（应用数学专业论文）二阶非线性泛函微分方程的振动性.pdf

摘要 本文研究了几类非线性二阶泛函微分方程的振动性问题，所建立 的一系列振动准则推广并改进了以往的一些已知结果 第一章对泛函微分方程的振动性问题的历史背景与现状及研究 的主要内容进行了的概述 第二章研究了一类一般二阶非线性泛函微分方程的振动性，得出 了该方程振动的充分条件 第三章研究了一类含s t i e l t j e s 积分的二阶非线性中立型泛函 微分方程的振动性 第四章研究了另外一类二阶非线性中立型泛函微分方程的振动 性 第五章利用平均函数，对一类二阶中立型泛函微分方程建立了一 些新的区间振动准则，这些准则不同于已知的依赖于整个区间的性质 结果，而是依赖于区间的子区间列的性质 关键词非线性，泛函微分方程，振动性，中立型，区间准则 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt os t u d y i n go s c i l l a t i o nf o rs e v e r a ln o n l i n e a r s e c o n do r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i a w h i c ht h i st h e s i sb u i l d sg e n e r a l i z e sa n di m p r o v e ss o m ek n o w nr e s u l t s c h a p t e r1i n t r o d u c e sa n ds u m m a x i z e st h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n t s i t u a t i o na n dm a i nc o n t e n t so fo s c i l l a t i o nf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c h a p t e r2s t u d i e so s c i l l a t i o nf o rac l a s so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n do b t a i n s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f o s c i l l a t i o nf u rt h ee q u a t i o n i nc h a p t e r3 ，t h eo s c i l l a t i o nf o rac e r t a i ns e c o n do r d e rn o n l i n e a r n e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c hc o n t a i n ss t i e l t j e si n t e g r a li s s t u d i e d c h a p t e r4i n v e s t i g a t e so s c i l l a t i o no fa n o t h e rc e r t a i ns e c o n do r d e r n o n l i n e a rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n b ym e a n so f t h ea v e r a g i n gt e c h n i q u e ，c h a p t e r5o b t a i n sn e wi n t e r v a l o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n dn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e s er