（应用数学专业论文）傅立叶变换在医学图像处理中的应用.pdf

ab s t r a c t t h i s t e x t p r i m a r i l y i s a b r i d g e t h a t m a t h e m a t i c s t o p a s s i n m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e h a n d l e t e c h n i q u e a n in c o m m o n u s e a n d a f e w a n d b a s i c m e a n s p r i n c i p l e , t a k e s t o r is e t o 比l e d t o 衍m a t h e m a t i c s t h e o r i e s t h e m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e h a n d l e s , g e t t in g fr o m h e r e a c o n c l u s i o n m a t h e m a t i c s t h e o r i e s i s a m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e t o h a n d le t h e o r i e s i n t h e t e c h n i q u e t o o l . t h i s t e x t i n t r o d u c e d t h e s o m e b a s i c c o n c e p t o f t h e r e l e v a n t m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e , t h e p o i n t in t r o d u c e d t h e m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e h a n d l e s t h e b a s i c c o n c e p t o f 山 e t e c h n i q u e . t h e a r t ic l e s a i d t h e m e d i c a l s c i e n c e p i c t u re h a n d l e s t e c h n i c a l p r e s e n t c o n d it i o n w i t h c u r r e n t e x i s t e n t o f p r o b l e m , f o u r i e r t r a n s f o r m i s i n m e d i c a l s c i e n c e p i c t u re h a n d l e o f a p p l i c a t i o n a n d d e v e l o p m e n t , i n m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e h a n d l e o f i m p o r ta n t p o s i t i o n , t h e a r t i c l e s a i d t h e m e d i c a l s c i e n c e p i c t u re h a n d l e s a m a t h e m a t i c s f o r n e e d i n g f o u n d a t i o n , f o u r i e r t r a n s f o r m i s t h e k i n d t h a t a r i t h m e t i c fi g u re p i c t u r e h a n d l e s f o u n d a t i o n i n t h e t e c h n i q u e , r e s e a r c h w i 山c o n t r o l t h e f o u r i e r t h e a n a l y s i s m e t h o d a n d u n d e r s t a n d f o u r ie r t r a n s f o r m t o is v e ry v a l u a b l e . s t i l l i n t r o d u c e d t h e a n a l y t i c t h e o r i e s in t h e f o u r i e r c o n t e n t s in a r t i c l e , g i v e t h e t h e o r i e s p r in c i p l e , in c l u d e a p r i n c i p l e a n d m e t h o d s o f f o u r i e r t r a n s f o r m , t w o t h e p r i n