（凝聚态物理专业论文）低维半导体纳米结构中电子态的研究.pdf

曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 摘要 随着晶体生长技术的发展，人们对二维量子阱、一维量子线和零维量子点等低维量子 结构中杂质态的理论研究和实验研究越来越广泛，已经发展成为一个令人瞩目的新领域。 由于低维纳米材料在新型器件上的应用前景，近年来一直为半导体学科的一个研究热点。 本文在有效质量包络函数近似下用平面波展开的方法研究了低维半导体纳米结构中 的电子态，主要内容如下： 1 系统地介绍了低维半导体材料的概念及其分类，并对低维半导体纳米结构目前主要 的理论研究方法和应用作了简单的介绍。 2 在有效质量包络函数近似下，我们用平面波展开的方法计算了有限方形量子阱、v 形量子阱和抛物形量子阱中氢施主杂质的能级和结合能。发现氢施主杂质的能级随阱宽的 增加而减小；并且当阱宽比较小时，杂质能级随量子阱宽度急剧减小，阱宽较大时，能量 的减小比较缓慢。氢施主的束缚能随量子阱宽度的增加先增加至一最大值然后再减小。 3 研究了外电场作用下闪锌矿结构i n g a n 量子阱线中氢施主杂质的电子态。结果发 现杂质的位置、量子阱线的半径和外电场对氢施主杂质的结合能都有比较明显的影响，并 且还讨论了电子的斯塔克能移随外电场及阱线半径的变化关系。当杂质位于量子阱线中心 时氢施主杂质的结合能最大，杂质结合能随电场的增强而减小。杂质的斯塔克能移随电场 及半径的增大而增大。 4 讨论了外电场对闪锌矿结构i n g a n 量子点中氢施主杂质结合能的影响。结果表明： 杂质的位置、量子点的尺寸和外电场对氢施主杂质的结合能都有比较明显的影响。当外电 场存在时，电子的几率密度不再关于中心对称并且氢施主结合能的最大值偏离量子点的中 心。在无外电场时量子点中的杂质态是关于施主离子位置中心对称的简并态，在外加电场 下发生能级分裂，分裂度随量子点高度的增加而增加，但是随量子点半径的增加先增至一 最大值然后再减小。 关键词：低维纳米结构，氢施主杂质，平面波展开法，外电场 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ec r y s t a lg r o w t ht e c h n o l o g y , m o r ea n dm o r ee x p e r i m e n t a la n d t h e o r e t i c a lw o r k sh a v eb e e nd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ep r o p e r t i e so fi m p u r i t ys t a t e si n l o w _ d i m e n s i o n a ls e m i c o n d u c t o rs t r u c t u r e s ，s u c ha st w o - d i m e n s i o n a lq u a n t u m w e l l s ( q w s ) ， o n e d i m e n s i o n a lq u a n t u m w e l lw i r e s ( q w w s ) ，a n dz e r o d i m e n s i o n a lq u a n t u md o t s ( q d s ) ， w h i c hh a sb e c o m ear e m a r k a b l en e wf i e l d t h el o w - d i m e n s i o n a ls e m i c o n d u c t o rs t r u c t u r e sh a v e a t t r a c t e di n c r e a s i n ga t t e n t i o nf o rp o t e n t i a la p p l i c a t i o no nn e we l e c t r o n i cd e v i c e s i nt h i sa r t i c l ew es t u d yt h ee l e c t r o ns t a t e si nl o w - d i m e n s i o ns e m i c o n d u c t o rs t r u c t u r e si nt h e f r a m e w o r ko fe f f e c t i v e m a s se n v e l o p e - f u n c t i o nt h e o r yu s i n gt h ep l a n ew a v em e t h o d t h em a i n c o n t e n t sa r ep r e s e n t e da sf o l l o w i n g ： 1 。