（概率论与数理统计专业论文）倒向随机微分方程解的控制定理.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：缦迅鍪 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 语文作者签名：趣导师签名：飞垂二豳 山东大学硬士学位论文 倒向随机微分方程解的控制定理 包国豪 山东大学数学与系统科学学院 山东济南2 5 0 1 0 0 中文摘要 1 9 9 0 年，p a r d o u x 和p e n g ( 见1 5 】) 引进了一类倒向随机微分方程 ( b s d e s ) ： k = + f t t g ( k ，乙，s ) 幽一j | r z i d w , t 【。，即 p a r d o u x 和p e n g 证明了，当f 和9 满足一定的条件的时候，上述的 倒向方程存在一对唯一的适应解( k ，五) 根据p a r d o u x 和p e n g 的结论，上述倒向随机微分方程的解m ，磊) 是一个解对，由两部分构成，分别为k 和z i 自从该理论提出之 后。已被广泛应用于数学金融、随机控制、偏微分方程和数学经济 学等领域由于它的广泛应用，很多专家学者开始对这一理论产生 浓厚的兴趣自从1 9 9 0 年倒向随机微分方程理论提出之后，人们 已经得到了很多关于此方程解的性质和结论然而，到目前为止， 有关这方面的研究大部分仍集中在解的第一部分，即y t 的性质， 很少有人关注解的第二部分，即z i 的性质这一部分解实际上是 倒向方程的扩散项 近年来，人们开始研究倒向方程解磊的性质在这个方向上一个 重要的成果是c h e n 子2 0 0 5 年提出的共单调定理( 见【1 】) ，在此定 理中c h e n 证明了磊的共单调性也就是，( 玲，研) 和( 坪，露) 是分 山东大学硕士学位论文 别为以6 = 圣- ( 珥) 和6 = 圣。( 砰) 为终端值的倒向随机微分方程的 解，并且珥和殍分另0 由下列马氏过程产生， j 删= 如( t ，霹) d r + a i ( t ，x l 。) d w t ；t 【o ，刁 i 弼= 一 其中i = l ，2 ，那么z 0 露o ，当圣- 和西2 是共单调的，并且 盯l ( t ，研) 0 观( f ，群) 0 时 在本文中，我们将会继续讨论互的性质我们将会考虑下列问题： 在什么条件下，倒向随机微分方程的解大于一个常数( 或小于一个 常数) ，即五七( 或五七) ，蠹为任意的常数? 在什么条件下，倒 向方程的扩散项被正向方程的扩散项所控制，即五k o ( t ，五) ( 或 磊鼢( t ，墨) ) ? 在文中，我们将给出关于这些问题的结论 本文内容分为以下五部分： 第l 节：倒向随机微分方程的一些基本结论和定义 在这一节中，我们主要给出一些本文中将会用到 的倒向随机微分方程理论的基本知识和一些符号 含义 第2 节；共单调定理 这一部分，我们将给出e h e n 的共单调定理，该定 理是本文的基础 第3 节；由常数控制的控制定理 在本节中，我们主要讨论第一个问题，即在什么 条件下，会有互七( 或历后) 在本节的最后， 我们将给出应用该结论的一个例子 第4 节：一般情况下的控制定理 在这节中，我们讨论第二个问题，在什么条件下， 我们有互k a ( t ，五) ( 或磊k o - ( t ，五) ) 2 山东大学硕士学位论文 第5 节：讨论 在文章的最后一部分，我们给出一些仍未解决的 问题 关键字；倒向随机微分方程，共单调定理，控制定理 3 山东大学硕士学位论文 c o n t r o lt h e o r e mo fb s d e ss o l u t i o n b a og u o h a o s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 a b s t r a c t i n1 9 9 0 ，p a r d o u xa n dp e n g ( s e e 【5 】) i n t r o d u c e dac l a s so fn o n l i n e a r b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( b s d e s ) ： y t = t + t g 瞰五舭3 一f ：z 1 d w 。0 t t u n d e rs o m es u i t a b l ea s s u m p t i o n so n a n d9 ，p a r d o u xa n dp e n gs h o w e d t h a tt h e r ee x i s tap a i ro fa d a p t e ds o l u t i o n ( k ，历) s o l v i n gt h ea b o v ek i n do f b s d e a c c o r d i n gt op a r d o u xa n dp e n g st h e o r e m ，t h es o l u t i o no ft h ea b o v eb s d e i sas o l u t i o np a i r ( k ，五) ，w h i c hc o n s i s to ft w op a r t s s i n c et h i st h e o r yw a s p u tf o r w a r d ，i th a v e b e e nw i d e l ya p p h e di nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ，s t o c h a s t i c c o n t r o l ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s d u et o i t sb r o a da p p l i c a t i o n ，m a n yr e s e a r c h e r sb e g i nt oh a v ea d e e pi n t e r e s ti nt h i s s u b j e c t m a n yp r o p e r t i e sa n dr e s u l t so nt h es o l u t i