（概率论与数理统计专业论文）基于加号逆理论的指数分布加速寿命试验的最优设计.pdfVIP

摘要 步进应力加速寿命试验的最优设计问题早在6 0 年代就已提出，r m i l l e r ，w n e l s o n 和d s b a i ，m s k i m 、s h l e e 分别应用m l e 的理论，对指数分布讨论了 二个应力情况的最优设计问题，程依明在1 9 9 4 年又推广至一般k 个未知参数、k 个 应力情况的步加试验的最优设计问题本文是在应力个数和未知参数不相等的情况 下，以m l e 渐近方差最小为准则，运用加号逆的理论，解决指数分布时k 个应力1 个未知参数情况的最优设计问题，并以加号逆的理论为基础，向指数分布下竞争失 效产品加速寿命试验以及有线性约束情况下步进应力加速寿命试验的最优设计问题 进行推广并且，针对每一种情况进行了数据模拟，结果显示，这些理论和方法在 实际运用中是可行的和有效的 关键词t 指数分布，寿命试验，步加试验，极大似然估计，加号逆，渐进方 差，f i s h e r 信息量，最优设计，竞争失效产品，凸规划 a b s t r a c t t h es t e p - s t r e s sa l t ( a c c e l e r a t e dl i f et e s t ) i st h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d i nr e l i a b i l i t ys t a t i s t i c s t h ep r o b l e mo fo p t i m a ld e s i g nf o rs t e p - s t r e s sa l th a s b e e np r o p o s e de a r l yi nt h e6 0 so f2 0 s tc e n t u r y r m i l l e r ，w ，n e l s o na n dd s b a i ， m s k i m ，s h l e e ，a p p l y i n gt h et h e o r yo fm a x i m u nl i k e l i h o o de s t i m a t o r ( m l e ) * s p e c t i v e l y , d i s c u s st h eo p t i m a ld e s i g np r o b l e mf o re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o no ft w o s t r e s s c h e n g y i n g m i n gg e n e r a l i z e dt h er e s u l tt ot h ec o n d i t i o n o fkp a r a m e t e r sa n dk s t r e s s e s t h i sp a p e r ，c o n s i d e r i n gt h ec o n d i t i o nt h a tt h en u m b e ro fs t r e s sa n dp a r a l n - e t e ri sn o te q u a l ，u s i n gt h ep r i n c i p a lo fm i n m a lm l ea s y m p t o t i cv a r i a n c e ，a p p l y i n g t h et h e o r yo fm o o r e - p e n r a s ei n v e r s e ，s o l v e st h eo p t i m u md e s i g nf o re x p o n e n t i a ld i s - t r i b u t i o n t h i sp a p e ra l s og e n e r a l i z e st h er e s u l tt oo p t i