（飞行器设计专业论文）可靠性与可靠性增长方法的研究.pdf

西北工业大学碟士学位论文 摘要 本文在现有的可靠性方法和可靠性增长方法的基础上，对可靠性和可靠性 增长方法进行了更加深入和广泛的研究，主要体现在以下几个方面： 夺针对非线性隐式极限状态方程失效概率的计算，在改进的均值一次法基 础上，提出了计算精度更高的改进的均值二次法；同时针对传统响应面 法受插值点位置影响的不足，本文将响应面法与改进的均值法相结合， 提出了隐式极限状态方程失效概率的高精度解法。 夺针对大型复杂工程结构的可靠性分析，提出了一种多模式隐式极限状态 方程的等效方法。所提方法可以与任何标准有限元相结合，从而提供了 力学分析与概率安全分析相结合的合理连接。 夺针对复杂结构，本文提出一种基于经典可靠性分析的随机结构响应量置 信区间分析方法。该方法可以快速、准确地解决基本随机变量为任意分 布时复杂或隐式响应量的置信区间分析问题。 夺针对可靠性增长模型参数点估计的不稳健性，本文基于可靠性增长指数 模型的参数估计方法，通过合理的初始假设和线性回归的基本原理，提 出了多台系统可靠性增长模型参数的区间估计方法。 夺针对小子样可靠性增长分析问题，提出了基于g i b b s 抽样的可靠性增长 b a y e s 分析方法，从而使得小子样下的b a y e s 可靠性增长分析方法大大 简化：并且在小子样情况下，所提方法的评估结果比传统的极大似然估 计方法更精确。 关键词：可靠性，隐式极限状态，失效概率，响应面法，改进的均值法，置信 度，置信区间，随机结构，响应量，可靠性增长，b a y e s 方法，g i b b s 抽样 西北工业大学硕七学位论文 a b s t r a c t b a s e do nt h ea v a i l a b l em e t h o d s ，t h i sp a p e rd e v o t e dt om o r ee x t e n s i v er e s e a r c h e s o fr e l i a b i l i t ym e t h o d sa n dr e l i a b i l i t yg r o w t hm e t h o d s t h em a i ni n n o v a t i o n sa l el i s t e d a sf o l l o w s 夺i no r d e rt oo b t a i nt h ef a i l u r ep r o b a b i l i t yo ft h ei m p l i c i tl i m i ts t a t ee q u a t i o n a c c u r a t e l y , t h ea d v a n c e dm e a nv a l u es e c o n do r d e r ( a m v s o ) m e t h o dw a s p r e s e n t e do nt h eb a s i so ft h ea d v a n c e dm e a nv a l u ef i r s to r d e r ( a m v f o ) m e t h o d t h ea d v a n c e dm e a nv a l u e ( a m v ) i nc o n j u n c t i o nw i t ht h e r e s p o n s es u r f a c em e t h o d ( r s m ) w a sa l s op r e s e n t e dt oo b t a i nh i g h e rp r e c i s e f a i l u r ep r o b a b i l i t yo f t h ei m p l i c i tl i m i ts t a t ee q u a t i o n t h er e s u l t so f t h ea m v i n c o n j u n c t i o n 、i t l l t h er s ma r en o ts e n s i t i v et ot h ep o s i t i o n so ft h e s a m p l i n gp o i n t s f o r d e t e r m i n i n gt h er e s p o n s es u r f a c ee q u a t i o n ，w h i c h i l l u s t r a t e st h er o b u s t n e s so f t h ep r e s e n t e dm e t h o d 夺an e we q u i v a l e n tm e t h o di sp r e s e n t e df o rp r o b a b i l i s t i cs a f e t ya n a l y s i so ft h e c o m p l e x s t o c h a s t i cs t r u c t u r e t h e p r e s e n t e d m e t h o d p r o v i d e s a n i n c o r p o r a t i o no fp