o n so fb s d e sh a v eb e e n o b t a i n e ds i n c et h eb s d et h e o r yw 嬲p r o p o s e di n1 9 9 0 h o w e v e r ，s of a r ， m o s tr e s e a r c hw a sf o c u s e do nt h ef i r s tp a r to ft h es o l u t i o nk f e wp e o p l e h a sc o n c e n t r a t e do nt h es e c o n dp a r t 五，w h i c hi sa c t u a l l yt h ev o l a t i l i t yo f b s d e s i nr e c e n ty e a r s ，p e o p l eb e g i nt oe x p l o r et h ep r o p e r t yo f 互ag r e a tp r o g r e s s i nt h i sd i r e c t i o ni sc h e n sc o m o n o t o n i ct h e o r e mi n2 0 0 5 ( s e e 【1 】) ，i nw h i c h 4 山东大学硕士学位论文 c h e np r o v e dt h ec o m o n o t o n i c i t yo f 五i h a ti s ，l e t ( 玲，砑) a n d ( 圩，露) b e t h es o l u t i o n so fb s d e sc o r r e s p o n d i n gp e r m i n a lv a l u e s6 = 圣l ( 珥) a n d 已= 垂2 ( 群) ，r e s p e c t i v e l y j 擘a 矿：一j a r eg e n e r a t e db yt h ef o l l o w i n gt w o 口 m a r k o vp r o c e s s e s j j 删= b ( t ，搿) 出+ 一( t ，删) d w t ；t 【o ，卵 【确= w h e r ei = 1 ，2 ，t h e n 研。露芝0 ，拍垂la n d a r ec o m o n o t o n i ca n d o 1 ( t i 辫) oa r 2 ( t ，研) 0 i nt h i sp a p e r ，w ec o n t i n u et oe x p o r et h ep r o p e r t yo f 五w ew i l lc o n s i d e r t h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ：u n d e rw h i c hc o n d i t i o n sw eh a v ez t 女( o rz t 毛) ， f o ra n yc o n s t a n t 七? u n d e rw h i c hc o n d i t i o n st h ev o l a t i l i t yo fb a c k w a r ds d e c o u l db ec o n t r o l l e db yt h ev o l a t i l i t yo f f o r w a r ds d e ，t h a ti s 五k a ( t ，五) ( o r z ts 蛔( t ，五) ) ? i nt h ef o n o w i n g ，w ew i ng i v es e v e r a lr e s u l t sa b o u tt h e s e q u e s t i o n s t h i sp a p e ri sa r r a n g e di n t o5s e c t i o n s ： s e c t i o n1 ：b a s i cn o t a t i o na n dr e s u l t so nb s d e 8 i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v es o m eb a s i cn o t a t i o na n dc l a s s i c a l r e s u l t si nb s d et h e o r y , w h i c hw i l lb eu s e di nt h ef o l l o w - i n gs e c t i o n s s e c t i o n2 ：c o m o n o t o n i ct h e o r e m w eh e r eg i v ec h e r t c o m o n o t o n i ct h e o r e m ，w h i c hi st h e f o u n d a t i o no ft h i sp a p e r s e c t i o n3 ：t h es i m p l ev e r s i o no fc o n t r o lt h e o r e m i nt h i ss e c t i o n ，w ed i s c u s st h ef i r s tq u e s t i o nt h a tu n d e r w h i c hc o n d i t i o n s ，w eh a v e 五之k ( o rz ts 七) i nt h el a s t o ft h i ss e c t i o n ，w ew i l lg i v ea ne x a m p l ef o rt h ea p p l i c a - t i o no ft h i st h e o r e m 5 山东大学硕士学位论文 s e c t i o n4 ： c o n t r o lt h e o r e mo fb s d e s i nt h i sp a r t ，w et a k ei n t oa c c o u n tt h es e c o n dq u e s t i o n ， t h a ti su n d e r w h i c hc o n d i t i o n s ，w eh