e s u l t sa l ed i f f e r e n tf r o mm o s tk n o w no n e si nt h es e n s et h a tt h e y a r eb a s e do nas e q u e n c eo fs u b i n t e r v a l sn a t u r e k e yw o r d s n o n l i n e a r , f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n , o s c i l l a t i o n ， n e u t r a l ，i n t e r v a lc r i t e r i a 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的成果尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位 或证明而使用过的材料与我共同工作的同志对本研究所作的贡献己在论文的 致谢语中作了明确的说明 作者签名：专塑冶日期：墨! ! ! 年l 月旦日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位 论文，允许学位论文被查阅：学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采 用复印、缩印或其他手段保存学位论文：学校可根据国家或湖南省有关部门规定 送交学位论文 ：竺垒二月一7 - 1 日 硕士学位论文 第一章前言 第一章前言 1 1 泛函微分方程振动理论的发展背景 由于近代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，例如力学、物理学、 生物数学、经济数学、自动控制、通讯理论等等，都涉及到微分差分方程和微分 积分方程因为这些方程比常微分方程更精确地描述了客观世界泛函微分方程 就是这些方程的总称和概括因此对泛函微分方程的研究，不但有重要的理论价 值。而且有实用价值 泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分，在最近 年有了迅速的发展，广泛的应用背景是促使这一理论迅速发展的基础若作为某 系统的微分方程不仅含自变量t ，而且还含有不同于t 的。偏差变元”，通常记为 ，一哟，其中雄) 为时滞偏差，则称其为是带有时滞变量的泛函微分方程 ( r e t a r d e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称r f d e ) 近年来这类系统 大量出现在十分广大的领域中，如：动力系统总存在滞后现象，质点问引力传递 或者是以光速传递的各种信息也存在着滞后现象，还有某些。几何上的问题” “船舶的稳定性问题”。经济学中的问题”，。生物学上的应用问题”，可以说滞 后现象广泛存在于自然科学和工程技术各领域之中 在经济学中价值法则的作用，是由于生产与消费之间的时滞形成的，如果时 滞过长，经济也会出现振荡现象，这也为社会生活所证实工业方面，电磁开关 触头的振动可归结为研究二阶时滞微分方程 ，( f ) + 耐( f ) + 缸( f ) + a ( f f ) = 0 0 1 ) 的解的振动性 出于理论研究和实际应用多方面考虑，学者们大多对r f i ) e 解的存在性、稳 定性、振动性、渐近性及有界性进行研究并在该领域涌现出了大量研究成果，特 别是由时滞引起的方程的振动性，一直被许多研究者所重视，因为它从振动性方 面揭示了时滞泛函微分方程与常微分方程的本质性差异 泛函微分方程振动理论区别与常微分方程的振动理论，它的重点是揭示微分 方程中的偏差变元的出现引起的解的振动性或非振动性例如，一阶线性微分方 程 一 硕士学位论文第一章前言 y 。