t h ec o n c e p ta n dt h em a i nk i n d so fl o w - d i m e n s i o n a ls e m i c o n d u c t o rm a t e r i a l sa r ei n t r o d u c e d s y s t e m a t i c a l l y t h em a i nt h e o r e t i c a lr e s e a r c hm e t h o d sa n dt h ea p p l i c a t i o na r ea l s od i s c u s s e d 2 t h es h a l l o wh y d r o g e n i cd o n o ri m p u r i t ys t a t e si ns q u a r e ，v - s h a p e d ，a n dp a r a b o l i cq u a n t u m w e l l sa r es t u d i e di nt h ef r a m e w o r ko fe f f e c t i v e m a s se n v e l o p e - - f u n c t i o nt h e o r yu s i n gt h ep l a n e w a v eb a s i s t h ec a l c u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a t i m p u r i t ye n e r g yl e v e l sd e c r e a s ew i t ht h e i n c r e a s eo ft h ew e l lw i d t ha n dd e c r e a s eq u i c k l yw h e nt h ew e l lw i d t hi ss m a l l t h eb i n d i n g e n e r g yo ft h eg r o u n ds t a t ei n c r e a s e su n t i li tr e a c h e sam a x i m u mv a l u e ，a n dt h e nd e c r e a s e sa st h e w e l lw i d t hi n c r e a s e s 3 e x t e r n a le l e c t r i cf i e l de f f e c to nt h eh y d r o g e n i cd o n o ri m p u r i t yi nz i n c b l e n d ei n g a n q u a n t u mw e l lw i r e ( q w w ) i ss t u d i e d i ti ss h o w nt h a tt h ed o n o rb i n d i n ge n e r g yi sh i g h l y d e p e n d e n to nt h ei m p u r i t yp o s i t i o n ，t h er a d i u so ft h eq w wa n dt h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l d i n a d d i t i o n ，s t a r ks h i f td e p e n d e n c eo nt h er a d i u so ft h eq w wa n dt h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l di s c a l c u l a t e d t h ed o n o rb i n d i n ge n e r g yh a sam a x i m u mw h e nt h ei m p u r i t yl o c a t e da tt h ec e n t e ro f t h eo w w t h ed o n o rb i n d i n ge n e r g yd e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ee x t e m a le l e c t r i cf i e l d ， b u ts t a r ks h i f ti n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l do rt h er a d i u so ft h eq w w 4 t h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l de f f e c to nb i