m a ld e s i g nf o rs t e p - s t e s s a l tw i t hc o m p e t i n gc a u s e so ff a i l u r ea n ds t e p - s t e s sa l tu n d e rl i n e a rr e s t r i c t p r a c t i c a ld a t as i m u l a t i o mi l l u s t r a t et h ep r o p o s e dm e t h e o di sf e a s i b l ea n de f f e c t i v e k e y w o r d s ：e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，l i f et e s t i n g ，a l t ( a c c l e r a t e dl i f et e s t i n g ) ， s t e p - s t r e s sa l t ，m l e ( m a x i m u ml i l d i h o o de s t i m a t i o n ) ，m o o r e - p e n r o s ei n v e r s e ， a s y m p t o t i cv a r i a n c e ，f i s h e ri n f o r m a t i o n ，o p t i m u mt e s tp l a n ，p r o d u c tw i t hc o r n - p e t i t i o nc a u s e sf a i l u r e ，c o n v e xp l a n 、 1 l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意 作者签名。摩盏逾日期；白串垒l 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名夕髫筏知日 导师签名 日期：知哆6 ，b 日期： r 馆办 妒川 第一章绪论 随着科学技术的发展，产品的更新换代的速度越来越快，这就要求我们在最短 的时间内掌握产品的一些质量信息，但是高可靠长寿命的产品在我们生活中已经随 处可见了，它们在正常工作条件下寿命能达到数万小时以上，对于这类高寿命产品， 一般的寿命试验就不合适了，这就要求改进试验和统计分析方法，因此加速寿命试 验方法就得到了重视和广泛的应用，应用加速寿命试验可以节省费用、缩短产品开 发周期 加速寿命试验是指在保持失效机理不变的条件下，把样品放在比实际使用条件 更严格的条件下进行试验，以此来加速产品失效通过加速寿命试验，可以快速查 明产品的失效原因，也使高可靠、长寿命产品的可靠性评定成为可能 加速寿命试验按照应力施加方式的不同常分为三种类型，恒定应力加速寿命试 验( 简称恒加试验) ；步进应力加速寿命试验( 简称步加试验) ；序进应力加速寿命试 验( 简称序加试验) 恒加试验是选择一组加速应力水平，如岛，岛，鼠，它们都高 于正常应力水平岛，并且假定岛 & 鼠将一定数量的样品分为k 组，分 别放置于每一个加速应力水平下进行寿命试验，直到有一定数量的产品失效为止；步 加试验是先选定一组加速应力水平，如岛，岛，鼠，并且满足s o 毋 瓯 试验开始时，将所有的受试样品置于应力水平岛下进行寿命试验，试验持续一段时 间( 如持续丁1 小时) 后将发生失效的样品退出试验，把应力水平提高到岛，将未失 效的样品在应力水平s 2 下继续进行寿命试验，如此继续下去，直到在应力水平鼠 下有一定数量的产品失效则停止整个试验；序加试验与步加试验基本相同，不同之 处仅仅在于序加试验施加的加速应力水平将随着时间连续上升，即应力水平是时间 变量的单调增加函数上述3 种加速寿命试验各有优缺点首先，从试验持续时间 来看，恒加试验所需试验时间最长，步加试验与序加试验可使样品失效更快一些；其 次，步加试验和序加试验可以减少受试样品数；最后，从试验实施和试验数据处理来 