r o b a b i l i s t i ca n a l y s i s a n dt h es t a n d a r df i n i t ee l e m e n t s o f t w a r e c o m b i n e dw i mt h ep o w e r f u lm e c h a n i c st 0 0 1 w h i c hi sf a m i l i a rt o t h ee n g i n e e r i n gd e s i g n e r , t h ep r e s e n t e dm e t h o dc a nb ed e f i n i t e l ya c c e p t e da s a l la t t r a c t i v et o o lf o rt h er e l i a b i l i t ya n a l y s i so f t h er e a lc o m p l e xs t r u c t u r e 夺a ni n t e r v a la n a l y s i sm e t h o di sp r e s e n t e df o rc o n f i d e n c ei n t e r v a la n a l y s i so f r a n d o ms t r u c t u r er e s p o n s ev a r i a b l e ，w h i c hp r o p o s e sc o m p l i c a t e do ri m p l i c i t r e s p o n s ef u n c t i o no fb a s i cr a n d o mv a r i a b l e si ng e n e r a lc a s e s t h em e t h o d c o u l dc a l c u l a t et h ec o n f i d e n c ei n t e r v a lr a p i d l ya n da c c u r a t e l yw h e nt h eb a s i c r a n d o mv a r i a b l e sa r ea r b i t r a r yd i s t r i b u t i o n 夺d u et ot h em o r er o b u s t n e s so ft h ec o n f i d e n c ei n t e r v a lt h a nt h a to ft h ep o i n t e s t i m a t i o n ，a ni n t e r v a la n a l y s i sm e t h o df o rt h er e l i a b i l i t yg r o w t hm o d e l p a r a m e t e r so ft h em u l t i s y s t e ms y n c h r o n o u sd e v e l o p m e n ti sp r e s e n t e do nt h e b a s i so ft h el i n e a rr e g r e s s i o nt h e o r y 夺i no r d e rt os i m p l i f yt h er e l i a b i l i t yg r o w t ha n a l y s i si nt h es m a l la m o u n to f s a m p l ei n f o r m a t i o n ，b a y e sa n a l y s i so fr e l i a b i l i t yg r o w t hi sp r e s e n t e do nt h e b a s i so fg i b b ss a m p l i n g a st h ea m o u n to ft h es a m p l ei n f o r m a t i o ni sl i m i t e d ， t h ep r e s e n t e dm e t h o dc a ng i v em o r ea c c u r a t ea n ds i m p l e re v a l u a t i o nr e s u l t s c o m p a r i n gt ot h ec o n v e n t i o n a lm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r s 1 1 1 西北工业大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：r e l i a b i l i t y , i m p l i c i tl i m i ts t a t ee q u a t i o n ，f a i l u r ep r o b a b i l i t y , r e s p o n s e s u r f a c em e t h o d ，a d v a n c e d - m e a n - v a l u em e t h o d ，c o n f i d e n c e ，c o n f i d e n c ei n t e r v a l ， r a n d o ms t r u c t u r e ，r e s p o n s ev a r i a b l e ，r e l i a b i l i t yg r o w t h ，b a y e sm e t h o d ，g i b b s s a m p l i n g i v 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 针对显式极限状态方程失效概率的计算，已经有非常多的成熟方法。