c i p l e o f f o u ri e r t r a n s f o r m , l a p l a c e t r a n s f o r m a n d t h e p r i n c i p l e o f f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m( f f t ) , a n a ly z e t h e m a t h e m a t i c s m e t h o d o f i t s t r a n s f o r m a t i o n t o p l a y t h e f o r mu l a wi 山f o r mu l a a n d a n t i . p r o c e e d t o t h e m a t l a b s o ft w a r e t h e s i m p l e i n t r o d u c i n g f in a l l y , t h e m a t l a b i s a c a l c u la t o r t o w e a v e t h e d i s ta n c e l a n g u a g e , i s i n g e x c l u s i v e l y t o h a n d l e 妙 m a t r i x c a l c u l a t o r d a t a , i t s e e t h e n u m b e r t h e c a l c u l a t i o n w i t h c a n t u rn 山 。e n v i r o n m e n t g a t h e r s a r r i v e t o g e t h e r , k e e p t h e v i e w v e ry m u c 玩a n d p r o v i d e d a fl o o d o f f u n c t i o n , t o o l b o x t o o m o re a n d m o r e , a p p l i c a t i o n t o o m o re a n d m o re e x t e n s i v e . k e y w o r d s : f o u r i e r t r a n s f o r m( f t ) ; m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e h a n d l e s ; t h e m e d i c a l s c i e n c e p i c t u r e h a n d l e s t e c h n i q u e ; t h e s o ft w a r e o f ma t l a b 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、 使用学位论文的规定， 同意如下各项内容: 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文: 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的复印 件和电 子版; 在不以 赢利为目 的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 产-) -i . 6 年 ， 1 月e日 经指导教师同意， 本学位论文属于保密，在年解密后适用 指导教师签名: 风 刷 二学位论文作者签名: 解密时间:v 年月. 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己 经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内 容。 对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和集 体， 均己在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 声-b l a , . 6年 ，l月 犷 日 第一章 前言 第一章前言 随着科学技术的迅猛发展，现代医学离不开医学图像信息的支持，医学影 像信息技术己成为医学诊断中的重要组成部分。清晰的图像能够帮助医生作出 适合的治疗决策，成为临床无创诊断中强有力的手段.但由于成像设备在获取 图像信息和传输图像的过程中会在一定程度上破坏图像的质量，丢失一些有用 的信息，影响了图像在传输后复原图像的清晰，则必须采取一定的措施来改善 图像的质量，图像处理技术就起到了关键的作用，如提高图像的清晰度，可以 帮助临床医生作出正确的诊断。 本文简述了医学图像处理的概念及傅立叶变换在医学图像处理中的重要地 位、应用及发展，介绍了医学图像处理中的数学基础，傅立叶变换的定义、定 理、原理及方法，并给出傅立叶变换公式及反演公式，其中也包括了拉普拉斯 变换与快速傅立叶变换任 f o的原理， 分析其变换的 数学方法、 公式和其反演公 式以及在医学图像处理中一些应用。 