看，恒加试验方法操作简单，数据处理方法较为成熟 步加试验作为一种重要的寿命试验方法，在试验安排( 设计) 时要进行前面考虑 首先，要选择对产品失效起促进作用的加速应力，并且这个应力要容易进行人工控 第一章绪论 华东师范大学硕士论文2 制，有适当的加速模型；其次，在不影响产品失效机理的情况下，确定加速应力的取 值范围，并在此范围内合理安排应力水甲数及应力水平；最后，确定参试样品数，制 定应力转换时间及试验停止时间等 加速寿命试验的最优设计问题早在2 0 世纪6 0 年代已被提出，并取得了一系 列较成熟的结果r m i l l e r ，w ，n e l s o n 1 1 和d s b a i ，m s k i m ，s h l e e 2 】分别应用 m l e 的理论，对指数分布讨论了二个应力情况的最优设计问题，不同的是：【1 】为完 全样本，【2 】为截尾样本，所以【2 】是1 的推广程依明( 1 9 9 4 ) 又对指数分布讨论了 一般k 个未知参数的加速寿命方程下，k 个应力情况的步加试验的最优设计问题 因此，程依明( 1 9 9 4 ) 1 3 】又可以看成是【1 【2 的推广在实际中，应力个数和未知参数 的个数并不一定相等，本论文第二章是在一般1 个未知参数的加速方程下，以m l e 渐近方差最小为准则，运用加号逆的理论，解决了指数分布时k 个应力情况的最优 设计问题 竞争失效是产品的一种重要失效模式，在可靠性理论中，产品丧失所规定的功 能称为失效对于大型产品，由于其内部结构及其外界工作环境的复杂性，引起产品 失效的物理、化学原因往往有多种，若发生任何一种原因均导致产品失效，称此产 品为竞争失效产品，导致产品失效的原因称为产品的失效机理例如，在电缆线的 寿命试验中，导致电缆线失效的原因有：电缆线被击穿、漏电流指标超过规定临界 点及人为断开等，其中任何一种原因称为产品的失效机理本论文第三章在第二章 的基础上，运用与之相似的理论，得出了竞争失效产品恒加试验和步加试验的最优 设计的相关理论 在实际实施加速寿命试验时，有时不仅要考虑应力水甲数、各应力水平下试验 产品截尾数和试验截尾时间等，在一些大型的加速寿命试验中，还要考虑试验费用 的问题，即在控制一定费用的情况下，考虑加速寿命试验的最优设计问题本论文 第四章讨论在有一定线性约束的情况下( 即控制费用) 的情况下步进应力加速寿命 试验的最优设计问题 第二章指数分布k 个应力1 个未知参数的最优设计 2 1 引言 步进应力加速寿命试验的最优设计问题早在6 0 年代就已提出，r m i l l e r ，w n e l s o n 1 】和d s b a i ，m s k i m ，s t t l e e 2 1 分别应用m l e 的理论，对指数分布讨 论了二个应力情况的最优设计问题，不同的是。【1 】为完全样本，【2 1 2 为截尾样本，所 以【2 】2 是【1 】1 的推广程依明0 9 9 4 ) 又对指数分布讨论了一般k 个未知参数的加速 寿命方程下，k 个应力情况的步加试验的最优设计问题因此，程依明( 1 9 9 4 ) 3 1 又 可以看成是【1 1 1 2 1 的推广 在实际中，应力个数和未知参数的个数并不一定相等，本文是在一般1 个未知 参数的加速方程下，以m l e 渐近方差最小为准则，解决了指数分布时k 个应力情 况的最优设计问题因此本文又可看作是【3 】的推广 若设岛，s 1 ，瓯为应力水平，其中岛为正常应力水平a 皇( s ) ， = 0 ，1 ，k ，其中曲( s ) 为应力水平s 的已知单调函数所以不妨设4 0 l 也 饥n 为样本容量，矗为应力水平最改变成s + 1 的时刻( t o = o ) ，i = 0 ，1 ，k 一1 仉为整个试验的结束时刻，只( ) 是均值为0 1 的指数分布的分布函 数，n l 为应力水平s 下失效的产品数n - i 兰r $ n ，? r e “- - n e n t “为试验样本在应力 水平s 下的第j 个失效时间，j = 1 ，2 ，啦，i = 1 ，2 ，k 0 为未知参数0 的m l e ，a s v a r ( 0 ) 是p 的渐近方差要注意的是t 在定时截尾试验时，兀= t ， i = 1 ，2 ，一，k ，且扎l + n 2 + + n + 扎c = n ，丌l + 丌2 + + 丌+ 丌c = 1 ( 一) 基本假设 a i ：在应力水平s 下，产品寿命t e ) c p ( 九) ，t = 0 ，1 ，k a 2 ：产品的平均寿命哦与应力水平最之间满足如下的1 个未知参数的一般 加速方程。 