如一 次二阶矩法，二次二阶矩法，二次四阶矩法等。但在很多工程问题中，常常不 知道输入量和输出量的解析关系，而只知道它们的数值关系，也即极限状态方 程是隐式的。目前求解隐式极限状态方程的失效概率的方法有m o n t ec a r l o 法， 响应面法，随机有限元法等。但是这些方法也存在一些不足之处，如对复杂结 构m o n t ec a r l o 法计算工作量过大，响应面法却受到插值点位置的影响，随机有 限元法在调用有限元的时候时间很长，等等。如何求解隐式极限状态方程的失 效概率，且得到的是高精度、稳定的失效概率，就成为需要解决的问题。 此外，在很多情况下，人们往往给出的是随机结构中响应量的点估计值。考 虑到稳健性，就需要给出随机结构中响应量的置信区间及其累积分布函数。常规 的方法是利用概率论的知识来获得响应量的分布，这对于复杂函数或隐式函数是 无效的。尽管一些数值方法可以用来模拟响应量的近似分布，但是计算工作量无 法为工作人员所接受。可以考虑将这些问题转化为求解可靠性的问题，从而将求 解问题简化。 有计划地激发系统性薄弱环节的失效、分析其失效原因和改进设计，并证 明改进措施的有效性而进行的试验，就是可靠性增长试验( r g t ) 。它是实现可 靠性增长的一个正规途径。可靠性增长试验的目的，就是通过试验分析改进 再试验( t a a f ) ，解决设计缺陷，提高可靠性。合理的利用试验数据来准确地 分析产品或系统的可靠性，对可靠性增长试验评估工作的影响是很大的。因为， 项成功的可靠性增长试验可以免去可靠性鉴定试验”。 本文提出了新的可靠性分析方法和可靠性增长试验方法，并给出了一些工 程算例对所提出的方法进行了验证，完善和拓展了已有的可靠性和可靠性增长 试验分析方法。 具体内容分为以下几个方面： a )针对隐式极限状态方程失效概率的计算，在改进的均值一次法的基 础上，提出了一种计算精度更高的可靠性分析方法，即改进的均值 二次法。为弥补传统响应面法受插值点位置影响的不足，本文将响 应面法与改进的均值法相结合，来获得隐式极限状态方程失效概率 1 可靠性与町靠性增长方法的研究第一章鳍论 的高精度解。 b )针对大型复杂工程结构的可靠性分析，提出了一种多模式隐式极限 状态方程的等效方法。所提方法可以与任何标准有限元相结合，从 而提供了力学分析与概率安全分析相结合的合理连接。 c )随机结构的响应量一般为基本随机变量的复杂函数或隐式函数，本 文针对复杂结构，提出一种基于经典可靠性分析的随机结构响应量 置信区间分析方法。该方法可以快速，准确地解决基本随机变量为 任意分布时，复杂或隐式响应量的置信区间分析。 针对可靠性增长模型参数的点估计不稳健性，本文基于可靠性增长 指数模型的参数估计方法，通过合理的初始假设和线性回归的基本 原理，提出了多台系统可靠性增长模型参数的区间估计方法。 e 1将g i b b s 抽样方法引入到的可靠性增长b a y e s 分析方法中，使得可靠 性增长的b a y e s 分析方法大大简化。实现了对单台系统可靠性增长 a m s a a 模型的b a y e s 分析，和对多台同型可修系统，同步投试、同 步纠正、同步截尾可靠性增长a m s a a b i s e 模型的b a y e s 分析。 西北工业大学硕士学位论文 第二章可靠性方法概述 2 1 引言 可靠性作为一门新的工程学科，最近几十年来得到了迅速的发展。可靠性 是产品的基本属性，是衡量产品质量好坏的一个重要指标。因此，本文主要研 究了结构和系统的可靠性分析方法。 结构可靠性是研究结构在各种因素作用下的安全问题，具体定义是：结构 在规定条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力 ”。“规定的条件”是指结 构设计时所确定的正常设计、正常施工和正常使用的外部环境条件，如外力、 温度、振动、冲击、周围介质等等情况；“规定的时间”是指结构的有效时间或 适用时间，可以包括被研究结构的任何观察期，或是实际工作期间和贮存期登； “预定功能”是指：1 ) 能承受在正常施工和正常使用期间可能出现的各种作用( 载 荷) ：2 ) 在正常使用时，结构及其组成构件具有良好的工作性能：3 ) 在正常 维护下具有足够的耐久性能；4 ) 在发生规定的偶然事件情况下，结构能保持 必要的整体稳定性能。而结构丧失规定的功能则称为失效，对于可修复结构来 说，这种失效通常称为故障。 目前，对结构可靠性进行分析计算，应用最广泛的模型就是物理原因法中的 应力强度模型。