本文的最后对ma t l a b 软件作了简单介绍，通过编出 程序实现在傅立叶变换 的计算、 信号处理和医学数字图像处理上的几个实际问题中的傅立叶变换的使 用，分析了使用ma t l a b 软件的好处。 第二章 傅立叶变换理论 第二章 傅立叶变换理论 第一节 傅立叶 法国数学家及物理学家。1 7 6 8 年3 月2 1 日 生于欧塞尔，1 8 3 0 年5 月1 6日 卒于巴黎。 最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方法。傅立叶级数 ( 三角 级数) 创始人。 9岁父母双亡，被当 地教堂收养。1 2岁由 一主教送入地方军事 学校读书. 1 7 岁 ( 1 7 8 5 年) 回乡 教数学， 1 7 9 4 到巴 黎， 成为高等师范学校的首 批学员，次年到巴 黎综合工科学校执教。 1 7 9 8 年随拿破仑远征埃及时任军中文 书和埃及研究院秘书，1 8 0 1 年回国后任伊泽尔省地方长官。1 8 1 7 年当选为科学 院院士，1 8 2 2年任该院终身秘书， 后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校 务委员会主席。 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1 8 0 7年向巴 黎科学院 呈交 热的传播论文，推导出著名的 热传导方程，并在求解该方程时发现解 函数可以由 三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以 展成三角 函数的无穷级数。 1 8 2 2年在代表作 热的分析理论中解决了热在非均匀加热的 固体中分 布传播问 题， 成为分析学在物理中应用的最早例证之一， 对1 9世纪数学和理论 物理学的发展产生深远影响。 傅立叶级数( 即三角级数) 、 傅立叶分析等理论 均 由此创始。其他贡献有:最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证 法和实根个数的判别法等。 第二节 傅立叶分析的内容 在理论和实际应用上，常常要考虑一个函数与一个正交函数系之间的关系， 若在有限区间上研究这个关系就是傅立叶级数理论，若在无限区间上研究这个 关系就将这一理论推广为傅立叶变换理论 ( 其中包括常用的傅立叶变换，拉普 拉斯变换等积分变换) ，即在有限区间上函 数可用傅立叶三角级数表示， 在无限 第二章 傅立叶变换理论 区间上函数可用某种特殊的积分形式表示，如傅立叶变换，拉普拉斯变换等这 些都是傅立叶分析的重要内容。 傅立叶级数从本质上解释了 任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和 余弦函数的和，这一无限和，即任何一条周期曲线， 无论连续还是间断或跳跃， 都可以表示成一组光滑的曲线的和。 这种表示法可将信号函数投影在由正弦函数和余弦函数组成的正交基上， 实施对信号函数的傅立叶变换，这一数学论断后来得到了狄里赫莱 ( d i ri c h l e t ) 的证明。在实际当中是非常有用的， 傅立叶变换把一个信号函数分解为众多的 频率成分，而这些频率又可以利用反演公式的惟一性重构原来的信号函数且保 持能量不变。 傅立叶变换理论，即傅立叶变换与拉普拉斯变换等积分变换就成为了一个 重要理论工具，发展了的快速傅立叶变换为傅立叶分析在实际中的广泛应用创 造了条件. 第三节 有限离散傅立叶变换与快速傅立叶变换 傅立叶分析理论是十分完善的，但真正实现特别是数值实现却是不容易的。 s h a n n o n 提出的 采样定理 ( s a 口 p l i n g t h e o r e m ) 使得利用计算机实现傅立叶变换 成为可能。 在理论上是完全可行的， 离散傅立叶变换( d f t ) 的 计算工作量为。 伽) ( n为 待 分析的 数 据长度 ) ， 但是 又出 现了 新的问 题，当n很 大时， 这种计算法 的 计算量为o ( n 勺使得 计 算机计算 无法 进行，因 此其 应 用的 范围 在很长的时间 里受到了严格的限制。直到1 9 6 5 年，美国 两位工程师凯莱和塔柯提出了大大减 少离散傅立叶变换( d f t ) 计算工作量的快速傅立叶变换算法( 简称f f t算法) ， 计算的 工作量 仅为o ( n 1 g n ) 。 从 此， 傅 立 叶 分析才 真正 地被 广泛地应用于解决实 际问题当中。 第四节 正交函数系 定 义 2 . 1设 ， ( x ), g ( x ) 。 l 2 ( e ) ， 则 ( 了 (x ), g ( x ) = 工 f (x 万 下 又 众 ， 称 为 ， ( 二 ) 和 : ( x ) 的 内 积 ， 当 ( f ( x ) , g ( x ) ) = 0 时 ， 称 .f ( 二 ) 和 : ( x ) 正 交 . 第二章 傅立叶变换理论 若 几( x ) l : : c l 2 ( e ) ， 当 m ， 。 时 ， 几( x ) 与 几 ( x ) 正 交 ， 则 几( x ) 弧 : ， 称 为 正 交 组 ， 若 对 正 交 组 几( 二 ) l : ， 中 每 一 个， 2 1 有 ” 几( 二 ) 112 = 1 ， 则 几 ( : ) n 2 ， 称 为 标 准 正 交 组 ， 若 几 ( 二 ) n 2 ， 是 标 准 正 交组， 而且对任何f ( x ) 。