o ) + p ( f 抄( f ) = 0 ，p c ( 足月+ )( 1 2 ) 的一切解都是定号的，而一阶时滞微分方程 y ( f ) + j ，( f 一三) = 0 ( 1 3 ) 二 具有振动解y = s i n t 这个振动性完全是由滞量要引起的 二 以往很多结果是关于离散分布滞量的情况，而在许多实际应用领域，由于现 实问题的复杂性，用于描述这些问题的模型常常包含着季节性波动因素等影 响因而无论在数学理论上还是在应用意义上，都有必要提出一类更为广泛意义 下的方程，具有连续分布滞量的微分方程本文所考虑的几类非线性微分方程均 为具有连续分布滞量的泛函微分方程 ， 1 2 泛函微分方程振动理论中主要研究的问题 ( 1 ) 寻找保证方程一切解振动的条件，除了常参数的微分方程可以利用特征 方程没有实根来建立振动准则外，通常利用反证法来得出条件 ( 2 ) 寻找方程存在至少一个非振动解的条件，通常把问题转成某空间中的一 个算子方程的不动点的存在性问题，也可以用构造方法导出条件 ( 3 ) 讨论非振动解的分类及各类非振动解的存在准则 ( 4 ) 建立比较定理，用一类己知解的振动性质的方程，通过比较定理来得出 一大类方程解的振动性质，线性化振动准则也属于这类问题 ( 5 ) 讨论振动解的存在准则和不存在准则 ( 6 ) 研究振动解的性质，即零点分布规律和振幅交化规律 ( 7 ) 讨论与解的振动性质有关的解的其它性质，特别是解的吸引性，有界性 和稳定性 ( 8 ) 振动理论的各种应用，特别是生物模型和经济模型上的应用 值得说明的是，基于r f d e 形式千姿百态，关于r f d e 的振动性没有一套完整 的理论体系和现成的方法，因而学者们总是以分门别类的形式对各个l l f d e 的振 动性进行了独立的研究，一般只给出解的振动性的充分条件然而解的振动性的 充分条件并j 唯一，要找到一个“最好”的充分条件是比较困难的，这也是研究 者面临的一个感兴趣的闯题目前对r f d e 的研究主要以分析方法和不动点理论 为主，也有作者从拓扑和各种方法结合的角度进行了探索在一般情况下分析方 法略显成熟且易于接受 2 硕士学位论文 第章前言 1 3 今后研究的方向 泛函微分方程振动性理论体系已取得了大量成果，但以下几个问题尚未突破 或者研究有待深入 ( 1 ) 寻找泛函微分方程的一切解都是非振动的条件对于方程 ) ，- ( f ) + p ( f ) ，( j 嗄砸) ) ) = 0 o 4 ) 还未见这类成果 ( 2 ) 研究泛函微分方程存在振动解的条件此问题尚待深入。研究时滞微分 方程 ) ，( + p ( 1 ) r o f ( 1 ) ) ) = o0 5 ) 振动解的存在性是有价值的 锄时滞微分方程组解的振动性和非振动性的深入研究 ( 4 ) 研究时滞引起的非振动性以往文章中往往强调时滞引起的解的振动性 质，但时滞的出现也能引起解的非振动性 1 ( 5 ) 二阶时滞微分方程解的振动性与相应的边值问题的联系尚待进一步研 究 ( 6 ) 对振动解的零点分布、振幅变化和渐近性质的进一步研究，目前仅有零 星工作 ( 7 ) 对具有本质上非线性的中象项微分方程的进一步研究揭示中立项的裴 线性带来的对解的性质的影响 ( 8 ) 对一些从实际闯题中提出的特殊形式的泛函微分方程的研究例如对时 滞依赖于状态的方程 y 一( r ) + p ( f ) ) 咿一f o ，) ) = 0( 1 6 ) ( 9 ) 对于泛函偏微分方程解的振动性质的研究，已有工作还不够深入例如 平均法得到的些结果，某些基本问题尚待解决例如尚未建立常参数的时滞偏 微分方程解的振动性与特征方程( 莱超越方程) 的联系关于正解的存在性以及 用偏锾本身的方法来研究解的振动性等 ( 1 0 ) 时滞差分方程振动理论的进一步研究，特别是应用广泛的时滞偏差分方 程的振动性只有l o 年左右的历史，进一步研究应与离散动力系统联系起来 ( t 1 ) 发展随机微分方程( 有时滞或没有时滞的) 解的振动理论众所周知， 随机微分方程的定性研究已有许多工作，特别是随机系统的稳定性方面但对于 随机系统解的振动性质的研究还只有零星工作 3 硕士学位论文第一章前言 1 。