n d i n ge n e r g yo fah y d r o g e n i cd o n o ri m p u r i t yi n z i n c b l e n d e ( z b ) i n g a nq di sd i s c u s s e d i ti ss h o w nt h a tt h ed o n o rb i n d i n ge n e r g yi sh i g h l y d e p e n d e n t o nt h ei m p u r i t yp o s i t i o n ，q ds i z ea n dt h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l d t h es y m m e t r yo ft h e e l e c t r o np r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni sb r o k e na n dt h em a x i m u mo ft h ed o n o rb i n d i n ge n e r g yi s s h i f t e df r o mt h ec e n t e ro fq di nt h ep r e s e n c eo ft h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l d t h ee n e r g yl e v e l sa r e s p l i ta n dt h es p l i t t i n gi n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo fq dh e i g h t t h es p l i t t i n gi n c r e a s e su pt oa m a x i m u ma n dt h e nd e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo fq dr a d i u s 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 k e y w o r d s ：l o w d i m e n s i o n a ln a n o - s t r u c t u r e s ，h y d r o g e n i cd o n o ri m p u r i t y , p l a n e w a v em e t h o d ，e x t e m a le l e c t r i cf i e l d 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士匝论文低维半导体纳米结构 中电子态的研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士 酵位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含他 人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：墨缓曙 日期：卅身月加 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 低维半导体纳米结构中电子态的研究系本人在曲阜师范大学攻读博士口 硕士日学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士日学位论文。本论文的 研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发 表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。 本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开 发表论文的全部或部分内容。 作者签名： 导师签名： 薹赡稠日期：卅争铜多j | ! ； 量胸荔 日期： 枷气年硎 曲阜师范人学硕士研究生毕业论文 第一章绪论弟一早三百可匕 半导体科学与技术在2 0 世纪科学技术的突破性发展中起着关键的作用，它带动了新 材料、新器件、新技术和新的交叉学科的发展和创新，并在许多技术领域引起了革命性的 变革和进步，从而产生了现代的计算机产业、通信产业和i t 技术。而目前发展迅速的半导 体微纳电子器件、光电子器件和量子信息又将推动本世纪的技术发展和产业革命。作为微 电子技术核心的集成电路已经发展到超大规模集成电路阶段，正向着特大规模集成电路迈 进。但是，随着微电子器件有源区的特征尺寸日益缩小，在接近或达到纳米尺度时，传统 的半导体器件所遵循的宏观物理规律已不再使用，而各种量子效应就会明显的表现出来。 