l 2 ( e ) ，只要f ( x ) 和一切几( x ) 正交， 必有 f ( 二 ) = 。 ， a . e . 于e， 则 几( x ) l : ， 称 为 完 备 标 准 正 交 组 。 定 义2 . 2 一 个 函 数 系九( x ) , 叭 ( x ) , k, 沪 ( x ) , k 其 中 每 个 函 数 都 是 定义在区间 a , b 上的实函 数或实变量的复值函数， 如果满足 b一ar ， 二 ( x )o n (x )dx 0 (m n ) 就 称 函 数 系 0 . ( x ) , 0 . ( x ) , k , 0 . ( x ) , k为 区 间 a , b 上 的 正 交 函 数 系 ， 式 中 汽( x ) 是 汽( x ) 的 共 辘 函 数 . 如果正交函数系又满足 1 0 ， ，、 二 - - 二 一 二， : - - 一 一1f . ( x ) t . ( x ) a x= b 一 a . ,b一af 1 0 . (x )12 “ 一 就 称 函 数 系 0 . ( x ) , 叭 ( x ) , k， 汽( x ) , k为 a , b 上 的 标 准 正 交 函 数 系 。 例如函数系 l , c o s c o x , c o s 2 w x , k , c o s n w x , k , s i n w x , s i n 2 w x , k， ，_ * _ t t， 1 1 _二 一，_ ， 二2 n 是 区 间 - 2 1 2 上 的 正 交 函 数 系 ， 其 中 ， = 爹 例 如 函 数 系 奋 一 。 。 : ，2 ; t . 一，. ， ， “. 、 . 一叫 j 川 目 l， 心 间 卜j， 石， 一一 足 匹i e li 卜-, -1 一 阴怀催止又田纵示，兵 甲w 一， 22诬 定 义 2 一 设 给 定 函 数 系 气( x ) , 气+ ( x ) k气十 二 ( x ) s m n o r u, k 第二童 傅立叶变换理论 其中自 变量x 取有限 个离散 值 na h , ( n o + 1 ) h , k n，1 尹.il -一 满 、击no+n ,/2 y mk=no ( 肠) y n ( 从) , ( no +n) h ( m # n ) ( m=n ) 就 称 函 数 系气( x ) , 气+ 1 ( x ) , k， 气十 二 ( x ) 为 标 准 正 交 函 数 系 ， 式 中 h 0 , m, mmo +n, n o nno +n 例 如当mo =no =0 时 沪 二 ( x ) = e i d “( d h = 是一个标准正交函数系 2z n + 1 m=0 , 1 , k， n) 第五节 一维傅立叶变换 定 义 2 . 4设分 n ( x ) l : ， 是l z ( e ) 中 的 标 准 正 交 组 ， f ( x ) 。 l z ( e ) ， 则 ( f ( x ) , 0 . ( x ) ) ). 2 1 称 为 ， (x ) 的 傅 立 叶 f o u ri e r ， 系 数 ， 艺( f w, 0 . ( x ) ) 0 . ( x ) 称 为 f ( x ) 的 傅 立 叶 ( f o u rie r ) 级 数 歹 _ 2 二 i n x t 定理2 . 1 ff n = 0 , 士 1 , 士 2 ,k是l 0 , 1 中的 完 备标准正 交组， 从而 对 任 何.rl z 0 , 1 ， 在l 2 0 , 1 中 级 数 的 意 义 下 有 f ( x ) = 艺g ,， e 2 )r in zn 月= - 褚 口 其 中 c n f f we 一 ” ” ， 一。 ，土 1 ，土 ， ,k 第二章 傅立叶 变换理论 另 有if ( x ) 112 2 =艺ic r iz 定 义 2 . 5 若 a x ) 。 : (r ) ， 则 少 ( 。 ) 二 厂f ( x ) e 一 ， “ 。 ， 称 为 f ( 习的 傅立叶( f o u ri e r ) 变换 定 理2 . 2 ( 反 演定 理) 若ax ) ，f ( m ) e l ( r ) ，并且 g ( x ) = 厂 a t ) e 2 x tx td t ， 则 g (x ) e c 。 并 且 ， ( x ) = g (x ) ， a .e . 定理2 . 3( 惟 一性定 理) 若f ( x ) e l ( r ) ， 并且f ( o ) =0 ，w e r , m ax ) =0 ，a . e . 2 . 5 . 1 一维傅立叶级数 定理2 . 4 一 个以2 t 为周期的函 数ax ) ，如果在 - t , 7 上满足狄里赫莱 ( d i r i c h l e t ) 条件: 1 ， 连续或 只有有限个 第一类间断点; 2 ， 具有有限个极值点， 则在【 - t , t 上就可以 展开成傅 立叶级数: f (x ) 令 m 。 cos n刀x t n 二、 + o s m t 其中a n - 十 f , f (x ) c o s _ ” ， = 令f r f (x ) sin n n x t 么( ”=0 , 1 , 2 , a) 刀刀飞 t d x ( n=1 , 2 , a)称为傅立叶系 数。