4 泛函微分方程振动理论中涉及的概念 在振动理论中，通常假定讨论的解夕( f ) 在半轴哆，+ m ) 上存在且对每个r 弓， 有蛐p ( i 灭叫：f n 0 ，即非平凡解 在泛函微分方程振动理论中，通常采用下列定义 定义1称一个方程的解y 酗) 为最终正解( 或最终负解) ，如果存在 0 ， 使得当t 2 时y ( t ) 0 ( 或y ( t ) s t o ，我 们称函数日c ( d ，固属于函数族x ，如果满足： 日( f f ) = o , t f d ；日( f j ) 0 ，( ，回d o 4 硬i - 学1 论文 第二章一类二阶非线性泛函微分方程的振动性 第二章一类二阶非线性泛函微分方程的振动性 2 。1 引言 近年来非线性二阶泛函微分方程的振动性问题引起了广大数学工作者的广 泛关注，例如文献 6 、 7 、 8 、【9 分别研究了非线性微分方程 ，( f ) + p o ) ，( 】稚) ，f ( f ) ) ) g ( 一( 0 ) = 0 ，t 2 t o 0 ， ( 2 d 呻) 6 ( j ：o ) y o ) ) i + p ( f u ( 川) r ( t ) ) ) = 0 ，t f o ，( 2 2 ) 昏f ) 雠渺( f ”删f ( ) + 删，( r ( 国) = 0 ，t 2 ，( 2 3 ) ) 6 1 0 皤) 矽( f ) ) i + 砸) ，( x p ( f ) ) ) = 0 ，f f o( 2 4 ) 的振动性。并获得了一些很好的结果 本章考虑一类更一般的二阶非线性微分方程 徘) 6 雠) y ( f ) ) t + 加k 撇) ) + q ( t ) ，( f ) ，盯( f ) ) ) = 0 ，t 毛( 2 5 ) 获得了该方程振动的充分条件，改进了以往一些结论 对于方程( 2 5 ) 以下条件始终成立。 “) 口，6 仃c 1 ( 【f o 佃) 砚删 o 一( f ) 0 , x b 0 ，l j i i l 删r - - 佃； ( 4 ) p ，q e o f f t o ，佃) ，【o + a o ) ) ，f c ( r 2 , 内，z ，五，g c 职，固，并且满足 ，仅力正( 功厶【，) ，z o ) k i o , a ( y ) y 乞 o , g ( x ) l x k 3 o 向，k 2 ，屯 为常数； ( ) 存在f ( f ) v ( t ) o ，使得丽丧万量 0 ，量为常数 2 2 主要结果及证明 定理2 1 若条件( 4 ) 一( 丘) 成立，存在函数日e 置掣识s ) 非正连续， 仿 硕士学位论文 第二章一类二阶非线性泛函微分方程的振动性 j i i c ( d o ，固， ，c 1 ( ， ) ，( o + ) ) ，满足： 拳曲+ 跏) 等= 瑚劫厕啡d o ， 并且 骢5 u p 面南j ：陋以o v ( s x k 锄+ 屯p ( 回) 一i 瓦1 “啪2 ( f ，d 协= 佃( 2 7 ) 则方程( 2 5 ) 振动 证明：若f ) 为方程( 2 5 ) 的非振动解，不失一般性，不妨设为最终正解，即 存在 - t o ，当f t i 时，川) 0 ，和( ，) ) 0 ，h “f ) ) 0 由( 2 5 ) 得 ( 呻) 6 ( z ( r ( ，) ) = 一加) g ( 印) ) 一q ( t ) f ( x p ) ，盯( r ) ) ) s - k , p ( t ) x ( t ) 一g ( f m 似) 五( x p ( ，) ) ) s - k 3 础) 川) 一生屯砸) x p 0 故口( f ) 6 ( 川) ) r ( r ) 为单调递减的首先来证明一( f ) 0 若不然，则存在屯t l ， 一( f 2 ) 0 ， 一( f ) s 而- - c 丽- - 丽c s 一缸， 故x ( t ) x ( t 2 ) 一k c ( t - t 2 ) 寸( f j 佃) ( 2 8 ) 这- 与x ( t ) o 矛盾，因而一( f ) 0 , t t 1 再由( 4 ) 可得，( f ) s 0 令 w ( f ) = 蝴箐雕f i ， 明列f ” ( 2 9 ) 则 w o ) = 矿( f ) ! 堡鼍 ；：蓦等塑+ v o ，坠堕堕笔：；君害丛丛一，以) ! ! 