a v ez i k a ( t ，为) ( o r 磊鼢【岛五) ) s e c t i o n5 ：f u r t h e rr e s e a r c h i nt h el a s ts e c t i o n , 髓g i v es o m eo p e nq u e s t i o n si nt h i s f i e l d ，w h i c ha r es t i l lu n d e rq u e s t i o n 6 山东大学硕士学位论文 1 b a s i cn o t a t i o n sa n dr e s u l t so nb s d e s i nt h i ss e c t i o n ，w ep r e s e n ts o m eb a s i cn o t a t i o na n dl e m m a st h a tw i l lb e u s e di nt h ef o l l o w i n gc o n t e n t s f i xt f 0 ，o 。) ，l e t 眦) ( o s t 卿b ead - d i m e n s i o n a ls t a n d a r db r o w n i a am o - t i o nd e f i n e do nac o m p l e t e dp r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，芦，p ) a n d 五) ( 0 5 s 力b e t h en a t u r a lf i l t r a t i o ng e n e r a t e db yb r o w n i a nm o t i o n ，i e 五= 盯 w | ；8 1 0 ，司) v w h e r e i st h es e to fa l lp - n u l ls u b s e t s w i t h o u tg e n e r a l i t y , i nt h i sp a p e r ， w ea l w a y sw o r ki nt h es p a c e ( q ，j ，尸) ，a n do n l yc o n s i d e rp r o c e s s e si n d e x e d b yt o t 1 l e tl 2 ( o ，z 俨) a n dl 2 ( q ，只p ) t ob et h ef o l l o w i n gs p a c e ： l 2 ( o ，z 殿) 皇协：x ti s 五a d a p t e d 舻v a l u e dp r o c e s s w i t h e f o t 附如 0 i s u c h t h a t o ra n yz i 掣，i = 1 ，2 ；i g ( z l ，t ) 一夕( 勿，t ) i u l z l 一 勿l ，t 【o ，t i ； n o w ，w ei n t r o d u c et h ec l a s s i c a lb a c k w a x ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： k = f + ，t f ( k ，磊，。) 幽一，r 历d 职，。t r ( 2 ) p a r d o u xa n dp e a g ( s e ef 5 】) h a v ep r o v e dt h a t ，硒f u n c t i o n 夕s a t i s f i e s ( h 1 ) a n d ( h 2 ) ，t h e nf o ra n yf l 2 ( n ，p ) ，t h eb s d e ( 2 ) h a sau n i q u ep a i ro f a d a p t e dp r o c e s s e s ( 暑，z ) c 2 ( o ，z ：r ) 工2 ( o ，l n o w ，w ei n t r o d u c ea ni m p o r t a n tl e m m ai nb s d es y s t e m ，w h i c h 硼f i r s t g i v e ni n 4 1 l e m m a1s u p p o s et h a t9 1a n d 啦s a t i s f u ( h i ) a n d ( h 2 ) f o ra n y 氛，黾 l 2 ( q ，p ) ，l e t ( y 1 ，z 1 ) a n d ( y 2 ，z 2 ) b em es o l u t i o n so b s d e ( 2 ) c o r r e - s p o n d i n gt o 健= f 1 ，夕29 1 ) a n d 健= 白，92 虫) ，r e s p e c t i v e l y t h e nt h e r e e x i s t s 口g o n s t a n tc 0s u c ht h a t f p 1 2 + f f i z ：一霉1 2 q _ 0m 瑚 口l 巩 0 ，o re a c h i = 1 ，d l e t x 。i ) 嘲，2b et h es o l u t i o n so ft h ef o h 硎n gs d e s ，r e s p e c t i v e l y , fd x 净玩( t ，雹) 出+ 以( t ，x 。i ) d w t ；t 【0 ，刁 【霸= z w h e r ez ra n db i ，o is a t i s f ya s s u m p t i o n1f o re a c hi = 1 ，2 ( 3 ) n o w ，w et a k ei n t oa c c o u n tt h ef o l l o w i n gk i n do fb s d e s ，w h o s et e r m i n a l v a l u e sa r eg e n e r a t e db y 晒： 巧= 蛾( 碍) + 厂t 鲰( 巧，z ，s ) 如一，r z 二d w $ t 【。，t l j t ( 4 ) 巧= 蛾( 碍) + 鲰( 巧，z ，8 ) 如一。