也可以利用欧拉 ( e u l e r )公式将上式写成复指数形式: f(=觉 c o e l n m sn 第二章 傅立叶变换理论 君-t 一一 口 其中 系数c0 一 a .二 1 2 2t c p=。 一 lb ) = 2 t 亡f ( x ) d x 亡 f ( x ) e - . m s ,* 另 有lc n 二二一 2 a 才 +b 矛( n二0， 1 ， 2， a ) 需要 注 意的 是如果函 数f ( x ) 在区间 - t i t 上 绝对可 积， 那么一定 有它的 傅 立叶级数， 但是， 不一定有它的 傅立叶展开式。如果在区间【 一， 月上有一个三 角 级数一 致 收 敛 ( 即 部分和点 点 收敛且一 致有界) 于函 数ax ) , 那么这个级数 就 是 函 数 f ( x ) 的 傅 立 叶 展 开 . 在 区 间【 - t i t 上 两 个 绝 对 可 积 函 数f ( x ) , g ( x ) ， 如果除去有限个点外处处相等 ( 可以推广到几乎处处相等，即如果除掉一个测 度 等 于 零 的 点 集 外a x ) 与g ( x ) 都 相 等) ， 那 么 ax ) 和g ( x ) 的 所 有 对 应 的 傅 立 叶系数都一致。 2 . 5 . 2一维傅立叶变换 定理 2 . 5 设f ( x ) 为x 的函 数，如果f ( x ) 在( - a o ,+ a o ) 上满足条件: 在 ( ，、 ) 上 绝 对 可 积 ， 即 积 分 df ( x ) l 收 敛， 则 有 f (x ) = 命1-+:户、 一 “ r l e md m “ 在 ， 而 当 z为间断点时， f ( 幻应该用 f ( x 一 0 ) + f ( x + 0 ) 2 代替。 定义 2 . 6 设f ( x ) 为 实 变量x 的 连续函 数， 且 在( 一 ， + 0 0 ) 内 绝对可 积， 则 第二章 傅立叶变换理论 f ( x ) 的 傅 立 叶 变 换 定 义 为 f ( w ) = 厂 f ( 二 ) e - d c ( 二 为 空 间 域 ， 若f ( w) 绝对可积，则有傅立叶反演公式为 f ( x ) = 2 z j + m f (w ) e z d m ， ( 。 为 频 域 ) 因此在一定条件下f ( w) 与了( x ) 可以相互表达， 构成了一个 傅氏变换对。 f ( w) 通常是自 变量的复函数，可表示为 f ( w) =r ( w) +f l ( w) 其 振 幅 谱 为 : if ( w ) 卜v r ( 。 ) + i z ( w ) 相角为 :o ( w) f i ( w、 1 = 留c 栩口!i l r ( w) 第 六 节拉 普拉 斯 ( l a p la c e ) 变 换 傅立叶变换虽然应用范围很广，但是在实际应用中却受到了很大的限制。 傅立叶变换要求像原函数除了满足狄里赫莱 ( d i ri c h l e t )条件外，还要求 在( ， + 田 ) 上 满足绝对 可 积的 条 件， 在整 个数轴 上有定 义。 但是 许多 实际 应用 中， 出 现以 时 间t 作 为自 变 量 的 函 数f ( t ) ， 这 些函 数 在t 0 ) ， 其 中u ( t ) 是 单 位 阶 跃 函 数， 同0 ( t ) 相 乘 就 将 其 定 义 域由 ( 一，+ 0 0 ) 转 化 为( 0 , + 0 0 ) ， 而e a t ( a 0 ) 是 指 数 衰 减函 数， 同0 ( t ) 相乘 能 使 之 变 为 绝 对 可 积. 这 样， 只 要a 选 择 适 当 ， 0(t)u(t)ear ( a 0 ) 的 傅 立 叶 变换就存在。这就是拉普拉斯积分变换。 第二章 傅立叶变换理论 2 . 8 . 1 一维拉普拉斯变换 定 义 z 一 设 函 数 f (t) 在 ， : 。 时 有 定 义 ， 若 广 义 积 分 厂 f ( t ) e - d t 对 参 变量s 在某一区域d内 收敛，则此广义积分在区域d内定义了一个复变函数 l ( s ) = 厂f ( t ) e 一 “ d t ， (: 是 复 数 ， ， 一 。 + ，。 )， 称 复 变 函 数 : (， ) 为 函 数厂 ( t ) 的 拉 普 拉 斯 变 换 。 拉普拉斯变换的反演公式 1 r+ i oo -，、 .t “ ) = 万 牙 下 工 一 ，。 l ( s ) e a s 其 中 “ o ,a _ 0 积 分 沿 着 任一 直 线r e s = q a 来 取 ，a 是f ( t ) 的 增 长 指数， 同 时 ， 积 分理解为在主值意义下的. 定理2 . 9 ( 拉 普拉 斯 变 换 存 在条 件) 如 果f ( t ) 满 足 下 面 三个 条件， 那么 它的 拉 普 拉 斯 变 换 存 在， ( 1 ) 实 变量的 复 值函 数f ( t ) 在t 2 0 上除 掉 有第 一 类间 断 点( 在 任 一 有限 区 间 上 至 多 有 有限 多 个) 外 连 续; ( 2 ) 当t _ 0 和a o ， 使 得 if ( t ) 卜a e “， ， : 。 ， 这 里 数 。 