纳米电子学的发展将有利于促进介观物理学和低微体系的研究进展【l j 。 1 1 概述 1 1 1 f 氐维半导体材料 半导体材料是电子、信息和通讯工业的载体，在国民经济中占有重要地位。在半导体 材料中可以将低维量子结构简单的分为量子阱、量子线、量子点三类。在一般块体材料 中，电子的波长远远小于材料的尺寸，因此量子局限效应不显著。如果将一个维度的尺寸 缩d , n 4 , 于一个波长，此时电子只能在另外两个维度所构成的二维空间中自由运动，这样 的系统我们称为量子阱；如果我们再将另外一个维度缩d , n 4 , 于一个波长，则电子只能在 一个维度上自由运动，我们称为量子线；当三个维度的尺寸都缩小到一个波长以下时，就 成为量子点了。当材料的直径与它的德布罗意波长相当时，导带与价带进一步分裂，能隙 将随着直径的减小而增大，各种量子效应、非定域量子相干效应、量子涨落和混沌、光生 伏特效应与非线性光学效应等都会表现得越来越明显，这必将从更深层次上揭示低温材料 所特有的新现象。低维半导体量子结构材料是一种人工设计、制造的新型半导体材料，代表 着目前半导体科学技术发展的主流方向，在未来的纳电子学、光电子学、光子学和新一代 v l s i 以及光电集成、光集成等方面有极其重要的应用背景，可能引发新的技术革命。世界 各发达国家都给予高度重视，目前，低维量子结构己成为整个半导体科学技术及相关学科 范围中最活跃、投入最多、成果最丰富、进展最快的领域之一。本项研究涉及多学科交叉 发展，特别是材料、物理和信息科学的协同发展。 1 1 2 宽带隙半导体材料 宽带隙半导体材料主要指的是会刚石，i i i 族氮化物，碳化硅，立方氮化硼以及氧化物 ( z n o 等) 及固溶体等，特别是s i c 、g a n 和金刚石薄膜等材料，因具有高热导率、高电 曲阜师范大学硕十研究生毕业论文 子饱和漂移速度和大临界击穿电压等特点，成为研制高频大功率、耐高温、抗辐射半导体 微电子器件和电路的理想材料；在通信、汽车、航空、航天、石油开采以及国防等方面有 着广泛的应用前景。 宽带隙半导体材料的优势还体现在短波长光电子学领域。以固体照明、蓝色激光和紫 外探测为代表的短波长光电子应用技术对半导体材料的基本要求，就是其禁带宽度要与可 见光和紫外光的光子能量相当。以蓝光4 8 8 n m 为界，满足这个基本要求的半导体，其禁带 宽度必须在2 5 4 e v 以上，属于宽带隙半导体材料。 i i i 族氮化物在蓝、绿光发光二极管( l e d ) 和紫、蓝、绿光激光器( l d ) 以及紫外 探测器等应用方面也显示了广泛的应用前景。2 0 世纪9 0 年代初期，g a n 高亮度l e d 的研 制成功，掀起了i i i 族氮化物研究的热潮。其中g a n 尤其受到重视，因而研发工作的进展 最大。半导体l e d 因其较强的单色性而主要应用于显示技术，不适宜直接用于照明。但是 利用短波长l e d 的紫外和蓝光辐射激发红、绿、蓝( r g b ) 荧光粉可以产生很理想的白 光，从而做成半导体灯。作为照明光源，白炽灯的发光效率约为1 5 1 州w ，荧光灯的发光 效率约为8 0 1m w ，而半导体灯在相同照度下的耗电量可以降低到白炽灯的十分之一到十 二分之一，寿命可长过1 0 0 倍，是理想的照明光源。韩国于2 0 0 2 年开始实施“氮化镓半 导体开发计划”，准备在2 0 0 4 2 0 0 8 年间由政府投入1 亿美元重点支持提高白光l e d 发光 效率的研究。2 0 0 4 年7 月，我国科技部、信息产业部等6 部委和1 4 个地方政府共同实施 国家半导体照明工程的首批5 0 个项目正式启动，并确定上海、大连、厦f - j 禾t j 南昌为国家 首批半导体照明产业化基地。2 0 1 0 年的上海世博会将大量采用半导体照明设备 2 - 5 1 。 1 2 低维纳米结构的概念 在人工微结构中( 包括量子阱，量子线和量子点) ，电子的运动是由有效势控制的。 有效势在一、二或三个方向上对电子加以限制。这些限制将带来明显的量子效应。由于大 多数物理性质都是由费米面处的电子所决定，故可以设想费米波长就相当于这个特征尺 寸，我们现在以费米波长为依据定义低微纳米结构。 考虑有限尺度的自由电子气系统而略去正电荷背景和离子的晶格结构。在这种情况 下，电子是相互独立的，单电子的薛定谔方程为 毛2 一 v 2 y 。g ) = 吼缈。g ) ( 1 2 1 ) 假定系统是一个长方体并具有周期性的边界条件，且其长、宽、高分别为三p 上，、：。电 子的波函数是平面波 帆g ) 2 再1 霄。j ( 1 2 2 ) 2 曲阜师范人学硕十研究生毕业论文 本征能量为 这里k 是电子的波矢量，由它所 构成的空间称为电子的相空间或 k 空间。如图( 1 1 ) 一个最简单的 长方体金属导体。电子的动量 k 可表示为西= 觥。