z ： t 【o ，( 4 ) ，t i nw h i c h 屯a x ec o n t i n u o u sf u n c t i o n sd e f i n e do nrs u c ht h a t 包( 曲) 2 ( q ，p ) f o re a c hi = 1 ，2 i n 【1 】c h e ne x p l o r e dt h ec o n d i t i o n so n 电a n d 以u n d e rw h i c hz la n d 露 s a t i s f y 乏。霉2 0 a e t 【0 ，t ) t h a ti st h ef o l l o w i n gc o m o n o t o n i ct h e o r e m 山东大学硕士学位论文 l e m m a2 ( g o m o n o t o n i et h e o r e m ) s u p p o s e t h a t ( y 1 ，z 1 ) a n d ( y 2 ，矛) o r e 琥es o l u t i o n sd ，成册e 例w i t ht e r m i n a lv a l u e so f 圣l ( 珥) a n d 西2 ( 群) r e s p e c t i v e l y , 讥w h i c h 磷a n d 碍a r eg e n e r a t e db ys d e ( 3 ) ( 1 ) i f d p la n d 圣2a r ec o m o n o t o n i ea n d a , ( t ，墨) 0 0 2 ( t ，碍) 0n e t 【o ，t ) ， t h e n 霉。露0 a e te 【0 ，t ) 俐i np a r t i c u l a r , s u p p o s et h a t6 ，以，屯a n d 肌口r e0 1 , 3 ( 1 0 ，卅xr ，冗) 巧圣l a n d 圣2t i r es t r i c t l yc o m o n o t o n i c , t h e n i fa n do n l y i ， 口 露0 2 0o e t e f o ，印 盯l ( t ，霹) oa r 2 ( t ，砰) 0 f t e te 【o ，t ) 山东大学硕士学位论文 3 t h es i m p l ev e r s i o no fc o n t r o lt h e o r e m i n t h i ss e c t i o n ，w ee x p l o r et h ep r o p e r t yo ft h es o l u t i o n 五o fb s d e f i r s t l y , w ec o n s i d e ras p e c i f i cc a w h e r et h et e r m i n a lv a l u eo fb s d ei sa f u n c t i o no fb r o w n i a nm o t i o n 。 r t尸 y t = 垂( 骄) + 夕( k ，历，8 ) d s 一z , d w , t 【o ，卅 ( 5 ) j ij t i nw h i c h 眠i sao n e - d i m e n s i o n a lb r o w n i a nm o t i o ns t a r t i n ga tz t h a ti s p ( w o = z 1 = 1 t h e o r e m1 , i 8 8 t t m e 垂i saf u n c t i o ns u c ht h a t 圣( ) l 2 ( q ，p ) a n dg s a t i s f yi h l ) a n d h 2 ) ，l e t 吼1z ab et h es o l u t i o no fb s d e ( 5 ) l i 圣i si n c r e a s i n g 。t h e n z t 0 i i e t 【o ，t ) 6 i ) y 圣i sd e c r e a s i n g , t h e n 五s0 a e t 【0 ，t ) p r o o f ：b e c a u s e 眦= 二+ z d w , w ec a ne w r i t e i t 口b s d e 磁= 一，r d i v $ t 【o 冈 ( 6 ) t h e n , w ec a nl o o ka t ( y t ，z t ) a n d ( 墩，1 ) t h es o l u t i o n sd ，b s d e 俐a n d 俐r e s p e c t i v e l y s i n c e 圣( z ) a n d 每口他b o t hi n e r e 戚n g , h e n c ec o m o n o t o n i e , a p p l y i n gl e m m a2 加eh a v e 磊0 a e t 【o ，t ) 1 1 山东大学硕士学位论文 l i 圣ni sd e c r e a s i n g , w ec a nr e w r i t e ( 6 1 t w t = 一w o 一( 一1 ) d w , j t t h e n ，( k ，z t ) a n d ( 一m ，一1 ) a r et h es o l u t i o n so ib s d e 俐a n d 俐r e s p e c - t i v e l y s i n c e 西( z ) a n d - - za r eb e t hd e c r e a s i n g ，a p p l y i n gl e m m a2w ec o u l d g e t t h a t 妇 口 互( - 1 ) 0 五0 口e t f 0 ，t ) a e t 【0 ，t ) f r o mn o wo n ，w ee x p l o r et h eq u e s t i o nt h a t 。