针对该模型，为了进行有效的结构可靠度分析计算，需要作如 下一些基本假设： ( 1 ) 模型中的强度( 用尺或r ( f ) 表示) 和应力( 用s 或s ( f ) 表示) 均 为一非负随机变量或随机过程； ( 2 ) 当r s ，即功能函数g = 足一s 0 时，结构被认为是可靠的；否则， 被认为是结构失效( 故障或破坏) ； ( 3 ) 结构失效仅由于应力作用而发生。 ( 4 ) 计算应力和强度的一切力学公式仍然适用，但公式中的确定量均视为 随机变量或随机过程。 在这些假定下，结合各种已有的可靠性分析方法就可以对结构进行可靠性 分析了。 可靠性与可靠性增长方法的研究第二章可靠性方法概述 2 2 可靠性方法概述 随着可靠性技术的飞速发展，提出了各种定量计算可靠度的方法。例如，一 次二阶矩法，高次高阶矩法，响应面法，蒙特卡罗法，随机有限元法等等。下 面简要的介绍一下这些方法。 1 一次二阶矩法 一次二阶矩法【1 1 是近似计算可靠度指标最简单的方法，只需考虑随机变量的 均值( 一阶矩) 和方差( 二阶矩) 、功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项， 并以随机变量相对独立为前提，在笛卡尔空间内建立求解可靠度指标的公式。困 其计算简便，大多数情况下计算精度又能满足工程要求，故已被工程界广泛接受。 基于一次二阶矩的分析方法主要有6 种。 ( 1 ) 中心点法 中心点法( 均值一次二阶矩法) 是结构可靠度研究初期提出的一种方法，其 基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的均值( 中心点) 处进行泰勒展开 并保留至一次项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，进而求得可靠度指 标。该方法的最大优点是计算简便，不需过多的数值运算，但也存在明显的缺陷： 1 ) 未考虑随即变量的分别类型，只利用了变量的一、二阶矩；2 ) 非线性程度较 高的功能函数，若将非线性功能函数在随机变量均值处进行线性展开，展开后的 线性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态曲面；3 ) 对同一问题， 采用不同的功能函数，将得出不同的结果，尤其对可靠性指标的影响较大；4 ) 该方法只适用于基本变量是服从正态或对数正态分布，且结构可靠度指标口为 l 2 的情况，否则计算结果与实际偏差会很大。 ( 2 ) 验算点法( j c 法) 针对中心点法的缺陷，人们又提出了相应的改进措旌。验算点法，i p r a c k w i t z l f i e s s l e r 提出的后经h a s o f c r 和l i n d 改进的被国际结构安全度联合委员会( j c s s ) 推荐的j c 嘲法就是其中的一种。该方法主要特点是：1 ) 当功能函数g 为非线性 时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，丽以通过g = 0 上的某一点 = ( i ，蔓，) 的超切平面作为线性近似，以避免中心点法的误差；2 ) 当基 本变量具有分布类型时，将蕾的分布在( i ，z ；，) 处以与正态分布等价的 4 西北1 业大学硕上学位论芷 条件变换为当量正态分布，这样可使所得的可靠度指标与失效概率p 之间有 一个明确的对应关系，从而在口中合理反映分布类型的影响。该法考虑了非正态 的随机变量，在计算量增加不多的条件下，可对可靠度指标口进行精度较高的近 似计算，求得满足极限状态方程的“验算点”设计值。 ( 3 ) 设计点法 针对中心点法( 均值次二阶矩法) 的上述问题，人们把结构功能函数的线 性展开点选在失效边界上，且选在与结构最大可能失效概率对应的设计验算点 上，以克服中心点法( 均值一次二阶矩法) 存在的问题，提出了设计点法( 改进 的一次二阶矩法) 。与中心点法( 均值一次二阶矩法) 有同样问题的是，该方法 也是在随机变量统计独立、正态分布和线性极限状态方程才是精确的，否则只能 得到近似的结果。但在实际分析计算中，结构的基本变量不一定均为正态变量。 可以利用雷菲( r f ) 法的当量正态化条件将非正态基本变量当量正态化后，再 结合设计点法( 改进的一次二阶矩法) 来求解满足极限状态方程的可靠度指标， 就可以得到令人满意的结构可靠度结果。 ( 4 ) 映射变换法 对于工程结构可靠度分析中的非正态随机变量，j c 法用当量正态化的方法将 非正态随机变量“当量”为正态随机变量，从而应用正态随机变量可靠度的计算方 法来计算结构的可靠度指标。文献【3 给出了映射变换法的有关计算公式和实例 分析。从计算过程上与j c 法比较，映射变换法少t j c 法的当量正态化过程，但多 了映射变换的过程，因而二者计算量基本相当；j c 法采用当量正态化的方法，概 念上比较直观，而映射变换法在数学上更严密一些，因而结构可靠度分析方法的 进一步发展就转化为采用映射变换法将非正态随机变量正态化。 ( 5 ) 实用分析法 该法是由赵国藩院士在取用p a l o n h e i m o 和h a r m u s 所提出的加权分位值方法的 某些概念后提出的。在该法中，当量正态化的方法是把原来的非正态变量肖按 对应与只或1 一只有相同分位值( x 。) 