l n ( 0 , ) = f l o + 1 3 1 | ( b i + 阮研+ + 觑一1 程1 ， t = 0 ，1 ，2 ，k ( 2 1 ) a 3 ：产品的残余寿命仅 第二章指数分布k 个应力1 个未知参数的最优设计 华东师范大学硕士论文4 ( 二) 基本引理 由假设a 1 ，a 2 可知，样本在k 个应力下的寿命分布为； ，怪二， 0s n 7 1s 掣 下2 ( 2 2 ) 靠一1 y 2 f 2 当 胆 。如；疗小川_-叫 。 ， r 第二章指数分布七个应力z 个未知参数的最优设计华东师范大学硕士论文7 所以 由引理2 1 i ( 1 ) 知p 的f i s h e r 信息矩阵为 ， ”t 靠 耋。) ：| 9 ( 丌1 ，一，7 r k ) = n a s w ( o o o ) = n 舳v a r ( 扁+ 虞加+ + 磊1 有1 ) = n a 8 v a r ( 西7 而) = n 而7 ，一1 而= 而7 ( a r ) + b 一1 a + 而 其中最后一步成立是因为( r k ( a f 。) = ) i - 1 ： = = ( a b a 7 ) 一1 = 【a b ( a b ) 7 】一1 【( a b ) 7 + 【a b ) + = 【( a b ) + 】7 ( a b ) + ( 【( a b ) 下a b 】一1 ( a b ) 7 r ( 【( a b r a b e 一1 ( a b ) 7 ) ( ( b a 7 a b ) 一1 b j a 7 r ( ( b a r a b ) 一1 b a r ) ( b 一( a 7 a ) 一1 a 7 厂( b k ( a 7 a ) 一1 a 7 ) ( b 一 a + ) r ( b 一 a + ) = ( a + ) r b 一1 a + 记b 一5 = ( 6 l ，巩) ， 其中b ，= 了杀，o ，o ) 7 ， 6 2 = ，b k 2 ( o ，o ，壳) 7 则 = 毹 删； 哪 。 。 、， 疗；珐 卉：珐 l k砂 1 ，jiil_i-i、， 0 ； “ n ：0 ，fil_-。 。蕊。：。删。以嘞；计一一：n吖 睡k k k 潞 n n 竹 n 箜三主堑塾坌查! 全廛生! 尘圭墅叁塾盟墨垡选盐 茔查塑薹盔堂塑兰堡查8 g ( 7 r 1 ，7 r k 一1 ) = ( ”“目 h i = c n ：+ 如嵋+ + 疗1 酊，( 言 0 ： 1 仉 啦) 1 小m ， ；c 听+ 加+ + 订1 n i ，( 了芗) ：j 羔) ( 了 ) ：；弓圣j ( a l + 咖o a 2 + + 妒5 _ 10 1 ) ：( + 如d ；+ + 疗1 n i ) ( 6 1 乩) ( b t 6 k ) 7 ( 口1 + 毋。眈- + 疗1 m ) ：( n 和1 + d z o a ；b l + + 疗1 0 丁6 1 ，一，n j “+ 妒o a ；b k + + 靠1 a j b k ) ( o 和1 十毋o a j b l + + 靠1 6 l ，一，o t 6 + 如o k + + 靠1 a 。1 - b ，x 7 ：( a p l + 咖o a ；b 1 + - 十疗1 0 j 6 1 ) 2 + + ( a j b k + 妒o a ；b k + + 靠1 町“) 2 ( 口1 1 + 如n 1 2 + + 布1 口l f ) 2 7 f i ：曼+ 量+ + 堡 7 1 1丌27 r k +(akl-4西oak24*-：-lakl)2 7 r 第二章指数分布个应力z 个未知参数的最优设计华东师范大学硕士论文9 因为”l + 他+ g 【”1 ，7 r 2 ，。 ( 2 ) 当k f 时，证明与第( 1 ) 种情况基本类似，只是此种情况下，r k ( a t 。) = z ， = ( a b a 7 ) = 【( a 口 ) 】7 ( a b ) + = ( b a 7 ) + ( a b ) + = ( a b b a r ) 一1 a b b a 7 ( a b b a 7 ) 一1 = ( a b a r ) 一1 a b b 一4 b 一 b a 7 ( a b a 7 ) 一1 只需设( a b a 7 ) - 1 a b = ( b - ，b 2 ，6 1 ) ，则下面的证明过程与第一种情况类似以下 为了方便起见，不妨设 ，( ”，他，玎。一- ) = 筹+ 壁；7 2 + + 笔 定理2 2 2 在定数截尾试验时，夕( 7 r l ，丌2 ，巩一1 ) 为凸函数 证明；记k 兰筹， = 1 ，2 ，七则l j 时，溉= 饥；当 = j 时， 鬼+ h k ，i = 1 ，2 一，一1 日c，=(h1妻“。h2三)j。一；三hj) = ( 享) ； 三。 + ( ： j ：) 岛= 日，与如均为半正定阵，所以h ( g ) 为半正定阵，即g ( ，r ，丌2 ，一，n 一- ) 为凸 函数 + 鱼 + 以 厮 扣 “鱼n 卜 + 0 “ “ + ， 第二章指数分布k 个应力z 个未知参数的最优设计华东师范大学硕皇论塞1 0 定理2 2 3 在定数截尾试验时，使a s v a r ( 1 n 0 0 ) 达到最小的以为： 嵋：( 1 一仉) 毒址，江1 ，2 _ 】 ( 2 6 ) 蚓 j = l 证明因为凸函数g ( 7 1 ，靠一1 ) 的定义域为凸集，故由引理2 3 及【3 】中定理 3 3 知霄为使a s v a r ( 1 n o o ) 最小的解，且易知此最小解为唯一解 推论2 1 ( 1 ) 当k = l 时，由于 旷 ( 1 f ，a n 加) 卜 i 0 l 疗1 ，b 1 = 南( t 加 n ：，n ；，、i 卜；i o 氛n ；k 圭高( c - ” c其中兰(：兰：薹：)为a=(耋。j；妻。的伴随矩阵， l、ll_= 毗；。机；班 第二章指数分布k 个应力z 个未知参数的最优设计 华东师范大学硕士论文1 l 而 州i ：氨( 咖刊俐靠：禹： 而i a i = 渤一咖) ，所以靠= 尚= 1 妒1 钟- 1 1 也一1 烈k 一- l 1 1 如镌。1 1 也+ l 珙k + - l i 1 机缱- 1 i = 1 ，2 ，k 以一如 也一咖 ( 也一咖) 2 褊糍栅0 9 9 4 z 士4 中的结果一致 ( 2 ) 由程依明( 1 9 9 4 ) 中的推论知当k = f = 2 时，则此结论与【2 】中的结论一 致，若再加上7 t c = o ，则与 1 中的结论相同 2 3 定时截尾试验时的最优设计 点，一矧 仿照定理2 2 1 的证明可得g ( r l ，强，一1 ) 兰- n a s v a r ( 1 n o o ) = 赫+ 。 c + 象 = t 叼 n 酊 。芦 l i 龟 奶 一 九 镣嘶 f f h兀儿触硝铆两丌儿州脚 第二章指数分布k 个应力f 个未知参数的最优设计华东师范大学硕士论文1 2 定理2 3 1 在定时截尾试验时，9 ( r 1 ，) 为凸函致 证明记b o 兰l , 鼠兰壶( 1 一毋) ，k t - - e x p ( 一牮) ，t = 1 ，2 则最= i 一1 。 k i b i 1 ，a = 鼽l - i ( 1 一p j ) = b i 一1 一且，i = 1 ，2 忌又记c i 为k 一1 维向 j = l 量，i = 0 ，1 k ，其中瑶= ( 0 ，0 ，0 ) q = ( 击0 一，o ) ， = ( 击一瓦1 ，班1 ，0 ，o ) ， = ( 击一万1 ，万1 一万1 ，磙1 ，0 ，一，o ) ， 一t = ( 击一万1 ，万1 一万1 ，瓦1 二i 一酝1 j ，蠢【_ ) ， 嚷= ( 击一万1 ，瓦1 一万1 ，可鬲1 一蠢- - ，蠢三一赤) 由【3 】知a ? 