萼簧；2 等塑一( ( f ) ) ，( f ) 硕士学位论文第二章共二阶非线性泛函徽分方程的振动性 = 等堋一印，絮群一啪熊篡幽一粼一o m ， ( 2 1 0 ) 由( 4 ) ，他) 得 絮铲号铲却，玎f ( f ) ) 砌) “ 由( 以) 得 业铲趔等铲业2 k l k 2 q ( t ) 颤f ( f ) ) 蚓p o ) ) 而j e ( t ( o ) f ( f 器，o = 揣哟 老w 2 ( f ) 而k 6 w 2 ( f ) 。呼瑚抛) ”。哟” 从而 1 ( f ) 酏加) + k l k 2 q ( t ) ) v ( t ) + 鬻呻) - 鲁w 2 ( f ) ( 2 1 1 ) 上式两边同乘以( ，j ) 并从r 蛩l t ( t t 1 ) 积分得 f 珂 f 习v ( d ( 毛屯g o ) + 毛p ( s ) ) 凼 因而 s f r o , , s 炒舭+ p ( f ，曲静舭一q 日( f 回挚 = 日( f ，r ) ，+ f 唔饵( f 呦+ 日t s ) 鼍争p ) 凼一q 日以曲专 = 日( f 州d f 地回厕西地f 盹s ) 号笋 堋，一一【焉c 力哇疆酗叫2 丞+ 去f 蝴2 以啪 蔓盹z 3 w ( r ) + 去f 蝴2 ( f ，油 7 ( 2 1 2 ) 硕士学位论文 第二章一类二阶非线性泛函微分方程的振动性 4 ( l f ) = f 【日( f s ) “s ) 以七：“s ) + 岛p ( 呦一竺! 等罢盟协h ( t ，刀w ( d 再由昙但( f ，呦s o 可得 a ( t t ，f ) 日( r p ( ，1 ) 日( r ，t i w “m h ( t ，t o ) w ( t 。m ( 2 1 3 ) 对f f i 有 a ( t o ，f ) = 彳( f o ，f 1 ) + 4 ( f l ，f ) n ( t , t o ) f ：v ( s ) ( k t k 2 q ( s ) + k 3 p ( s ) ) d s + 1 w ( t 。巾 ( 2 1 4 ) 从而 熙唧i 南咿) v ( s x k - 屯荆+ 岛p 一去妒 ) e ，如x 屯鼋o ) + 屯p ( s ) l 蠡+ p “) | ( 2 1 5 ) 这与( 2 7 ) 矛盾故方程( 2 5 ) 振动 由定理2 1 不难得出以下定理： 定理2 2 把定理乏1 中的( 2 7 ) 式变为 熙s u p 矗日( f ，s ) v ( s x k , k ：q ( s ) + 岛眦= 佃 和骢唧反吣) i 1 2 ( f ，渺 0 ， o 0 ，x g ( t ，善) 】 0 令y ( f ) = x ( f ) + p ( f ) “f ( f ) ) ，则) ，o ) o 王t 灭f ) h f ) 于是y g ( t ，善) 】 0 ，由 ( 3 6 ) 式方程( 3 5 ) 变为 【砸) 6 ( f ) 沙( ，。( f ) ) 】 = 一毫f q 、 。x 瞻q ，o ) d a ( o 一r 讹善v ( 出( f ，孝) 】g ) s 0 ( 3 9 ) 可证y ( f ) o ，否则存在t t l ，j ，( 乃 o 故( 3 9 ) 变为 【口p ) 矗( 川) ) ，- o ) ) 】+ ，e 日睁，善m g ( f ，善) 】d 矗g ) o 0 1 2 ) 由f ( f ) s f 和少( r ) 0 知 j c 【g p ，善) 】= k g ( t , o - p t g ( t ，o x ( 订l g ( t ，善) 】) y ( e t e ( t ，f ) 】) 一出( f ，o l r ( f l g ( t ，d 】) = ( 1 一r i g ( t ，善) 】l 畎f 【g 伪善) 】) ( 3 1 3 ) 适当选取常数c 0 使j ，( c ) 0 。