的条件下- 用当量正态变量一代替，并要求 当量正态变量的平均值比与原来的非正态变量的平均值t 相等。与j c 法相比， 该法计算简单而精度相差不多。j c 法、映射变换法、实用分析法等将非正态变量 的正态化处理方法均来自于r o s e n b t a t t 变换，a p r o s e n b l a t t 变换才是它们的一般形 5 要差堡曼里茎垄望堡查堡堕竺圣 墨三! 型墨鎏查堕塑堕 式。与早期传统的矩阵分析法相比，该法虽有较明显的优点，但在实用上还有诸 多不便，如计算机计算需要较多的原始数据，需求解关于可靠度指标的方程及迭 代过程繁琐等。 ( 6 ) 几何法 用j c 法计算时，迭代次数较多，而且当极限状态方程高度非线性时，其误差 较大。为此人们提出了几何法，该方法仍采用迭代求解，其基本思路是先假定验 算点，将验算点值代入极限状态方程，沿着极限状态方程所表示的空间曲面在点 z 处的梯度方向前进或后退，得到新的验算点，然后再进行迭代。几何法与一 般的一次二阶矩法相比，具有迭代次数少、收敛快、精度高的优点，但其结果亦 为近似解。 2 高次高阶矩法 ( 1 ) 二次二阶矩法 当结构的功能函数在验算点附近的非线性化程度较高时，一次二阶矩法的计 算精度已不能满足一些需要了。因此，一些学者把数学逼近中的拉普拉斯渐进法 用于可靠度研究中，取得了较好的效果。因该法用到了非线性功能函数的二阶偏 导数项，故应归属于二次二阶矩澍3 1 。从公式的表达上可以看出，二次二阶矩法 的结果是在一次二阶矩法结果的基础上乘一个考虑功能函数二次非线性影响的 系数，所以可以看作是对一次二阶矩法结果的修正。 ( 2 ) 二次四阶矩法 上述方法的精度能得以保证的一个基本前提是采用的随机变量分布类型是 正确的，且随机变量的有关统计参数是准确的。而随机变量分布类型是应用数理 统计的方法经过概率分布的拟台优度检验后推断确定的，统计参数是通过统计估 计获得的，分布类型及统计参数的准确与否依赖于样本的容量、统计推断及参数 估计的方法。二次四阶矩法 4 1 利用信息论中的最大熵原理构造已知信息下的最佳 概率分布，基本上避免了上述方法因采用经过人为加工处理过的基本资料而可能 改变其对现实真实反映的问题，从这一点来看二次四阶矩法是优秀的，但关于该 法的研究还较少，仍处于发展阶段。 3 响应面法 对于复杂结构而言，常常难以写出功能函数的显式，而直接的数值模拟工作 量太大，为此一些学者提出用响应面法来确定结构功能函数。该方法的基本思想 是假设一个包括一些未知参量的极限状态变量与基本变量之间的解析表达式，然 6 塑! ! _ 三些垄兰璺主兰竺笙茎 后用插值方法来确定表达式中的未知参量，关键在于确定响应面函数的系数【4 - 虮。 响应面法的一般的做法是，用一个二次多项式来代替大型复杂结构极限状态函 数，并且通过系数的迭代进行调整，一般都能满足实际工程的精度要求，具有较 高的效率和使用价值，是一个很有发展前景的计算方法。 4 蒙特卡罗( m o n t e c a r l o ) 法 蒙特卡罗法【l 】是结构可靠度分析的基本方法之一，具有模拟的收敛速度与基 本随机向量的维数无关、极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关、无需将状态 函数线性化和随机变量当量正态化、能直接解决问题和精度较容易确定的特点。 由于蒙特卡罗法具有相对精确的特点，常用于各种近似分析方法的计算结果校 核。但是，当实际工程的结构破坏概率很小时，该方法的工作量太大，这使得对 于一些大型复杂结构的可靠度分析受到限制。为了提高工作效率，应尽可能地减 少必需的样本量。通常用减少样本方差、提高样本质量两种方法达到此目的。以 此为基础发展了一些方法，如对偶抽样法、分层抽样法、重要抽样法【6 1 、条件期 望值法和公共随机数法，图解渐进法和m o n t e c a r l o 递进法【7 1 等，提高了计算效率。 蒙特卡罗法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不需考虑功能函数的非线 性和极限状态曲面的复杂性，直观、精确、通用性强；缺点是计算量大，效率低。 但随着抽样技术的改进和计算机硬件水平的提高，该方法的应用越来越广泛。 5 随机有限元法 有限元法( f e m ) 作为一种非常有效的数值方法，已广泛用于工程领域，在结 构工程中也发挥着尤为重要的作用。从理论上讲，确定性物理模型的有限元分析 可达到任意要求的精度。但实际工程中，由于各类结构或构件的物理特性、几何 参数等具有一定程度的不确定性。这种不确定性将导致结构力学特性的不确定， 对结构的临界性能和可靠性有较大影响，尤其是在随机结构动力分析中，结构参 数的变异可能引起结构动态响应的大幅变化，甚至超过外激励随机性对动响应的 影响。因此，在有限元计算中引入不确定性，形成随机有限元法( s f e m ) 。 s f e m e 卧1 0 l 是2 0 世? , 8 0 年代初发展起来的处理随机现象的分析工具，它采用确定 性分析与概率统计相结合的方法，综合考虑了各物理量的随机性。该法先求出结 构相应的统计特征量，从而进行结构的可靠性分析。与确定性的有限元法相比更 符合客观实际，更合理，尤其是当有关参数的统计特性可知时，s f e m 可提供较 精确的分析结果。