健估计追求的是从实际出发的有效估计。 这里要指出的重要一点是，稳健估计理论和方法研究的重点是，观测数据中存在少量的粗差，也就是说，相对地污染率应是一小数。2.2 稳健估计原理稳健估计一般分为三类：M估计、L估计和R 估计。M估计是一种广义的极大似然估计，它是经典的极大似然估计的推广，易于实施，所以，M 估计在稳健估计中应用的较为广泛，本章介绍M估计的概念。（2-1）或（2-2）为的估值。现用函数代替（2-2）式中的的负值，即令（2-3）则（2-2）式可改写为（2-4）令，则有（2-5）选择能够满足稳健化要求的函数或，利用（2-4）或（2-5）式估算参数，这就是M估计1。由此可见，有一个函数，就定义了一个M估计，所以M估计是指由（2-4）式定义的一大类估计，常用的是对称、连续、严凸或者在真半轴上非降的函数，而且函数常取满足上述条件的函数的导函数2。3 平差模型中的稳健估计M估计方法有很多，在测量平差中应用最广泛，计算最简单，算法类似于最小二乘平差发，易于程序实现的是选权迭代法。3.1.1独立等精度观测的选权迭代法 对于线性平差模型，设独立等精度观测值为未知参数向量为平差函数模型（3-1）随机模型（3-2）其误差方程为（3-3）权阵（3-4）稳健估计模型为（3-5）函数实际上是含有误差的观测值函数模型，如果将观测值减去期望，就是观测误差函数。（3-5）式可写成（3-6）由于真误差未知，在实际中不得已只能用残差代替，（3-6）可简写成（3-7）对于误差方程，将上式求导得（3-8）令为中第行向量，则上式为（3-9）或（3-10）令上式中的为权函数,则得（3-11）写成矩阵形式（3-12）将误差方程代入此方程式，即为稳健估计的法方程（3-13）式中权函数为对角阵 （3-14）权函数是残差的函数，最终确定依赖计算过程迭代，这就是最常用的M估计的选权迭代。3.1.1独立不等精度观测的选权迭代法 当观测数据是等精度的，平差模型稳健估计准则是（3-7），即残差V某一函数最小。在不等精度情况下，其准则应顾忌不同观测权的影响。设观测权阵为估计准则可认为（3-11）同样令,则（3-12）式中令为不等权独立观测权函数写成矩阵形式（3-13）代入误差方程，可得法方程（3-14）式中权函数为对角阵，通常称为等价加权函数 （3-15）3.2 稳健估计的几个经典函数在稳健估计中函数的选择是关键，先已有国内外学者所提出的许多函数可供选择。常用的几个经典函数2-3（1）Huber法此方法中的c为常数，通常取 （3-16）对（3-16）一阶求导和相应的权函数 则可得相应的权函数为 （3-17）他可能以前接触过一点，孩儿慢慢学 过个十天半个月 自己看程序一点问题都没有，你看师姐，过了这个阶段再也不看程序了由 Huber权函数可以看出，当所有的改正数均在与之间时，Huber估计就是经典最小二乘估计。当有观测值的改正数的绝对值大于时，对应的权函数就越小，该观测值对参数估计的影响就越小。当观测值改正数的绝对值远远大于时，其权就接近于零，该观测值对参数估计的影响就变得微乎其微。（2）丹麦法丹麦法的出发点也是经典的最小二乘法。用第一次平差的残差，根据下列的权函数计算各观测值的权进行下一次迭代（3-18）按经验，丹麦法的权函数进行粗差检验比较有效。通常要经过5到10次迭代。最后受粗差影响的观测值的权变为零，而它们的残差将直接指出粗差的数值，平差的结果也将不受或少受粗差的影响。（3）残差和绝对最小法函数（3-19）对应权函数为为避免，计算时取上式为，k相对于v是一个很小的值（4）P范数最小法函数（3-20）对应权函数为（5）Hample法函数 （3-21）对应权函数 之中a,b,c为三个系数，他们可适当选取，为标准差的倍数以上所述的函数基本靠经验选取，都是残差的函数。粗差可视为期望为零、方差异常大的正态母体的子样。可以根据经典的最小二乘法，求出观测值的验后方差，利用统计检验找出方差异常大的观测值，然后根据经典的权与观测值方差成反比的定义给与它一个相应小得权，通过多次迭代，使含有粗差的观测值的权逐步趋近于零，便可进行粗差定位，减小粗差的影响。分析现有的大多数不同的权函数，其特点大都是根据残差大小的不同，亦即含粗差大小的不同，分阶段给予不同的权函数，例如对于正常观测的小残差，则函数赋予最小二乘估计准则，并给予相应的权函数；超过某一限值，则给以某种形式的稳健权函数3。3.3 稳健估计的相关观测平差模型 目前，独立观测质量控制理论和方法虽然算不上十分成熟，但已被广泛讨论，提出了多种多样的单个误差检测法和多个误差检测法。关于相关观测的异常诊断和可靠性度量也有一些研究，但是相关观测异常诊断、质量控制仍旧是测量数据处理领域亟待解决的难题之一。在这方面，近年来提出了相关等价权、杨元喜的IGG方案和双因子等价权模型、等价方差协方差阵的稳健最小二乘估计等有效方法。刘经南提出的等价方差协方差阵的稳健最小二乘估计在一定程度上弥补了IGG方案中的缺陷，保证了相关观测量间的相关不变性，而且该模型简单直观，便于植入已有的最小二乘程序。施闯针对相关观测的粗差探测，提出了一种基于相关分析的粗差理论，为多维相关观测粗差的检测开辟了一条新途径，其特点是定义了测量误差作用于残差的影响向量，利用影响向量间的相关系数定位粗差，给出了同时探测多个粗差和逐个探测多个粗差的相关分析步骤和程序。后来，陶本藻45在相关分析的粗差理论上作了进一步研究，提出了通过分析影响向量的偏相关系数来区分难以识别的粗差，并采用复相关系数分析来判定多维粗差总体的显著性，初步形成了研究粗差的一种基于相关分析的粗差探测理论体系。3.4 稳健估计存在的一些问题目前，在对稳健估计的研究中，主要还存在以下一些问题6： （1）在存在粗差情况下，稳健估计中的估计函数应是真误差(含粗差) 的函数，由于未知，不得已用残差V代替，这是稳健估计的主要弱点。 （2）在选权迭代法中，权函数需要迭代进行。初始权如何选择是一个值得研究的问题。 参考文献1刘大杰，陶本藻实用测量数据处理方法北京：测绘出版社，20