u n d e rw h i c hc o n d i t i o n sw eh a v e z i k ( r e s p e c t i v e l y 五七) ，f o ra n yc o n s t a n t 七0 i nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m ，w eg i v et h ea n s w e rt ot h i sq u e s t i o n ，w h e r ew er e q u i r et h a t9d o e s n o tc o n t a i nf f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h ee a s et h a t 圣( z ) c 1 ( r ) l a t e l y , w e w i l lg i v eam o r eg e n e r a lc a s e t h e o r e m2a s s u m e 垂e 1i sof u n c t i o ns u c ht h a t 圣( w t ) l 2 ( q ，p ) a n d9s a t i s f y i n gl h i ) a n d h s ) l e t 陬，z t 、b et h es o l u t i o no lt h ef o l l o w i n g b s d e ： ，r，r k = 圣( w ) + 9 ( 互，s ) d s 一磊d w t 【o ，t i ( 7 ) ,it,it 倒1 1 圣( o ) 七，t h e n ( i i ) r y 圣0 ) k ，t h e n w h e r e 七i sdc o n s t a n t p r o o f ：b e c a u s e 五kf t e t 【o ，力 z t s 七 o e t 1 0 ，妁 吼 d r ， 一 2 昕 。 = 哌 山东大学硕士学位论文 c o m p a r ew i t hb t d e ( 7 ) eh a v e k 一七w t = 圣( w ) 一七+ z t 9 ( 乙，s ) 如一，r ( z | 一七) d 阢t 1 0 , t 】 f ed e f i n e y t = k k w t ，- z , = 五一k ，歹( z ，t ) = 9 仁+ t ) ，虿( z ) = 西( z ) 一k z t h e n 露t 互t ) i st h es o l u t i o no f 也e f o l l o w i n gb s d e _ t = 虿( 坼) + z t 醌幽一f r d w t 【o ，卵 a s ( z ) k ，l y eh a v e 矽( 互) 0 ，t h a ti s 虿( z ) 主8a ni n c r c o s i n 9f u n c t i o n ， a p p l y i n gt h e o r e m1 ，w eh a v e - z , 0a e t 【o ，t ) 饥a t 妇 磊2k a e t 【o ，t ) s i m i l a r l y , 垂( z ) k ，埘eh 口钉b - - 圣d ( z ) 0 ，t h 8 t 妇虿( z ) i s8d e c r e a s i n g f u n c t i o n ，a p p l y i n gt h e o r e m1 ，t f ，ec o u l dg e t 口 五k a e t 【0 ，t ) i nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ，w er e m o v et h ec o n d i t i o nt h a t 圣( z ) c 1 ( 兄) ，b u t j u s tr e q u i r et h a tt h e r ei sa to fd i f f e r e n t i a lf u n c t i o n sc o n v e r g i n gt o 圣( z ) u n i f o r m l y t h e o r e m3a s s u m e 圣i s 口f u n c t i o ns u c ht h a t 西( 盼) l 2 ( q ，尸) a n dg s a t i s f y i n g ( h i ) a n d ( h 3 ) l e tt y t ，z ab et h es o l u t i o no b s d e ( 7 ) ： 倒f t h e r ee x i s t 口s e to 包0 ) ) oc c 1 ( r ) ，s u c ht h a t 嚷( z ) _ + 垂( 。) u n i f o r m l y , a se _ o ja n d f o re a c h 0 ，圣：( z ) k ，t h e n 彬eh a v e 五七 n e t 【o ， 1 3 山东大学硕士学位论文 一砂可t h e r ee x i s tos e to f 圣。( z ) ) 。 occ 1 ( r ) ，s u c ht h a t 圣。( z ) 圣( z ) u n i f o r m l y , - - 4o ia n d l o te a c hs 0 ，圣：扛) 七，t h e nt o eh a v e 五七a e t 【o ，t ) p r o o i ：a s s u m et h e r ee x i s t s 口s e to v 。扛) ) e occ 1 ( r ) ，8 t 雪。( z ) + 圣( z ) u n i f o r m l y ，a n d 圣：( z ) 七w i t he a c hg 0 f o re a c hs 0 ，l e t ( 距，z ) b e 地es o l u t i o no fb s d e ( 7 ) w i t hp a r a m e t e r s ( o h ，9 ) b y t h e o r e m2 ，1 0 re a c h 0 ，eh a v e z ko e t l o ，t ) a n da l s ob yl e m m a1 ，t o eh a v ez - 历i n 工2 ( o ，l r ) 0 , 8 _ + 0 t h e r e y o r e ， t o ec o u l dg e t 磊2k 口e t 【0 ，t ) s i m i l a r l y ，t o ec o u l dp r o v et h es e c o n dp a r t 口 f r o mt h e o r e m2a n d3 ，w ec o u l dd i r e c t l yo b t a i nt h ef o l l o w i n gc o r o l l a r y c o r l l a r y1s u p p o s et h a t 西a n d9s a t i s f yt h ec o n d i t i o n s 伽t h e o r e m3 l e t ( k ，z c ) b et h es o l u t i o no b s d e ( 7 ) ： 0 i i 垂( z ) c 1 ( 冗) ，a n d 圣扛) 【口，川，t h e n 互a ，6 1口e t 【o ，t ) ( f o z ft h e r e e z i s tas e to f 圣。