但由于有限元法本身全离散的特性，使问题求解的未知数大大 增加，因而无论是基于摄动解或一次二阶矩的随机有限元，还是基于统计方法的 7 要茎堡兰里墨竺望篓查望堕竺窒 墨三兰! 墨堡查笙塑垄 随机有限元，都不可避免地存在着计算量过大和精度不易控制的问题。鉴于此， s f e m 和模糊f e m 与反优化模型的结合必将是今后的研究方向。m o n t ec a r l o 与有 限元的结合也有人做过深入的研究，但其计算量大的弱点仍无法弥补。基于s f e m 和m o n t ec a r l o 有限元两种方法的缺陷，响应面法与有限元法的结合应运而生。该 法以其既能利用确定性有限元法，又能减少数值模拟次数的优点引起了国内外的 关注1 。 2 3 小结 从目前已有的结构可靠度计算方法来看：对于极限状态方程是线性或非线性 程度不高的简单结构，用一次二阶矩法计算的可靠度就能满足工程需要，且计算 简单，易于实现；对于隐式极限状态方程，或大型复杂结构( 其功能函数一般无 显式表达式，且大多具有高次非线性特征) ，可以应用响应面法、m o n t e c a r l o 法具有一定的优势。尤其是随着计算机应用技术的发展和进步，m o n t e c a r l o 法 和随机有限元法具有更好的发展前景。 工程结构可靠度基本理论的研究是一个比较活跃的研究课题，是工程结构设 计者与使用者非常关注的问题，对工程可靠度设计问题更是一个切合实际的问 题。本文，就此展开了一些讨论，希望能够为工程实践应用提供参考依据。 参考文献 1 】何水清，王善结构可靠性分析与设计f m 】北京：国防工业出版社，1 9 9 3 ( 2 】李良巧。机械可靠性设计与分析【m 北京：国防工业出版社，1 9 9 8 【3 】赵国藩，金伟良，贡金鑫结构可靠度理论【m 】，北京：中国建筑工业出版社，2 0 0 0 ， 2 i - 6 4 【4 】雷同，王平，刘东升求解结构可靠度指标的一种新算法【j 】岩土j j 学与工程学报， 2 0 0 2 ，2 1 ( 5 ) ：7 3 6 - 7 3 9 【5 】邓子胜工程结构可靠度设计的研究与应用进展【j 】五邑大学学报2 0 0 1 1 5 ( 3 ) ：1 9 2 5 6 】6e n g e l e n n ds - r a c k w i t zr ab e n c h ma r ks t u d yo ni m p o r t a n c es a m p l i n gt e c h n i q u e si n s t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y 【j 】s t r u c t u r a ls a f e t y ，1 9 9 3 ，1 2 ( 4 ) ：2 5 5 - 2 7 6 【7 】张建仁，徐福友两种求解可靠指标的实用算法【j 】工程力学。2 0 0 2 ，1 9 ( 3 ) ：1 5 9 - 1 6 5 8 】郭书祥，冯元生，吕震宙随机有限元方法与结构可靠性【j 】力学进展，2 0 0 0 ，3 0 ( 3 ) ： 3 4 3 3 4 9 r 西北工业大学颤七学位论义 9 尹健随机有限元在结构强度可靠性分析中的应用 j 贵州工业大学学报，1 9 9 8 ，2 7 ( 2 ) ： 3 9 4 2 1 0 a e l d i nba ，s p a n o spd o nr a n d o mf i e l di ns t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n t s j ，j o t m m lo f a p p l i e dm e c h a n i c s ，1 9 9 7 ，6 5 ( 2 ) ：3 2 0 - 3 2 7 【1 1 徐军，郑颖人可靠度响应面有限元及其工程应用【j 地下空间，2 0 0 1 ，2 1 ( 5 0 ) ：3 5 4 - 3 6 0 1 2 颤立新，康红普，高谦基于响应面函数的可靠度分析及应用【j 】岩土力学，2 0 0 1 ， 2 2 ( 3 ) ：3 2 7 - 3 3 3 【1 3 王显利，穆子龙，丁立英工程结构可靠度分析方法综述【j 】北华大学学报，2 0 0 3 ，4 ( 3 ) 2 6 1 2 6 5 1 4 1 李秋忠。欧可活工程结构可靠度分析方法研究 j 公路与汽运，2 0 0 4 ，6 ：9 3 8 5 西北工业大学硕士学位论文 第三章隐式极限状态方程可靠性方法研究 3 1 1 引言 3 1 隐式极限状态方程可靠性研究 针对显式极限状态方程失效概率的计算，目前已经有非常多的成熟方法。但 在很多工程问题中，我们常常不知道输入量和输出量的解析关系，而只知道它们 的数值关系，也即极限状态方程是隐式关系。计算这种隐式方程失效概率最宜接 的方法就是m o n t e - c a r l o 法，然而此方法对于小概率事件的计算工作量是不能为 工程设计人员所接受。目前计算隐式极限状态方程失效概率采用得较多的方法是 响应面法 2 - 4 ( r e s p o n s es u r f a c em e t h o d - - r s m ) e i 改进的均值一次法( a d v a n c e d m e a nv a l u ef i r s t0 r d e r a m v f o ) 。