则存在f 22 f i ，当f t 2 时f l 酏，善) 】2 c ，故 黼( f ，0 1 ) y ( o ，再由( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 得 【口( f 弘( x ( f ) ) w ( f ) ) 】+ 乃仰r 姒绷一p 【她纠o 0 1 4 ) 对上式从f 2 到f 积分得 顽f 弦o ( f ) ) j | i 沙( f ) ) s 孵：) 矗( 坪：舳( f 2 ) ) 一勿吼e 如，d ( 1 一出 翱弦凼 - 叫( ，一佃) i l 0 1 5 ) 硕士学位论文 第三章一类含s t i d t j 黜积分的二阶中立型泛函微分方程的振动性 故矗( f ) ) o ( t 乃和定理3 1 类似可以证出j ，( ，) 0 由g ( f ，口) o , e ( t ) 0 知y ( f 【g ( f 善) 】) y ( r g ( t ，口) 】) ，再由0 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 得 【砸以雄) ) 杪( f ) ) 】 s a r q ( t ，善) ( 1 一t g ( t ，善) 】沙( f 【g ( f ，善) 】) ( 妇( 善) - a y o ( f ) ) o 巾( f ) ) o ，令如) = 川) + 鼽( r ) 颤f l ( 唠， i = 垃，刀则舛 o 且卵) 垧f 2 f i 由( 4 3 ) 有 俄啪( 川) w o ) ) 】 岬( ，m ( 砸) 珑棚6 a r ( f ) ) ) ) g p ( f ) ，一p ( f ) ) ) s l k 2 和( f ) ) 砸) o 或少( f ) o ，存在f 22 f l 使得少) ) o ，再由t ( f ) 0 i = l 令 - - 舻掣裂产一。 则有w ( f ) 0 ，并且 = 警警一鼍然俨煳炒 j 【o ，p ( f ) )母2 p ( f ” 。一“ 一 ( 4 ，5 ) 蔓一! 垒2 五q ! 垒塑五! 型笪1 2 2 超! 兰竺! ：! 生! 1 2 塑一z 生! ! 迪：! 堕w “) 一墨i ( 盯( f ) ) y ( a ( f ) ) ，c k , 如x ( o ( r ) ) 们) 母p ( f ) ) s 瑙9 2 q ( t ) ( 4 6 ) 对( 4 6 ) 从f 2 到f 积分，并由条件铆得 坝f ) 的2 ) 一c k x k c k x k 2 f 如删佃) ( 4 7 ) 坝f ) 的2 ) 一：【如删佃) ( 4 7 ) 这与w ( t ) 0 矛盾，故川) 是个振动解 ( i o 假设y 。( f ) o ， 则存在f 22 ，使得 【呻) 6 0 ( f ) ) j lo ，( f ) ) 】一c k ；足：x ( a q ) ) c q ) 吒鬈。置：三g o ) = - a q q ) ( 4 8 ) 其中口：c k i k 2 _ _ _ 型1 o 4 对上式从f 2 到f 积分得 砸弦( x o m s 砸：) 6 ( 她) 飙y ( f ：h a q ( u ) a u ( 4 9 ) 硕士学位论文 第四章类二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性 因此刈( ，) ) 一砑勃稚净，由条件3 ) 得 州矿( _ 4 ( 口【f 1 ) 圹u 诳) 对( 4 1 0 ) ) 叭t 2 到f 积分，并由条件4 ) 得 一 “1 0 ) 川) 灭f z ) + 氏矿( - p - 1 ( i 删吩f g 灿专一，f 一佃- ( 4 1 1 ) 这与j ，( f ) o 矛盾i 因此，= 0 从而规埘= o 定理得证 倒l 考虑中立型微分方程 2 - 砸雄) ) 】+ 专争+ 去俐 tp 2 如( 雄) ) 】( ，) + 寿+ 寺畸+ 1 ) ) 】3 t + e 鬲1 丽妒仰+ d + 啦+ 1 ) 】；。