日( 去) 观l = x x 7 + k y y 7 ，其中x 圭西q 一臼一1 ，y = - c _ f c i l 则日( 1 a ) 0 = 1 ，2 ，k ) 均为半正定阵，故9 n ，仉) 为凸函数 定理2 3 2 在定时截尾试验时，最优应力变换点叶，证l 满足， 击 鍪c 一a ，一是蓦= 麦【爰c z 一暑2 如，一妻蓦 = 麦 筹c - 一查如卜，童。蓦】 c z q = 去睁一杰a ) 】 证明因为凸函姒 嵋一) 的定贼为醮又掣= 一叠蓦瓮 在9 的定义域内的所有内点连续，从而9 ( n ，靠) 在定义域的所有内点均可微 综上所述及引理2 3 以及【3 】中定理4 2 知结论成立，但此时最优解不一定唯一 推论2 2 ( 1 ) 当r o 。时，即完全样本时有 霄= 一恤( ，一羲) + 机石卜， 第二章指数分布k 个应力f 个未知参数的最优设计 华东师范大学砸圭堡塞1 3 ( 2 ) 当k = l 时，由于矗的值与【3 3 中一致，故此结论与 3 】一致 ( 3 ) 当k = l = 2 时，此结论与【2 】中结论一致；当k = z = 2 ，t - o 。时，此 结论与【1 】中结论一致 2 4 数据模拟 例2 4 1 ( 定数截尾七= f = 2 ) 为了得到某电子元件在正常温度水平岛= 2 5 0 c 下的各种可靠性指标，随机地从一批产品中抽取n = 1 0 0 个产品进行简单步加试验， 其加速温度水平选为 & = 1 0 0 0 c ， = 1 5 0 0 c 假设在这些加速应力水平上，前面叙述的步加试验的三个基本假设均满足我们 假定模型中未知参数的个数f _ 2 通过计算我们得到如= 击，咖- = 击，加= 南 肚，舻( 嚣兰渤 l = ( 一0 0 0 7 5 - i - 3 1 5 5 6 2 9 8 ) 1 0 3 = 3 1 ； 已= ( 0 0 0 8 5 3 1 5 5 6 2 9 8 ) 1 0 3 = 2 1 ( 1 - 器，铲( 1 - 孔) 豇2 1 且得到不同的丌c 取值的情况下n 1 、n 。的安排以及a s v a r ( 1 一n o o ) 的取值如下表 第二章指数分布k 个应力1 个未知参数的最优设计 垒壅师堇盘堂亟圭堡塞1 4 亿n ln 2a s v a r ( 1 n ) 0 6 0 4 00 2 6 5 2 o 1 5 43 60 2 9 4 7 0 24 83 20 3 3 1 5 0 34 22 80 3 7 8 9 o 43 62 40 4 4 2 0 0 53 02 00 4 4 2 0 0 62 41 60 6 6 3 0 0 7 1 81 2o 8 8 4 0 o 8 1 281 3 2 6 0 0 96 42 6 5 2 0 而【l o l 中的结果为 p r l咆v a t ( i ne o ) 1 06 04 00 2 7 6 5 0 9 5 43 60 3 0 7 3 0 8 4 83 20 3 4 5 7 0 74 22 8 0 3 9 5 1 0 63 6 2 40 4 6 0 9 0 53 0 2 00 5 5 3 2 0 ，42 41 60 6 9 1 3 0 31 81 20 9 2 1 8 0 2 1 281 3 8 2 7 0 1642 7 0 5 4 将以上两表进行比较，可以看出，在这两种方法下，试验时产品截尾数是一样的 但本文中渐近方差的结果比【1 0 】中稍小一点。 例2 4 2 ( 定数截尾，= 2 ，f = 3 ) 内容同上例，只是假设加速模型中未知参数 第二章指数分布k 个应力f 个未知参数的最优设计华东师范大学硕士论文1 5 的个数为3 个，通过计算我们得到t 矿= ( 1 4 = 捌 l = 3 2 5 8 8 ，已= - 2 4 1 9 6 7 r 卜( 1 一) 丽丽3 2 丽5 8 8 o 5 7 3 8 9 4 ( 1 一亿) 呓= ( 1 一丌c ) i 磊面2 可4 1 五9 6 蕊2o 4 2 6 1 0 6 ( 1 一丌c ) 且得到不同的丌c 取值的情况下n l ，他的安排以及a