a m v f o 方法在计算隐式极限状态方程的失 效概率时，是将极限状态函数在均值点处展开成一次式，这种方法对于非线性问 题【l j 精度不高，于是在本文中将此方法推广为在均值点展开成二次式的形式 ( a d v a n c e dm e a nv a l u es e c o n do r d e r - - a m v s o ) ，显然这种推广计算工作量将会 增加，但其计算精度也提高了很多。传统的r s m 是将真实的隐式极限状态函数 用一个不含交叉项的二次插值多项式来代替，通过选择合适的插值点来确定插值 多项式中的待定常数，并通过迭代运算来保证解的精度。这种传统的响应面法的 计算精度明显要受插值点位置的影响，并且插值函数的形式与原真实函数的近似 程度也将对计算精度产生较大影响。为此在文中将响应面法与改进的均值一次法 或改进的均值二次法相结合。利用响应面法所求褥的近似设计点，来得到精度更 好且稳定的失效概率值。 3 1 2 改进的均值一次法 国外9 0 年代由y tw u 掣1 ，5 ，q 提出的改进均值法f a d v a l l c e dm e a nv a l u e m e t h o d ) 适合于求隐式响应函数的失效概率和它的分布函数( c d f ) 。下面简要介 绍一下该方法。 例如向量膏表示相互独立的随机变量，将功能函数在均值点瓦处迸行泰 勒展开，仅保留其一次项得 里塞堡兰卫墨堡塑垦查堡塑塑窒墨三薹壁茎竖! ! 鲨查查堡里墨堡查鎏塑窒 娴= z 阮) + 喜鼢“讪蛔 ：嘞+ 芝q t + 伍) ( 3 1 ) = z 】僻) + h 伍) 这里z 。伍) 是代表一次项之和的随机变量，h 伍) 代表高次项。 同样，寻找设计点是关键，由于这里要求的是响应函数的分布函数( c d f ) ， 因此要求的是一系列最可能点，即最可能点的轨迹。寻找这一轨迹的关键是把 日伍) 看成一个确定的函数而不是一个随机变量。如果忽略h ) ，就是原来的 均值点法( m e a n v a l u e f i r s t - o r d e r , 简m v f o ) 。因为包含了确定函数日伍) ， 所以称之为改进的均值一次法( a d v a n c e d m e a n v a l u e f i r s t - o r d e r ，简记 a m v f o l 包含h 是为了校正高阶误差，为了权衡精度和效率，这里对每一个 z 防) = z 0 只允许h 取一个值。这时问题变成如何定义h 使计算误差最小。建 议的解答是应用由z l ( 工) 导出的最可能点轨迹，这里假定轨迹与实际的最可能 点轨迹相距不太远。 为了定义日，让我们首先忽略h ，则 z 伍) fz l 伍) = z o ( 3 2 ) 对于z o 的每个值，如果变量为非正态，应用等效正态法转换为正态，在标 准正态空间中z 。到原点的距离为 占= 如果记珥= “一肫) ，仃，则相应的最可能点是 “? 瑙愿。j 丽o t 这里正负号的取法是：当概率大于0 5 取正号，否则取负号。 ( 3 - 3 ) ( 3 4 ) 西北工业大学硕士学位论文 对于非线性的z 眵) 函数，h 非零，因此假如我们重新计算z 修) ，则将 不同于磊，两者的差定义为h h = z ( o 1 一z 0 ( 3 5 ) 这样，对每个z 0 值就有一个定义日的最可能点。如果没有日，概率估计值为 o ( + 占) “p 【z 伍) z 。】( 3 6 ) 如果有h ，概率估计值变为 巾( j ) * p z ( x ) z o = d z h + z o 】 ( 3 7 ) = p z z ( o + ) 说明中( 占) 是对于z 修) 的概率，而不是对z 0 的概率。 通常可靠度系数并不等于d ，因为口，不是最可能点处的值，然而经验表明 失效概率响应函数值相对不敏感。 概括起来，改进均值法计算步骤是： ( a ) 基于对均值点的摄动求得线性近似z l 伍) ； ( b ) 对选择的c d f 值z 。，计算最可能失效点f k = 一十q “a ( c ) 对于步骤( b ) 中同一c d f ，出现计算z 伍) 。 3 1 3 改进的均值二次法 设所讨论的问题包含的基本随机变量为i = 五，t ，) ，为讨论方便起见 设西，z ：，吒服从独立的正态分布，即薯( 鸬，辞) ，i = 1 ，2 ，一，h 和巧 分别为再的均值和均方差，隐式极限状态函数为g ( i ) 。类似于上一节中改进的 均值一次法，将g ( i ) 在均值点霄= “，：，以 处展开成如下形式 拌舯烈，h ) 哇蒜剥；h h ) 删b 。， = 9 2 仁) + 愿 里蔓堡兰型墨堂塑堡互望塑翌堑 苎三兰堕垄壑里鲨至互堡里墨些互鲨竺型 其中g ：( i ) 包含一次项和二次项，- l ：( i ) 为除一次项和二次项以外的高次项。 为了求g ：( i ) o 时的失效概率所，可以采用以下步骤： ( 1 ) 给定g ：( i ) 不同的值彰，= l z j l ，。即令 9 2 ( 牙) = g ：。】 ，= l2 _ j j 0 9 ) ( 2 ) 对应- t o 9 ) 式中的第j 个极限状态方程，可以采用已有的可靠性方法求 得其相应的设计点拶和可靠度指标。