称 为 f ( t ) 的 增 长 指 数 ， f ( t ) 是 有 界 函 数时， 可取a=0 at ) 和l ( s ) 在 一 定 条 件 下 构成了 一 个 拉 普 拉 斯 变 换 对. 拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 前面利用傅立叶变换的基本原理引出了拉普拉斯变换的概念，可以看出， ( t 2 0 ) 的 拉 普 拉 斯 变 换 ， 实 际 上 就 是 f ( t ) u ( t ) e - 的 傅 立 叶 变 换 。 6.2(t) 2.f 第二章 傅立叶变换理论 2 . 6 . 3二维拉普拉斯变换 根据上述原理，很容易得到二维拉普拉斯变换 定义2 . 1 0 a i 数f ( x , y ) 的 二维拉普拉斯变换定义为 l ( s , q ) 一 厂厂f ( x , y ) e 一 ” 一 “ y d x d y 二维拉普拉斯变换的反演公式为 .f ( 二 ， ， ) 一 兴 r + im r , 一 : ( : ， 。 ) 。 “ y d q d s 斗才 一 盯 一 1 国 叮 -, 国 其 中 o = r e s , q 二 r e q ; 一 x a r g s 汀 ，一 汀 a r g q 7r .f ( x , y ) 和l ( s , q ) 在 一 定 条 件下 构 成了 一 个 拉 普 拉 斯 变 换 对。 第七节 快速傅立叶变换 凯莱 和塔柯提出的 快速傅里叶变换 ( f f t ) ， 特别适用于硬件处 理。 d f t 的 数 据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角 插值得到， 而本质上 又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系，因此，利用傅立叶级数和傅立叶积 分 通过 有限 离散傅立叶变换， 接着得到快速傅 立叶 变换 ( f f t ) . 2 . 7 . 1 有限离散傅立叶变换 定 义 2 . ， ，设 f (k h ) 是 一 实 (或 复 ) 序 列 ， 当 h d = - 牛丁 时 ， 定 义 有 限 离 乙丫 十 i 2 si j k 散 傅 立 叶 变 换 为 f ( j d ) 一 h ef ( k h ) e 声 ， 及 其 有 限 离 散 傅 立 叶 逆 变 k = - a 2 ni j k 换 f ( k ， ) 一 d 艺f ( j d ) e 声 ， ( k = 0 ， 士 1 ,1 2 ,k ，士 n ， n 为 正 整 数 ) j 二一 n 第二章 傅立叶变换理论 2 . 7 . 2 快速傅立叶变换 快速傅立叶变换算法是计算有限离散傅立叶变换的快速方法。 定义2 . 1 2复序列的快速傅立叶变换算法为 计算复序列 z . 1 ( k =0 , 1 , 2 , k, n- 1 )的有限离散傅立叶变换 就 是 计 算 形 如 w ， = i二 ， 。 2at /t n ， 0.1 n一1 的 1-n ( h d= 有限项和。 对于逆变换，计算方法类似。 第八节 二维傅立叶变换 定 理2 . 6对 每 一 个 .f ( 二 ) 。 l 2 ( r ) ， 有 一 个 少 ( 。 ) 。 l 2 ( r ) 与 之 对 应 ， 使 得 下 列 性 质 成 立 : ( 1 ) 若f ( x ) 。 l ( r ) i l 2 ( r ) 则f ( w ) 就 是f ( x ) 中 的 傅 立 叶( f o u r ie r ) 变 换 : ( 2 ) 对 每 一 个f ( x ) e l 2 ( r ) , v ( w ) 112 = iif ( x ) il ; ( 3 ) 映 射 ， ( x ) 。 f ( co ) 是 ; ， ( r ) 到 自 身 上的一个希尔伯特 ( h i l b e r t )空间同构，即.f ( x ) - * f ( m) 是减性 的 ， 而 且 对 任 何 f ( x ), g ( x ) e l 2 ( r ) , (f ( x ),s (x ) = ( f (w ),g (w ) ; (4 ) 若 令 “ ， = f a- a f ( x ) e 一 ， 一*， v/ a ( x ) 一 乙f ( t ) e 2 s 一 * 则 当 ， 。 ， ， 110 ( t ， 一 f ( ) ! m112 oo ， iii a ( x ) 一 f ( x ) 112 一。 第二章 傅立叶变换理论 定 理2 . 7 ( 采 样 定 理 ) 设f ( x ) e l z ( r ) , s u p p f ( w ) c 一 。， s 2 ， 则 级 数 ， (x ) = 蕙 ()e f ( 2 0 中收敛，也在 r上一致收敛. s i n i ( 2 n s一n ) z ( 2 qx一n ) 既在l z( r ) 2 . 8 . 1 二维傅立叶级数 定理2 . 8 如果函数f ( x , y ) 在矩形区域r ( 一 x 5 1 ,- h _ y - h ) 内满足条 件: 在r ( - 1 二 : 1 ,一 y 5 h ) 上 偏导 数刀和刀处处 存 在并 且有界; 在 r ( 一 x 5 1 ,- h - y 5 h ) 的每个内点( x o , y o ) 的某个邻域内，二阶偏导数 f x y ( 或 从) 存 在 且 连 续 ， 则 f (x ,y ) 可 展 开 为 傅 立 叶 级 数 定义 2 . 