根据周期性 边界条件，波矢量的取直为 h 2 k 2 吼2 百 ( 1 2 3 ) 图( 1 1 ) 最简单的长方体金属导体 仁等 = 等 = 等 m 2 这里疗，疗y ，z y 是整数，每组 n x , 刀，刀y ) 表示电子的一个动量本征态。由上式可以看出单位 体积内的状态数是 ( 1 2 5 ) 为简单起见，我们取三，= 三。= l ，= l ，这里d 用来表示系统的维数。对于上面情况d = 3 。 每一个由波矢量k 表示的本征态，可以被两个电子占据，在绝对零度时，电子首先占据能 量最低的本征态，被占据的最高的本征态的波矢量称为费米波矢量，用k ，表示。由费米波 矢量所定义的相体积的表面或边界称为费米面。表征介观系统的一个重要的特征长度是电 子的费米波长五f = 2 z k f 。当系统的尺度接近费米波长时，量子涨落非常强；当尺度远大 于费米波长时，粒子的量子涨落相对比较弱，它的量子相干性很容易被破坏。根据电子的 费米波长，我们可以定义系统的有效维数：当在一个方向上的尺寸接近电子的费米波长时 即：l x 以时，这就是二维介观系统，也就是量子阱( q u a n t u mw e l l ) ；当在两个方向上的 尺寸接近电子的费米波长时即：上。厶，以时，这就是一维介观系统，也就是量子线 ( q u a n t u mw i r e ) ；当在三个方向上的尺寸都接近电子的费米波长时即：三，三”三，五f 时， 这就是零维介观系统，也就是量子点( q u a n t u md o t ) ，换句话说：介观体系内的载流子( 电 子、空穴) 在三个方向的运动都受到限制，载流子只能占据类似原子的分离能级状态，在 任何方向上都不能自由运动，这种具有零维结构的介观体系就称为量子点。 1 3 低维纳米结构的应用 低微材料物理的研究不断丰富着人们的思想，半导体量子器件的应用理沦分析表明： 基于三维受限量子点的分离态密度函数的量子器件，以其独特的优异电学、光学的性能和 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 极低的功耗，在纳米电子学、光电子学，生命科学和量子计算等领域有着极其广泛的应用f j 景，下面介绍低维纳米结构的一些应用。 ( 1 ) 单电子器件 单电子器件是通过控制在微小隧道结体系中单个电子的隧穿过程来实现特定功能的 器件，其工作原理是基于库仑阻塞效应。微小隧道结是单电子器件的基本单元，可利用超薄 硅膜( 包括非晶硅、纳米硅) 及a 1 c a a s c a a s 等异质结构，经平面工艺加工或直接制成这样 的微小隧道结。近年来，对于单电子器件，特别是单电子晶体管、单电子存贮器的研究比较 活跃，并取得了很大的进展【6 j 。 ( 2 ) 量子点红外探测器 红外探测器由于在夜视、跟踪、医学诊断、环境监测和空间科学等方面的广泛应用， 受到人们重视。近年来，由于分子束外延技术的发展，基于量子阱量子点的探测器也逐渐发 展起来。与量子阱器件1 7 j 相比，量子点红外探测器( q d i p s ) 有很多优点：量子点探测器可以 探测垂直入射的光，无需像量子阱探测器那样要制作复杂的光栅；量子点分立态的间隔 大约为5 0 7 0 m e v ，由于声子瓶颈的效应，电子在量子点分立态上弛豫时间比在量子阱能态 上的长，这有利于制造工作温度相对较高的器件；三维载流子的限制降低了热发射和暗 电流；探测器不需要冷却，这将会大大减少阵列和成像系统的尺寸及成本。因此，q d i p s 已经成为光探测器研究的前沿，并取得了重大的进展。 ( 3 ) 量子点激光器 1 9 8 2 年日本的两名年轻的科学家提出了用量子线或量子点设计并制作微结构激光器【8 】 的新思想，由于制备工艺的难度很大而搁浅，随着制备工艺的逐渐成熟，直到1 9 9 4 年第 一个基于应变自组装i n a s g a a s 量子点激光器研制成功，此后，量子点激光器的研究进展 十分迅速，特别在大功率量子点激光器的研发方面取得了重大突破，工作寿命己达数千小 时。量子点激光器与现己发展的很成熟的量子阱激光器的唯一不同是量子点激光器的有源 区是由量子点构成的，而不是量子阱。由于二者的结构相似，工艺兼容，加上量子点激光器 具有量子阱激光器无与伦比的优异性能，所以量子点激光器的研制是量子点应用的首选器 件。 1 4 低维纳米结构中电子态的计算方法 低维纳米结构中电子态的计算是一个基本而重要的问题。一般来说，计算纳米结构中 的电子态有两种方法：一是第一性原l 里 9 , 1 0 】，二是有效质量包络函数近似【1 l ，1 2 】，第一性原理 是比较常用的一种方法，它的计算结果相对来说比用有效质量包络函数近似的结果更可 靠，但是用第一性原理来计算较大的纳米结构( 里面含有几百万个原子) 是非常困难的， 因为它需要一个超级计算系统。相比之下，用有效质量包络函数近似的方法就比较合适了， 在个人计算机上就能实现。 4 曲阜师范人学硕十研究生毕业论文 1 4 1 第一性原理 第一性原理计算是从电子结构出发，应用量子力学理论，只借助于基本常量和某些合 理的近似进行计算。