，f 2 膏 此方程满足定理4 1 的全部条件，因此它的解或者振动，或者趋于零 定理4 2 若条件d 一3 ) 和5 ) 成立，则方程( 4 3 ) 是振动的 证明：设蝴是方程“- 3 ) 的非振动解，不妨设川) 为最终正解，则存在f l t o 当f f l 时有啪 0 ，h o ) o 硬呻) ) 0 ，j ，( f ) 0 由定理4 1 的证明可知 少( f ) o 或少( f ) o 矛盾故方程( 4 3 ) 是振动的 例2 考虑中立型微分方程 华眦，+ 去争+ 击删h 蚓1 t 4 唧x t ) 而1 - o ， t 2 2 ，口为正常数 此方程满足定理4 2 的全部条件，故它是振动的 注：在文献 1 8 和c 1 9 中需要条件o ) 0 ，在本章中去掉了这个限制 硕士学位论文第五章一类二阶中立型泛函徽分方程的区问振动性 第五章一类二阶中立型泛函微分方程的区间振动性 5 1 引言 关于中立型泛函微分方程解的振动性已经有了许多成果，但是对于中立型泛 函微分方程解的区间振动性研究成果还很少非线性时滞微分方程 【p ( f ) ) ，( f ) 】，+ q 姘( ) ，( f ( f ) ) ) g o ，( 衍= 0 ，气。 ( 5 1 ) 非线性常微分方程 d 钞( f ) 】稍矿( 贝，) ) 9 0 ，( f ) ) = 0 ，f ( 5 2 ) 线性常微分方程 嗍沙( f ) 】啡) j 稚) = 0 ，t f o ， ( 5 3 ) 已经有许多学者以不同的方法研究过了，例如 3 2 - - 3 9 然而，大部分的已有 的这些振动准则都包含p 与g 的积分，因此要求己知p , q 在整个【f o 佃) 上的性 质根据s t u r m 分离理论，如果存在阮，扣d ) 的一列子区问h ，魏】，当q 一+ 时， 使得对每个f 方程( 5 3 ) 存在一个解在心，岛】上至少有两个零点，则称方程( 5 3 ) 的每个解振动，无论方程( 5 3 ) 在区间【f o ? 鼬) 的其余部分性质如何也即方程( 5 3 ) 的每个解振动( 又州区间振动) 的充要条件是方程( 5 3 ) 存在一个解在区间h ，4 】 上有两个零点 k o n g 4 0 把这个理念应用到振动性上来并建立7 - - 阶线性微分方程( 5 3 ) 的 ! 区间振动准则，但这些准则不适合非线性微分方程( 5 2 ) 近年来，l i 和h u o 【4 6 ，4 7 ，l i 和a g a r w a l 4 0 _ q 5 ，l i 和c h e n g 4 8 ，l i 4 9 和z h u a n g a n dl i 5 0 】 进一步研究了非线性微分方程的区间振动准则。 文献 2 0 就二阶非线性中立型微分方程 【蝴+ 删娟叮( f ) ) 】o v 饼9 1 0 ) 】，如：( f ) 】) = o , t 2 t o ， ( 5 4 ) 在阮，相d ) 上详细地总结出了一系列不错的振动判定准则，本章在此基础上以及 在以往文献的启发之下，利用通常的r i c a t t i 变换以及完全平方技术，通过考虑 硕士学位论文第五章一类二阶中立型泛函微分方程的区间振动性 参数函数日( f ，s ) 七o ) ，去掉了文献 2 1 q a 9 吁 o h ( t ，s ) o s o ，使得脚i n f f ( u , u ) c ； m + + ”o ( 4 ) 口c ( t o ，+ ) j 强! m 盯( f ) = 4 - o o 为得到本章结果，首先给出如下引理： 引理若印) 为方程( s 4 ) 的非振动解，则：f ( 0 z ( 0 最终为正 其中z o ) = 】砸) + p ( f ) 蚓p ( f ) ) ，t t o ( 5 5 ) 证明：不失一般性，不妨设蝴是方程( 5 4 ) 的最终正解，由条件( 以) 和( 以) 知存在充分大的t o ，使得啪 0 如( f ) ) o 札毋( ，) l 0 0 = l 2 ) ，t t ，再由 ( 鸣) 得，( 幽o ) 】 观o ) 】) 0 ，于是有 ，+ 砸) 0 ，矿( f ) = 一驰v ( 巩毋( ，) 】，观乳( f ) 】) 0 ，tt t 且可证明，( f ) 0 ，t t t 事实上，若存在f ：，使得( f 2 ) 0 ，则当f f 2 时，( f ) 一( f ：) 0 再 由甙f ) 不恒为0 知，存在f 3 t 2 ，使得，( f 3 ) o ，且有 ， ，( f ) sz ( t 3 ) ，t 2 