s v a r ( 丘瓯) 的取值如下表， 丌cn l他 a s v a r ( 1 n0 0 ) 05 74 30 3 2 2 4 0 15 23 80 3 5 8 3 0 24 63 40 4 0 3 0 o 34 03 00 4 6 0 6 0 43 42 60 5 3 7 4 0 52 9 2 1 0 6 4 4 9 o 62 31 70 8 0 6 1 0 71 71 31 0 7 4 8 0 81 191 6 1 2 2 o 9643 ，2 2 4 4 一矗= 存 - 皆一铡 l 南南= e x p ( 1 2 ) 【矿i 矿丁i 泸一 第二章指数分布k 个应力1 个未知参数的最优设计华东师范大学硕士论文1 6 利用文 1 0 】中的数据，我们可以得到 武= 4 0 5 3 3 3 3 ，如= 9 1 9 ，l = 3 1 ，如= 2 1 我们取t 2 = 6 0 0 ，初值选取p t = 1 一e x p ( 一晋) = o 5 2 2 9 ；p 2 = l o x p ( 一 鲤亨塑1 ：0 9 6 1 8 且 比 7 、 加j _ l 1 0 卜1 5 “1 0 0 0 0 0 用f s o l v e 进行求解得p l = 0 5 5 8 1 ，p 2 = 0 9 4 0 4 此时n = 3 3 1 0 6 ，7 2 = 6 0 0 ，缸v 撕( i i 玩) = 0 2 7 8 3 取7 - 2 = 5 0 0 或7 0 0 或8 0 0 等数据时，仍有- = 卜0 9 4 8 0 4 1 1 i 加枷( 嚣) 例2 4 4 ( 定时截尾，k = 2 ，z = 3 ) 内容i 司- l ：，但是我们假设加速模型中有3 个 未知参数，并且进行定时截尾寿命试验。 通过计算可以得到l = 3 2 5 8 8 ，如= - 2 4 1 9 6 ，、 我们仍设见：6 0 0 ，选取初值x o ：fo 5 2 2 9 1 ，通过f s o j 口e 求解得p 1 ： o 9 6 1 8 0 5 4 1 8 ，现：0 9 5 0 1 ；n ：3 1 6 3 4 ，您= 6 0 0 ；a s v a r ( 瓦) = 0 3 3 0 5 且有f v a f ：1 1 0 一5 十f o 2 4 0 9 1 0 0 0 0 0 取乃= 5 0 0 、7 0 0 、8 0 0 等其它数据时，m ，p 2 ，v a l 的取值不变 第三章竞争失效产品加速寿命试验的最优设计 3 1 引言 竞争失效是产品的一种重要失效模式在可靠性理论中，产品丧失所规定的功 能称为失效对于大型产品，由于其内部结构及其外界工作环境的复杂性，引起产品 失效的物理、化学原因往往有多种，若发生任何一种原因均导致产品失效，称此产 品为竞争失效产品，导致产品失效的原因称为产品的失效机理例如，在电缆线的 寿命试验中，导致电缆线失效的原因有；电缆线被击穿、漏电流指标超过规定临界 点及人为断开等，其中任何一种原因称为产品的失效机理本章是在第二章的基础 上，在一般1 个未知参数的加速寿命方程下，以各失效机理的对数平均寿命的m l e 的渐进方差之和最小为准则，运用加号逆的理论，解决了指数分布下具有p 1 个 竞争机理的产品，k 个应力水平，z 个未知参数情况下，恒加试验和步加试验的最优 设计问题 3 2 竞争失效产品恒加试验的最优设计 3 2 1 基本假定 、 设s 0 ，岛，瓯为应力水平，其中岛为正常应力水平，且岛 s 1 鼠，记也= ( & ) ，t = 0 k ，咖( s ) 为应力s 的已知单调函数本文以下总是假 定札 妒l x t i x ”= y d p x i y d p x | i j k 时， ，( ”。，见，n 一。) = 譬+ 譬+ + 堡d k ( 3 9 ) ，( 7 r 1 ，丌2 ，n 1 ) 2 昔+ 薏+ + 生 ( 3 9 ) 其中f l 兰o l l + 西o a l 2 + + 疗1 n “，矗兰o k l + 咖钆2 + + 疗1 a k l a = 匕 而a j = ( a l ，d f ) ，且有 ，口u 。