这种计算如实地把固体作为电子和原子核组成的多粒子系统，求出系 统的总能量，根据总能量与电子结构和原子核构型的关系，确定系统的状态。显然，这样 的计算方法可以使人们能够从电子和原子水平上认识材料的物理性质。传统的连续介质理 论专注于离子的运动，借助绝热原理实际上忽略了电子的影响。电子作为粒子运动的中介， 是第一性原理计算的主要对象。 从头算( a bi n i t i o ) 是狭义的第一性原理计算，它是指不使用经验参数，只用电子 质量，光速，质子中子质量等少数实验数据去做量子计算。但是这个计算很慢，所以就加 入一些经验参数，可以大大加快计算速度，当然也会不可避免的牺牲计算结果精度。 广义的第一原理包括两大类，以h a r t r e e - f o r k 自洽场计算为基础的a bi n i t i o 从头 算，和密度泛函理论( d f t ) 计算。也有人主张，a bi n i t i o 专指从头算，而第一性原理和 所谓量子化学计算特指密度泛函理论计算。 1 4 2 有效质量包络函数理论 如果晶体中存在微扰势圪o ) ，则电子运动的薛定谔方程为 ( 凰+ 圪) 矽( ，) = e q 6 ( r ) ( 1 4 1 ) 其中凰是没有微扰的晶体哈密顿量。如果微扰势是个空间缓变量，且其强度小到不足以引 起带之间的耦合，则电子波函数矽p ) 可以表示为一个空间缓变函数( ，) 与带边波函数 虬( ，) 的乘积。 矽( ，) = g t ( r ) u ( ，) ( 1 4 2 ) ( ，- ) 称为包络函数。 如果能带是非简并的，例如导带，在导带底附近的能量可近似用有效质量m + 表示 e ( 尼) ：h _ 2 k 2 + 臣 z ，竹 其中巨是导带边能量，则包络函数满足 ( 1 4 3 ) 5 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 【丽p 2 + ( ，) 】( r ) = ( e e ) ( ，) ( 1 4 4 ) 如果能带是简并的，例如价带顶，则波函数可表示为包络函数( ，) 与带边波函数虬( r ) 乘 积的线性组合 矽( ，) = ( 厂) ( 厂) j ( ，) 满足一组联立的有效质量方程组 ( 1 4 5 ) , 旦。譬。旦o x p ( ，) + v p ( r 杪( ，一) = ( e 一剐( 厂) ( 1 4 6 ) 其中够称为有效质量参数。 若无外界的微扰势圪( r ) ，则在每种材料内部就电子而言，有效质量方程简化为一平面 波方程。在界面附近，势是突变的，有效质量近似不再成立，暂时先不考虑这一点。对于 两种材料，它们的有效质量聊和带边能量巨是不同的。引入聊+ ( z ) n n 效势v ( z ) 聊c z ，= 鼍m 2 差蓁三筹薯裟辜 仕帚一种利科 、f0 ， 在第一种材料中 以力2 t i ：一e 。， 茬藁二崭藉辑； 幄= 丘：一e 。是两种材料导带边能量之差，也就是导带带阶。包络函数方程可写为 卜了h 2 瓦d ( ；雨1 ) 乏d 一荔( 嘉+ 嘉) + 矿( 瑚( r ) = e 沙( 厂) ( 1 4 7 ) 其中方程第一项的写法是为了保证方程的厄米性。 在边界z o 上， 沙l ( z o ) = y 2 ( z o ) 昙( ) ：昙2 ( ) ( 1 4 8 ) 如果两种术才料的性质相尊轻大 6 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 上拿( z 。) ：上拿y ：( z 。) 坭o zm ，o z ( 1 4 9 ) 两中材料有效质量接近的情形电子的包络函数方程为 卜i 与v 2 + 矿( z ) 】 f ，( 厂) = e g t ( r ) ( 1 4 1 0 ) z m 在有效质量包络函数近似下，计算低维纳米结构中的电子态主要有两种方法：一是变 分法，二是平面波展开法。下面对这两种方法分别作了介绍。 1 4 2 1 变分法 设体系的哈密顿算符疗的本征值由小到大的顺序排列为 厶，骂，易，e ， 与这些本征值对应的本征函数是 ， 岛和是基态能量和基态波函数。为简单起见，我们假定宜的本征值e 是分立的，本征 函数组成正交归一系。于是有 疗妙。= e ( 1 4 1 1 ) 设y 是任意一个归一化的波函数，将y 按展开： y = ( 1 4 1 2 ) 在所描写的状态中，体系能量的平均值是 ( 1 4 1 3 ) 疗= 以k i t l * 疗d f 卅” 应用( 1 4 1 1 ) 式有 厅= 巨，阮办= 口：e 瓯。= 1 1 2 e ( 1 4 1 4 ) 所力删，” 竹 由于邑是基态能量，所以有& 己( ，z = 1 ，2 ，) ，在上式中用磊代替毛，则 d 少 日 似 = 一h 得 l4q入 代纷 乱t i 将 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 h 一毛i 计= e o ( 1 4 1 5 ) 最后一步用了的归一化条件k 1 2 = l 。 ( 1 4 1 4 ) 和( 1 4 1 5 ) 式给出： e o p 疗如 ( 1 4 1 6 ) 这个不等式说明，用任意波函数y 算出疗的平均值总是大于体系基态能量，而只有当妙恰 好是体系的基态波函数时，膏的平均值才等于基态能量晶。 上面讨论中曾假定沙是归一化的，如果y 不是归一化的，那么( 1 4 1 3 ) 应写为 厅= 铬 m4 ( 1 4 1 6 ) 式则应写为 磊丽y*tcgdr ( 1 4 1 8 ) i 少d f 根据波函数y 算出的平均值总是不小于磊，我们可以选择很多y 并算出疗的平均值， 这些平均值中最小的一个最接近于晶。 用变分法求体系基态能量的步骤是：选取含有参量力的尝试波函数沙( 兄) 代入( 1 4 1 3 ) 或( 1 4 1 7 ) 式中，并算出平均能量厅( 见) ，然后由 垒螋：o 求出厅( 名) 的最小值。所得结果就是e o 的近似值。 1 4 2 2 平面波展开法 晶体中的电子，在以周期性势场中运动，其运动状态是薛定谔方程( 1 4 1 0 ) 式的解。 它们的波函数可以按平面波来展开。具体的计算方法我们在以下几章针对具体的问题做了 介绍。 在周期性纳米结构中，我们所选的原胞的边长就等于平面波的周期。当我们用平面波 的方法计算单个孤立纳米结构时计算结果与我们所选原胞的大小和平面波的数目有关。在 文献 13 上给出了当我们选取平面波的数目为15 ”( r l 就是纳米结构的维数，n = l ，2 ，3 ) ， 势垒的宽度为2 5 a ( 口为有效波尔半径) 时计算结果比较可靠。 曲阜师范人学硕十研究生毕业论文 在有效质量包络函数近似下，计算低维纳米结构中的电子态通常采用变分法，然而平 面展开法与变分法相比有很多优点，比如用平面波法可以用来计算不同形状纳米结构中类 氢杂质的电子态，只需改变v ( r ) ，电子的有效质量和其它材料参数；这种方法很容易用来研究 外场对电子态的影响或更复杂的情况等。 1 5 本论文的主要工作 第一章我们简单介绍了研究低维纳米材料的重要性、低维纳米结构的分类、主要制备 方法以及应用。第二章从理论上研究了不同形状半导体量子阱中浅类氢施主杂质的电子结 构和束缚能，对设计和研究量子阱发光和探测器件有一定的价值。第三章主要是研究了外 电场对量子阱线中氢施主杂质的影响。得到了斯塔克能移随外电场及量子阱线半径的变化 关系曲线。第四章主要在有效质量包络函数近似下用平面波展开的方法研究了闪锌矿结构 i n g a n g a n 量子点中氢施主杂质的电子态，创新性的研究了电场对闪锌矿结构( z b ) i n g a n 施主量子点的影响。结果对于i n g a n g a n 量子点器件的设计是很有意义的。其中二、三、 四章是我们做的主要工作。 9 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 第二章半导体量子阱中氢施主杂质的 电子态研究【1 4 l 2 1 引言 研究半导体量子阱中杂质的电子态无论在基础理论研究还是在器件的开发方面都有 着十分重要的意义。随着分子速外延技术的发展，半导体量子阱可以做成不同的形状，比 如方形量子阱( s q w ) 、抛物形量子阱( p q w ) 和v 形量子阱( v q w ) 1 5 - 1 9 o 因为这些结构能广 泛应用于制造各种光电器件，所以一直以来它们都是人们研究的热点。抛物量子阱是一种 新型材料，它在电子和光探测器件、高频大功率和激光器件方面有着广泛的应用前景 2 0 川； v 形量子阱在制造新型半导体激光二极管以及红外光电子器件方面具有潜在的应用【2 2 ，2 3 1 。杂 质在半导体中起着非常重要的作用，本征半导体的导电能力是很差的，当在半导体里面适 当掺入杂质【2 4 】，杂质不仅能改变半导体的导电能力还能改变半导体的导电类型。在有效质 量包络函数近似下，我们用平面波展开的方法计算了在有限方形量子阱、v 形量子阱和抛 物形量子阱中氢施主杂质的能级和结合能。 2 2 理论模型 在本章中，长度、能量和外电场的单位分别取有效波尔半径a = h 2 s m e e 2 ，有效里德 伯常数r = h 2 2 m ：a “和f + = e 2 e a ”。m ：，占，e 分别是电子的有效质量，介电常数和电 子的电量。 设类氢杂质位于半导体量子阱中的焉= ( x 0y 。，) 处，根据有效质量近似和包络函数理 论，电子的包络函数可以写为 一e 鱼芝玎- i - y ( 尹) 】( 尹) ：霹。( 尹) j ，一i ( 2 1 ) 其中a = 一d 2 d x 2 一d 2 d y 2 一d 2 d z 2 ，尹= ( x ，y ，z ) ，= x 2 + y 2 + z 2 ，焉= ( x o ，y o ，z o ) ，和 p 一焉i = ( x - - x 。) 2 + ( y - y 。) 