1 2对于二元函数f ( x , y ) 在 矩形 区 域r ( - 1 :5 x :9 1 ,- h :s y :s h ) 上 绝 对可积， 则f ( x , y ) 的 二维傅立叶级数的复数形式为 f ( x , y ) =艺c , , e x p ., n = 0 c . ,=1 jjf (x, y ) exp41h r卜 h r 2 . 8 . 2 二维傅立叶变换 二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换得到。 定义 2 . 1 3对于连续函数.f ( x , y ) ，定义二维傅立叶变换为: f ( u ， v ) = 止cf ( x ， ， ) e 一 ， (x x + y . ) c1x d y 其 中u , v 是与函数f( u , v ) 对应的直角坐标系的两个坐标变量，从而 x , y, u , v都是实 变 量， 函 数可以 是实 变量也 可以 是复 变量， 函 数f( u , v ) 第二章 傅立叶变换理论 可以是实变量也可以是复变量。 类似地，有二维傅立叶反演公式为: f ( x , ， ) 厂厂f ( u ， v ) e t2 s ， ，、 月凡 力与f( u , v ) 构成一个二维傅立叶变换对。 同 样可得二维函数的 傅立叶变换f( u , v ) 是关于自变量u , v的复函 数，可表示为 f ( u ， v ) =r ( u ， v ) +i i ( u , v ) 其 振 幅 谱 为 : if ( u , v ) 卜v r ( u , v ) + i ( u , v ) 相角为:b ( u , v ) = arctan i ( u , v ) r( u , v ) 为保证定义的二维傅立叶 变换对的存在， 函 数了 ( 戈 刃应当满足一定的条件. 在实际应用中，大量的作为时间函数或空间函数而实际存在的物理量，总 具备保证其傅立叶变换存在的基本条件。物理上的可能性是保证傅立叶变换存 在的充分条件。在应用问 题中，也会遇到一些理想化的函数，如余弦函数，单 位阶跃函数等，都是一些便于应用，不可缺少的数学工具，但不满足保证其傅 立叶变换存在的充分条件，同时，在物理上也是不可能实现的，对这类函数难 于讨论其经典意义的傅立叶变换，需要借助函数序列极限概念或6 一 函数性质可 以得到这类函数的广义傅立叶变换。 第三章 医学图像处理 第三章 医学图像处理 第一节 医学图像 图 像是指客观世界的视觉信息，人们接受的大部分信息是经过人的眼睛所 获得的图像信息，随着计算机技术的发展，图像信息主要通过计算机来获得， 同时也出现了为了实际的应用，需要对图像信息做必要的加工和处理，称之为 图像处理这样一门学科。应用的领域随着理论技术的不断完善和发展进一步扩 大，同时对图像处理的要求也不断的提高，内 容也不断的丰富。 医学图像可粗分为模拟图像和数字图像两类，模拟图像就是人们在日 常生 活中接触到的各类图像，它们都是由连续的各种不同颜色、不同亮度的点组成 的， 这类图 像只能用摄象机、照相机等进行摄取。医学上常用 x射线成像技术 以“ 荧光屏 胶片” 组合来采集、储存图像属模拟图像;而计算机只能处理 数字信息，就必须将模拟图像转换为用一系列数据所表示的图像，即所谓的数 字图像。将模拟图像转换为数字图像的过程，称为图像数字化。 以 计算机断层扫描技术为 基础发展 起来的x -c t 、 磁共振成像 ( m r i ) 、正 子断 层摄影 ( p e t ) 和单 光子发射 计算机断 层 扫 描仪 ( s p e c t ， 有时 也 称e c t ) 等是 对 x射线或其它激发源激发出 来带有体内 信息的 信号( 投影) 进行数字 化图像信 息采集和处理，用投影一卷积一反投影方法根据投影数据单准则或多 准则来重 构的图像，这类断层扫描成像系统的主机存储容量有限，最终仍然要以胶片等 硬拷贝来载带并储存重构的模拟图像，因此这类医学图像成像技术一般称之为 本质上的数字图 像技术。随着数字技术的 不断发展和应用， 现实生活中的许多 信息都可以用数字形式的数据进行处理和存储，数字图像就是这种以 数字形式 进行存储和处理的图像。利用计算机可以 对它进行常现图像处理技术所不能实 现的加工处理， 还可以 将它在网上传输， 可以多次拷贝而不失真。 文中提到的 医学图像主要是指医学数字图像。 在现代医疗活动中，医学诊断离不开医学图像信息的强有力支持，医学图 像己 成为医学临 床诊断中的重要组成部分，由 于数字化成像设备的 普及与医学 图像存储与传输系统的实用性，医生将面对计算机，根据屏幕显示的来自 病人 第三章 医学图像处理 的各种图像信息，帮助医生不经过解剖检查，就可诊断出器官的器质性病变， 作出 适合的治疗决策， 进行诊断及治疗， 成为临床无创诊断中的强有力的手段。 这种阅读方式，与传统的照片阅读方式不同，可以是动态的图像信息，因此逐 渐应用于影像科室，大大方便了临床医师在工作中及时调阅图像信息， 共享医 学图像资源。 医学图像通常指由窥镜、 x光相片、 医生手绘及各种相关图 片， 经数字化而 成的医学数字图像。