若不考虑高次项的修正，以点 ( g 扎m ( 一1 ) ( ，= l z ；，为标准正态分布函数) 绘出的曲线作为蒯 毋) 的近似累积失效概率曲线的方法，则称为原始的均值二次法 ( m e a n - v a l u e - s e c o n d - o r d e r ( m v s o ) ) 。 ( 3 ) 为了考虑高次项的影响，我们将根据g ( i ) 与i 之间的数值关系求得( 3 9 ) 式每个极限状态方程设计点瑶1 处的真实极限状态值g f 露1 ，_ ，= 1 ，2 ，j 。则 有下列关系成立 中( 一) = p 9 2 ( i ) g p - ，= l ，2 ， ( 3 1 0 ) 中( 一- f “) “p g ( i ) g ( 拶) ，= 1 ，2 ， ( 3 1 1 ) 以点( g ( 璐) ，m ( 一声1 ) 绘出的曲线即是原隐式极限状态方程考虑了高次项 修f 后的累积失效概率曲线，该方法就是改进的均值二次法。 3 1 4 与响应面法相结合的改进均值法 对于改进均值法来说，不论是改进的均值一次法还是改进的均值二次法， 展开点的选取对于计算结果的精度将有较大的影响。展开点越接近原始极限状 态方程的设计点，则计算结果越准确，因此我们可以采用响应面法先确定一个 原极限状态方程的近似设计点，然后再以所求的近似设计点代替均值法中的均 值点，进行一次或二次展开，并加高次项进行修正，则可以进一步提高计算精 度。与响应面法相结合的改进均值法的基本步骤如下所示： ( 1 ) 确定响应面插值函数吾( i ) 的形式为不含交叉项的二次多项式，即 岳( i ) = a o + q 葺+ 6 f # 0 1 2 ) 强北工业大学硕士学位论文 ( ) 首次确定响应面函数中的2 n + 1 个待定常数时，以均值点 芦= h ，鸬，以) 为插值中心，并另外在第i 个坐标轴方向上分别偏离 插值中心点，正( f 为插值系数) 的距离，选择另外2 n 个插值点，便可 唯一确定( 3 1 2 ) 式中的2 n + 1 个常数。 【3 ) 求出响应面极限状态方程季r ( 亨) = 0 的设计点露= 砖 ，墩，x 龆 ( 上 标( f ) 表示第i 次迭代的结果) 。 ( 4 ) 以点( 西g ( _ 西) ) 和点( 露) ，g ( 砖) ) 进行线性插值插得g ( 或) 近似为0 的露= f 嘏，摇，蛾 ，其第，个坐标如下所示： 瑚训( 竭一一) 舞 ( 5 ) 以露作为下一次插值的中心点，重复步骤( 的可瓤指翮槲误差满叫筝 _ ，= 1 ，2 ，即 ( 3 1 3 ) 1 ) ( 5 ) ，直至前后两次算得 o ( 勺为精度要求) 时，停 止迭代运算。 ( 6 ) 设响应面法经过女次迭代运算后得到了收敛的设计点为一- 。( k ，以孝作为 改进均值一次法或改进均值法二次法的展开点，重复上一节中的改进均 值二次法的类似的步骤，即可得到与响应面法相结合的精度更高改进均 值法的解。 3 1 5 实例分析 为检验本文所提方法的精度，我们列举了几个常用来检验响应面法精度的例 - t 。在算例中虽然给出了极限状态方程的解析式，但在计算时我们只是利用它们 的数值关系，而不利用其解析关系，也即将它们作为隐式方程来对待。 侧l 设某悬臂梁的自振频率为，假定弹性模量e 、材料密度加粱的厚度f 和长度工为相互独立的正态变量，各基本随机变量的均值和变异系数如表3 1 所示： 可靠性与可靠性增长方法的研究 第三章隐式极限状态方程可靠性方法研究 表3 1 基本变量的分布参数 基本变量 e pf 1 一 变异系数 o 0 3 0 0 5o 0 5o 0 5 与基本随机变量之间的关系为 舻m 抬 为检验本文所提方法的效率，我们分别将用改进的均值二次法( a m v s o ) ， m o n t e c a r l o 法和改迸的均值一次法( a m v f o ) 计算得到的结果列于表3 2 中。表 3 2 中列出了极限状态方程为( - o = 3 6 0 时，由各种方法计算得到的可靠度指标、 失效概率及失效概率的相对误差。其中在与响应面法相结合的改进均值法中， 还考虑了当插值系数取不同值时对失效概率的影响。 表3 2 极限状态方程国= 3 6 0 时例1 的结果 产3 响应面法2 8 0 7 4 7 10 0 0 2 4 9 73 5 7o 0 与响应面法相结合的改进均值法2 9 0 4 9 4 8 o 0 0 1 8 3 6 6 40 2 i _ 从表3 2 中可以得到：( 1 ) 用传统的迭代响应面法计算结构的失效概率与由 m o n t e c a r l o 法得到的精确解相比相对误差较大，本例中大于3 0o 6 0 。但是在响 应面法的基础上，再结合改进的均值法来计算结构的失效概率时的相对误差就 非常小，不大于0 2 1 。( 2 ) 随着插值系数，的增加时，响应面法结果的误差略 1 6 堕些王些奎堂堡兰堂堡堡壅 有增加；丽与响应犀法相结合的改进均值法的结果却不受，的影响。因此，将 响应面法与改进均值法结合不但计算精度提高了，而且还有一定的稳定性。 例2 设非线性极限状态方程为 g ( x ，y ) = e x p 0 2 x + 6 2 卜e x p o 4 7 y + 50 】 假定