2 + ( z - - z 。) 2 下标刀2 0 ，1 ，2 ，分别对应于基态、第一 激发态、第二激发态。在不同的纳米结构中量子束缚势y ( 尹) 可以写成不同的形式。 在方程( 2 1 ) 中口为0 和1 分别表示纳米结构中含有杂质和不含杂质。类氢施主杂质的 基态结合能可以从下式算出 毛= 霹一鹾 ( 2 2 ) 1 0 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 冥中，g 是纳米结构中没有杂质时电子的基态结合能，耳是纳米结构中有杂质时电子的 基态结合能。 我们用平面波基矢把波函数展开成如下的形式 吣川。丽1。弘帆p 帆饥州”蝇沙“”喊弦1 ( 2 3 ) 其中t ，三y ，l z 是立方原胞的长度，巧= 7 2 7 l ，k y ：芋，k ：丁2 7 ，玖 一，) ， l x l yl z b 一m y ，m y ， n ： 一m ：，m ： ， 所用平面波的数目是 = m 以m = ( 2 r e x + 1 ) ( 2 聊y + 1 ) ( 2 所：十1 ) ，其中m 。，聊y ，m ：是正整数。在计算中我们取 l 。= l y = l z = l ，k ；= k y 。= k ：= k = 三 。n 。= ny = n ：= 1 5 o 将方程( 2 3 ) 代入方程( 2 1 ) ，从左边乘以少( x ，y ，z ) 木，并对空间积分，就得到一组关于电 子能级的矩阵元，这个矩阵元包括三部分，第一部分是动能项， ( t + n x k ) 2 + ( 砖+ n y k ) 2 + ( t + k ) 2 瓦一? 皖，i 皖：。： ( 2 4 ) 矩阵元的第二部分是施主势能项一2 口咿一焉i ， 一等2 2 一墼等等等崇拦产 利用球坐标变换r r 2 d rf 2 d el ：rs i n 6 t 0 ，4 z r 0 3 3 i ：f ，上式可以写为 国由国 。 一i 3 a _ 壤哆嚷t + 堕铲( 1 一嚏噍匕) e x p 蹰以一_ 蜿+ ( 侈一勺城+ 魄也糊) ， ( 2 5 ) 其q b a = k ( ，z ，一7 乙) 2 + ( 疗，一，z ，) 2 + ( 刀：一，z ：，) 2 ，乞，2 o ，n ：，：，代表x ，y ，和z 。 广一 l ， 。= ，2 矩阵元的第三部分是量子束缚势能项y ( 尹) ， 古i 出i 砂i 出矿c 尹，e 冲t c c h x - - 1 1 x ，x + c f l y - - f l y ，y + c i ，- - 1 1 ：，z ， c 2 6 ， 曲阜师范人学硕士研究生毕业论文 不同半导体纳米结构中类氢杂质电子态可由方程( 2 4 ) 、( 2 5 ) 、( 2 6 ) 计算得出。 2 3 数值计算与结果分析 我们考虑氢施主杂质在不同半导体量子阱中，方形量子阱，抛物形阱，v 形量子阱中 量子束缚势可以分别写为 v s o ，= 愀飞，= 融兰= o l k ，= 伊吲z 型oi ， 其中2 z 。= w 、v o 分别是量子阱的宽度和导带的带阶。 对于方形量子阱，方程( 2 6 ) 可以写为， ( 1 一融t 一等擀”训& t 汜7 ， 对于抛物形量子阱，方程( 2 6 ) 可以写为， 对于v 形量子阱，方程( 2 6 ) 可以写为， 】( 1 一t ) k 嚷t ( 2 8 ) ( 1 一导一掣船铲 ( 1 一胍气疋弓 汜9 ， 在计算中我们假定电子的有效质量和介电常数在整个结构中都是一样的。s q w 、p q w 、 v q w 中氢施主杂质的电子态可以由( 2 4 ) 、( 2 5 ) 分别和( 2 7 ) 、( 2 8 ) 和( 2 9 ) 算出。 2 3 1 氢施主杂质i , 勺i i 级与量子阱宽度的关系 从图2 1 中可以看到当氢施主杂质位于s q w 、p q w 、v q w 中心时，氢施主杂质的自 四 个能级随阱宽的变化。从图中我们可以发现杂质的能级随阱宽的增大而减小；并且当阱宽 比较小时，杂质能级随量子阱宽度急剧减小，阱宽较大时，能量的减小比较缓慢。这主要 1 2 曲阜师范大学硕士研究生毕业论文 是因为量子尺寸效应的影响。并且我们还会发现在三种形状的量子阱中，杂质能级随量子 阱宽度的变化趋势是一致的。 w ( 彳) ( a ) w ( 彳) ( b ) w ( a ) ( c ) 图2 1 图2 1 杂质位于量子阱中心时，杂质的前四个能级随阱宽的变化 ( a ) s q w , ( b ) p q w , 和( c ) v q w ，电子 的导带带阶z o = 4 0 r + 。其中实线对应基态，虚线、点线和虚点线分别对应第一激发态、第二激发 态和第三激发态。 1 3 曲阜师范人学硕士研究生毕业论文 2 3 2 氢施主杂质的基态结合能与量子阱宽度、带阶的关系 氢施主杂质位于s q w 、p q w 和v q w 中心时，施主结合能随量子阱宽度和带阶的变化， 结果见图2 2 ，其中实线、虚线、点线分别