医学研究和临床诊断中所用的医学图像有很多种，常见的 有病理切片图像， c t 、 核磁扫描图 像， 核医学图像， 超声图 像， 窥镜图像等等。 第二节 医学图像处理技术 3 . 2 . 1 医学图像处理 医学模拟图像虽然可以不输入到计算机而直接用模拟方式处理，但是它的 不灵活性较为突出，处理效果受到一定限制，处理结果不易保存。因此现代医 学图像处理一般为医学数字图像处理。而计算机中表示的数是离散的，所以用 计算机处理图像首先应把模拟图像变为数字图像才能应用计算机处理。 数字图像处理又称为计算机图 像处理，它是指将图像信号转换成数字信号 并利用计算机对其进行处理的 过程。 数字图像处理最早出 现于2 0 世纪5 0 年代， 当时的电子计算机已 经发展到一定水平，人们开始利用计算机来处理图形和图 像信息。数字图像处理作为一门学科大约形成于 2 0世纪6 0 年代初期. 早期的 图像处理的目的是改善图像的质量，它以人为对象，以改善人的视觉效果为目 的。图像处理中，输入的是质量低的图像，输出的是质量改善后的图像，常用 的图像处理方法有图像增强、复原、编码、压缩等。 数字图像处理在医学上也获得了成果，1 9 7 2年英国 e l u l i 公司工程师 h o u s fi e l d 发明了 用于头颅诊断的x射线计算机断层摄影装置，也就是通常所说 的 c t . c 7 ， 的基本方法是根据人的 头部截面的投影，经计算机处理来重建截面 图 像， 称为图像重建。 在1 9 7 5 年e m i 公司又成功研制出 全身用的c t 装置， 获 得了人体各个部位鲜明清晰的断层图 像。1 9 7 9年，这项无损伤诊断技术获得了 第三章 医学图像处理 诺贝尔奖，说明它对人类作出了划时代的贡献。与此同时，随着图像处理技术 的深入发展，图像处理技术在许多应用领域受到广泛重视并取得了重大的开拓 性成就，从7 0 年代中期开始， 计算机的 技术和人工智能、思维科学研究的迅速 发展，数字图像处理向 更高、更深层次发展。人们开始研究如何用计算机系统 解释图像，实现类似人类视觉系统理解外部世界，这被称为图像理解或计算机 视觉。 数字图像处理主要研究的内容是指图像变换，由于图像阵列很大，直接在 空间域中进行处理，涉及计算量很大。因此， 往往采用各种图像变换的方法， 如傅立叶变换、 沃尔什变换、离散余弦变换等间 接处理技术，将空间域的处理 转换为变换域处理， 不仅可减少计算量，而且可获得更有效的处理 ( 如傅立叶 变换可在频域中进行数字滤波处理) 。目 前新兴研究的小波变换在时域和频域中 都具有良 好的局部化特性，它在图像处理中也有着广泛而有效的应用。图像编 码压缩， 图像编码压缩技术可减少描述图像的数据量 ( 即比特数) ，以便节省 图像传输、处理时间和减少所占用的存储器容量。压缩可以在不失真的前提下 获得，也可以在允许的失真条件下进行。编码是压缩技术中最重要的方法，它 在图像处理技术中是发展最早且比 较成熟的技术。图像增强和复原， 图像增强 和复原的目的是为了提高图像的质量，如去除噪声，提高图像的清晰度等。图 像增强， 突出图像中 所感兴 趣的部分， 如强化图 像高频分量， 可使图像中物体 轮廓清晰，细节明显: 如强化低频分量可减少图像中噪声影响。图像分割，图 像分割是数字图像处理中的关键技术之一。图 像分割是将图像中有意义的特征 部分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘、区域等，这是进一步进行图 像识别、分析和理解的基础。虽然目 前己研究出不少边缘提取、区域分割的方 法，但还没有一种普遍适用于各种图像的有效方法。因此，对图像分割的研究 还在不断深入之中，是目 前图像处理中研究的热点之一。图像描述，图像描述 是图像识别和理解的必要前提。作为最简单的二值图像可采用其几何特性描述 物体的 特性，一般图像的 描述方法采用二维形状描述， 它有边界描述和区域描 述两类方法。 对于特殊的 纹理图像可采用二维纹理特征描述。随着图像处理研 究的深入发展，已经开始进行三维物体描述的研究， 提出了体积描述、表面描 述、 广义圆柱体描述等方法。图像分类 ( 识别) ， 图像分类 ( 识别)属于模式 识别的范畴，其主要内 容是图 像经过某些预处理 ( 增强、复原、 压缩) 后， 进 行图像分割和特征提取， 从而进行判决分类。图像分类常采用经典的模式识别 第三章 医学图像处理 方法， 有统计模式分类和句法 ( 结构)模式分类，近年来新发展起来的模糊模 式识别和人工神经网络模式分类在图像识别中也越来越受到重视。 数字图像处理的信息大多是二维信息，处理信息量很大，因此对计算机的 计算速度、存储容量等要求也较高。图像是三维景物的也是在二维上的投影， 一幅图像本身不具备复现三维景物的全部几何信息的能力， 很显然三维景物背后 部分信息在二维图像画面上是反映不出来的。 对于数字图像处理具有许多的优点。再现性好，数字图像处理与模拟图像 处理的根本不同在于，它不会因图像的存储、传输或复制等一系列变换操作而 导致图像质量的退化。只要图像在数字化时准确地表现了原像，则数字图像处 理过程始终能保持图 像的再现。处理精度高， 按目 前的技术，几乎可将一幅模 拟图像数字化为任意大小的 二维数组， 这主要取决于图像数字化设备的能力。 现代扫描仪可以 把每个像素的灰度等级量化为1 6