( z ) ) 。 occ 1 ( r ) ，s u c ht h a t 垂。( z ) 圣( z ) u n i f o r m l y , _ o ja n d f o re a c he 0 ，圣：0 ) 【口，6 】，t h e nt o eh a v e 口 五【a ，6 | 。n e t 【0 ，t ) i nt h ef o l l o w i n g w eg i v ea ne x a m p l et os h o wt h ea p p l i c a t i o no ft h ea b o v e t h e o r e m s 山东大学硬士学位论文 e x a m p l e1l e t 【y t ，么t jb et h es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gb s d e , k = i w r l + ，t 9 ( 互，s ) d s f t g , d w , t 【。，刁 w h e r e 圣( 霉) = d e f i n e m c 扛，= 袅! + 譬， ：；警：三： t h e nw eh a v e ：o rv e 0 ，圣。( z ) c 1 ( r ) ，圣：( z ) 【一1 ，1 】a n d 垂# ( z ) + i z i u n i o r r n l y ，o , 8e _ 0 t h e r e f o r e , b yc o r o l l a r y1 ，w eh a v e 五【- 1 ，1 】 口 1 5 山东大学硕士学位论文 4 c o n t r o lt h e o r e mo fb s d e s n o w ，w eg i v eam o r eg e n e r mr e s u l to nt h ea b o v et h e o r e m ，w h e r et h et e r - m i n a lv a l u eo fb s d ei sg e n e r a t e db yam a r k o vp r o c e s s ，i n s t e a do fab r o w n i a n m o t i o n s u p p o s et h a tb ( t ，：t o ，明r 卜+ r ，盯( t ，) ：【o ，明r 卜rs a t i s f y a s s u m p t i o n1 l e t 咒b et h es o l u t i o no fs d e 睨卸o ) d r + a ( t ，x t ) d w t ；挺f o ，刁 ( 8 ) 、i oj 【x o = 。 w h e r e 弼i sa o n e - d i m e n s i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，t h e ns d e ( 8 ) h a sau n i q u e s o l u t i o n n o w ，w ec o n s i d e rt h ep r o p e r t yo ft h es e c o n ds o l u t i o n 五i nt h ef o l l o w i n g b s d e ： k = 垂( 晒) + ，t 夕( k ，互，s ) 幽一z r 乃d 眈t i o , t ( 9 ) w h e r ex ti sg e n e r a t e db ys d e ( 8 ) i nt h e o r e m4 ，w ew i l ld i s c u s st h ec o n t r o lt h e o r e mo ft h es o l u t i o n 历i n b s d e ( 9 ) s i m i l a rt ot h e o r e m2a n d3 w ef i r s t l yc o n s i d e rt h ec a s et h a t 圣( o ) c 1 ( r ) a n di nt h el a t e r ，w ew i l lg i v eam o r eg e n e r a lr e s u l t ，w h e r e t h ec o n d i t i o n 雪( o ) c 1 ( 功i sn o tr e q u i r e d t h e o r e m4a s s u m e 圣i sa 勇a n c t i o ns u c ht h a t 圣( 晒) 工2 ( q ，芦，尸) a n dg s a t i s h ( m ) a n d ( h 2 ) l e t 眦，z t 、b et h es o l u t i o no lb s d e 9 ) ， 例可圣i si n c r e a s i n ga n d 盯( t ，z ) 0 ，t h e n 五0 a e t 【0 ，t ) o i ) f f 垂i sd e c r e a s i n ga n d 盯( t ，o ) 0 ，t h e n 互0 a e t 【o ，t ) 1 6 山东大学硕士学位论文 p r o o f ：w ec 帆r e w r i t es d e ( 8 ) i t 髓nb s d e 五= 婚一t 吣，五) 幽一z r 盯( 毛x ) m 4 o t o ，卅 s i n c e 圣( z ) a n dzn 他b o t hi n c r e a s i n g , h e n c ec o m o n o t o n i e ，a p p l y i n