t 3 ( 5 6 ) 对其a t ，到f 积分得 z ( o z ( 毛) + ( 岛) ( f f 3 ) ( 5 7 ) 令f 哼佃，并注意到一瓴) 0 矛盾，引理得 证 硕士学位论文 第五章一类二阶中立墅泛函微分方程的区间撮动性 5 2 主要结果及证明 定理5 1 若存在函数何e 置 ，也c ( d o ，尺) ，j ，v e c ( 【f o ，佃) ( o ，佃) ) 满 假) 昙饵( f 蝴) ) + h ( t 卿鬻= ( f d ，( f ，曲d o ； 如) 丢 ( f ，s 荆+ h ( t ，s 弦等一也( f 机识e d 0 如果对充分大的瓦2 f o ，都存在发散的递增正数列( q ，纯 ，( c ) 瓴g 口- 0 如o ) ) o 如( f ) 】 o o = 1 , 2 ) ，( 卅赢( f ) 】，地( f ) 】) o z ( f ) o ，( r ) o ，( f ) o 可知。骢：( f ) = 三，工为有限正数或+ 硕士学位论文 第五章一类二阶中立型泛函微分方程的区间振动性 ( f ) 若l o ： ，一 z ( o 三 ( 0 若l = + o o ，则 l i r ah f f ( x g , ( o l , x 9 2 ( o d2l i n ti n ff ( z ( t ) , z ( t ) ) c o 叶州 = ( f ) t 十啪 z ( f ) 蚍令m = m i i l 警，务则存在充分大眦执髑 艘唑娑趔2 肘 峨f 2 ( 5 1 1 ) ：( f ) 。 。 由( 5 1 0 ) 、( 5 1 1 ) 式得 川) s 嚣螂一m v ( t ) q ( t ) 一等砧屯 x c ( s 1 2 ) 式以s 代替f - 两边同乘日( ，s ) 七o ) 然后从五到f ( 屯五 五c f 2 ) 积分得 m 9 吣) k ( s ) v ( s ) q ( s ) c b 一肌渊( 蛐+ j ：眺m 等w o ) 凼一i ：曼若蛾2 ( s = 日( f ，五顺五) w 何) + 曙饵( ，啪( 呦+ 日( f ，回j | 矧w ( s 一等笋w 2 0 = - i ( t 础( 墨一j ：h a t , s ) w ( s ) d s - j ：等产矿( 蛐 = 日( f ，五) i ( 五) ，r ( 正) + 丢j ；芸黜国 硕士学位论文 第五章一樊二阶中立型泛函徽分方程的区伺振动性 因而 一l ： 降专鼯。，弘 m j ：日( ，啪心) g ( 曲凼s 日( f j i 佤) r 何) + 专j i 暑罢箬蕞争( 5 1 3 ) 令瓦= 巳，t = 啼虻，可以得出 窖p ( 6 - ，s 弦o m 回q ( s ) a s 日( k ，q ) k 7 s 量瓴，+ 丽e 瓮麓凼 ( 5 1 4 ) 同样地，对( 5 t 2 ) 式两边同时乘以日 f ) _ | ( 曲，然后从f 到瓦瓴五 五2 q f 2 ) 积分可以锝出 m h b 雌吣憎q 啪 s 省( 酗顺瓦) + r l 群勰凼 令t = 五一，毛= 巳得 ( 5 1 5 ) 淼e 日瓴以烨脚舭 s 。瓴) 啡) + 石甚丙e 糍凼 ( 5 6 ) 现在可以断定方程( 5 4 ) 的每个非平凡解至少有一个零点( q ，吒) 若不 然，根据假设耶) o ，将( 5 1 4 ) 和( 5 1 6 ) 二式相加得 万者e 日 口- 州蝴o ) 凼+ 万考p ( 6 l ，s ) k ( s ) v ( s ) q q 兀，j e ，故它的每个解具有任意大的零点因而7 y 程( 5 4 ) 振动 若砸) 是方程( 5 4 ) 的最终负解，则可令y ( f ) = - x ( o s f l t y 程( 5 4 ) 变为 d ，( f ) + p ( ，沙p ( f ) ) 】_ + 矾f ) ，o 协o ) 】，j 位：( f ) 】) = o ， ( 5 4 ) 掌 其中，+ ( j 噍g 。( f ) 】，j 佰：( f ) 】) = - f ( _ 地( f ) 】，一j 佰：o ) 】) 一 可见y ( f ) 是方程( 5 4 )