兰i ! l ， ii n k l j 7 r i e ( t ) 啦2 万 1 1 也妒k 疗1 疗 啦廿 一 m 5 l j 11 j = l ，= = r ， j = ， ，( ”。，他，巩一，) = 譬+ 墨+ + 爰 ( 。- 。) a 乜董1 卦 x ，傅 = x 第三章竞争失效产品加速寿命试验的最优设计 华东师范大学硕士论文2 2 而( a 最冉) - 1 a 且= ( b l ，b 2 ，b ) ，且有 驿一， 。 以只( t ) 啦2 可 玩书1 、6 剐 =壹=v万1，i=1,-,p01 1j=lj = l = = i ， v 证明，( 1 ) 在1 k 时，记西o = ( 1 ，如，镌，z 1 ) 7 ，g 可以改写成 g t = 一匕 = n ( a ) 鼠( a ) 7 ，i = 1 ，一，p 所以 0 如 ； o p 加t ，材一，7 r k 一- ) = 竹缸( 1 n 菘) i = 1 因为施( ( a ) l 。k ) = k ，所以 毋l 如 ! + 机一 疗 三； = 幽( 风+ 岛t 如+ ；1 p = n 簖1 砂1 行 枕- 疗 机靠 + 扁_ 1 t 靠1 ) ) b ，硝 = x 疗；珐，卜u、 、 纛；嘶纛；埘丸7 埘 ，。一 “”、 。机；疗。纰；疗 磁 ，：i 兰 、 + o a 町r鬈，【 ， | | 第三章竞争失效产品加速寿命试验的最优设计华东师范大学硕士迨墨2 3 皿= 西5 ( 冉) + b f l a 中o = 垂5 ( a ) 7 耳1 a 产h = ( 1 如疗1 ) ( 耄 | l 兰) c 吼眈甸( 妻， = g ；+ 如+ + 利 1 。r ，( 享 山r + 坩w 怪 ( a 。+ 毋。眈+ + 有1 。z ) l 十粕n 2 + + 疗1 1 1 1 屯 0 = ( o ：+ 毋0 4 + + 4 - 1 a r ) ( b l ，一，6 h ) ( 6 1 ，一，b k 。) 7 ( a l + 咖o a z + + 疗1 m ) = ( a t b l t + 妒o a ；b 1 + + 毋 1 血f 6 l ，一，。；b h + 咖o a ；b k ；+ + 订1 町6 k 。) ( a l b l i + 毋o a ；b 1 + + 靠1 n p l t ，6 觚+ 如o ；k + + 疗1 a b k l ) 7 = ( 西h 。+ 咖o a ；b l + + 疗1 0 p l ) 2 + + ( 听“t + 如6 h + + 疗1 n i ) 2 ( a l l + 咖n 1 2 + + 疗1 a 1 i ) 2 o = 芸+ d i l+ 鬟 + ( ! ! ! 鱼! 丝土：查：! 竺! ： t 、 o o ；。瓦 赤：。 ，fj_-ll_-_il、 o 0 ：l 瓦 第三章竞争失效产品加速寿命试验的最优设计 华东师范大学硕士论文2 4 ( 2 ) 在f k 时，证明与第( 1 ) 种情况基本类似，只是此种情况下，佩( ( a ) l 。k ) = 1 11 凰= 壬；( a t b i a d 一1 面o = 西；【( a b ? ) 】7 ( a 霹) + 西o 11 = 中；( 霹鬈) + ( a 霹) + 垂o ：( a 砖哥鬈) 一t a 哥哥鬈( a 群1 哥鬈) 一- 圣。 ：( ab 鬈) 一1 a 最b 5 1b _ 1b 鬈( a 晟a ；) 一1 西。 只需设( a 最筲) _ 1 a 鼠= ( b 1 ，幻，6 1 ) ，则下面的证明过程与第一种情况类似 定理3 2 2 对于定时截尾恒加试验，( ”1 ，7 r 2 ，孤一1 ) 为凸函数 o c 2 证明t 记2 裁，t = 1 ，膏则容易得到， 当i j 时，糕= k ， 当待j 时，貉2 + h k ，i ，j = l ，一1 所以，( 7 r l ，丌2 ，仉一1 ) 的h e s s i o n 矩阵为 h ( f ) h k h 2 + h k 翔 因为凰为半正定矩阵，f 屯为半正定矩阵，所以h ( f ) 为半正定矩阵，即 ，( 7 r l ，砘，一，孤一1 ) 为凸函数 定理3